律吕阐微卷二
三忽○九五○四八八○一六八九为实，开平方法除之，得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纎五○○二七二一○六六七一七五，即南吕倍律之率。仍以句十寸乘之【一尺进为百寸】又以股十寸乘之【百寸进为千寸】得立方积一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一丝○六十六忽七一七五为实，开立方法除之【按：开立方法，初商自乘再乘为大立方，次商以后与前商乘为平亷，又乘为长亷，迭加三平亷、三长亷、一隅以除实】得一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五【立方之方根也】即应钟倍律之率【按：南吕至应钟隔无射一律，以立方积求立方根得之，理数甚竒】盖十二律，黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端，此自然真理，犹贞后元生，坤尽复来也。是故各律皆以黄钟正数十寸乘之为实，皆以应钟倍数十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五为法除之，即得其次律也。安有徃而不返之理哉？旧法徃而不返者，盖由三分损益算术不精之所致也。是故新法不用三分损益，别造宻率，其详如左。
译三忽○九五○四八八○一六八九作为被除数，用开平方法去除，得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纎五○○二七二一○六六七一七五，这就是南吕倍律的比率。仍然用句十寸去乘它【一尺进位为百寸】，又用股十寸去乘它【百寸进位为千寸】，得到立方积一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一丝○六十六忽七一七五作为被除数，用开立方法去除它【按：开立方法，初商自乘再乘为大立方，次商以后与前商乘为平廉，又乘为长廉，依次加上三平廉、三长廉、一隅以去除被除数】，得一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五【即立方之方根】，这就是应钟倍律的比率【按：南吕至应钟隔无射一律，以立方积求立方根而得，理数甚奇】。大概十二律，黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端，这是自然的真理，犹如贞后元生，坤尽复来。因此，各律都以黄钟正数十寸乘之为被除数，都以应钟倍数十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五作为除数去除，即得其次律。哪有只往而不返的道理呢？旧法只往而不返，大概是由于三分损益算术不精所导致的。因此，新法不用三分损益，另外造出密率，其详情如下。
按载堉谓旧法徃而不返，由三分损益算术不精之所致。愚谓古人亦非算术不精也。九九八十一之数，始于三管子，有起五音凡首先主一而三之，四开以合九九之说。伶州鸠有纪之以三，平之以六，成于十二之说。老子有道生一，一生二，二生三，三生万物之说。汉人有太极元气函三为一之说，始动于子，参之于丑，以至参之于亥，为应钟得十七万七千一百四十七之数。一若以此为万物终始，自然之数矣。下生者倍其实三其法，上生者四其实三其法。黄钟九寸，林钟六寸，太蔟八寸，三律得寸之全无零分。汉人遂有黄钟为天统，林钟为地统，太蔟为人统之说矣。其推说愈近理，则其信三分损益也愈固。恶知此外仍有算律之法哉？又以旧法较今法，林钟得黄钟三分之二，以倍律言之，当为一三三三三不尽，而新率为一三三四八有竒。太蔟得黄钟九分之八，倍律当为一七七七七不尽，而新率为一七八一七有竒。其数与三分损益所得者切近而稍赢，安得不以三分损益为自然之数哉？至仲吕不能反生黄钟，则无如之何矣。独淮南子所载诸律之数，何承天、刘焯算之，似欲破三分损益之说，载之《晋书》《宋书》。然而竒零小数半分以下弃之，半分已上收之，终无确数。其黄钟生林钟之法，置黄钟八十一分为实，以五百乘之，得四万○五百分，以七百四十九为法除之，得五十四分为林钟。除实未尽，则弃之矣。七百四十九者，与仲吕正律之长相近，以此为法似矣。然九之下仍有小数。新法黄钟生林钟，置黄钟之率十亿为实，五亿乘之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，得林钟。则以七四九为法除实，求林钟者尚未确，是以仲吕终不能反生黄钟。皆由方圆相函，勾股乘除，开方一窍未啓，故载堉云新法盖二千余年所未有自我朝始，诚然也。
又曰：造率始于黄钟，必先求蕤賔者，犹冬夏二至也；次求夹钟及南吕者，犹春秋二分也。太极生两仪，两仪生四象，此之谓也。始于黄钟者，履端于始也；中于蕤賔者，举正于中也；终于应钟者，归余于终也。律与厯一道也。黄钟为宫，蕤賔为中，应钟为和。此三律者，律吕之纲纪也。
按：载堉言次，求夹钟及南吕。本书未言求夹钟之法，今补之。
法曰：求得蕤賔倍律之率，以句十寸，折牛为五寸，乘之，得平方积七十寸○七十一分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五四七五二四四○○八四四五为实，开平方法除之，得八寸四分○八毫九丝六忽四一五二五三七一四五四三○三一一二五，即夹钟正律之率，倍之一六八一七九二八三○五○七四二九○八六○六二二五一为夹钟倍律之率。又或以南吕之平方积倍之，二八二八四二七二二四七四六一九○○九七六○三三七八，开平方法除之，即夹钟倍律之率【原阙】
积算旁通图【有竒零者，无时尽列算多位，见开方之妙】
二【本是二尺，进作二百寸，为实；以上文所载应钟倍律之数十寸五分有竒为法，除之余律放此】右乃黄钟倍律积算【置黄钟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之得大吕】
一八八七，七四八六，二五三六，三三八六，九九三二，八三六二六。
右乃大吕倍律积算【置大吕倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之，得太蔟】
一七八一，七九七四，三六二八，○六七八，六○九四，八○四五二。
右乃太蔟倍律积算【置太蔟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之，得夹钟】
一六八，一七九，二八三，○五○，七四二，九○八，六○六，二二五，一。
右乃夹钟倍律积算【置夹钟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得姑洗】
一五八七，四○一○，五一九六，八一九九，四七四七，五。
一七六 ○
右乃姑洗倍律积算【置姑洗倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之，得仲吕】
一，四九八，三○七，○七六，八七六，六八一，四九八，七九九，二八一。
右乃
译据朱载堉所说，旧法之所以只能往下生而不能往上返，是由于三分损益的算术不精确所致。我认为古人并非算术不精。九九八十一这个数，始于《管子》，其中有“起五音凡首先主一而三之，四开以合九九”的说法。伶州鸠有“纪之以三，平之以六，成于十二”的说法。老子有“道生一，一生二，二生三，三生万物”的说法。汉人有“太极元气函三为一”的说法，从子位开始发动，在丑位参乘，直到在亥位参乘，对应应钟，得到十七万七千一百四十七这个数。如果把这看作万物终始的自然之数，那么下生之法是加倍其实数、三倍其法数，上生之法是四倍其实数、三倍其法数。黄钟九寸，林钟六寸，太蔟八寸，这三个律得到的寸数都是整数而没有零分。汉人于是有了“黄钟为天统，林钟为地统，太蔟为人统”的说法。他们的推说越接近事理，对三分损益法的信念就越牢固。哪里知道这之外还有计算律吕的方法呢？又拿旧法与今法比较，林钟得到黄钟的三分之二，用倍律来说，应当是一点三三三三不尽，而新率是一点三三四八有余。太蔟得到黄钟的九分之八，倍律应当是一点七七七七不尽，而新率是一点七八一七有余。这些数与三分损益所得的数切近而稍大，怎么能不把三分损益当作自然之数呢？至于仲吕不能反生黄钟，那就无可奈何了。唯独《淮南子》所载各律的数，何承天、刘焯计算它们，似乎想要破除三分损益之说，记载在《晋书》《宋书》中。然而奇零小数半分以下的舍弃，半分以上的保留，终究没有确切的数。其黄钟生林钟的方法，置黄钟八十一分为实，用五百乘它，得到四万零五百分，用七百四十九为法去除它，得到五十四分为林钟。除实未尽，就舍弃了。七百四十九，与仲吕正律的长度相近，以此为法似乎可以。然而九之下仍有小数。新法黄钟生林钟，置黄钟的率十亿为实，五亿乘它，七亿四千九百一十五万三千五百三十八去除它，得到林钟。那么用七百四十九为法去除实数求林钟，尚且不确切，所以仲吕终究不能反生黄钟。这都是因为方圆相涵、勾股乘除、开方这一窍门没有开启，所以朱载堉说新法大概是两千多年所未有，从我朝开始，确实如此。
又说：制定律吕的比率始于黄钟，必须先求蕤宾，这就像冬至和夏至；其次求夹钟和南吕，这就像春分和秋分。太极生两仪，两仪生四象，说的就是这个。始于黄钟，是履端于始；中于蕤宾，是举正于中；终于应钟，是归余于终。律与历是同一条道理。黄钟为宫，蕤宾为中，应钟为和。这三个律，是律吕的纲纪。
按：朱载堉说其次求夹钟和南吕。本书没有说求夹钟的方法，现在补上。
方法说：求得蕤宾倍律的比率，以勾十寸，折股为五寸，乘它，得到平方积七十寸零七十一分零六厘七十八毫一十一丝八十六忽五四七五二四四零零八四四五为实，用开平方法去除它，得到八寸四分零八毫九丝六忽四一五二五三七一四五四三零三一一二五，即夹钟正律的比率，加倍为一六八一七九二八三零五零七四二九零八六零六二二五一为夹钟倍律的比率。又或者用南吕的平方积加倍，二八二八四二七二二四七四六一九零零九七六零三三七八，用开平方法去除它，即夹钟倍律的比率【原文缺失】
积算旁通图【有奇零的，没有时刻尽列算多位，可见开方的妙处】
二【本是二尺，进作二百寸，为实；以上文所载应钟倍律之数十寸五分有余为法，除之余律仿此】右边是黄钟倍律积算【置黄钟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之得大吕】
一八八七，七四八六，二五三六，三三八六，九九三二，八三六二六。
右边是大吕倍律积算【置大吕倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之，得太蔟】
一七八一，七九七四，三六二八，零六七八，六零九四，八零四五二。
右边是太蔟倍律积算【置太蔟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之，得夹钟】
一六八，一七九，二八三，零五零，七四二，九零八，六零六，二二五，一。
右边是夹钟倍律积算【置夹钟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得姑洗】
一五八七，四零一零，五一九六，八一九九，四七四七，五。
一七六 零
右边是姑洗倍律积算【置姑洗倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之，得仲吕】
一，四九八，三零七，零七六，八七六，六八一，四九八，七九九，二八一。
右边是
一四一四，二一三五，六二三七，三○九五，○四八八，○一六八，九
右乃蕤賔倍律积算【置蕤賔倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之得林钟】
一三三四八三九八五四一七○○三四三六四八三○八三二
右乃林钟倍律积算【置林钟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之得夷则】
一，二，五，九，九，二，一，○，四，九，八，九，四，八，七，三，一，六，四，七，六，七，二，一。
右乃夷则倍律积算【置夷则倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之得南吕】
一，一八九，二○七，一一五，○二七，二一○，六六七，一七五。
右乃南吕倍律积算【置南吕倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之得无射】
一，一，二，二，四，六，二○，四八，三○，九三，七二，九八，一四，三三，五三，三。
右乃无射倍律积算【置无射倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之得应钟】
一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六一八二五
右乃应钟倍律积算【置应钟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之得黄钟】
新造密率二种【倍律命寸为兆，正律命寸为亿。欲初学者知命法之变通云尔】
黄钟之率，二十兆【本是二十寸，命作二十兆】
大吕之率，十八兆八千七百七十四万八千六百二十五亿三千六百三十三万八千六百九十九。
太蔟之率，十七兆八千一百七十九万七千四百三十六亿二千八百○六万七千八百六十。
夹钟之率，十六兆八千一百七十九万二千八百三十亿○五千○七十四万二千九百○八。
姑洗之率，十五兆八千七百四十万○一千○五十一亿九千六百八十一万九千九百四十七。
仲吕之率，十四兆九千八百三十万○七千○七十六亿，八千七百七十六万八千一百四十九。
蕤賔之率，十四兆，一千四百二十一万，三千五百六十二亿，三千七百三十万○九千五百○四。
林钟之率，十三兆，三千四百八十三万，九千八百五十四亿，一千七百万○○，三千四百三十六。
夷则之率，十二兆五千九百九十二万一千○四十九亿，八千九百四十八万七千三百一十六。
南吕之率，十一兆八千九百二十万○七千一百一十五亿○○二十七万二千一百○六。
无射之率十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十三万七千二百九十八。
应钟之率，十兆○五千九百四十六万三千○九十四亿，三千五百九十二万九千五百二十六。
黄钟之率，十亿【本是十寸，命作十亿】
大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二，太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八，夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五，姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五，仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八，蕤賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一，林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七，夷则之率六亿二千九百九十六万○五百二十四，南吕之率五亿九千四百六十万○三千五百五十七，无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四，应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七，补半律之率【本书未推，今推之】
黄钟之率，五亿【本是五寸，命作五亿】
大吕之率四亿七千一百九十三万七千一百五十六，太蔟之率四亿四千五百四十四万九千三百五十九，夹钟之率四亿二千○四十四万八千二百○七，姑洗之率三亿九千六百八十五万○二百六十二，仲吕之率三亿七千四百五十七万六千七百六十九，蕤賔之率三亿五千三百五十五万三千三百九十，林钟之率三亿三千三百七十万○九千九百六十三，夷则之率三亿一千四百九十八万○二百六十二，南吕之率二亿九千七百三十万○一千七百七十八，无射之率二亿八千○六十一万五千五百一十二，应钟之率二亿六千四百八十六万五千七百七十三。按诸律之率，固皆以应钟之率为法求得之，而各律自乘有平
译1414，2135，6237，3095，0488，0168，9
以上是蕤宾倍律的积算数值【将蕤宾倍律的积算数值进一位作为被除数，以应钟倍律的积算数值作为除数，相除得到林钟】
1334839854170034364830832
以上是林钟倍律的积算数值【将林钟倍律的积算数值进一位作为被除数，以应钟倍律的积算数值作为除数，相除得到夷则】
1，2，5，9，9，2，1，0，4，9，8，9，4，8，7，3，1，6，4，7，6，7，2，1。
以上是夷则倍律的积算数值【将夷则倍律的积算数值进一位作为被除数，以应钟倍律的积算数值作为除数，相除得到南吕】
1，189，207，115，027，210，667，175。
以上是南吕倍律的积算数值【将南吕倍律的积算数值进一位作为被除数，以应钟倍律的积算数值作为除数，相除得到无射】
1，1，2，2，4，6，20，48，30，93，72，98，14，33，53，3。
以上是无射倍律的积算数值【将无射倍律的积算数值进一位作为被除数，以应钟倍律的积算数值作为除数，相除得到应钟】
1059463094359295264561825
以上是应钟倍律的积算数值【将应钟倍律的积算数值进一位作为被除数，以应钟倍律的积算数值作为除数，相除得到黄钟】
新创制的两种精密比率【倍律规定一寸为兆，正律规定一寸为亿。这是为了让初学者了解命名方法的变通罢了】
黄钟的比率，二十兆【原本为二十寸，命名为二十兆】
大吕的比率，十八兆八千七百七十四万八千六百二十五亿三千六百三十三万八千六百九十九。
太蔟的比率，十七兆八千一百七十九万七千四百三十六亿二千八百零六万七千八百六十。
夹钟的比率，十六兆八千一百七十九万二千八百三十亿零五千零七十四万二千九百零八。
姑洗的比率，十五兆八千七百四十万零一千零五十一亿九千六百八十一万九千九百四十七。
仲吕的比率，十四兆九千八百三十万零七千零七十六亿，八千七百七十六万八千一百四十九。
蕤宾的比率，十四兆，一千四百二十一万，三千五百六十二亿，三千七百三十万零九千五百零四。
林钟的比率，十三兆，三千四百八十三万，九千八百五十四亿，一千七百万零零，三千四百三十六。
夷则的比率，十二兆五千九百九十二万一千零四十九亿，八千九百四十八万七千三百一十六。
南吕的比率，十一兆八千九百二十万零七千一百一十五亿零零二十七万二千一百零六。
无射的比率，十一兆二千二百四十六万二千零四十八亿三千零九十三万七千二百九十八。
应钟的比率，十兆零五千九百四十六万三千零九十四亿，三千五百九十二万九千五百二十六。
黄钟的比率，十亿【原本为十寸，命名为十亿】
大吕的比率九亿四千三百八十七万四千三百一十二，太蔟的比率八亿九千零八十九万八千七百一十八，夹钟的比率八亿四千零八十九万六千四百一十五，姑洗的比率七亿九千三百七十万零零五百二十五，仲吕的比率七亿四千九百一十五万三千五百三十八，蕤宾的比率七亿零七百一十万零六千七百八十一，林钟的比率六亿六千七百四十一万九千九百二十七，夷则的比率六亿二千九百九十六万零五百二十四，南吕的比率五亿九千四百六十万零三千五百五十七，无射的比率五亿六千一百二十三万一千零二十四，应钟的比率五亿二千九百七十三万一千五百四十七，补全半律的比率【原书未推导，今推导之】
黄钟的比率，五亿【原本为五寸，命名为五亿】
大吕的比率四亿七千一百九十三万七千一百五十六，太蔟的比率四亿四千五百四十四万九千三百五十九，夹钟的比率四亿二千零四十四万八千二百零七，姑洗的比率三亿九千六百八十五万零二百六十二，仲吕的比率三亿七千四百五十七万六千七百六十九，蕤宾的比率三亿五千三百五十五万三千三百九十，林钟的比率三亿三千三百七十万零九千九百六十三，夷则的比率三亿一千四百九十八万零二百六十二，南吕的比率二亿九千七百三十万零一千七百七十八，无射的比率二亿八千零六十一万五千五百一十二，应钟的比率二亿六千四百八十六万五千七百七十三。考察各律的比率，固然都是以应钟的比率作为除数求得，而各律自乘有平
黄钟倍律之幂，折半为蕤賔倍律之幂。蕤賔倍律之幂，折半为黄钟正律之幂。黄钟正律之幂，折半为蕤賔正律之幂。蕤賔正律之幂，折半为黄钟半律之幂。黄钟半律之幂，折半为蕤宾半律之幂。
右子午对冲之例也
大吕倍律之幂折半为林钟倍律之幂。林钟倍律之幂折半为大吕正律之幂。大吕正律之幂折半为林钟正律之幂。林钟正律之幂折半为大吕半律之幂。大吕半律之幂折半为林钟半律之幂。
右丑未对冲之例也
太蔟倍律之幂折半为夷则倍律之幂。夷则倍律之幂折半为太蔟正律之幂。太蔟正律之幂折半为夷则正律之幂。夷则正律之幂折半为太蔟半律之幂。太蔟半律之幂折半为夷则半律之幂。
右寅申对冲之例也
夹钟倍律之幂折半为南吕倍律之幂，南吕倍律之幂折半为夹钟正律之幂，夹钟正律之幂折半为南吕正律之幂，南吕正律之幂折半为夹钟半律之幂，夹钟半律之幂折半为南吕半律之幂。
右卯酉对冲之例也
姑洗倍律之幂，折半为无射倍律之幂。无射倍律之幂，折半为姑洗正律之幂。姑洗正律之幂，折半为无射正律之幂。无射正律之幂，折半为姑洗半律之幂。姑洗半律之幂，折半为无射半律之幂。
右辰戌对冲之例也
仲吕倍律之幂，折半为应钟倍律之幂。应钟倍律之幂，折半为仲吕正律之幂。仲吕正律之幂，折半为应钟正律之幂。应钟正律之幂，折半为仲吕半律之幂。仲吕半律之幂，折半为应钟半律之幂。
右已亥对衡之例也
已上六例，载堉书所未言。今推得之，此方圆相函，内内倍半，自然相应之道也。律之空围靣幂积实，其例亦如此。方与方，圆与圆，其理同也。
方圆相函列律图
自有律书以来，未有此图。天地之秘宻，泄于此图。观
按载堉之说，非图不显，作此图以明之。方函圆，圆又函方，皆自然之理，即有一定之数。列线为律，外十二线为倍律，中十二线为正律，其半律亦有十二在内。线愈密，不能图，只图其一律之疎密，自有差次，无忽密忽疎之病。律之长短，皆两斜线界定，非由三分损益。观此，则新旧二法真伪判然矣。
方圆相函外内周径幂积图
考工记》防氏为量，内方尺而圆其外，此图外圆之第二层，方之第三层也。今各增其内外之方，圆迭相函容，径与径，幂与幂，各以倍半相应，此律吕长短所由生，外内周径面幂实积所由出，此天地自然之理数，不假人力安排者也。
李文贞公光地曰：「律之以损益相生，何也？」曰：「凡象数皆起于隂阳。象者，隂阳相变者也；数者，竒偶相生者也。故方之内圆，必得外圆之半；其外圆，必得内圆之倍。圆之内方，亦必得外方之半；其外方，亦必得内方之倍。律之上生为下生之倍，下生为上生之半，其理一也。盖方圆函盖，竒偶乘负，隂阳变化，天地生生之道也。苟其象之所生同，数之所起同，则上下无不应也，外内无不合也，倍半无不和也。故司马迁《律书》谓之同数，今西人算学谓之比例。《易》曰：『同声相应，同气相求』，此之谓也。夫金石之铿訇，与丝竹之繁细，物性迥然殊矣，而各以其性为声律，则无不相应者，岂非同类比例之谓乎？」
按文贞公深明象数之学，以方圆倍半之理推原声律，相生倍半，相应直抉造化之微，此朱载堉所以因防氏之文能别推出密率新法者也。然文贞公设问，犹言损益相生，不云律生于方圆相容之形，岂未见载堉之书，暗与之相符与？今作此图明之：方六层，圆五层，方圆有方圆之倍半，平幂有平幂之倍半，律之长短，围径之大小，幂积之多寡，其理皆具此图之中。要其所以然者，河图已以象数示人矣，俟《象数》篇详之。
律数相较图
正律数 一较 再较 三较
黄钟十
大吕九四三八七四三一二【五六一二五六八八】三一五○○九四。
太簇八九○八九八七一八【五二九七五五九四】二九七三二九一【一七六八三】
夹钟八四○八九六四一五【五○
译黄钟倍律的幂，折半成为蕤宾倍律的幂。蕤宾倍律的幂，折半成为黄钟正律的幂。黄钟正律的幂，折半成为蕤宾正律的幂。蕤宾正律的幂，折半成为黄钟半律的幂。黄钟半律的幂，折半成为蕤宾半律的幂。
以上是子午对冲的例子。
大吕倍律的幂，折半成为林钟倍律的幂。林钟倍律的幂，折半成为大吕正律的幂。大吕正律的幂，折半成为林钟正律的幂。林钟正律的幂，折半成为大吕半律的幂。大吕半律的幂，折半成为林钟半律的幂。
以上是丑未对冲的例子。
太簇倍律的幂，折半成为夷则倍律的幂。夷则倍律的幂，折半成为太簇正律的幂。太簇正律的幂，折半成为夷则正律的幂。夷则正律的幂，折半成为太簇半律的幂。太簇半律的幂，折半成为夷则半律的幂。
以上是寅申对冲的例子。
夹钟倍律的幂，折半成为南吕倍律的幂，南吕倍律的幂，折半成为夹钟正律的幂，夹钟正律的幂，折半成为南吕正律的幂，南吕正律的幂，折半成为夹钟半律的幂，夹钟半律的幂，折半成为南吕半律的幂。
以上是卯酉对冲的例子。
姑洗倍律的幂，折半成为无射倍律的幂。无射倍律的幂，折半成为姑洗正律的幂。姑洗正律的幂，折半成为无射正律的幂。无射正律的幂，折半成为姑洗半律的幂。姑洗半律的幂，折半成为无射半律的幂。
以上是辰戌对冲的例子。
仲吕倍律的幂，折半成为应钟倍律的幂。应钟倍律的幂，折半成为仲吕正律的幂。仲吕正律的幂，折半成为应钟正律的幂。应钟正律的幂，折半成为仲吕半律的幂。仲吕半律的幂，折半成为应钟半律的幂。
以上是巳亥对衡的例子。
以上六个例子，是朱载堉著作中未曾提及的。如今推演得出，这是方圆相互包含、内外倍半、自然相应的道理。律管的空围、面幂、积实，其规律也是如此。方与方、圆与圆，其道理相同。
方圆相函列律图
自从有律书以来，从未有过此图。天地的奥秘，在此图中泄露。
按照朱载堉的说法，没有图就不能显现，因此作此图来阐明。方中包含圆，圆中又包含方，都是自然的道理，即有一定的数值。排列线条作为律，外侧十二线为倍律，中间十二线为正律，其半律也有十二条在内。线条越密，无法绘图，只绘制一律的疏密，自然有次序，没有忽密忽疏的弊病。律的长短，都由两条斜线界定，不是由三分损益法决定的。观看此图，新旧两种方法的真伪就明显区分了。
方圆相函外内周径幂积图
《考工记》中关于梓人制作量器的记载，内部是方形一尺而外部是圆形，此图外圆的第二层，就是方形的第三层。如今各自增加其内外的方形和圆形，交替相互包含，直径与直径、幂与幂，各自以倍半相应，这是律吕长短产生的原因，也是外内周径、面幂、实积产生的来源，这是天地自然的理数，不假借人力安排。
李文贞公光地说：“律用损益相生，为什么呢？”回答说：“凡是象数都起源于阴阳。象，是阴阳相互变化的；数，是奇偶相互生成的。所以方内的圆，必定得到外圆的一半；其外圆，必定得到内圆的倍数。圆内的方，也必定得到外方的一半；其外方，也必定得到内方的倍数。律的上生是下生的倍数，下生是上生的一半，其道理是一样的。大概方圆包含、奇偶乘除、阴阳变化，是天地生生不息的道理。如果象所生成的相同，数所起源的相同，那么上下没有不应和的，内外没有不合的，倍半没有不和的。所以司马迁《律书》称之为同数，如今西方算学称之为比例。《易经》说：‘同声相应，同气相求’，说的就是这个。金石铿锵的声音，与丝竹繁细的声音，物性截然不同，而各自以其本性发出声律，就没有不应和的，这难道不是同类比例的意思吗？”
按照文贞公的说法，他深明象数之学，用方圆倍半的道理推究声律，相生倍半，相应直接探求造化的微妙，这是朱载堉之所以能根据梓人的文字另推出密率新法的原因。然而文贞公设问，还说损益相生，不说律产生于方圆相容的形状，难道没有看到朱载堉的书，暗中与之相符吗？如今作此图来阐明：方形六层，圆形五层，方圆有方圆的倍半，平幂有平幂的倍半，律的长短、围径的大小、幂积的多寡，其道理都具备在此图中。要探究其所以然的原因，河图已经用象数示人了，等待《象数》篇详细论述。
律数相较图
正律数 一较 再较 三较
黄钟十
大吕九四三八七四三一二【五六一二五六八八】三一五○○九四。
太簇八九○八九八七一八【五二九七五五九四】二九七三二九一【一七六八三】
夹钟八四○八九六四一五【五○
○○二三○三】二八○六四一二【一六六八七】
姑洗七九三七○○五二五【四七一九五八九○】二六四八九○三【一五七五一】
译这段文字并非古文，而是由数字、符号和方括号组成的乱码或数据代码，无法进行古文翻译。
仲吕七四九一五三五五八【四四五四六九八七】二五○○二三○【一四八六七】
蕤宾七○七一○六七八一【四二○四六七五七】二三五九九○三【一四○三二】
林钟六六七四一九九二七【三九六八六八五四】二二二七四五一【一三二四五】
夷则六二九九六○五二四【三七四五九四○三】二一○二四二六【一二五○二】
南吕五九四六○三五五七【三五三五六九六七】一九八四四三四【一一七八九】
无射五六一二三一○二四【三三三七二五三三】一八七三○五六【一一一三七】
应钟五二九七三一五四七【三一四九九四七七】一七六七九三○【一○五一二】
半黄钟五【二九七三一五四七】
凡数前后相较，必以渐而差。如八线表度分匀，而诸线各有差率，是为真数律之渐而短也。亦然，其以应钟之率为法而除实也，则同。以其前后相差之数，一较，再较，三较，皆以渐可见。新法为真数，旧法三分损益得之者，忽多忽失，不以其渐矣【自黄钟至仲吕律分多，吕分少；自蕤賔至应钟律分少，吕分多】
诸律相生
朱载堉曰：「新法不拘隔八相生，而相生有四法，或左旋，或右旋，皆循环无端也。以证三分损益徃而不返之误。其一：黄钟生林钟，林钟生太蔟，太蔟生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤賔，蕤賔生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕，仲吕生黄钟。长生短，五亿乘之；短生长，十亿乘之；皆以七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之。」
按此隔八左旋相生也。七亿四千九百一十五万三千五百三十八者，仲吕之率也。仲吕复生黄钟者也。用其率以除实，自然循环矣。旧法三分损一益一，亦是以五以十乘本律，而以七十五为法除之。七十五者，七亿五千万也。实少法强，是以不能复生黄钟。又如晋宋书算《淮南子》之法，以七百四十九为除法。七百四十九者，七亿四千九百万也。法又稍弱，是以亦不能循环。此新法之所以妙也。仲吕之率，亦不必以应钟迭求而后得也。应钟之率自乘而倍之，平方开之，即仲吕之率矣。
用横黍百分律者，黄钟长十寸，如法乘除所得，亿约为寸。
用斜黍九十分律者，黄钟长九寸，长生短者，本律之率，折半为实，九亿乘之，短生长者，本律之率为实，九亿乘之，如法除之，所得亿约为寸。
用纵黍八十一分律者，黄钟长八寸一分。长生短者，八十一亿乘本律之率，折半退位为实；短生长者，不折半，但退位为实。如法除之，所得亿约为寸。
其二，黄钟生仲吕，仲吕生无射，无射生夹钟，夹钟生夷则，夷则生大吕，大吕生蕤賔，蕤賔生应钟，应钟生姑洗，姑洗生南吕，南吕生太蔟，太蔟生林钟，林钟生黄钟。长生短，五亿乘之；短生长，十亿乘之。皆以六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之。
按此隔八右旋相生也。六亿六千七百四十一万九千九百二十七者，林钟之率也。末位林钟生黄钟，故用林钟之率。
其三，黄钟生大吕，大吕生太蔟，太蔟生夹钟，夹钟生姑洗，姑洗生仲吕，仲吕生蕤賔，蕤賔生林钟，林钟生夷则，夷则生南吕，南吕生无射，无射生应钟，应钟生黄钟半律。此系长生短，皆以五亿乘之，皆以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之。
按此相连，左旋相生也。五亿二千九百七十三万一千五百四十七者，应钟之率也。末位应钟生黄钟半律，故用应钟之率。
其四，黄钟半律生应钟，应钟生无射，无射生南吕，南吕生夷则，夷则生林钟，林钟生防賔，蕤賔生仲吕，仲吕生姑洗，姑洗生夹钟，夹钟生太蔟，太蔟生大吕，大吕生黄钟。此系短生，长皆以十亿乘之，皆以九亿四千三百八十七万四千二百一十二除之。
按此相连，右旋相生也。九亿四千三百八十七万四千三百一十二者，大吕之率也。末位大吕生黄钟，故用其率。
已上四法，反覆循环，相生可见，十二律有一气连贯之妙。四法以第一法为要，此五声宫、徴、商、羽、角之
译仲吕 749153558【44546987】2500230【14867】
蕤宾 707106781【42046757】2359903【14032】
林钟 667419927【39686854】2227451【13245】
夷则 629960524【37459403】2102426【12502】
南吕 594603557【35356967】1984434【11789】
无射 561231024【33372533】1873056【11137】
应钟 529731547【31499477】1767930【10512】
半黄钟 5【29731547】
凡是这些数值前后相互比较，必定是逐渐产生差异。比如八线表的度数均匀，而各条线各自有不同的差率，这就是真数律逐渐缩短的道理。也是这样，用应钟的比率作为除数去除被除数，结果相同。通过比较它们前后相差的数值，一次比较、二次比较、三次比较，都能逐渐看出差异。新法得出的数值是真实数值，旧法通过三分损益法得出的数值，有时多出有时少出，不符合逐渐变化的规律【从黄钟到仲吕，律的分值多，吕的分值少；从蕤宾到应钟，律的分值少，吕的分值多】
各种律相生
朱载堉说：“新法不拘泥于隔八相生的规则，相生的方法有四种，有的向左旋转，有的向右旋转，都是循环没有终点的。以此来证明三分损益法只去不回的错误。第一种：黄钟生出林钟，林钟生出太簇，太簇生出南吕，南吕生出姑洗，姑洗生出应钟，应钟生出蕤宾，蕤宾生出大吕，大吕生出夷则，夷则生出夹钟，夹钟生出无射，无射生出仲吕，仲吕生出黄钟。长律生短律，乘以五亿；短律生长律，乘以十亿；都用七亿四千九百一十五万三千五百三十八去除。”
按：这是隔八左旋相生的方法。七亿四千九百一十五万三千五百三十八，是仲吕的比率。仲吕再次生出黄钟，所以用它的比率去除被除数，自然就能循环了。旧法三分损一益一，也是用五或十乘以本律，然后用七十五作为除数去除。七十五，就是七亿五千万。被除数小除数大，所以不能再次生出黄钟。又如晋宋书计算《淮南子》的方法，用七百四十九作为除数。七百四十九，就是七亿四千九百万。除数又稍微小了一些，所以也不能循环。这就是新法精妙之处。仲吕的比率，也不必通过应钟反复推算才能得到。应钟的比率自乘后加倍，再开平方，就是仲吕的比率了。
使用横黍百分律的，黄钟长十寸，按照上述方法乘除所得，将亿约化为寸。
使用斜黍九十分律的，黄钟长九寸，长律生短律时，本律的比率折半作为被除数，乘以九亿；短律生长律时，本律的比率作为被除数，乘以九亿，按照上述方法去除，将所得的亿约化为寸。
使用纵黍八十一分律的，黄钟长八寸一分。长律生短律时，八十一亿乘以本律的比率，折半并退位作为被除数；短律生长律时，不折半，只退位作为被除数。按照上述方法去除，将所得的亿约化为寸。
第二种，黄钟生出仲吕，仲吕生出无射，无射生出夹钟，夹钟生出夷则，夷则生出大吕，大吕生出蕤宾，蕤宾生出应钟，应钟生出姑洗，姑洗生出南吕，南吕生出太簇，太簇生出林钟，林钟生出黄钟。长律生短律，乘以五亿；短律生长律，乘以十亿。都用六亿六千七百四十一万九千九百二十七去除。
按：这是隔八右旋相生的方法。六亿六千七百四十一万九千九百二十七，是林钟的比率。最后一位林钟生出黄钟，所以用林钟的比率。
第三种，黄钟生出大吕，大吕生出太簇，太簇生出夹钟，夹钟生出姑洗，姑洗生出仲吕，仲吕生出蕤宾，蕤宾生出林钟，林钟生出夷则，夷则生出南吕，南吕生出无射，无射生出应钟，应钟生出黄钟半律。这属于长律生短律，都乘以五亿，都用五亿二千九百七十三万一千五百四十七去除。
按：这是相连左旋相生的方法。五亿二千九百七十三万一千五百四十七，是应钟的比率。最后一位应钟生出黄钟半律，所以用应钟的比率。
第四种，黄钟半律生出应钟，应钟生出无射，无射生出南吕，南吕生出夷则，夷则生出林钟，林钟生出蕤宾，蕤宾生出仲吕，仲吕生出姑洗，姑洗生出夹钟，夹钟生出太簇，太簇生出大吕，大吕生出黄钟。这属于短律生长律，都乘以十亿，都用九亿四千三百八十七万四千二百一十二去除。
按：这是相连右旋相生的方法。九亿四千三百八十七万四千三百一十二，是大吕的比率。最后一位大吕生出黄钟，所以用它的比率。
以上四种方法，反复循环，相生关系可见，十二律有一种一气贯通的精妙。四种方法以第一种为关键，这是五声宫、徵、商、羽、角的
又按隔八相生，诸家之説不同。有以阳律下生，隂吕上生，大吕、夹钟、仲吕用倍数者，前汉志之法也。蔡氏从之。有以黄钟至仲吕为阳，皆下生；蕤賔至应钟为隂，皆上生者，淮南子、郑康成之法也。朱子从之。吕不韦之法则：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、防賔七律，皆用半而上生；林钟、夷则、南吕、无射、应钟五律，皆用全而下生。其説与诸家大异。盖诸家谓黄钟下生林钟者，用全律；吕氏谓黄钟上生林钟者，用半律。吕氏之説，即管子宫主生徴百有八之理也。论声律之体，固如诸家之説；声律之用，当主管吕之説，只论长短，不论隂阳。载堉亦尝称引管子之言矣，亦谓长律用半，短律用全矣。载堉又引朱子语，有大隂阳、小隂阳之説，谓此论精妙，非蔡氏所及。究之上下相生，别有妙理，徒以隂阳言者，尚未尽其妙也。今不録。
律吕阐微卷二
钦定四库全书
律吕阐防卷三
婺源 江永 撰
律度
既得各律之率，即可得各律之长。律冇倍，有正，有半。凡三十六律，用横黍尺百分者，纪其尺寸分厘毫丝忽防纎，以为后算周径幂积张本。纎以下略之。
倍律通长
黄钟二尺
大吕一尺八寸八分七厘七毫四丝八忽六防二纎，太蔟一尺七寸八分一厘七毫九丝七忽四防三纎，夹钟一尺六寸八分一厘七毫九丝二忽八防三纎，姑洗一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纎。
仲吕一尺四寸九分八厘三毫，○七忽，○七纎。
蕤賔一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五防六纎，林钟一尺三寸三分四厘八毫三丝九忽八防五纎，夷则一尺二寸五分九厘九毫二丝一忽○四纎，南吕一尺一寸八分九厘二毫○七忽一防一纎，无射一尺一寸二分二厘四毫六丝二忽○四纎，应钟一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎。
已上诸倍律，如欲以次求之，则以本律通长为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得次律。
正律通长
黄钟一尺
大吕九寸四分三厘八毫七丝四忽三防一纎。
太蔟，八寸九分，○八毫九丝八忽七防一纎。
夹钟，八寸四分，○八毫九丝六忽四防一纎。
姑洗七寸九分三厘七毫，○○五防二纎。
仲吕，七寸四分九厘一毫五丝三忽五防三纎。
蕤賔七寸，○七厘一毫，○六忽七防八纎。
林钟六寸六分七厘四毫一丝九忽九防二纎。
夷则六寸二分九厘九毫六丝【○】五防二纎。
南吕五寸九分四厘六毫，○三忽五防五纎。
无射，五寸六分一厘二毫三丝一忽○二纎。
应钟五寸二分九厘七毫三丝一忽五防四纎。
已上诸正律，如欲以次求之，则以本律通长为实，以十亿乗之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得次律。
半律通长
黄钟五寸
大吕，四寸七分一厘九毫三丝七忽一防五纎。
太蔟，四寸四分五厘四毫四丝九忽三防五纎。
夹钟四寸二分，○四毫四丝八忽二防，○
姑洗三寸九分六厘八毫五丝二防六纎。
仲吕，三寸七分四厘五毫七丝六忽七防六纎。
蕤賔三寸五分三厘五毫五丝三忽三防九纎。
林钟三寸三分三厘七毫，○九忽九防六纎。
夷则，三寸一分四厘九毫八丝○二防六纎。
南吕二寸九分七厘三毫，○一忽七防七纎。
无射，二寸八分，○六毫，一丝，五忽，五防，一纎。
应钟二寸六分四厘八毫六丝五忽七防七纎。
已上诸半律，如欲以次求之，则以本律通长为实，以十亿乗之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得次律【应钟半律以后，再如法乘除，得二寸五分，为黄钟半律之半】
斜黍尺九寸，每寸十分，纪其尺寸分厘毫丝忽防纎，共二十四律【载堉书止载十二正律，今详倍律蕤賔以后，半律仲吕以前，旋宫皆用之，故共二十四律】
倍律长
蕤賔一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二防。
林钟一尺二寸○一厘三毫五丝五忽八防六纎，夷则一尺一寸三分三厘九毫二丝八忽九防四纎，南吕一尺○七分○二毫八丝
译又考察隔八相生的方法，各家的说法不同。有主张阳律向下相生，阴吕向上相生，大吕、夹钟、仲吕使用倍数的，这是《前汉书·律历志》的方法。蔡氏遵从它。有主张从黄钟到仲吕为阳律，都向下相生；从蕤宾到应钟为阴吕，都向上相生的，这是《淮南子》和郑康成的方法。朱子遵从它。吕不韦的方法则是：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾这七律，都使用半律而向上相生；林钟、夷则、南吕、无射、应钟这五律，都使用全律而向下相生。他的说法与其他各家大不相同。大概其他各家认为黄钟向下相生林钟，使用的是全律；吕氏认为黄钟向上相生林钟，使用的是半律。吕氏的说法，就是《管子》中宫主生徵一百零八的道理。论及声律的体制，固然如其他各家的说法；声律的运用，应当遵从《管子》吕氏的说法，只论长短，不论阴阳。载堉也曾称引《管子》的话，也说长律用半，短律用全。载堉又引用朱子的话，有大阴阳、小阴阳的说法，认为此论精妙，不是蔡氏所能达到的。究其根本，上下相生另有妙理，仅仅用阴阳来解释的，还没有完全穷尽其中的奥妙。现在不予收录。
《律吕阐微》卷二
钦定四库全书
《律吕阐微》卷三
婺源 江永 撰
律度
既然得到了各律的比率，就可以得到各律的长度。律有倍律，有正律，有半律。凡三十六律，使用横黍尺百分制，记录其尺寸分厘毫丝忽微纤，作为后来计算周长、直径、面积、体积的基础。纤以下略去不计。
倍律通长
黄钟二尺
大吕一尺八寸八分七厘七毫四丝八忽六微二纤，太簇一尺七寸八分一厘七毫九丝七忽四微三纤，夹钟一尺六寸八分一厘七毫九丝二忽八微三纤，姑洗一尺五寸八分七厘四毫零一忽零五纤。
仲吕一尺四寸九分八厘三毫，零七忽，零七纤。
蕤宾一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤，林钟一尺三寸三分四厘八毫三丝九忽八微五纤，夷则一尺二寸五分九厘九毫二丝一忽零四纤，南吕一尺一寸八分九厘二毫零七忽一微一纤，无射一尺一寸二分二厘四毫六丝二忽零四纤，应钟一尺零五分九厘四毫六丝三忽零九纤。
以上各倍律，如果想依次求得，就用本律的通长作为被除数，乘以十亿，再除以十亿零五千九百四十六万三千零九十四，得到次律。
正律通长
黄钟一尺
大吕九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纤。
太簇，八寸九分，零八毫九丝八忽七微一纤。
夹钟，八寸四分，零八毫九丝六忽四微一纤。
姑洗七寸九分三厘七毫，零零五微二纤。
仲吕，七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纤。
蕤宾七寸，零七厘一毫，零六忽七微八纤。
林钟六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纤。
夷则六寸二分九厘九毫六丝【零】五微二纤。
南吕五寸九分四厘六毫，零三忽五微五纤。
无射，五寸六分一厘二毫三丝一忽零二纤。
应钟五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纤。
以上各正律，如果想依次求得，就用本律的通长作为被除数，乘以十亿，再除以十亿零五千九百四十六万三千零九十四，得到次律。
半律通长
黄钟五寸
大吕，四寸七分一厘九毫三丝七忽一微五纤。
太簇，四寸四分五厘四毫四丝九忽三微五纤。
夹钟四寸二分，零四毫四丝八忽二微，零
姑洗三寸九分六厘八毫五丝二微六纤。
仲吕，三寸七分四厘五毫七丝六忽七微六纤。
蕤宾三寸五分三厘五毫五丝三忽三微九纤。
林钟三寸三分三厘七毫，零九忽九微六纤。
夷则，三寸一分四厘九毫八丝零二微六纤。
南吕二寸九分七厘三毫，零一忽七微七纤。
无射，二寸八分，零六毫，一丝，五忽，五微，一纤。
应钟二寸六分四厘八毫六丝五忽七微七纤。
以上各半律，如果想依次求得，就用本律的通长作为被除数，乘以十亿，再除以十亿零五千九百四十六万三千零九十四，得到次律【应钟半律以后，再按此法乘除，得到二寸五分，为黄钟半律的一半】
斜黍尺九寸，每寸十分，记录其尺寸分厘毫丝忽微纤，共二十四律【载堉的书只记载十二正律，现在详细列出倍律蕤宾以后，半律仲吕以前，旋宫都用，所以共二十四律】
倍律长
蕤宾一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二微。
林钟一尺二寸零一厘三毫五丝五忽八微六纤，夷则一尺一寸三分三厘九毫二丝八忽九微四纤，南吕一尺零七分零二毫八丝