律吕阐防卷三
已上诸倍律，如欲以次求之，则以本律为实，以五亿乘之，以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，得次律。
正律长【附旧律备考】
黄钟九寸【旧同】
大吕八寸四分九厘四毫八丝六忽八防八纎【旧八寸四分二厘八毫弱】
太蔟八寸○一厘八毫○八忽八防四纎【旧八寸】
夹钟七寸五分六厘八毫○六忽七防七纎【旧七寸四分九厘二毫弱】
姑洗七寸一分四厘三毫三丝，○四防七纎【旧七寸一分一厘一毫强】
仲吕六寸七分四厘二毫三丝八忽一防八纎【旧六寸六分五厘九毫强】
蕤賔六寸三分六厘三毫九丝六忽一防○【旧六寸三分二厘○毫有竒】
林钟六寸○○六毫七丝七忽九防三纎【旧六寸】
夷则五寸六分六厘九毫六丝四忽四防七纎【旧五寸六分一厘八毫强】
南吕五寸三分五厘一毫四丝三忽二防○【旧五寸三分三厘三毫强】
无射五寸○五厘一毫○七忽九防二纎【旧四寸九分九厘四毫强】应钟四寸七分六厘七毫五丝八忽三防九纎【旧四寸七分四厘○毫强】
已上诸正律，如欲以次求之，则以本律为实，以五亿乗之，以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，得次律。
半律长【附旧律备考】
黄钟四寸五分【旧同】
大吕四寸二分四厘七毫四丝三忽四防四纎【旧四寸二分一厘四毫强】
太蔟四寸○○九毫○四忽四防二纎【旧四寸】
夹钟三寸七分八厘四毫○三忽三防八纎【旧三寸七分四厘六毫弱】
姑洗三寸五分七厘一毫六丝五忽二防三纎【旧三寸五分五厘五毫强】
仲吕三寸三分七厘一毫一丝九忽○九纎【旧三寸三分二厘九毫强】
已上诸半律，如欲以次求之，则以本律为实，以五亿乗之，以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，得次律【诸倍律约十为九，正律折半，半律又折半，得之甚易，本不须乗除，仍载乘除法者，欲见句股乘除开方求出应钟之率，实为真率，诸律相求，皆以此为根，用全用半，无徃不通也】
纵黍八十一分律，依新法算【惟算正律】
黄钟八寸一分
大吕七寸六分四厘五毫三丝八忽一防九纎。
太蔟七寸二分一厘六毫二丝七忽九防六纎。
夹钟六寸八分一厘一毫二丝六忽○九纎。
姑洗六寸四分二厘八毫九丝七忽四防二纎。
仲吕六寸，○六厘八毫，一丝四忽，三防六纎。
蕤賔五寸七分二厘七毫五丝六忽四防九纎。
林钟五寸四分，○六毫一丝，○一防四纎。
夷则五寸一分，○二毫六丝八忽，○二纎。
南吕四寸八分一厘六毫二丝八忽八防八纎。
无射，四寸五分四厘五毫九丝七忽一防二纎。
应钟四寸二分九厘，○八丝二忽五防五纎。
诸律如欲以次求之，置本律之率，以八十一亿乗之，折半退位为实，以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，得次律。
縦黍八十一分作九寸，律依新法算。
例曰：此法，每寸九分，每分九厘，每厘九毫，每毫九丝，每丝九忽，每忽九防，每防九纎，皆以九为法，故与十不同。
黄钟九寸
大吕八寸四分四厘，○六丝七忽四防五纎。
太蔟八寸，○一厘四毫一丝六忽，○八纎。
夹钟七寸五分一厘，○一丝，○七防四纎。
姑洗七寸一分二厘五毫四丝二忽。
仲吕，六寸六分六厘一毫一丝六忽八防一纎。
蕤賔六寸三分二厘四毫二丝八忽四防七纎。
林钟六寸，○○四毫，八丝，四忽，二防，七纎。
夷则五寸六分，○二毫一丝四忽七防五纎。
南吕五寸三分一厘四毫一丝六忽六防三纎。
无射，五寸○四厘，一毫，二丝，一忽，一防，五纎。
应钟四寸六分八厘一毫五丝一忽，○五纎。
黄钟半律四寸四分四厘四毫四丝四忽四防四纎。朱载堉曰：「约十为九，主意盖为三分损益而设，使归除无不尽数耳。夫律吕之理，循环无端，而杪忽之数归除不尽，此自然之理也。因其天生自然，不须人力穿凿，以此算律，何善如之！歴代算律只欲杪忽除之有尽，遂致律吕往而不返，此乃颠倒之见，非自然之理也。是以新
译上述各倍律，如果依次推算，就把当前律的长度作为被除数，乘以五亿，再除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，就得到下一个律的长度。
正律长度【附旧律数据供参考】
黄钟九寸【旧律相同】
大吕八寸四分九厘四毫八丝六忽八防八纎【旧律为八寸四分二厘八毫弱】
太蔟八寸○一厘八毫○八忽八防四纎【旧律为八寸】
夹钟七寸五分六厘八毫○六忽七防七纎【旧律为七寸四分九厘二毫弱】
姑洗七寸一分四厘三毫三丝，○四防七纎【旧律为七寸一分一厘一毫强】
仲吕六寸七分四厘二毫三丝八忽一防八纎【旧律为六寸六分五厘九毫强】
蕤賔六寸三分六厘三毫九丝六忽一防○【旧律为六寸三分二厘○毫有竒】
林钟六寸○○六毫七丝七忽九防三纎【旧律为六寸】
夷则五寸六分六厘九毫六丝四忽四防七纎【旧律为五寸六分一厘八毫强】
南吕五寸三分五厘一毫四丝三忽二防○【旧律为五寸三分三厘三毫强】
无射五寸○五厘一毫○七忽九防二纎【旧律为四寸九分九厘四毫强】应钟四寸七分六厘七毫五丝八忽三防九纎【旧律为四寸七分四厘○毫强】
上述各正律，如果依次推算，就把当前律的长度作为被除数，乘以五亿，再除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，就得到下一个律的长度。
半律长度【附旧律数据供参考】
黄钟四寸五分【旧律相同】
大吕四寸二分四厘七毫四丝三忽四防四纎【旧律为四寸二分一厘四毫强】
太蔟四寸○○九毫○四忽四防二纎【旧律为四寸】
夹钟三寸七分八厘四毫○三忽三防八纎【旧律为三寸七分四厘六毫弱】
姑洗三寸五分七厘一毫六丝五忽二防三纎【旧律为三寸五分五厘五毫强】
仲吕三寸三分七厘一毫一丝九忽○九纎【旧律为三寸三分二厘九毫强】
上述各半律，如果依次推算，就把当前律的长度作为被除数，乘以五亿，再除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，就得到下一个律的长度【各倍律大约按十取九的比例，正律减半，半律再减半，计算起来非常容易，本来不需要乘除运算，这里仍然列出乘除法，是为了展示通过勾股乘除开方求出应钟的比率，这才是真正的比率，各律相互推算，都以此为基础，无论是用全律还是半律，没有行不通的】
纵黍八十一分律，依新法计算【只计算正律】
黄钟八寸一分
大吕七寸六分四厘五毫三丝八忽一防九纎。
太蔟七寸二分一厘六毫二丝七忽九防六纎。
夹钟六寸八分一厘一毫二丝六忽○九纎。
姑洗六寸四分二厘八毫九丝七忽四防二纎。
仲吕六寸，○六厘八毫，一丝四忽，三防六纎。
蕤賔五寸七分二厘七毫五丝六忽四防九纎。
林钟五寸四分，○六毫一丝，○一防四纎。
夷则五寸一分，○二毫六丝八忽，○二纎。
南吕四寸八分一厘六毫二丝八忽八防八纎。
无射，四寸五分四厘五毫九丝七忽一防二纎。
应钟四寸二分九厘，○八丝二忽五防五纎。
各律如果依次推算，取当前律的比率，乘以八十一亿，减半并退一位作为被除数，再除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，就得到下一个律的长度。
纵黍八十一分作九寸，律依新法计算。
举例说：这种方法，每寸九分，每分九厘，每厘九毫，每毫九丝，每丝九忽，每忽九防，每防九纎，都以九为进位基数，所以与十进制不同。
黄钟九寸
大吕八寸四分四厘，○六丝七忽四防五纎。
太蔟八寸，○一厘四毫一丝六忽，○八纎。
夹钟七寸五分一厘，○一丝，○七防四纎。
姑洗七寸一分二厘五毫四丝二忽。
仲吕，六寸六分六厘一毫一丝六忽八防一纎。
蕤賔六寸三分二厘四毫二丝八忽四防七纎。
林钟六寸，○○四毫，八丝，四忽，二防，七纎。
夷则五寸六分，○二毫一丝四忽七防五纎。
南吕五寸三分一厘四毫一丝六忽六防三纎。
无射，五寸○四厘，一毫，二丝，一忽，一防，五纎。
应钟四寸六分八厘一毫五丝一忽，○五纎。
黄钟半律四寸四分四厘四毫四丝四忽四防四纎。朱载堉说：“大约按十取九的比例，主要意图是为三分损益法设计的，使得除法没有余数。律吕的道理，循环无尽，而细微的数值除法不尽，这是自然的道理。因为这是天生自然的，不需要人力强行凑整，用这种方法计算律吕，还有什么比这更好的呢！历代计算律吕只想要细微的数值除法有尽，导致律吕只去不回，这是颠倒的看法，不符合自然的道理。因此新
法不用三分损益，不拘隔八相生，然而相生有序，循环无端，十二律吕一以贯之，此盖二千余年之所未有，自我圣朝始也。非学者所宜尽心焉者乎？」
译律法不采用三分损益的方法，也不拘泥于隔八相生的规则，然而音律相生井然有序，循环往复没有尽头，十二律吕由一个根本原理贯穿始终，这大概是两千多年来未曾有过的，从我们圣朝才开始。这难道不是学者们应当尽心钻研的吗？
按古人算律，亦非因杪忽欲除尽，遂致律吕往而不返也。其根源，自宫声八十一，徴声五十四，商声七十二，羽声四十八，角声六十四，俱是三分损益之数。意其数为天生自然，遂以此定律吕之长短。不知其数仍有毫厘之差也。天地之真数，潜隠既乆，有时而泄，故载堉能思得之耳。
律体【上】
蔡氏《律吕新书》曰：十二律围径，自先汉以前，▯记竝无明文。惟班志云：黄钟八百一十分，繇此之义起十二律之周径。然其説乃是以律之长自乗，而因之以十，盖配合为説耳，未可以为据也。惟《审度章》云：一黍之广，度之九十分黄钟之长，一为一分。《嘉量章》则以千二百黍实其龠；《谨衡权章》则以千二百黍为十二铢。则是累九十黍以为长，积千二百黍以为广，可见也。夫长九十黍，容千二百黍，则空围当有九方分，乃是围十分三厘八毫，径三分四厘六毫也。每一分容十三黍又三分黍之一，以九十因之，则一千二百也。盖十其广之分以为长，十一其长之分以为广，自然之数也。又曰：夫律以空围之同，故其长短之异，可以定声之高下。孟康不察，乃谓凡律围径不同，各以围乘长而得此数者，盖未之考也【孟康曰：林钟长六寸，围六分，以围乘长得积三百六十分；太蔟长八寸，围八分，为积六百四十分】
朱载堉曰：旧律围径皆同，而新律各不同。《礼记注防》曰：「凡律空围九分。」《月令章句》曰：「围数无増减。」及《隋志》安丰王等説，皆不足取也。故着此论。论曰：琴瑟不独徽柱之有逺近，而▯亦有巨细焉。笙竽不独管孔之有高低，而簧亦有厚薄焉。▯之巨细若一，但以徽柱逺近别之，不可也。簧之厚薄若一，但以管孔高低别之，不可也。譬诸律管，虽有修短之不齐，亦有广狭之不等。先儒以为长短虽异，围径皆同，此未达之论也。今若不信，以竹或笔管制黄钟之律，一様二枚，截其一枚分作两段，全律半律各令一人吹之，声必不同，合矣。此昭然可騐也。又制大吕之律，一様二枚，周径与黄钟同，截其一枚分作两段，全律半律各令一人吹之，则亦不相合，而大吕半律乃与黄钟全律相合，略差不逺。是知所谓半律者，皆下全律一律矣。大抵管长则气隘，隘则虽长而反清；管短则气寛，寛则虽短而反浊。此自然之理，先儒未达也。要之，长短广狭皆有一定之理，一定之数在焉。置黄钟倍律九而一以为外周，用▯求句股术，得其内周。又置倍律四十而一以为内径，用句股求▯术，得其外径。盖律管两端，形如环田，有内外周径焉。外周内容之方，即内径也；内周外射之斜，即外径也。方圆相容，天地之象，理数之妙者也。黄钟通长八十一分者，内周九分，是为八十一中之九，即约分法九分中之一也。若约黄钟八十一分作为九寸，则其内周当云一寸。旧以九十分为黄钟，而云空围九分者，误也。况又穿凿指为面羃九方分，则误益甚矣。按载堉此论，亦二千年来所未有者也。《汉志》之説，孟康之释，推其误有数端：黄钟约十为九，内周当云一寸，而云围九分，其误一；围九分则径不及三分，径三分则围不啻九分，而云径三分围九分，乃径一围三之谬法，其误二；诸律以长乗者，乃是乗黄钟之面幂，退位以为本律之面幂，非乘其围分也。而云以围乗长，其误三。既乗得本律之面幂，再以本律之长乘之，乃得本律之积；而云以围乗长即得积，其误四。牵于九六八之数，附防天地人，其误五。刘歆、班固、孟康虽有此数误，然犹曰繇此之义起十二律之周径，则十二律各有周径，其説犹近是也。迨汉末诸儒郑氏、蔡氏之説出，乃断以为凡律围九分，无増减，此説遂牢不可破矣。夫使围径皆同，但以长短别高下，则弹琴者惟按徽取声，而七▯之粗细同，散声同，可乎？不可乎？凡圆中容积与方中容积同理，试使有方田百亩，其方折半，则中容必是二十五亩，断非五十亩。故黄钟半律必杀小其围径，截为两段，则与蕤賔同其容积，非半黄钟矣
译根据古人的计算法则，并非因为想要彻底消除微小的误差，才导致律吕的推演无法回归原点。其根源在于，宫声八十一、徵声五十四、商声七十二、羽声四十八、角声六十四，这些都是三分损益法得出的数值。古人认为这些数字是天生自然的，于是据此确定律吕的长短。却不知道这些数字仍有毫厘之差。天地真正的数值，潜藏隐匿已久，有时才会显露出来，所以朱载堉能够思考并得出这个结论。
律体【上】
蔡氏《律吕新书》说：十二律的圆周和直径，自西汉以前，记载都没有明确的文字。只有《汉书·律历志》说：黄钟八百一十分，由此义理推演出十二律的圆周和直径。然而这种说法是将律管的长度自乘，再乘以十，不过是凑合而成的说法，不能作为依据。只有《审度章》说：一黍的宽度，度量九十分就是黄钟的长度，一为一分。《嘉量章》则用一千二百黍填满龠；《谨衡权章》则用一千二百黍作为十二铢。由此可以看出，累积九十黍作为长度，堆积一千二百黍作为宽度，是显而易见的。长度九十黍，容纳一千二百黍，那么空管的圆周应当有九平方分，也就是圆周十分三厘八毫，直径三分四厘六毫。每一分容纳十三黍又三分之一黍，用九十去乘，就是一千二百。大概是用宽度的十分作为长度，用长度的十一分之一作为宽度，这是自然的数理。又说：律管因为空管圆周相同，所以长短的差异，可以确定声音的高低。孟康没有考察清楚，竟然说所有律管的圆周和直径都不同，各自用圆周乘以长度而得到这个数值，这是没有考证的缘故【孟康说：林钟长六寸，圆周六分，用圆周乘以长度得到积数三百六十分；太蔟长八寸，圆周八分，积数六百四十分】。
朱载堉说：旧律的圆周和直径都相同，而新律各不相同。《礼记注疏》说：“凡是律管空管圆周九分。”《月令章句》说：“圆周数值没有增减。”以及《隋书·律历志》中安丰王等人的说法，都不值得采纳。所以著此论。论说：琴瑟不仅徽位和琴柱有远近之分，琴弦也有粗细之别。笙竽不仅管孔有高低之分，簧片也有厚薄之别。如果琴弦粗细完全一样，只凭徽位和琴柱的远近来区分，是不行的。如果簧片厚薄完全一样，只凭管孔的高低来区分，也是不行的。拿律管作比喻，虽然长度不齐，也有宽窄不等。先儒认为长短虽然不同，圆周和直径都相同，这是没有通达的言论。现在如果不信，用竹子或笔管制成黄钟律管，同样规格两枚，将其中一枚截成两段，全律和半律各让一人吹奏，声音一定不同，无法和谐。这是显而易见可以验证的。又制作大吕律管，同样规格两枚，圆周和直径与黄钟相同，将其中一枚截成两段，全律和半律各让一人吹奏，那么也不相合，而大吕的半律却与黄钟的全律相合，略微相差无几。由此可知，所谓的半律，都是比全律低一律了。大概管长则气流狭窄，狭窄则虽然长反而声音清越；管短则气流宽畅，宽畅则虽然短反而声音浑浊。这是自然的道理，先儒没有通达。总之，长短宽窄都有一定的道理，一定的数值存在其中。将黄钟倍律除以九作为外圆周，用圆求勾股术，得到内圆周。又将倍律除以四十作为内直径，用勾股求圆术，得到外直径。大概律管两端，形状像环形田地，有内外圆周和直径。外圆周内部容纳的方形，就是内直径；内圆周外部射出的斜线，就是外直径。方圆相互包容，是天地的象征，是数理的精妙之处。黄钟总长八十一分，内圆周九分，这是八十一中的九，即约分法中九分之一。如果将黄钟八十一分约简为九寸，那么其内圆周应当说是一寸。旧说以九十分为黄钟，而说空管圆周九分，是错误的。况且又穿凿附会指为面积九平方分，错误就更严重了。考察朱载堉这一论述，也是两千年来所没有的。《汉书·律历志》的说法，孟康的解释，推究其错误有几点：黄钟约十为九，内圆周应当说是一寸，却说圆周九分，这是错误一；圆周九分则直径不到三分，直径三分则圆周不止九分，却说直径三分圆周九分，这是直径一圆周三的谬误法则，这是错误二；各律用长度相乘，实际上是乘以黄钟的面积，退位作为本律的面积，不是乘以其圆周分数。却说用圆周乘以长度，这是错误三；既然乘得本律的面积，再用本律的长度乘以面积，才得到本律的体积；却说用圆周乘以长度就得到体积，这是错误四；拘泥于九六八的数字，附会天地人，这是错误五。刘歆、班固、孟康虽然有这几点错误，然而还说由此义理推演出十二律的圆周和直径，那么十二律各有圆周和直径，他们的说法还接近正确。等到汉末诸儒郑玄、蔡邕的说法出现，才断言所有律管圆周九分，没有增减，这种说法于是牢固不可破。假如圆周和直径都相同，只凭长短区分高低，那么弹琴的人只按徽位取声，而七根琴弦的粗细相同，散音相同，可以吗？不可以吗？凡是圆形中的容积与方形中的容积同理，试假设有方形田地百亩，其方形折半，那么其中容纳必定是二十五亩，绝不是五十亩。所以黄钟半律必定缩小其圆周和直径，截为两段，则与蕤宾相同其容积，不是黄钟的一半了。
。此理若不抉破，后之造律制乐者，虽使制得黄钟真律，大吕以下皆非其律，况未必真得黄钟乎？人知黄钟中声之难求，不知大吕以下诸
译这个道理如果不彻底阐明，后来制定律吕、制作乐器的人，即使能够制定出黄钟的真律，大吕以下的各律也都不是正确的律，何况未必真的能得到黄钟呢？人们知道黄钟中声难以求得，却不知道大吕以下的各
律正未易制，黄钟大吕，惟人所命。若旧説不破，何以得真黄钟、真大吕哉？惟我
圣祖仁皇帝诲谕臣工之学律者，特▯线与线体与体之比例不同一条，正所以破前人围径皆同之谬説也。其言加减八倍而后应者，借立方体积相去八倍言之，若律管容积加减四倍即应也。载堉云：“长短广狭皆有一定之理，一定之数。”此语诚然，先儒算学不精，格物未至，是以前志之犹近是者不能▯明，后人之立谬説者遂为蔽惑耳。
载堉言：置黄钟倍律九而一，以为外周，用▯求句股术，得其内周。此算术仍未精宻，后详考订正之。算律须求真数，不可有毫厘之差也。
新书言空围当有九方分，非也。昔人明言，周言围不得以周围为方幂，如言方幂，则黄钟不得有九方分。新法算黄钟面幂九分八厘一毫七丝有竒者，横黍尺之分厘毫丝也。以斜黍九十分者约之，只得八分八厘三毫五丝有竒耳。其云围十分三厘八毫，径三分四厘六毫者，围三径一之谬法也。如围十分三厘八毫，则径只有三分三厘二毫；如径三分四厘六毫，则围有十一分零七毫有竒矣。又以径自乘为方积，四分取三为圆积，以求合于九方分，此又圆田求积之粗率，不可用之以算律管也。夫径三分四厘六毫者，安定胡瑗之律也。因律太短，不能容千二百黍，故扩其围径以就之。当时用上党羊头山黍，以三等筛筛之而取其中，则黍亦可迁就矣。要之，黍非真黍，律非真律，而算亦非真算。蔡氏犹仍其误，岂古人有宻率载在史志者，竟未尝深究耶？
周径幂积密率
按平圆周径幂积可互相求，旧云周三径一，又以方积四分之三为圆积，皆疎舛之率，不可承用者也。欲算各律之外周内周外径内径及空围内之面幂实积，须求最宻之率，方凖。古之算家，祖冲之为最，其割圆之法，用缀术渐次求之，得其周径之率。攷之隋书律志，祖氏原有三率：一云径七周二十二者，约率也；一云径一百一十三周三百五十五者，密率也。然约率则强，宻率犹稍弱，仍有最宻之率，则径一周三一四一五九二六五是也。葢三一四一五九二七为赢限，三一四一五九二六为朒限，正数在赢朒二限之间，末位约之为五，三一四一五九二六五共得九位，亦可以为算周径之用矣。周径相乘得七八五三九八一六二五为平幂，或以半径乘半周，亦得平幂，此最宻之率也。试借西人八线表验之。
西人分周天为三百六十度，一度又析为六十分，是分大圆为二万一千六百边也。八线各有相当正▯与余割相乗与半径全数自乘等积。查表一分之余割线三四三七七四六八二，因此求得一分之正▯二九○八八八二○四五○一。以二万一千六百折半为一万○八百，乗之得三一四一五九二六○八六一八。正▯是直线，圆周是曲线，几与之等，而曲者必稍赢，是以比圆周稍朒焉。故径一，则周三一四一五九二六五，为最宻之率，宜用之。
朱载堉宻率法云：圆周四十，容方九，句股求▯数可知，遂以此为求径率，求周，求积，亦如之。谓圆周四十寸者，内容方九寸，九寸各自乘，并得一百六十二寸，开方得斜▯为圆径也。今按此法犹未宻，正法圆周三一四一五九二六五，内容方七○七一○六七八一。葢圆周四十，则容方不啻九；若容方九，则圆周不及四十。载堉以此率求诸律周径幂积，惟径无差，若周幂积四位以后稍有嬴余，不得为真数矣。数不真确，不可载之于书，故今依祖氏法推算。
先求三十六律通长真数
载堉云：「黄钟倍律通长二尺，容黍二合，称重二两。律度量衡，无非倍者，此自然全数也。故算法皆从倍律起。若夫正律，于度虽足，于量于衡则皆不足，只容半合，只重半两。比诸倍律，似非自然全数，故算法不从正律起，亦不从半律起。倍律、正律、半律，各有十二，共为三十六律。」
按诸律通长已见前篇，其以次迭求之法已见第二卷，兹不再述。
次求三十六律外径内径
按载堉之法，先求周，今易之，先求径，六阳律之外，内径
译律制的标准难以制定，黄钟、大吕的定准，全凭人的裁定。如果旧有的说法不被破除，怎么能得到真正的黄钟、真正的大吕呢？只有我们圣祖仁皇帝告诫臣工中研究律学的人，特别指出“线与线、体与体的比例不同”这一条，正是为了破除前人认为圆周与直径比例相同的谬误。他说加减八倍后才能相应，这是借用立方体积相差八倍来说明，如果律管的容积加减四倍就能相应了。朱载堉说：“长短广狭都有一定的道理，有一定的数值。”这话确实如此，以前的儒者算学不精，对事物的探究不够深入，所以以前记载中接近正确的地方不能阐明，后来的人树立谬误的说法，于是就被蒙蔽迷惑了。
朱载堉说：设置黄钟倍律的长度为九而取其一，作为外周，用勾股术求出内周。这种算法仍然不够精密，后面详细考证订正。计算律管必须求得真实数值，不能有毫厘之差。
新书说空围应当有九平方分，这是不对的。前人明确说过，周说的是围，不能把圆周当作平方面积，如果说平方面积，那么黄钟就不能有九平方分。新法计算黄钟的横截面面积为九分八厘一毫七丝有余，这是横黍尺的分厘毫丝。用斜黍九十分来折算，只能得到八分八厘三毫五丝有余。它说围十分三厘八毫，径三分四厘六毫，这是圆周与直径比例为三比一的谬法。如果围十分三厘八毫，那么直径只有三分三厘二毫；如果直径三分四厘六毫，那么圆周有十一分零七毫有余。又用直径自乘得到方形面积，取四分之三作为圆形面积，以求符合九平方分，这又是圆形田地求积的粗略方法，不能用来计算律管。直径三分四厘六毫，是安定胡瑗的律制。因为律管太短，不能容纳一千二百粒黍，所以扩大其围径来凑合。当时用上党羊头山的黍，用三等筛子筛选取其中等的，那么黍也可以凑合了。总之，黍不是真正的黍，律不是真正的律，算法也不是真正的算法。蔡氏仍然沿袭他的错误，难道古人有精密的比率记载在史志中，竟然不曾深入探究吗？
圆周、直径、面积、体积的精密比率
按平圆的圆周、直径、面积、体积可以互相推算，旧说圆周与直径比例为三比一，又用方形面积的四分之三作为圆形面积，都是疏漏错误的比率，不能沿用的。想要计算各律的外周、内周、外径、内径以及空围内的横截面面积和实际体积，必须求得最精密的比率，才能准确。古代的数学家中，祖冲之最为杰出，他的割圆术，用缀术逐步推算，得到了圆周与直径的比率。考查《隋书·律历志》，祖氏原有三个比率：一是直径七圆周二十二，这是约率；一是直径一百一十三圆周三百五十五，这是密率。然而约率则偏大，密率还稍偏小，仍有最精密的比率，即直径一圆周三一四一五九二六五是也。大概三一四一五九二七为盈限，三一四一五九二六为朒限，正数在盈朒二限之间，末位约之为五，三一四一五九二六五共得九位，也可以作为计算圆周直径的用途了。圆周与直径相乘得到七八五三九八一六二五为平面积，或者用半径乘半周，也得到平面积，这是最精密的比率。试着借用西方人的八线表来验证。
西方人把圆周分为三百六十度，一度又分为六十分，是把大圆分为二万一千六百边。八线各有相应的正弦与余弦相乘与半径全数自乘等积。查表一分的余弦线三四三七七四六八二，因此求得一分的正弦二九○八八八二○四五○一。用二万一千六百折半为一万○八百，乘以它得到三一四一五九二六○八六一八。正弦是直线，圆周是曲线，几乎与之相等，而曲线必然稍大，所以比圆周稍小。因此直径一，则圆周三一四一五九二六五，为最精密的比率，应当使用。
朱载堉密率法说：圆周四十，容纳方形九，勾股求正弦数可知，于是以此作为求直径的比率，求圆周，求面积，也是如此。说圆周四十寸的，内部容纳方形九寸，九寸各自相乘，相加得到一百六十二寸，开方得到斜边为圆的直径。现在按此法还不够精密，正确的方法圆周三一四一五九二六五，内部容纳方形七○七一○六七八一。大概圆周四十，则容纳方形不止九；如果容纳方形九，则圆周不到四十。朱载堉用这个比率求各律的圆周、直径、面积、体积，只有直径没有误差，如果圆周、面积、体积四位以后稍有盈余，就不能作为真实数值了。数值不真实准确，不能记载在书中，所以现在依据祖氏的方法推算。
先求三十六律通长的真实数值
朱载堉说：“黄钟倍律通长二尺，容纳黍二合，称重二两。律度量衡，无非加倍的，这是自然的全数。所以算法都从倍律开始。至于正律，在长度上虽然足够，在容量和重量上都不足，只容纳半合，只重半两。与倍律相比，似乎不是自然的全数，所以算法不从正律开始，也不从半律开始。倍律、正律、半律，各有十二，总共为三十六律。”
按各律的通长已在前篇见过，其依次递推的方法已在第二卷见过，这里不再叙述。
次求三十六律的外径内径
按朱载堉的方法，先求圆周，现在改变它，先求直径，六阳律之外，内径
蕤賔正律，通长退一位，即黄钟倍律，外径
林钟正律通长，退一位即太蔟倍律，外径。
夷则正律，通长退一位，即姑洗倍律，外径。
南吕正律，通长退一位，即蕤賔倍律，外径。
无射正律，通长退一位，即夷则倍律，外径。
应钟正律，通长退一位，即无射倍律，外径。
黄钟半律通长退一位，即黄钟倍律，内径正律，外径大吕半律通长退一位，即太蔟倍律，内径正律，外径太蔟半律通长退一位，即姑洗倍律，内径正律，外径夹钟半律通长退一位，即蕤賔倍律，内径正律，外径姑洗半律通长退一位，即夷则倍律，内径正律，外径仲吕半律通长退一位，即无射倍律，内径正律，外径蕤賔半律通长退一位，即黄钟正律，内径半律，外径林钟半律通长退一位，即太蔟正律，内径半律，外径夷则半律通长退一位，即姑洗正律，内径半律，外径南吕半律通长退一位，即蕤賔正律，内径半律，外径无射半律通长退一位，即夷则正律，内径半律，外径应钟半律通长退一位，即无射正律，内径半律，外径凡倍律内径折半，即半律内径
凡六隂吕以阳律之径分为实，以十亿乗之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，即得本吕之径。隂吕求阳律，亦仿此。十亿○二千九百三十万有竒之数者，应钟倍律外径五一四六五一一一八三二一七四六○进位倍数也。
次求三十六律外周内周
以本律之径，乗三一四一五九二六五，以十除之，得周。
如迭求之，以本律之周为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得次律之周。
倍律外周，折半即正律内周，半律外周。
倍律内周，正律外周，折半即半律内周。
次求三十六律面幂
以本律之周径相乘为实，以四归之；或以半周半径相乗皆得面幂。
如迭求之，以本律之面幂为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得次律之面幂。
倍律面幂折半，即正律之面幂；正律面幂折半，即半律之面幂。
置七八五三九八一六二五，以四除之，得倍律黄钟面幂。各以正律通长乘之，得各倍律之面幂。
置七八五三九八一六二五，以八除之，得正律黄钟面幂。各以倍律面幂折半，得各正律之面幂。
置七八五三九八一六二五，以一十六除之，得半律黄钟面幂。各以正律面幂折半，得各半律之面幂。
次求三十六律实积
各律以通长乘本律面幂，再以通长乘所得，即本律实积。
如欲以次求之，置本律实积为实，以十兆乗之，以十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十三万七千二百九十八除之，得次律实积。
倍律实积，四归之，得正律实积。正律实积，四归之，得半律实积。
黄钟倍律面幂进一位，即蕤賔倍律之实积；倍之，即黄钟倍律之实积。
太蔟倍律，面幂进一位，即林钟倍律之实积，倍之，即大吕倍律之实积。
姑洗倍律，面幂进一位，即夷则倍律之实积，倍之，即太蔟倍律之实积。
蕤賔倍律，面幂进一位，即南吕倍律之实积，倍之，即夹钟倍律之实积。
夷则倍律，面幂进一位，即无射倍律之实积，倍之，即姑洗倍律之实积。
无射倍律，面幂进一位，即应钟倍律之实积，倍之，即仲吕倍律之实积。
黄钟正律面幂，进一位，即黄钟正律之实积；半之，即蕤賔正律之实积。
太蔟正律面幂进一位，即大吕正律之实积；半之，即林钟正律之实积。
姑洗正律，面幂进一位，即太蔟正律之实积；半之，即夷则正律之实积。
蕤賔正律，面幂进一位，即夹钟正律之实积半之，即南吕正律之实积
夷则正律，面幂进一位，即姑洗正律之实积；半之，即无射正律之实积。
无射正律，面幂进一位，即仲吕正律之实积；半之，即应钟正律之实积。
已上诸律有相应处，可见一气贯通之妙。载堉未言，今推之如此，学者宜深玩之。
律管长短广狭，自然之理。数《河图》已显其象，象数篇详之。
律吕阐防卷三
<经部,乐类,律吕
译蕤宾正律，通长退一位，即为黄钟倍律，外径。
林钟正律通长，退一位即为太簇倍律，外径。
夷则正律，通长退一位，即为姑洗倍律，外径。
南吕正律，通长退一位，即为蕤宾倍律，外径。
无射正律，通长退一位，即为夷则倍律，外径。
应钟正律，通长退一位，即为无射倍律，外径。
黄钟半律通长退一位，即为黄钟倍律，内径为正律，外径为大吕；半律通长退一位，即为太簇倍律，内径为正律，外径为太簇；半律通长退一位，即为姑洗倍律，内径为正律，外径为夹钟；半律通长退一位，即为蕤宾倍律，内径为正律，外径为姑洗；半律通长退一位，即为夷则倍律，内径为正律，外径为仲吕；半律通长退一位，即为无射倍律，内径为正律，外径为蕤宾；半律通长退一位，即为黄钟正律，内径为半律，外径为林钟；半律通长退一位，即为太簇正律，内径为半律，外径为夷则；半律通长退一位，即为姑洗正律，内径为半律，外径为南吕；半律通长退一位，即为蕤宾正律，内径为半律，外径为无射；半律通长退一位，即为夷则正律，内径为半律，外径为应钟；半律通长退一位，即为无射正律，内径为半律，外径为应钟。所有倍律的内径减半，即为半律的内径。
所有六阴吕以阳律的径分为实数，用十亿乘它，用十亿零二千九百三十万零二千二百三十六去除它，就得到本吕的径。阴吕求阳律，也仿照此法。十亿零二千九百三十万有余的这个数，是应钟倍律外径五一四六五一一一八三二一七四六零的进位倍数。
其次求三十六律的外周和内周。
用本律的径，乘三一四一五九二六五，用十去除它，得到周长。
如果依次推求，用本律的周长为实数，用十亿乘它，用十亿零二千九百三十万零二千二百三十六去除它，得到次律的周长。
倍律的外周，减半即为正律的内周，也是半律的外周。
倍律的内周，正律的外周，减半即为半律的内周。
其次求三十六律的底面积。
用本律的周长和径相乘作为实数，用四去除它；或者用半周长和半径相乘，都能得到底面积。
如果依次推求，用本律的底面积为实数，用十亿乘它，用十亿零五千九百四十六万三千零九十四去除它，得到次律的底面积。
倍律的底面积减半，即为正律的底面积；正律的底面积减半，即为半律的底面积。
设七八五三九八一六二五，用四去除它，得到倍律黄钟的底面积。各自用正律通长乘它，得到各倍律的底面积。
设七八五三九八一六二五，用八去除它，得到正律黄钟的底面积。各自用倍律底面积减半，得到各正律的底面积。
设七八五三九八一六二五，用十六去除它，得到半律黄钟的底面积。各自用正律底面积减半，得到各半律的底面积。
其次求三十六律的体积。
各律用通长乘本律底面积，再用通长乘所得结果，即为本律的体积。
如果想依次推求，设本律体积为实数，用十兆乘它，用十一兆二千二百四十六万二千零四十八亿三千零九十三万七千二百九十八去除它，得到次律的体积。
倍律的体积，用四去除它，得到正律的体积。正律的体积，用四去除它，得到半律的体积。
黄钟倍律底面积进一位，即为蕤宾倍律的体积；加倍，即为黄钟倍律的体积。
太簇倍律，底面积进一位，即为林钟倍律的体积，加倍，即为大吕倍律的体积。
姑洗倍律，底面积进一位，即为夷则倍律的体积，加倍，即为太簇倍律的体积。
蕤宾倍律，底面积进一位，即为南吕倍律的体积，加倍，即为夹钟倍律的体积。
夷则倍律，底面积进一位，即为无射倍律的体积，加倍，即为姑洗倍律的体积。
无射倍律，底面积进一位，即为应钟倍律的体积，加倍，即为仲吕倍律的体积。
黄钟正律底面积，进一位，即为黄钟正律的体积；减半，即为蕤宾正律的体积。
太簇正律底面积进一位，即为大吕正律的体积；减半，即为林钟正律的体积。
姑洗正律，底面积进一位，即为太簇正律的体积；减半，即为夷则正律的体积。
蕤宾正律，底面积进一位，即为夹钟正律的体积；减半，即为南吕正律的体积。
夷则正律，底面积进一位，即为姑洗正律的体积；减半，即为无射正律的体积。
无射正律，底面积进一位，即为仲吕正律的体积；减半，即为应钟正律的体积。
以上各律有相互对应的地方，可见一气贯通的奥妙。蔡沈未曾言及，如今推演如此，学者应当深入玩味。
律管长短广狭，是自然之理。数《河图》已显现其象，象数篇详细论述了它。
律吕阐微卷三
<经部,乐类,律吕
阐微>
钦定四库全书
律吕阐防卷四
婺源江永撰
律体【下】
造律自▯毫以下，非目力所能察，然周径容积各有细数，不可不纪。其实载堉书有三十六律立成，惜其未考古人周径宻率，误用圆周四十容方九之率，是以算律管及周鬴皆有防强之数，不得其真。如黄钟正律内周实是一一一○七二○七二有竒，而算一一一一一一一一一不尽，幂积实是九八一七四七七○三有竒，而算九八二○九二五五一六四七九八二六七，诸律强数皆仿此，由其四十与九根数未▯也。今所列立成较精宻，后有量律新法，各律容积中式与否，皆可试验，尤可补载堉书所未逮云。
译《律吕阐微》
钦定四库全书
《律吕阐微》卷四
婺源江永撰
律体（下）
制作律管从毫厘以下，不是肉眼所能观察清楚的，然而圆周、直径、容积各自都有细微的数值，不可不记载。其实载堉的书中已有三十六律的速算表，可惜他没有考证古人的圆周与直径的精密比率，错误地使用了圆周四十、容方九的比率，因此计算律管以及周代鬴的容积时，都有勉强凑合的数值，不能得到真实的结果。例如黄钟正律的内部圆周实际是一一一○七二○七二有余，而计算结果是一一一一一一一一有余不尽；体积实际是九八一七四七七○三有余，而计算结果是九八二○九二五五一六四七九八二六七，其他各律的勉强凑合的数值都仿照这种情况，这是因为四十与九的根数没有归零的缘故。现在所列的速算表比较精密，后面有测量律管的新方法，各律的容积是否符合标准，都可以进行试验，尤其可以补充载堉书中未能达到的地方。