几何原本卷一之首
几何原本卷一之首
西洋利玛窦译界说三十六则凡造论，先当分别解说论中所用名目，故曰界说。凡厯法、地理、乐律、算章、技艺、工巧诸事，有度有数者，皆依頼十府中几何府属。凡论几何，先从一防始，自防引之为线，线展为靣，靣积为体，是名三度，第一界。
防者无分无长短广狭厚薄，如下图【凡图，十干为识，干尽用十二支，支尽用八卦，八音】
【甲】
第二界线有长无广试如一平靣，光照之，有光无光之间，不容一物，是线也。真平真圆相遇，其相遇处止有一防，行则止有一线。
线有直有曲第三界线之界是防【凡线有界者，两界必是防】
第四界直线止有两端，两端之间上下更无一防。两防之间，至径者，直线也。稍曲则绕而长矣。
直线之中防能遮两界凡量逺近皆用直线甲乙丙是直线，甲丁丙，甲戊丙，甲己丙皆是曲线。
第五界靣者止有长有广体所见为靣凡体之影极似于靣【无厚之极】想一线横行所留之迹，即成靣也。
第六界靣之界是线第七界平靣一靣平在界之内平靣中间线能遮两界平靣者诸方皆作直线试如一方靣，用一直绳施于角，绕靣运转，不碍于空，是平靣也。
若曲靣者则中间线不遮两界第八界平角者，两直线于平靣纵横相遇交接处。
凡言甲乙丙角皆指平角如上甲、乙、乙、丙二线平行，相遇不能作角。
如上甲乙、乙丙二线虽相遇，不作平角为是，曲线。所谓角，止是两线相遇，不以线之大小较论。
第九界直线相遇作角为直线角平地两直线相遇为直线角，本书中所论止是直线角，但作角有三等，今附着于此：一直线角，二曲线角，三杂线角。如下六图。
第十界直线垂于横直线之上，若两角等，必两成直角。而直线下垂者，谓之横线之垂线。量法常用两直角及垂线，垂线加于横线之上，必不作锐角及钝角。若甲乙线至丙丁上，则乙之左右作两角相等，为直角，而甲乙为垂线。若甲乙为横线，则丙丁又为甲乙之垂线？何者？丙乙与甲乙相遇，虽止一直角，然甲线若垂下过乙，则丙线上下定成两直角，所以丙乙亦为甲乙之垂线【如今用短尺一纵一横，互相为直线，互相为垂线】凡直线上有两角相连，是相等者，定俱直角，中间线为垂线。反用之，若是直角，则两线定俱是垂线。
第十一界凡角大于直角为钝角如甲乙丙角与甲乙丁角不等，而甲乙丙大于甲乙丁，则甲乙丙为钝角。
第十二界凡角小于直角为锐角如前图甲乙丁是通上三界论之直角一而己钝角、锐角，其大小不等，乃至无数。是后凡指言角者，俱用三字为识，其第二字即所指角也。如前图，甲乙丙三字，第二乙字即所指钝角；若言甲乙丁，即第二乙字是所指锐角。
第十三界界者一物之终始今所论有三界：防为线之界，线为靣之界，靣为体之界。体不可为界。
第十四界或在一界或在多界之间为形一界之形，如平圆、立圆等物；多界之形，如平方、立方及平立三角、六八角等物。图见后卷。
第十五界圜者，一形于平地，居一界之间，自界至中心，作直线俱等。若甲乙丙为圜，丁为中心，则自甲至丁，与乙至丁，丙至丁，其线俱等。
外圆线为圜之界内形为圜一说圜是一形，乃一线屈转一周，复于元处所作，如上图甲丁线转至乙丁，乙丁转至丙丁，丙丁又至甲丁，复元处，其中形即成圜。
第十六界圜之中处为圜心第十七界自圜之一界作一直线，过中心至他界，为圜径。径分圜两平分。甲、丁、乙、戊，圜自甲至乙，过丙，心作一直线，为圜径。
第十八界径线与半圜之界所作形，为半圜。
第十九界在直线界中之形为直线形第二十界在三直线界中之形为三邉形第二十一界在四直线界中之形为四邉形第二十二界在多直线界中之形为多边形【五邉以上俱是】
第二十三界三边形三边线等为平边三角形。
第二十四界三边形有两边线等，为两边等三角形【或锐，或钝】
第二十五界三边形三边线俱不等，为三不等三角形。
第二十六界三边形有一直角，为三边直角形。
第二十七界三边形有一钝角，为三边钝角形。
第二十八界三邉形有三锐角，为三邉各锐角形。凡三边形，恒以在下者为底，在上二边为腰。
第二十九界四边形，四边线等，而角直，为直角方形。
第三十界直角形，其角俱是直角，其边两两相等。如上，甲乙丙丁形，甲乙边与丙丁边自相等，甲丙与乙丁自相等。
第三十一界斜方形四边等俱非直角第三十二界长斜方形，其边两两相等，俱非直角。
第三十三界以上方形四种，谓之有法；四边形四种之外，他方形皆谓之无法四边形。
第三十四界两直线于同靣行至无穷，不相离，亦不相逺，而不得相遇，为平行线。
第三十五界一形每两边有平行线，为平行线，方形。
第三十六界凡平行线方形，若于两对角作一直线，其直线为对角线。又于两边纵横各作一平行线，其两平行线与对角线交罗相遇，即此形分为四平行线方形。其两形有对角线者，为角线方形；其两形无对角线者，为余方形。甲乙、丁丙方形，于丙乙两角作一线，为对角线。又依乙丁平行作戊己线，依甲乙平行作庚辛线，其对角线与戊己、庚辛两线。交罗相遇于壬，即作大小四平行线方形矣。则庚壬己丙及戊壬辛乙两方形，谓之角线方形；而甲庚壬戊及壬己丁辛，谓之余方形。
求作四则求作者不得言不可作第一求自此防至彼防求作一直线此求亦出上篇，葢自此防直行至彼防，即是直线。自甲至乙，或至丙，至丁，俱可作直线。
第二求一有界直线，求从彼界直行引长之。如甲乙线从乙引至丙，或引至丁，俱一直行。
第三求不论大小以防爲心求作一圜第四求设一度于此，求作彼度，较此度或大或小【凡言度者，或线，或面，或体，皆是】或言较小作大，可作；较大作小，不可作。何者？小之至极，数穷尽故也。此说非是。凡度与数不同，数者可以长，不可以短；长数无穷，短数有限。如百数减半，成五十；减之又减，至一而止。一以下不可损矣。自百以上，增之可至无穷。故曰可长，不可短也。度者，可以长，亦可以短；长者，增之可至无穷；短者，减之亦复无尽。尝见《庄子》称：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”亦此理也。何者？自有而分，不免爲有；若减之可尽，是有化爲无也。有化爲无，犹可言也。令巳分者更复合之，合之又合，仍爲尺棰。是始合之初，两无能并爲一有也。两无能并爲一有，不可言也。公论十九则公论者不可疑第一论设有多度，彼此俱与他等，则彼与此自相等。
第二论有多度等，若所加之度等，则合并之度亦等。
第三论有多度等，若所减之度等，则所存之度亦等。
第四论有多度不等，若所加之度等，则合并之度不等。
第五论有多度不等，若所减之度等，则所存之度不等。
第六论有多度，俱倍于此；度则彼多，度俱等。
第七论有多度，俱半于此度，则彼多度亦等。
第八论有二度自相合，则二度必等【以一度加一度之上】
第九论全大于其分【如一尺大于一寸，寸者全，尺中十分中之一分也】
第十论直角俱相等【见界说十】
第十一论有二横直线，或正或偏，任加一纵线。若三线之间同方两角小于两直角，则此二横直线愈长愈相近，必至相遇。甲乙丙丁二横直线，任意作一戊己纵线，或正或偏。若戊己线同方两角俱小于直角，或并之小于两直角，则甲乙丙丁线愈长。
愈相近必有相遇之处欲明此理，宜察平行线不得相遇者【界说卅四】加一垂线，即三线之间定为直角，便知此论。两角小于直角者，其行不得不相遇矣。
第十二论两直线不能为有界之形第十三论两直线止能于一防相遇如云线长界近相交不止一防，试于丙乙二界各出直线，交于丁。假令其交不止一防，当引至甲，则甲丁乙宜为甲丙乙圜之径，而甲丁。丙亦如之【界说十七】夫甲丁乙，圜之右半也；而甲丁丙，亦右半也【界说十七】甲丁乙为全，甲丁丙为其分；而俱称右半，是全与其分等也【本篇九】
第十四论有几何度？等若所加之度各不等，则合并之差与所加之差等。甲乙丙丁线等于甲乙加乙戊，于丙丁加丁己，则甲戊大于丙己者，庚戊线也。而乙戊大于丁己亦如之第十五论有几何度不等？若所加之度等，则合并所赢之度与元所赢之度等。如上图反说之，戊乙己丁线不等于戊乙加乙甲于己丁加丁丙，则戊甲大于己丙者，戊庚线也。而戊乙大于己丁，亦如之。
第十六论有几何？度等？若所减之度不等，则余度所赢之度与减去所赢之度等。甲乙丙丁线等于甲乙减戊乙，于丙丁减己丁，则乙戊大于丁己者，庚戊也；而丙己大于甲戊，亦如之。
第十七论有几何？度不等。若所减之度等，则余度所赢之度与元所赢之度等。如十四论反说之，甲戊丙己线不等于，甲戊减甲乙，于丙己减丙丁，则乙戊长于丁己者，亦庚戊也，与甲戊长于丙己者等矣。
第十八论全与诸分之并等第十九论有二全，度此全，倍于彼全。若此全所减之度，倍于彼全所减之度，则此较亦倍于彼较【相减之余曰较】如此度二十，彼度十。于二十减六，于十减三。则此较十四，彼较七。
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