几何原本卷六

几何原本卷六

西洋利玛窦撰第一题等髙之三角形、方形自相与为比例，与其底之比例等。觧曰：甲乙丙、丁戊己两角形等髙，其底乙丙、戊己；丙庚、戊辛两方形等髙，其底乙丙、戊己。题言：甲乙丙与丁戊己之比例，丙庚与戊辛之比例，皆若乙丙与戊己。论曰：试置四形于庚辛、子寅两平行线内【凡形自顶至底作垂线，即本形之髙，故等髙者必在平行线内，见本卷界说四】于乙子线内作数底线，各与乙丙等，为乙壬、壬癸、癸子；于己寅线内作数底线，各与戊己等，为己丑、丑寅。次从甲、从丁作甲壬、甲癸、甲子、丁丑、丁寅诸线，其甲乙丙、甲乙壬甲、壬、癸、甲、癸、子四三角形既等底而在平行线内即等【一卷三八】依显丁戊己、丁己丑、丁丑寅三三角形亦等。则子丙底线大于乙丙若干倍，而甲子丙角形大于甲乙丙亦若干倍。依显戊寅之倍戊己，亦若丁戊寅之倍丁戊己【底线分数与形之分数等故】即用三试法：若子丙底大于戊寅底，则甲子丙形亦大于丁戊寅形也；若等，亦等；若小，亦小也【一卷三八】则一乙丙所倍之子丙，三甲乙丙所倍之甲子丙，与二戊己所倍之戊寅，四丁戊己所倍之丁戊寅等大小皆同类也。而一乙丙底与二戊己底之比例，若三甲乙丙与四丁戊己矣【五卷六界】又丙庚、戊辛两方形各倍大于甲乙丙、丁戊己两角形【一卷卅三】而甲乙丙与丁戊己之比例，既若乙丙与戊己，即丙庚与戊辛两方形之比例，亦若乙丙与戊己两底矣【五卷十五】或从壬癸子及丑寅各作直线与庚乙、辛己平行，即依上论推显。增题：凡两角形，两方形各等底，其自相与为比例，若两形之髙之比例。解曰：甲乙丙与丁戊己两角形，甲庚乙丙与丁戊己辛两方形，其底乙丙与戊己等。题言甲乙丙与丁戊己两角形之比例，甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例，皆若甲壬与丁癸两髙。论曰：「试作子壬底线，与乙丙等作丑癸。」底线与戊己等，次作甲子、丁丑两线。其甲壬子与甲乙丙两角形等底，又等髙，即等。依显，丁癸丑与甲乙丙两角形等底，又等髙，即等。依显，丁癸丑与丁戊己两角形亦等【一卷三八】即甲乙丙与丁戊己之比例，若甲壬子与丁癸丑也【五卷七】今以甲壬、丁癸为底，即甲壬子与丁癸丑两角形之比例，若甲壬与丁癸两底也【本篇一】而甲乙丙与丁戊乙之比例，亦若甲壬与丁癸矣。又甲乙丙与丁戊己两角形之比例，既以倍大，故若甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例【五卷十五】即两方形之比例，亦若甲壬与丁癸两底也【五卷十一】若作庚子、辛丑两线，亦依前论推显。

第二题【二支】三角形任依一邉作平行线，即此线分两余邉以为比例，必等。三角形内有一线分两邉以为比例而等，即此线与余邉为平行。先解曰：甲乙丙角形内，如作丁戊线，与乙丙平行。题言丁戊分甲乙、甲丙于丁、于戊。以为比例必等者，甲丁与丁乙若甲戊与戊丙也。论曰：试作丁丙、戊乙两线，其丁戊、乙丁、戊丙两角形同，以丁戊为底，同在两平行线内，即等【一卷三七】而甲戊丁与丁戊乙两角形之比例，若甲戊丁与丁戊丙矣【五卷七】夫甲戊丁与丁戊乙两角形亦在两平行线内【若干戊防上作一线与甲乙平行，即两形在其内】则甲戊丁与丁戊乙两角形之比例，若甲丁与丁乙两底也【本篇一】依显甲戊与戊丙两底之比例，亦若甲戊丁与丁戊丙两角形也【两形亦在两平行线内故】是甲丁与丁乙两线之比例，甲戊与戊丙两线之比例，皆若甲戊丁与丁戊乙也，或与丁戊丙也【丁戊乙与丁戊丙等】则甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙也【五卷十一】后解曰：甲乙丙角形内，有丁戊线分甲乙、甲丙于丁、于戊，以为比例而等。题言丁戊与乙丙为平行线。论曰：试作丁丙、戊乙两线。其甲丁与丁乙两底之比例，若甲戊丁与丁戊乙两角形也【在两平行线内，故见本篇一】而甲丁与丁乙之比例，若甲戊与戊丙，即甲戊丁与丁戊乙之比例，亦若甲戊与戊丙也【五卷十一】又甲戊与戊丙两底之比例，既若甲戊丁与丁戊丙【在两平行线内，故见本篇一】则甲戊丁与丁戊乙之比例，亦若甲戊丁与丁戊丙也【五卷十一】而丁戊乙与丁戊丙两角形等矣【五卷九】两角形同以丁戊为底。而等则在两平行线内【一卷卅九】

第三题【二支】三角形任以直线分一角为两平分，而分对角邉为两分，则两分之比例若余两邉之比例。三角形分角之线所分对角邉之比例若余两邉，则所分角为两平分。先解曰：甲乙丙角形，以甲丁线分乙甲丙角为两平分。题言乙丁与丁丙之比例，若乙甲与甲丙。论曰：试作乙戊线，与甲丁平行；次于丙甲线引长之至戊。其甲乙戊与乙甲丁为平行线，相对之两内角等，外角丁甲丙与内角戊亦等【一卷廿九】今乙甲丁与丁甲丙又等，即甲乙戊角与戊角亦等也。而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一卷六】则戊甲与甲丙之比例，若乙甲与甲丙也【五卷七】夫戊甲与甲丙之比例，若乙丁与丁丙也【本篇二】则乙甲与甲丙之比例，亦若乙丁与丁丙也【五卷十一】后解曰：乙丁与丁丙之比例，若乙甲与甲丙。题言甲丁线分乙甲丙角为两平分。论曰：依前作乙戊线，与甲丁平行而引，丙甲线至戊，其乙甲与甲丙之比例，既若乙丁与丁丙、甲丁线又与戊乙邉平行，而乙丁与丁丙之比例若戊甲与甲丙【本篇二】即乙甲与甲丙之比例亦若戊甲与甲丙【五卷十一】是戊甲与乙甲两线等矣【五卷九】则甲乙戊角与戊角亦等也【一卷五】夫甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角等，而外角丁甲丙与内角戊亦等【一卷廿九】则乙甲丁、丁甲丙两角必等。第四题凡等角三角形，其在等角旁之各两腰线相与为比例，必等；而对等角之邉为相似之邉。解曰：甲乙丙丁丙戊两角形等角者，甲乙丙与丁丙戊，甲丙乙与丁戊丙，乙甲丙与丙丁戊，每相当之各角俱等也。题言：甲乙与乙丙之比例，若丁丙与丙戊，甲乙与甲丙若丁丙与丁戊，甲丙与乙丙，若丁戊与丙戊，而每对等角之邉各相似。相似者，谓各前各后率各对本形之相当等角。论曰：试并置两角形，令乙丙、丙戊两底为一直线，而丁丙戊为甲乙丙之外角。其甲乙丙、甲丙乙两角既小于两直角【一卷廿七】丁戊丙与甲丙乙两角又等，即乙戊两角亦小于两直角，而乙甲、戊丁两线引出之必相遇【一卷界说十一】即作两线令遇于己，其丁丙戊外角与甲乙丙内角既等，即丁丙与己乙为平行线【一卷】【廿八】依显甲丙乙外角与丁戊丙内角既等，即甲丙与己戊亦平行线【一卷廿八】而甲己丁丙为平行线方行，则甲己与丁丙两线等也，甲丙与己丁两线等也【一卷卅四】夫乙戊己角形内之甲丙线，既与己戊邉平行，即甲乙与等甲己之丁丙之比例，若乙丙与丙戊也【本篇二】更之，即甲乙与乙丙若丁丙与丙戊也【五卷十六】又乙戊己角形内之丁丙线，既与己乙邉平行，即乙丙与丙戊之比例，若等己丁之甲丙与丁戊也【本篇二】更之，即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也【五卷十六】甲乙与乙丙既若丁丙与丙戊，而乙丙与甲丙又若丙戊与丁戊，平之，即甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也【五卷廿二】一系凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如上甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊。角形必与甲乙丙全形相似，何者？甲丁戊外角与甲乙丙内角等，甲戊丁外角亦与甲丙乙内角等【一卷廿九】甲角又同，即两形相似，而各等角旁两邉之比例等【本题】増题：凡角形之内，任依一邉作一平行线，于此邉任取一防，向对角作直线，则所分两平行线比例等。解曰：甲乙丙角形内，作丁戊线与乙。丙平行次于乙，丙邉任取己防，向甲。角作直线，分丁戊于庚。题言乙己与。

己丙之比例若丁庚与庚戊论曰：甲己乙、甲庚丁两角形既相似【本系】即甲己与己乙之比例若甲庚与庚丁也。更之，即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五卷十六】依显，甲己与甲庚若己丙与庚戊也，则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五卷十一】更之，即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷十六】又论曰：甲己乙、甲庚丁两角形，甲己丙、甲庚戊两角形既各相似，即乙己与甲己之比例若丁庚与庚甲也【本系】依显，甲己与己丙亦若甲庚与庚戊也。平之，即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷廿二】

第五题两三角形，其各两边之比例等，即两形为等角形，而对各相似边之角各等。觧曰：甲乙丙丁戊己两角形，其各两边之比例等者，甲乙与乙丙若丁戊与戊己，而乙丙与甲丙若戊己与丁己，甲丙与甲乙若丁己与丁戊也。题言此两形为等角形，而对各相似边之角，甲与丁，乙与戊，丙与己各等。论曰：试作己戊庚角与乙角等，作庚己戊角与丙角等，而戊庚、己庚两线遇于庚，即庚角与甲角等【一卷三二】是甲乙丙、庚戊己两形等角矣，则甲乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】又乙丙与甲丙之比例若戊己与庚己【本篇四】而乙丙与甲丙元若戊己与丁己则戊己与庚己亦若戊己与丁己也【五卷十一】而丁己与庚己两线必等【五卷九】夫庚戊庚己两腰既与丁戊丁己两腰各等戊己同底即丁角与庚角亦等【一卷八】其余庚戊己与丁戊己庚己戊与丁己戊各相当之角俱等【一卷四】而庚角与甲角既等即丁角与甲角亦等丁戊己角与乙角丁己戊角与丙角俱等【第六题】两三角形之一角等，而等角旁之各两边比例等，即两形为等角形，而对各相似边之角各等。解曰：甲乙丙丁戊己两角形，其乙与戊两角等，而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己。题言余角丙与己，甲与丁俱等。论曰：试作己戊庚角与乙角等，作庚己戊角与丙角等，而戊庚、己庚两线遇于庚。依前论推显，甲乙丙、庚戊己两形等角，即甲乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】夫丁戊、庚戊两边既等，戊己同边，庚戊己角与丁戊己角又等【丁戊己角与乙角等，而己戊庚亦与乙等故】即其余各相当之角俱等【一卷四】而庚角既与甲角等，庚己戊角既与丙角等，即甲角、丙角与丁角、戊己丁角各等，而甲乙丙丁戊己为等角形矣。

第七题两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等，其第三相当角或俱小于直角，或俱不小于直角，即两形为等角形，而对各相似边之角各等。解曰：甲乙丙、丁戊己两角形，其一甲角与一丁角等，而第二相当角如甲丙乙两旁之甲丙、丙乙两邉，偕丁己戊两旁之丁己、己戊两邉比例等，其第三相当角如乙与戊，或俱小于直角，或俱不小于直角。题言两形等角者，谓甲丙乙角与己等，乙角与戊等。先论乙与戊俱小于直角者，曰：如云不然，而甲丙乙大于己令作甲丙庚角与己等即甲庚丙角宜与戊等【一卷卅二】甲庚丙与丁戊己为等角形矣即甲丙与丙庚之比例宜若丁己与己戊【本篇四】而先设甲丙与丙乙若丁己与己戊也是甲丙与丙庚亦若甲丙与丙乙也【五卷十一】是庚丙与乙丙两线等也【五卷九】丙庚乙与丙乙庚两角亦等也【一卷五】夫乙既小于直角即等腰内之丙庚乙亦小于直角则较角之丙庚甲必大于直角也【丙庚甲丙庚乙两角等于两直角见一卷十三】而丙庚甲既与戊等则丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角何由得小于直角也后论乙与戊俱不小于直角者，曰：如云不然，依先论乙角与丙庚乙角等，即丙庚乙亦不小于直角。夫丙庚乙、丙乙庚同为角形内之两角，乃俱不小于直角【一卷十七】何也？则甲丙乙不得不等于丁己戊也，而其余乙与戊角等矣【一卷卅二】

第八题直角三邉形，从直角向对邉作一垂线，分本形为两直角三邉形，即两形皆与全形相似，亦自相似。解曰：甲乙丙直角三邉形，从乙甲丙直角作甲丁垂线。题言所分甲丁丙、甲丁乙两三邉形，皆与全形相似，亦自相似。论曰：甲乙丙、甲丁丙两形，既各以乙甲丙、甲丁丙为直角，而丙角又同，即其余甲乙丙、丁甲丙两角必等【一卷三】则甲乙丙、甲丁丙两形必为等角形，而等角旁之各两邉比例必等。等者，谓乙丙与甲丙若甲丙与丙丁也，甲丙与甲乙若丙丁与甲丁也，乙丙与甲乙若甲丙与甲丁也。即甲丁丙角形与甲乙丙全形相似矣【本篇四】依显，甲丁乙角形与甲乙丙全形亦相似也。何者？丙甲乙、甲丁乙两皆直角，而乙角又同，即其余甲丙乙、丁甲乙两角必等【一卷卅二】甲乙丙、甲丁乙两形必为等角形，而等角旁之各两邉比例必等故也。依显，甲丁乙、甲丁丙两角形亦相似也。何者？两形各与全形相似，即两形自相似【五卷十一】系从直角作垂线，即此线为两分对邉线比例之中率，而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率。何者？丙丁与丁甲之比例，若丁甲与丁乙也，故丁甲为丙丁、丁乙两分邉比例之中率也。又乙丙与丙甲之比例，若丙甲与丙丁也，故丙甲为乙丙、丙丁之中率也。乙丙与乙甲之比例，若乙甲与乙丁也，故乙甲为乙丙、乙丁之中率也。

第九题一直线求截所取之分法曰：甲乙直线，求截取三分之一。先从甲任作一甲丙线，为丙甲乙角。次从甲向丙任作所命分之平度，如甲丁、丁戊、戊己为三分也。次作己乙直线，末作丁庚线与己乙平行，即甲庚为甲乙三分之一论曰：甲乙己角形内之丁庚线，既与乙己邉平行，即己丁与丁甲之比例，若乙庚与庚甲也【本篇二】合之己甲与甲丁，若乙甲与庚甲也【五卷十八】而甲丁既为己甲三分之一，即庚甲亦为乙甲三分之一也。注曰：甲乙线欲截取十一分之四，先作甲丙线，为丙甲乙角，从甲向丙任平分十一分至丁，次作丁乙线，末从甲取四分得戊，作戊己线与丁乙平行，即甲己为十一分甲乙之四。何者？依上论，丁甲与戊甲之比，例若乙甲与己甲也，反之甲戊与甲丁，若甲己与甲乙也【五卷四】甲戊为甲丁十一分之四，则甲己亦甲乙十一分之四矣。依此可推不尽分之数，葢四不为十一之尽分故。

第十题一直线求截各分，如所设之截分。法曰：甲乙线求截各分，如所设甲丙，任分之丁戊者，谓甲乙所分各分之比例，若甲丁、丁戊、戊丙也。先以甲乙、甲丙两线相聮。于甲任作丙，甲乙角次作丙乙线，相聮末从丁，从戊作丁己、戊庚两线，皆与丙乙平行，即分甲乙线于己，于庚。若甲丙之分于丁，于戊。论曰：甲丁与丁戊之比例，既若甲己与己庚【本篇二】即甲己与己庚亦若甲丁与丁戊也。更作丁辛线与甲乙平行，而分戊庚于壬，即丁戊与戊丙若丁壬与壬辛也，亦若等丁壬之己庚【一卷卅四】与等壬辛之庚乙也【本篇二】则己庚与庚乙亦若丁戊与戊丙也。从此题作一用法，平分一直线为若干分，如甲乙线，求五平分，即从甲任作甲丙线，为丙甲乙角，次从甲向丙任作五平分为甲丁、丁戊、戊己、己庚、庚辛，次作辛乙直线相聨，末作丁壬、戊癸、己子、庚丑四线，皆与辛乙平行，即壬癸子丑分甲乙为五平分，其理依前论推，显又一简法。如甲乙线求五平分，即从丙任作丙乙线，为丙乙甲角。次于乙丙任取一防为丁，作丁戊线与甲乙平行，次从丁向戊，任作五平分。为丁，己己，庚庚，辛辛，壬壬，癸而丁癸。线令小于甲乙，次从甲过癸，作甲子。线遇乙丙于子末，从子作子壬子辛。子庚、子己四线各引长之，而分甲乙。

于丑于寅于夘于辰为五平分论曰：丁戊与甲乙既平行，即子壬、癸与子丑、甲两角，子癸、壬与子甲、丑两角各等【一卷廿九】而甲子、丑同角，即甲子、丑、癸子、壬两角形相似矣。则子癸与癸壬之比例，若子甲与甲丑也【本篇四】依显子壬与壬辛，若子丑与丑寅也。又癸壬与壬辛等，即子壬与壬癸若子壬与壬辛也【五卷七】则子丑与丑甲亦若子丑与丑寅也，而甲丑、丑寅两线等矣【五卷十一】依显寅夘、夘辰、辰乙俱与甲丑等，则甲乙线为五平分。又一简法，如甲乙线求五平分，即从甲、从乙作甲丁、乙丙两平行线，次从乙任作戊己庚辛四平分。次用元度，从甲作壬、癸、子、丑四平分。末作戊丑，己子，庚癸，辛壬四线相聨。即分甲乙于己，于辰，于夘，于寅为五。

平分论曰：「辛庚与壬癸既平行相等，即辛」。壬与庚癸亦平行【一卷卅三】依显己子戊。丑俱平行而甲，丑既为四平分，则甲己亦四平分【本题】依显乙辛，既为四平。分则乙寅亦四平分，而通甲乙为五平分。

又用法先作一器丙丁戊己为平行线任平分为若干格每分作平行线相聨今欲分甲乙为五平分即规取甲乙之度以一角抵戊丙线，而一角抵庚辛线。如不在庚辛者，即渐移之令至也。既至壬，即戊壬之分为甲乙之分。论曰：庚癸与子辛既平行相等，即癸子庚辛亦平行相等【一卷卅三】而丙丁戊己内诸线俱平行相等。戊庚为五平分，即戊壬亦五平分矣【本题】戊壬之度既与甲乙等，即自戊至壬诸格分，甲乙为五平分也。如戊丙线上取丑防，而甲乙度抵庚辛之外，若丑寅即从庚辛线引长之为庚寅，而癸子诸线俱引长之，其丑寅仍为五平分，如前论。若所欲分之线极小，则制器宜宻，令相称焉。増题：有直线，求两分之。而两分之比例，若所设两线之比例。法曰：甲乙线，求两分之，而两分之比例若所设丙与丁。先从甲任作甲戊线，而为甲角，次截取甲己与丙等，己庚与丁。等次作庚乙线，聨之末作己辛线，与庚乙平行，即分甲乙于辛，而甲辛与辛乙之比例若丙与丁，说见本篇二。又増题，两直线各三分之，各互为两前后率比例等。即两中率与两前两后率各为比例，亦等。解曰：甲乙丙丁两线，各三分之于戊。于己于庚于辛，各互为两前两后，率。比例等者，甲戊与戊乙若丙庚与庚。丁甲己与己乙，若丙辛与辛丁也。题言中率戊己庚辛各与其前后率为比例，亦等者，甲戊与戊己若丙庚与庚辛，己乙与戊己若辛丁与庚辛也。论曰：甲戊与戊乙之比例，既若丙庚与庚丁，即合之甲乙与戊乙若丙丁与庚丁也。而甲己与己乙既若丙辛与辛丁，即合之甲乙与己乙若丙丁与辛丁也。又反之，己乙与甲乙若辛丁与丙丁也。夫己乙与甲乙既若辛丁与丙丁，而甲乙与戊乙又若丙丁与庚丁，即平之；己乙与戊乙。亦若辛丁与庚丁也【五卷廿二】又转之戊。乙与戊己若庚，丁与庚辛也。又分之。己乙与戊己，若辛丁与庚辛也，此后解也。又甲戊与戊乙，既若丙庚与庚丁，而戊乙与戊己，又若庚丁与庚辛，即平之甲戊与戊己，若丙庚与庚辛也，此前觧也。又简论曰：如后圗，聨甲于丙，作乙甲丁角，次作丁乙辛己庚戊三线相聨。其甲戊与戊乙之比例，既若丙庚与庚丁，即庚戊与丁乙平行【本篇二】甲己与己乙，既若丙辛与辛丁，即辛己与丁乙平行【本篇二】而庚戊与辛己亦平行【一卷三十】是甲戊与戊己若丙庚与庚辛也，己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也【本篇二】

第十一题两直线求别，作一线相与为连比例。法曰：甲乙、甲丙两线求别，作一线相与为连比例者，合两线任作甲角，而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也。先于甲乙引长之为乙。丁与甲丙等次作丙乙线，相聨次从丁作丁戊线，与丙乙平行，末于甲丙引长之，遇于戊，即丙戊为所求。

线【如以甲丙为前率仿此】论曰：甲丁戊角形内之丙乙线，既与戊丁邉平行，即甲乙与乙丁之比例，若甲丙与丙戊。也【本篇二】而乙、丁、甲、丙、元等，即甲乙与甲丙，若甲丙与丙戊也【五卷七】注曰：别有一法，以甲乙、乙丙两线列作甲乙丙直角，次以甲丙线聨之，而甲乙引长。之末，从丙作丙丁，为甲丙之垂线，遇引长线于丁，即乙丁为所求线。论曰：甲丙丁角形之甲丙丁，既为直角，而从直角至甲丁底，有丙乙垂线，即丙乙为甲乙、乙丁比例之中率【本篇八之系】则甲乙与乙丙，若乙丙与乙丁也。既从一二得三，即从二三求四，以上至于无穷，俱仿此。

第十二题三直线求别作一线相与为断比例。法曰：甲乙、乙丙、甲丁三直线，求别作一线相与为断比例者，谓甲丁与他线之比例，若甲乙与乙丙也。先以甲乙、乙丙作直线为甲丙。次以甲丁线合甲丙，任作甲角，次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行，末自甲丁引之，遇丙戊于戊，即丁戊为所求线。论曰：甲丙戊角形内之丁乙线，既与丙戊边平行，即甲丁与丁戊之比例，若甲乙与乙丙【本篇二】

第十三题两直线求别，作一线为连比例之中率。法曰：甲乙、乙丙两直线，求别作一线为中率者，谓甲乙与他线之比例，若他线与乙丙也。先以两线作一直线为甲丙，次以甲丙两平分于戊次，以戊为心，甲丙为界，作甲丁丙半圜。末从乙至圜界，作乙丁垂线，即乙丁为甲乙、乙丙之中率。论曰：试从丁作丁甲、丁丙两线，即甲丁丙为直角【三卷卅一】而直角所下乙丁垂线，两分对邉线甲丙，其甲乙与乙丁若乙丁与乙丙也【本篇八之系】则乙丁为甲乙、乙丙之中率。注曰：依此题可推，凡半圜内之垂线，皆为分径线之中率线。如甲乙丙半圜，其乙丁为甲丁、丁丙之中率，己戊为甲戊、戊丙之中率辛庚为甲庚庚丙之中率也。何者？半圜之内，从垂线作角，皆为直角【三卷卅一】故依前论推，显各为中率也。増题：一直线，有他直线大于元线二倍以上，求分他线为两分，而以元线为中率。法曰：甲乙线大于甲丙二倍以上，求两分甲乙，而以甲丙为中率。先以甲乙、甲丙聨为丙甲乙直角，而两平分甲乙于下，次以丁为心，甲乙为界，作甲戊、乙半圜。次从丙作丙戊线，与甲乙平行，而遇半圜界于戊。末从戊作戊己垂线，而分甲乙于己，即戊己为甲己、己乙两分之中率。论曰：试作戊甲、戊乙两线，依本题论，即戊己为甲己、己乙之中率，而甲丙戊己为平行方形，即丙甲与戊己等【一卷卅四】则丙甲亦甲己、己乙之中率也。

第十四题【二支】两平行方形等一角，又等即等角旁之两邉为互相视之邉，两平行方形之一角等，而等角旁两邉为互相视之邉，即两形等。先解曰：甲乙丙辛，乙戊己庚两平行方形等。甲乙丙戊，乙庚两角又等。题言此两角各两旁之两邉为互相视之邉者。甲乙与乙庚之比例，若戊乙与乙丙也。论曰：试以两等角相聨于乙，令甲乙、乙庚为一直线。其甲乙丙与戊乙庚既等角，卽戊乙、乙丙亦一直线【一卷十五增题】次从辛丙、己庚各引长之，遇于丁。其辛乙、乙己两平行方形既等，即辛乙与乙丁两形之比例，若乙己与乙丁。也【五卷七】而辛乙与乙丁俱在两平行线之内，等髙，即辛乙与乙丁两形之比例，若其底甲乙与乙庚也【本篇一】依显乙己与乙丁两形，亦若其底戊乙与乙丙也，则甲乙与乙庚，亦若戊乙与乙丙也。后觧曰：甲乙丙戊，乙庚等角两旁之各两邉，为互相视之邉者，甲乙与乙庚，若戊乙与乙丙也。题言辛乙、乙己两平行方形等。论曰：依上论，以两等角相聨，其甲乙与乙庚之比例，既若戊乙与乙丙，而甲乙与乙庚两底之比例，若平行等髙之辛乙与乙丁两形【本篇一】戊乙与乙丙两底之比例，若平行等髙之乙己与乙丁两形，则辛乙与乙丁若乙己与乙丁矣，而辛乙、乙己两形安得不等【五卷九】

第十五题【二支】相等两三角形之一角等，即等角旁之各两邉互相视。两三角形之一角等，而等角旁之各两邉互相视，即两三角形等。先解曰：甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角，又等题言等角旁之各两邉互相视者，谓甲乙与乙戊之比例，若丁乙与乙丙也。论曰：试以两等角相聨于乙，令甲乙、乙戊为一直线，其甲乙丙丁，乙戊既等角，即丁乙、乙丙亦一直线【一卷十五増题】次作丙戊线相聨，其甲乙丙、乙丁戊两角形既等，即甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊也【五卷七】夫甲乙丙与乙丙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也，而乙丁戊与乙丙戊两等髙形亦若其底丁乙与乙丙也，则甲乙与乙戊若丁乙与乙丙。后解曰：两乙角等，而乙旁各两边，甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙。题言甲乙丙、乙丁戊两角形等。论曰：依前列两形令等角旁两邉各为一直线，其甲乙与乙戊之比例既若丁乙与乙丙，而甲乙与乙戊两底又若其上甲乙丙、乙丙戊两等髙角形，丁乙与乙丙两底又若其上乙丁戊、乙丙戊两等髙角形，则甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊矣，而甲乙丙与乙丁戊岂不相等【五卷九】

第十六题【二支】四直线为断比例，即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等，首尾两线与中两线两矩内直角形等，即四线为断比例。先解曰：甲乙、己庚、戊己、乙丙四直线为断比例者，谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也。而甲乙丙丁为甲乙、乙丙首尾两线，矩内直角形；戊己庚辛为戊己、己庚。中两线矩内直角形题，言甲丙戊庚两形等。论曰：两形之乙与己既等，为直角，而甲乙与己庚之比例，若戊己与乙丙，是乙己等角旁之各两邉互相视，而甲丙、戊庚两直角形必等【本篇十四】后解曰：甲丙戊庚两直角形等。题言四线之比例等者，谓甲乙与己庚，若戊己与乙丙也。论曰：甲丙戊庚两形之乙与己既等，为直角，即等角旁之各两邉互相视，而甲乙与己庚之比例，若戊己与乙丙也【本篇十四】则四线为断比例矣。

注曰若平行斜方形而等角亦同此论如上圗以上二题，即筭家句股法、三数筭法所頼也。

第十七题【二支】三直线为连比例，即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等。首尾线矩内直角形与中线上直角方形等，即三线为连比例。先解曰：甲乙、戊己、乙丙三线为连比例者，甲乙与戊己若戊己与乙丙也。而甲乙丙丁为甲乙、乙丙首尾线，矩内直角形；戊己庚辛为戊己上直角方形。题言：甲丙、戊庚两形等。论曰：试作己庚线与戊己等，即甲乙、乙丙、己庚、戊己为比例等等者，谓甲乙与戊己若己庚与乙丙也，则戊己、己庚矩内直角形【即戊己上直角方形】与甲乙、乙丙首尾线矩内之甲丙形等矣【本篇十六】后解曰：甲丙直角形，与戊庚直角方形等。题言甲乙与戊己之比例，若戊己与乙丙。论曰：甲丙戊庚，既皆直角形，即甲乙与戊己之比例，若己庚与乙丙也【本篇十六】而己庚与乙丙，亦若等己庚之戊己与乙丙【五卷七】则甲乙与戊己，若戊己与乙丙矣。

注曰若平行斜方形而等角亦同此论如上圗系凡直线上直角方形与他两线所作矩内直角形等，即此线为他两线之中率。何者？依上后论，甲乙乙丙矩内直角形与戊己上直角方形等，即可推甲乙与戊己，若戊己与乙丙，而戊己为甲乙乙丙之中率，故。

第十八题直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等，法曰：如甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等。先于设形任从一角向各对角各作直线，而分本形为若干角形。如上设形，则从己向丙、向丁作两直线，而分为丙丁己、丁己戊、丙己庚三三角形也。次于元线上作乙甲、壬甲、乙壬两角与丁丙、己丙、丁己两角各等，其甲壬、乙壬两线遇于壬，即甲壬乙与丙己丁两角亦等，而甲壬乙与丙己丁两形为等角形矣【一卷卅二】次作乙壬、辛壬、乙辛两角与丁己、戊己、丁戊两角各等，其壬辛、乙辛两线遇于辛，即乙辛壬与丁戊己两角亦等，而乙壬辛与丁己戊两形为等角形矣。末依上作甲壬癸与丙己庚亦为等角形，即甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚两形等角，则相似而体势等。凡设多角形俱仿此。论曰：壬甲乙角与己丙丁角既等，而壬甲癸角与己丙庚角又等，即乙甲癸全角与丁丙庚全角等。依显甲乙辛与丙丁戊两全角亦等，而其余各全角俱等，则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚为等角形矣。又甲乙与乙壬之比例既若丙丁与丁己，而乙壬与乙辛亦若丁己与丁戊【本篇四】平之，即甲乙与乙辛亦若丙丁与丁戊也【五卷廿二】则甲乙辛、丙丁戊两等角旁各两边之比例等。也，而辛、戊两等角旁各两边之比例亦等也【两形等角，即等角旁各两边之比例等，见本篇四】又辛壬与壬乙之比例，既若戊己与己丁，而壬乙与壬甲亦若己丁与己丙，壬甲与壬癸亦若己丙与己庚，平之即辛壬与壬癸亦若戊己与巳庚也【五卷廿二】则辛壬癸、戊己庚两等角旁各两边之比例等也。依显余角俱如是，则两形为等角形，而各等角旁各两边之比例俱等，是两形相似而体势等。注曰：凡线上形相当之各角等，即形相似而体势等。如上甲乙丙丁戊己两角形，其乙丙、戊己线上之乙角、丙角与戊角、己角相当相等者是也。若两形在乙丙、丁戊两线上，则虽相似而体势不等。又如上甲丙戊庚两直角形，其甲丁与丁丙之比例若戊辛与辛庚，而余邉之比例俱等，亦形相似而体势等。若甲丙壬庚两直角形虽角旁比例等，而在丁、丙、庚。

辛线上不相当则体势不等増作本题，别有一简法。如设甲乙，丙丁戊己，直线形，求于庚线上作。直线形与相似而体势等，先于甲角旁之甲乙、甲己两线任引出之，为甲辛、甲丑。次从甲向各角各任作直线，为甲壬、甲癸、甲子。次于甲乙线上截取甲辛与庚线末，从辛作辛壬线与乙丙平行，作壬癸与丙丁、癸子与丁戊、子丑与戊己各平行，即所求。论曰：两形之甲角既同，甲乙丙、甲己戊两角与甲辛壬、甲丑子两角各等【一卷廿九】而甲丙乙、甲丙丁两角与甲壬辛、甲壬癸两角各等，即乙丙丁与辛壬癸两全角亦等。依显丙丁戊、丁戊己与壬癸子、癸子丑各全角各等，则甲乙丙丁戊己与甲辛壬癸子丑两直线形为等角形矣。又甲辛壬、甲壬癸、甲癸子、甲子丑四三角形与甲乙丙、甲丙丁、甲丁戊、甲戊己四三角形各相似【本篇四之系】即甲乙与乙丙之比例若甲辛与辛壬也，而乙丙与丙甲若辛壬与壬甲也，丙甲与丙丁若壬甲与壬癸也。平之则乙丙与丙丁亦若辛壬与壬癸也。依显余邉俱如是，则两形相似而体势等也。

第十九题相似三角形之比例，为其相似邉再加之比例。解曰：如甲乙丙丁戊己两角形，等角其乙与戊、丙与己相当之角各等，而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己。题言两形之比例为乙丙与戊己两邉再加之比例。先论曰：若两角形等，即乙丙与戊己两邉亦等，而各两等邉为相同之比例，即两形亦相同之比例。就令作再加之比例，亦未免为相同之比例，则相等之两形即可为两等邉再加之比例矣后论曰：若乙丙邉大于戊己邉即于乙丙线上截取乙庚为连比例之第三率，令乙丙与戊己之比例若戊己与乙庚也【本篇十一】次作甲庚直线，其甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己，更之，即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也；而乙丙与戊己若戊己与乙庚，则甲乙与丁戊若戊己与乙庚也。夫甲乙庚与丁戊己两角形，有乙戊两等角而各两旁之两邉又互相视【本篇十五】即两形等，则甲乙丙形与丁戊己形之比例若甲乙丙形与甲乙庚形矣【五卷七】又甲乙丙与甲乙庚两等髙角形之比例若乙丙底与乙庚底【本篇一】则甲乙丙形与丁戊己形之比例亦若乙丙底与乙庚底也。既乙丙、戊己、乙庚三线为连比例，则一乙丙与三乙庚之比例为一乙丙与二戊己再加之比例矣。是甲乙丙与丁戊己两形之比例为乙丙与戊己，再加之比例也。系依本题可显，凡三直线为连比例，即第一线上角形与第二线上角形之比例，若第一线与第三线之比例。如上，甲乙丙三直线为连比例。其甲与乙上各有角形，相似而体势等。则一甲线与三丙线之比例，若甲形与乙形也？何者？甲线与丙线之比例，为甲线与乙线再加之比例；而甲形与乙形之比例，亦甲线与乙线再加之比例。则甲形与乙形之比例，若甲线与丙线矣。依显，二乙上角形与三丙上角形相似，而体势等。则二乙形与三丙形之比例，若一甲线与三丙线。

第二十题【三支】以三角形分相似之多邉直线形，则分数必等，而相当之各三角形各相似。其各相当两三角形之比例，若两元形之比例。其元形之比例，为两相似邉再加之比例。先解曰：此甲乙丙丁戊，彼己庚辛壬癸，两多邉直线形。其乙甲戊、庚己癸两角等，余相当之各角俱等，而各等角旁各两邉之比例各等。题先言各以角形分之，其角形之分数必等，而相当之各角形各相似。论曰：试从乙甲、戊庚、己癸两角向各对角俱作直线，为甲丙、甲丁、己辛、己壬，其元形。既相似，即角数等，而所分角形之数亦等。又乙角既与庚角等，而角旁各两邉之比例亦等，即甲乙丙与己庚辛两角形必相似【本篇六】乙甲丙与庚己辛两角，甲丙乙与己辛庚两角各等，而各等角旁各两邉之比例各等【本篇四】依显，甲戊丁、己癸壬两角形亦相似。又甲丙与丙乙之比例既若己辛与辛庚，而丙乙与丙丁若辛庚与辛壬【两元形相似故】平之，即甲丙与丙丁若己辛与辛壬也【五卷廿二】又乙丙丁角既与庚辛壬角等，而各减一相等之甲丙乙角、己辛庚角，即所存甲丙丁角与己辛壬角必等，则甲丙丁与己辛壬两角形亦等角形，亦相似矣【本篇六】次解曰：「题又言各相当角形之比例，若两元形之比例。」论曰：甲乙丙己庚辛两角形既相似，即两形之比例为甲丙己辛两相似邉再加之比例【本篇十九】依显甲丙丁己辛壬之比例，亦为甲丙己辛再加之比例。则甲乙丙与己庚辛两角形之比例，若甲丙丁与己辛壬两角形之比例。依显甲丁戊与己壬癸之比例，亦若甲丙丁与己辛壬之比例。则此形中诸角形之比例，若彼形中诸角形之比例。此诸形为前率，彼诸形为后率而一前与一后之比例，又若并前与并后之比例【五卷十二】即此一角形与相当彼一角形之比例，若此元形与彼元形之比例矣。后解曰：「题又言两多邉元形之比例，为两相似邉再加之比例。」论曰：甲乙丙与己庚辛两角形之比例，既若甲乙丙丁戊与己庚辛壬癸两多邉形之比例。而甲乙丙与己庚辛两形之比例，为甲乙己庚两相似邉再加之比例【本篇十九】则两元形亦为甲乙己庚再加之比例。増题：此直线倍大于彼直线，则此线上方形与彼线上方形为四倍大之比例。若此方形与彼方形为四倍大之比例，则此方形邉与彼方形邉为二倍大之比例。先解曰：甲线倍乙线，题言甲上方形与乙上方形为四倍大之比例。论曰：凡直角方形俱相似【本卷界说一】依本题。论则甲方形与乙方形之比例，为甲线与乙线再加之比例。甲线与乙线既为倍大之比例，则两方形为四倍大之比例矣。何者？四倍大之比例，为二倍大再加之比例。若一、二、四为连比例，故也。后解曰：「若甲上方形与乙上方形为四倍大之比例，题言甲邉与乙邉为二倍大之比例。」论曰：两方形四倍大之比例，既为两邉再加之比。

例则甲邉二倍大于乙邉系依此题可显三直线为连比例如甲乙丙，则第一线上多邉形与第二线上相似多邉形之比例，若第一线与第三线之比。

例此系与本篇第十九题之系同论。

第二十一题两直线形各与他直线形相似，则自相似。解曰：甲乙丙丁戊己两直线形，各与庚辛壬形相似。题言两形亦自相似。论曰：甲乙丙形之各角，既与庚辛壬形之各角等，而丁戊己形之各角，亦与庚辛壬形之各角等，即两形之各角自相等【公论】两形之各角既等，则甲乙丙形与庚辛壬形各等角旁各邉之比例等【五卷十一】而丁戊己形与庚壬辛形各等角旁各邉之比例亦等也。是甲乙丙形与丁戊己形各等角旁各邉之比例亦等也各角既等各邉之比例又等即两形定相似矣【本卷界说一】第二十二题【二支】四直线为断比例，则两比例线上各任作自相似之直线形，亦为断比例。两比例线上各任作自相似之直线形，为断比例，则四直线为断比例。先解曰：甲乙丙丁戊己庚辛四直线为断比例者，甲乙与丙丁若戊己与庚辛也。今于甲乙丙丁上各任作直线形，自相似如甲乙、壬丙、丁癸。于戊、己、庚、辛上各任作直线形，自相似如戊己、丑子、庚辛、夘寅题言四形。亦为断比例者，谓甲、乙、壬与丙、丁、癸。

若戊丑与庚夘也论曰：「试以甲乙丙丁两线，求其连比。」例之末率线为辰【本篇十一】次以戊己庚辛两线求其连比例之末率线为己平之，即甲乙与辰之比例若戊己与己也【五卷廿二】夫甲乙壬与丙丁癸两相似形之比例若甲乙线与辰线【本篇十九及廿之系】而戊丑与庚夘两相似形之比例若戊己线与己线，则甲乙壬与丙丁癸之比例亦若戊丑与庚夘矣【五卷十一】后解曰：如前四形为断比例题，言甲乙丙丁戊己庚辛四线，亦为断比例。论曰：试以甲乙丙丁戊己三线求其断。比例之末率线为午未【本篇十二】次于午未上作直线形与戊丑相似而体势等为午未酉申【本篇十八】午酉与戊丑相似，即与庚夘亦相似。而甲乙与丙丁之比例，既若戊己与午未依上论，即甲乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑与午酉矣。夫甲乙壬与丙丁癸之比例元若戊丑与庚夘，则戊丑与午酉亦若戊丑与庚夘也【五卷十一】而午酉与庚夘等也【五卷九】午酉与庚夘既等又相似而体势等，即两形必在等线之上。而庚辛与午未必等【见下方补论】则戊己与午未之比例若戊己与庚辛也。而戊己与午未元若甲乙与丙丁，则甲乙与丙丁亦若戊己与庚辛也。补论曰：庚夘、午酉两直线形相等、相似，而体势等，即在等线之上者，何也？盖庚辛与午未，若云不等者，或言庚辛大于午未也，则辛夘宜亦大于未酉矣【五卷十四】而庚夘形宜亦大于午酉形矣，何先设两形等也？言小仿此【补论者，前此未着，而论中无他论可徴，故别作一论以足未备】又补论曰：甲乙丙丁戊己两直线形相等相似，而体势等，即相似邉如甲乙与丁戊必等者，何也？盖云不等者，或言甲乙大于丁戊也。即令以甲乙丁戊两线求其连比例之末率线为庚【本篇十一】其甲乙与丁戊既若丁戊与庚。而甲乙大于丁戊，即丁戊宜大于庚，即甲乙宜更大于庚矣。然甲乙与庚之比例，若甲乙丙形与丁戊己形【本篇十九及廿之系】甲乙既大于庚，则甲乙丙宜大于丁戊己，何先设两形等也？是甲乙不能大于丁戊矣。言小仿此。増论曰：「本题别有简论，今先显四线之比例等而甲」。乙、壬与丙、丁、癸两形之比例，若戊、丑。与庚夘两形者，盖甲乙与丙丁之比。例若戊己与庚辛，而甲乙壬与丙丁。癸之比例为甲乙与丙丁，再加之比。例【本篇十九】戊丑与庚卯之比例，亦为戊己与庚辛再加之比例。是甲乙壬与丙丁癸若戊丑与庚夘也。次増论曰：今显四形之比例等，而甲乙与丙丁两线之比例若戊己与庚辛两线者，盖甲乙壬与丙丁癸之比例若戊丑与庚夘，而甲乙壬与丙丁癸之比例为甲乙与丙丁再加之比例，若戊丑与庚夘为戊己与庚辛再加之比例【本篇十九】则甲乙与丙丁之比例若戊己与庚辛矣。

第二十三题等角两平行方形之比例，以两形之各两边两比例相结。解曰：甲丙、丙己两平行方形之乙丙、丁戊、丙庚两角等。题言两形之比例，以各等角旁各两邉之比例相结者，谓两比例之前率在此形，两比例之后率在。彼形如甲丙与丙己之比例，以乙丙与丙庚，偕丁丙与丙戊相结也；或以乙丙与丙戊，偕丁丙与丙庚相结也。论曰：试以两等相聨于丙，而乙丙、丙庚作一直线，其乙丙丁角既与戊丙庚角等，即戊丙、丙丁亦一直线【一卷十五増】次于甲丁、己庚各引长之，遇于辛。次任作一壬线。次以乙丙、丙庚、壬三线求其断比例之末率线为癸【本篇十二】末以丁丙、丙戊、癸三线求其断比例之末率线为子。其乙丙与丙庚两底之比例既若甲丙与丙辛两形【本篇一】而乙丙与丙庚亦若壬与癸，则甲丙与丙辛亦若壬与癸也【五卷十一】依显丙辛与丙己亦若癸与子也。平之，即甲丙与丙己若壬与子也【五卷廿二】夫壬与子之比例元以壬与癸、癸与子两比例相结【本卷界说五】而壬与癸、癸与子元若乙丙与丙庚、丁丙与丙戊，则甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚、偕丁丙与丙戊两比例相结也。其以乙丙与丙戊、偕丁丙与丙庚相结，则先以乙丙、丙戊为一直线，可依上推显。后注曰：此不同理之比例也。两形不相似【本篇十九】又不相等之形也。等角旁各两邉不互相视【本篇十四】故必用相结之理，必湏借象之术。其法假虚形实，所以通比例之穷也。以数明之：乙丙六十，丙庚二十，壬三，求得癸一；丁丙四十，丙戊八十，癸一，求得子二。即甲丙之实二千四百，与丙己之实一千六百，若壬三与子二为等带半之比例也。其曰壬与癸，癸与子两比例相结者，壬三倍大于癸，癸反二倍大于子【反二倍者，癸得子之半】三乗半得一五，则壬与子为等带半之比例也。其曰借象者，乙丙与丙庚，丁丙与丙戊二比例，既不同理，又异中率，故借壬与癸，癸与子同中率而不同理之二比例以为象【本卷界说五】初作壬与癸若乙丙与丙庚，次作癸与子若丁丙与丙戊【本篇十二】则癸为前率之后，又为后率之前，是为壬子首尾两率之枢纽，令相象之丙庚、丁丙亦化两率为一率，为乙丙、丙戊首尾两率之枢纽。因以两比例相结为首尾两率之比例，虽不能使三率为同理之两比例而合为一连比例，亦能使两不同理之比例首尾合而为一比例矣。自三以上可仿此相借，以至无穷也【本卷界说五】

第二十四题平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似。解曰：甲乙丙丁平行方形，作甲丙对角线，任作戊己庚辛两线，与丁丙、乙丙平行，而与对角线交相遇于壬。题言戊庚、己辛两角线方形，自相似，亦与全形相似。论曰：试依一卷廿九题推显两角线形等角。又庚甲戊与乙甲丁同角，而甲戊壬外角与甲丁丙内角等，甲庚壬外角与甲乙丙内角等，戊壬庚外角与乙己壬内角等，乙己壬外角又与乙丙丁内角等。则戊庚形与甲丙全形等角矣。依显己辛形亦与全形等角矣。今欲显两形与全形相似者，试观甲庚壬与甲乙丙两角形，甲戊壬与甲丁丙两角形，既各等角【一卷廿九可推，仍见本篇四之系】即甲乙与乙丙之比例若甲庚与庚壬，而庚乙两角旁各两边之比例等也【六卷四】又乙丙与丙甲之比例若庚壬与壬甲，丙甲与丙丁之比例若壬甲与壬戊平之，即乙丙与丙丁若庚壬与壬戊也【五卷廿二】则乙丙丁、庚壬戊两角旁各两边之比例等也。依显各角旁各両边之比例皆等，是两角线方形自相似，亦与全形相似。

第二十五题两直线形，求作他直线形与一形相似，与一形相等。法曰：甲乙两直线形，求作他直线形与甲相似，与乙相等。先于求相似之甲形，任取一边，如丙丁，于丙丁边上作平行方形与甲等，为丙戊【一卷四四四五】次于丁戊边上作平行方形与乙等，而戊丁庚角。与丁、丙、己、角等为丁、辛，其丙、丁、庚、己、戊、辛俱为直线也【一卷四五可推】次作一壬癸线，为丙丁、丁庚之中率【本篇十三】末于壬癸上作子形，与甲相似而体势等【本篇十八】即子形与乙等。论曰：丙丁、壬癸、丁庚三线既为连比例，即依本篇二十题之系，可显一丙丁与三丁庚之比例。若一丙丁上之甲与二壬癸上之子两形相似而体势等者之比例也。又丙丁与丁庚之比例，若丙戊与丁辛两等髙平行方形之比例也【本篇一】则丙戊与丁辛若甲与子矣。夫丙戊与丁辛元若甲与乙也【丙戊与甲等，丁辛与乙等】则甲与乙之比例若甲与子也【五卷十一】而乙形与子形等矣【五卷九】

第二十六题平行方形之内，减一平行方形，其减形与元形相似，而体势等，又一角同，则减形必依元形之对角线。解曰：乙丁平行方形之内，减戊庚平行方形，元形减形相似，而体势等，又戊甲庚同角，题言戊庚形必依乙丁形之对角线。论曰：试作甲己、己丙对角两线，若两线为一直线，即显戊庚形，依甲丙对角线矣。如云甲己、己丙非一直线，令别作元。形之对角线而分戊己邉于辛，即作辛壬线与己庚平行。其乙丁戊壬两平行方形，既同依甲辛丙一直对角线，则宜相似而体势等矣【本篇廿四】是乙甲与甲丁之比例宜若戊甲与甲壬也。夫乙甲与甲丁元若戊甲与甲庚【元设形相似而体势等】今若所云则戊甲与甲庚亦若戊甲与甲壬矣【五卷十一】而甲壬分与甲庚全亦等矣【五卷九】可乎？若云甲辛丙分己庚于辛，即令作辛壬与己戊平行，依前论驳之。

第二十七题凡依直线之有阙平行方形不满线者，其阙形与半线上之阙形相似而体势等，则半线上似阙形之有阙，依形必大于此有阙依形。解曰：甲乙线平分于丙，于半线丙乙上，任作丙丁戊乙平行方形，其对角线乙丁。次作甲乙戊辛满元线平行方形，即甲丁为甲丙半线上之有阙。依形，丙戊为丙乙半。线上之阙形【本卷界说六】此两形相等相似，势体又等。题言甲乙线上，凡作有阙依形不满线者，其阙形与丙戊相似，而体势等。即甲丙半线上之甲丁有阙依形，必大于此有阙依形。论曰：试于乙丁对角线上，任取一防为庚，从庚作己庚壬线、庚癸线，与甲乙、乙戊各平行，即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形，而癸壬为其阙形。此癸壬阙形既依乙丁对角线，则与丙戊阙形相似而体势等【本篇廿四】夫丙庚、庚戊两余方形既等【一卷四三】若每加一癸壬角线方形，即丙壬与癸戊亦等也。又丙壬与丙己俱在两平行线内，底等，即两形等【一卷三六】而丙己与癸戊两形亦等。若每加一丙庚形，是甲庚平行方形与子丑磬折形亦等也。丙戊平行方形凾子丑磬折形之外，尚有庚丁形，则丙戊形必大于子丑磬折形，而等丙戊之甲丁形【丙戊、甲丁同在两平行线内，又等底，故见一卷三六】必大于等磬折形之甲庚形矣。依显，凡依乙丁对角线作形与丙戊相形者，其有阙依形俱小于甲丁也，为其必有庚丁之较故也。又论甲丁必大于甲庚，曰：己丁，丁壬两平行方形，同在两平行线内，又底等，即两形。等【一卷卅六】而庚戊为丁壬之分，则丁壬大于庚戊。较余一庚丁形，其大于丙庚亦如之【庚戊、丙庚两余方形等，故见一卷四三】即等丁壬之己丁形，其大于丙庚亦较余一庚丁形也。次每加一丙己形，则甲丁必大于甲庚矣。又解曰：若庚防在丙戊形外，即引乙丁对角线至庚，从庚作辛丑线与癸戊平行；次引甲癸线至辛，引乙戊线至丑，而与辛丑线遇于辛、于丑。末作庚己线与辛甲平行。即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形，又得己丑与丙戊相似而体势等者【两形同依乙庚对角线，故见本篇廿四】为其阙形也。题言甲丁形亦大于甲庚形。论曰：试于丙丁线引出之至子，即辛子；子丑两线等【一卷卅四】而辛丁、丁丑两形亦等【一卷卅六】其丁丑、己丁两余方形既等，即己丁与辛丁亦等。夫辛丁大于辛壬，既较余一庚丁形，则己丁之大于辛壬，亦较余一庚丁形也。此两率者，每加一甲壬平行方形，则甲丁大于甲庚者，亦较余一庚丁形矣。依显，凡乙丁对角线引出丙戊形外，依而作形与丙戊相似者，其有阙依形俱小于甲丁也，为其必有庚丁之较故也。

第二十八题一直线求作，依线之有阙平行方形与所设直线形等，而其阙形与所设平行方形相似，其所设直线形不大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似者。法曰：甲乙线求作，依线之有阙平行方形，与所设直线形丙等，而其阙形与所设平行方形丁相似，先以甲乙线两平分于戊，次于戊乙半线。上作戊己庚乙平行方形，与丁相似。而体势等【本篇十八】次作甲、辛、庚、乙、满、元。线平行方形，若甲己平行方形与丙。等者【本篇廿五】即得所求矣。若甲己大于丙者【题言：甲己小，即不可作，见本篇廿七】即等甲己之戊庚亦大于丙也，则寻戊庚之大于丙几何？假令其较为壬【两直线形不等相减之较法，见一卷四五増】即作癸子丑寅平行方形与壬等，又与戊庚形相似而体势【本篇廿五】则戊庚平行方形与丙直线形及癸丑平行方形并等，而戊庚必大于癸丑矣。夫戊庚与癸丑既相似，即戊己与巳庚两边之比例若寅癸与癸子也，而戊庚既大于癸丑，即戊己、己庚两邉亦大于寅癸、癸子也。次截取己巳、己夘与癸子、癸寅等，而作己己辰夘平行方形，必与癸丑，形相等，相似而体势等矣。又夘。己形既与戊庚相似，而体势等必同。依乙己对角线也【本篇廿六】次于己辰线。引出抵甲乙元线于夘辰两界各引。出作午未线，即甲辰为依甲乙线之。有阙平行方形与丙等，而其阙形乙。辰与戊庚相似【本篇廿四】即亦与丁相似。论曰：辰庚与辰戊两余方形既等【一卷四三】每加一乙辰角线方形，即乙己与戊午亦等，而与等戊午之戊未亦等【戊午、戊未同在平行线内，又底等故见一卷卅六】乙己与戊未既等，又每加一申辰方形，即甲辰平行方形与申酉罄折形亦等矣。夫申酉罄折形为戊庚形之分，而戊庚与丙及癸丑等，戊庚所截去之夘己又与癸丑等，则申酉罄折形与丙等也。而甲辰亦与丙等也。

第二十九题一直线求作，依线之带余平行方形，与所设直线形等，而其余形与所设平行方形相似。法曰：甲乙线求作，依线之带余平行。方形与所设直线形丙等，而其余形。与所设平行方形丁相似，先以甲乙线两平分于戊，次于戊乙半线上作。戊、己、庚、乙平行方形，与丁相似而体。势等【本篇十八】次别作一平行方形与丙及戊庚并等为辛【二卷十四】次别作一平行方形与辛等，又与丁相似，而体势等为壬癸子丑【本篇廿五】其丑癸既与辛等，即大于戊庚；而丑癸既与戊庚相似，即丑壬与壬癸两邉之比例若戊己与己庚也，而丑壬与壬癸两线必大于戊巳与巳庚也【若等或小，即丑癸不大于戊庚】次于巳戊引之至卯，与壬丑等于巳庚；引之至寅，与壬癸等，而作卯寅平行方形，即卯寅与丑癸同，依辰巳对角线而等【本篇廿六】又与戊庚相似，而体势等矣。次于甲乙引之至巳庚，乙引之至午，于午卯引之至未末，作甲未线与己夘平行，即得甲辰带余平行方形，依甲乙线与丙等，而己午为其余形，与戊庚形相似，而体势等【本篇廿四】即与丁相似，而体势等。论曰：甲夘、戊午两形既等【一卷卅六】戊午与乙寅两余方形又等【一卷四三】则甲夘与乙寅亦等矣。而每加一夘己形，则甲辰平行方形与戊辰寅罄折形亦等矣。夫戊辰寅罄折形元与丙等【丑癸即夘寅与丙及戊庚并等，每减一戊庚，即罄折形与丙等】即甲辰亦与丙等。

第三十题一直线求作理分中末线法曰：甲乙线求理分中末，先于元线作甲乙丙丁直角方形，次依丁甲邉作丁己带。余平行方形与甲丙直角方形等，而甲己为其余形，又与甲丙形相似【本篇廿九】即甲己亦直角方形矣【惟直角方形恒与直角方形相似】则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也【本卷界说三】论曰：丁己与甲丙两形既等，每减一甲戊形，即所存甲己辛、丙两形亦等矣。此两形之甲辛、己戊、辛乙两角既等【两皆直角故】即两角旁之各两邉线为互相视之线也【本篇十四】而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线，其为比例若甲辛与辛乙也。是甲辛乙线为理分中末也。又论曰：甲乙、甲辛、辛乙，凡三线，而第一、第三矩内之辛丙直角形与第二甲辛上直角方形等，即三线为连比例【本篇十七】而甲乙与甲辛若甲辛与辛乙矣。又法曰：甲乙线求分于丙，而甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等【二卷十一】即甲乙之分于丙为理分中末线，盖甲乙、甲丙、丙乙三线。

为连比例故【本篇廿七】

第三十一题三邉直角形之对直角邉上一形与直角旁邉上两形，若相似而体势等，则一形与两形并等。解曰：甲乙丙三邉直角形，乙甲丙为直角，于乙丙上任作直线形，为乙丙丁戊。次于甲乙、甲丙上，亦作甲乙己庚、甲丙壬辛两形，与乙丁形相似而体势等【本篇】【十八】题言：乙丁形与乙庚、丙辛两形并等。论曰：试从甲作甲癸为乙丙之垂线，依本篇第八题之系，即乙丙与丙甲两邉之比例，若丙甲与丙癸两邉，则一乙丙邉与三丙癸邉之比例，若一乙丙上之乙丁形与二甲丙上之丙辛形也【本篇十九或二十之系】反之则丙癸与乙丙两邉之比例，若丙辛与乙丁两形也。依显乙癸与乙丙两邉之比例，若乙庚与乙丁两形也【乙丙、乙甲、乙癸三邉为连比例，故见本篇八之系】夫一丙癸与二乙丙之比例，既若三丙辛与四乙丁，而五乙癸与二乙丙之比例，亦若六乙庚与四乙丁，则一丙癸、五乙癸并与二乙丙之比例，若三丙辛、六乙庚并与四乙丁也。既一丙癸、五乙癸并与二乙丙等，则三丙辛、六乙庚并与四乙丁亦等【五卷廿四】又论曰：甲乙丙与癸甲丙两角形，既相似，而甲乙丙角形，其乙丙与丙甲之比例，若癸甲丙角形之丙甲与丙癸【本篇八】即乙丙与丙甲两邉相似，则癸甲丙与甲乙丙两角形之比例为丙甲与乙丙再加之比例【本篇十九】而丙辛与乙丁两形之比例亦为丙甲与乙丙再加之比例【本篇十九、二十】则癸甲丙与甲乙丙两角形之比例若丙辛与乙丁两形也【五卷十一】依显癸乙甲与甲乙丙两角形之比例若乙庚与乙丁两形也。是一甲癸丙与二甲乙丙之比例若三丙辛与四乙丁也，而五癸乙甲与二甲乙丙之比例若六乙庚与四乙丁也。即一甲癸丙、五癸乙甲并与二甲乙丙之比例若三丙辛、六乙庚并与四乙丁也【五卷廿四】既一甲癸丙、五癸乙甲并与二甲乙丙等，则三丙辛、六乙庚并与四乙丁亦等。又论曰：一甲丙上直角方形与二乙丙上直角方形之比例，若三丙辛形与四乙丁形【此两率之比例皆甲丙与乙丙再加之比例，见本篇十九、二十】又五甲乙上直角方形与二乙丙上直角方形之比例，若六乙庚形与四乙丁形。即一甲丙上、五甲乙上两直角方形并与二乙丙上直角方形之比例，若三丙辛、六乙庚两形并与四乙丁形【五卷廿四】旣甲丙、甲乙上两直角方形并与乙丙上直角方形等【一卷四十】则丙辛乙庚两形并与乙丁形等増题角形之一邉上一形与余两邉上两形相似而体势等者，其一形与两形并等，则余两邉内角必直角。解曰：甲乙丙角形，于乙丙上任作一直线形，与甲乙、甲丙上两形相似而体势等，其一形与两形并等。题言：乙甲丙必直角。论曰：试作甲丁为甲丙之垂线，与甲乙等；次作丁丙线。其丙甲丁既直角，即于丁丙上作一形，与乙丙上形相似。其丁丙上形与丁甲、甲丙上相似而体势等之两形并等矣【本题】又甲丁与甲乙等，其上两形亦等，即丁丙上形与甲乙、甲丙上两形并亦等。而乙丙上形元与甲乙、甲丙上两形并等，则丁丙、乙丙上两形亦等，而丁丙与乙丙两线亦等【本篇廿二补论】夫甲丙丁角形之甲丁与甲乙丙角形之甲乙等，甲丙同邉，其底乙丙、丁丙又等，即丁甲丙与乙甲丙两角必等。丁甲丙既直角，则乙甲丙亦直角。

第三十二题两三角形，此形之两邉与彼形之两邉相似，而平置，两形成一外角。若各相似之各两邉各平行，则其余各一邉相聨为一直线。解曰：甲乙丙丁，丙戊两角形，其甲乙、甲丙邉。与丁丙、丁戊邉相似者，谓甲乙与甲丙之比例，若丁丙与丁戊也。试平置两形，令相切，成一甲丙丁外角，而甲乙与丁丙，甲丙与丁戌，各相似之两邉各平行。题言乙丙、丙戊为一直线。论曰：甲乙与丁丙既平行，即甲角与内相对之甲丙丁等【一卷廿九】依显丁角亦与内相对之甲丙丁等，则甲丁两角等。而甲乙丙与丁丙戊两角形之甲丁两角旁各两邉比例又等，即两形为等角形，而乙角与丁丙戊角必等【本篇六】次于乙角加甲角，于丁丙戊角加等甲之甲丙丁角，即乙甲两角并与等甲丙丁、丁丙戊两角并之甲丙戊角等。次每加一甲丙乙角，即甲乙丙形之内三角并与甲丙乙、甲丙戊两角并等。夫甲乙丙形之内三角等两直角【一卷卅二】则甲丙乙、甲丙戊并亦等两直角，而为一直线【一卷十四】

第三十三题【三支】等圜之乗圜分角，或在心，或在界，其各相当，两乗圜角之比例，皆若所乗两圜分之比例，而两分圜形之比例，亦若所乗两圜分之比例。解曰：甲乙丙戊己庚两圜等，其心为丁，为辛。两圜各任割一圜，分为乙丙，为己庚。其乗圜角之在心者，为乙丁丙，己辛庚；在界者，为乙甲丙，己戊庚。题先言乙丙与己庚两圜分之比例，若乙丁丙与己辛庚两角；次言乙甲丙与己戊庚两角之比例，若乙丙与己庚两圜分，后言乙丁、丁丙两腰偕乙丙圜分内，乙丁丙分圜形与己辛、辛庚两腰偕己庚圜分内，己辛庚分圜形之比例，亦若乙丙与己庚两圜分。先论曰：试作乙丙、己庚两线，次作丙壬合圜线与乙丙等，作庚癸、癸子两合圜线各与己庚等【四卷一】其丙壬既与乙丙等，即乙丙与丙壬两圜分亦等【三卷十八】而乙丁丙与丙丁壬两角亦等【三卷廿七】依显己庚、庚癸、癸子三圜分，己辛庚、庚辛癸、癸辛子三角俱等。则乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数，如在心乙丁壬角或乙丁壬内地倍乙丁丙角之数；而己庚癸子圜分倍己庚圜分之数，如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛庚角之数。何者？乙丁壬、己辛子两角或两地内之分数，与乙丙壬、己庚癸子两圜分内之分数各等故也。然则乙丁壬角与地若等于己辛子角与地，即乙丙壬圜分必等于己庚癸子圜分矣。若大亦大，若小亦小矣。是一乙丙所倍之乙丙壬，三乙丁丙所倍之乙丁壬，偕二己庚所倍之己庚癸子，四己辛庚所倍之己辛子，等大小皆同类也。则一乙丙与二己庚之比例，若三乙丁丙与四己辛庚也【五卷界说六】次论曰：乙丁丙角倍大于乙甲丙角，而己辛庚角亦倍大于己戊庚【三卷二十】即乙丁丙与己辛庚两角之比例，若乙甲丙与己戊庚两角矣【五卷廿五】则乙甲丙与己戊庚在界乗圜之两角，亦若乙丙与己庚两圜分也【五卷十一】若作甲壬戊癸直线，亦可用先论推显【用地当角说，见三卷廿増题】后论曰：「试于乙丙圜分内作乙丑丙角，次于丙壬圜分内作丙寅壬角。此两角所乗之乙甲壬丙与丙乙甲壬两圜分既等【三卷廿七】即两角亦等，而乙丑丙与丙寅壬两圜小分亦相似亦相等【乙丙与丙壬两合圜线等，故见三卷廿四】次每加一相等之乙丁丙、丙丁壬角形，即乙丁丙、丙丁壬两分圜形等【一卷四】则乙丁壬分圜形倍乙丁丙分圜形之数，如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数，依显己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之数，亦如己庚癸子圜分倍己庚圜分之数。然则乙丙壬圜分若等于己庚癸子圜分者，即乙丁壬分圜形亦等于己辛子分圜形矣。若大亦大，若小亦小矣【五卷界说六】是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜分，乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形，偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分，己辛子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小。」皆同类也，则一乙丙圜分与二己庚圜分之比例，若三乙丁丙分圜形与四己辛庚分圜形也【五卷界说六】一系，在圜心两角之比例，皆若两分圜形。二系在圜心角与四直角之比例，若圜心角所乗圜分与全圜界；四直角与在圜心角之比例，若全圜界与圜心角所乗之圜分。丁先生言：「欧几里得六卷中，多研察有比例之线，竟不及有比例之靣。故因其义类，増益数题，用补阙如左。」云：「窦复増一题，窃弁于首，仍以题防从先生旧题，随类附演，以广其用，俱称今者，以别于先生旧増也。」今増题「圜与圜，为其径与径再加之比例」。解曰：甲、乙、丙、丁、戊、己，两圜其径，甲丙、丁己。题言甲。

乙丙与丁戊己为甲丙与丁己再加之比例论曰如云不然当言甲乙丙圜与小于丁戊己之庚辛壬圜或大于丁戊己之癸子丑圜为甲丙与丁己再加之比例也【五卷界说二十増】若言庚辛壬是者，试置庚辛壬圜于丁戊己圜内，为同心，次于外圜内作丁亥、戊未、己申、酉戌多邉切形，其多邉为偶数，又等而全不至内圜也【四卷十六补题】次于甲乙丙圜内作甲午、乙寅、丙夘、辰己多邉切形，与丁戊己圜内切形相似【四卷十六补题可推】其两圜内两径上有丁亥、戊未、己与甲午、乙寅、丙相似之两多邉形，则为两相似邉再加之比例也【本篇二十】而甲丙与丁己两线为两形之相似邉，据如彼论，即甲午、乙寅、丙与丁亥、戊未、己两形，甲乙丙与庚辛壬两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也，甲乙丙半圜大于甲午、乙寅、丙形，将庚辛壬半圜亦大于丁亥、戊未、己形乎？则分大于全乎？若言癸子丑是者，亦如前论，甲午、乙寅、丙与丁亥、戊未、己两形，甲乙丙与癸子丑两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也，反之即癸子丑与甲乙丙两圜之比例为丁己与甲丙两径再加之比例也设他圜干兊离令癸子丑与甲乙丙之比例若丁戊己与干兊离【五卷界说増】则丁戊己与？

干兊离两圜亦宜为丁己与甲丙两径再加之比例也，癸子丑既大于丁戊己，即甲乙丙亦大于干兊离；而丁戊己与小于甲乙丙之干兊离两圜，能为丁己与甲丙两径再加之比例乎【前己驳有两圜，其第一与他圜之小于第二者，不得为元圜两径再加之比例】夫甲乙丙不得与圜之大于丁戊己者、小于丁戊己者，为甲丙与丁己再加之比例，则止有元两圜为其元两径再加之比例。一系，全圜与全圜，半圜与半圜，相当分与相当分，任相与为比例，皆等。葢诸比例，皆两径再加之比例，故二系。三边直角形，对直角边为径所作圜，与余两邉为径所作两圜并等。半圜与两半圜并等，圜分与相似两圜分并等【本篇卅一可推】三系三线为连比例，以为径所作三圜，亦为连比例。推此可求各圜之相与为比例者，又可以圜求各圜之相与为比例者【本篇十九、二十之系可推】一増题，直线形求减，所命分，其所减所存，各作形。

与所设形相似而体势等法曰：如甲直线形，求减三分之一，其所减、所存各作形，与所设乙形相似而体势等。先作丙丁形，与甲等，与乙相似而体势等【本篇廿五】次任于其一邉，如丙戊上。作丙、己、戊半圜，次分丙戊为三平分，而取其一，庚戊。次从庚作己庚为丙戊之垂线【本篇九】次作己丙、己戊两线，末于己丙、己戊上作己辛、己壬两形，各与丙丁相似而体势等【本篇十八】即所求。论曰：丙己戊角形，既负半圜为直角【三卷卅一】即丙丁直线形与己辛、己壬相似之两形并等【本篇卅】而于等甲之丙丁形减己壬，存己辛两形，各与丙丁相似而体势等，则与乙相似而体势等。今欲显己壬为丙丁三分之一者，试观丙庚己丙己戊两角形，既相似【本篇八】即丙庚与庚己之比例若丙己与己戊也【本篇四】夫丙庚、庚己、庚戊三线为连比例，即丙庚与庚戊为丙庚与庚己再加之比例【本篇八之系】而己辛与己壬两形，亦为丙己与己戊两相似邉再加之比例【本篇十九、二十】即丙庚与庚戊两线之比例若己辛与己戊两形也【两比例为两同理比例之再加故】合之则丙戊与庚戊之比例若等己辛、己壬两形并之，丙丁与己壬矣。丙戊三倍于庚戊，则丙丁亦三倍于己壬，而己壬为等甲之丙丁三分之一。若直线形求减之，不论所减、所存何形，其法更易。如甲形求减三分之一，先作乙丙平。行线形与甲等【一卷四一】次分乙丁为三。平分而取其一，戊丁末，从戊作己，戊线与丙丁平行，即戊丙形为等甲之乙丙形三分之一【本篇一】今附若于大圜求减所设小圜，则以圜径当形邉。

余法同前如上图又今附依此法可方一初月形【方初月形者，谓作直角方形与初月形等】如甲乙丙丁圜，其界上有附圜。四分之一之乙壬丙戊，初月形而求作一直角方形，与初月形等。先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形【三卷六】次用方形法，四平分之，即其一为所求方形，与初月形等。何者，甲乙丙半圜与甲乙、乙丙上两半圜并等。【本増题之今附】甲乙、乙丙两线自相等，即其上两半圜亦自相等。而庚乙、壬丙分圜形为大半圜之半，即与乙己、丙戊小半圜等。此两率者，各减一同用之乙己、丙壬圜小分，其所存乙壬、丙戊初月形与庚乙、丙角形等。而庚己、丙辛直角方形与庚乙、丙角形亦等，则与乙壬、丙戊初月形，亦等；依显甲乙丙丁直角方形，与大圜界上四初月形并等。二増题，两直线形，求别作一直线形为连比例。法曰：甲与乙丙丁两直线形，求别作一直线形为连比例。先作一戊己庚直线形，与甲等，与乙丙丁相似而体势等【本篇廿五】次以两形相似之各一邉，如戊己乙丙为前中率线，而求其连比例之末率线为辛壬【本篇十一】末于辛壬上作，辛壬癸形，与两形相似，而体势等【本篇十八】即所求。论曰：戊己、乙丙、辛壬三线既为连比例，即其上三形相似而体势等者，亦为连比例【本篇廿二】今附有两圜，求别作一圜为连比例，则以圜径当形邉，依上法作之。三増题，三直线形求别作一直线形为断比例法。曰：一甲，二乙丙丁戊，三己庚辛。三直线形求别作一直线形为断比例。先作壬癸子丑形，与甲等，与乙丁相似而体势等【本篇廿五】次以三形之任各一邉，如壬癸、乙丙、己庚为三率，求其断比例之末率。线为寅夘【本篇十二】末于寅夘上作寅夘。辰形与己、庚、辛相似，而体势等【本篇十八】即所求。论曰：四线既为断比例，即其线上形。相似而体势等者亦为断比例【本篇廿二】今附有三圜，求别作一圜为断，比例亦以圜径当形邉，依上法作之。

四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚直线形与甲等与乙丙丁相似而体势等【本篇廿五】次求戊己乙丙。两直线连比例之中率为辛壬【本篇十三】末于辛壬上作辛壬癸形，与戊己乙。丙上形相似而体势等【本篇十八】即所求。论曰：戊己、辛壬、乙丙三线既为连比例，即各线上戊己庚、辛壬癸、乙丙丁三形亦为连比例【本篇廿二】又法曰：甲乙两直线形，求别作一形为连比例之中，率先作丁丙己戊平行线形，任直斜角与甲等【一卷四五】次作庚戊壬辛平行线形，与乙等，与丁己形相似而体势等【本篇廿五】次置两平行线形，以戊角相聨，而丁戊、戊壬为一直线，即庚戊、戊己亦一直。线【一卷十五増】末，从两形引长各邉，成丙子辛癸平行线形，即两余方形，俱为丁己庚壬两形之中率。论曰：丁己庚壬两形既相似而体势等，即丁戊与己戊之比例，若戊壬与戊庚也。更之，即丁戊与戊壬若己戊与戊庚也。夫丁戊与戊壬两线之比例，亦若丁己与戊癸两形；己戊与戊庚两线之比例，又若戊癸与庚壬两形。则戊癸为丁己庚壬之中率矣。又论曰：丁己庚壬两形既相似，而体势等，即同依丙辛对角线【本篇廿六】而子戊、戊癸两余方形自相等，则丁己与戊癸两形之比例若子戊与庚壬两形？何者？此两比例皆若丁戊与戊壬也，则子戊、戊癸皆丁己、庚壬之中率也。今附若两圜，求作一圜为连比例之中率，亦以圜径当形邉，依上前法作之。五増一直线形求分作两直线形，俱与所设形相似而体势等，其比例若所设两几何之比例。法曰：甲直线形求分作两直线形，俱与所设丁形相似而体势等，其比例若所设两几何，如乙线与丙线之比例，先作戊己庚辛直线形。与甲等，与丁相似，而体势等【本篇廿五】次。任用其一邉，如戊辛两分之于壬令。戊壬与壬辛之比例，若乙与丙也【分法】【先以乙丙两线联为一直线，次截戊壬与壬辛，若乙与丙，见本篇十】次于戊辛上作戊癸辛半圜，次从壬作癸壬为戊辛之垂线，次作戊癸、癸辛线相聨。末于戊癸、癸辛上作戊丑子癸、癸夘寅辛两形，与戊庚形俱相似而体势等【本篇十八】即此两形并与甲等，又各与丁相似而体势等，其比例又若乙与丙。论曰：戊癸辛既负半圜为直角【三卷卅一】即戊子、癸寅两形并与等戊庚之甲等【本篇卅一】又戊壬与壬癸之比例，若戊癸与癸辛【俱在直角两旁，故见本篇四】戊壬、壬癸、壬辛三线为连比例，即戊壬与壬辛为戊壬与壬癸再加之比例【本篇八之系】而戊子与癸寅两形，亦为戊癸与癸辛两相似邉再加之比例【本篇二十】则戊壬与壬辛之比例，亦若戊子与癸寅也【两比例为两同理比例之再加，故】夫戊壬与壬辛元若乙与丙也，则戊子与癸寅亦若乙与丙也。今附若一圜，求分作两圜，其比例若所设两几何，亦以圜径当形邉，依上法作之。六増题一直线形求分作两直线形，俱与所设形相似而体势等，其两分形两相似邉之比例，若所设两几何之比例。法曰：甲直线形，求分作两直线形。俱与所设丁形相似，而体势等其两分形，两相似，邉之比例若所设。两几何如乙线与丙线之比例先？以乙与丙两线求其连比例之末。

率为戊【本篇十一】次作己庚辛直线形与甲等与丁相似而体势等次任用其一邉如己辛两分之于壬令己壬与壬辛之比例若乙与戊也【本篇十】次于己辛线上作己癸辛半圜次从壬作壬癸为己辛之垂线次作己癸癸辛两线相聨未于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛两形俱与丁相似而体势等即此两形并与等甲之己庚辛等而己癸癸辛两相似邉之比例若乙与丙论曰：己癸辛既负半圜为直角【三卷卅】即己子癸、癸丑辛两形并与等己庚辛之甲等【本篇卅一】又己壬与壬癸之比例，若己癸与癸辛【俱在直角两旁故见本篇四】己壬、壬癸、壬辛三线为连比例，即己壬与壬辛为己壬与壬癸再加之比例【本篇八之系】夫己壬与壬癸之比例既若己子，癸癸丑辛，两形相似。邉之己癸，与癸辛而乙与戊元若。己、壬与壬、辛、乙与戊、元为乙与丙。再加之比例，则己、癸、癸、辛之比例。

若乙与丙今附若一圜，求分作两圜，其两圜径之比例，若所所设两几何，仿此。七増题，两直线形，求并作一直线形，与所设形相似而体势等。法曰：甲乙两直线形，求并作一形，与所设丙形相似，而体势等。先作戊丁。己形与甲等，作己、庚、辛形与乙等，又。各与丙相似而体势等【本篇廿五】次置两。形令相似之戊己，己辛两邉聨为直。角次作戊辛线相聨末依戊辛线作戊辛壬，与丙相似而体势等，即与上两形并等【本篇卅一】如所求，又法曰：作一平行方形与甲乙两形并等【一卷四五】次作戊辛壬角形与平行方形等，又与丙相似而体势等，即所求。今附若两圜，求并作一圜，亦以圜径当形邉，依上法作之。八増题：圜内两合线交而相分，其所分之线，彼此互相视。解曰：甲乙丙丁，圜内有甲丙、乙丁两合线，交而相分于戊。题言所分之甲戊、戊丙、乙戊、戊丁为互相视之线者，谓甲戊与戊丁若乙戊与戊丙也。又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也论曰：甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内直角形等【三卷卅五】即等角旁之两邉为互相视之邉【本篇十四】九増题：圜外任取一防，从防出两直线，皆割圜至规内。其两全线与两规外线，彼此互相视。若从防作一切圜线，则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率。解曰：甲乙丙丁，圜外任取，戊防从戊作戊丁、戊丙两割圜至规内之线，遇圜界于甲，于乙。题言戊丙、戊乙、戊丁、戊甲互相视者，谓戊丙与戊丁若戊甲与戊乙也。又戊丙与戊甲，若戊丁与戊乙也。论曰：试从戊作戊己线，切圜于己，即戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等【三卷卅六】又戊丁偕戊甲矩内直角形与戊己上直角方形亦等，即戊丙偕戊乙与戊丁偕戊甲两矩内直角形自相等，而等角旁之两邉为互相视之邉【本篇十四】又戊丙偕戊乙戊丁偕戊甲两矩内直角形各与戊己上直角方形等【三卷卅六】即戊丙、戊己、戊乙三线为连比例，戊丁、戊己、戊甲三线亦为连比例，而戊己为各全线与其规外线之各中率【本篇十七】十増题，两直线相遇，作角，从两线之各一界互下垂线，而每方为两线，一自界至相遇处，一自界至垂线，则各相对之两线皆彼此互相视。解曰：甲乙丙，乙两线相遇于乙，作甲乙丙角。从甲作丙乙之垂线，从丙作甲乙之垂线。若甲乙丙为钝角即如前图，两垂线当至甲乙、丙乙之各引出线上，为甲丁，为丙戊。其甲戊、丙丁交而相分于乙也。若甲乙丙为锐角，即如后图，甲丁、丙戊两垂线当在甲乙、丙乙之内，交而相分于己也。题言：两图之甲乙、乙戊、丙乙、乙丁皆彼此互相视者。谓甲乙与乙丙，若丁乙与乙戊也；又甲乙与丁乙，若乙丙与乙戊也。

论曰：甲乙丁角形之甲乙丁，甲丁乙两角与丙乙戊角形之丙乙戊，丙戊乙两角各等【两为直角，两于前圗为交角，于后圗为同角故】即两形为等角形，而甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也【本篇四】更之则甲乙与乙丙若丁乙与乙戊也又论曰：依前圗，可推后图之甲、丁、丙、戊交而相分于己。其甲、己、己、丁、丙、己、己、戊，亦彼此互相视。盖甲、己、戊、丙、己、丁，既为等角形，即甲己与己戊若丙己与己丁也【本篇四】更之，则甲己与丙己若己戊与己丁也。十一増题：平行线形内，两直线与两邉平行相交，而分元形为四平行线形。此四形任相与为比例，皆等。解曰：甲乙丙丁平行线形内，作戊己庚辛两线，与甲丁、丁丙各平行，而交于壬。题言所分之戊庚、庚己、乙壬、壬丙四形，任相与为比例皆等论曰：戊壬与壬己两线之比例，既若戊庚与庚己两形【本篇一】又若乙壬与壬丙两形。即戊庚与庚己，亦若乙壬与壬丙也【五卷十二】依显，乙壬与戊庚亦若壬丙与庚己也。十二増题，凡四邉形之对角两线交而相分，其所分四三角形，任相与为比例，皆等。解曰：甲乙丙丁四邉形之甲丙乙丁两对角线交相分于戊。题言所分甲戊丁、乙戊丙、甲戊乙、丁戊丙四三角形任相与为比例皆等。论曰：甲戊与戊丙两线之比例，若甲戊丁与丁戊丙两角形，又若甲戊乙与乙戊丙两角形【本篇一】即甲戊丁与丁戊丙两角形，亦若甲戊乙与乙戊丙也。依显，甲戊乙与甲戊丁，亦若乙戊丙与丁戊丙也。十三増题：三角形，任于一邉，任取一防，从防求作一线，分本形为两形，其两形之比例，若所设两几何之比例。先法曰：甲乙丙角形，任于一邉，如乙丙上，任取一防为丁，求从丁作一线，分本形为两形，其两形之比例，若所设两几何，如戊线与己线之比例。先以乙丙线两分之于庚，令乙庚与庚丙之比例若戊与己【本篇十】其庚与丁若同防，即作丁甲线，则乙丁与丁丙两线之比例若乙丁甲与丁丙甲两角形也【本篇一】是丁甲线所分两形之比例若戊与己。次法曰：若庚在丁丙之内，亦作丁甲线。次从庚作庚辛线，与丁甲平行。次作丁辛线相聨，即丁辛线分本形为两形，其比例若戊与己者。谓乙丁辛甲无法四邉形与丁丙辛角之比例，若乙庚与庚丙也，亦若戊与己也。论曰：试作庚甲线，即辛庚甲、庚辛丁两角形等【一卷卅七】次每加一丙庚辛角形，即丙庚甲、丙辛丁两角形亦等，则甲乙丙全形与丙庚甲角形之比例，若甲乙丙与丙辛丁也【五卷七】分之，则乙庚甲角形与丙庚甲角形之比例，若乙丁辛甲无法四邉形与丙辛丁角形也【五卷十七】乙庚甲与丙庚甲两角形之比例，既若乙庚与庚丙【本篇一】则乙丁辛甲无法四邉形与丙辛丁角形之比例，亦若乙庚与庚丙也，则亦若戊与己也。

后法曰：若庚在乙丁之内，亦作丁甲线。次从庚作庚辛线，与丁甲平行。次作丁辛线相聨即丁辛线分本形为两形，其比例若戊与己者，谓乙丁辛角形与丁丙甲辛无法四邉之比例，若乙庚与庚丙也，亦若戊与己也。论曰：试作庚甲线如前推显辛庚甲庚辛丁两角形等【一卷卅七】次每加一乙庚辛角形，即乙庚甲与乙辛丁两角形亦等，则甲乙丙全形与乙庚甲角形之比例，若甲乙丙与乙辛丁也【五卷七】分之则丙庚甲角形与乙庚甲角形之比例，若丁丙甲辛，无法四邉形与乙辛丁角形也【五卷十七】反之则乙庚甲角形与丙庚甲角形之比例，若乙辛丁角形与丁丙甲辛无法四邉形也。乙庚甲与丙庚甲之比例，既若乙庚与庚丙【本篇】则乙丁辛角形与丁丙甲辛无法四邉形之比。例亦若乙庚与庚丙也，则亦若戊与己也。系凡角形任于一邉，任取一防，从防求减命分之一，如前法作多倍大之比例，即得其所作倍数，每少于命分之一。如求减四分之一，即作三倍大之比例；减五分之一，即作四倍大之比例也。则全形与所减分之比例，其倍数若命分之数也。十四増题一直线形求别作一直线形相似而体势等，其小大之比例如所设两几何之比例，法曰：甲直线形，求别作直线形相似而体势等，其甲形与所作形小大之比例，若所设。两几何如乙与丙两线之比例？先以乙、丙及任用甲之一邉，如丁、戊三线。求其断比例之末率，为己【本篇十二】次求。丁戊及己之中，率线为庚辛【本篇十三】末。从庚、辛上作壬直线形，与甲相似，而体势等，即甲与壬之比例，若乙与丙。论曰：丁、戊、庚、辛、己三线为连比例，即一丁戊与三己之比例，若相似而体。势等之甲与壬【本篇十九、二十之系】若先设大甲，求作小壬。若乙与丙，其法同如上圗用此法，可依此直线形加作两倍、大三倍、四五倍大，以至无穷之他形；亦可依此直线形减作二分之一、三分四五分之一，以至无穷之他形。其此形与他形，皆相似而体势等。有用法作直角方形、平行线形及各形之相加相减者。如甲乙丙丁直角方形，求别作五倍大之他形。先以甲乙线引长之，以甲乙为度，截取五分至戊。令乙至戊五倍大于甲乙也。次以甲戊两平分于己。次以己为心，甲戊为界，作甲庚。戊半圜，其乙丙线直行遇圜界于庚，即乙庚为所求方形之一邉也。末作乙庚辛己直角方形，即五倍大于甲丙。向者乙庚既为戊乙、乙甲之中率线【本篇十三之系】即一戊乙与三乙甲之比例，若二庚乙上直角方形与三甲乙上直角方形之比例也【本篇二十之系】戊乙既五倍于乙甲，则乙辛亦五倍于甲丙。若戊乙为乙甲之六倍，则乙辛亦甲丙。

之六倍，若戊乙为乙甲三分之一，则乙辛亦甲丙三分之一，相加相减，仿此以至无穷。如甲乙丙丁平行直角形，求别作二倍大之他形相似而体势等，先以甲乙线引长之，以甲乙为度截取二分至戊令乙至戊，二倍大于甲乙也，次以甲、戊两平分于己，次以己为心，甲、戊。为界，作甲庚戊半圜，其丙乙线直行。遇圜界于庚，即乙庚为所求直角形。之一邉也，次于甲戊线上，截取甲辛与乙庚等，从辛作辛壬线与乙丙平行，次作甲丙对角线，引长之与辛壬线遇于壬，末作丁癸，癸壬成甲辛壬癸平行直角形，即二倍大于甲丙，又相似而体势等。何者，戊乙、乙庚、乙甲三线既为连比例【本篇十三之系】如前论，一戊乙与三乙甲之比例若二等，乙庚之甲辛上平行直角形甲壬与三甲乙上平行直角形甲丙也【本篇二十之系】戊乙既二倍于甲乙，则甲壬亦二倍于甲丙。用此法，凡甲乙上不论何等形，与乙庚上形相似而体势等者，其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形，相加相减，俱仿此以至无穷。今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减仿此以至无穷。以上用法与本増题同，但此用法随作随得，中率线不费寻求，致为简易耳。十五，増题：诸三角形，求作内切直角方形。法曰：如甲乙丙锐角形，求作内切直角方形，先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次以甲丁线两分于戊令甲戊与戊丁之比例，若甲丁与乙丙【本篇十一増题】末从戊作己，庚线与乙丙。

平行从己从庚作己辛庚壬两线皆与戊丁平行即得己壬形如所求若直角钝角形，则从直角钝角作垂线，余法同【如第二第三圗是】论曰：己戊庚线既与乙丙平行，即乙丁与丁丙，若己戊与戊庚也【本篇四之増题】合之，即乙丙与丁丙，若己庚与戊庚也又丁丙与甲丁若戊庚与甲戊【甲丁丙与甲戊庚为等角形，故见本篇四之系】平之，即乙丙与甲丁，若己。

庚与甲戊也又甲丁与乙丙若甲戊与戊丁平之即乙丙与乙丙若己庚与戊丁也乙丙与乙丙同线必等，即己庚与戊丁必等，而己庚与辛壬又等【一卷卅四】戊丁与己辛、庚壬亦等，则己庚、庚壬、壬辛、辛己四邉俱等。又戊丁、辛既直角，即己辛、丁亦直角【一卷廿九】其余亦皆直角，而己壬为直角方形。又法曰：若直角三邉形，求依乙角作。内切直角方形，则以垂线甲乙两分。于丁令甲丁与丁乙之比例，若甲乙。与乙丙【本篇十】次从丁作丁戊直线与乙丙平行，从戊作戊己直线与甲乙平行，即得丁己形如所求。论曰：乙丙与甲乙既若丁戊与甲丁【甲乙丙甲丁戊为等角形，故见本篇四之系】而甲乙与乙丙又若甲丁与丁乙平之，即乙丙与乙丙若丁戊与丁乙也。乙丙与乙丙同线，必等，即丁戊与丁乙必等。而丁己为直角方形，今附如上三邉直角形，依乙角作内切直角方形，其方形邉必为甲丁己丙两分余邉之中率。何者，甲丁与丁戊若戊己与己丙故【本篇四之系】

几何原本卷六