几何原本卷四

几何原本卷四

西洋利玛窦撰第一题有圜求作合圜线与所设线等，此设线不大于圜之径线。法曰：甲乙丙圜，求作合线与所设丁线等，其丁线不大于圜之径线【径为圜内之最大线，更大不可合，见三卷十五】先作甲乙圜径为乙丙，若乙丙与丁等者，即是合线。若丁小于径者，即于乙丙上截取乙戊，与丁等。次以乙为心，戊为界，作甲戊圜，交甲乙丙圜于甲。末作甲乙合线，即与丁等。何者？甲乙与乙戊等，则与丁等。

第二题有圜，求作圜内三角切形，与所设三角形等角。法曰：甲乙丙圜，求作圜内三角切形，其三角与所设丁戊己形之三角各等。先作庚辛线切圜于甲【三卷十七】次作庚甲乙角与设形之己角等，次作辛甲丙角与设形之戊角等，末作乙丙线，即圜内三角切形与所设丁戊己形等角。论曰：甲丙乙与庚甲乙两角等，甲乙丙与辛甲丙两角亦等【三卷卅二】而庚甲乙辛甲丙两角既与所设己戊两角各等，即甲丙乙甲乙丙亦与己戊各等，而乙甲丙必与丁等【一卷卅二】则三角俱等。

第三题有圜，求作圜外三角切形，与所设三角形等角。法曰：甲乙丙圜，求作圜外三角切形，其三角与所设丁戊己形之三角各等。先于戊己一邉引长之为庚辛，次于圜界抵心作甲壬线，次作甲壬乙角与丁戊庚等，次作乙壬丙角与丁己辛等，末于甲乙丙上作。癸子子丑丑癸三垂线，此三线各切圜于甲，于乙，于丙【三卷十六之系】而相遇于子，于丑，于癸【若作甲丙线，郎癸甲丙，癸丙甲两角小于两直角，而子癸丑癸两线必相遇，余二仿此】此癸子丑三角与所设丁戊己三角各等。论曰：甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一卷卅二题内】而壬甲子、壬乙子两为直角，即甲壬乙、甲子乙两角并等两直角。彼丁戊庚丁戊己两角并亦等两直角【一卷十三】此二等率者，每减一相等之丁戊庚、甲壬乙，则所存丁戊己与甲子乙等。依显丑角与丁己戊等，则癸与丁亦等【一卷卅二】而癸子丑与丁戊己两形之各三角俱等。

第四题三角形求作形内切圜法曰：甲乙丙角形，求作形内切圜。先以甲乙丙角、甲丙乙角各两平分之【一卷九】作乙丁、丙丁两直线，相遇于丁。次自丁至角形之三邉各作垂线，为丁己、丁庚、丁戊。其戊丁乙角形。之丁戊、乙丁、乙戊两角与乙丁己角形之丁己、乙丁、乙己两角各等，乙丁同邉，即丁戊、丁己两邉亦等【一卷廿六】依显丁丙己角形与丁庚丙角形之丁己、丁庚两邉亦等，即丁戊、丁己、丁庚三线俱等。末作圜，以丁为心，戊为界，即过庚己为戊庚己圜，而切角形之甲乙、乙丙、丙甲三邉于戊、于己、于庚【三卷十六之系】此为形内切圜。

第五题三角形求作形外切圜法曰：甲乙丙角形，求作形外切圜。先平分两邉【若形是直角钝角，则分直角钝角之两旁邉】于丁，于戊。次于丁戊上各作垂线，为己丁、己戊，而相遇于己【若自丁至戊作直线，即己丁戊角形之己丁戊、己戊丁两角小于两直角，故丁己戊、己两线必相遇】其己防或在形内，或在形外，俱作己甲、己乙、己丙三线；或在乙丙邉上，止作己甲线。其甲丁己角形之甲丁与乙丁己角形之乙丁两腰等，丁己同腰，而丁之两旁角俱直角，即甲己、己乙两底必等【一卷四】依显甲己戊、丙己戊两形之甲己、己丙两底亦等，则己甲、己乙、己丙三线俱等。末作圜，以己为心，甲为界必切丙乙而为角形之形外切圜。一系若圜心在三角形内，即三角形为锐角形。何者？每角在圜大分之上，故若在一邉之上，即为直角形；若在形外，即为钝角形。二系若三角形为锐角形，即圜心必在形内；若直角形，必在一邉之上；若钝角形，必在形外。増从此推得一法，任设三防不在一直线，可作一过三防之圜。其法先以三防作三直线相联成三角形，次依前作。其同法甲乙丙三防，先以甲乙两防。各自为心，相向各任，作圜分，令两圜。分相交于丁，于戊次甲丙两防，亦如。之令两圜分相交于己于庚，末作丁。戊己庚两线各引长之，令相交于辛，即辛为圜之心。论见三卷二十五增。

第六题有圜求作内切圜直角方形法曰：甲乙丙丁，圜其心，戊求作内切圜直角方形。先作甲丙、乙丁两径线，以直角相交于戊次作甲乙，乙丙，丙丁，丁甲四线，即甲乙丙丁为内切圜直角方形。论曰：甲乙戊角形之甲戊与乙戊丙角形之戊丙两腰等，乙戊同腰，而腰间角两为直角，即其底甲乙、乙丙等【一卷四】依显乙丙、丙丁亦等，则四邉形之四邉俱等，而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上，又皆直角【三卷卅一】是为内切圜直角方形。

第七题有圜求作外切圜直角方形法曰：甲乙丙丁，圜其心。戊求作外切圜直角方形。先作甲丙、乙丁两径线，以直角相交于戊。次于甲乙、丙丁作庚己、己辛、辛壬、壬庚四线，为两径之垂线而相遇于己，于辛，于壬，于庚，即己庚壬辛为外切圜直角方形。论曰：甲戊、乙己、乙戊，既皆直角，即己辛、甲丙平行【一卷廿八】依显甲丙、庚壬亦平行，则己庚、辛壬亦平行【一卷三十】又甲丙、辛己既直角形，即甲丙、己辛必等【一卷卅四】而甲丙、辛甲、己辛两角亦等。甲丙辛既直角，即甲己辛亦直角。依显庚壬辛亦直角。而辛壬、壬庚、庚己三邉俱等于甲丙、乙丁两径。既四邉俱等于两径，则己庚壬辛为直角方形，而四邉各切圜【三卷十六之系】

第八题直角方形求作形内切圜法曰：甲乙丙丁直角方形，求作形内切圜。先以四邉各两平分，于戊，于己，于庚，于辛，而作辛己、戊庚两线交于壬，其甲丁与乙丙既平行相等，即半减线之甲辛、乙己亦平行相等，而甲乙与辛己亦平行相等【一卷卅三】依显，丁丙与辛己亦平行相等，甲丁、乙丙、戊庚俱平行相等，而甲壬、乙壬丙、壬丁、壬四俱直角形。壬戊、壬己、壬庚、壬辛四线与甲辛、戊乙、丁辛、甲戊四线各等。夫甲辛、戊乙、丁辛、甲戊各为等线之半，即与之等者壬戊、壬己、壬庚、壬辛亦自相等。次作圜，以壬为心，戊为界，必过己、庚、辛，而切甲丁、丁丙、丙乙、乙甲四邉【三卷十六】是为形内切圜。第九题直角方形求作形外切圜法曰：甲乙丙丁直角方形，求作外切圜。先作对角两线，为甲丙、乙丁，而交于戊。其甲乙丁，角形之甲乙、甲丁两腰等，即甲乙丁、甲丁乙两角亦等【一卷五】而乙甲丁为直角，即甲乙丁、甲丁乙俱半直角【一卷卅二】依显丙乙丁、丙丁乙亦俱半直角，而四角俱等。又戊甲丁、戊丁甲两角等，即戊甲、戊丁两邉亦等【一卷六】依显戊甲、戊乙两邉亦等，而戊乙、戊丙两邉，戊丙、戊丁两邉各等。次作圜，以戊为心，甲为界，必▯乙丙丁而为形外切圜。

第十题求作两邉等三角形，而底上两角各倍大于腰间角。法曰：先任作甲乙线，次分之于丙。其分法须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等【二卷十一】次以甲为心，乙为界，作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等【本篇一】末作甲丁线相联，其甲乙、甲丁等，即甲乙丁为两邉等角形，而甲乙丁、甲丁乙两角各倍大于甲角。论曰：试作丙丁线，而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜【本篇五】其甲乙偕丙乙矩内直角形，与甲丙上直角方形等，即亦与至规外之乙丁上直角方形等。而乙丁线切甲丙丁圜于丁【三卷卅七】即乙丁切线偕丁丙割线所作乙丁丙角，与负丁甲丙圜分之甲角交互相等【三卷卅二】此二率者，毎加一丙丁甲角，即甲丁乙全角与丙甲丁、丙丁甲两角并等。夫乙丙丁外角，亦与丙甲丁、丙丁甲相对之两内角等【一卷卅二】即乙丙丁角与甲丁乙全角等，而与相等之甲乙丁亦等。丙丁与乙丁两线亦等【一卷六】夫乙丁元与甲丙等，即丙丁与甲丙亦等，丙甲丁、丙丁甲两角亦等。而甲角既与乙丁丙角等，即乙丁丙与丙丁甲两角亦等。是甲丁乙倍大于丙丁甲，必倍大于相等之甲角也，而相等之甲乙丁亦倍大于甲也。

第十一题有圜，求作圜内五邉切形，其形等邉等角。法曰：甲乙丙丁戊圜，求作五邉内切圜形，等邉等角。先作己庚辛两邉等角形，而庚辛两角各倍大于己角【本篇十】次于圜内作甲丙丁角形，与己庚辛角形各等角【本篇二】次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分【一卷九】作丙戊丁乙两线，末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相联，即甲乙丙丁戊为五邉内切圜形，而五邉五角俱自相等。论曰：甲丙丁、甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角，而两角又平分，即甲丁乙、乙丁丙、丙甲丁、丁丙戊、戊丙甲五角皆等，而五角所乘之甲乙、乙丙、丙丁、丁戊、戊甲五圜分亦等【三卷廿六】即甲乙、乙丙、丙丁、丁戊、戊甲五线亦等【三卷廿九】是五邉形之五邉等，又甲乙、戊丁两圜分等，而各加一乙丙丁圜分，即甲乙丙丁与戊丁丙乙两圜分等，乘两圜分之甲戊丁乙、甲戊两角亦等，依显余三角与两角俱等，是五邉形之五角等。

第十二题有圜，求作圜外五邉切形，其形等邉等角。法曰：甲乙丙丁戊圜，求作五邉外切圜形，等邉等角。先作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形【本篇十一】次从己心作己甲，己乙。己丙，己丁，己戊，五线次从。此五线作庚辛，辛壬，壬癸，癸子，子庚五埀线相遇于庚，于辛，于壬，于癸，于子【庚戊甲庚甲戊两角小于两直角，故甲庚戊庚线必相遇，余四仿此】五埀线既切圜【三卷十六】即成外切圜五邉形，而等邉等角。论曰：试从己心作己庚、己辛、己壬、己癸、己子五线，其己甲、甲辛上两直角方形，己乙、乙辛上两直角方形之两并，各与己辛上直角方形等【一卷四七】即两并自相等，此两并率者，每减一相等之甲己、己乙上直角方形，即所存甲辛、辛乙上两直角方形等，则甲辛、辛乙两线等也。又甲己辛角形之甲己与乙己辛角形之乙己两腰等，己辛同腰，而甲辛、辛乙两底又等，即甲己辛、辛己乙两角等【一卷八】而甲辛己、乙辛己两角亦等【一卷四】则甲己乙角倍大于辛己乙角也。依显乙己丙角亦倍大于乙己壬角，乙壬丙角亦倍大于乙壬己角也。又甲己乙、乙己丙两角乘甲乙、乙丙相等之两圜分【线等故圜分等见三卷廿八】即两角自相等【三卷廿七】半减之辛己乙、乙己壬两角亦等。乙己辛角形之乙己辛、辛乙己两角与乙己壬角形之乙己壬、壬乙己两角各等，而乙己同邉，是辛乙、乙壬两邉亦等也【一卷廿六】乙辛己、乙壬己两角亦等也，则辛壬线倍大于辛乙线也。依显庚辛线亦倍大于辛甲线也。前己显甲辛、辛乙两线等，则倍大之庚辛、辛壬两线亦等也。依显壬癸、癸子、子庚与庚辛。辛、壬俱等，也是为庚、辛、壬、癸、子形之五邉等。又依前所显，乙、辛、己与乙、壬、己两角等，是乙、辛、甲之减半角与乙、壬、丙之减半角等。即倍大之乙、辛、甲与乙、壬、丙亦等也。依显，辛、壬、癸、壬、癸、子、癸、子、庚、子、庚、辛与庚、辛、壬俱等，也是为庚、辛、壬、癸、子形之五角等。

第十三题五邉等邉等角形求作形内切圜。法曰：甲乙丙丁戊五邉等邉等角形，求作内切圜。先分乙甲戊、甲乙丙两角各两平分【一卷九】其线为己甲、己乙，而相遇于己【己甲乙、己乙甲两角小于两直角，故己甲、己乙两线必相遇】自己作己丙、己丁、己戊三线，其甲己乙角形之甲乙腰与乙己丙角形之乙丙、腰等，乙、己同腰，而两腰间之甲、乙、己、丙、乙、己两角等，即甲、己、己、丙两底亦等，乙、甲、己、乙、丙、己两角亦等【一卷四】又乙、甲、戊与乙、丙、丁两角等，而乙、甲、己为乙、甲、戊之半，即乙、丙、己亦乙、丙、丁之半，则乙、丙、丁角亦两平分于己、丙线矣。依显丙、丁、戊、丁、戊、甲两角亦两平分于己、丁、己、戊两线矣。次从己向各邉作己、庚、己、辛、己、壬、己、癸、己、子五埀线，其甲、己、庚角形之己、甲、庚、己、庚、甲两角与甲、己、子角形之己甲子己子甲两角各等，甲己同邉，即两形必等【一卷廿六】己子与己庚两线亦等，依显己辛、己壬、己癸三埀线与己庚、己子两埀线俱等。末作圜，以己为心，庚为界，必过辛、壬、癸、子，而为甲乙丙丁戊五邉形之内切圜【三卷十六】

第十四题五邉等邉等角形求作形外切圜。法曰：甲乙丙丁戊五邉等邉等角形，求作外切圜。先分乙甲戊、甲乙丙两角各两平分，其线为己甲、己乙，而相遇于己【说见前】次从己作己丙、己丁、己戊三线，依前题论推，显乙丙丁丙丁戊，丁戊甲，三角各两平分于己。丙己、丁己、戊三线。夫五角既等，即其半减之角亦等。而甲乙己角形之己甲乙、己乙甲两角等，即甲己与己乙两线亦等【一卷六】依显己丙、己丁、己戊三线与己甲、己乙俱等。末作圜，以己为心，甲为界，必过乙、丙、丁、戊，而为甲乙丙丁戊五邉形之外切圜。

第十五题有圜，求作圜内六邉切形，其形等邉等角。法曰：甲乙丙丁戊己，圜其心。庚求作六边内切圜形，等边等角。先作甲丁径线，次以丁为心，庚为界作圜。两圜相交于丙，于戊。次从庚心作丙庚、戊庚两线，各引长之为丙己、戊乙。末作甲乙、乙丙、丙丁、丁戊、戊己、己甲六线相。聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六邉形而等邉等角。论曰：庚丙、庚丁两线等，而丁丙与丁庚亦等【依圜界说】三邉俱等，即庚丙丁为平邉角形，而庚丁丙、丁丙庚、丙庚丁三角俱等【一卷五】此三角元与两直角等【一卷卅二】即每角为两直角三分之一，而丙庚丁角为两直角三分之一也。依显丁庚戊角亦两直角三分之一，而丙庚丁、丁庚戊、戊庚己三角又等于两直角【一卷十三】即戊庚己角亦两直角三分之一矣。则丙庚丁、丁庚戊、戊庚己三角亦自相等，而此三角与己庚甲、甲庚乙、乙庚丙三角亦等【一卷十五】是辏庚心之六角俱自相等，而所乗之六圜分【三卷廿六】及甲乙、乙丙、丙丁、丁戊、戊己、己甲六线俱自相等【三卷廿九】则甲乙丙丁戊己形之六邉等。乂乙丙与甲己两圜分等，而各加一丙丁戊己圜分，即乙丙丁戊己与甲己戊丁丙两圜分等，而所乗之乙甲己与甲乙丙两角等【三卷廿七】依显乙丙丁、丙丁戊、丁戊己、戊己甲四角与乙甲己、甲乙丙两角俱等，则甲乙丙丁戊己形之六角等。一系，凡圜之半径为六分圜之一之分，▯何者？庚丁与丁丙等，故故一开规为圜不动，而可六平分之。二系，依前十二、十三、十四题，可作六邉等邉等角形在圜之外，又六邉等邉等角形内可作切圜，又六邉等邉等角形外可作切圜。

第十六题有圜，求作圜内十五邉切形，其形等邉等角。法曰：甲乙丙圜，求作十五邉内切圜形，等邉等角。先作甲乙丙内切圜平邉三角形，与丁等角【本篇二】即三邉等，而甲乙、乙丙、丙甲三圜分亦等【三卷廿八】夫甲乙丙圜，十正分之，则甲乙三分圜之一，当为十五分之五。次从甲作甲戊、己庚、辛内切圜五邉形等角【本篇十一】即甲戊、戊己、己庚、庚辛、辛甲五圜分等【三卷廿八】夫甲乙丙圜十五分之，则甲戊五分圜之一当为十五分之三，而戊乙得十五分之二。次以戊乙圜分两平分于壬【三卷卅】则壬乙得十五分之一。次作壬乙线，依壬乙共作十五合圜线【本篇一】则成十五邉等邉形，而十五角所乗之圜分等，即各角亦等【三卷廿七】一系依前十二、十三、十四题可作，外切圜十五邉。形又十五边形内可作切圜，又十五邉。

形外可作切圜注曰：「依此法，可设一法，作无量数形。」如本题圗甲乙圜分为三分圜之一。即命三甲戊圜分为五分圜之一，即命五三与五相乗，得十五，即知此两分法可作十五邉形。又如甲乙，命三甲戊，命五三与五较，得二，即知戊乙得十五分之二，因分戊乙为两平分，得壬乙线为十五分之一，可作内切圜十五边形也。以此法爲例，作后题。增题：若圜内，从一防设切圜，两不等等边等角形之各一边，此两边一爲若干分圜之一，一爲若干分圜之一，此两若干分相乗之数卽后作形之边数，此两若干分之较数卽两边相距之圜分，所得后作形边数内之分数。法曰：甲乙丙丁戊，圜内从甲防作数形之各一边。如甲乙爲六边形之一边，甲丙爲五边形之一边，甲丁爲四边形之一边，甲戊爲三边形之一边。甲乙命六，甲丙命五，较数一，卽乙丙圜分爲所作三十边等边等角形之一边。何者，五六相乗爲三十，故当作三十边也。较数一，故当爲一边也。论曰：甲乙圜分爲六分圜之一，卽得三。十分圜之五，而甲丙爲五分圜之一，卽得三十分圜之六。则乙丙得三十分圜之一也。依显乙丁为二十四邉形之二邉也。何者？甲乙命六，甲丁命四，六乗四得二十四也。又较数二也。依显乙戊为十八邉形之三邉也，丙丁为二十邉形之一邉也，丙戊为十五邉形之二邉也，丁戊为十二邉形之一邉也。二系，凡作形于圜之内等邉，则等角。何者？形之角所乗之圜分皆等。故【三卷廿七】凡作形于圜之外，即从圜心作直线抵各角，依本篇十二题可推，显各角等。三系，凡等邉形既可作在圜内，即依圜内形可作在圜外。即形内可作圜，即形外亦可作圜，皆依本篇十二、十三、十四题。

四系凡圜内有一形欲作他形其形邉倍于此形邉即分此形一邉所合之圜分为两平分而每分各作一合线即三邉可作六邉四邉可作八邉仿此以至无穷又补题：圜内有同心圜，求作一多邉形，切大圜，不至小圜，其多邉为偶数而等。法曰：甲乙丙丁戊，两圜同以己为心，求于甲乙丙大圜内作多邉切形，不至丁戊小圜，其多邉为偶数而等。先从己心作甲丙径线，截丁戊圜于戊，次从戊作庚辛为甲戊之垂线，即庚辛线切丁戊圜于戊也【三卷十六之系】夫甲庚丙圜分虽大于丙庚，若于甲庚丙减其半甲乙，存乙丙；又减其半乙壬，存壬丙；又减其半壬癸，如是逓减至其减余丙癸，必小于丙庚【如下补论】既得丙癸圜分小于丙庚，而作丙癸合圜线，即丙癸为所求切圜形之一邉也。次分乙壬圜分，其分数与丙壬之分数等；次分甲乙与乙丙分数等，分丙甲与甲乙丙分数等，则得所求形【三卷廿九】而不至丁戊小圜。论曰：试从癸作癸子为甲丙之垂线，遇甲丙于丑，其庚戊丑、癸丑戊两皆直角，即庚辛癸子为平行线【一卷廿八】庚辛线之切丁戊圜，既止一防，即癸子线更在其外，必不至丁戊矣。何况丙癸更逺于丑癸乎？依显其余与丙癸等邉同度距心者【三卷十四】俱不至丁戊圜也【此系十二卷第十六题，因六卷今増题，宜借此论，故先类附于此】补论其题曰：「两几何不等，若于大率逓减其大半，必可使其减余小于元设小率。」解曰：甲乙，大率；丙，小率。题言于甲乙，逓减其大半，至可使其减余小于丙。论曰：试以丙倍之，又倍之，至仅大于甲乙而止，为丁、戊。丁、戊之分为丁己、己庚、庚戊，各与丙等也。次于甲乙减其大半，甲辛存，辛乙又减。其大半辛壬，存壬乙，如是逓减，至甲乙与丁戊之分数等。夫甲辛、辛壬、壬乙与丁己、己庚、庚戊分数既等，丁戊又大于甲乙。若两率各为两分，而大丁戊之减丁己止于半，小甲乙之减甲辛为大半，即丁戊之减余必大于甲乙之减余也。若各为多分，而己戊尚多于丙者，即又于己戊减己庚，于辛乙减其大半辛壬，如是逓减，卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分壬乙也。而庚戊元与丙等，是壬乙小于丙也。又论曰：若于甲乙逓减其半，亦同前论。何者？大丁戊所减不大于半，则丁戊之减余每大于甲乙之减余，以至末分，亦大于末分【此系十卷第一题，借用于此，以足上论】

几何原本卷四

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