几何原本卷五

几何原本卷五

西洋利玛窦撰第一题此数几何？彼数几何？此之各率同几倍于彼之各率，则此之并率亦几倍于彼之并率。解曰：如甲、乙、丙、丁此二几何，大于戊、己彼二几何，各若干倍。题言甲、乙、丙、丁并大于戊、己并，亦若干倍。论曰：如甲乙与丙丁，既各三倍大于戊与己，即以甲乙三分之，各与戊等，为甲庚、庚辛、辛乙；又以丙丁三分之，各与己等，为丙壬、壬癸、癸丁。即甲乙与丙丁所分之数等，而甲庚既与戊等，丙壬既与己等，既于甲庚加丙壬于戊加己，其甲庚丙壬并与戊己并，必等。依显庚辛壬癸并，辛乙癸丁并与戊己并，各等。夫甲乙与丙丁之分，三合于戊己，皆等【本卷界説二】则甲乙丙丁并，三倍大于戊己并。

第二题六几何，其第一倍第二之数等于第三倍第四之数，而第五倍第二之数等于第六倍第四之数，则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数。解曰：一甲乙倍二丙之数，如三丁戊倍四己之数；又五乙庚倍二丙之数，如六戊辛倍四己之数。题言：一甲乙、五乙庚并倍二丙之数，若三丁戊、六戊辛并倍四己之数。论曰：甲乙丁戊之倍于丙己，其数等，则甲乙几何内有丙几何若干？与丁戊几何内有己几何，若干，其数亦等【本卷界説二】依显乙庚丙，有丙若干，与戊辛内有己若干，亦等。次于甲乙丁戊两等数率，每加一等数之乙庚戊辛率，则甲庚丁辛两几何内之分数等。而一五并之，甲庚内有二丙若干，与三六并之，丁辛内有四己若干，亦等。注曰：「若第一、第三两几何之数与第二、第四两几何之数各等，而第五倍第二之数等于第六倍第四之数，或第一倍第二之数等于第三倍第四之数，而第五、第二两几何之数与第六、第四两几何」

之数各等俱同本论如上二图甲庚为第一第五之并率其倍二丙之数与丁辛为第三、第六之并率，其倍四己之数等也【甲庚内有丙若干，与丁辛内有己若干等，故同理】他若第一、第三两几何之数，第五、第六两几何之数，与第二、第四两几何之数各等，此理更明。何者？第一、第五并之倍第二，若第三、第六并之倍第四，俱两倍故。

第三题四，几何？其第一之倍于第二，若第三之倍于第四。次倍第一，又倍第三，其数等，则第一所倍之与第二，若第三所倍之与第四。解曰：一甲所倍于二乙，若三丙所倍于四丁。次作戊、己两几何，同若干倍于甲、于丙。题言以平理推，戊倍乙之数若己倍丁。论曰：戊与己之倍，甲与丙其数既等。试以戊作若干分，各与甲等，为戊庚、庚辛、辛壬；次分己亦如之，为己癸、癸子、子丑。即戊内有甲若干，与己内有丙若干等。【本卷界説二】夫戊庚与甲己癸与丙既等，而甲之倍乙与丙之倍丁又等，则戊庚倍乙若己癸倍丁也。依显庚辛、辛壬各所倍于乙，若癸子、子丑各所倍于丁也。夫一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁，而五庚辛之倍二乙亦若六癸子之倍四丁，则一戊庚、五庚辛并之倍二乙若三己癸、六癸子并之倍四丁也【本篇二】又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁，而五辛壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁，则一戊辛、五辛壬并之倍二乙若三己子、六子丑并之倍四丁也。辛壬子丑以上任作多分，皆仿此论。

第四题【其系爲反理】四几何其第一与二偕第三与四比例等，第一第三同任为若干倍，第二第四同任为若干倍，则第一所倍与第二所倍，第三所倍与第四所倍比例亦等。觧曰：甲与乙偕丙与丁比例等，次作戊与己同任若干倍于一甲三丙，别作庚与辛同任若干倍于二乙。

四丁题言一甲所倍之戊与二乙所倍之庚偕三丙所倍之己与四丁所倍之辛比例亦等论曰：试以戊己二防，何同任倍之为壬为癸？别以庚辛同任倍之为子为丑。其戊之倍甲，既若己之倍丙；而壬之倍戊，亦若癸之倍己。即壬之倍甲，亦若癸之倍丙也【本篇三】依显：子之倍乙，亦若丑之倍丁也。夫甲与乙偕丙与丁之比例既等，而壬癸所倍于甲丙，子丑所倍于乙丁各等。即三试之：若倍甲之壬小于倍乙之子，则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣。若壬子等，即癸丑亦等矣。若壬大于子，即癸亦大于丑矣【本卷界説六】夫戊己之倍为壬癸也，庚辛之倍为子丑也。不论防许倍其等大小，三试之恒如是也。则一戊所倍之壬与二庚所倍之子偕，三己所倍之癸与四辛所倍之丑等大小皆同类也。而戊与庚偕己与辛之比例必等【本卷界説六】一系凡四防，何第一与二偕，第三与四比例等，即可反推第二与一偕，第四与三比例亦等。何者？如上倍甲之壬与倍乙之子偕，倍丙之癸与倍丁之丑等，大小俱同类，而显甲与乙若丙与丁，即可反説倍乙之子与倍甲之壬偕，倍丁之丑与倍丙之癸等，大小俱同类，而乙与甲亦若丁与丙【本卷界説六】二系别有一论，亦本书中所恒用也。曰：若甲与乙偕，两与丁比例等，则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕，丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等。仿此以至无穷。

第五题大小两防，何此全所倍于彼全？若此全截取之分所倍于彼全截取之分，则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之。解曰：甲乙大防，何？丙丁小防，何？甲乙所倍于丙丁，若甲乙之截分，甲戊所倍于丙丁之截分，丙己。题言：甲戊之分余戊乙，所倍于丙巳之分余巳丁，亦如其数。论曰：试作一他防，何为庚丙？今戊巳之倍庚丙，若甲戊之倍丙巳也【本卷界説増】甲戊，戊乙之倍丙巳，庚丙其数等即其两并甲乙之倍庚巳亦若【甲】戊之倍丙巳也【本篇一】而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙己，则丙丁与庚己等也。次毎减同用之丙巳，即庚丙与巳丁亦等，而戊乙之倍巳丁亦若戊乙之倍庚丙矣。夫戊乙之倍庚丙既若甲戊之倍丙己，则戊乙为甲戊之分余所倍于巳丁为丙巳之分余者，亦若甲乙之倍丙丁也。又论曰：「试作一他防，何为庚甲？令庚甲之」。倍己丁若甲戊之倍丙巳【本説界説二十】即其两并庚戊之倍丙丁，亦若甲戊之倍丙巳也【本篇一】而甲乙之倍丙丁，元若甲戊之倍丙巳，是庚戊与甲乙等矣。次毎减同用之甲戊，即庚甲与戊乙等也。而庚甲之倍己丁，若甲乙之倍丙丁也，则戊乙之倍巳丁，亦若甲乙之倍丙丁也。

第六题此两防何，各倍于彼两防何？其数等于此两防何？毎减一分，其一分之各倍于所当彼防何？其数等，则其分余或各与彼防何等，或尚各倍于彼防何？其数亦等。觧曰：甲乙丙丁两防何，各倍于戊巳两防何，其数等。毎减一，甲庚丙辛，甲庚丙辛之倍戊巳，其数等。题言分余庚乙辛丁，或与戊、巳等，或尚各倍于戊、巳，其数亦等。论曰：甲乙全与其分，甲庚既各多倍于戊，则分余庚乙与戊，其或等，或尚防倍，必矣。何者？庚乙与戊不等，不防倍，其加于甲庚，不成为戊之多倍也。然则庚乙与戊等，曷为辛丁与巳亦等？试作壬丙与己等，其一甲庚之倍，二戊既若。三丙辛之倍，四己而五庚乙之等，二戊。又若六壬丙之等，四巳，则第一第五并之，甲乙所倍于二戊；若第三第六并之，壬辛所倍于四巳也【本篇二】而甲乙之倍，戊元若丙丁之倍己，即壬辛与丙丁亦等。次毎减同用之丙辛。即壬丙与辛丁必等，是辛丁与己亦等矣。然则庚乙之倍戊，曷为与辛丁之倍己等？试作壬丙其倍己，若庚乙之倍戊。依前论，甲乙之倍戊若壬辛之倍己【本篇二】而壬辛与丙丁等，壬丙与辛丁亦等，是辛丁之倍己亦若庚乙之倍戊矣。

第七题【二支】此两几何等，则与彼几何各为比例必等；而彼几何与此相等之两几何各为比例，亦等。解曰：甲乙两几何等，彼几何丙不论等大小于甲乙。题言甲与丙偕乙与丙各为比例，必等。又反，上言丙与甲偕丙与乙各为比例，亦等。论曰：试作丁、戊两率，任同若干倍于甲、乙，即丁与戊等。别作己任若干倍于丙，其丁、戊既等，即丁视己与戊视己，或等或大或小，必同类矣。夫一甲三乙所倍之丁、戊偕。当二又当四之丙所倍之己，其等大小既同类【本卷界説六】则一甲与二丙之比例若三乙与四丙矣。反説之，当一当三之丙所倍之己，偕二甲四乙所倍之丁戊，其等大小既同类，则一丙与二甲之比例若三丙与四乙矣。后论与本篇第四题之系同，用反理。如甲与丙若乙与丙，反推之，丙与甲亦若丙与乙也。

第八题大小两几何各与他几何为比例，则大与他之比例大于小与他之比例，而他与小之比例大于他与大之比例。解曰：不等两几何，甲乙大，丙小，又有他几何丁，不论等大小。于甲乙于丙，题言甲乙与丁之比例大于丙与丁之比例，又反上言丁与丙之比例大于丁与甲乙之比例。论曰：试于大几何甲乙内分甲戊与小几何丙等，而戊乙为分余。次以甲戊、戊乙作同若干倍之辛庚、庚己，而庚己为戊乙之倍，必令大于丁。辛庚为甲戊之倍，必令大于丁，或等于丁。若不足以倍加之也，其庚己、辛庚之倍于戊乙、甲戊既等，即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣【本篇一】甲戊即丙也。次作一壬癸为丁之倍，令仅大于辛庚两倍不足三之又不足，任加之己大勿倍也。次于壬癸截取子癸与丁等，即壬子必不大于辛庚。何者？向作壬癸为丁之倍，元令仅大于辛庚。若壬子大于辛庚者，何必又倍之为壬癸也？故仅大之壬癸截去子癸者，必不大于辛庚也。则壬子或等或小于辛庚矣。夫庚己既大于丁，而子癸与丁等，即庚己必大于子癸。又辛庚不小于壬子【或大或等】即辛己亦大于壬癸也。夫辛己、辛庚同若干倍于第一甲乙、第三丙也，而壬癸之倍于当二之丁、当四之丁，又同一率也。则第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸，而第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸【辛庚元小于壬癸】是一甲乙与二丁之比例大于三丙与四丁矣【本卷界説八】次反上説，一丁所倍之壬癸【反説则丁当一，当三丙二，甲乙四】大于二丙所倍之辛庚，而三丁所倍之壬癸不大于四甲乙所倍之辛己【壬癸必小于辛己】是一丁与二丙之比例大于三丁与四甲乙矣【本卷界説八】

第九题【二支】两几何与一几何各为比例而等，则两几何必等；一几何与两几何各为比例而等，则两几何亦等。先解曰：甲乙两几何，各与丙为比例等。题言甲与乙等。论曰：如云不然，而甲大于乙，即甲与丙之比例。宜大于乙与丙【本篇八】何先设两比例等也？故比例等，则甲与乙等。后解曰：丙几何与甲与乙各为比例等？题言甲与乙等。论曰：如云不然，而甲大于乙，即丙与乙之比例宜大于丙与甲【本篇八】何先设两比例等也？

第十题【二支】彼此两几何，此几何与他几何之比例大于彼与他之比例，则此几何大于彼；他几何与彼几何之比例大于他与此之比例，则彼几何小于此。先解曰：甲乙两几何，复有丙几何，甲与丙之比例，大于乙与丙。题言甲大于乙。论曰：如云不然，甲与乙等，即所为两比例宜等。【本篇七】何先设甲与丙大也？又不然，甲小于乙，即乙与丙之比例宜大于甲与丙【本篇八】何先设甲与丙大也？后解曰：丙与乙之比例大于丙与甲，题言乙小于甲。论曰：如云不然，乙与甲等，即所为两比例宜等【本篇七】何先设丙与乙大也？又不然，乙大于甲，即丙与甲之比例宜大于丙与乙。何先设丙与乙？

大也第十一题此两几何之比例与他两几何之比例等，而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等，则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等。解曰：甲乙偕丙丁之比例，各与戊己之比例等。题言甲乙与丙丁之比例亦等。论曰：试于各前率之甲丙戊，同任倍之为庚辛壬；别于各后率之乙丁己，同任倍之为癸子丑。其一甲与二乙之比例，既若三戊与四己，即三试之。若倍一甲之庚小于倍二乙之癸，即倍三戊之壬亦小于倍四己之丑矣。若庚癸等，即壬丑亦等；若庚大于癸，即壬亦大于丑矣【本卷界説六】依显壬之视丑若辛之视子，其等大小亦同类矣。此三前、三后，率任作几许倍，其等大小皆同类也【本卷界説六】则甲与乙之比例，若丙与丁也。

第十二题数几何，所为比例皆等，则并前率与并后率之比例，若各前率与各后率之比例。解曰：甲乙丙丁戊己数几何？所为比例皆等者，甲与乙若丙与丁，丙与丁若戊与己也。题言：甲丙戊诸前率并与乙丁己诸后率并之比例，若甲与乙、丙与丁、戊与己各前各后之比例也。论曰：试于各前率之甲、丙、戊同任，倍之为庚、辛、壬；别于各后率之乙、丁、己同任，倍之为癸、子、丑。即庚、辛、壬并之，倍甲、丙、戊并，若庚之倍甲也；癸、子、丑并之，倍乙、丁、己并，若癸之倍乙也【本篇一】夫一甲与二乙，既若三丙与四丁，又若三戊与四己，则庚之倍一甲与癸之倍二乙，或等或大或小，偕辛壬之倍三丙戊与子五之倍四丁己，等大小同类也。又各前所倍庚辛壬，并与各后所倍癸子丑，并其或等或大或小，亦偕各前所自倍与各后所自倍，其等大小必同类也【本卷界説六】则一甲与二乙之比例，若三甲丙戊并与四乙丁己并矣。

第十三题数几何，第一与二之比例若第三与四之比例，而第三与四之比例大于第五与六之比例，则第一与二之比例亦大于第五与六之比例。解曰：一甲与二乙之比例，若三丙与四丁；而三丙与四丁之比例，大于五戊与六己。题言甲与乙之比例。

亦大于戊与己论曰：试以甲、丙、戊各前率同任倍之为庚、辛、壬，别以乙、丁、己各后率同任倍之为癸、子、丑。其甲与乙既若丙与丁，即三试之：若倍甲之庚大于倍乙之癸，即倍丙之辛必大于倍丁之子矣；若庚癸等，即辛子亦等；若庚小于癸，即辛亦小于子矣【本卷界説六】次丙与丁既大于戊与己，又三试之，即倍丙之辛大于倍丁之子，而倍戊之壬不必大于倍己之丑也，或等或小矣【本卷界説八】夫庚癸与辛子等大小同类，则壬丑不类于辛子者，亦不类于庚癸也。故甲与乙之比例，亦大于戊与己【本卷界説八】注曰：若三丙与四丁之比例，或小或等于五戊六己，则一甲与二乙之比例，亦小亦等于五戊六己。依此论推，显。

第十四题四几何，第一与二之比例，若第三与四之比例，而第一几何大于第三，则第二几何亦大于第四；第一或等，或小于第三，则第二亦等，亦小于第四。解曰：甲与乙之比例，若丙与丁。题言甲大于丙，则乙亦大于丁；若等，亦等；若小，亦小。先论曰：如甲大于丙，即甲与乙之比例大。于丙与乙矣【本篇八】夫一丙与二丁之比例，既若三甲与四乙；而三甲与四乙之比例，大于五丙与六乙。即一丙与二丁之比例，亦大于五丙与六乙【本篇十三】是丁。

几何小于乙也【本篇十一】次论曰：如甲丙等，即甲与乙之比例，若丙与乙【本篇七】夫甲与乙之比例，元若丙与丁。而又若丙与乙，是丙与丁之比例，亦若丙与乙也【本篇十一】则乙与丁等也【本篇九】后论曰：如甲小于丙，即丙与乙之比例大于甲与乙矣【本篇八】夫一丙与二丁之比例，既若三甲与四乙，而三甲与四乙之比例小于五丙与六乙，即一丙与二丁之比例亦小于五丙与六乙也【本篇十三】是乙小于丁也【本篇十】

第十五题两分之比例，与两多分并之比例等。解曰：甲与乙同任，倍之为丙丁，为戊己。题言丙丁与戊己之比例，若甲与乙。论曰：丙丁之倍甲，既若戊己之倍乙，即丙丁内有甲若干，与戊己内有乙若干等。次分丙丁为丙庚、庚辛、辛丁，各与甲分等；分戊己为戊壬、壬癸、癸己，各与乙分等。即丙庚与戊壬若甲与乙也【丙庚与甲等，戊壬与乙等，故见本篇七】庚辛与壬癸，辛丁与癸己，皆若甲与乙也【本篇十一】则等甲之丙庚，与等乙之戊壬定若丙丁全，与戊己全，而丙丁全与戊己全，若甲与乙矣【本篇十二】

第十六题【更理】四几何为两比例等，即更推前与前后与后为比例亦等。解曰：甲乙丙丁四几何，甲与乙之比例若丙与丁，题言更推之，甲与丙之比例亦若乙与丁。论曰：试以甲与乙之任，倍之为戊，为己；别以丙与丁同任，倍之为庚，为辛。即戊与己若甲与乙也【本篇十五】庚与辛若丙与丁也。夫甲与乙若丙与丁，而戊与己亦若甲与乙，即戊与己亦若丙与丁矣。依显庚与辛若丙与丁，即戊与己亦若庚与辛也【本篇十一】次三试之，若戊大于庚，则己亦大于辛也；若等，亦等；若小，亦小。任作几许倍，恒如是也【本篇十四】则倍一甲之戊，倍三乙之己，与倍二丙之庚，倍四丁之辛，其等大小必同类也。而甲与丙若乙与丁矣。

第十七题【分理】相合之两几何为比例等，则分之为比例亦等。解曰：相合之两几何，其一为甲乙丁乙，其一为丙戊己戊。比例等者，甲乙与丁乙若丙戊与己戊也。题言分之为比例亦等者，甲丁与丁乙若丙己与己戊也。论曰：试以甲、丁、丁、乙、丙、己、己、戊同任，倍之为庚、辛、辛、壬，为癸、子、子、丑，即庚、壬之倍，甲。乙若庚辛之倍甲丁也，亦若癸子之倍丙己也【本篇一】夫癸子之倍丙己，亦若癸丑之倍丙戊，即庚壬之倍甲乙，亦若癸丑之倍丙戊也。次别以丁乙己戊同任倍之，为壬寅，为丑卯。其一辛壬之倍二丁乙，既若三子丑之倍四己戊，而五壬寅之倍二丁乙，亦若六丑卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己戊也【本篇二】夫一甲乙与二丁乙之比例，既若三丙戊与四己戊，而一与三，二与四各所倍等，即三试之。若一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅，即三丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也。若等亦等，若小亦小也【本卷界説六】如庚壬小于辛寅而癸丑小于子卯者，即每减一同用之辛壬子丑，其所存庚辛亦小于壬寅，而癸子亦小于丑卯矣。依显庚壬等辛寅而癸丑等子卯者，即庚辛等壬寅而癸子等丑卯矣。庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯。者，即庚辛大于壬寅，而癸子大于丑卯矣。夫庚辛为甲丁之倍，癸子为丙己之倍，壬寅为丁乙之倍，丑卯为己戊之倍。而甲丁丙己之所倍，视丁乙己戊之所倍，其等大小皆同类，则甲丁与丁乙若丙己与己戊也【本卷界説六】

第十八题【合理】两几何分之为比例等，则合之为比例亦等。解曰：甲丁丁乙与丙己己戊两分几何，其比例等者，甲丁与丁乙若丙己与己戊是也。题言合之为比例亦等者，甲乙与丁乙若丙戊与己戊也。论曰：如前论，以甲、丁、丁、乙、丙、己、己、戊同任，倍之为庚、辛、辛、壬，为癸、子、子、丑【本篇二】次别。以丁乙己戊同任倍之，为壬寅，为丑卯，即庚壬之倍，甲乙若癸丑之倍，丙戊也【本篇一】而辛寅之倍，丁乙若子卯之倍，乙戊也【本篇二】夫一甲丁与二丁乙，既若三丙己与四己戊，而一与三，二与四，各所倍等，即三试之。若一甲丁所倍之庚辛，小于二丁乙所倍之壬寅，即三丙己所倍之癸子，亦小于四己戊所倍之丑卯也。若等亦等，若大亦大也【本卷界説六】如庚辛小于壬寅，而癸子亦小于丑卯，即每加一辛壬子丑，其所并庚壬亦小于辛寅，而癸丑亦小于子卯矣。依显庚辛等壬寅，而癸子等丑卯，即庚壬等辛寅，而癸丑等子卯矣，庚辛大于壬寅，而癸子大于丑卯。即庚壬大于辛寅，而癸丑大于子夘矣。夫一甲乙所倍之庚壬，与二丁乙所倍之辛寅，偕三丙戊所倍之癸丑，与四己戊所倍之子夘，其等大小皆同类，则甲乙与丁乙若丙戊与己戊也【本卷界説六】

第十九题【其系为转理】两几何各截取一分，其所截取之比例与两全之比例等，则分余之比例与两全之比例亦等。解曰：甲乙、丙丁两几何，其甲乙全与丙丁全之比例，若截取之甲戊与丙己。题言分余戊乙与己丁之比。

例亦若甲乙与丙丁论曰：甲乙与丙丁既若，甲戊与丙己，试更之，甲乙与甲戊，若丙丁与丙己也【本篇十六】次分之，戊乙与甲戊，若己丁与丙己也【本篇十七】又更之，戊乙与己丁，若甲戊与丙己也【本篇十六】夫甲戊与丙己元若甲乙与丙丁，则戊乙与己丁亦若甲乙与丙丁矣一系从此题可推界説第十六之转理如上甲乙与戊乙，若丙丁与己丁，即转推甲乙与甲戊，若丙丁与丙己也。何者？甲乙与戊乙既若丙丁与己丁，试更之，甲乙与丙丁若截取之戊乙与己丁也【本篇十六】即甲乙全与丙丁全，又若分余之甲戊与丙己矣【本题】又更之，则甲乙与甲戊若丙丁与丙己也【本篇十六】此转理也。注曰：凡更理可施于同类之比例，不可施于异类。若转理不论同异类皆可用也。依此系，即转理亦頼更理为用，似亦不可施于异类矣。今别作一论，不頼更理以为转理，明转理可施于异类也。论曰：甲乙与丙乙若丁戊与己戊，即转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己。何者？甲乙与丙乙既若丁戊与己戊，试分之，甲丙与丙乙若丁己与己戊也【本篇十七】次反之丙乙与甲丙，若己戊与丁己也【本篇四】次合之甲乙与甲丙，若丁戊与丁己也【本篇十八】

第二十题【三支】有三几何，又有三几何，相为连比例。而第一几何大于第三，则第四亦大于第六；第一或等，或小于第三，则第四亦等，亦小于第六。先解曰：甲、乙、丙三几何，丁、戊、己三几何。其甲与乙之比例，若丁与戊；乙与丙之比例，若戊与己。而甲大于丙，题言丁亦大于己。论曰：甲既大于丙，即甲与乙之比例大于丙与乙矣【本篇八】而甲与乙之比例若丁与戊，即丁与戊之比例亦大于丙与乙矣【本篇十三】又丙与乙之比例若己与戊【乙与丙若戊与己，反之则丙与乙若己与戊】即丁与戊之比例大于己与戊矣，是丁大于己也【本篇十】次解曰：「若甲丙等题，言丁己亦等。」论曰：甲丙既等，即甲与乙之比例若丙与乙矣【本篇七】而甲与乙之比例若丁与戊，即丁与戊之比例亦若丙与乙矣【本篇十一】又丙与乙之比例若己与戊【反理】即丁与戊之比例亦若己与戊矣，是丁己等也【本篇九】后解曰：若甲小于丙，题言丁亦小于己。论曰：甲既小于丙，即甲与乙之比例小于丙与乙矣【本篇八】而甲与乙之比例若丁与戊，即丁与戊之比例亦小于丙与乙矣。又丙与乙之比例，若己与戊【反理】即丁与戊之比例，小于己于戊矣，是丁小于己也【本篇十】

第二十一题【三支】有三几何，又有三几何，相为连比例，而错以平理推之。若第一几何大于第三，则第四亦大于第六；若第一或等或小于第三，则第四亦等亦小于第六。解曰：甲、乙、丙三几何，丁、戊、己三几何，相为连比例。不序不序者，甲与乙若戊与己，乙与丙若丁与戊也。以平理推之，若甲大于丙题言丁亦大于己论曰：甲既大于丙，即甲与乙之比例大于丙与乙【本篇八】而甲与乙若戊与己，即戊与己之比例亦大于丙与乙也。又乙与丙既若丁与戊，反之，即丙与乙亦若戊与丁也【本篇四】则戊与己大于戊与丁，也是丁大于己也【本篇二十】次解曰：「若甲丙等题，言丁己亦等。」论曰：甲丙既等，即甲与乙之比例，若丙与乙【本篇七】而甲与乙若戊与己，即丙与乙之比例亦若戊与己也，又乙与丙既若丁与戊，反之即丙与乙亦若戊与丁也【本篇四】则戊与己若戊与丁也，是丁己等也【本篇九】后解曰：若甲小于丙，题言丁亦小于己。论曰：甲既小于丙，即甲与乙之比例小于丙与乙【本篇八】而甲与乙若戊与己，即戊与己之比例小于丙与乙也。又乙与丙既若丁与戊，反之，即丙与乙若戊与丁【本篇四】则戊与己小于戊与丁也，是丁小于己也【本篇十】

第二十二题【平理之序】有若干几何，又有若干几何，其数等，相为连比例，则以平理推。

解曰有若干几何甲乙丙又有若干几何丁戊己而甲与乙之比例若丁与戊乙与丙之比例若戊与己题言以平理推之甲与丙之比例若丁与己论曰：「试以甲与丁同任，倍之为庚为辛；别以乙与戊同任，倍之为壬为癸；别以丙与己同任，倍之为子为丑。其一甲与二乙，既若三丁与四戊，即倍甲之庚与」

倍乙之壬若倍丁之辛与倍戊之癸也【本篇四】依显一乙与二丙既若三戊与四己即倍乙之壬与倍丙之子若倍戊之癸与倍己之丑也是庚壬子三几何，辛癸丑三几何，又相为连比例矣。次三试之，若庚大于子，即辛必大于丑也【本篇二十】若等亦等者，小亦小也。则倍一甲之庚，倍三丁之辛，与倍二丙之子，倍四己之丑等，大小皆同类也。是甲与丙若丁与己也【本卷界説六】其几何自三以上，如更有丙与寅若己与卯，亦依显甲与寅若丁与卯也。何者，上既显甲与丙若丁与己，而今称丙与寅若己与卯，即以甲丙寅作三几何，以丁己卯作又三几何，相为连比例，依上推论，亦得甲与寅之比例若丁与夘也。自四以上可至无穷，依此推显。

第二十三题【平理之错】若干几何，又若干几何，相为连比例，而错亦以平理推。

解曰甲乙丙若干几何丁戊己若干几何相为连比例而错者甲与乙若戊与己乙与丙若丁与戊也题言以平理推之甲与丙之比例，亦若丁与己。论曰：试以甲乙丁同任，倍之为庚辛壬；别以丙戊己同任，倍之为癸子丑。即甲与乙，若所自倍之庚与辛。【本篇十五】而甲与乙，既若戊与己。即庚与辛，亦若戊与己【本篇十一】戊与己，又若所自倍之子与。丑即庚与辛，亦若子与丑【本篇】【十一】依显一乙与二丙，既若三丁与四戊，即倍一乙之辛与倍二丙之癸，若倍三丁之壬与倍四戊之子也【本篇四】是庚辛癸三几何，壬子丑三几何，又相为连比例而错矣。次三试之，若庚大于癸，即壬亦大于丑；若等，亦等；若小，亦小【本篇廿一】则一甲三丁所倍之庚壬，与二丙四己所倍之癸丑，等大小皆同类也。是一甲与二丙，若三丁与四己【本卷界说六】如三以上，既有甲与乙，若己与夘；乙与丙，若戊与己；又有丙与寅，若丁与戊，亦显甲与寅，若丁与卯。何者？依上论，先显甲与丙，若戊与夘；次丙与寅，又若丁与戊，即以甲丙寅作三几何，丁戊夘作又三几何，相为连比例而错。依上论，亦得甲与寅，若丁与夘。四以上，悉依此推显。

第二十四题凡第一与二几何之比例，若第三与四几何之比例，而第五与二之比例，若第六与四，则第一、第五并与二之比例，若第三、第六并与四。解曰：一甲乙与二丙之比例，若三丁戊与四己；而五乙庚与二丙，若六戊辛与四己。题言：一甲乙、五乙庚并与二丙，若三丁戊、六戊辛并与四己。论曰：乙庚与丙，既若戊辛与己，反之，丙与乙庚若己与戊辛也【本篇四】又甲乙与丙，既若丁戊与己而丙与乙庚亦若己与戊辛平之甲乙与乙庚若丁戊与戊辛也【本篇廿二】又合之甲庚全与乙庚若丁辛全与戊辛也【本篇十八】夫甲庚与乙庚既若丁辛与戊辛而乙庚与丙亦若戊辛与己平之甲庚与丙若丁辛与己矣【本篇廿二】注曰：依本题论，可推广第六题之义，作后増题【第六题言几倍，后增题不止言倍，其义稍广矣】増题：此两几何与彼两几何比例等于此两几何每截取一分，其截取两几何与彼两几何比例等，则分余两几何与彼两几何比例亦等。解曰：如上圗，甲庚、丁辛此两几何与丙、己彼两几何比例等者，甲庚与丙，若丁辛与己也。题言截取之甲乙与丙，若丁戊与己，则分余之乙庚与丙，亦若戊辛与己。论曰：甲乙与丙既若丁戊与己，即反之，丙与甲乙若己与丁戊也【本篇四】又甲庚与丙既若丁辛与己，而丙与甲乙亦若己与丁戊，即平之，甲庚与甲乙若丁辛与丁戊也【本篇廿二】又分之，乙庚与甲乙若戊辛与丁戊也【本篇十七】夫乙庚与甲乙既若戊辛与丁戊，而甲乙与丙若丁戊与己。即平之若戊、辛与己也【本篇廿三】

第二十五题四几何为断比例？则最大与最小两几何并大于余两几何并。解曰：甲乙与丙丁之比例，若戊与己。甲乙最大，己最小。题言甲乙、己并大于丙丁，戊并。论曰：试于甲乙截取甲庚，与戊等；于丙丁截取丙辛，与己等。即甲庚与丙辛之比例，若戊与己也，亦若甲乙与丙丁也。夫甲乙全与丙丁全，既若截取之甲庚与丙辛，即亦若分余之庚乙与辛丁也【本篇十九】而甲乙最大，必大于丙丁，即庚乙亦大于辛丁矣。又甲庚与戊，丙辛与己，既等，即于戊加丙，辛于己加甲，庚必等，而又加不等之庚、乙、辛、丁，则甲、乙、己并，岂不大于丙、丁、戊并？

第二十六题第一与二几何之比例，大于第三与四之比例；反之，则第二与一之比例，小于第四与三之比例。解曰：一甲与二乙之比例，大于三丙与四丁。题言反之，二乙与一甲之比例，小于四丁与三丙。论曰：「试作戊与乙之比例，若丙与丁，即甲与」乙之比例大于戊，与乙而甲几何大于戊【本篇十】则乙与戊之比例大于乙与甲也【本篇八】反之，则乙与戊之比例若丁与丙【本篇四】而乙与甲之比例小于丁与丙。第二十七题第一与二之比例，大于第三与四之比例；更之，则第一与三之比例，亦大于第二与四之比例。解曰：一甲与二乙之比例，大于三丙与四丁。题言更之，则一甲与三丙之比例，亦大于二乙与四丁。论曰：「试作戊与乙之比例，若丙与丁，即甲与乙。」之比例大于戊与乙，而甲防何大于戊【本篇十】则甲与丙之比例大于戊与丙也【本篇八】夫戊与乙之比例，既若丙与丁，更之，则戊与丙之比例亦若乙与丁【本篇十六】而甲与丙之比例大于乙与丁矣。

第二十八题第一与二之比例，大于第三与四之比例。合之，则第一、第二并与二之比例，亦大于第三、第四并与四之比例。解曰：一甲乙与二乙丙之比例，大于三丁戊与四戊己。题言合之，则甲丙与乙丙之比例，亦大于丁己与戊己。论曰：「试作庚乙与乙丙之比例，若丁戊与戊。」己即甲乙与乙丙之比例，大于庚乙与乙丙，而甲乙几何大于庚乙矣【本篇十】此二率者，每加一乙丙，即甲丙亦大于庚丙，而甲丙与乙丙之比例，大于庚丙与乙丙也【本篇八】夫庚乙与乙丙之比例，既若丁戊与戊己合之，则庚丙与乙丙之比例，亦若丁己与戊己也【本篇十八】而甲丙与乙丙之比例，大于丁己与戊己矣。第二十九题第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例，分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例。解曰：甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己，题言分之则甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊己。论曰：「试作庚丙与乙丙之比例，若丁己与戊。」己即甲丙与乙丙之比例，亦大于庚丙与乙丙，而甲丙几何大于庚丙矣【本篇十】此二率者，每减一同用之，乙丙即甲乙亦大于庚乙，而甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙也【本篇八】夫庚丙与乙丙之比例，既若丁己与戊己分之，则庚乙与乙丙之比例亦若丁戊与戊己也【本篇十七】而甲乙与乙丙之比例大于丁戊与戊己矣。

第三十题第一合第二与二之比例，大于第三合第四与四之比例；转之，则第一合第二与一之比例，小于第三合第四与三之比例。解曰：甲丙与乙丙之比例，大于丁己与戊己。题言转之，则甲丙与甲乙之比例，小于丁己与丁戊。论曰：甲丙与乙丙之比例，既大于丁己与戊己分之，即甲乙与乙丙之比例，亦大于丁戊与戊己也【本篇廿九】又反之，乙丙与甲乙之比例，小于戊己与丁、戊矣【本篇廿六】又合之甲丙与甲乙之比例，亦小于丁己与丁戊也【本篇廿八】

第三十一题此三几何，彼三几何？此第一与二之比例大于彼第一与二之比例，此第二与三之比例大于彼第二与三之比例。如是序者，以平理推，则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例。解曰：甲乙丙，此三几何；丁戊己，彼三几何。而甲与乙之比例大于丁与戊，乙与丙之比例大于戊与己。如是序者，题言以平理推，则甲与丙之比例亦大于丁与己。论曰：试作庚与丙之比例，若戊与己，即乙与丙之比例大于庚与丙，而乙几何大于庚【本篇十】是甲与小庚之比例大于甲与大。乙矣【本篇八】夫甲与乙之比例元大于丁与戊，即甲与庚之比例更大于丁与戊也。次作辛与庚之比例若丁与戊，即甲与庚之比例亦大于辛与庚，而甲几何大于辛【本篇十】是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣【本篇八】夫辛与丙之比例，以平理推之，若丁与己也【本篇廿二】则甲与丙之比例大于丁与己也。

第三十二题此三几何，彼三几何？此第一与二之比例，大于彼第二与三之比例；此第二与三之比例，大于彼第一与二之比例。如是错者，以平理推，则此第一与三之比例，亦大于彼第一与三之比例。解曰：甲乙丙，此三几何；丁戊己，彼三几何。而甲与乙之比例大于戊与己，乙与丙之比例大于丁与戊。如是错者，题言以平理推，则甲与丙之比例亦大于丁与己。论曰：试作庚与丙之比例，若丁与戊，即乙与丙之比例，大于庚与丙，而乙防何大于庚【本篇十】是甲与小庚之比例，大于甲与大乙矣【本篇八】夫甲与乙之比例，既大于戊与己，即甲与庚之比例更大于戊与己也。次作辛与庚之比例，若戊与己，即甲与庚之比例亦大于辛与庚，而甲几何大于辛【本篇十】是大甲与丙之比例，大于小辛与丙矣【本篇八】夫辛与丙之比例，以平理推之，若丁与己也【本篇廿三】则甲与丙之比例，大于丁与己也。

第三十三题此全与彼全之比例，大于此全截分与彼全截分之比例，则此全分余与彼全分余之比例，大于此全与彼全之比例。解曰：甲乙全与丙丁全之比例，大于两截分甲戊与丙己。题言两分余戊乙与己丁之比例，大于甲乙与丙丁。论曰：甲乙与丙丁之比例，既大于甲戊与丙己更之，即甲乙与甲戊之比例，亦大于丙丁与丙己也【本篇廿七】又转之，甲乙与戊乙之比例，小于丙丁与己丁也【本篇三十】又更之，甲乙与丙丁之比例，小于戊乙与己丁也【本篇廿七】戊乙与己丁，分余也，则分余之比例，大于甲乙全与丙丁全矣。依显，两全之比例，小于截分，则分余之比例，小于两全第三十四题【三支】若干几何，又有若干防？何其数等？而此第一与彼第一之比例，大于此第二与彼第二之比例；此第二与彼第二之比例，大于此第三与彼第三之比例，以后俱如是。则此并与彼并之比例，大于此末与彼末之比例，亦大于此并减第一与彼并减第一之比例，而小于此第一与彼第一之比例。解曰：如甲、乙、丙三几何，又有丁、戊、己三几何，其甲与丁之比例，大于乙与戊；乙与戊之比例，大于丙与己。题先言甲乙丙并与丁戊己并之比例，大于丙与己；次言亦大于乙丙并与戊己并；后言小于甲与丁。论曰：甲与丁之比例，既大于乙与戊，更之，即甲与乙之比例，大于丁与戊也【本篇廿七】又合之，甲乙并与乙之比例，大于丁戊并与戊也【本篇】【廿八】又更之，甲乙并与丁戊并之比例大于乙与戊也【本篇廿七】是甲乙全与丁戊全之比例大于减并乙与减并戊也。既尔，即减余甲与减余丁之比例大于甲乙全与丁戊全也【本篇卅三】依显乙与戊之比例亦大于乙丙全与戊己全，即甲与丁之比例更大于乙丙全与戊己全也。又更之，甲与乙丙并之比例大于丁与戊己并也【本篇廿七】又合之，甲乙丙全与乙丙并之比例大于丁戊己全。与戊己并也【本篇廿八】又更之甲乙丙全与丁戊己全之比例大于乙丙，并与戊己并也【本篇廿七】则得次解也。又甲乙丙全与丁戊己全之比例既大于减并乙丙与减并戊己，即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙全与丁戊己全也【本篇卅三】则得后解也。又乙与戊之比例既大于丙与己，更之，即乙与丙之比例大于戊与己也【本篇卄七】又合之乙丙全与丙之比例大于戊己全与己也【本篇卄八】又更之乙丙并与戊己并之比例大于丙与己也【本篇卄七】而甲乙丙并与丁戊己并之比例既大于乙丙并与戊己并，即更大于末丙与末己也，则得先解也。若两率各有四几何，而丙与己之比？例亦大于庚与辛，即与前论同理。盖依上文，论乙与戊之比例，大于乙丙庚。并与戊己辛并，即甲与丁之比例更。大于乙丙庚，并与戊己辛并也，更之。即甲与乙、丙、庚并之比例，大于丁与戊己辛并也【本篇十八】又合之甲乙丙庚。全与乙、丙、庚并之比例，大于丁、戊。己辛全与戊己辛并也，又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并也【本篇廿七】则得次解也。又甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例，既大于减并乙丙庚与减并戊己辛，即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也【本篇卅三】则得后解也。又依前论，显乙丙庚并与戊己辛并之比例，既大于庚与辛，而甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并，即更大于末庚与末辛也，则得先解也。自五以上至于无穷，俱仿此论可显全题之防。

几何原本卷五

钦定四库全书