几何原本卷一

几何原本卷一

西洋利玛窦撰第一题于有界直线上求立平边三角形。法曰：甲乙直线上，求立平边三角形。先以甲为心，乙为界，作丙乙丁圜；次以乙为心，甲为界，作丙甲丁圜。两圜相交于丙，于丁。末自甲，至丙，丙至乙，各作直线，即甲乙丙为平边三角形。论曰：以甲为心，至圜之界，其甲乙线与甲丙、甲丁线等；以乙为心，则乙甲线与乙丙、乙丁线亦等。何者？凡为圜，自心至界各线俱等故【界説十五】既乙丙等于乙甲，而甲丙亦等于甲乙，即甲丙亦等于乙丙【公论一】三边等，如所求【凡论有二种，此以是为论者，正论也，下仿此】

其用法不必作两圜，但以甲为心，乙为界，作近丙一短界线；乙为心，甲为界，亦如之。

两短界线交处即得丙诸三角形俱推前用法作之【详本篇卄二】

第二题一直线，线或内或外，有一防求，以防为界，作直线与元线等。

法曰：有甲防及乙丙线，求以甲为界，作一线与乙丙等。先以丙为心，乙为界【乙为心，丙为界亦可作】作丙乙圜【第三求】次观甲防，若在丙乙之外，则自甲至丙作甲丙线【第一求】如上前图；或甲在丙乙之内，则截取甲至丙一分线，如上后图。两法俱以甲丙线为底，任于上下作甲丁丙平边三角形【本篇一】次自三角形两腰线引长之【第二求】其丁丙引至丙乙圜界而止为丙戊线。其丁甲引之出丙乙圜外稍长为甲己线。末以丁为心，戊为界，作丁戊圜。其甲己线与丁戊圜相交于庚，即甲庚线与乙丙线等。论曰：丁戊、丁庚线同，以丁为心，戊庚为界，故等【界説十五】于丁戊线减丁丙，丁庚线减丁甲，其所减两腰线等，则所存亦等【公论三】夫丙戊与丙乙同，以丙为心，戊乙为界，亦等【界説十五】即甲庚与丙乙等【公论一】若所设甲防即在丙乙线之一界，其法尤易。假如防在丙，即以丙为心作乙戊圜，从丙至戊即所求。第三题两直线，一长一短，求于长线减去短线之度。法曰：甲短线，乙丙长线，求于乙丙减甲。先以甲为度，从乙引至别界作乙丁线【本篇二】次以乙为心，丁为界作圜【第三求】圜界与乙丙交于戊即乙戊与等甲之乙丁等，葢乙丁、乙戊同心同圜，故【界説十五】

第四题两三角形若相当之两腰线各等，各两腰线间之角等，则两底线必等，而两形亦等，其余各两角相当者俱等。解曰：甲乙丙丁戊己两三角形之甲与丁两角等，甲丙与丁己两线，甲乙与丁戊两线各等。题言乙丙与戊己两底线必等，而两三角形亦等。甲乙丙与丁戊己两角，甲丙乙与丁己戊两角俱等。论曰：如云乙丙与戊己不等，即令将甲角置。丁角之上，两角必相合，无大小。甲丙与丁己，甲乙与丁戊，亦必相合，无大小【公论八】此二俱等，而云乙丙与戊己不等，必乙丙底或在戊己之上为庚，或在其下为辛矣。戊己既为直线，而戊庚己又为直线，则两线当别作一形，是两线能相合为形也。辛仿此【公论十二此以非为论者驳论也，下仿此】

第五题三角形若两腰等，则底线两端之两角等，而两腰引出之其底之外两角亦等。解曰：甲乙丙三角形，其甲丙与甲乙两腰等。题言甲丙乙与甲乙丙两角等。又自甲丙线任引至戊，甲乙线任引至丁。其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等。论曰：试如甲戊线稍长，即从甲戊截取一分与甲丁等，为甲己【本篇三】次自丙至丁，乙至己各作直线【第一求】即甲己乙、甲丁丙两三角形必等。何者？此两形之甲角同，甲己与甲丁两腰又等，甲乙与甲丙两腰又等，则其底丙丁与乙己必等，而底线两端相当之各两角亦等矣【本篇四】又乙丙己与丙乙丁两三角形亦等。何者？此两形之丙丁乙与乙己丙两角既等【本论】而甲己、甲丁两腰各减相等之甲丙、甲乙线，即所存丙己、乙丁两腰又等【公论三】丙丁与乙己两底又等【本论】又乙丙同腰，即乙丙丁与丙乙己两角亦等也。则丙之外乙丙己角与乙之外丙乙丁角必等矣【本篇四】次观甲乙己与甲丙丁两角，既等于甲乙己减丙乙己角，甲丙丁减乙丙丁角，则所存甲丙乙与甲乙丙两角必等【公论三】増从前形知三边等形，其三角俱等。

第六题三角形，若底线两端之两角等，则两腰亦等。解曰：甲乙丙三角形，其甲乙丙与甲丙乙两角等。题言甲乙与甲丙两腰亦等。论曰：如云两腰线不等，而一长一短，试辩之。若甲乙为长线，即令比甲丙线截去所长之度为乙丁线，而乙丁与甲丙等【本篇三】次自丁至丙作直线，则本形成两三角形，其一为甲乙丙，其一为丁乙丙。而甲乙丙全形与丁乙丙分形同也，是全与其分等也【公论九】何者？彼言丁乙丙分形之乙丁与甲乙丙全形之甲丙两线既等，丁乙丙分形之乙丙与甲乙丙全形之乙丙又同线，而元设丁乙丙与甲丙乙两角等，则丁乙丙与甲乙丙两形亦等也【本篇四】是全与其分等也。故底线两端之两角等者，两腰必等也。

第七题一线为底，出两腰线，其相遇止有一防，不得别有腰线与元腰线等，而于此防外相遇。解曰：甲乙线为底，于甲、于乙各出一线至丙，防相遇。题言此为一定之处，不得于甲上更出一线与甲丙等，乙上更出一线与乙丙等。

而不于丙相遇论曰：若言有别相遇于丁者，即问丁当在丙内邪？丙外邪？若言丁在丙内，则有二説俱不可通。何者？若言丁在甲丙元线之内，则如第一图，丁在甲丙两界之间矣。如此，即甲丁是甲丙之分，而云甲丙与甲丁等，也是全与其分等也【公论九】若言丁在甲丙乙三角顶间，则如第二图，丁在甲丙乙之间矣。即令自丙至丁作丙丁线，而乙丁、丙甲、丁丙又成两三角形。次从乙丁引出至己，从乙丙引出至戊，则乙丁丙形之乙丁、乙丙两腰等者，其底线两端之两角乙丁丙、乙丙丁宜亦等也。其底之外两角己丁丙、戊丙丁宜亦等也【本篇五】而甲丁丙形之甲丁、甲丙两腰等者，其底线两端之两角甲丙丁、甲丁丙宜亦等也【本篇五】夫甲丙丁角本小于戊丙丁角，而为其分，今言甲丁丙与甲丙丁两角等，则甲丁丙亦小于戊丙丁矣。何况己丁丙又甲丁丙之分，更小于戊丙丁，可知何言底外两角等乎？若言丁在丙外，又有三説俱不可通。何者？若言丁在甲丙元线外，是丁甲即在丙甲元线之上，则甲丙与甲丁等矣。即如上第一説驳之。若言丁在甲丙乙三角顶外，即如上第二説驳之。若言丁在丙外，而后出二线，一在三角形内，一在其外，甲丁线与乙丙线相交，如第五图。即令将丙丁相联作直线，是甲丁丙又成一三角形，而甲丙丁宜与甲丁丙两角等也【本篇五】夫甲丁丙角本小于丙丁乙角，而为其分，据如彼论，则甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣。又丙丁乙亦成一三角形，而丙丁乙宜与丁丙乙两角等也【本篇五】夫丁丙乙角本小于甲丙丁角，而为其分，据如彼论，则丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣。此二説者，岂不自相戾乎？

第八题两三角形若相当之两腰各等，两底亦等，则两腰间角必等。解曰：甲乙丙丁戊己两三角形，其甲乙与丁戊两腰，甲丙与丁己两腰各等，乙丙与戊己两底亦等。题言：甲与丁两角必等。论曰：试以丁、戊、己形加于甲、乙、丙形之上，问丁角在甲角上邪，否邪？若在上，即两角等矣【公论八】或谓不然，乃在于庚，即问庚当在丁、戊？线之内邪？或在三角顶之内邪？或在三角顶之外邪？皆依前论驳之【本篇七】系本题止论甲丁角，若旋转依法论之，即三角皆同，可见凡线等则角必等，不可疑也。

第九题有直线角求两平分之法曰：乙甲丙角，求两平分之先，于甲乙线任截一分为甲丁【本篇三】次于甲丙亦截甲戊与甲丁等次，自丁至戊作直线，次以丁戊为底，立平边三角形【本篇一】为丁戊己形，末自己至甲作直线，即乙甲丙角为两平分。论曰：丁甲己与戊甲己两三角形之甲丁与甲戊两线等，甲己同是一线，戊己与丁己两底又等【何言两底等？初从戊丁底作此三角平形，此二线为腰各等戊丁故】则丁甲己与戊甲己两角必等【本篇八】用法如上，截取甲丁、甲戊，即以丁为。心向乙丙间，任作一短界线，次用元。度以戊为心，亦如之。两界线交处得己【本篇一】

第十题一有界线求两平分之法曰：甲乙线求两平分，先以甲乙为底，作甲乙丙两边等三角形【本篇一】次以甲丙乙角两平分之【本篇九】得丙丁直线，即分甲乙于丁。论曰：丙丁、乙丙、丁甲两三角形之丙乙、丙甲两腰等，而丙丁同线，甲丙丁与乙丙丁两角又等【本篇九】则甲丁与乙丁两线必等【本篇四】用法：以甲为心，任用一度，但须长于甲乙线之半，向上、向下各作一短界线，次。用元度，以乙为心，亦如之。两界线交处，即丙丁。末作丙丁直线，即分甲乙于戊。

第十一题一直线任于一防上求作垂线法曰：甲乙直线，任指一防于丙，求丙上作垂线。先于丙左右，任用一度，各截一界为丁，为戊【本篇二】次以丁戊为底，作两边等角形【本篇一】为丁己戊。末自己至丙作直线，即己丙为甲。

乙之垂线论曰：丁己丙与戊己丙两角形之己丁、己戊两腰等，而己丙同线，丙丁与丙戊两底又等，即两形必等，丁与戊两角亦等【本篇五】丁己丙与戊己丙两角亦等【本篇八九】则丁丙己与戊丙己两角必等矣。等即是直角，直角即是垂线【界説十此后三角形多称角形，省文也】用法于丙防左右，如上截取丁与戊，即以丁为心，任用一度，但须长于丙丁线。向丙上方作短界线，次用元度，以戊为心，亦如之，两界线交处即己。又用法于丙左右，如上截取丁与戊。即任用一度，以丁为心，于丙上下方。各作短界线，次用元度，以戊为心，亦。如之，则上交为己，下交为庚。末作己庚，直线视直线交于丙防，即得。是用法，又为尝巧之法。増若甲乙线所欲立垂线之防乃在线末甲界上，甲外无余线可截，则于甲乙线上任取一防为丙，如前法于丙上立丁丙垂线，次以甲丙丁角两平分之【本篇九】为己丙线，次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线【本篇三】次于戊上如前法立垂线与己丙线相遇为庚，末自庚至甲作直线，如所求。论曰：庚、甲、丙与庚、丙、戊两角形之甲、丙、戊、丙两线既等，庚、丙同线，戊、丙、庚与甲、丙、庚两角又等，即甲、庚、戊、庚两线必等【本篇四】而对同边之甲角、戊角亦等【本篇四】戊既直角，则甲亦直角，是甲、庚为甲、乙之垂线【界説十】用法：甲防上，欲立垂线，先以甲为心，向元线上方，任抵一界，作丙防。次用元度。以丙为心，作大半圜，圜界与甲乙线相遇为丁。次自丁至丙作直线，引长之至戊，为戊丁线。戊丁与圜界相遇为己。末自己至甲作直线，即所求【此法今未能论，论见第三卷第三十一题】

第十二题有无界直线，线外有一防，求于防上作垂线至直线上。法曰：甲乙线外有丙防，求从丙作垂线至甲乙。先以丙为心作一圜，令两交于甲乙线为丁，为戊。次从丁、戊各作直线至丙。次两平分丁戊于己【本篇十】末自丙至己作直线，即丙己为甲乙之垂线。论曰：丙己、丁丙、己戊两角形之丙丁、丙戊两线等，丙己同线，则丙戊己与丙丁己两角必等【本篇八】而丁丙己与戊丙己两角又等则丙己丁与丙己戊等皆直角【本篇四】而丙己定为垂线矣。用法：以丙为心，向直线两处各作短。界线为甲，为乙。次用元度，以甲为心。向丙防相望处作短界线，乙为心，亦如之，两界线交处为丁，末自丙至丁作直线，则丙戊为垂线。又用法于甲乙线上，近甲、近乙，任取。一防为心，以丙为界，作一圜，界于丙。防及相望处各稍引长之，次于甲乙。线上视前心或相望如前图或进或退如后图，任移一防为心，以丙为界。作一圜界，至与前圜交处，得丁末自丙至丁作直线得戊【若近界作垂线无可截取亦用此法】

第十三题一直线至他直线上所作两角，非直角，即等于两直角。解曰：甲线下至丙丁线，遇于乙，其甲乙丙与甲乙丁作两角。题言此两角当是直角，若非直角，即是一鋭一钝，而并之等于两直角。论曰：试于乙上作垂线为戊乙【本篇十一】令戊乙丙与戊乙丁为两直角，即甲乙丁、甲乙戊两鋭角并之与戊乙丁直角等矣。次于甲乙丁、甲乙戊两鋭角又加戊乙丙一直角，并此三角定与戊乙丙、戊乙丁两直角等也【公论十八】次于甲乙戊又加戊乙丙，并此鋭直两角定与甲乙丙钝角等也。次于甲乙戊、戊乙丙鋭直两角又加甲乙丁鋭角，并此三角定与甲乙丁、甲乙丙鋭钝两角等也。夫甲乙丁、甲乙戊、戊乙丙三角既与两直角等，则甲乙丁与甲乙丙两角定与两直角等【公论一】

第十四题一直线于线上，一防出不同方，两直线偕元线，每旁作两角。若每旁两角与两直角等，即后出两线为一直线。解曰：甲乙线于丙防上，左出一线为丙丁，右出一线为丙戊。若甲丙戊、甲丙丁两角与两直角等，题言丁丙与丙戊是一直线。论曰：如云不然，令别作一直线，必从丁丙更引出一线，或离戊而上为丁丙己，或离戊而下为丁丙庚也。若上于戊，则甲丙线至丁丙己直线上为甲丙己、甲丙丁两角，此两角宜与两直角等【本篇十三】如此即甲丙戊、甲丙丁两角与甲丙己、甲丙丁两角亦等矣。试减甲丙丁角，而以甲丙戊与甲丙己两角较之，果相等乎【公论三】夫甲丙己本小于甲丙戊，而为其分，今曰相等，是全与其分等也【公论九】若下于戊，则甲丙线至丁丙庚直线上，为甲丙庚、甲丙丁两角，此两角宜与两直角等【本篇十三】如此即甲丙庚、甲丙丁两角与甲丙戊、甲丙丁两角亦等矣。试减甲丙丁角，而以甲丙戊与甲丙庚较之，果相等乎【公论三】夫甲丙戊实小于甲丙庚而为其分，今曰相等，是全与其分等也【公论九】两者皆非，则丁丙戊是一直线。

第十五题凡两直线相交，作四角，每两交角必等。解曰：甲乙与丙丁两线相交于戊。题言：甲戊丙与丁戊乙两角，甲戊丁与丙戊乙两角各等。论曰：丁戊线至甲乙线上，则甲戊丁、丁戊乙两角与两直角等【本篇十三】甲戊线至丙丁线上则甲戊丙、甲戊丁两角与两直角等【本篇十三】如此即丁戊乙、甲戊丁两角亦与甲戊丁、甲戊内两角等【公论十】试减同用之甲戊丁角其所存丁戊乙、甲戊丙两角必等【公论三】又丁戊线至甲乙线上则甲戊丁、丁戊乙两角与两直角等【本篇十三】乙戊线至丙丁线上则丁戊乙、丙戊乙两角与两直角等【本篇十三】如此即甲戊丁、丁戊乙两角亦与丁戊乙、丙戊乙两角【公论十】试减同用之，丁戊乙角，其所存甲戊丁丙戊乙，必等一系推显，两直线相交于中防上，作四角与四直角等。二系一防之上，两直线相交，不论几许线，几许角，定与四直角等【公论十八】増题：一直线内出不同方两直线，而所作两交角等，即后出两线为一直线。解曰：甲乙线内取丙防，出丙丁、丙戊两线，而所作甲丙戊、丁丙乙两交角等，或甲、丙、丁、戊、丙、乙两交角等。题言：戊丙、丙丁即一直线。论曰：甲丙戊角既与丁丙乙角等，每加一戊丙乙角，即甲丙戊、戊丙乙两角必与丁丙乙、戊丙乙两角等【公论二】而甲丙戊、戊丙乙与两直角等【本篇十三】则丁丙乙、戊丙乙亦与两直角等。是戊丙、丙丁为一直线【本篇十四】

第十六题凡三角形之外角，必大于相对之各角。解曰：甲乙丙角形，自乙甲线引之至丁，题言外角丁甲丙，必大于相对之内角。

甲乙丙甲丙乙论曰：欲显丁甲丙角大于甲丙乙角，试以甲丙线两平分于戊【本篇十】自乙至戊作直线，引长之，从戊外截取戊巳与乙戊等【本篇三】次自甲至己作直线，即甲戊、己戊、乙丙两角形之戊己与戊乙两线等，戊甲与戊丙两线等，甲戊己乙、戊丙两交角又等【本篇十五】则甲己与乙丙两底亦等【本篇四】两形之各边各角俱等，而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣。夫己甲戊乃丁甲丙之分，则丁甲丙大于己甲戊，亦大于相等之戊丙乙，而丁甲丙外角不大于相对之甲丙乙内角乎？次显丁甲丙大于甲乙丙，试自丙甲线引长之至庚，次以甲乙线两平分于辛【本篇十】自丙至辛作直线引长之，从辛外截取辛壬与丙辛等【本篇三】次自甲至壬作直线，依前论推显甲辛壬、辛丙乙两角形之各边各角俱等，则壬甲辛与辛乙丙两角亦等矣。夫壬甲辛乃庚甲乙之分，必小于庚甲乙也，庚甲乙又与丁甲丙两交角等【本篇十五】则甲乙丙内角不小于丁甲丙外角乎？其余乙丙上作外角俱大于相对之内角，依此推显。

第十七题凡三角形之每两角，必小于两直角。解曰：甲乙丙角形题，言甲乙丙、甲丙乙两角，丙甲乙、甲乙丙两角，甲丙乙、丙甲乙两角，皆小于两直角。论曰：试用两边线，丙甲引出至戊，丙乙引出至丁，即甲乙丁外角大于相对之甲丙乙内角矣【本篇十六】此两率者，每加一甲乙丙角，则甲乙丁、甲乙丙必大于甲丙乙、甲乙丙矣【公论四】夫甲乙丁、甲乙丙与两直角等也【本篇十三】则甲丙乙、甲乙丙小于两直角也。余二仿此。第十八题。凡三角形，大边对大角，小边对小角。解曰：甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边，乙丙边。题言甲乙丙角大于乙丙甲角，乙甲丙。

角论曰：甲丙边大于甲乙边，即于甲丙线上截甲丁与甲乙等【本篇三】自乙至丁作直线，则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本篇五】夫甲丁乙角者，乙丙丁角形之外角，必大于相对之丁丙乙内角【本篇十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角，而况甲乙丙又函甲乙丁于其中，不又大于甲丙乙乎？如乙丙边大于甲乙边，则乙甲丙角亦大于甲丙乙角，依此推显。

第十九题凡三角形，大角对大边，小角对小边。解曰：甲乙丙角形，乙角大于丙角，题言对乙角之甲丙边，必大于对丙角之甲乙边。论曰：如云不然，令言或等或小。若言甲丙与甲乙等，则甲丙角宜与甲乙角等矣【本篇五】何设乙角大于丙角也？若言甲丙小于甲乙，则甲丙边对甲乙大角宜大【本篇十八】又何言小也？如甲角大于丙角，则乙丙边大于甲乙边。依此推显。

第二十题凡三角形之两边，并之，必大于一边。解曰：「甲乙丙角形题，言甲丙、甲乙边并之，必大于乙丙边；甲丙、丙乙并之，必大于甲乙。」甲乙乙丙并之必大于甲丙论曰：试于丙甲边，引长之，以甲乙为度，截取甲丁【本篇三】自丁至乙作直线，令甲丁、甲乙两腰等，而甲丁乙、甲乙丁两角亦等【本篇五】即丙乙丁角大于甲乙丁角，亦大于丙丁乙角矣。夫丁丙边对丙乙丁大角也，岂不大于乙丙边对丙丁乙小角者乎【本篇十九】又甲丁、甲乙两线各加甲丙线等也，则甲乙加甲丙者与丙丁等矣。丙丁既大于乙丙，则甲乙、甲丙两边并必大于乙丙边也，余二仿此。

第二十一题凡三角形，于一边之两界出两线，复作一三角形在其内，则内形两腰并之，必小于相对两腰，而后两线所作角，必大于相对角。解曰：甲乙丙角形，于乙丙边之两界各出一线，遇于丁。题言：丁丙、丁乙两线并，必小于甲乙、甲丙并；而乙丁丙角，必大于乙甲丙角。论曰：试用内一线引长之，如乙丁引之至戊，即乙甲戊角形之乙甲、甲戊两线并，必大于乙戊线也【本篇二十】此二率者，每加一戊丙线，则乙甲、甲戊、戊丙并，必大于乙戊、戊丙并矣【公论四】又戊丁丙角形之戊丁、戊丙线并，必大于丁丙线也。此二率者，每加一丁乙线，则戊丁、戊丙、丁乙并，必大于丁丙、丁乙并矣【公论四】夫乙甲、甲戊、戊丙既大于乙戊、戊丙，岂不更大于丁丙、丁乙乎【本篇二十】又乙甲戊角形之丙戊丁外角，大于相对之乙甲戊内角【本篇十六】即丁戊丙角形之乙丁丙外角，更大于相对之丁戊丙内角矣。而乙丁丙角，岂不更大于乙甲丙角乎？

第二十二题三直线求作三角形，其每两线并大于一线也。法曰：甲乙丙三线，其第一、第二线并大于第三线【若两线比第三线或等或小，即不能作三角形，见本篇二十】求作三角形，先任作丁戊线，长于三线并，次以甲为度，从丁截取丁巳线【本篇三】以乙为度，从己截取己庚线，以丙为度，从庚截取庚辛线次，以己为心，丁为界，作丁壬癸圜；以庚为心，辛为界，作辛壬癸圜。其两圜相遇，下为壬，上为癸。末以庚巳为底，作癸庚、癸巳两直线，即得己癸庚三角形【用壬亦可作若丁壬癸圜不到子，辛壬癸圜不到丑，即是两线或等或小于第三线，不成三角形矣】论曰：此角形之丁己、己癸线，皆同圜之半径等【界説十五】则己癸与甲等；庚辛、庚癸线，亦皆同圜之半径等，则庚癸与丙等。己庚元以乙为度，则角形三线与所设三线等。用法：任以一线为底，以底之一界为心，第二线为度，向上作短界线。次以又一界为心，第三线为度，向上作短界线。两界线交处，向下作两腰，如所求。若设一三角形，求别作一形与之等，亦用此法。

第二十三题一直线任于一防上求作一角与所设角等。法曰：甲乙线于丙防求作一角与丁戊己角等。先于戊丁线任取一防为庚，于戊巳线任取一防为辛。自庚至辛作直线。次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛角形等【本篇卄二】即丙壬、丙癸两腰与戊庚、戊辛两腰等，壬癸底。与庚辛底又等，则丙角与戊角必等【本篇八】

第二十四题两三角形相当之两腰各等，若一形之腰间角大，则底亦大。解曰：甲乙丙与丁戊己两角形，其甲乙与丁戊两腰，甲丙与丁巳两腰各等。若乙甲丙角大于戊丁己角，题言乙丙底必大于戊巳底。论曰：试依丁戊线，从丁防作戊丁庚角与乙甲丙角等【本篇卄三】则戊丁庚角大于戊丁己角，而丁庚腰在丁巳之外矣。次截丁庚线与丁巳等【本篇三】即丁庚、丁巳俱与甲丙等。又自戊至庚作直线，是甲乙与丁戊、甲丙与丁庚腰线各等，乙甲丙与戊丁庚两角亦等，而乙丙与戊庚两底必等也【本篇四】次问所作戊庚底，今在戊巳底上邪？抑同在一线邪？抑在其下邪？若在上，即如第二图，自己至庚作直线，则丁庚己角形之丁庚、丁巳两腰等，而丁庚己与丁己庚两角亦等矣【本篇五】夫戊庚己角乃丁庚己角之分，必小于丁庚己，亦必小于相等之丁巳庚，而丁巳庚又戊己庚角之分，则戊庚己益小于戊巳庚也【公论九】则对戊庚己小角之戊己腰，必小于对戊己庚大角之戊庚腰也【本篇十九】若戊巳与戊庚两底同线，即如第四图，戊己乃戊庚之分，则戊己必小于戊庚也【公论九】若戊庚在戊巳之下，即如第六图，自己至庚作直线，次引丁庚线出于壬，引丁巳线出于辛，则丁庚、丁巳两腰等，而辛巳、庚壬、庚己两外角亦等矣【本篇五】夫戊庚己角乃壬庚己角之分，必小于壬庚己，亦必小于相等之辛巳庚，而辛巳庚又戊己庚角之分，则戊庚巳益小于戊己庚也【公论九】则对戊庚己小角之戊巳腰，必小于对戊己庚大角之戊庚腰也【本篇十九】是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙【本篇四】也。

第二十五题两三角形相当之两腰各等，若一形之底大，则腰间角亦大。解曰：甲乙丙与丁戊己两角形，其甲乙与丁戊，甲丙与丁巳，各两腰等。若乙丙底大于戊巳底，题言乙甲丙角大于戊丁巳角。论曰：「如云不然，令言或小或等。若言等，则两」。形之两腰各等，腰间角又等，宜两底亦等【本篇四】何设乙丙底大也？若言乙甲丙角小，则对乙甲丙角之乙丙线宜亦小【本篇廿四】何设乙丙底大也？

第二十六题【二支】两三角形有相当之两角等，及相当之一边等，则余两边必等，余一角亦等。其一边不论在两角之内，及一角之对。先解一边在两角之内者，曰甲乙丙角形之甲乙、丙甲、丙乙两角，与丁戊己角形之丁戊、巳丁、巳戊两角各等，在两角内之乙丙边与戊、巳边又等，题言甲、乙与丁、戊两边，甲、丙与丁、巳两边各等，而乙、甲、丙角与戊、丁、巳角亦等。论曰：如云两边不等，而丁戊大于甲乙，令于丁戊线截取庚戊与甲乙等【本篇三】次自庚至己作直线，即庚戊巳角形之庚戊、戊巳两边宜与甲乙、乙丙两边等矣。夫乙角与戊角元等，则甲丙与庚巳宜等【本篇四】而庚巳戊角与甲丙乙角宜亦等也【本篇四】既设丁己戊与甲丙乙两角等，今又言庚己戊与甲丙乙两角等，是庚己戊与丁己戊亦等，全与其分等矣【公论九】以此见两边必等，两边既等，则余一角亦等。后解相等边不在两角之内而在一角之对者，曰：甲乙丙角形之乙角、丙角，与丁戊己角形之戊角、丁己戊角各等，而对丙之甲乙边。与对己之丁、戊边又等，题言：甲、丙与丁、己两边丙、乙与己、戊两边各等，而甲角与戊、丁、己角亦等。论曰：如云两边不等，而戊己大于乙丙，令于戊己线截取戊庚与乙丙等【本篇三】次自丁至庚作直线，即丁戊庚角形之丁戊、戊庚两边宜与甲乙、乙丙两边等矣。夫乙角与戊角元等，则甲丙与丁庚宜等【本篇四】而丁庚戊角与甲丙乙角宜亦等也。既设丁巳戊与甲丙乙两角等，今又言丁庚戊与甲丙乙两角等，是丁庚戊外角与相对之丁巳戊内角等矣【本篇十六】可乎？以此见两边必等，两边既等，则余一角亦等。

第二十七题两直线有他直线交加其上，若内相对两角等，即两直线必平行。解曰：甲乙丙丁两直线，加他直线戊己，交于庚，于辛，而甲庚辛与丁辛庚两角等。题言甲乙丙丁两线必平行。论曰：如云不然，则甲乙丙丁两直线必至相。遇于壬而庚辛壬成三角形，则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角矣【本篇十六】乃先设相等乎？若设乙庚辛角与丙辛庚角等，亦依此论。若言甲乙丙丁两直线相遇于癸，亦依此论。

第二十八题【二支】两直线有他直线交加其上，若外角与同方相对之内角等，或同方两内角与两直角等，即两直线必平行。先解曰：甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛，其戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等，题言甲乙丙丁两线必平行。论曰：乙庚辛角与相对之内角丙辛庚等【本篇】【卄七】戊、庚、甲与乙、庚、辛两交角亦等【本篇十五】即两直线必平行。后解曰：甲庚、辛丙、辛庚两内角与两直角等。题言甲乙丙丁两线必平行。论曰：甲庚辛丙辛庚两角与两直角等，而甲庚戊、甲庚辛两角亦与两直角等【本篇十三】试减同用之甲庚辛，即所存甲庚戊与丙辛庚等矣。既外角与同方相对之内角等，即甲乙丙丁必平行【本题】

第二十九题【三支】两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等，外角与同方相对之内角亦等，同方两内角亦与两直角等。先解曰：此反前二题，故同前图，有甲乙丙丁二平行线，加他直线戊巳交于庚于辛。题言甲庚辛与丁辛庚内相对两角必等。论曰：如云不然，而甲庚辛大于丁辛庚，则丁辛庚加辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣【公论四】夫辛庚甲、辛庚乙元与两直角等【本篇十三】据如彼论，则丁辛庚、辛庚乙两角小于两直角，而甲乙丙丁两直线向乙丁行，必相遇也【公论十一】可谓平行线乎？次解曰：戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等。论曰：乙庚辛与相对之丙辛庚两内角等【本题】则乙庚辛交角相等之戊庚甲【本篇十五】与丙辛庚必等【公论一】后解曰：甲庚辛、丙辛庚两内角与两直角等。论曰：戊庚甲与庚辛丙两角既等【本题】而每加一甲庚辛角，则庚辛丙、甲庚辛两角与甲庚辛、戊庚甲两角必等【公论二】夫甲庚辛、戊庚甲本与两直角等【本篇十三】则甲庚辛、丙辛庚两内角亦与两直角等。

第三十题两直线与他直线平行，则元两线亦平行。解曰：此题所指线在同面者，不同面线后，别有论。如甲乙、丙丁两直线，各与他线戊、巳平行，题言甲乙与丙丁亦平行。论曰：试作庚辛直线交，加于三直线甲乙于壬，戊巳。于子丙丁，于癸其甲乙与戊巳既平。行即甲壬子，与相对之己子壬两内。角等【本篇廿九】丙丁与戊巳既平行，即丁癸子内角与己子壬外角亦等【本篇廿九】丁癸子与甲壬子亦为相对之内角亦等【公论一】而甲乙丙丁为平行线【本篇廿七】

第三十一题一防上求作直线与所设直线平行。法曰：甲防上求作直线，与乙丙平行。先从甲防向乙丙线任指一处作直线，为甲丁，即乙丙线上成甲丁乙角。次于甲防上作一角，与甲丁乙等【本篇】【廿三】为戊甲丁，从戊甲线引之至己，即己戊与乙丙平行。论曰：戊己、乙丙两线有甲丁线联之，其所作戊甲丁与甲丁乙相对之两内角等，即平行线【本篇廿七】増从此题生一用法：设一角两线，求作有法四边形，有角与所设角等，两两边线与所设线等。法曰：先作己丁戊角与丙等，次截丁戊线与甲等，己丁线与乙等。末依丁戊平行作己庚，依己丁平行作庚戊，即所求。本题用法于甲防求作直线与乙丙平行，先作甲丁线，次以丁为心，任作戊己圜界，次用元度，以甲为心作庚辛圜界，稍长于戊己次，取戊己圜界为度，于庚辛圜界截取庚辛末，自甲至辛作直线，各引长之，即所求。又用法，以甲防为心，于乙丙线近乙处，任指一防，作短界线为丁。次用元度，以丁为心，于乙丙上，向丙截取一分，作短界线为。戊次，用元度，以戊为心，向上与甲平处作短界线。又用元度，以甲为心，向甲平处作短界线。后两界线交处为己。自甲至己作直线，各引长之，即所求。

第三十二题【二支】凡三角形之外角，与相对之内两角并等。凡三角形之内三角并，与两直角等。先解曰：甲乙丙角形，试从乙丙边引至丁，题言甲丙。丁外角与相对之内两角甲乙并等。论曰：试作戊丙线，与甲乙平行【本篇三一】令甲丙为甲乙、戊丙之交加线，则乙甲丙角与相对。之甲丙戊角等【本篇卄九】又乙丁线与两平行线相遇，则戊丙丁外角与相对之甲乙丙内角等【本篇廿九】既甲丙戊与乙甲丙等，而戊丙丁与甲乙丙又等，则甲丙丁外角与内两角甲乙并等矣。后解曰：甲乙丙三角，并与两直角等。论曰：既甲丙丁角与甲乙两角并等，更于甲丙丁加甲丙乙，则甲丙丁、甲丙乙两角并与甲乙丙内三角并等矣【公论二】夫甲丙丁、甲丙乙并元与两直角等【本篇十三】则甲乙丙内三角并亦与两直角等。増从此推知，凡第一形当两直角，第二形当四直角，第三形当六直角，自此以上至于无穷，每命形之数倍之为所当直角之数【凡一线二线不能为形，故三边为第一形，四边为第二形，五边为第三形，六边为第四形，仿此以至无穷】又视每形边数减二边，即所存边数是本形之数。论曰：如上四图，第一形三边减二边，存一边，即是本形一数倍之当两直角【本题】第二形四边减二边，存二边，即是本形二数倍之当四直角欲显此理，试以第二形作一对角线，成两三角形，每形当两直角，并之则当四直角矣。第三形五边减二边，存三边，即是本形三数倍之，当六直角。欲显此理，试以第三形作两对角线，成三三角形，每形当两直角，并之亦当六直角矣。其余依此推显，以至无穷。又一法，每形视其边数，每边当两直角，而减四直角，其存者即本形所当直角。论曰：欲显此理，试于形中任作一防，从此防向各角俱作直线，令每形所分角形之数如其边数，每一分形三角，当二直角【本题】其近防之处，不论几角，皆当四直角【本篇十五之系】次减近防诸角，即是减四直角，其存者则本形所当直角。如上第四形六边，中间任指一防，从防向各角分为六三角形，每一分形三角，六形共十八角。今于近防处减当四直角之六角，所存近边。

十二角当八直角余仿此一系凡诸种角形之三角并俱相等【本题増】二系凡两腰等角形，若腰间直角，则余两角每当直角之半；腰间钝角，则余两角俱小于半直角；腰间鋭角，则余两角俱大于半直角。三系平边角形，每角当直角三分之二。四系平边角形，若从一角向对边作垂线，分为两角形。此分形各有一直角，在垂线之下两旁。则垂线之上两旁角，每当直角三分之一，其余两角每当直角三分之二。増从三系可分一直角为三平分，其法任于一边立平边角形，次分对直角一边为两平分，从此边对角作垂线，即所求。如上图，甲乙丙直角，求三分之，先于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本篇一】次平分甲丁于戊【本篇九】末作乙戊直线。

第三十三题两平行相等线之界，有两线联之。其两线亦平行，亦相等。解曰：甲乙丙丁两平行相等线，有甲丙、乙丁两线联之。题言：甲丙、乙丁亦平行相等线。论曰：试作甲丁对角线，为甲乙丙丁之交加。线即乙甲丁丙丁甲相对两内角等【本篇卄九】又甲丁线上下两角形之甲乙丙丁两边既等，甲丁同边，则对乙甲丁角之乙丁线与对丙丁甲角之甲丙线亦等【本篇卄九】而乙丁甲与丙甲丁两角亦等也【本篇四】此两角者，甲丙乙丁之内相对角也。两角既等，则甲丙乙丁两线必平行【本篇廿七】

第三十四题凡平行线方形，每相对两边线各等，每相对两角各等，对角线分本形两平分。解曰：甲乙、丁丙平行方形【界説三五】题言：甲乙与丙丁两线，甲丙与乙丁两线各等。又言：乙与丙两角，乙甲丙与丙丁乙两角各等。又言：若作甲丁对角线，即分本形为两平分。论曰：甲乙与丙丁既平行，则乙甲丁与丙丁甲相对之两内角等【本篇廿九】甲丙与乙丁既平行，则乙丁甲与丙甲丁相对之两内角等【本篇廿九】甲乙丁角形之乙甲丁、乙丁甲两角，与甲丁丙角形之丙丁甲、丙甲丁两角既各等，甲丁同边，则甲乙与丙丁、甲丙与乙丁俱等也。而丙角与相对之乙角亦等矣【本篇廿六】又乙丁甲角加丙丁甲角，与丙甲丁角加乙甲丁角既等，即乙甲丙与丙丁乙相对两角亦等也【公论二】又甲乙丁、甲丁丙两角形之甲乙、乙丁两边，与丁丙、丙甲两边各等，腰间之乙角与丙角亦等，则两角形必等【本篇四】而甲丁线分本形为两平分。

第三十五题两平行方形，若同在平行线内，又同底，则两形必等。解曰：甲乙丙丁两平行线内，有丙丁戊甲与丙丁乙巳两平行方形，同丙丁底。题言此两形等，等者不谓腰等、角等，谓所函之地等后。

言形等者多仿此先论曰：设己在甲戊之内，其丙丁戊甲与丙丁乙己皆平行方形。丙丁同底，则甲戊与丙丁巳乙与丙丁各相对之两边各等【本篇三四】而甲戊与己乙亦等【公论一】试于甲戊己乙两线各减己戊，即甲己与戊乙亦等【公论三】而甲丙与戊丁元等【本篇三四】乙戊丁外角与己甲丙内角又等【本篇廿九】则乙戊丁与己甲丙两角形必等矣【本篇四】次于两角形每加一丙丁戊己无法四边形，则丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形等也【公论二】次论曰：设己戊同防，依前甲戊与戊乙等，乙戊丁与戊甲丙两角形等【本篇四】而每加一戊丁丙角形，则丙丁戊甲与丙丁乙戊两平行方形必等【公论二】后论曰：设己防在戊之外，而丙己与戊丁两线交于庚。依前甲戊与己乙两线等，而每加一戊己线，即戊乙与甲己两线亦等【公论二】因显己甲丙与乙戊丁两角形亦等【本篇四】次每减一己戊庚角形，则所存戊庚丙甲与乙己庚丁两无法四边形亦等【公论三】次于两无法形，每加一庚丁丙角形，则丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形必等【公论二】

第三十六题两平行线内有两平行方形，若底等，则形亦等。解曰：甲乙丙丁两平行线内，有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形，而丙戊与辛丁两底等。题言两形亦等。论曰：「试自丙至庚，戊至乙，各作直线相联，其」丙戊庚乙各与辛丁等，则丙戊与庚乙亦等【本篇卅四】庚乙与丙戊既平行线，则庚丙与乙戊亦平行线【本篇卅三】而甲丙戊己与庚丙戊乙两平行方形同丙戊底者等矣【本篇三五】庚辛丁乙与庚丙戊乙两平行方形同庚乙底者亦等矣【本篇三五】既尔，则庚辛丁乙与甲丙戊己亦等【公论一】

第三十七题两平行线内有两三角形，若同底，则两形必等。解曰：甲乙丙丁两平行线内，有甲丙丁、乙丙丁两角形，同丙丁底题，言两形必等。论曰：「试自丁至戊作直线，与甲丙平行；次自」丁至己作直线与乙丙平行【本篇三一】夫甲丙丁戊、乙丙丁己两平行方形，在甲乙丙丁两平行线内，同丙丁底既等【本篇三五】则甲丙丁角形为甲丙丁戊方形之半，与乙丙丁角形为乙丙丁己方形之半者【甲丁、乙丁两对角线平分两方形，见本篇卅四】亦等【公论七】

第三十八题两平行线内有两三角形，若底等，则两形必等。解曰：甲乙丙丁两平行线内，有甲丙戊与乙己丁两角形，而丙戊与己丁两底等。题言两形必等。论曰：试自庚至戊，辛至丁，各作直线，与甲丙、乙己平行【本篇卅一】其甲丙戊庚与乙己丁辛两平行方形既等【本篇卅六】则甲丙戊与乙己丁两角形为两方形之半者【本篇卅四】亦等【公论七】増凡角形任于一边两平分之向对角作直线即分本形为两平分。论曰：甲乙丙角形，试以乙丙边两平分于丁【本篇十】自丁至甲作直线，即甲丁线分本形为两平分。何者？试于甲角上作直线与乙丙平行【本篇卅一】则甲乙丁、甲丁丙两角形在两平行线内，两底等，两形亦等【本题】二増题：凡角形，任于一边，任作一防，求从防分本形为两平分。法曰：甲乙丙角形，从丁防求两平分，先自丁至相对，甲角作甲丁直线，次平分乙丙线于戊【本篇十】作戊己线与甲丁平行【本篇卅一】末作己丁直线，即分本形为两平分。论曰：试作甲戊直线，即甲戊己、己丁戊两角形，在两平行线内，同己戊底者等。而每加一己戊丙形，则己丁丙与甲戊丙两角形亦等【公论二】夫甲戊丙为甲乙丙之半【本题増】则己丁丙亦甲乙丙之半。

第三十九题两三角形，其底同，其形等，必在两平行线内。解曰：甲乙丙与丁丙乙两角形之乙丙底同，其形复等。题言在两平行线内者，葢云：自甲至丁作直线，必与乙丙平行。论曰：如云不然，令从甲别作直线与乙丙平行【本篇卅一】必在甲丁之上，或在其下矣。设在上为甲戊，而乙丁线引出至戊，即作戊丙直线，是甲乙丙宜与戊丙乙两角形等矣【本篇卅七】夫甲乙丙与丁丙乙既等，而与戊丙乙复等，是全与其分等也【公论九】设在甲丁下为甲己，即作己丙直线，是己丙乙与丁丙乙亦等，如前驳之。

第四十题两三角形，其底等，其形等，必在两平行线内。解曰：甲乙丙与丁戊己两角形之乙丙与戊己两底等，其形亦等。题言在两平行线内者，葢云自甲至丁作直线，必与乙己平。

行论曰：如云不然，令从甲别作直线与乙己平行【本篇卅一】必在甲丁之上或在其下矣。设在上为甲庚，而戊丁线引出至庚，即作庚己直线，是甲乙丙宜与庚戊己两角形等矣【本篇三八】夫甲乙丙与丁戊己既等，而与庚戊己复等，是全与其分等也【公论九】设在甲丁下为甲辛，即作辛己直线，是辛戊己与丁戊己亦等，如前驳之第四十一题。两平行线内，有一平行方形，一三角形，同底，则方形倍大于三角形。解曰：甲乙丙丁两平行线内，有甲丙丁戊方形，乙丁丙角形，同丙丁底。题言方形倍大于角形。论曰：试作甲丁直线，分方形为两平分，则甲丙丁与乙丁丙两角形等矣【本篇卅七】夫甲丙丁戊倍大于甲丙丁【本篇卅三】必倍大于乙丁丙。

第四十二题有三角形，求作平行方形，与之等，而方形角有与所设角等。法曰：设甲乙丙角形，丁角，求作平行方形与甲乙丙角形等，而有丁角。先分一边为两平分，如乙丙边，平分于戊【本篇十】次作丙戊己角。与丁角等【本篇廿】次自甲作直线与乙丙平行【本篇卅一】而与戊己线遇于己；末自丙作直线与戊己平行，为丙庚【本篇卅一】而与甲己线遇于庚，则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等。论曰：试自甲至戊作直线，其甲戊丙角形与己戊丙庚平行方形在两平行线内，同底，则己戊丙庚倍大于甲戊丙矣【本篇四一】夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙【本篇卅八増】即与己戊丙庚等【公论六】

第四十三题凡方形，对角线旁两余方形，自相等。解曰：甲乙丙丁，方形有甲丙对角线，题言两旁之乙壬庚戊与庚己丁辛两余方形【界説卅六】必等。论曰：甲乙丙甲丙丁两角形等【本篇卅四】甲戊庚甲庚辛两角形亦等【本篇卅四】而于甲乙丙减甲戊庚，于甲丙丁减甲庚辛，则所存乙丙庚戊与庚丙丁辛两无法四边形亦等矣【公论三】又庚壬丙己角线方形之庚丙己、庚丙壬两角形等【本篇三四】而于两无法四边形每减其一，则所存乙、壬、庚、戊，与庚、己、丁、辛两余方形，安得不等【公论三】第四十四题一直线上求作平行方形与所设三角形等，而方形角有与所设角等。法曰：设甲线，乙角形，丙角，求于甲线上作平行方形与乙角形等而有丙角。先作丁戊己庚平行方形与乙角形等，而戊己庚角与丙角等【本篇四二】次于庚己线引长之，作己辛线与甲等。次作辛壬线与戊己平行【本篇三一】次于丁戊引长之，与辛壬线遇于壬。次自壬至己作对角线引出之，又自丁庚引长之，与对线角遇于癸。次自癸作直线与庚辛平行，又于壬辛引长之，与癸线遇于子。末于戊己引长之至癸子线，得丑，即己丑子辛平行方形，如所求。论曰：此方形之己辛线与甲等，而辛己丑角为戊己庚之交角【本篇十五】则与丙等。又本形与戊己庚丁同为余方形等【本篇四三】则与乙角形等。

第四十五题有多边直线形，求作一平行方形与之等，而方形角有与所设角等。法曰：设甲乙丙五边形，丁角，求作平行方形与五边形等而有丁角。先分五边形为甲乙丙三三角形。次作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角【本篇四二】次于戊、辛、己、庚两平行线引长之作庚、辛、壬、癸平行方形与乙等，而有丁角【本篇四四】末复引前线作壬、癸、子、丑平行方形与丙等，而有丁角【本篇四四】即此三形并为一平行方形与甲、乙、丙并形等，而有丁角。自五以上可至无穷，俱仿此法。论曰：戊己庚与辛庚癸两角等，而每加一己庚辛角，即辛庚癸己庚辛两角定与己庚辛戊己庚两角等。夫己庚辛戊己庚是两平行线内角，与两直角等也【本篇廿九】则己庚辛辛庚癸亦与两直角等，而己庚庚癸为一直线也【本篇十四】又戊辛庚与戊己庚两对角等，而辛壬癸与辛庚癸两对角亦等，则戊己庚辛庚辛壬癸皆平行方形也【本篇卅四】壬癸子丑依此推显【本篇三十】即与戊己癸壬并为一平行方形矣。増题：两直线形不等，求相减之较几何？法曰：甲与乙两直线形，甲大于乙，以乙减甲，求较几何？先任作丁丙己戊平行方形，与甲等；次于丙丁线上，依丁角作丁丙辛庚平行方形，与乙等【本题】即得辛。庚戊己为相减之较矣？何者？丁丙己戊之大于丁丙辛庚，较余一辛庚戊己也。则甲大于乙，亦辛庚戊己也。

第四十六题一直线上求立直角方形法曰：甲乙线上求立直角方形，先于甲乙两界各立垂线，为丁甲，为丙乙，皆与甲乙线等。【本篇十一】次作丁丙线相联，即甲乙丙丁为直角方形。论曰：甲乙两角俱直角，则丁甲丙乙为平行线【本篇廿八】此两线自相等，则丁丙与甲乙亦平行线【本篇三三】而甲乙丙丁四线俱平行，俱相等。又甲乙俱直角，则相对丁丙亦俱直角【本篇卅四】而甲乙丙丁定为四直角方形。第四十七题凡三边直角形，对直角边上所作直角方形，与余两边上所作两直角方形并等。解曰：甲乙丙角形，于对乙甲丙直角之乙丙边上，作乙丙丁戊直角方形【本篇四六】题言此形与甲乙边上所作甲乙己庚及甲丙边上所作甲丙辛壬两直角方形并等。论曰：试从甲作甲癸直线，与乙戊丙丁平行【本篇卅一】分乙丙边于子，次自甲至丁至戊各作直线，末自乙至辛，自丙至己各作直线，其乙甲丙与乙甲庚既皆直角，即庚甲甲丙是一直线【本篇十四】依显乙甲甲壬亦一直线。又丙乙戊与甲乙己既皆直角，而每加一甲乙丙角，即甲乙戊与丙乙己两角亦等【公论二】依显甲丙丁与乙丙辛两角亦等。又甲乙戊角形之甲乙乙戊两边与丙乙己角形之己乙乙丙两边等，甲乙戊与丙乙己两角复等，则对等角之甲戊与丙己两边亦等，而此两角形亦等矣【本篇四】夫甲乙己庚直角方形倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形【本篇四一】而乙戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形，则甲乙己庚不与乙戊癸子等乎【公论六】依显甲丙辛壬直角方形与丙丁癸子直角形等，则乙戊丁丙一形与甲乙己庚甲丙辛壬两形并等矣。一増凡直角方形之对角线上作直角方形倍大于元形，如甲乙丙丁直角方形之甲丙线上作直角方形，倍大于甲乙丙丁形。二増题设，不等两直角方形，如一以甲为边，一以乙为边，求别作两直角方形自相等，而并之又与元设两形并等。法曰：先作丙戊线，与甲等；次作戊丙丁直角，而丙丁线与乙等；次作戊丁线相聨，末。于丙丁戊角、丙戊丁角各作一角，皆半于直角。己戊、己丁两腰遇于己【公论十一】而等【本篇六】即己戊、己丁两线上所作两直角方形自相等，而并之，又与丙戊、丙丁上所作两直角方形并等。论曰：己丁、戊己、戊丁两角，既皆半于直角，则丁己戊为直角【本篇卅二】而对直角之丁戊线上所作直角方形，与两腰线上所作两直角方形并等矣【本题】己戊与己丁既等，则其上所作两直角方形自相等矣。又丁戊线上所作直角方形，与丙丁、丙戊线上所作两直角方形并既等，则己戊、己丁上两直角方形并与丙戊、丙丁上两直角方形并亦等。三増题：多直角方形，求并作一直角方形与之等。法曰：如五直角方形，以甲、乙、丙、丁、戊为边，任等不等，求作一直角方形与五形并等。先作己庚辛直角，而己庚线与甲等，庚辛线与乙等。次作己辛线，旋作己辛壬直角，而辛壬与丙等。次作己壬线。旋作己壬癸直角，而壬癸与丁等；次作己癸线，旋作己癸子直角，而癸子与戊等；末作己子线。题言：己子线上所作直角方形，即所求。论曰：己辛上作直角方形，与甲乙两形并等【本题】己壬上作直角方形，与己辛及丙两形并等。余仿此推，显可至无穷。四増三边直角形，以两边求第三边长短之数。法曰：甲乙丙角形，甲为直角，先得甲乙甲。丙两边长短之数，如甲乙六，甲丙八，求乙丙边长短之数。其甲乙、甲丙上所作两直角方形并，既与乙丙上所作直角方形等【本题】则甲乙之羃【自乘之数曰羃】得三十六；甲丙之羃，得六十四，并之得百；而乙丙之羃，亦百。百开方得十，即乙丙数十也。又设先得甲乙、乙丙，如甲乙六，乙丙十，而求甲丙之数。其甲乙、甲丙上两直角方形并，既与乙丙上直角方形等。则甲乙之羃，得三十六；乙丙之羃，得百。百减三十六，得甲丙之羃六十四。六十四开方得八，即甲丙八也。求甲乙，仿此。此以开方尽实者为例，其不尽实者，自具筭家分法。

第四十八题凡三角形之一边上所作直角方形，与余边所作两直角方形并等，则对一边之角必直角。解曰：此反前题。如甲乙丙角形，其甲丙边上所作直角方形，与甲乙、乙丙边上所作两直角方形并等题：言甲乙丙角必直角。论曰：试于乙上作甲乙、丁直角，而乙丁与乙丙两线等，次作丁甲线相联。其甲乙丁既直角，则甲丁上直角方形与甲乙、乙丁上两直角方形并等【本篇四七】而甲乙、乙丁上两直角方形并与甲乙、乙丙上两直角方形并又等【甲乙同，乙丁乙丙等故】即丁甲上直角方形与甲丙上直角方形必等。夫甲乙丁角形之甲乙、乙丁两腰与甲乙丙角形之甲乙、乙丙两腰既等，而丁甲、甲丙两底又等，则对底线之两角亦等【本篇八】甲乙丁既直角，即甲乙丙亦直角。

几何原本卷一

钦定四库全书