几何原本卷六之首

几何原本卷六之首

西洋利玛窦译界说六则第一界凡形相当之各角等，而各等角旁两线之比例俱等，为相似之形。甲、乙、丙、丁、戊、己两角形之甲角与丁角等，乙与戊、丙。与己各等其甲角旁之甲乙，与甲丙。两线之比例，若丁角旁之丁戊与丁、己两线，而甲、乙与乙、丙若丁、戊与戊己、甲丙与丙乙，若丁己与己戊，则此两角形为相似之形，依显凡平邉。形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱平邉角形，其各角俱等，而各邉之比例亦等者，是也。四邉、五邉以上诸形，俱仿此。

第二界两形之各两邉线互为前后，率相与为比例，而等为互相视之形。甲乙丙丁戊己庚辛，两方形。其甲乙，乙丙邉与戊己己庚邉相与为比例。等而彼此互为前后，如甲乙与戊己。若己庚与乙丙也，则此两形为互相。视之，形依显壬癸、子丑、寅卯两角形。之壬子与丑寅，若丑夘与壬癸，或壬癸与丑寅，若丑夘与壬子，亦互相视之形也。

第三界理分中末线者，一线两分之，其全与大分之比例，若大分与小分之比例。甲乙线两分之于丙，而甲乙与大分甲丙之比例，若大分甲丙与小分丙乙，此为理分中末线，其分法见本卷三十题，而与二卷十一题理同。名异此线为用甚广，至量体尤所必须。十三卷诸题多頼之，古人目为神分线也。

第四界度各形之髙，皆以垂线之亘为度。甲乙丙角形，从甲顶向乙丙底作甲庚垂线，即甲庚为甲乙丙之髙。又丁戊己角形，作丁辛垂线，即丁辛为丁戊己之髙。若两形相视，两垂线等，即两形之髙必等，如上两形在两平行线之内者是也。若以丙己为顶，以甲乙丁戊为底，则不等。自余诸形之度髙，俱仿此。凡度物髙，以顶底为界，以垂线为度。盖物之定度，止有一，不得有二。自顶至底，垂线一而己偏线无数也。第五界。比例以比例相结者，以多比例之命数相乗除，而结为一比例之命数。此各比例不同理而相聚为一比例者，则用相结之法，合各比例之命数，求首尾一比例之命数也。曷为比例之命数？谓大几何所倍于小几何若干，或小几何在大几何内若干也。如大几何四倍于小，或小几何为大四分之一，即各以四为命，比例之数也【五卷界说】三】今言以彼多比例之命数相乗除而结为此一比例之命数者如十二倍之此比例则以彼二倍六倍两比例相结也二六相乗为十二故也或以彼三倍四倍两比例相结也三四相乗亦十二故也又如三十倍之此比例则以彼二倍三倍五倍三比例相结也二乗三为六六乗五为三十故也其曰相结者，相结之理盖在中率。凡中率为前比例之后，后比例之前，故以二比例合为一比例，则中率为辏合之因。如两爿合，此为之胶；如两襟合，此为之纽矣。第五卷第十界言数几何为同理之比例，则第一与第三为再加之比例。再加者，以前中二率之命数再加为前后二率之命数，亦以中率为纽也。但彼所言者多比例同理，故止以第一比例之命数累加之。此题所言则不同理之多比例，不得以第一比例之命数累加之，故用此乗除相结之理于不同理之中求其同理，别为累加之法。其纽结之义颇相类焉。下文仍发明借象之术，以需后用也。五卷言多比例同理者，第一与第三为再加，与第四为三加，与第五为四加，以至无穷。今此相结之理亦。

以三率为始三率则两比例相乗除而中率为纽也若四率则先以前三率之两比例相乗除而结为一比例复以此初结之比例与第三比例乗除相结为一比例也。若五率，则先以前三率之两比例乗除相结，复以此再结之比例与第三比例乗除相结，又以三结之比例与第四比例乗除相结为一比例也。或以第一第二第三率之两比例乗除相结，以第三第四第五之两比例乗除相结，又以此二所结比例乗除相结而为一比例也。自六以上仿此，以至无穷。设三几何为二比例，不同理而合为一比例，则以第一与二，第二与三两比例相结也。如上圗，三几何二比例皆以大不等者，其甲乙与丙丁为二倍大，丙丁与戊己为三倍大，则甲乙与戊己为六倍大，二乗三为六也。若以小不等，戊己为第一，甲乙为第三。三乗二，亦六。则戊己与甲乙为反，六倍大也。甲乙与丙丁既二倍大，试以甲乙二平分之，为甲庚、庚乙，必各与丙丁等。丙丁与戊己既三倍大，而甲庚、庚乙各与丙丁等，即甲庚亦三倍大于戊己，庚乙亦三倍大于戊己，而甲乙必六倍大于戊己。又如上圗三，几何二比例？前以大不等，后以小不等者，中率小，子前后两率也。其甲乙与丙丁为三倍大，丙丁与戊己为反二倍大【反二倍大者，丙丁得戊己之半】即甲乙与戊己为等带半，三乗半得等带半也。若以戊己为第一，甲乙为第三，反推之，半除三为反等带半也。又如上圗三，几何二比例，前以小不等，后以大不等者，中率大于前后二率也。其甲乙与丙丁为反二倍大【甲乙得丙丁之半】丙丁与戊己为等带三分之一，即甲乙与戊己为反等带半【甲乙得戊己三分之二】何者？如甲乙二，即丙丁当四；丙丁四，即戊己当三。是甲乙二，戊己当三也。后増其乗除之法则，以命数三，带得数一为四，以半除之，得二。二比三为反等带半也。若以戊己为第一，甲乙为第三，三比二为等带半也。设四几何，为三比例，不同理，而合为一比例，则以第一与二，第二与三，第三与四，三比例相结也。如上圗，甲乙丙丁四。几何三比例，先依上论，以甲与乙，乙与丙二比例相结，为甲与丙之比例。次以甲与丙，丙与丁相结，即得甲与丁之比例也。如是逓结，可至无穷也。或用此圗申明本题之防，曰：「甲与乙之命数为丁乙」。与丙之命数为戊，即甲与丙之命数。为己何者？三命数，以一丁、二戊相乗。得三，己即三比例。以一甲与乙，二乙。

与丙相乗得三甲与丙后増若多几何，各带分而多寡不等者，当用通分法。如设前比例为反五倍带三之二，后比例为二倍大带八之一。即以前命数三通其五倍为十五，得分数从之为十七，是前比例为三与十七也。以后命数八通其二倍为十六，得分数从之为十七，是后比例为十七与八也。即首尾二几何之比例为三与八，得二倍大带三之二也。曷谓借象之术？如上所说三几何、二比例者，皆以中率为前比例之后、后比例之前，乗除相结，畧如连比例之同用一中率也。而不同理，别有二比例异中率者，是不同理之断比例也，无法可以相结。当于其所设几何之外，别立三几何、二比例而同中率者，乗除相结，作为仪式，以彼异中率之四几何、二比例依仿求之，即得。故谓之借象术也。假如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若八与三及二与四之比例八为前比例之前四为后比例之后三与二为前之后后之前此所谓异中率也，欲以此二比例乗除相结，无法可通矣。用是别立三几何，二比例如其八与三、二与四之比例，而务令同中率。如三其八得二十四，为前比例之前；三其三得九，为前比例之后。即以九为后比例之前，又求九与何数为比例？若二与四得十八，为后比例之后。其二十四与九，若八与三也；九与十八，若二与四也。则十六与十二，若二十四与十八，俱为等带半之比例矣。是用借象之术，变异中率为同中率乗除相结，而合二比例为一比例也。其三比例以上，亦如上方所说，展转借象逓结之。详见本卷二十三题筭家所用借象金法、双金法，俱本此。

第六界平行方形，不满一线为形，小于线；若形有余线，不足为形，大于线。甲乙线，其上作甲戊、丁丙平行方形，不满甲乙线，而丙乙上无形，即作己乙线与丁丙平行。次引戊丁线，遇己乙于己，是为甲戊己乙满甲乙线平行方形。则甲丁为依甲乙线之有阙平行方形，而丙己平行方形为甲丁之阙形。又甲丙线上作甲戊己乙平行方形，其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙，而甲己形大于甲丙线上之甲丁形，则甲己为依甲丙线之带余平行方形，而丙己平行方形为甲己之余形。

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