几何原本卷五之首

几何原本卷五之首

西洋利玛窦译界説十九则前四卷所论皆独几何也，此下二卷所论皆自两以上多几何同例相比者也，而本卷则总説完几何之同例相比者也。诸卷中独此卷以虚例相比，絶不及线、靣、体诸类也。第六卷则论线，论角，论圜界诸类及诸形之同例相比者也。今先解向后所用名目，为界説十九。

第一界分者，几何之几何也？小能度大，以小为大之分。以小几何度大几何，谓之分。曰：几何之几何者，谓非此小几何不能为此大几何之分也。如一防，无分，亦非几何，即不能为线之分也。一线，无广狭之分，非广狭之几何。即不能为靣之分也，一靣无厚薄之分，非厚薄之几何，即不能为体之分也。曰能度大者谓小几何，度大几何，能尽大之分者也。如甲为乙为丙之分，则甲为乙三分之一，为丙六分之一，无赢不足也。若戊为丁之一，即赢为二，即不足；己为丁之三，即赢为四，即不足。是小不尽大，则丁不能为戊、己之分也。以数明之，若四于八、于十二、于十六、于二十诸数，皆能尽分，无赢不足也。若四于六、于七、于九、于十、于十八、于三十八诸数，或赢或不足，皆不能尽分者也。本书所论皆指能尽分者，故称为分；若不尽分者，当称几分几何之几。如四于六为三分六之二，不得正名为分，不称小度大，也不为大几何内之小几何也。

第二界若小几何能度大者，则大为小之几倍。如第一界图，甲与乙能度丙，则丙为甲与乙之几倍。若丁、戊不能尽己之分，则己不为丁、戊之几倍。第三界。比例者，两几何以几何相比之理。两几何者，或两数，或两线，或两靣，或两体，各以同类大小相比，谓之比例。若线与靣，或数与线相比，此异类，不为比例。又若白线与黒线，热线与冷线相比，虽同类，不以几何相比，亦不为比例也。比例之説，在几何为正用，亦有借用者。如时、如音、如声、如所、如动、如称之属，皆以比例论之。凡两几何相比，以此几何比他几何，则此几何为前率，所比之他几何为后率。如以六尺之线比三尺之线，则六尺为前率，三尺为后率也。反用之，以三尺之线比六尺之线，则三尺为前率，六尺为后率也。比例为用甚广，故详论之如左。凡比例有二种，有大合，有小合。以数可明者为大合，如二十尺之线比十尺之线是也。其非数可明者为小合，如直角方形之两邉与其对角线可以相比，而非数可明者是也。如上二种，又有二名。其大合线为有两度之线，如二十尺比八尺，两线为大合，则二尺、四尺皆可两度之者是也。如此之类，凡数之比例皆大合也。何者？有数之属，或无他数可两度者，无有一数不可两度者。若七比九，无他数可两度之，以一则可两度之也。其小合线为无两度之线，如直角方形之两邉与其对角线为小合，即分至万分以及无数，终无小线可以尽分能度两率者是也【此论详见十卷末题】小合之比例，至十卷详之。本篇所论，皆大合也。凡大合有两种，有等者，如二十比二十，十尺之线比十尺之线是也；有不等者，如二十比十八，比四十六尺之线比二尺之线是也。如上等者，为相同之比例。其不等者，又有两种：有以大不等，如二十比十是也；有以小不等，如十比二十是也。大合比例之以大不等者，又有五种：一为几倍大，二为等带一分，三为等带几分，四为几倍大带一分，五为几倍大带几分。一为几倍大者，谓大几何内有小几何，或二，或三，或十，或八也。如二十与四，是二十内为四者五。如三十尺之线与五尺之线，是三十尺内为五尺者六。则二十与四名为五倍大之比例也，三十尺与五尺名为六倍大之比例也。仿此为名，可至无穷也。二为等带一分者，谓大几何内既有小之一别，带一分；此一分或元一之半，或三分之一，四分之一，以至无穷者是也。如三与二，是三内既有二别，带一，一为二之半；如十二尺与九尺之线，是十二内既有九别，带三，三为九三分之一，则三与二名为等带半也；十二尺与九尺名为等带三分之一也。三为等带几分者，谓大几何内既有小之一别，带几分而此几分不能合为一尽分者是也。

如八与五，是八内既有五别，带三一，每一各为五之分，而三一不能合而为五之分也。他如十与八，其十内既有八别，带二一，虽每一各为八之分，与前例相似，而二一却能为八四分之一，是为带一分属在第二，不属三也。则八与五名为等带三分也。又如二十二与十六，即名为等带六分也。四为几倍大带一分者，谓大几何内既有小几何之二之三之四等别，带一分，此一分或元一之半，或三分、四分之一，以至无穷者是也。如九与四，是九内既有二四别，带一一，为四之分之一，则九与四名为二倍大带四分之一也。五为几倍大带几分者，谓大几何内既有小几何之二之三之四等别，带几分而此几分不能合为一尽分者是也。如十一与三，是十一内既有三三别，带二一，每一各为三之分，而二一不能合而为三之分也。则十一与三名为三倍大带二分也。大合比例之，以小不等者，亦有五种，俱与上以大不等五种相反为名：一为反几倍大，二为反等带一分，三为反等带几分，四为反几倍大带一分，五为反几倍大带几分。凡比例诸种，如前所设诸数，俱有书法。书法中有全数，有分数。全数者，如一、二、三、十、百等是也。分数者，如分一以二、以三、以四等是也。书全数，依本数书之，不必立法。书分数，必有两数，一为命分数，一为得分数。如分一以三，而取其二，则为三分之二，即三为命分数，二为得分数也。分一为十九，而取其七，则为十九分之七，即十九为命分数，七为得分数也。书以大小不等各五种之比例，其一几倍大以全数书之，如二十与四为五倍大之比例，即书五是也。若四倍即书四，六倍即书六也。其反几倍大，即用分数书之，而以大比例之数为命分之数，以一为得分之数，如大为五倍大之比例，则此书五之一是也。若四倍即书四之一，六倍即书六之一也。其二等带一分之比例有两数，一全数，一分数。其全数恒为一，其分数则以分率之数为命分数恒以一为得分数，如三与二名为等带半，即书一，别书二之一也。其反等带一分，则全用分数，而以大比例之命分数为此之得分数，以大比例之命分数加一为此之命分数。如大为等带二之一，即此书三之二也。又如等带八分之一，反书之，即书九之八也。又如等带一千分之一，反书之，即书一千○○一之一千也。其三等带几分之比例，亦有两数，一全数，一分数。其全数亦恒为一，其分数亦以分率之数为命分数，以所分之数为得分数。如十与七名为等带三分，即书一，别书七之三也。其反等带几分，亦全用分数，而以大比例之命分数为此之得分数，以大比例之命分数加大之得分数为此之命分数。

如大为等带七之三，命数七，得数三，七加三为十，即书十之七也。又如等带二十之三，反书之，二十加三即书二十三之二十也。其四，几倍大带一分之比例，则以几倍大之数为全数，以分率之数为命分数，恒以一为得分数。如二十二与七，二十二内既有三七，别带一，一为七分之一，名为三倍大带七分之一，即以三为全数，七为命分数，一为得分数，书三别书七之一也。其反，几倍大带一分，则以大比例之命分数为此之得分数，以大之命分数乘大之倍数加一为此之命分数。如大为三带七之一，即以七乘三得二十一，又加一为命分数，书二十二之七也。又加五带九之一，反书之，九乘五得四十五，加一为四十六，即书四十六之九也。其五，几倍大带几分之比例，亦以几倍大之数为全数，以分率之数为命分数，以所分之数为得分数。如二十九与八，二十九内既有三八，别带五一，名为三倍大带五分，即以三为全数，八为命分数，五为得分数，书三别书八之五也。其反，几倍大带几分，则以大比例之命分数为此之得分数，以大比例之命分数乘大之倍数加大之得分数为此之命分数。如大为三带八之五，即以八乘三得二十四，加五为二十九，书二十九之八也。又如四带五之二，即书二十二之五也。以上大小十种，足尽比例之凡，不得加一，减一。第四界。两比例之理，相似为同理之比例。两几何相比，谓之比例。两比例相比，谓之同理之比例。如甲与乙两几何之比例，偕丙与丁两几何之比例，其理相似，为同理之比例。又若戊与己两几何之比例，偕己与庚两几何之比例，其理相似，亦同理之比例凡同理之比例有三种，有数之比例，有量法之比例，有乐律之比例。本篇所论皆量法之比例也。量法比例又有二种：一为连比例。连比例者，相续不断，其中率与前后两率逓相为比例，而中率既为前率之后，又为后率之前，如后图戊与己比，己又与庚比是也。二为断比例。断比例者，居中两率，一取不再用，如前图甲自与乙比，丙自与丁比是也。

第五界两几何倍其身而能相胜者，为有比例之几何。上文言为比例之几何，必同类。然同类中亦有无比例者，故此界显有比例之几何也。曰倍其身而能相胜者，如三尺之线与八尺之线，三尺之线三倍其身，即大于八尺之线，是为有比例之线也。又如直角方形之一邉与其对角线，虽非大合之比例可以数明，而直角方形之一邉一倍之，即大于对角线【两邉等三角形，其两邉并必大于一邉，见一卷二十】是亦有小合比例之线也。又圜之径四倍之，即大于圜之界，则圜之径与界亦有小合比例之线也【圜之界当三径七分径之一弱，别见圜形书】又曲线与直线亦有比例，如以大小两曲线相合为初月形，别作一直角方形与之等【六卷三十三一増题，今附】即曲直两线相视有大有小，亦有比例也。又方形与圜，虽自古至今学士无数不能为相等之形，然两形相视有大有小，亦不可谓无比例也。又直线角与曲线角亦有比例，如上图直角、钝角、鋭角皆有与曲线角等者。若第一图甲乙丙直角在甲乙、乙丙两直线内，而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等，即于甲乙丁角加甲乙戊角，则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣。依显壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也。又依显卯丑辰曲线角与子丑寅鋭角各减同用之子丑、丑辰内圜小分，即两角亦等也。此五者皆疑无比例而实有比例者也。他若有穷之线与无穷之线，虽则同类。实无比例？何者？有穷之线，毕世倍之，不能胜无穷之线，故也。又线与靣，靣与体，各自为类，亦无比例？何者？毕世倍线，不能及靣；毕世倍靣，不能及体，故也。又切圜角与直线鋭角，亦无比例？何者？依三卷十六题所説，毕世倍切邉角，不能胜至小之鋭角，故也。此后诸篇中，每有倍此几何，令至胜彼几何者，故备着其理，以需后论也。

第六界四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例，则第一、第三之几倍偕第二、第四之几倍，其相视或等，或俱为大，俱为小，恒如是。两几何，曷显其能为比例乎？上第五界所説是也。两比例，曷显其能为同理之比例乎？此所説是也。其术通大合小合皆以加倍法求之，如一甲二乙三丙四丁，四几何于一？甲三丙任加几倍为戊？为己？戊倍。甲己倍丙，其数自相等；次于二乙四丁，任加几倍为庚，为辛；庚倍乙，辛倍丁，其数自相等。而戊与己偕，庚与辛相视，或等，或俱大，或俱小。如是等大小累试之，恒如是，即知一甲与二乙偕三丙与四丁为同理之比例也。如初试之甲，几倍之戊，小于乙，几倍之庚，而丙，几倍之己，亦小于丁，几倍之辛。又试之，倍甲之戊，与倍乙之庚等，而倍丙之己，亦与倍丁之辛等。三试之，倍甲。之戊，大于倍乙之庚，而倍丙之己。亦大于倍丁之辛，此之谓或相等。或虽不等，而俱为大，俱为小，若累。合一差，即元设四几何，不得为同理之比。例如下第八界所指是也。下文所论，若言四几何为同理之比例，即当推显第一第三之几倍与第二第四之几倍，或等，或俱大，俱小若许，其四几何为同理之比例，亦如之。以数明之，如有四几何？第一为三，第二为二，第三为六，第四为四。今以第一之三，第三之六同加四倍，为十二，为二十四。次以第二之二，第四之四同加七倍，为十四，为二十八。其倍第一之十二，既小于倍第二之十四，而倍第三之二十四，亦小于倍第四之二十八也。又以第一之三，第三之六同加六倍，为十八，为三十六。次以第二之二，第四之四同加九倍为十八，为三十六。其倍第一之十八既等于倍第二之十八，而倍第三之三十六亦等于倍第四之三十六也。又以第一之三，第三之六同加三倍为九，为十八。次以第二之二，第四之四同加二倍为四，为八。其倍第一之九既大于倍第二之四，而倍第三之十八亦大于倍第四之八也。若尔，或俱大，俱小，或等累试之，皆合，则三与二，偕六与四得为同理之比例也。以上论四几何者，断比例之法也。其连比例法，仿此。但连比例之中率，两用之，既为第二，又为第三，视此异耳。

第七界同理比例之几何，为相称之几何。甲与乙，若丙与丁，是四几何？为同理之。比例即四几何为相称之几何，又戊与己若己与庚，即三几何？亦相称之几何？

第八界四、几何若第一之几倍大于第二之几倍，而第三之几倍不大于第四之几倍，则第一与二之比例大于第三与四之比例。此反上第六界，而释不同理之两比例，其相视曷显？为大，曷显为小也？谓第一、第三之几。倍与第二第四之几倍依上累试之。其间有第一之几倍大于第二之几。倍而第三之几倍，乃或等，或小于第四之几倍，即第一与二之比例大于第三与四之比例也。如上图，甲一，乙二，丙三，丁四。甲与丙各三倍为戊己，乙与丁各四倍为庚辛。其甲三倍之戊大于乙四倍之庚，而丙三倍之己乃小于丁四倍之辛，即甲与乙之比例大于丙与丁也。若第一之几倍小于第二之几倍，而第三之几倍乃或等，或大于第四之几倍，即第一与二之比例小于第三与四之比例。如是等大小相戾者，但有其一，不必再试。以数明之中，设三二四三，四几何？先有第一之倍大于第二之倍，而第三之倍亦大于第四之倍；后复有第一之倍大于第二之倍，而第三之倍乃或等，或小于第四之倍。即第一与二之比例大于第三与四也。若以上图之数反用之，以第一为二，第二为一，第三为四，第四为三，则第一与二之比例小。

于第三与四第九界同理之比例至少必三率同理之比例，必两比例相比。如甲与乙，若丙与丁，是四率断比例也。若连比例之戊与己，若己与庚，则中率己，既为戊之后，又为庚之前，是以三率当四率也。

第十界三，几何为同理之连比例？则第一与三为再加之比例。四，几何为同例之连比例？则第一与四为三加之比例。仿此以至无穷。甲乙丙丁戊五几何为同理之连比例，其甲与乙若乙与丙，乙与丙若丙与丁，丙与丁若丁与戊，即一甲与三丙视一甲与二乙为再加之比例，又一甲与四丁视一甲与二乙为三加之比例，何者甲丁之中有乙丙两几何？为同理之比例如，甲与乙故也。又一甲与五戊，视一甲与二乙为四加之比例也。若反用之，以戊为首，则一戊与三丙为再加，与四乙为三加，与五甲为四加也。下第六卷二十题，言此直角方形与彼直角方形，为此形之一邉与彼形之一邉再加之比例，何者？若作三几何为同理之连比例，则此直角方形与彼直角方形，若第一几何与第三几何，故也。以数明之，如此直角方形之邉三尺，而彼直角方形之邉一尺，即此形邉与彼形邉，若九与一也。夫九与一之间有三，为同理之比例，则九、三、一三几何之连比例，既有三与一为比例，又以九比三、三比一为再加之比例也。则彼直角方形，当为此形九分之一，不止为此形三分之一也。大畧第一与二之比例，若线相比；第一与三，若平靣相比；第一与四，若体相比也【第一与五，若筭家三乘方；与六，若四乘方；与七，若五乘方，仿此以至无穷】

第十一界同理之几何，前与前相当，后与后相当。上文己解，同理之比例，此又解同理之几何者，盖一比例之两几何有前后而同理之两。比例四，几何有两前两后，故特解言。比例之论，常以前与前相当，后与后。相当也，如上甲与乙，丙与丁两比例。同理，则甲与丙相当，乙与丁相当也。戊己、己庚两比例同理，则己既为前又为后两相当也。如下文有两三角形之邉相比，亦常以同理之两邉相当，不可混也。上文第六、第八界説几何之几倍，常以一与三同倍，二与四同倍，则以第一、第三为两前，第二、第四为两后，各同理故。

第十二界有属理更前与前更后与后此下説比例六理，皆后论所需也。四几何？甲与乙之比例，若丙与丁，今？更推甲与丙，若乙与丁为属理。下言属理皆省曰更。

此论未证证见本卷十六此界之理，可施于四率同类之比例。若两线、两靣，或两靣、两数等，不为同类，即不得相更也。

第十三界有反理取后为前取前为后甲与乙之比例，若丙与丁。今反推乙与甲，若丁与丙，为反理。

证见本篇四之系此界之理，亦可施于异类之比例。

第十四界有合理合，前与后为一，而比其后。甲乙与乙丙之比例，若丁戊与戊己。今合甲丙为一，而比乙丙；合丁己为一，而比戊己。即推甲丙与乙内，若丁己与戊己。是合两前后率为两一率，而比两后率也。