几何原本卷二
几何原本卷二
西洋利玛窦撰第一题两直线，任以一线，任分为若干分，其两元线矩内直角形，与不分线偕诸分线矩内诸直角形并等。解曰：甲与乙丙两线，如以乙丙三分之为乙丁、丁戊、戊丙。题言甲偕乙丙矩线内直。角形与甲偕乙，丁甲偕丁戊，甲偕戊丙，三矩线内直角形并等。论曰：试作乙己直角形，在乙丙偕等甲之己丙矩线内【作法：于乙界作庚乙，丙界作己丙两垂线，俱与甲等，为平行；次作庚己直线，与乙丙平行】次于丁、戊两点作辛丁、壬戊、两垂线与庚乙、己丙平行【一卷卅三】其辛丁与庚乙、壬戊与己丙既平行，则辛丁与壬戊亦平行，而辛丁、壬戊与己丙等，即亦与甲等【一卷卅四】如此则乙辛直角形在甲偕乙丁矩线内，丁壬直角形在甲偕丁戊矩线内，戊己直角形在甲偕戊丙矩线内，并之则三矩内直角形与甲偕乙丙两元线矩内直角形等。注曰：二卷前十题皆言线之能也【能者谓其上能为直角形也，如十尺线其上能为百尺方形之类】其説与筭数最近，故九卷之十四题俱以数明此十题之理。今未及详，因题意难显，畧用数明之。如本题设两数当两线为六为十，以十任三分之为五为三为二。六乘十为六十之一大实，与六乘五为三十，及六乘三为十八，六乘二为十二之三小实并等。
第二题一直线任两分之，其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并等。解曰：甲乙线，任两分于丙。题言甲乙上直角方形，与甲乙偕甲丙、甲乙偕丙乙两矩线内直角形并等。论曰：试于甲乙线上作甲丁直角方形，从丙点作己丙垂线，与甲戊、乙丁平行【一卷卅一】其甲戊与甲乙既等【一卷卅四】则甲己直角形在甲乙、甲丙矩线内；乙丁与甲乙既等，则丙丁直角形在甲乙、丙乙矩线内。而此两形并与甲丁直角方形等。又论曰：试别作丁线，与甲乙等。其甲乙线既任分于丙，则甲乙偕丁矩线内直角形【即甲乙上直角方形】与甲丙偕丁、丙乙偕丁两矩线内直角形并等。
【本篇一】注曰：以数明之。设十数，任两分之为七，为三十。乘七为七十，及十乘三为三十之两小实，与十自之百一大羃等。
第三题一直线任两分之，其元线任偕一分线，矩内直角形与分余线偕一分线，矩内直角形及一分线上直角方形并等。解曰：甲乙线任两分于丙。题言元线甲乙，任偕一分线，如甲丙。矩内直角形【不论甲丙为长分为短分】与分余丙乙偕甲丙矩线内直角形及甲丙上直角方形并等。论曰：试作甲丁直角方形，从乙界作乙巳垂线，与甲戊平行【一卷卅一】而于戊丁引。长之遇于己，其甲戊与甲丙等，则甲己直角形在元线甲乙偕一分线甲丙矩内。丙丁与甲丙等，则丙己直角形在一分线甲丙偕分余线丙乙矩内。而甲己直角形与甲丙丙乙矩线内丙己直角形及甲丙上甲丁直角方形并等。又论曰：试别作丁线与一分线甲丙等，其甲乙线既任分于丙，则甲乙偕丁矩线内直角形【即甲乙偕甲丙矩线内直角形】与丁偕丙乙【即甲丙偕丙乙】丁偕甲丙【即甲】【丙上直角方形】两矩线内直角形并等【本篇一】注曰：以数明之。设十数，任两分之为七为三。如前图，则十乘七为七十，与七乘三之实二十一及七自之羃四十九并等。如后图，十乘三为三十，与七乘三之实二十一及三之羃九并等。
第四题一直线任两分之，其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内两直角形并等。解曰：甲乙线任两分于丙。题言甲乙线上直角方形与甲丙、丙乙线上两直角方形及甲丙偕丙乙、丙乙偕甲丙矩线内两直角形并等论曰：试于甲乙线上作甲丁直角方形，次作乙戊对角线，次从丙作丙己线，与乙丁平行遇对角线于庚末，从庚作辛壬线，与甲乙平行，而分本形为四直角形。即甲乙戊角形之甲乙、甲戊两边等，而甲乙戊与甲戊乙两角亦等【一卷五】夫甲乙戊形之三角并，与两直角等【一卷卅二】而甲为直角，即甲乙戊、甲戊乙皆半直角【一卷卅之二系】依显丁乙戊角形之丁乙戊、丁戊乙两角亦皆半直角，则戊己庚外角与内角丁等，为直角【一卷卅九】而己戊度既半直角，则己庚戊等为半直角矣。角既等，则己庚、己戊两边亦等【一卷六】庚辛、辛戊亦等【一卷卅四】而辛巳为直角方形也。依显丙壬亦直角方形也。又庚辛与甲丙两对边等【一卷卅四】而乙丙与庚丙俱为直角方形边亦等，则辛己为甲丙线上直角方形，丙壬为丙乙线上直角方形也。又甲庚及庚丁两直角形各在甲丙、丙乙矩线内也，则甲丁直角方形与甲丙、丙乙两线上两直角方形及两线矩内两直角形并等矣。系从此推知，凡直角方形之角线形，皆直角方形。又论曰：甲乙线既任分于丙，则元线甲乙上直角方形与元线偕各分线矩内两直角形并等【本篇二】又甲乙偕甲丙矩线内直角形与甲丙偕丙乙矩线内直角形及甲丙上直角方形并等【本篇三】甲乙偕丙乙矩线内直角形与丙乙偕甲丙矩线内直角形及丙乙上直角方形并等【本篇三】则甲乙上直角方形与甲丙、丙乙上两直角方形及甲丙偕丙乙、丙乙偕甲丙矩线内两直角形并等。注曰：以数明之。设十数，任两分之，为七为三十之羃，百与七之羃四十九，三之羃九，及三七互乘之实两二十一，并等。
第五题一直线两平分之，又任两分之，其任两分线矩内直角形及分内线上直角方形，并与平分半线上直角方形等。解曰：甲乙线两平分于丙，又任两分于丁，其丙丁为分内线【丙丁线者，丙乙所以大于丁乙之较，又甲丁所以大于甲丙之较，故曰分内线】题言：甲丁、丁乙矩线内直角形及分内线丙丁上直角方形，并与丙乙线上直角方形等。论曰：试于丙乙线上作丙己直角方形，次作乙戊对角线，从丁作丁庚线与乙己平行，遇对角线于辛，次从辛作壬癸线与丙乙平行，次从甲作甲子线与丙戊平行，末从壬癸线引长之，遇于子。夫丁、壬、癸、庚皆直角方形【本篇四之系】而辛丁与丁乙两线等【一卷卅四】癸辛。与丙丁两线等，则甲辛直角形在任分之甲丁、丁乙矩线内，而癸庚为分内线，丙丁上直角方形也。今欲显甲辛直角形及癸庚直角方形并与丙己直角方形等者，于丙辛、辛己相等之两余方形【一篇四三】每加一丁壬直角方形，即丙壬及丁己两直角形等矣。而甲癸与丙壬两形同在平行线内，又底等，即形亦等【一卷卅六】则甲癸与丁巳亦等也。即又每加一丙辛直角形，则丑寅卯罄折形岂不与甲辛等？次于罄折形又加一癸庚直角方形，岂不与丙巳直角方形等也？而甲辛、癸庚两形并亦与丙己等也，则甲丁、丁乙矩线内直角形及丙丁上直角方形并与丙乙上直角方形等。注曰：以数明之，设十数，两平分之，各五，又任分之为八为二，则三为分内数【三者，五所以大于二之较，又八所以大于五之较】二八之实十六，三之羃九，与五之羃二十五等。
第六题一直线两平分之，又任引増一直线，共为一全线。其全线偕引増线矩内直角形及半元线上直角方形，并与半元线偕引増线上直角方形等。解曰：甲乙线两平分于丙，又从乙引长之，増乙丁，与甲乙通为一全线。题言：甲丁偕乙丁矩线内直角形及半元线丙乙上直角方形，并与丙丁上直角方形等。论曰：试于丙丁上作丙戊直角方形，次作丁己对角线，从乙作乙庚线与丁戊平行，遇对角线于辛。次从辛作壬癸线与丙丁平行，次从甲作甲子线与丙己平行。末从壬癸线引长之，遇于子。夫乙壬癸庚皆直角方形【本篇四之系】而乙丁与丁壬两线等【一卷卅四】癸辛与丙乙两线等。则甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩线内，而癸庚为丙乙上直角方形也。今欲显甲壬直角形及癸庚直角方形并与丙戊直角方形等者，试观甲癸与丙辛两直角形同在平行线内，又底等，即形亦等【一卷卅六】而丙辛与辛戊等【一卷四三】则辛戊与甲癸亦等。即又每加一丙壬直角形，则丑寅卯磬折形与甲壬等。夫磬折形加一癸庚形，本与丙戊直角方形等也。即甲壬癸庚两形并亦与丙戊等也。则甲丁乙丁矩线内直角形及丙乙上直角方形并，岂不与丙丁上直角方形等？注曰：「以数明之，设十数，两平分之，各五。又引増二，共十二。二乘之为二十四，及五之羃二十五，与七之羃四十九等。」
第七题一直线任两分之，其元线上及任用一分线上，两直角方形并与元线偕一分线矩内直角形二及分余线上直角方形并等。解曰：甲乙线任分于丙，题言元线甲乙上及任用一分线如甲丙上，两直角方形并【不论甲丙为长分为短分】与甲乙偕甲丙矩内直角形二及分余线丙乙上直角方形并等。论曰：试于甲乙上作甲丁直角方形，次作乙戊对角线，从丙作丙己线与乙丁平行。遇对角线于庚末，从庚作辛壬线，与甲乙平行。夫辛己丙壬皆直角方形【本篇四之系】而辛庚与甲丙等【一卷卅四】即辛己为甲丙上直角方形也。又甲戊与甲乙等，即甲己直角形在甲乙偕甲丙矩线内也。又戊丁、丁壬与甲乙、甲丙各等，即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙矩线内也。夫甲己、己壬两直角形【即癸子丑罄折形】及丙壬直角方形并，本与甲丁直角方形等。今于甲己、辛丁两直角形并加一丙壬直角方形，即与甲丁直角方形加一辛巳直角方形等矣。则甲乙、甲丙矩线内直角形二及丙乙上直角方形，并与甲乙上直角方形及甲丙上直角方形并等也。注曰：「以数明之，设十数，任分之为六为四，如前图。十之羃，百；及六之羃，三十六，并与。」十六互乘之两实，百二十，及四之羃十六，等如后图。十之羃百，及四之羃十六，并与十四互乘之两实八十，及六之羃三十六，等。
第八题一直线任两分之，其元线偕初分线矩内，直角形四及分余线上直角方形，并与元线偕初分线上直角方形等。解曰：甲乙线任分于丙，题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内直角形四【不论丙乙为长分为短分】及分余线甲丙上直角方形，并与甲乙偕丙乙上直角方形等。论曰：试以甲乙线引増至丁，而乙丁与丙乙等于全线。上作甲戊直角方形，次作丁巳对角线。从乙作乙庚线，与丁戊平行，遇对角线于辛。次从丙作丙壬线，与甲巳平行，遇对角线于癸。次从辛作子丑线，与甲丁平行，遇丙壬于寅。末从癸作卯辰线，与戊己平行，遇乙庚于巳。其卯壬、寅巳、乙丑俱角线方形【一卷卅四之系】而卯癸与甲丙两线等【一卷卅四】即卯壬为甲丙上直角方形。又寅辛与丙乙两线等【一篇卅四】即寅巳为丙乙上直角方形与乙丑等【丙乙与乙丁等故】又乙辛、辛巳两线亦各与丙乙等，而甲辛、子巳两直角形各在甲乙、丙乙矩线内即等【子辛与甲乙等故】寅庚、辛戊两直角形亦各在甲乙、丙乙矩线内即又等【寅辛、辛丑与丙乙、乙丁等，辛庚、丑戊与等甲乙之子辛等故】寅巳既与乙丑等，而每加一癸庚，即乙丑癸庚并与寅庚又等，是甲辛一、子巳二、辛戊三、乙丑四、癸庚五五直角形并为午未申磬折形与元线甲乙偕初分线丙乙矩内直角形四等，而午未申磬折形及卯壬直角方形本与甲戊直角方形等，则甲乙、乙丙矩线内直角形四及甲丙上直角方形并与甲乙偕丙乙上直角方形等。注曰：以数明之，设十数任分之为六为四，如前图十六互乘之实四为二百四十及四之羃十六共二百五十六，与十六之羃等，如后图十四互乘之实四为一百六十及六之羃三十六共一百九十六，与十四之羃等。
第九题一直线两平分之，又任两分之，任分线上两直角方形并，倍大于平分半线上及分内线上两直角方形并。解曰：甲乙线平分于丙，又任分于丁。题言：甲丁、丁乙上两直角方形并，倍大于平分半线甲丙上分内线丙丁上两直角方形并论曰：试于丙上作丙戊垂线，与甲丙等；次作甲戊、戊乙两腰；次从丁作丁己垂线，遇戊乙于己；从己作己庚线，与甲乙平行，遇。戊丙于庚末作甲己线，其甲丙戊角形之甲丙、丙戊两腰等，即丙戊、甲丙、甲戊两角亦等【一卷五】而甲丙戊为直角，即余两角皆半直角【一卷卅二之系】依显丙戊乙亦半直角。又戊庚己角形之戊庚己角为戊丙乙之外角，即亦直角【一卷廿九】而庚戊己半直角，即庚己戊亦半直角【一卷卅二之系】又庚戊己、庚己戊两角等，即庚戊、庚己两腰亦等【一卷六】依显丁乙己角形之丁乙、丁己两腰亦等。夫甲丙戊角形之丙为直角，即甲戊线上直角方形与甲丙、丙戊线上两直角方形并等【一卷四七】而甲丙、丙戊上两直角方形自相等，即甲戊上直角方形倍大于甲丙上直角方形矣。又戊庚己角形之庚为直角，即戊己线上直角方形与庚戊、庚己线上两直角方形并等【一卷四七】而庚戊、庚己上两直角方形自相等，即戊己上直角方形倍大于等庚己之丙丁上直角方形矣【庚己、丙丁为丙己直角形之对边，故见一卷卅四】则是甲戊、戊己上两直角方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也。又甲己上直角方形既等于甲戊戊己上两直角方形并，又等于甲丁丁己上两直角方形并【一篇四七】则甲丁丁己上两直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上两直角方形并矣。而丁己与丁乙等，则甲丁丁乙上两直角方形并，岂不倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也？注曰：以数明之，设十数两平分之，各五。又任分之为七为三，分内数二。其七之羃四十九，及三之羃九，倍大于五之羃二十五，及二之羃四。
第十题一直线两平分之，又任引増一线，共为一全线。其全线上及引増线上两直角方形并，倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并。解曰：甲乙直线平分于丙，又任引増为乙丁。题言：甲丁线上及乙丁线上两直角方形并，倍大于甲丙线上及丙丁线上两直角方形并。论曰：试于丙上作丙戊垂线，与甲丙等，自戊至甲至乙各作腰线，次从丁作己丁垂线，引长之，又从戊乙引长之，遇于庚，次作戊己线，与丙丁平行，末作甲庚线，依前题论推，显甲戊乙为直角，丙戊乙为半直角，即相对之戊庚己亦半直角【一卷廿九】又己为直角【一卷卅四】即己戊庚亦半直角【一卷卅二】而己戊、己庚两腰必等【一卷六】依显乙丁、丁庚两腰亦等。夫甲戊上直角方形等于甲丙、丙戊上两直角方形并【一卷四七】必倍大于甲丙上直角方形，而戊庚上直角方形等于戊己、己庚上两直角方形并【一卷四七】必倍大于对戊己边之丙丁上直角方形【一卷卅四】则甲戊、戊庚上两直角方形并倍大于甲丙、丙丁上两直角方形并也。又甲庚上直角方形等于甲戊、戊庚上两直角方形并，亦等于甲丁、丁庚上两直角方形并，则甲丁、丁庚上两直角方形并亦倍大于甲丙、丙丁上两直角方形并也，而甲丁、乙丁上两直角方形并倍大于甲丙、丙丁上两直角方形并矣【丁庚与乙丁等故】注曰：以数明之，设十数平分之，各五。又任増三为十三，十三之羃一百六十九，及三之羃九，倍大于五之羃二十五，及八之羃六十四也。
第十一题一直线求两分之，而元线偕初分线矩内直角形，与分余线上直角方形等。法曰：甲乙线，求两分之，而元线偕初分小线矩内直角形，与分余大线上直角方形等。先于甲乙上作甲丙直角方形。次以甲丁线两平分于戊，次作戊乙线，次从戊甲引増至己，而戊己线与戊乙等。末于甲乙线截取甲庚与甲己等，即甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等，如所求。论曰：试于庚上作壬辛线，与丁己平行；次作己辛线，与甲庚平行。其壬庚与丙乙等，即与甲乙等。而庚丙直角形，在甲乙偕庚乙矩线内也。又甲庚与甲己等，而甲为直角，即己庚为甲庚上直角方形也【一卷卅四】今欲显庚丙直角形与己庚直角方形等者，试观甲丁两平分于戊，而引増一甲己，是丁己偕甲己矩线内直角形【即丁辛直角形】及甲戊上直角方形，并与等戊己之戊乙上直角方形等【本篇六】夫戊乙上直角方形等于甲戊、甲乙上两直角方形并【一卷四七】即丁辛直角形及甲戊上直角方形，并与甲戊、甲乙上两直角方形并等矣。次各减同用之甲戊上直角方形，即所存丁辛直角形不与甲乙、上甲丙直角方形等乎？此二率者，又各减同用之甲壬直角形，则所存己庚直角方形与庚丙直角形等；而甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等也。注曰：此题无数可解，説见九卷十四题。
第十二题三边钝角形之对钝角边上直角方形，大于余边上两直角方形并之较，为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二。解曰：甲乙丙三边钝角形，甲乙丙为钝角，从余角如甲下，一垂线与钝角旁一边如丙乙之引増线，遇于丁，为直角。题言：对钝角之甲丙边上直角方形，大于甲乙、乙丙边上两直角方形并之较，为丙乙偕乙丁。矩线内直角形二，反説之，则甲乙、乙丙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二，并与甲丙上直角方形等。论曰：丙丁线既任分于乙，即丙丁上直角方形与丙乙、乙丁上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等【本篇四】此二率者，每加一甲丁上直角方形，即丙丁、甲丁上两直角方形并与丙乙、乙丁、甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等也。夫甲丙上直角方形等于丙丁、甲丁上两直角方形并【一卷四七】即亦等于丙乙、乙丁、甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并也。又甲乙线上直角方形既等于乙丁、甲丁上两直角方形并【一卷四七】即甲丙上直角方形与甲乙、丙乙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等矣。
第十三题三边鋭角形之对鋭角边上直角方形小于余边上两直角方形并之较，为鋭角旁任用一边偕其对角所下垂线旁之近鋭角分线矩内直角形二。解曰：甲乙丙三边鋭角形，从一角如甲，向对边乙丙下，一垂线，分乙丙于丁。题言：对甲丙乙鋭角之甲乙边上，直角方形，小于乙丙、甲丙边上两直角方形并之，较为乙丙偕丁丙矩线内直角形。二反説之，则乙丙甲、丙上两直角方形，并与甲乙上直角方形及乙丙、偕丁丙矩线内直角形二并等。论曰：乙丙线既任分于丁，即乙丙、丁丙上两直角方形，并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及乙丁上直角方形并等【本篇七】此二率者，每加一甲丁上直角方形，即乙丙、丁丙、甲丁上直角方形三与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及乙丁、甲丁上两直角方形并等。也又甲丙上直角方形等于丁丙甲丁上两直角方形并【一卷四七】即乙丙甲丙上两直角方形并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及乙丁甲丁上两直角方形并等也。又甲乙上直角方形等于乙丁甲丁上两直角方形并【一卷四七】即乙丙甲丙上两直角方形并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及甲乙上直角方形并等。反説之，则甲乙上直角方形小于乙丙甲丙上两直角方形并者，为乙丙偕丁丙矩线内直角形二也。注曰：题中止论鋭角形，不言直角钝角形，而直角钝角形中俱有两鋭角【一卷十七卅二】即对鋭角边上形亦同此论【如第二第三图是】但三鋭角形所作垂线，任用一角，而直角形必用直角，钝角形必用钝角，此为异耳【直角钝角形不用直角钝角不能作垂线】
第十四题有直线形，求作直角方形与之等。法曰：甲直线，无法四边形，求作直角。方形与之等，先作乙丁形，与甲等，而直角【一卷四五】次任用一边引长之，如丁。丙引之至己，而丙己与乙丙等次以。丁巳两平分于庚，其庚点或在丙点，或在丙点之外。若在丙，即乙丁是直角方形，与甲等矣【葢丙己与乙丙等，又与丙丁等，而余边俱相等，故乙丁为直角方形，见一卷卅四】若庚在丙外，即以庚为心，丁巳为界，作丁辛巳半圜。末从乙丙线引长之，遇圜界于辛，即丙辛上直角方形与甲等。论曰：试自庚至辛作直线，其丁巳线既两平分于庚，又任两分于丙，则丁丙偕丙巳矩内直角形【即乙丁直角形，葢丙己与乙丙等故】及庚丙上直角方形，并与等庚巳之庚辛上直角方形等【本篇五】夫庚辛上直角方形等于庚丙、丙辛上两直角方形并【一卷四七】即乙丁直角形及庚丙上直角方形，并与庚丙、丙辛上两直角方形并等。次各减同用之庚丙上直角方形，则丙辛上直角方形与乙丁直角形等。増题：凡先得直角方形之对角线所长，于本形边之较，而求本形边。法曰：直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙，而求本形边，先于甲乙上作甲丙直角方形，次作乙丁对角线，又引长之为丁戊线，而丁戊与甲丁等，即得乙戊。
线如所求论曰：试于乙戊作戊己垂线，从乙甲线引长之，遇于己。其乙戊己既直角，而戊乙己为半直角【一卷卅二】即戊己乙亦半直角，而戊乙与戊己两边等【一卷六】次作己庚与戊乙平行，作乙庚与戊己平行，即戊庚形为戊乙边上直角方形也。末作戊甲线，即丁戊甲、丁甲戊两角等也【一卷五】夫乙戊己、丁甲己既两皆直角，试每减一相等之丁戊甲、丁甲戊角，即所存己戊甲、己甲戊两角必等，而己戊、己甲两边必等【一卷六】则乙己对角线大于乙戊边之较为甲乙矣。此増不在本书，因其方形故，类附于此。
几何原本卷二
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