几何原本卷三

几何原本卷三

西洋利玛窦撰第一题有圜求寻其心法曰：甲乙丙丁圜，求寻其心，先于圜之两界，任作一甲丙直线，次两平分之于戊【一卷】【十】次于戊上，作乙丁垂线，两平分之于己，即己为圜心。论曰：如云不然，令言心何在？彼不得言在己之上下，何者？乙丁线既平分于己，离平分不能为心，故必言心在乙丁线外为庚。即令自庚至丙，至戊，至甲各作直线，则甲庚戊角形之甲戊，既与丙庚戊角形之丙戊两边等，戊庚同边，而庚甲、庚丙两线俱从心至界，宜亦等，即对等边之庚戊，甲庚戊丙两角宜亦等【一卷八】而为两直角矣【一卷界説十】夫乙戊甲既直角，而庚戊甲又为直角，可不可也？系因此推，显圜内有直线分他线为两平分，而作直角，即圜心在其内。

第二题圜界任取二点，以直线相联，则直线全在圜内。解曰：甲乙丙圜界上，任取甲丙二点，作直线相聨。题言：甲丙线全在圜内。论曰：如云在外，若甲丁丙线，令寻取甲乙丙圜之戊心【本篇一】次作戊甲、戊丙两直线，次于甲丁丙线上作戊乙丁线，而与圜界遇于乙，即戊甲丁丙当为三角形，以甲丁丙为底，戊甲、戊丙两腰等，其戊甲丙、戊丙甲两角宜等【一卷五】而戊丁甲为戊丙丁之外角，宜大于戊丙丁角，即亦宜大于戊甲丁角【一卷十六】则对戊丁甲大角之戊甲线宜大于戊丁线矣【一卷十九】夫戊甲与戊乙本同圜之半径等，据如所论，则戊乙亦大于戊丁，不可通也。若云不在圜外而在圜界，依前论，令戊甲大于戊乙，亦不可通也。第三题。直线过圜心，分他直线为两平分，其分处必为两直角，为两直角，必两平分。解曰：乙丙丁圜，有丙戊线，过甲心，分乙丁线为两，平分于己。题言甲己必是垂线，而己旁为两直角，又言己旁既为两直角，则甲己分乙丁必两平分。先论曰：「试从甲作甲乙、甲丁两线，即甲乙己角形之乙己与甲丁己角形之丁己两边等，甲己同边，甲乙、甲丁两线俱从心至界，又等，即两形等，则其对等边之甲己乙、甲己丁亦等【一卷八】而为两直角矣。后论曰：如前作甲乙、甲丁两线，甲乙丁角形之甲乙、甲丁两边既等，则甲乙丁、甲丁乙两角亦等【一卷五】又甲乙己角形之甲己、乙甲、乙己两角，与甲丁己角形之甲己、丁甲、丁己两角各等，而对直角之甲乙、甲丁两边又等，则己乙、己丁两边亦等【一卷廿六】欲显次论之防，又有一説：如甲丁上直角方形与甲己、己丁上两直角方形并等【一卷四七】而甲乙上直角方形与甲己、乙己上两直角方形并亦等，即甲己、己乙上两直角方形并与甲己、己丁上两直角方形并亦等，此二率者，每减一甲己上直角方形，则所存乙己、己丁上两直角方形自相等，而两边亦等。

第四题圜内不过心，两直线相交，不得俱为两平分。解曰：甲丙，乙丁，圜内有甲乙丙丁两直线，俱不过己心【若一过心，一不过心，即两线不得俱为两平分，其理易显】而交于戊题，言两直线或有一线为两平分，不得俱为两平分。论曰：若云不然，而甲乙丙丁能俱两平分于戊，试令寻本圜心于己【本篇一】从己至戊作甲乙之垂线，其己戊既分甲乙为两平分，即为两直角【本篇三】而又能分丙丁为两平分，亦宜为两直角。是己戊甲为直角，而己戊丙亦直角，全与其分等矣。

第五题两圜相交必不同心解曰：甲乙丁戊，乙丁两圜交于乙，于丁。题言两圜不同心。论曰：若言丙为同心令，自丙至乙，至甲各作直线，其丙乙至圜交，而丙甲截两圜之界于戊于甲。夫丙既为戊乙丁圜之心，则丙乙与丙戊等，而又为甲乙丁圜之心，则丙乙与丙甲又等。是丙戊与丙甲亦等，而全与其分等也。

第六题两圜内相切必不同心解曰：甲乙丙乙两圜内相切于乙，题言两圜不同心。论曰：若言丁为同心，令自丁至乙，至丙各作直线，其丁乙至切界，而丁丙截两圜之界于甲，于丙。夫丁既为甲乙圜之心，则丁乙与丁甲等；而又为丙乙圜之心，则丁乙与丁丙又等。是丁甲与丁丙亦等，而全与其分等也。

第七题圜径离心，任取一点，从点至圜界，任出几线。其过心线最大，不过心线最小，余线愈近心者愈大，愈近不过心线者愈小，而诸线中止两线等。解曰：甲丙丁戊乙，圜其径甲乙，其心己。离心，任取一点为庚。从庚至圜界，任出几线为庚丙、庚丁、庚戊。题先言，从庚所出诸线，惟过心庚甲最大；次言不过心庚乙最小；三言庚丙大于庚丁，庚丁大于庚戊。愈近心愈大，愈近庚乙愈小。后言庚乙两旁止。

可出两线等先论曰：「试从已心出三线至丙，至丁，至戊。其丙己庚角形之丙己、己庚两边并大于丙庚一边【一卷二十】而丙己、己庚等于甲己、己庚，则庚甲大于庚丙。依显，庚丁、庚戊俱小于庚甲。是庚甲最大。次论曰：己庚戊角形之己戊一边，小于己庚、庚戊两边并【一卷二十】而己戊与己乙等，则己乙小于己庚、庚戊并矣。次各减同用之己庚，则庚乙小于庚戊。依显庚戊小于庚丁，庚丁小于庚丙。是庚乙最小。三论曰：丙己庚角形之丙己与丁己庚角形之丁己两边等，己庚同边，而丙己庚角大于丁己庚角【全大于分】则对大角之庚丙边大于对小角之庚丁边【一卷廿四】依显庚丁大于庚戊，而愈近心愈大，愈近庚乙愈小。后论曰：试依戊己乙作乙己辛相等角，而抵圜界为己辛线。次从庚作庚辛线，其戊己庚角形之戊己腰与庚己辛角形之辛巳腰既等，己庚同腰，两腰间角又等，则对等角之庚戊、庚辛两底亦等【一卷四】而庚乙两旁之庚戊、庚辛等矣。此外，若有从庚出线在辛之上，即依第三论大于庚辛；在辛之下，即小于庚辛。故云庚乙两旁止可出庚戊、庚辛两线等。

第八题圜外任取一防，从防任出几线，其至规内则过圜心线最大，余线愈离心愈小；其至规外则过圜心线为径之余者最小，余线愈近径余愈小，而诸线中止两线等。解曰：乙丙丁戊，圜之外，从甲防任。出几线，其一为过癸，心之甲壬，其余为甲，辛为甲，庚为甲，己皆至规。内【规内线者，如车辐之指牙】题先言过心之甲。壬最大，次言近心之甲辛大于离心之甲庚，甲庚又大于甲己。三反上言，规外之甲乙为乙壬径余者【规外线者，如车辐之凑毂】最小。四言甲丙近径余，小于甲丁，甲丁又小于甲戊。后言甲乙两旁，止可出两线等。先论曰：「试从癸心至丙、丁、戊、己、庚、辛各出直线，其甲癸辛角形之甲癸、癸辛两边并大于甲辛一边【一卷二十】而甲癸、癸辛与甲壬等，则甲壬大于甲辛。依显甲壬更大于甲庚、甲己，而过心之甲壬最大。次论曰：甲癸辛角形之癸辛与甲癸庚角形之癸庚两边等，甲癸同边，而甲癸辛角大于甲癸庚角【全大于分】则对大角之甲辛边大于对小角之甲庚边【一卷廿四】依显甲庚大于甲己，而规内线愈离心愈小。三论曰：「甲癸丙角形之甲癸一边。」小于甲丙，丙癸两边并【一卷二十】次每。减一相等之乙，癸丙癸，则甲乙小。于甲丙矣，依显甲乙，更小于甲丁。

甲戊而规外甲乙最小四论曰：甲丁、癸角形之内，从甲与癸出，甲丙、丙癸两边并小于甲丁、丁癸两边并【一卷廿一】此二率者，每减一相等之丙癸、丁癸，则甲丙小于甲丁矣。依显，甲丙更小于甲戊，而愈近径余甲乙者愈小。后论曰：试依乙、癸、丙作乙、癸、子相等角，抵圜界。次作甲子线，其甲子癸角形之甲癸、癸子两腰，与甲癸丙角形之甲癸、癸丙两腰各等，而两腰间角又等，则对等角之甲子、甲丙两底亦等也【一卷四】此外，若有从甲出线，在子之上，即依第四论，小于甲丙；在子之下，即大于甲丙。故云甲乙两旁，止可出甲丙、甲子两线等。第九题圜内从一防至界作三线，以上皆等，即此防必圜心。解曰：从甲防至乙、丙、丁圜界，作甲乙、甲丙、甲丁三直线，若等题言甲防为圜心，三以上等者更不待论。论曰：试于乙丙、丙丁界作乙丙、丙丁两直线相聨此两线各两平分于戊、于己，从甲出两直线为甲戊、为甲己，其甲乙戊角形。之甲乙与甲戊丙角形之甲丙两腰既等，甲戊同腰，乙戊、戊丙两底又等，即甲戊乙与甲戊丙两角亦等【一卷八】为两直角，依显甲己丙、甲己丁亦等为两直角，则甲戊、甲己之分乙丙、丙丁俱平分为直角，而此两线俱为函心线【本篇一之系】定相遇于甲，甲为圜心矣。又论曰：若言甲非心，心在于戊者，令戊甲相聨引作己庚径线，即甲是戊心外所取一防，而从甲所出线愈近心者宜愈大矣。【本篇七】则甲丁宜大于甲丙，而先设等何也？

第十题两圜相交止于两防论曰：若言甲乙丙丁戊己圜与甲庚乙丁辛戊圜三相交于甲，于乙，于丁。令作甲乙、乙丁两直线相联，此两线各两平分于壬，于癸。次从壬、癸作子壬、子癸两垂线，其子壬分甲乙子，癸分乙丁，既皆两平分，而各为两直角，即子壬、子癸两线，俱为甲庚、乙丁、辛戊圜之函心线【本篇一之系】而子为其心矣。依显甲乙丙丁戊己圜，亦以子为心也。夫两交之圜，尚不得同心【本篇五】何縁得有三交？又论曰：若言两圜三相交于甲，于乙，于丁。令先寻甲庚、乙丁、辛戊圜之心于壬【本篇一】次从心至三交界作壬甲、壬乙、壬丁三线。此三线等也【一卷界説十五】又甲乙丙丁戊己圜内有从壬出之壬甲、壬乙、壬丁三相等线。则壬又为甲、乙、丙、丁、戊、己圜之心【本篇九】不亦交圜同心乎【本篇五】

第十一题两圜内相切，作直线联两心，引出之必至切界。解曰：甲乙丙，甲丁戊两圜内相切于甲，而己为甲乙丙之心，庚为甲丁戊之心。题言：作直线聨庚己两心，引抵圜界，必至甲。论曰：如云不至甲，而截两圜界于乙丁及丙戊，令从甲作甲己、甲庚两线，其甲己庚角形之庚己、己甲两邉，并大于庚甲一邉【一卷二十】而同圜心所出之庚甲、庚丁宜等，即庚己、己甲大于庚丁矣。此二率者，各减同用之庚己，即己甲亦大于己丁矣。夫己甲与己乙，是内圜同心所出等线，则己乙亦大于己丁，而分大于全，也可乎？若曰庚为甲乙丙心，己为甲丁戊心，亦依前转説之。甲己庚角形之己庚、庚甲两邉，并大于甲己一邉【一卷二十】而同圜心所出之己甲、己戊宜等，即己庚、庚甲大于己戊矣。此二率者，各减同用之己庚，即庚甲大于庚戊矣。夫庚甲与庚丙，是内圜同心所出等线，则庚丙亦大于庚戊而分大子全也可乎？

第十二题两圜外相切，以直线联两心，必过切界。解曰：甲乙丙丁，乙戊两圜外相切于乙，其甲乙丙心为己，丁乙戊心为庚。题言作己庚直线，必过乙。论曰：如云不然，而己庚线截两圜界于戊于丙。令于切界作乙己、乙庚两线，其乙己庚角形之己乙、乙庚两边并大于己庚一边，而乙庚与庚戊、乙己与己丙俱同心所出，线宜各等，即庚戊、丙己两线并亦大于庚己一线矣【一卷二十】夫庚己线分为庚戊、丙己，尚余丙戊，而云庚戊、丙己大于庚己，则分大于全也，故直线聨己庚必过乙。

第十三题【二支】

圜相切不论内外止以一防先论曰：甲乙丙丁与甲戊丙己两圜内相切。若云有两防相切于甲，又于丙，令作直线函两圜心庚辛，引出之如前图，宜至相切之甲之丙【本篇十一】则甲丙为两圜之同径矣。而此径线者，两平分于庚，又两平分于辛，何也【一直线止以一防两平分】若云庚辛引出直线。一抵甲一截两圜之界于癸于壬，即如后图，令从两心各作直线至又相切之丙。次问之甲乙丙丁圜之心为庚邪？辛邪？如曰庚也，而辛为甲戊内己之心，则丙庚辛角形之庚辛、辛丙两边并大于庚丙一边【一卷二十】而庚辛、辛丙与庚癸宜等【辛癸、辛丙同圜心所出故】即庚癸亦大于庚丙矣。夫庚丙与庚壬者，外圜同心所出等线也，将庚癸亦大于庚壬可乎？如曰辛也，而庚为甲戊丙己之心，则丙庚辛角形之辛庚、庚丙两边并大于辛丙一边【一卷二十】而辛丙与辛甲宜等，即辛庚、庚丙亦大于辛甲矣。此二率者各减同用之辛庚，即庚丙亦大于庚甲也。夫庚甲与庚丙者，亦同圜心所出等线也，而安有大小？后论曰：甲乙与乙丙两圜外相切于已，从甲乙之丁心，丙乙之戊心作直线相聨必过已【本篇十三】若云又相切于乙，令自乙至丁至戊各作直线，其丁乙、乙戊并宜与丁戊等，而为角形之两腰，又宜大于丁戊【一卷二十】则两圜相切，安得两防？又后论曰：更令于两相切之乙之己作直线相聨，其直线当在甲乙圜内【本篇二】又当在乙丙圜内，何所置之？

第十四题【二支】圜内两直线等，即距心之逺近等；距心之逺近等，即两直线等。先解曰：甲乙丙丁，圜其心。戊，圜内。甲乙丁丙两线等。题言两线距戊心逺近亦等。论曰：试从戊心，向甲乙作戊己，向丁丙作戊庚，各垂线。次自丁、自甲至戊各作直线。其戊己、戊庚，既各分甲乙、丁丙线为两平。分【本篇三】而甲乙丁丙等则平分之，甲己丁庚亦等。夫甲戊上直角方形与甲己己戊上两直角方形并等【一卷四七】等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚庚戊上两直角方形并等。而甲己丁庚上两直角方形既等，即戊己戊庚上两直角方形亦等，则戊己戊庚两线亦等。是甲乙丁丙两线距心之度等【本卷界説四】后解曰：甲乙、丁丙两线，距戊心逺近等。题言甲乙、丁丙两线亦等。论曰：依前论，从戊作戊己、戊庚两垂线，既等【本卷界説四】而分甲乙、丁丙各为两平分【本篇三】其甲戊上直角方形，与甲己、己戊上两直角方形并等【一卷四七】等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚、庚戊上两直角方形并等，即甲己、己戊上两直角方形并与丁庚、庚戊上两直角方形并亦等。此二率者，每减一相等之己戊、戊庚上直角方形，即所存甲己、丁庚上两直角方形亦等，是甲己、丁庚两线等也。夫甲乙倍甲己，丁丙倍丁庚，其半等，其全必等。第十五题径为圜内之大线，其余线者，近心大于逺心。解曰：甲乙丙丁戊己，圜其心；庚其径，甲己其近心线为辛壬，逺心线为丙丁。题言：甲乙最大，辛壬近心大。

于丙丁逺心论曰：试从庚向丙丁作庚癸向，辛壬作庚子各垂线，其丙丁距心逺于辛壬，即庚癸。大于庚子【本卷界説四】次于庚癸线，截庚丑与庚子等，次从丑作乙戊为庚癸之垂线，末于庚乙、庚丙、庚丁、庚戊各作直线相联。其庚丑既等于庚子，即乙戊与辛壬各以垂线距心逺近等【本卷界説四】而两线亦等【本篇十四】夫庚乙、庚戊并大于乙戊【一卷二十】而与甲己等，即甲己大于乙戊，亦大于辛壬矣。依显甲己大于他线，则甲己最大。又乙庚戊角形之乙庚、庚戊两腰，与丙庚丁角形之丙庚、庚丁两腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角，则乙戊底大于丙丁底【一卷廿四】故等乙戊之辛壬，亦大于丙丁也。是近心线大于逺心线也。

第十六题【三支】圜径末之直角线，全在圜外，而直线偕圜界所作切边角，不得更作一直线入其内。其半圜分角大于各直线鋭角，切边角小于各直线鋭角。先解曰：甲乙丙圜，丁为心，甲丙为径。从甲作甲丙之垂线，题言此线全在圜外。论曰：若言在内，如甲乙，令自丁至乙作直线即丁甲乙与丁乙甲两角等【一卷五】丁甲既为直角，丁乙又为直角乎？夫角形三角并等两直角【一卷十七】岂得形内自有两直角也？则垂线必在圜外。若己戊必不在圜内，若甲乙又不在圜界之上【如云在界，亦依此论】故曰全在圜外。次解曰：题又言戊甲垂线，偕乙甲圜界所作切边角，不得更作一直线入其内。论曰：若云可作，如庚甲令从丁心向庚甲作丁辛，为庚甲之垂线【一卷十二】夫丁甲辛角形之丁甲辛、丁辛甲两角并小于两直角【一卷十七】而丁辛甲为直角，即对小角之丁辛线小于对大角之甲丁线矣【一卷十九】甲丁者，与丁壬为同圜相等者也，将丁壬亦大于丁辛乎？则戊甲乙角之内不得更作一直线，而戊甲之下但有直线，必入本圜之内也。后解曰：题又言，丁甲垂线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角，大于各直线鋭角；而戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角，小于各直线鋭角。论曰：依前论，甲戊下有直线，既云必入圜内，即此直线偕戊甲所作各直线鋭角，皆小于圜分角，而切边角小于各直线鋭角。

系己甲线必切圜以一防増先解曰：「甲乙丙，圜其心；丁，其径。甲」丙从甲作戊，甲为甲丙之垂线，题言。

戊甲全在圜外増正论曰：试于甲戊线内任取一防为庚，自庚至丁作直线。其甲丁庚角形之丁甲庚、丁庚甲两角小于两直角【一卷十七】而丁甲庚为直角，即丁庚甲小于直角，对大角之丁庚线大于对小角之丁甲线矣【一卷十九】则庚防在圜之外也。凡戊甲以内作防皆依此论故戊甲线全在圜外増次解曰：「从甲作甲辛线，在戊甲之」。

下题言甲辛必割圜为分増正论曰：试作甲丁壬角与戊甲辛角等，其甲丁壬辛、甲丁两角并等于戊甲丁直角，必小于两直角，而丁壬甲辛两线必相遇【分论十一】其相遇又必在圜之内，如壬何者？壬甲丁、壬丁甲两角既与一直角等，即甲壬丁必为直角【一卷卅二】而对大角之甲丁线必大于对小角之丁壬线矣【一卷十九】夫甲丁线仅至圜界，则丁壬不能抵圜界，必在圜之内也。后支前已正论。或难曰：「切边角有大有小，何以毕不得两分？向者闻几何之分不可穷尽，如庄子尺棰之义，深着明矣。今切边之内有角，非几何乎？此几何何独不可分邪？又十卷第一题言：『设一小几何，又设一大几何。若从大者半减之，减之又减，必至一处，小于所设小率。』此题最明，无可疑者。今言切边之角小于直线鋭角，是亦小几何也；彼直线鋭角是亦大几何也。若从直线鋭角半减之，减之又减，何以终竟不得小于切边角邪？既本题推显切边角中不得容一直线，如此着明，便当并无切边角。无角则无几何，此则不可得分耳。且几何原本书中无有至大不可加之率，无有至小不可减之率。若切边角不可分，岂非至小不可减乎？」答曰：「谬矣！子之言也。有圜有线，安得无切边角？且既言直线鋭角大于切边角，即有切边角矣。苟无角，安所较大小哉？且」

子言直线与圜界并无切边角则两圜外相切亦无角乎曰然曰试如作甲己乙圜其心丙而丁戊为切线，即丁甲己为切边角。次移心于庚，又作甲辛癸圜，即丁甲辛为切边角，而小于丁甲己。次移心于子，又作甲丑寅圜，即丁甲丑为切边角，而又小于丁甲辛。如是小之又小，疑无角焉。次又于切线之外，以辰为心作甲己午圜，而与前圜外相切于甲。依子所説，疑无角焉。然两圜外相切，而以丁戊线分之，不可分乎？更自辰至寅作直线，截两圜之界，而分丁戊为两平分，不可分乎？两圜两直线交罗相遇于甲也，能不皆以一防乎？如以一防也，即此一防之外不能无空，即不能不为四切边角矣。子所据尺棰之分无尽，又言几何原本书中无至小不可减之率，也是也。夫切边角但不可以直线分之耳，若用圜线则可分矣。如甲乙庚圜与丙甲丁直线相切于甲，作丁甲庚切边大角。若移一心作甲戊辛。圜又得丁甲辛，切边角即小于丁甲庚也。又移一心作甲己壬，圜又得丁甲壬，切边小角即又小于丁甲辛也。如此以至无穷，则切边角分之无尽，何谓不可减邪？若十卷第一题所言，元无可疑，但以圜角分圜角，则与其説合矣。彼所言大小两几何者，谓夫能相较为大，能相较为小者也。如以直线分直线角，以圜线分圜线角，是已。此切边角与直线角，岂能相较为大小哉？増题有两种，几何一大一小，以小率半増之，递増至于无穷，以大率半减之，递减至于无穷，其元大者恒大，元小者恒小。解曰：戊甲乙切，边角为小率；壬庚辛直线，鋭角为大率。今别作甲丙、甲丁等圜，俱切戊己线于甲，其切边角愈増愈大，如前论。别以庚癸、庚子线作角，分壬庚辛角于庚，愈分愈小，然直线角恒大切。

边角恒小乃至终古不得相比又増题旧有一説，以一小率加一大率之上，或以一大率加一小率之上，不相离逐线渐移之，必至一相等之处。又一説，有率大于此率者，有率小于此率者，则必有率等于此率者。昔人以为皆公论也。若用以律本题，即不可得，故今斥不为公论。解曰：甲乙丙圜，其径甲丙，令甲丙之甲界定在于甲，而引丙线逐线渐移之，向已，其所经丁戊己及中间逐线所经无数然，依本题论，则甲丙所经，凡割圜时，皆为鋭角，即小于半圜分角，才离鋭角，便为直角，即大于半圜分角，是所经无数线，终无有相等线，可见前一旧説未为公论。又直线、鋭角皆小于半圜分角，直角与钝角皆大于半圜分角，是有大者，有小者，终无等者，可见后一旧説未为公论也。

第十七题设一防一圜求从防作切线法曰：甲防求作直线切乙丙圜，其圜心丁。先从甲作甲丁直线，截乙丙圜于乙。次以丁为心，甲为界，作甲戊圜。次从乙作甲丁。之垂线，而遇甲戊圜于戊，次作戊丁直线，而截乙丙圜于丙，末作甲丙直线，即切乙丙圜于丙。论曰：乙戊丁角形之戊丁、丁乙两腰与甲丙丁角形之甲丁、丁丙两腰各等【一卷界説十五】丁角同，即甲丙乙、戊两底亦等【一卷四】而戊乙丁为直角，即甲丙丁亦直角，则甲丙偕乙丙，圜之半径，丁丙为一直角矣。岂非圜之切线【本篇十六之系】第十八题。直线切圜，从圜心作直线至切界，必为切线之垂线。解曰：甲乙直线切丙丁圜于丙，从戊心至切界作戊丙线，题言戊丙为甲乙之垂线。论曰：如云不然，令从戊别作垂线，如至已。而截丙丁圜于丁，其丙戊己角形之戊己丙，既为直角，即宜大于己丙戊角【一卷十七】而对大角之戊丙边，宜大于对小角之戊己边矣【一卷十九】夫戊丙与戊丁等也，戊丙大于戊已则戊丁亦大于戊己乎？又论曰：「若云丙非直角，即其两旁角一鋭一钝。令乙丙戊为鋭角，则鋭角乃大于半圜分角乎【本篇十六】第十九题。直线切圜，圜内作切线之垂线，则圜心必在垂线之内。解曰：甲乙线切丙丁戊圜于丙，圜内作戊丙为甲乙。

之垂线题言圜心在戊丙线内论曰：如云不然，心在于已，令从已作己丙直线，即己丙亦为甲乙之垂线【本篇十八】而已。丙甲与戊丙甲等为直角，是全与其分等矣。

第二十题负圜角与分圜角所负所分之圜分同，则分圜角必倍大于负圜角。解曰：甲乙丙，圜其心。丁有乙丁丙分圜角，乙甲丙负圜角，同以乙丙圜分为底，题言乙丁丙角倍大于乙甲丙角。先论分圜角在乙甲甲丙之内者，曰：如上图，试从甲过丁心作甲戊线，其甲丁乙角形之丁甲，丁乙等，即丁甲乙、丁乙甲两角。等【一卷五】而乙丁戊外角与内相对两角并等【一卷卅二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣。依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁，则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角。次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰：如上图，依前论推显乙丁丙外角等于内相对之丁甲丙、丁丙甲两。角并【一卷卅二】而丁甲、丁丙两腰等，即甲丙两角亦等【一卷五】则乙丁丙角倍大于乙甲丙角。后论分圜角在负圜角线之外，而甲乙截丁丙者，曰：“如上图，试从甲过丁心作甲戊线，其戊丁丙分圜角与戊甲丙负圜角同。”以戊乙两圜分为底，如前次论，戊丁丙角倍大于戊甲丙角，依显，戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙负圜角。次于戊丁丙角减戊丁乙角，戊甲丙角减戊甲乙角，则所存乙丁丙角必倍大于乙甲丙角。増若乙丁、丁丙不作角于心，或为半圜，或小于半圜，则丁心外余地亦倍大于同底之负圜角。论曰：「试从甲过丁心，作甲戊线，即丁心外余地分为乙丁戊、戊丁丙两角。依前论推，显此两角倍大于乙甲丁、丁甲丙两角。」

第二十一题凡同圜分内所作负圜角俱等解曰：甲乙丙丁，圜其心。戊于丁，甲乙丙圜分内，任作丁甲丙、丁乙丙两角。题言此两角等。先论函心大分所作，曰：「试从戊作戊丁、戊丙线，其丁戊丙分圜角，既倍大于丁甲丙角、丁乙丙角【本篇十二】即甲乙两角自相等【公论七】后论半圜分不函心小分所作曰「丁甲乙丙」，或为半圜分，或为不函心小分，俱从甲，从乙，过戊作甲己、乙庚两线；若不函心，更从戊作戊丁、戊丙两线。其丁戊己分圜角，既倍大于丁甲己负圜角【本篇二十】依显丙戊。己分圜角，亦倍大于丙。甲己负圜角，而丁戊庚、庚戊己两角与丁戊己一角等，则丁戊庚、庚戊己、己戊丙三角必倍大于丁甲丙。依显，此三角亦倍大于丁乙丙，则丁甲丙、丁乙丙两角自相等。又后论曰：「二十题増，言分圜不作角，其心外余地倍。」大于同底各负圜角，即各角自相等。又后论曰：甲丙乙丁线交罗相遇为已，试作甲乙线相联。其甲丁己角形之三角并与乙丙己角形之三角并等【一卷卅二】次每减一交角相等之甲己丁，乙己丙【一卷十五】即己甲丁、己丁甲两角并与己丙乙、己乙丙两角并等矣。而甲丁乙、乙丙甲两角同在甲丁丙乙函心大分内，又等【本题第一论】则丁甲丙与丙乙丁亦等。又后论曰：丁丙之外，任取一界为已，作丁己、丙己两线，令俱函心；而丁甲乙丙己与丙乙甲丁己俱为大分。次于甲己、乙己各作直线相聨其丁甲已与丁乙己两角，同负于甲乙丙己圜界，即等【本题第一论】依显丙乙己与丙甲已两角，同负丙乙甲丁己圜界，又等。此二相等率并之，则丁甲丙、丁乙丙两全角亦等。

第二十二题圜内切界四边形，每相对两角，并与两直角等。解曰：甲乙丙丁，圜其心。戊，圜内有甲乙丙丁四边形。题言：甲乙丙、丙丁甲两角并，乙丙丁、丁甲乙两角并，各与两直角等。论曰：试作甲丙、乙丁两对角线，其甲乙、丁甲、丙丁两角同负甲乙丙丁圜分，即等【本篇廿一】依显丙甲、丁丙、乙丁两角亦等，则甲乙、丁丙乙丁两角并为甲乙丙一角与甲丙丁丙甲、丁两角并等，次每加一丙丁甲角，即甲乙丙、丙丁甲并与甲丙丁、丙甲丁、丙丁甲三角并等。此三角并元与两直角等【一卷卅二】则甲乙丙、丙丁甲相对两角并与两直角等，依显乙丙丁、丁甲乙并亦与两直角等。

第二十三题一直线上作两圜分，不得相似而不相等。论曰：如云不然，令于甲乙线上作同方两圜分相似而不相等，必作甲丙乙，又作甲丁乙，其两圜相交止于甲乙两防【本篇十】即一圜分全在内，一圜分全在外矣。次令作甲丁线，截甲丙乙圜于丙。末令作丙乙、丁乙两线相聨。夫两圜分相似者，其负圜角宜等【本卷界説十】则乙丙甲外角与相对之乙丁甲内角等乎【一卷十六】

第二十四题相等两直线上作相似两圜分，必等。解曰：甲乙丙丁两线上，作甲丙、乙丙、己丁相似两圜分。题言两圜分等。论曰：甲乙丙丁两线既等，试以甲乙线加丙丁线上，两线必相合。即甲丙乙丙己丁两圜分相加，亦相合。如云不然，必两圜分相加，或在内，或在外，或半在内半在外矣。若在内、在外，即一直线上有两圜分相似而不相等也【本篇廿三】若半在内半在外，即两圜三相交也【本篇十】两俱不可，故相似者必等第二十五题有圜之分求成圜法曰：甲乙丙圜分，求成圜。先于分之两端作甲丙线，次作乙丁为甲丙之垂线，次作甲乙线相联。其丁乙甲角，或大于丁甲乙角，或等。或小若大，即甲乙丙当为圜之小分，何也？乙丁分甲丙为两平分，即知圜之心必在乙丁线内【本篇一之系】而心在丁防之外，则从丁防所出丁乙为不过心径线至小【本篇七】故对小边之丁甲乙角小于对大边之丁乙甲角也【一卷十八】即作乙甲戊角与丁乙甲角等，次从乙丁引出一线与甲戊线遇于戊，即戊为圜心。论曰：试从戊作戊丙线，其甲丁戊角形之甲丁线与丙丁戊角形之丙丁线等，丁戊同线，而甲丁戊、丙丁戊两皆直角，即对直角之甲戊与戊丙两线等【一卷四】夫甲戊与乙戊以对角等，故既等【一卷六】戊丙与甲戊又等，则从戊至界三线皆等，而戊为心【本篇九】次法兼论曰：若丁乙、甲丁、甲乙两角等，即甲乙丙为半圜，而甲丙为径，丁为心，何也？丁乙、丁甲两边等，然后丁乙甲、丁甲乙两角等【一卷】【五】今丁乙、甲丁、甲乙两角既等，即丁乙、丁甲两线必等【一卷六】丁丙元与丁甲等，则从丁所出三线等，而丁为圜心【本篇九】后法曰：「若丁乙甲小于丁甲乙，即甲乙丙当为圜大分。何也？乙丁分甲丙为两平分。」即知圜心在乙丁线内【本篇一之系】而丁防在心之外，则所出丁乙为过心径线至大【本篇七】故对大边之丁甲乙大于对小边之丁乙甲也【一卷十八】即作乙甲戊角与丁乙甲角等，而甲戊线与乙丁线遇于戊，即戊为圜心。论曰：试从戊作戊丙线，其甲丁戊角形之甲丁线与丙丁戊角形之丙丁线等，丁戊同线，而甲丁戊、丙丁戊两皆直角，即对直角之甲戊、戊丙两线亦等【一卷四】夫乙戊与甲戊，以对角等故既等【一卷五】戊丙与甲戊亦等，则从戊至界三线皆等，而戊为心【本篇九】増求圜分之心有一简法，于甲、乙、丙圜分，任取三防，于甲，于乙，于丙，以两直线联之，各两平分，于丁，于戊，从丁，从戊作甲乙、乙丙之各垂线，为己丁，为己戊，而相遇于己，即已为圜心。论曰：己丁、己戊既各以两直角平分甲乙、乙丙两线，即圜之心当在两垂线内【本篇一】而相遇于已，即已为圜心。其用法：圜界上任取四防，为甲，为乙，为丙，为丁。每两防各自为心，相向各任作圜，分四圜。分两两相交于戊，于己，于庚，于辛。从戊己，从庚辛各作直线，引长之。

交于壬即壬为圜心论曰：试作甲戊、戊乙、乙己、己甲四直线，此四线各为同圜、等圜之半径，各等，即甲戊己角形之甲戊己、甲己戊两角等，而乙戊己角形之乙戊己、乙己戊两角亦等。次作甲乙直线，分戊己于癸，即甲己癸角形之甲己边与乙己癸角形之乙己边等，己癸同边，而对甲己癸角之甲癸边与对乙己癸角之乙癸边亦等【一卷八】则甲癸己、乙癸己俱为直角，而戊己线必过心【本篇一】依显庚辛线亦过心，而相遇于壬为圜心。

第二十六题【二支】等圜之乘圜分角，或在心，或在界，等其所乘之圜分，亦等。先解在心者，曰甲乙丙丁戊己两圜等，其心为庚，为辛。有甲庚丙与丁辛己两乘圜角等，题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等。论曰：试于甲乙丙丁戊己两圜分之上，任取两防，于乙，于戊。从乙作乙甲、乙丙，从戊作戊丁、戊己各两线。次作甲丙、丁己两线相联。其乙与戊两角，既各半于庚辛两角，即乙与戊自相等【本篇二十】而所负甲乙丙与丁戊己两圜分相似【本卷界説十】又甲庚丙角形之甲庚、庚丙两边，与丁辛己角形之丁辛辛己两边各等，庚角与辛角又等，即甲丙与丁己两边亦等【一卷四】而相似之甲乙丙与丁戊己两圜分在等线上亦等【本篇卄四】夫相等圜减相等圜分，则所存甲丙丁己两圜分亦等，故云等角所乗之圜分等。后解在界者曰：两圜之乙与戊两乘圜角等，题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等。论曰：乙、戊两角既等，而庚、辛两角各倍于乙、戊，即庚、辛自相等【本篇二十】依前论，甲、丙、丁、己两边亦自相等，而甲乙丙与丁戊己两圜分亦等【本篇廿四】今于相等圜减相等圜分，则所存甲丙丁己两圜分亦等。注曰：后解极易明。葢庚辛角既各倍于乙戊，则依先论，甲丙丁己自相等【在心之乘圜角，即分圜角，随类异名】

第二十七题【二支】等圜之角，所乘圜分等，则其角或在心，或在界，俱等。先解在心者，曰：甲乙丙丁戊己两。圜等其心，为庚，为辛。若甲庚丙乘。圜角所乘之甲丙分与丁辛己所乘之丁己分等，题言甲庚丙丁辛己两角等。论曰：如云不然，而庚大于辛，令作甲庚壬角与丁辛己角等，即甲壬圜分宜与丁己圜分等【本篇廿六】而甲丙与丁己元等，则甲壬与甲丙亦等乎？后解在界者，曰：“甲丙丁己两圜分等，题言其上乙戊两角亦等。”论曰：如云不然，而乙大于戊，令作甲乙壬角与戊角等，其甲乙壬与丁戊己若等，即所乘之甲壬丁己宜等【本篇廿六】而甲丙与丁己元等，则甲壬与甲丙亦等乎？増题从此推显：两直线不相交而在一圜之内，若两线界相去之圜分等，则两线必平行；若两线平行，则两线界相去。

之圜分等先解曰：甲乙丙丁，圜内有甲丁、乙丙两线，其相去之甲乙、丁丙两圜分等。题言两线必平行。论曰：试自甲至丙作直线相联，其甲乙、丁丙既等，即甲丙乙与丙甲丁两乘圜角亦等【本题】既内相对之两角等，即两线必平行【一卷廿七】后解曰：甲丁、乙丙为平行线。题言甲乙、丁丙两圜分必等。论曰：「试作甲丙线，其甲丁、乙丙既平行。」即内相对之两角甲丙、乙丙、甲丁必等【一卷廿七】而所乘圜分甲乙、丁丙亦等【本篇廿六】

第二十八题等圜内之直线等，则其割本圜之分大，与大、小与小各等。解曰：甲乙丙丁戊己两圜等，其心为庚，为辛。圜内有甲丙、丁己两直线等。题言：甲乙丙与丁戊己两大分，甲丙与丁己两小分各等。论曰：试于甲庚、庚丙、丁辛、辛己各作直线，其甲庚丙角形之甲丙与丁辛己角形之丁己两底既等，而甲庚、庚丙两腰与丁辛、辛己两腰又等，即庚辛两角亦等【一卷八】其所乘之甲丙、丁己两小分必等【本篇廿六】次减相等之甲丙、丁己两小分，则所存甲乙丙丁戊己两大分亦等。

第二十九题等圜之圜分等，则其割圜分之直线亦等。解曰：依前题，两圜之甲、乙、丙、丁、戊。己两圜分等，而甲丙丁己两圜分。

亦等题言甲丙丁己两线必等论曰：依前题作四线，其甲庚丙角形之甲庚、庚丙两腰，与丁辛己角形之丁辛、辛己两腰等，而庚辛两角所乘之甲丙、丁己两圜分等，即庚辛两角亦等【本篇廿七】而对等角之甲丙、丁己两线必等【一卷四】注曰：「第二十六至二十九四题所説，俱等圜，其在同圜，亦依此论。」

第三十题有圜之分求两平分之法曰：甲乙丙圜分，求两平分。先于分之两界，作甲丙线。次两平分于丁，从丁作乙丁，为甲丙之垂线。即乙丁分甲乙丙圜分为。

两平分论曰：从乙作乙甲、乙丙两线，其甲乙丁角形之甲丁与丙乙丁角形之丙丁两腰等，丁乙同腰，而甲丁乙与丙丁乙两直角又等，即对直角之甲乙、乙丙两底亦等【一卷四】而甲乙与乙丙两圜分亦等【本篇十八】则甲乙丙圜界两平分于乙矣。

第三十一题【五支】负半圜角，必直角；负大分角，小于直角；负小分角，大于直角；大圜分角，大于直角；小圜分角，小于直角。解曰：甲乙丙圜，其心丁，其径甲丙。于半圜分内，任作甲乙丙角形，即甲乙丙角，负甲乙丙半圜分；乙甲丙角，负乙甲丙。大分又任作乙戊丙角，负乙戊丙小分。题先言负半圜之甲乙丙为直角，二言负大分之乙甲丙角小于直角，三言负小分之乙戊丙角大于直角，四言丙乙甲大圜分角大于直角，后言丙乙戊小圜分角小于直角。先论曰：「试作乙丁线，次以甲乙线引长之至已，其丁乙、丁甲两线等，即丁乙、甲丁甲乙两角等【一卷五】依显丁乙丙、丁丙乙两角亦等，而甲乙丙全角与乙甲丙、甲丙乙两角并等，又己乙丙外角亦与相对之乙甲丙、甲丙乙两内角并等【一卷卅二】则己乙丙与甲乙丙等，为直角。二论曰：甲乙丙角形之甲乙丙，既为直角，则乙甲丙小于直角【一卷十七】三论曰：甲乙戊丙四边形在圜之内，其乙甲丙、乙戊丙相对两角并等两直角【本篇廿二】而乙甲丙小于直角，则乙戊丙大于直角。四论曰：甲乙丙，直角为丙乙甲，大圜分角之分，则大于直角。后论曰：丙乙戊小圜分，角为己乙丙直角之分，则小于直角。此题别有四解四论，先解曰：甲乙丙半圜，其心丁，其上任作甲乙丙角，题言此为直角。论曰：试作乙丁线，其丁乙、丁甲两线既等，即丁乙甲、丁甲乙两角亦等【一卷五】而乙丁丙外角既与丁乙甲、丁甲乙相对之两内角并等【一卷卅二】即倍大于丁乙甲角，依显乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角，即乙丁甲、乙丁丙两角并亦倍大于甲乙丙角。夫乙丁甲、乙丁丙并等两直角【一卷十三】则甲乙丙为直角。二解曰：甲乙丙大圜分，其心丁，任作甲乙丙角，题言此小于直角。论曰：「试作甲丁戊径线，次作乙戊线相联。」其甲乙戊既为直角【本题一论】即甲乙丙为其分，而小于直角。三解曰：「甲乙丙，小圜分，其心丁。任作甲乙丙角，题言此大于直角。」论曰：试作甲、丁、戊径线，而引乙、丙圜界至。戊次作乙戊线，其甲乙戊既负半圜之直角，而为甲乙丙角之分，则甲乙丙大于直角。四五合解曰：甲乙丙大圜分，丙丁甲小圜分，其心戊。题言：丙甲乙大圜分角，大于直角；丙甲丁小圜分角。

小于直角论曰：试作乙、戊、丙径线，次作乙甲线，引长之至己。其乙甲丙直角，为丙甲乙大。圜分角之分，而丙甲丁小圜分角，又为己甲丙直角之分，则大分角大于直角，小分角小于直角。一系凡角形之内，一角与两角并等，其一角必直角。何者？其外角与内相对之两角等，则与外角等之内交角，岂非直角？二系大分之角大于直角，小分之角小于直角，终无有角等于直角。又从小过大，从大过小，非大即小，终无相等。依此题四五论甚明，与本篇十六题増注互相发也。

第三十二题直线切圜，从切界任作直线割圜为两分，分内各任为负圜角，其切线与割线所作两角，与两负圜角交互相等。解曰：甲乙线切丙丁戊圜于丙，从丙任作丙戊直线割圜为两分。两分内任作丙丁戊、丙庚戊两负圜角。题言：甲丙戊角与丙庚戊角，乙丙戊角与丙丁戊角，交互相等。先论割圜线过心者，曰：如前图，甲丙戊、乙丙戊两皆直角【一卷十八】而丙庚戊、丙丁戊两负半圜角，亦皆直角【本篇卅一】则交互相等。后论割圜线不过心者，曰：如后图，试作丙己过心直线，次作戊己线相联，其己丙为甲乙之垂线【一卷十八】而丙戊己为直角【本篇卅一】即戊丙己、戊己丙两角并等于一直角，亦等于甲丙己角矣。此两率者，各减同用之戊丙己角，即所存戊己丙与甲丙戊等也。夫戊己丙与丙庚戊元等【本卷廿一】则甲丙戊与丙庚戊交互相等。又丙丁戊庚四边形之丙丁戊、丙庚戊两对角并等两直角【本篇廿二】而甲丙戊乙丙戊两交角亦等两直角【一卷十三】此二率者，各减一相等之甲丙戊、丙庚戊，则所存丙丁戊乙丙戊亦交互相等。

第三十三题一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等。先法曰：设甲乙线，丙角，求线上作圜分而负圜分角与丙等。其丙角或直，或鋭，或钝。若直角，先以甲乙两平分于丁，次以丁为心，甲乙为界作半圜，圜分内作甲戊乙角，即负半圜角为直角【本篇卅一】如所求。次法曰：「若设丙鋭角，先于甲防上作丁甲乙鋭角，与丙等；次作戊甲为甲丁之垂线，于甲乙之上；次作己乙甲角，与己甲乙角等，而乙己线与甲戊线遇于己。」即己乙己甲两线等【一卷六】末，以己为心，甲为界，作甲庚圜，必过乙。即甲庚乙圜分内，甲乙线上所作负圜角，必为鋭角，而与丙等。论曰：试作甲庚乙角，其甲己戊线过己心，而丁甲又为戊甲之垂线，即丁甲线切甲庚乙圜于甲【本篇十六之系】则丁甲乙与甲庚乙两角交互相等【本篇卅二】如所求。后法曰：若设辛钝角，依前作壬甲乙钝角与辛等，次作戊甲为壬甲之垂线，余仿第二法，而于甲乙线上作甲癸乙等，即与辛等。

后论同次第三十四题设圜求割一分，而负圜分角与所设直线角等。法曰：设甲乙丙圜，求割一分而负圜分角与丁等。先作戊己直线切圜于甲【本篇十七】次作已甲乙角与丁等，即割圜之甲乙线上所作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等。何者？已甲乙角与丁等，亦与甲丙乙交互相等，故【本篇卅二】

第三十五题圜内两直线交而相分，各两分线矩内直角形等。解曰：甲丙乙丁，圜内有甲乙、丙丁两线交而相分于戊。题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等。其两线或俱过心。或一过心，一不过心，或俱不过心。若俱过心者，其各分四线等，即两矩内直角形亦等。先论曰：圜内线独丙丁过己心者，又有二种。其一，丙丁平分甲乙线于戊，即丙戊线在甲乙上为两直角【本篇三】试作已乙线相联，其丙丁线既两平分于己，又任两分于戊，即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并与等已。丁之已乙上直角方形等【二卷五】夫已乙上直角方形与已戊、戊乙上两直角方形并等【一卷四七】即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并与已戊、戊乙上两直角方形并亦等矣。次每减同用之已戊上直角方形，则所存丙戊偕戊丁矩内直角形不与戊乙上直角方形等乎？戊乙与甲戊既等，即甲戊偕戊乙矩内直角形与丙戊偕戊丁矩内直角形亦等。次论曰：若丙丁任分甲乙线于戊，即以甲乙线两平分于庚。次于庚已、已乙各作直线相联，即已庚为甲乙之垂线，而成两直角【本篇三】其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳戊上直角方形并与等已丁之已乙上直角方形等【二卷五】而已戊上直角方形与已庚庚戊上两直角方形并等【一卷四七】已乙上直角方形与已庚、庚乙上两直角方形并亦等，则丙戊偕戊丁矩内直角形及已庚、庚戊上两直角方形并与已庚、庚乙上两直角方形并等。次每减同用之已庚上直角方形，即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上直角方形不与庚乙上直角方形等乎？夫甲戊偕戊乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦与庚乙上直角方形等【二卷五】此二相等率者，每减同用之庚戊上直角方形，则丙戊偕戊丁与甲戊偕戊乙两矩内直角形等矣。后论曰：圜内两线俱不过心者，又有二种：或一线平分，或两俱任分，皆从已心与戊相聨作直线，引长之为庚辛线。依上论，甲戊偕戊乙矩内直角形，不论甲乙线平分、任分，皆与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等。又依上论，丙戊偕戊丁矩内直角形。不论丙丁线，平分任分，亦与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等，则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等。

第三十六题圜外任取一防，从防出两直线，一切圜，一割圜，其割圜之全线偕规外线，矩内直角形与切圜线上直角方形等。解曰：甲乙丙圜外，任取丁防，从丁作丁乙线，切圜于乙【本篇十七】作丁甲线，截圜界于丙。题言：甲丁偕丙丁矩内直角形，与丁乙上直角方形等。先论丁甲过戊心者，曰：「试作乙戊线为丁乙之垂线【本篇十八】其甲丙线平分于戊，又引出一丙丁线，即甲丁偕丙丁矩内直角形。」

及等戊丙之戊乙上直角方形并与戊丁上直角方形等【二卷六】而戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等【一卷四七】即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊乙上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等此两率者每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等后论丁甲不过戊心者曰试以甲丙线两平分于已次从戊心作戊已戊丙戊丁戊乙四线即戊乙为丁乙之垂线【本篇十八】戊已为甲丙之垂线【本篇三】其甲丙线既两平分于已，又引出一丙丁线，即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直角方形，并与已丁上直角方形等【二卷六】次每加一戊已上直角方形，即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙戊已上两直角方形，并与己丁戊己上两直角方形并等。夫己丙戊己上两直角方形并与等戊丙之戊乙上直角方形等【一卷四七】而戊丁上直角方形与己丁戊己上两直角方形并等，即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形与戊丁上直角方形等矣。又戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等，即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并与戊乙丁乙上两直角方形并等。次每减同用之戊乙上直角方形，则所存甲丁偕丁丙矩内直角形与丁乙上直角方形等一系若从圜外一防作数线至规内各全线偕规外线矩内直角形俱等，如从甲作甲丙、甲丁、甲戊各线截圜界于己、于庚、于辛。其甲丙偕己甲，甲丁偕庚甲，甲戊偕辛甲各矩内直角形俱等。何者？试作甲乙切圜线，则各矩线内直角形与甲乙上直角方形俱等。故【本题】二系从圜外一防作两直线切圜，此两线等。如甲防作甲乙、甲丙两切圜线，即甲丙与甲乙等。何者？试从甲作甲丁线截圜界。于戊，其甲乙、甲丙上两直角方形各与甲丁、偕甲戊矩内直角形等【本题】则此两直角方形自相等。三系从圜外一防止可作两直线切圜。若言从甲既作甲乙、甲丙两线切圜，又可作甲丁线亦切圜。令从戊心作戊乙、戊丁两线即甲乙戊为直角，而甲丁戊亦宜等为直角【本篇十八】试作甲戊直线，则甲乙戊角形内有甲丁戊角，应大于甲乙戊角【一卷廿一】安得为直角也？又甲乙、甲丁若俱切圜，即两线宜等【本题二系】试作甲戊线截圜于己，则甲丁为近己线甚小，当小于逺己之甲乙线【本篇八】又安得相等也？故一防上止可作切圜线两也。

第三十七题圜外任于一防，出两直线，一至规外，一割圜至规内，而割圜全线偕割圜之规外线，矩内直角形与至规外之线上直角方形等，则至规外之线必切圜。解曰：甲乙丙圜其心，戊从丁防，作丁乙至规外之线，遇圜界于乙，又作丁甲割圜至规内之线，而截圜界于丙。其丁甲偕丁丙矩内直角形，与丁乙上直角方形等。题言丁乙为切圜线。论曰：试从丁作丁己线切圜于己【本篇十七】次作戊乙、戊己两线相联。若丁甲不过戊心者，又作丁戊直线。其丁己上直角方形，与丁甲偕丁丙矩内直角形等【本篇卅六】而丁乙上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形亦等，则丁乙、丁己上两直角方形自相等，而丁乙、丁己两线亦等。夫丁乙戊角形之丁乙、乙戊与丁己戊角形之丁己、己戊各两腰等，丁戊同底，即两角形之三角各等【一卷八】而对丁戊底之丁己戊为直角【本篇十八】即丁乙戊亦直角，故丁乙为切圜线【本篇十六之系】

几何原本卷三

钦定四库全书