御制厯象考成后编卷一

御制厯象考成后编卷一

日躔数理日躔总论嵗实黄赤距纬清▯气差地半径差用撱圆面积为平行求两心差及撱圆与平圆之比例。

求撱圆大小径之中率撱圆角度与面积相求求均数日躔总论钦若授时以日躔为首务。盖日出而为昼，入而为夜，与月防而为朔，行天一周而为嵗。嵗月日皆于是乎纪，故《尧典》以宾饯永短定治厯之大经，万世莫能易也。其推▯之法，三代以上不可考。汉、晋诸家皆以日行一度，三百六十五日四分日之一而一周天。自北齐张子信始觉有入气之差，而立损益之率。隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降，厥法加详。至元郭守敬乃分盈缩初末四限，较前代为密。西法自多禄亩以至第谷，则立为本天髙卑、本轮、均轮诸説，用三角形推算，其术尤精。上编言之备矣。近世西人刻白尔噶、西尼等更相推考，又以本天为撱圆，均分其面积为平行度，与旧法逈殊。然以求盈缩之数，则界乎本轮、均轮所得数之间。盖其法之巧合虽若与第谷不同，而其理则犹是本天髙卑之説也。至若嵗实之转増，距纬与两心差之渐近，地半径差、▯气差之互为大小，则亦由于积▯损益旧数，以成一家之言。今用其法，并释其义云。

嵗实日行天一周为嵗。周嵗之日分为嵗实。古法日行一度。故周天为三百六十五度四分度之一。嵗实为三百六十五日四分日之一【周日为一万分。四分之一为二千五百分】尧典曰朞三百有六旬有六日。杜预谓举全数而言则有六日。其实五日四分日之一是也。汉末刘洪始觉冬至后天。以为嵗实太强。减嵗余分二千五百为二千四百六十二。晋虞喜。宋何承天。祖冲之谓嵗当有差。乃损嵗余以益天周。嵗差之法由斯而立。元郭守敬取刘宋大明戊寅以来相距之积日时刻。求得嵗实为三百六十五日二千四百二十五分。比四分日之一减七十五分。而天周即为三百六十五度二千五百七十五分矣。西法周天三百六十度。第谷定嵗实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒。以周日一万分通之。得三百六十五日二四二一八七五。较之郭守敬又减万分之三有竒。以除周天三百六十度。得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】嵗差则谓恒星每年东行五十一秒。不特天自为天。嵗自为嵗。而星又自为星。其理甚明。其用尤便。上编仍之。厥后西人奈端等屡测嵗实。又谓第谷所减太过。酌定嵗实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微三十八纤二忽二十六芒五十六尘。以周日一万分通之。得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五。比第谷所定多万分之一有竒。以除周天三百六十度。得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒零三尘【即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五】比第谷所定少五纤有竒。每年少三十微有竒。盖嵗实之分数増。则日行之分数减。据今表推雍正元年癸卯，天正冬至，比第谷旧表迟二刻，日躔平行根比旧表少一分一十四秒【见推日躔用数】而第谷去今一百四十余年，以数计之，其差恰合，是亦取前后两冬至相距之积日时刻而均分之，非意为増损也。至于嵗实消长，统天、授时用之，新法算书虽为之説，而实未用其数，兹不具论。

黄赤距纬黄赤距纬，古今所测不同。自汉以来，皆谓黄道出入赤道南北二十四度。元郭守敬所测为二十三度九十分三十秒，以周天三百六十度，每度六十分约之，得三十三度三十三分三十二秒。新法算书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒。康熙五十二年。皇祖圣祖仁皇帝命和硕荘亲王等率同儒臣于畅春园▯养斋开局测太阳髙度，得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒。今监臣戴进贤等厯考西史，第谷所测盖在明隆万时，而汉时多禄亩所测为二十三度五十一分三十秒，较第谷为多。我朝顺治年间刻白尔改为二十三度三十分，后利酌理噶西尼又改为二十三度二十九分，俱较第谷为少。其前后多少之故，或谓诸家所用▯气差、地半径差之数各有不同，故所定距纬亦异。然合中西考之，第谷以前未知有▯气差，而多禄亩与古为近，至郭守敬则与第谷相若，而去多禄亩则有十数分之多，康熙年间所用▯气差、地半径差俱仍第谷之旧，与刻白尔、噶西尼等所用之数不同，而所测大距又相去不逺，由此观之，则黄赤距度古今实有不同，而非由于所用差数之异，所当随时考测以合天也。近日西法并宗噶西尼，故黄赤大距为二十三度二十九分。至于测量之术、推算之理，上编阐奥发微，千古不易，故不复载。

清▯气差清▯气差，西人第谷始发其义，谓地中游气上腾，能升卑为髙，映小为大，而▯气之厚薄，升像之髙下，又随地不同，其所作▯气差表，谓其国北极出地五十五度，测得地平上最大▯气差三十四分，自地平以上，其差渐少，至距地髙四十五度，犹差五秒，更髙则无▯气矣。厥后西人又言，北极髙四十八度，太阳髙四十五度时，▯气差尚有一分余，自地平至天顶，皆有▯气差。上编具载其説，而表则仍《新法算书》第谷之旧也。今监臣戴进贤等厯考西史，第谷所定地平上▯气差，其门人刻白尔即谓失之稍大，而犹未定有确数，至噶西尼始从而改正焉。其説谓▯气绕乎地球之周，日月星照乎▯气之外，人在地面为▯气所映，必能视之使髙，而日月星之光线入乎▯气之中，必反折之使下，故光线与视线在▯气之内则合而为一，▯气之外则岐而为二，此二线所交之角即为▯气差角。第谷己悟其理，然犹未有算术，噶西尼反覆精求，谓视线与光线所岐虽有不同，而相合则有定处，自地心过所合处作线抵圜周，则此线即为▯气之割线，视线与割线成一角，光线与割线亦成一角，二角相减即得▯气差角。爰在北极出地髙四十四度处屡加精测，得地平上最大差为三十二分一十九秒，▯气之厚为地半径千万分之六千零九十五，视线角与光线角正▯之比例常如一千万与一千万零二千八百四十一，用是以推逐度之▯气差，至八十九度尚有一秒，验诸实测，较第谷为密。近日西法并宗之，具详图法于左。

如图甲为地心乙为地面乙甲为地半径一千万丙乙为▯气之厚六千零九十五丁为太阳【月星仿此】照于▯气之戊人自地面乙视之则见日于戊者当本天之巳巳戊乙为视线丁戊乙为光线是视线常髙光线常卑视线常直光线常折在戊▯▯气之内则光线与视线合同为戊乙出乎戊▯之外则视线己戊光线丁戊岐而为二故己戊丁角为▯气差角试自地心甲出线过戊▯至庚则庚甲即为地平上▯气之割线己戊庚角为视线与割线所成之角丁戊庚角为光线与割线所成之角而己戊丁▯气差角即为两角之较今既测得地平上▯气差为三十二分一十九秒又测定▯气之厚为六千零九十五则己戊庚视线角与丁戊庚光线角可以得其比例其术用甲乙戊直角三角形以甲戊一○○○六○九五与甲乙一千万之比同于乙直角正▯一千万与戊角正▯九九九三九○八【小余七一】之比，而得戊角为八。十八度【小余百分秒之四二】即己戊。

庚角又以己戊丁▯气差角三十二分一十九秒与之相加得八十八度三十二分一十九秒【小余四二】即丁。

戊庚角其正▯为九九九六七四八【小余二五】夫视线角。

之正▯己辛为九九九三九○八【小余七一】则光线角之。

正▯丁壬为九九九六七四八【小余二五】若设己辛为一。

千万则丁壬必为一○○