御制厯象考成后编卷三

御制厯象考成后编卷三

交食数理交食总论用日躔月离求实朔望用两经斜距求日月食甚时刻，及两心实相距，求月食初亏复圆时刻【食既生光附】求日月实径与地径之比例【视径附】

求影半径及影差求黄道高弧交角求月食初亏，复圆并径，黄道交角【即纬差角】求白经高弧交角。

求高下差求日食，食甚真时，及两心视相距。求日食初亏复圆时刻【方位附】

求日食带食交食总论日月相防为朔，相对为望。朔而同度同道，则月掩日而日为之食；望而同度同道，则月亢日而月为之食【朔望日月皆东西同度，而南北不皆同道，同道则食】顾推步之法，月食犹易，而日食最难。以月在日下，人在地面，随时随处所见常不同也。自大衍以至授时，其法寖备。我朝用西法推验，尤请上编言之详矣。近日西人噶西尼等，益复精求，立为新表。其理不越乎昔人之范围，而其用意细密，又有出于昔人所未及者。如求实朔实望，用前后二时日月实行为比例，昔之用平朔平望实距弧者，未之及也。日月两心相距最近为食甚，两周初切为初亏，初离为复圆，皆用两经斜距为比例，昔之用月距日实行者，未之及也。日食用图算，月之视行不与白道平行，带食日在地平视差，即圆之半径，月之视距即见食之浅深，昔之言视差者，亦未之及也。虽其数所差无多，而其法实属可取。其他或因屡测而小有变更，或因屡算而益求简防，则又考验之常规，而推步所当从也。各为之说如左。

用日躔月离求实朔望从来求实朔望有二法，一用本日、次日两子正日月黄道实行度比例，其相防之时刻为实朔，相对之时刻为实望，推逐月朔望用之【见下编推合朔▯望法】以巳有本年逐日之日躔月离故也。一用本年首朔，先求本月平朔望之时刻，然后求其平行实行之差，比例加减而得实朔望之时刻，推交食用之【见上编朔望有平实之殊篇及下编推日食月食法】因上考徃古，下推将来，不必逐日悉推其躔离，而即可迳求其朔望故也。斯二法诚不可偏废，但从前交食求平行实行之差，太隂惟用初均，故甚整齐简易。今求太隂初均，又有诸平均之加减，旣属繁难，而黄白大距又时时不同，非推月离不得其凖，故今交食推实朔望，合二法而兼用之。先推平朔望，以求其入交之月，次推本日、次日两子正之日躔月离，以求其实朔望之时，又推本时、次时两日躔月离，以比例其时刻，较之旧法似为纡逺，然太隂之行甚速，因迟疾差之故，一日之内行度时时不同，且平行实行之差大者至八九度，则平朔望与实朔望之相距即至十有余时。今以前后两时相比例，较之止用两子正实行度相比例者固为精宻，即较之以距时为比例者，亦又加详矣。

用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距。新法算书以实朔用时即为日食食甚用时，以实望用时即为月食食甚时刻，皆黄白同经【太隂自道度与太阳黄道度相等为黄白同经】上编以此时两心斜距犹逺，惟自白极过太阳作经圏与白道成直角，太隂临此直角之防，两心相距最近，始为食甚，故以白道升度差为食甚距弧，以一小时月距日实行比例得时分，与实朔望用时相加减，方为食甚时刻【月食即食甚时刻，日食为食甚用时】其法较前为加密矣【见月食五限时刻，日食三限时刻篇】近日西法用日躔月离比例求实朔望，是为黄道同经，较之新法算书去食甚为尤逺，而其求食甚之法则亦以两心相距最近为食甚，实纬以实朔望太隂距最近防之度为食甚距弧，又以黄白二道原非平行，而日月两经常相斜距，若以太阳为不动，则太隂如由斜距线行，故求两心相距最近之线不与白道成直角，而与斜距线成直角，其距弧变时亦不以月距日实行度为比例，而以斜距度为比例，较之上编为尤近焉。虽度分时刻所差无多，而其理更为细密，图说详着于左。如图，甲乙为黄道，丙乙为白道，乙角为中交。新法算书以日心在甲，月心在丙为实朔，影心在甲，月心在丙为实望，甲乙与丙乙等，是为黄白同经，无另求食甚之法。上编以月行至丁为食甚，甲丁距纬与白道成直角，较甲丙为近，故丙丁为食甚距弧，以月距日实行比例得时分，加于丙防实朔望之时刻，方为食甚时刻。今用日躔月离黄道度算，则以日心在甲，月心在戊为实朔，影心在甲，月心在戊为实望，甲戊距纬与黄道成直角，是为黄道同经，戊之去丁较丙丁为尤逺。按上编之法，当以甲乙黄道度求丁乙白道升度，与戊乙太隂距交白道度相减，余戊丁为食甚距弧，而仍以甲丁距纬为食甚两心实相距。夫日月各有行分，日在甲，月既在戊。逮月由戊行至丁，则日亦不在甲，而顾谓甲丁为食甚两心实相距。戊丁为食甚距弧者，盖月由戊行至己，则日由甲行至庚。庚己与甲丁平行，甲庚与辛已等，庚己与甲辛等，丁己与辛己，甲丁与庚己皆相差无多，故借甲丁为与庚己等为两心实相距，借丁己为与辛己等为日行【月食为影心行与日行等】而戊己原为月行，则戊丁即为月距日之行，故即以戊丁为距弧，以一小时月距日实行为比例，即得食甚距时也。今求食甚之法，以戊乙与甲乙原非平行，日月两经常相斜距，己防固为直角相对之时，而其相距尤近，必犹在己防之后。试与甲乙平行作戊壬线为黄道距等圏，取一小时日实行甲癸之分截之于子，取一小时月实行截白道于丑，则子丑为一小时两经斜距。又与戊子平行作丑寅线，与子丑平行作戊寅线，则寅丑与戊子等，亦为一小时日实行，戊寅与子丑等，亦为一小时两经斜距。

戊寅丑与戊辛己为同式形，月行为戊丑，则日行为寅丑【与甲癸等】斜距为戊寅；月行为戊己，则日行为辛己【与甲庚等】斜距为戊辛。是日月二道原非平行，而两经斜距则常为一线。若以日心为不动，将庚防合于甲，则月心己防必合于辛；将癸防合于甲，则月心丑防必合于寅。是月在戊丑白道上行，即如在戊寅斜距线上行矣。乃自甲防与戊寅斜距成直角作甲夘线，与丑寅平行作夘辰线，与甲夘平行作辰巳线，则甲己与夘辰等，为实朔至食甚之日实行；戊辰为实朔至食甚之月实行。辰巳与甲夘等，即食甚两心实相距甲夘相距之近，尤近于甲辛【甲夘为股，甲辛为▯，股必短于▯也】是月心临于辰防方为食甚，其实行在己防后也。若以日心为不动，将己防合于甲则月心辰防必合于夘，故戊夘为食甚。距弧求之之法，先用戊丑寅三角形，寅丑边为一小时日实行，戊丑边为一小时月实行，丑角与乙角等，即本时黄白交角，用切线分外角法求得戊角为斜距交角差【斜距交角差者，乃斜距黄道交角与黄白交角之差，此本系弧线三角形，因其形甚小，故作直线算以从简易】并求得戊寅边为一小时两经斜距。次用甲戊夘三角形，以丑戊寅角与丑戊壬黄白交角相加【戊壬寅丑二线皆与甲乙线平行，故丑角戊角皆与乙角等】得寅戊壬角为斜距黄道交角，即与夘甲戊角等【甲戊午与甲夘戊及戊夘午皆为同式三角形，故寅戊壬角与夘甲戊角等】乃以半径与甲角余▯之比同于甲戊与甲夘之比【此亦作直线算】而得甲夘为食甚两心实相距；又以半径与甲角正▯之比同于甲戊与戊夘之比，而得戊夘为食甚距弧。然后以戊寅一小时两经斜距为一率，一小时为二率，戊夘食甚距弧为三率，求得四率为食甚距时。盖月行为戊辰，日行为夘辰，斜距为戊夘，戊夘辰三角形与戊寅丑三角形为同式比例也。今设乙角为四度五十八分三十秒【丁甲戊角、戊丑寅角、丑戊壬角皆与乙角等】甲乙为实朔太隂黄道距中交前十度，戊甲为太隂距黄道北五十一分五十七秒六五，寅丑为一小时日实行二分二十七秒八五，戊丑为一小时月实行三十二分五十六秒四六。旧法用甲乙戊三角形求得甲丁两心实相距为五十一分四十五秒九○，戊丁距弧为四分三十秒三五，以日月二实行相减得一小时月距日实行为三十分二十八秒六一，此例食甚距时得八分五十二秒二四。今法先用戊丑寅三角形求得丑戊寅角二十四分五秒八二，与丑戊壬角相加得五度二十二分三十五秒八二为斜距，黄道交角与夘甲戊角等。又求得戊寅邉三十分二十九秒一九，为一小时两经斜距。次用甲夘戊三角形，求得甲夘两心实相距为五十一分四十三秒九三，比甲丁近二秒。

戊夘距弧为四分五十二秒一三，以戊寅两经斜距比例食甚距时，得九分三十四秒九四，比戊丁距时迟四十三秒，是为两心相距最近之时。若实朔望在交后，则日由乙向甲，月由乙向戊，两心以渐而逺，食甚在实朔望前，距时比旧为早。其【法并同】

求月食初亏、复圆时刻【食既、生光附】月食求初亏复圆时刻，以食甚实纬为一边，并径为一边，以实纬交白道之角为直角，用正弧三角形法，求得初亏复圆距食甚之弧，以一小时月距日实行比例得时分，与食甚时刻相加减，即得初亏复圆时刻【初亏减，复圆加】上编言之详矣【见月食五限时刻篇】今以弧线可作直线算，故用勾▯求股之法，即得距弧至，以距弧变时，则以一小时两经斜距为比例。葢食甚两心实相距，既与斜距成直角，则初亏复圆之并径，亦与斜距成勾股，故仍以斜距比例时分也。图说并着于左：如图，甲乙为黄道，丙乙为白道，乙角为黄白交角。实望时，地影心在甲，月心在丙。食甚时，地影心在丁，月心在戊。戊丁为食甚两心实相距，与甲己等。丙己为食甚距弧。初亏时，地影心在庚，月心在辛。辛戊为初亏至食甚之月实行，庚丁为初亏至食甚之日实行，与壬戊等。辛壬为初亏至食甚日月两行之斜距，与癸巳等，即初亏距弧【理与食甚同】庚壬卽食甚两心实相距，与甲己等。庚辛为并径，与甲癸等。复圆时，地影心在子，月心在丑。戊丑为食甚至复圆之月实行，丁子为食甚至复圆之日实行，与戊寅等。寅丑为食甚至复圆日月两行之斜距，与巳夘等，即复圆距弧。子寅即食甚两心实相距，与甲己等。子丑为并径，与甲夘等。辛壬、庚癸、己甲、丑寅、子夘、巳甲为相等四股勾形。若以地影心为不动，以食甚影心丁防合于甲，则月心戊防合于巳。以初亏影心庚防合于甲，则壬防合于巳，而月心辛防合于癸。以复圆影心子防合于甲，则寅防合于巳，而月心丑防合于夘。初亏复圆距弧即与癸夘斜距合为一线矣。故今求初亏复圆距弧，即用癸己甲勾股形，以己甲为勾，癸甲为▯，求得癸己股，与巳卯等，为初亏复圆距弧。夫癸己与己夘二弧，既皆为两经斜距，则以二弧变时，亦当与斜距为比例，故以一小时两经斜距与一小时之比，同于癸己或己夘初亏复圆距弧与初亏复圆距时之比也。若食既生光，则甲癸、甲夘二线为月半径与影半径相减之较，其法并与初亏复圆同。

求日月实径与地径之比例【八十四】从来算家谓日月之在天，其实径原为一定之数，而视径之大小，则因距地有逺近而时时不同。然所谓实径者，仍以视径之大小、距地之逺近比例而得。今日月本天心之距地心数，皆与旧不同，则日月距地之逺近亦因之而各异。且视径之大小，古今所测相差惟在分秒之间，在器只争毫厘，而在数已差千百，则实径究亦未有一定之数也。《新法算书》载日实径为地径之五倍有余，中距日天半径与地半径之比例为一与一千一百四十二。月实径为地径百分之二十七强，中距朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二。上编仍之，以推最高日天半径与地半径之比例为一与一千一百六十二，最卑日天半径与地半径之比例为一与一千一百二十一【今监臣戴进视径附】最高朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六，最卑。朔望时月天半径【见日躔地半径差篇】与地半径之比例为一与五十【见交食日月距地与地半径之比例篇】四又百分之贤等。据西人近年所测，日天半径与地半径之比例，最高为一与二万零九百七十五，中距为一与二万零六百二十六，最卑为一与二万零二百七十七；月天半径与地半径之比例，最高为一与六十三又百分之七十七，中距为一与五十九又百分之七十八，最卑为一与五十五又百分之七十九【详本编曰躔月离地半径差篇】又用逺镜仪【西人黙爵所制，以逺镜加衡为窥管】测得，日视径最高为三十一分四十秒，中距为三十二分一十二秒，最卑为三十二分四十五秒；月视径最高为二十九分二十三秒，中距为三十一分二十一秒，最卑为三十三分三十六秒。用此数推算，日实径为地径之九十六倍又十分之六，月实径为地径百分之二十七小余二六强。夫月实径与旧大致相符，而日实径差至十九倍者，盖今所测日距地数比旧原大十八倍余，则日实径比旧大十九倍，止为大十八分之一，故今之日视径亦比旧大十八分之一。是则视径之大小，固各得之实测，要亦合诸推算，以成一家之言。至于日体纯阳，其光恒溢于常径之外，《新法算书》谓周围皆大一分，今说谓大一十五秒，故推日食之法，必于并径内减去太阳光分一十五秒，余与视纬相较，方为受食之分；而日之本径则仍带光分算，其理固应尔也。测算之法，并见上编。

求影半径及影差地影半径之大小，由于太阳距地有逺近，及太隂距地有高卑，故先以太阳在最高所生之大影为率，求得太隂从高及卑所当地影之濶，为影半径。又以太阳从高及卑所生各影小于大影之较，为影差，与影半径相减，乃为实影半径。上编言之详矣【见地影半径篇】今以三角形之理考之，日月两地半径差相并，即与日半径影半径相并之数等。而日月地半径差及日半径，皆推交食所必用之数，且又皆由距地之高卑逺近而生，故近日西法皆不用另求影半径，惟以日月两地半径差相加，内减去日半径，余即为实影半径，以影差已在其中也。此外又有视影之说，盖以地上有▯气差，能映小为大，则太阳实径必小于视径，实径小则影大矣。又月食时，日在地下，▯气转蔽日光，则地影视径必尤大于实径，计其所大之分，约为太隂地半径差六十九分之一，故又以此为影差，与实影半径相加，为视影半径。则所谓影差者，名虽同而义实异也。总之，算家立说，古今不必相同，然测验皆期于合天，而推步必归于有据。旧说谓太阳有光分，能侵地影使小，今说谓地周有▯气，能障地影使大，此亦极不同之致矣。然最大影半径，旧为四十六分四十八秒，今为四十六分五十一秒，相差不过三秒。最小影半径，旧为四十二分三十八秒，今为三十八分二十八秒，相差四分有余。盖地影之大小，固由于太阳距地之逺近，及太隂距地之高卑，而太隂所闗为尤重。查最卑太隂距地，今昔相差不过百分地半径之九十五，最高太隂距地，则相差至百分地半径之五百六十一。夫月之距地，既因两心差而不同，则月径与影径遂亦因之而各异，要皆据一时之所测，设法推步以求合，而非为臆说也。图说详着于左，如图甲乙为地半径，甲丙为日天半径丙丁，为日半径，从丁切乙，作光线，与丙甲线交于戊，甲戊为地影之长。

甲己为月，天半径，庚己辛为月行所当地影之濶，己甲辛角为影半径分【详上编地影半径篇】试观甲丁辛三角形，丁辛二内角与壬甲辛一外角等，而丁角即太阳地半径差，辛角即太隂地半径差【甲丁线畧与甲丙日天半径等，甲辛线畧与甲巳月天半径等，而其角皆与甲乙地半径相当，故其角即为地半径差角】壬甲巳角与丙甲丁角为对角，即日半径，故以丁角太阳地半径差与辛角太隂地半径差相加，即得壬甲辛角。内减日半径壬甲己角，余己甲辛角，即实影半径。盖日月地半径差及日半径。

既因日月距地之高卑逺近而时时不同，故所得影半径即为本时之实影半径，不复有影差也。又▯气映小为大丙丁为太阳视半径，丙癸为太阳实半径，从癸切乙作光线，与丙甲线交于子，则月行所当地影半径为己丑，而己丑之分必大于己辛，且地球外▯气之厚如乙寅，从丁切寅作光线，与丙甲线交于夘，则月行所当地影半径为己辰，而己辰之分必尤大于己辛矣。此辛辰之分当辛甲辰角约为甲辛乙角六十九分之一，故又以此为影差，与实影半径己甲辛角相加，得己甲辰角为视影半径也。

求黄道高弧交角求交食方位及日食三差，皆用黄道高弧交角。上编月食方位，求交角之法，与日食三差之求交角者微有不同，而畧为简易。葢各圏相交，皆成弧线三角形，转换相求法可相通，而理实一致，彼此互相发也。近日西法，又以黄道赤经交角与赤经高弧交角相加减，而得黄道高弧交角，用以求月食方位，繁简大槪相同；而用以求日食三差，则甚为省便。葢黄道随天西转，其象时时不同，而黄道赤经交角无异，不须逐时推算也。因着其法于左。

如图甲为天顶甲乙丙为子午圏乙丙为地平丁为赤极戊己庚为赤道辛为黄极壬癸子丑为黄道己为春分丑为黄道交西地平之防壬为黄平象限距丑九十度癸为正午壬癸为黄平象限距正午之度壬寅为黄平象限距地平之度即丑角度子为太隂实行经度【日食，即为太阳经度；月食，为太阳对冲地影之经度】子已为太隂距。

春分后之经度子壬为太隂距黄平象限之度甲子夘为高弧丁子辰为赤道经圈辰巳为赤道同升度戊辰为太阴距正午赤道度【日食即太阳距午正赤道度月食为太阳距子】正赤道度】丑子夘角为黄道高。

弧交角求之之法先用戊己弧求癸己癸戊二弧及癸角次求癸丑弧及丑角以求子角者日食三差之法也先用己庚弧求己丑弧及丑角以求子角者月食方位之法也今按己子辰角即黄道赤经交角甲子丁角与辰子夘角为对角即赤经高弧交角两角相减即得丑子夘黄道高弧交角夫黄道交地平之丑角时时不同而己子辰黄道赤经交角则初亏与复圆无异然则先求得黄道赤经交角至求黄道高弧交角则惟求一赤经高弧交角与之加减而己其加减之法以太阴在夏至前后各六宫与距正午之东西为定试以甲为天顶作乙庚丙己地平圏乙甲丙为子午经圏庚甲己为东西经圏庚戊己为赤道丑己未为黄道己为春分当黄平象限丑为冬至当西地平未为夏至当东地平是为夏至前六宫在地平上癸为黄道当正午之度己癸为黄平象限距午东之度设太隂子防在正午之西甲子夘为高弧丁辰子为过赤极经圏己子辰角为黄道赤经交角甲子丁角为赤经高弧交角丑子夘角为黄道高弧交角与甲子癸角等是以甲子丁赤经高弧交角与己子辰黄道赤经交角相减余甲子癸角即黄道高弧交角也设太隂申防在正午之东甲申酉为高弧丁申戌为过赤极经圏巳申戌角为黄道赤经交角与丁申未角等甲申丁角为赤经高弧交角酉申未角为黄道高弧交角乃甲申未角之外角是以甲申丁赤经高弧交角与丁申未黄道赤经交角相加得甲申未角与半周相减余酉申未角即黄道高弧交角也若己为秋分当黄平象限未为夏至当西地平丑为冬至当东地平是为夏至后六宫在地平上癸为黄道当正午之度己癸为黄平象限距午西之度设太隂子防在正午之西甲子夘为高弧丁子辰为过赤极经圏己子辰角为黄道赤经交角与丁子未角等甲子丁角为赤经高弧交角夘子未角为黄道高弧交角乃甲子未角之外角是以甲子丁赤经高弧交角与丁子未黄道赤经交角相加得甲子未角与半周相减余夘子未角即黄道高弧交角也设太隂申防在正午之东甲申酉为高弧丁戌申为过赤极经圏己申戌角为黄道赤经交角甲申丁角为赤经高弧交角丑申酉角为黄道高弧交角与甲申癸角等是以甲申丁赤经高弧交角与己申戌黄道赤经交角相减余甲申癸角即黄道高弧交角也此太隂在午东而亦在限东太隂在午西而亦在限西之常法也若太隂在夏至前六宫而在正午之东如干以己干亥黄道赤经交角与甲干丁赤经高弧交角相加得己干甲角不足九十度与酉干丑角等则不与半周相减即以酉干丑角为黄道高弧交角乃知太隂干防在黄平象限巳防之西也葢惟正当黄平象限高弧与黄道成直角在限西者则高弧与限西之黄道成锐角在限东者则高弧与限东之黄道成锐角今己干甲角既不及九十度故知干防在黄平象限己防之西而干酉高弧乃与限西之干丑黄道相交成锐角也太隂在午西而在限东者仿此【左图以二至当地平乃黄平象限偏午东午西之极大者，

如二分当地平则黄平，象限当正午，加减之法并同】至求赤经高弧交角之法则以北极距天顶为一边影距北极为一边影距正午赤道度【日食则为日距正午赤道度】为所夹之角用弧三角法算之如太隂在申甲申丁三角形申角为赤经高弧交角甲丁为北极距天顶申丁为影距北极丁角当戊戌弧为影距正午赤道度因丁角为锐角则自天顶甲作甲坎垂弧于形内使坎角成直角求得甲坎丁坎二边以丁坎与丁申相减即得坎申边用之与甲坎边求申角也如太隂在艮甲丁艮角当戊己弧适足九十度成直角则甲丁即为垂弧即用甲丁艮正弧三角形以求艮角也如太隂在震甲丁震角当戊巽弧过于九十度成钝角则自天顶甲作甲离垂弧于形外使离角成直角求得甲离离丁二边以离丁与丁震相加即得离震边用之与甲离边求震角也又如黄道在天顶北太隂在坤甲坤丁赤经高弧交角大于九十度则自天顶甲作垂弧至兊而所求之丁兊距极分边反大于丁坤影距北极则以坤兑甲兑二边求坤角之外角即知甲坤丁角为钝角也若所求距极分边与影距北极等即知赤经高弧交角为直角不待求也至于赤经高弧交角有与黄道赤经交角相等者亦有与黄道赤经交角共为一百八十度者有反大于黄道赤经交角而不足减者亦有与黄道赤经交角相加大于半周而又减去半周者如北极出地二十三度二十九分以下夏至前后黄道正当天顶太隂子防在夏至未防之前而在正午之西当以赤经高弧交角与黄道赤经交角相减为黄道高弧交角今甲子丁赤经高弧交角与己子辰黄道赤经交角相等两角相减无余即知黄道与高弧合无交角也又如太隂申防在夏至未防之前而在正午之东当以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加为黄道高弧交角今甲申丁赤经高弧交角与巳申戌黄道赤经交角相加共一百八十度亦如黄道与高弧合无交角也又如北极出地在二十三度以下夏至前后黄道在天顶北太隂子防在夏至未防之前而在正午之西当于黄道赤经交角内减赤经高弧交角为黄道高弧交角今甲子丁赤经高弧交角与辰子夘角等反大于巳子辰黄道赤经交角则于辰子夘赤经高弧交角内反减巳子辰黄道赤经交角余巳子夘角为黄道高弧交角即知黄平象限在天顶北也又如太隂申防在夏至未防之前而在正午之东当以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加为黄道高弧交角今甲申丁赤经高弧交角与戌申酉角等与巳申戌黄道赤经交角相加大于一百八十度则减去巳申戌角及戌申未角共一百八十度余未申酉角为黄道高弧交角亦如黄平象限在天顶北也总之黄道出入于赤道之内外随天左旋其高低斜正旣随时不同又以人所居之南北异地改观益多变换然定之以数自无遁形或从地平立算或从子午圈立算或从赤道经圈立算法虽不同理实一致合而观之益见弧线三角之用至通变矣求月食初亏、

复圆并径，黄道交角【即纬差角】定月食方位。

月当黄道无距纬，即用黄道高弧交角为定交角。若月在交前后有距纬，则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角。上编言之详矣【见月食方位篇】然求纬差角之法，必先用初亏复圆交周各求距纬。今初亏复圆距弧皆斜距之度，须复以斜距与白道为比例，方得交周，颇为费算。且前已有斜距黄道交角与九十度相加减，即黄道交实纬角，则求得并径交实纬角与之相减，余并径交黄道之角，即纬差角，甚为简便，故质名之曰并径黄道交角。至其与黄道高弧交角相加减之法，并同上编，兹不复载。如图，甲乙为黄道，丙乙为白道，丙丁为黄道距等圏，戊己为日月两经斜距，甲为地影心，食甚时月心在庚，初亏时月心在戊，复圆时月心在己。戊甲辛角为初亏并径黄道交角，即初亏纬差角。己甲乙角为复圆并径黄道交角，即复圆纬差角。求之之法，先以丙甲庚斜距黄道交角【丙甲庚角与庚丙丁角等】与九十度相加，得庚甲辛角为初亏黄道交食甚实纬角【甲庚为食甚两心相距，不系经圏，以其为南北之度，故借名实纬】以丙甲庚斜距黄道交角与九十度相减，余庚甲乙角为复圆黄道交食甚实纬角【此论在交前，地影由甲向乙，月由丙向乙，故戊为初亏，己为复圆。若在交后，地影由乙向甲，月由乙向丙，则己为初亏，其角与九十度相减，戊为复圆，其角与九十度相加】次求得庚甲戊角与庚甲己角等为并径交食甚实纬角。初亏则与庚甲辛角相减，余戊甲辛角即初亏并径黄道交角。复圆则与庚甲乙角相减，余己甲乙角即复圆并径黄道交角也。乃视并径交实纬角小于黄道交实纬角，则初亏复圆在黄道之南北与食甚同。若并径交实纬角转大于黄道交实纬角，则南北与食甚相反。盖太隂近交初亏复圆，一在交前，一在交后，则距纬之南北必变。如乙为中交，食甚地影心在甲，月心在庚，甲庚为食甚实纬，在黄道北。初亏庚甲壬并径交实纬角，小于庚甲辛黄道交实纬角，则初亏亦为纬北，与食甚同。复圆庚甲癸并径交实纬角，大于庚甲乙黄道交实纬角，则复圆变为纬南，与食甚相反也。食甚实纬在黄道南，及食甚在交后者，皆仿此。旣知初亏复圆并径黄道交角，及其在黄道之南北，则与黄道高弧交角相加减为定交角，其理并与上编同。

求白经高弧交角日食三差之法，以黄白二道交角与黄道高弧交角相加减，得白道高弧交角。白道与高弧及白道经圏相交，成正弧三角形，直角对高下差，交角对南北差，余角对东西差。上编言之详矣。今以黄赤二经交角加减黄白二经交角，得赤白二经交角，与赤经高弧交角相加减，得白经高弧交角，对东西差，余角对南北差。盖白道与白道经圏相交，其角必九十度，白经高弧交角即白道高弧交角之余【凡弧角与九十度相减所余为余余角】是用白经高弧交角与用白道高弧交角等。且以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加减，得黄道高弧交角【见前篇】又加减黄白二道交角为白道高弧交角，须加减二次。而黄赤二经交角即黄道赤经交角之余，交食时日必近交，黄白二经交角又即与黄白二道交角等，故以黄赤二经交角与黄白二经交角相加减，得赤白二经交角，则为初亏、食甚、复圆同用之数。至求三限白经高弧交角，止与赤经高弧交角一加减而得之，其法尤为省便也。二经交角加减之法，以黄道之二至、白道之二交为定。盖惟冬夏二至，黄经与赤经合，无交角。冬至后，黄道自南而北，黄经必在赤经西；夏至后，黄道自北而南，黄经必在赤经东。交周初宫、十一宫，在正交前后，白道自南而北，白经必在黄经西【犹黄道冬至后】交周五宫、六宫，在中交前后，白道自北而南，白经必在黄经东【犹黄道夏至后】乃视黄经在赤经西，白经又在黄经西，或黄经在赤经东，白经又在黄经东，则相加得赤白二经交角，东仍为东西，仍为西；若黄经在赤经西而白经在黄经东，或黄经在赤经东而白经在黄经西，则相减得赤白二经交角。黄赤二经交角大则从黄经之向，黄白二经交角大则从白经之向。若两角相等而减尽无。余则白经与赤经合，无交角也。其与赤经高弧交角加减之法，则以日距正午之东西为定。盖惟日当正午，则赤经与高弧合，无交角。午前赤经必在高弧东，午后赤经必在高弧西。乃视赤经在高弧西，白经又在赤经西，或赤经在高弧东，白经又在赤经东，则相加得白经高弧交角。午东亦为限东，午西亦为限西。若赤经在高弧东，而白经在赤经西，或赤经在高弧西，而白经在赤经东，则相减为白经高弧交角。赤白交角小，则午东仍为限东，午西仍为限西。赤白交角大，则午东变为限西，午西变为限东。若两角相等而减尽无余，则白经与高弧合，无交角，即知太阳正当白平象限上。若两角相加适足九十度，则白道在天顶与高弧合。若两角相加过九十度，则与半周相减，用其余，即知白平象限在天顶北也。是法也，不用求黄道高弧交角，而迳求白经高弧交角，入算甚简，而理亦无遗。新法用简平仪绘图，尤为明显，列图如左。

如图甲为天顶乙丙丁戊为地平圏丙己戊为赤道庚己辛为黄道己为春分庚为冬至辛为夏至癸为赤极【即北极】壬为黄极，庚壬。

癸辛为过二至经圏即过二极经圏冬至日行在庚黄赤二经合为一线无交角冬至后日行自南而北黄经必在赤经西渐逺则角渐大至春分而止如日行在子壬子黄经在癸子赤经西壬子癸角为黄赤二经交角即癸子己黄道赤经交角之余春分日行在己【己子壬角九十度】壬己黄经在癸，己赤经西壬。

己癸角为黄赤二经交角与戊己辛二道交角等是为最大过，此又渐小【壬、己、辛、角、戊、己、癸、角】。皆九十度】夏至日行在辛则黄赤二经又合为一线无交角夏至后日行自北而南黄经必在赤经东渐逺则角又渐大至秋分而止如日行在丑壬丑黄经在癸丑己子壬角九十度壬己辛角戊己癸角赤经东壬丑癸角为黄赤二经交角即癸丑辛黄道赤经交角之余【癸丑辛角与寅丑夘】

角等】秋分日行在寅壬寅黄经在癸寅赤经东壬寅癸角为黄赤二经交角与丙寅辛二道交角等过此又渐小至冬至乃复合为一线也至白道之交于黄道亦如黄道之交于赤道但其行度自正交起算交食时日月又必近交故其南北东西及两经交角惟以两交为定设白极在辰正交在午白道自南而北【犹黄道之春分】日行在正交。防如午。

或正交前如子正交后如巳白经皆在黄经西黄白二经交角皆与黄白二道交角为相等【惟日在正交，午防其壬午。辰、黄、白二经交角与庚、午、未、黄、白二道交角等，若在交前如子，交后如巳。其壬子辰与壬巳辰，黄白二经。交角皆微小于二道交角，然所差无多，故为相等与。上编捷法同】此黄经在赤经西。

白经又在黄经西则以黄白二经交角与黄赤二经交角相加为赤白二经交角也设白极在申中交在酉白道自北而南【犹黄道之秋分】日行在中交防，如酉或中。

交前如子中交后如已白经皆在黄经东黄白二经交角亦与黄白二道交角为相等此黄经在赤经西而白经在黄经东则以黄白二经交角与黄赤二经交角相减为赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向白经亦在赤经西也设黄经在赤经西而中交近二至经圏如戌亥戌白经在壬戌黄经东壬戌亥黄白二经交角反大于壬戌癸黄赤二经交角相减余癸戌亥角为赤白二经交角则从白经之向白经转在赤经东也旣得赤白二经交角是为初亏食甚复圆同用之数【初亏至复圆太阳行度无几，故二经交角不改】随时求。

得赤经高弧交角与之加减即得各时白经高弧交角如日行在子是为午后甲子癸角为赤经高弧交角辰子癸角为赤白二经交角此赤经在高弧西白经又在赤经西则相加得辰子甲角为白经高弧交角白经更在高弧西是知太阳在白平象限西也又如日行在己是为午前甲己癸角为赤经高弧交角辰己癸角为赤白二经交角此赤经在高弧东白经在赤经西则相减余甲己辰角为白经高弧交角赤白二经交角大白经为在高弧西是知太阳虽在午东而却在白平象限西也盖惟太阳正当白平象限则白道经圏过天顶与高弧合为一线限东者白经必在高弧东限西者白经必在高弧西是定白经之东西与白平象限一理也又与白道平行作干坎线则辰子坎角为九十度甲子坎角为白道高弧交角与干子艮角等甲子辰白经高弧交角即甲子坎角之余是用白经高弧交角与用白道高弧交角一理也又如癸丁北极出地二十八度赤道距天顶之甲震弧亦二十八度春分巳防在午西夏至前巽防当正午震巽距赤道北二十三度余正交在离巽甲距黄道北又四度余则白道在天顶与高弧合日行在离甲离癸赤经高弧交角与癸离坤赤白二经交角相加得甲离坤白经高弧交角适足九十度盖白经与白道相交其角必九十度白道既与高弧合故白经高弧交角亦九十度也过此以徃北极愈低则白道极北入地平下南出地平上白道即在天顶北白经高弧交角即大于九十度而成钝角则与半周相减余为白道南之经圏与高弧相交之角是不求限距地高而白平象限在天顶之南北俱以白经高弧交角为定也白经在赤经东者仿此求高下差高下差者，日月高下之视差也。日食食甚用时，乃从地心立算，人在地面视之，则有地半径差。而太阳地半径差恒小，太隂地半径差恒大，故于太隂地半径差内减去太阳地半径差，始为高下差焉【见上编日食三差及日月地半径差篇】如日月实高本系同度，而太阳以地半径差之故，视高比实高低五秒；太隂以地半径差之故，视高比实高低三十分，则人之视太隂必比太阳低二十九分五十五秒也。然求两地半径差而后相减，其法甚繁。今按半径一千万与日月距天顶正▯之比，既皆同于地平地半径差与本时地半径差之比【见本编日躔地半径差篇】而全与全之比，又原同于较与较之比，则以半径一千万与日距天顶之正▯之比【交食时日月高弧畧相等，故即以日高弧为月高弧】必亦同于地平高下差与本时高下差之比矣。故今求高下差，唯以本时太隂距地数，求得太隂地平地半径差，内减太阳地平地半径差十秒余，为地平高下差。初亏、食甚、复圆，各以其时日距天顶之正▯为比例，其法甚为省便也。

如图甲为地心乙为地面丙丁为日天戊己为月天假如日在庚实距天顶为丙甲庚角视距天顶为丙乙庚角与丙甲丁角等其差庚甲丁角即地平太阳地半径差与甲庚乙角等甲乙地半径即其角之正▯与庚辛等又如日在壬实高为壬甲丁角视高为壬乙庚角与癸甲丁角等其差壬甲癸角即本时太阳地半径差与甲壬乙角等将壬乙线引长作甲子垂线即其角之正▯与壬丑等甲乙子勾股形子角为直角乙角与丙乙壬角为对角即太阳视距天顶之度甲乙即地平太阳地半径差之正▯甲子即本时太阳地半径差之正▯因其边度甚小正▯与弧线可以相为比例则甲乙即为地平太阳地半径差与庚丁弧等甲子即为本时太阳地半径差与壬癸弧等故以子直角正▯与乙角正▯之比即同于地平太阳地半径差甲乙与本时太阳地半径差甲子之比也假如太隂在寅实距天顶为寅甲戊角视距天顶为寅乙戊角与已甲戊角等其差寅甲巳角即地平太隂地半径差与甲寅乙角等甲乙地半径亦其角之正▯【甲乙同为地半径甲庚日天半径大，故角小；甲寅月，天半径小，故角大】与寅夘等又如月在辰实高为辰甲己角视高为辰乙寅角与巳甲己角等其差辰甲巳角即本时太隂地半径差与甲辰子角等甲子亦其角之正▯与辰午等因以正▯作弧度则甲乙即地平太隂地半径差与寅己▯等甲子即本时太隂地半径差与辰巳弧等故以子直角正▯与乙角太隂视距天顶正▯之比亦同于地平太隂地半径差甲乙与本时太隂地半径差甲子之比也试以日天半径与月天半径为甲乙同为地半径甲庚日天半径大故角相等而比较之【日、天、月、天半径不等。故地半径虽等，而差角不等。今以日天半径与月天为相等，则差角之不等者，其正▯亦不等，乃可相较。

也】自地平太阳实高线割月天之未防与乙庚视高线平行作未申线则甲未申角与甲庚乙角等甲申即地平太阳地半径差【甲申本系甲未申角之正▯，因以正▯作弧度，则甲申正。▯与未已弧等，而月天之未已弧与日天之庚丁弧。同当庚甲，丁角其度相等，故甲申即为地平太阳地。

半径差】与甲乙地平太隂地半径差相减余申乙即地平高下差【甲乙，当寅已弧；甲申，当未巳弧】乙申，当寅未弧】自本时，太阳实高。

线割月天之酉防与乙壬视高线平行作酉申线引长至戌则甲酉戌角与甲壬乙角等甲戌即本时太阳地半径差与甲子本时太隂地半径差相减余戌子即本时高下差与申亥等【甲子当辰巳弧，甲戌当酉巳弧，子戌当辰酉弧】申乙亥与甲乙子为同式。

形故以亥直角正▯与乙角日距天顶正▯之比亦即同于地平高下差申乙与本时高下差申亥之比也右求高下差以半径与太阳视距天顶之正▯为比例今日食所推太阳高弧乃实距天顶之度而即以其正▯比例高下差者盖实高与视高所差无多故借用之自来实高视高相求皆同一地半径差加减互用不列二表也如细辨之地平太阳实高在丁太隂实高在已丁乙庚角为地平太阳地半径差与甲丁乙角等甲乙地半径为其角之切线当庚丁弧巳乙辛角为地平太隂地半径差与甲己乙角等亦以甲乙地半径为其角之切线当辛巳弧前以地半径为其角之正▯此以地半径为其角之切线其角度虽有微差然最大者不过半秒愈高则愈小故亦以弧度为比例而甲乙即为地平太阳地半径差亦即为地平太隂地半径差也本时太阳实高在壬太隂在癸壬乙子角为本时太阳地半径差与甲壬乙角等乙丑为其角之垂线当子壬弧癸乙寅角为本时太隂地半径差与甲癸乙角等亦以乙丑为其角之垂线当寅癸弧丑壬之长小于甲壬丑癸之长小于甲癸则角度必较弧度为稍大盖视高低于实高其大固宜然所差甚微故亦以弧度为比例而乙丑即为本时太阳地半径差亦即为本时太隂地半径差也试自地平太阳视髙线割月天之卯防与甲丁实高线平行作卯辰线则乙夘辰角与甲丁乙角等乙辰当辛夘弧即地平太阳地半径差以乙辰与地平太隂地半径差甲乙相减余甲辰当夘已弧即地平高下差自本时太阳视高线割月天之巳防与甲壬实高线平行作巳辰线则乙巳辰角与甲壬乙角等乙午当寅巳弧即本时太阳地半径差以乙午与本时太隂地半径差乙丑相减余午丑与辰未等当巳癸弧即本时高下差甲乙丑与甲辰未为同式形丑未二角为直角甲角为日月实距天顶之度故以直角正▯与实距天顶正▯之比同于地平地半径差甲乙与本时地半径差乙丑之比亦同于地平高下差甲辰与本时高下差辰未之比也今日食用简平仪法求地面日影心之所在皆用实高比例高下差设日实高在丁则正射地心照至地面酉防之影当月天巳防之度照至地面乙防之影当月天夘防之度是酉乙地面上应日天实距天顶之丙丁弧而其当月天之度则为夘巳高下差也设日实高在壬则正射地心照至地面申防之影当月天癸防之度照至地面乙防之影当月天巳防之度是乙申地面上应日天实距天顶之丙壬弧而其当月天之度则为巳癸高下差也若以地平高下差为半径作地面平圆则甲乙即夘巳之度为地平　　　　　　　　　　　　　　　【等】高下差当乙酉地【以地球为平面，则地面之弧与正▯等。甲乙为乙酉。】弧之正▯，故甲乙当乙酉弧】面与日天之丙丁弧等乙丑即巳癸之度为本时高下差当乙申地【乙丑为乙申弧之正▯，故乙丑当乙申弧】面与日天之丙壬弧等，由此推之时时实距天顶之度在地面皆与本时高下差【实距天顶之度，原与地面之弧度等。简平仪以地球为平面，则地面之弧，又与地面之正▯等，今地面之正▯既为高下差，故实距天顶之度，即与高下。差等】故随高弧之所向，以高下。

差之度自圆心取之即日影心之所在随白经之所向以实纬之度自圆心取之即月影心之所在此所以用实高为比例于视差之理尤为显而易明也差等求日食，食甚真时，及两心视相距。日食求食甚真时及食甚视纬，《新法算书》用浑天仪法，以食甚用时之东西差与食甚近时之东西差相较，得视行，以用时之东西差比例得时分，与食甚用时相加减【限西加，限东减】而得食甚真时；以真时之南北差与食甚实纬相加减【白平象限在天顶南，纬南则加，纬北则减；白平象限在天顶北，纬南则减，纬北则加】而得食甚视纬。上编言之详矣【见《日食三限时刻及求食甚真时食甚视纬》篇】然其求真时也，必求太隂视行正当实纬之度，乃以视行之道与白道为平行，故与实纬成直角，而视纬与实纬必合为一线也。夫近时之东西差与用时之东西差既不等【因白道髙弧交角及高下差不同之故】则南北差亦不等，而视行即不与白道平行；视行既不与白道平行，则实纬即不与视行成直角，而日月两心相距最近之线亦不与实纬合为一线矣。近日西法用简平仪绘图算【浑仪从上视如观平面，是为简平仪】以本日地平高下差【本日地平，日月两地半径差相减余为本日地平高下差】为半径作平圆【即地径当月天之度】即地受日照之半面，上应浑天半周，圆心即日射地面至地心之防。以人视日，则人所处之地面即日影心；以日照月，则月所当之地面即月影心。假令人所处之地面正在圆心，则必见日当天顶，又正当子午圏，而月之实纬即日月两心视相距外，此则日影心之所在，随时随地不同。若日影心与月影心同防，则必见日全食；若日影心与月影心之相距大于并径，则不见食。故先以食甚用时求其两心视相距，复设一时【限西向后设，限东向前设】亦求其两心视相距，以此两视距线及所夹之角，求其对边为视行。自日影心至视行作垂线，与视行成直角，是为两心相距最近之处月影心临此直角之防，即为食甚真时。因垂线不与实纬合，故不曰视纬，而曰两心视相距。然后以所得真时复考其两心视相距，果与所求垂线合，则食甚真时即为定真时；不然，则又作垂线求之。盖太隂视差时时不同，其视行之道既不与白道平行，又不能自成直线，其两心视相距最近之线不与白道成直角，而与视行成直角【两心实相距不与白道成直角，而与斜距成直角；两心视相距又不与斜距成直角，而与视行成直角。今法与旧法之不同，在此】故反覆推求，务得太隂正当视行直角之防，斯为两心最近之处，而食甚乃为确凖也。是法也可以图代算，可以一图而知各地见食之不同，新奇精巧，与旧法迥殊。然其理无不可以相通。盖旧法以浑测浑，可实指其东西南北之差，而视行之法甚简；新法写浑于平，可实稽其实距视距之异，而视差之理尤精。今以新法合旧名，义防观而详觧之，则理之确者以并观而并明，法之奇者因相较而益显。庶观者由旧径以适新途，不致有捍格之势；而算者取新规以合旧范，更坐収密合之方矣。

如雍正八年庚戌六月戊戌朔日食太隂实引初宫八度四十七分三十一秒四○地平地半径差五十三分五十九秒九○内减太阳地平地半径差十秒余五十三分四十九秒九○为本日地平高下差以此为干坎半径作坎艮震巽平圆【以五十三分作五寸三分，以四十九秒九○通作八厘三毫，绘图用四分之一，后仿此】即地球受日照之半面上。

应浑天半周而其当月天之度则为五十三分五十秒【四十九秒九○进为五十秒，入算仍用小余，他仿此】故以地球上应浑天之度而论则干为日照地面之正中距圆界各九十度【以地球为平面，则地面之弧与正▯等，半径为九十。度之正▯，故半径即九十度】假令人在圆心干则见日当天顶又当正午坎震赤道径圏即其地之子午圈艮巽即其地之夘酉圏坎为北震为南艮为东巽为西若人在圆界则见日当地平在坎震线之西者见日为午前在坎震线之东者见日为午后自是以外则见日之高下随地不同要以人所处之地面为日影心上应本处天顶人距日照地面正中之度即日距天顶之度而以地面所当月天之度而论则地之半径与地平高下差等人距日照地面正中之度与本时高下差等故随高弧之所向以本时【见前高下差篇】高下差之度。

自圆心取之即人所处之地面亦即本时之日影心随白经之所向以月实纬之度自圆心取之即本时之月影心夫月影心当月天之度即太隂之实纬度见前高下差篇而日影心当月天之度不为太阳之实高度而为太阳之视高度则地面日月两影心之相距因高下差而殊而食甚之早晚食分之浅深所以因视差而变者皆可按图而稽矣乃以本时日距赤道北二十一度三十八分一十二秒○二取艮离巽坤之分【即离干艮】角与坤、干、巽角等】作离坤线截赤道经圏于兑作艮兑巽弧为赤道则兑干即日距赤道北之纬度又作甲干乙弧为赤道距等圈即太阳随天西转之轨又以坎艮九十度之分自离截圆界于丁自坤截圆界于丙作丙丁线截子午圈于戊则戊防为北极戊兑为九十度戊干为日距北极六十八度二十一分四十七秒九八又以本时黄赤二经交角九度二十一分二十秒五七，取坎干己角【本时日，在夏至后，黄经在赤经东，故向东取】作己庚。

线为黄道经圏自干与己庚线取直角作辛干线为黄道辛为秋分干辛为日距秋分前六十七度四十二分五十四秒四三是时京师食甚用时为午正二刻九分五十八秒九五日距午西赤道度为九度五十九分四十四秒二五则京师地面必在坎震线之东故以用时赤经高弧交角二十二度四十三分八秒三九取戊干壬角以用时日距天顶二十度九分四十八秒二七之高下差一十八分三十三秒三四取壬干之分作壬干线自戊向壬作戊壬癸弧则壬防为京师之地面即用时之日影心上应京师天顶壬干为用时日距天顶之高弧在地则与用时高下差等戊壬癸为京师子午圏戊壬为京师北极距天顶五十度五分戊角为用时日距午西赤道度【戊干壬角】及干壬弧俱用戊干壬三角形求之而得】又以斜距黄道交角五度四十四分五十五秒二九取已干子角作【白二经交角本时月在中交前白经。

在黄经】丑寅线为白道经圏以【东，故向东取】月实纬距黄道。

北二十三分二十八秒四五自干向北截之于子与丑寅线取直角作夘辰线为白道则子防为【即斜距经圏】用时月。

影心壬子即用时日月两影心视相距乃用干壬子三角形干子为食甚用时日月两心实相距干壬为用时高下差以己干丑黄白二经交角与坎干己黄赤二经交角相加得坎干丑角一十五度六分一十五秒八六为赤白二经交角本时【即两经斜距】月在中交前【黄经在赤经东，白经又在】【未初初刻为设】与坎、干、壬、赤、经、高。

弧交角相减余丑干壬角七度三十六分五十二秒五三为用时白经高弧交角即用时对两心视相距角【时黄经东，故相加赤经在高弧西，白经在赤经东故相减，赤白交角小】用切线分外角法求得壬角一百四十六度三十四分二秒○七为用时对两心实相距角又求得壬子边五分三十八秒七四为用时日月两影心视相距此时白经实距在高弧西月影心必在日影心之西则食甚用时尚在食甚前也次向后取【白经仍在高弧西，白经在高弧西。】月影心差，而西用时尚在食甚前，故向后设。若白经。在高弧东，月影心差而东，用时已过，食甚后则向前。

设】以设时赤经高弧交角三十一度三十三分一秒七三取戊干己角以设时日距天顶二十二度一十七分四十二秒二六之高下差二十分二十五秒三五取干己之分作干己线自戊向已作戊己弧则己点为设时日影心干己为设时日距天顶之高弧在地则与设时高下差等戊己即京师北极距天顶五十度五分，与戊壬等【太阳本随距等圏西转，今以太阳为不动，则影向东移，亦与赤道成距等圏，其距北极皆相等】己戊干角即设时日距午西一十五度【戊、干、己、角及干、巳、弧俱用戊、干、巳三角形求之】而得】次以设时，距用时二十分。

一秒○五与一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例得用时至设时之月实行为九分六秒自子向东截之于午则午防为设时月影心午子为设时距弧午干子角为设时【月由白道东行，设时在用时后故距弧向东取】对距弧角二十。

一度一十一分二十秒九九午干为设时两心实相距二十五分一十秒五八己午为设时，日月两影，心视【午干子角及午】。干弧俱用午干子三角形求之而得】相距乃用己干午三角形以坎干己设时赤经高弧交角与坎干丑赤白二经交角而得月由白道东行设时在用时后故相减余丑干己角一十六度二十六分四十五秒八七为设时白经高弧交角【加减之理，与用时白经髙弧交角同】与午干。

子对距弧角相减余巳干午角四度四十四度三十五秒一二即设时对两心视相距角【月在黄道北，白经在高弧西，对距弧角大，则实距在高弧东；对距弧角小，则实距在高弧西，白经在高弧东者，仿此】用切线分外角法求得巳角一百五十五度五十七分四十六秒四○为设时对两心实相距角又求得己午边五分六秒六五为设时两心视相距此时实距在高弧东月影心必在日影心之东则设时巳过食甚后而食甚真时之月实行必在子午二▯之间矣于是与巳午线平行作壬未线与巳午等为设时两心视相距又与巳干平行作壬申线为设时高弧则未壬申角与午巳干角等以丑干壬用时白经高弧交角与丑干巳设时白径高弧交角相减余壬干巳角八度四十九分五十三秒三四为两白经高弧交角较与干壬申角等与干壬子用时对两心实相距角相减余申壬子角一百三十七度四十四分八秒七三为设时高弧交用时视距角与未壬申角相加未壬申角与午【角相加】【未壬申角与午】【巳干角等即对设时两心实相距角】得二百。

九十三度四十一分五十五秒一三与三百六十度相减余未壬子角六十六度一十八分四秒八七为对设时，视行角【用时实距在高弧西。设时实距在高弧东，两角与高弧相背，故相加；若同，在高弧之一边，则相减。又用时设时，两月影心俱在。日影，心之北两角与两视距相背，俱为钝角，故相加。即过一百八十度，与全周相减，方为两视距所夹之。

角】乃用未壬子三角形壬子为用时两心视相距壬未为设时两心视相距未壬子角为所夹之角用切线分外角法求得子角五十二度二十九分四十五秒六九为对设时视距角又求得子未边五分五十三秒九五为设时视行次自壬作壬酉垂线与子未视行成直角则壬酉相距为最近故用壬子酉直角形求得子酉分边三分二十六秒二三为真时视行以子未设时视行与设时距分二十分一秒○五之比即同于子酉真时视行与真时距分一十一分三十九秒八○之比与食甚用时相加得午正三刻六分三十九秒为食甚真时【食甚用时，白经在高弧西，月影视在西，真时在用时。后故加，若白经在高孤东，月影视在东，真时在用时。

前则减】又求得壬酉垂线四分二十九秒即食甚真时两心视相距也夫京师之地面一也旣以人所处之地面为日影心而用时日影心在壬设时日影心在已其故何也？盖人之【此图用三分之一】所处原有定在而太阳随天西转其所照之地面时时不同设时太阳旣转而西人在壬视之则干防亦移而西矣今仍就原干防立算则人之视日如在己视干是非人所处之地面改也日之所照者改也若就一壬防立算则设时日照地面正中之防随距等圏西转至申白道经圏西转至戌戊申为太阳距北极与戊干等申戌为距纬与子干等戊申戌角此图用三分之一为赤白二经交角与戊干丑角等戊壬为京师北极距天顶与戊巳等申戊壬角为设时日距午西赤道度与干戊巳角等戊申壬角为设时赤经高弧交角与戊干巳角等申壬为设时太阳距天顶即设时高下差与干已等戌申壬角为设时白经高弧交角与子干巳角等戌未为设时距弧与子午等未申戌角为设时对距弧角与午干子角等壬申未角为设时对两心视相距角与巳干午角等人在壬视之则日影心总在壬而用时则见月影心在子设时则见月影心在未是自用时至设时见月影心循子未线行故子未为设时视行夫子未视行线既不与白道平行则壬酉两心相距最近之线即不与白道成直角而与视行成直角故以月影心临于酉防为食甚真时以壬酉垂线为食甚两心视相距也然则与旧法之可以相通者何也盖旧法从太隂取高下差今从日影心当月天之度取高下差形象虽殊理数则一试与白道平行作壬亥水线与白经平行作壬火木线及未土线则壬亥即用时东西差干亥即用时南北差与干子相减余亥子用壬亥子勾股形亦可求壬子边壬水即设时东西差申水即设时南北差以申水与申戌相减余壬火【壬火与水戌等】以壬水与戌未距。

弧相减余火未用壬火未勾股形亦可求壬未边壬亥与火未相加得子土【壬亥与子木等火，未与木土等】壬火与亥子。相减余未土【亥子与壬木等，火木与未土等】用子未土勾股形亦可求子未边既得三边则用壬子未三角形亦可求中垂线矣是则与旧法之可以相通者然也然则与旧法之所以异者何也按旧法当以壬水设时东西差与戌未设时距弧相减【旧法以用时东西差为距弧，故即以两东西差相减】余。

火未与子木用时东西差相加【火未与木土等，子木与壬亥等】得子。

土为设时视行乃以白道度算故以太隂视行经度临于白道木防为食甚真时壬木线与白道成直角今以子未为设时视行不以白道度算故以月影心临于酉防为食甚真时壬酉线不与白道成直角而与子未视行成直角是则与旧法之所以异者然也然则设时与近时之不同何也盖旧法以木防为白道当太阳之度故先求实行至木防之时刻为近时而近时视行又不正当木防故又以近时视行与近时距分为比例而得食甚真时今以实行至未防之时刻为设时故以设时视行与设时距分为比例而得食甚真时其所不同者惟在视行与白道平行不平行之殊若均以视行为不与白道平行立算则或用设时或用近时其所得真时正自相同也然则简平与浑天之同异何也盖浑天以仰观立算故以太隂当日天之度为视差简平以俯视立算故以太阳当月天之度为视差今干申二防之影自日心正射地心乃太阳实高当月天之度壬防之影自日心照至地面乃太阳视高当月天之度【见前高下差篇】故壬干壬。

申皆为高下差夫太阳视高旣当月天壬防而用时月心原在月天子防设时月心原在月天未防故壬子壬未即皆为日月两心视相距是以日天当月天之度算也若以月天当日天之度而论则用时月天壬防之度当日天之干而太隂子防即当日天之亢故子亢为用时高下差与干壬等干亢为用时两心视相距与壬子等设时月天己防之度当日天之干而太隂午防即当日天之氐故午氐为设时高下差与干己等干氐为设时两心视相距与己午等亦与壬未等而亢氐亦与子未等是简平与浑天本属一理但自圆外观耳如以圆内仰观立算则上为北下为南东西犹旧【此以白平象限在天。顶南而论，如白平象限，在天顶北，则上为南，下为北。东西相反】用时，日心在干，月心。

实高在子视高在亢子亢为用时高下差一十八分三十三秒三四【此图用全分】干。

子亢角为用时白经高弧交角七度三十六分五十二秒五三与子亢房角等子房为用时东西差二分二十七秒五三与亢斗等房亢为用时南北差一十八分二十三秒五二与子斗等以子斗与子干二十三分二十八秒四五相减余斗干五分四秒九三用干斗亢勾股形求得干亢▯五分三十八秒七四为用时两心视相距设时日心仍在干月心实高在午视高在氐午氐为设时高下差二十分二十五秒三五午氐牛角为设时白经高弧交角一十六度二十六分四十五秒八七牛午为设时东西差五分四十六秒九一牛氐为设时南北差一十九分三十五秒二二与子女等以牛午与子午设时实距弧九分六秒相减余子牛三分一十九秒○九为设时视距弧与女氐等以子女与子干相减余女干三分五十三秒二三用干女氐勾股形求得干氐▯五分六秒六五为设时两心视相距次以女氐设时视距弧与亢斗用时，东西差相加【女氐与斗】

虚等】得亢虚五分四十六秒六二为用设二时视距和以房亢用时南北差与牛氐设时南北差相减余虚氐一分一十一秒七○为用设二时纬差较用亢氐虚勾股形求得亢氐▯五分五十三秒九六为设时视行次用干亢氐三角形求中垂线分为两勾股法求得亢危分边三分二十六秒二四为真时视行干危垂线四分二十九秒为真时两心视相距【干亢、干氐两腰】各自乘相减，以亢氐勾和除之，得勾较与勾和相加。折半得亢，危大勾勾▯，求股得干，危垂线】其数皆与前同是东西南北差与实距视距一理也如用近时之法算之先以子房用时东西差二分二十七秒五三取子甲之分为近时实距弧以一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例而得近时距分五分二十四秒五二为太隂行子甲弧之时分【即近时距用时之时分】与食甚用时午。

正二刻九分五十八秒九五相加【用时月在白平象限西视经度差而西近时，在用时后，故加。若月在白平象限，东视经度。差而东，近时在用，时前则减】得午正三。

刻零二十三秒四七为食甚近时即太隂行至甲防之时刻惟时太隂实高在甲视高在乙甲乙为近时高下差一十九分零百分秒之三十七按法求得甲乙丙角一十度一十二分一秒九二为近时白经高弧交角甲丙为近时东西差三分二十一秒九五丙乙为近时南北差一十八分四十二秒三五与子丁等以子甲近时实距弧与甲丙近时东西差相减余子丙五十四秒四二为近时视距弧在实纬西【即近时视行距实纬之弧，月在白平象限西，视经度差而西而东西差大于实距弧，故为纬西；若小于实距弧，则为纬东月在限东反是】与乙丁等以子丁近时南北差与子干实纬二十三分二十八秒四五相减与丁干四分四十六秒一○用干丁乙勾股形求得干乙▯四分五十一秒二三为近时两心视相距次以子丙近时视距弧与子房用时东西差相减余丙房一分三十三秒一一与亢戊等为用近二时视距较【用时】东西差与近时视距弧同。在纬西故相减为视距较，若一东一西则相加为视。

距和】以房亢用时南北差与丙乙近时南北差相减【房亢与丙戊等】余戊乙一十八秒八。

三为用近二时纬差较用亢戊乙勾股形求得亢乙▯一分三十四秒九九为近时视行【即近时距用时之视行】次。

用干亢乙三角形求形外垂线补成两勾股法求得亢已分边三分二十五秒○三为真时视行【即真时距用时】

之视行】以亢乙近时视行与近时距分五分二十四秒五二之比同于亢已真时视行与真时距分一十一分四十秒四六之比【即真时距】用时之时分】与食甚用时相加。【限西故加，限东则减，与近时同】得午正三。

刻六分三十九秒为食甚真时又求得干己垂线四分二十九秒为真时两心视相距【干亢，干乙两腰各自乘相减，以亢乙为法除之，得数大于亢乙，则所得为两勾和，而亢乙。为两勾较，故知垂线在形外。若有得之数小于除之。之数，则所得之数为两勾较，而除之之数为两勾和。即知垂线在形内，若除得之数与除之之数等，则知小腰即系垂线成直角也】其数与用设时所得同是用近时与用设时一理也乃以真时午正三刻六分三十九秒按前法求其实高在庚视高在辛干辛两心视相距果为四分二十九秒与前所求垂线合而辛角犹未为直角故又求得乙辛边一分五十秒四九为考真时视行乙壬边五十一秒○二为定真时视行干壬垂线仍为四分二十九秒为定真时两心视相距以乙辛与考真时距分六分一十五秒五三之比【即真时距近时】

之时分】同于乙壬与定真时距分六分一十七秒三二之比与近时相加得午正三刻六分四十秒七九【进为四十一秒】始为食甚定真时焉。

盖食甚时两心视相距之线与视行成直角故前后数秒之间其相距皆相等若秒下加小余细考之则午正三刻六分四十一秒之时相距为四分二十九秒二三八九其三十九秒之时则相距犹为四分二十九秒二三九九至四十三秒之时则相距又为四分二十九秒二三九一故以四十一秒之时为相距尤近然测▯之际至分巳密故推算之法总以三十秒进一分秒下之小余原可不计今考之又考者第以求其确凖耳若用新数而以视行与白道为平行算之则早三分有奇故今推视行之法尤为精宻至求近时则犹求设时之法也求视差则犹求视距之法也理无殊涂法归一致庶几质诸徃昔而无疑用【之推步而不忒矣】

求日食初亏复圆时刻【一时为】日食求初亏复圆时刻，先以食甚视纬为一边，并径为一边，以视纬交白道之角为直角，用正弧三角形法，求得初亏复圆距食甚之弧，以一小时月距日实行比例得时分，与食甚真时相加减为初亏复圆用时。次以初亏复圆用时各求其东西差，与食甚真时之东西差相较，得初亏复圆视行与初亏复圆距弧比例得时分，与食甚真时相加减为初亏复圆真时。上编言之详矣【前设时求其两心视相距方位附见食食三限】今食甚真时两心视相距与视行成直角，初亏复圆距食甚之弧亦即视行之度，则求初亏复圆用时以食甚视行为比例，较之以月距日实行为比例者必为近之。且初亏复圆用时之东西差旣不与食甚真时等，则南北差亦不等。虽以初亏复圆视行比例得时分，而其时之两心视相距亦未必与并径等。然则即以视行比例之时分与食甚真时相加减，犹未必即为初亏复圆真时也。近日西【时刻及求初亏复圆用时真时篇】法，初亏复圆各设【太隂在限西食甚真时在用时后，如食甚用时两心视相距与并径相去不逺，则以食甚用时为初亏前设时，小则向前设，大则向后设；太隂在限东食甚真时在用时前，如食甚用时两心视相距与并径相去不逺，则以食甚用时为复圆前设时，小则向后设，大则向前设】又设一时为后设时，亦各求其两心视相距【前设时两心视相距小于并径，初亏向前设，复圆向后设；大于并径，初亏向后设，复圆向前设】乃以两视距之较为一率，两设时之较为二率，后设时两心视相距与并径之较为三率，求得四率为初亏复圆真时距分，与初亏复圆后设时相加减得初亏复圆真时【前设时两心视相距小于并径，初亏减复圆加；大于并径，初亏加复圆减】然后又以真时各考其两心视相距，果与并径等，方为定真时焉。盖初亏两周初切，复圆两周初离，日月两心视相距必与并径等，故务求其恰合，而初亏复圆乃为确准也。虽其数比旧法所差无多，而其理甚为细宻。至于设时之法，则亦犹食甚用时近时之义耳。今亦如食甚之次第，先求初亏复圆用时【即前设时】次求初亏复圆近时【即后设时】俾学者知设时之准，而其求两心视相距与以两视距比例时分，则犹是设时之法也。旣得初亏复圆两心视相距与并径等，则求得并径与高弧相交之角，即为方位角，图说并详于左。

如雍正八年六月戊戌朔日食日月实并径三十分一十八秒六五食甚用时午正二刻九分五十八秒九五干甲两心实相距在黄道北二十三分二十八秒四五甲乙两心视相距五分三十八秒七四小于并径逺甚故向前取午初初刻四分为初亏前设时与食甚用时相减余一时三十五分五十八秒九五与一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例得四十三分三十八秒