御制厯象考成后编卷二

御制厯象考成后编卷二

月离数理月离总论太阴本天面积随时不同太阴本天，心距地及最高行，随时不同。

求初均数求一平均求二平均求三平均求二均数求三均末均求交均及黄白大距地半径差月离总论古歴皆谓月一日行十三度十九分度之七出入日道不逾六度。东汉贾逵始言月行有迟疾。至刘洪列为差率。元郭守敬乃定为转分进退时各不同，犹今之初均数。而其出入日道之大距则仍恒为六度也。新法算书初均而外又有二均、三均、交均。葢因朔望之行有迟疾，故有初均两▯。又不同于朔望，故有二均两▯。前后又不同于两▯，故有三均。此经度之差也。朔望交行迟而大距近两▯，交行疾而大距逺，故有交均。此交行之差，而亦纬度之差也。上编言太阴行度有九种：一曰平行，二曰自行，三曰均轮行，四曰次轮行，五曰次均轮行，六曰交行，七曰最高行，八曰距日行，九曰距交行。其实均轮行、自行度、次轮、次均轮皆行月距日倍度，则九种行度之中又止六种而巳自西人刻白尔创为撱圆之法，専主不同心天，而不同心天之两心差及太阴诸行，又皆以日行与日天为消息。故日行有盈缩，则太阴平行、最高行、正交行皆因之而差，名曰一平均。日距月天最高有逺近，则太阴本天心有进退，两心差有大小，而平行面积亦因之而差，名曰二平均。其最高之差，名曰最高均。又白极绕黄极而转移，则白道度有进退，而太阴之在白道亦因之而差，名曰三平均。此四者皆昔日之所无，而刻白尔以来柰端等屡测而创获者也。夫两心差既有大小，则月距最高虽等而迟疾之差不等，故分大、中、小三数，而仍名曰初均。朔望而外，其差之最大者不在两▯，而在朔▯、▯望之间，仍名曰二均。又月高距日高与月距日之共度，半周内恒差而疾，半周外恒差而迟，仍名曰三均。又朔后恒差而迟，望后恒差而疾，因月高距日高之逺近，其差不等，别名曰末均。又日在交后一象限则交行疾，日在交前一象限则交行迟，仍名曰正交均。此五者，末均为昔日之所无，其余诸均亦名同而数异，皆刻白尔以来，噶西尼等屡测而改定者也。至于黄白交角【即大距度】新法算书朔望最小两▯最大，今则谓日在交▯，交角大，前后皆小，朔望尤小；日在大距，交角小，前后皆大，两▯尤大。似皆与新法算书不同，然用以推歩交食，则皆与实测合，而与新法算书亦相去不逺。计其行度，一平均用日引度，二平均最高均用日距月最高之倍度，三平均正交均用日距正交之倍度。初均仍用自行度，二均仍用月距日倍度，三均末均用月距日兼月高距日高度。交角用日距正交兼月距日度，较旧用行度多四种：一曰日引，二曰日距月最高，三曰日距正交，四曰月高距日高，则其行度共行种矣。今考其表中所列，诚皆实测之数，而要不离乎本天高卑中距四限与朔望两▯前后参互比较而得之。兹为总举其端，而各具测算之法于后，庶学者知其立法所自来，而推歩考验咸可通其条贯云。

太阴本天面积随时不同太阴初均数生于两心差。两心差不等，则均数亦不等。然于平行无与也。自刻白尔以本天为撱圆，以平行为面积，则两心差不等而撱圆之面积与太阴之平行亦因之不等。盖两心差大者，小径之数小，而面积亦小；两心差小者，小径之数大，而面积亦大。故分撱圆之度数虽同，而度之面积各异。非先求其面积，无以求度数也。今取两心差之大、中、小三数，求其小径及面积，以定平行，而后均数可得而推也。

如图甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲丙为倍差丁戊己庚撱圆为太阴本天乙丁为大半径一千万乙戊为小半径甲戊丙戊皆与乙丁大半径等以甲戊为▯甲乙为勾求得股即乙戊小半径也以乙丁大半径求得丁辛己壬平圆积以乙辛与乙戊为比例即撱圆全积也用度分秒数除之即得一度一分一秒之积也以庚戊小径与丁己大径相乗开平方折半即乙癸中率半径也其理皆与日躔同惟两心差随时不同则小径与面积皆各异具列于左最大两心差　　　　　　六六七八二○小径，九九七七六七五【小余九○】中率半径，九九八八八三一【小余七二】中率半径方，九九七七六七五九○四一一七二；撱圆全积，三一三四五七九三二八四四五六七。九十度积，七八三六四四八三二一一一四二。一度积，八七○七一六四八○一二四。一分积，一四五一一九四一三三五。

一秒积　　　　　　　　　　二四一八六五六八九中数两心差　　　　　　五五○五○五小径，九九八四八三五【小余七一】中率半径，九九九二四一四【小余九八】中率半径方，九九八四八三五七一四四七一○；撱圆全积，三一三六八二八六四九二○三九六。九十度积，七八四二○七一六二三○○九九。一度积，八七一，三四一，二九一，四四六。一分积，一四五二二三五四八五七。

一秒积　　　　　　　　　　二四二○三九二四八最小两心差　　　　　　四三三一九○小径，九九九○六一二【小余九二】中率半径，九九九五三○五【小余三六】中率半径方，九九九○六一二九一五三二七一；撱圆全积，三一三八六四三六一○三七八六七。九十度积，七八四六六○九○二五九四六七。一度积，八七一八四五四四七三二七。一分积，一四五三○七五七四五五。一秒积，二四二一七九二九一，太阴本天心距地及最高行随时不同。太阴之行有迟疾，由于本天有高卑，其説一为不同心天，一为本轮与太阳同西。人第谷以前定本轮半径为本天半径千万分之八十七万，即不同心天之两心差，其最大迟疾差为四度五十八分二十七秒。第谷用其法，惟中距与实测合，最高前后则失之小，最卑前后则失之大。因将本轮半径三分之存其二，分五十四万为本轮半径，取其一分二十七万为均轮半径。其高卑之数，迟疾之差虽各有不同，而其距地之有定数，最高之有常行则一也。自刻白尔创为撱圆之法，専主不同心天，而不同心天之两心差及最高行又随时不同。惟日当月天中距时，最大迟疾差为四度五十七分五十七秒，两心差为四三三一九○，倍差即为八十六万有竒，与旧数相去不逺。若日当月天最高，或当月天最卑，则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒，两心差为六六七八二○。日厯月天高卑而后，两心差渐小；中距而后，两心差渐大。日距月天高卑前后四十五度，两心差适中。又日当月天高卑时，最高之行常速，至高卑后四十五度而止；日当月天中距时，最高之行常迟，至中距后四十五度而止，与日月之盈缩迟疾相似，而周转之数倍之。是则太阴本天之心，必更有一均轮，以消息乎两心差及最高行之数。因以地心为心，以两心差最大最小两数相加折半，得五五○五○五为最高本轮半径；相减折半，得一一七三一五为最高均轮半径。均轮心循本轮周右旋行，最高平行度；本天心循均轮周右旋行。日距月最高之倍度，用切线分外角法求得地心之角为最高均数，即最高行之差；求得两心相距之边为本天心距地数，即本时之两心差也。今考其表中所载，其最大迟疾差不在中距最高前后九十度多，最卑前后九十度少，与上编小。轮之理同，其求两心差，则在本天高卑之适中，而亦不正九十度，与本编日躔之理同；而其测量诸均数，则必在高卑中距或高卑中距之间，其数乃整齐而易辨。要之，测得高卑中距之差，则两心差之数巳见；而求得两心差之数，则高卑中距之差悉合矣。如甲为地心，乙为太阴本天心，丙为最高，丁为最卑，戊己为中距【戊己乃实行之中距，非平行之中距，因朔望相对，故借实行以明之】设日天最高当月天最高丙，太阳在最高后中距戊，太阴亦在戊，合朔测得太阴实行比平行少四度四十五分四十一秒。

太阴在最高前中距己，望测得太阴实行比平行多五度九分二十一秒。又设太阳在最高前中距己，太隂亦在己，合朔测得太阴实行比平行多四度四十五分四十一秒。太阴在最高后中距戊，望测得太隂实行比平行少五度九分二十一秒。两测太隂在戊实行皆比平行为少，太阴在己实行皆比平行为多，是知太阴在最高后则减，最高前则加，为初均之故矣。然太阳在戊则少数小，多数大；太阳在己则少数大，多数小。是必另有一均，因太阳在戊而加，在己而减者，若不因太阳之故，则太隂在戊为减，在己为加，其数必相等也。于是以大小两数相减，折半得一十一分五十秒，别为一平均，以减大数，加小数，得四度五十七分三十一秒，为日距月天最高前后九十度时，月距最高前后九十度之初均数，最高后为减，最高前为加也。又设日天最高当月天最高后中距戊，太阳在最高戊，太阴在最高后中距戊，合朔测得太阴实行比平行少四度五十九分五十六秒，太阴在最高前中距己，望测得太阴实行比平行多四度五十五分六秒。又设日天最高当月天最高前中距己，太阳在最高己，太阴在最高前中距己，合朔测得太阴实行比平行多四度五十九分五十六秒，太阴在最高后中距戊，望测得太阴实行比平行少四度五十五分六秒。两测太阴在戊实行皆比平行为少，太阴在己实行皆比平行为多，是知太阴在最高后则减，最高前则加，为初均之故矣。然日天最高在戊，月天最高距日天最高二百七十度，则少数大多数小；日天最高在己，月天最高距日天最高九十度，则多数大少数小。是必另有一均，因月高距日高九十度而加，二百七十度而减者。于是以大小两数相减，折半得二分二十五秒，别为三均，以减大数加小数，得四度五十七分三十一秒，为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数，最高后为减，最高前为加，与前测合。又设日天最高当月天最高，丙太阳在最高，丙太阴在中距，戊上▯测得太阴实行比平行少七度三十五分三十四秒，太阴在中距，己下▯测得太阴实行比平行多七度三十五分三十四秒。又设日天最高当月天最卑，丁太阳在最高，丁太阴在中距，己上▯测得太阴实行比平行多七度四十分二十四秒，太阴在中距，戊下▯测得太阴实行比平行少七度四十分二十四秒。两测太阴在戊实行皆比平行为少，太阴在己实行皆比平行为多，是知太阴在最高后则减，最高前则加，为初均之故矣。然上▯则少数小，多数大，下▯则少数大，多数小，是必另有一均因上▯而加，下▯而减者。于是以大小两数相减，折半得二分二十五秒，别为三均，以减大数加小数，得七度三十七分五十九秒，为日在月天最高最卑时，月距最高前后九十度之初均数，最高后为减，最高前为加也。

又设日天最高在庚，月天最高丙，距日天最高三百一十五度，太阳在庚，距月天最高四十五度，太阴在戊，距最高九十度，而距日四十五度，为朔与上▯之间，测得太阴实行比平行少五度五十七分四十五秒。若日天最高在辛，月天最高距日天最高二百二十五度，太阳在辛，距月天最高一百三十五度，太阴仍在戊，距月天最高九十度，而距日三百一十五度，为下▯与朔之间，测得太隂实行比平行少六度五十四分四十九秒。又设日天最高在壬，月天最高距日天最高一百三十五度，太阳在壬，距月天最卑四十五度，太隂在己，距最高前九十度，而距日四十五度，为朔与上▯之间，测得太隂实行比平行多六度五十四分四十九秒。若日天最高在癸，月天最高距日天最高四十五度，太阳在癸，距月天最高三百一十五度，太隂仍在己，距最高前九十度，而距日三百一十五度，为下▯与朔之间，测得太隂实行比平行多五度五十七分四十五秒。两测太阴在戊实行皆比平行为少，太阴在己实行皆比平行为多，是知太阴在最高后则减，最高前则加，为初均之故矣。而朔与上▯之间则少数小，多数大；下▯与朔之间则少数大，多数小。是必另有一均，因朔后而加，朔前而减者，而所大所小之数又不及二均加减之多，是必又有别均加减于其间，而此特为其加减之较。于是以大小两数相减，折半得二十八分三十二秒，为二均与二平均末均加减之较【查朔后四十五度，二均应加三十三分一十四秒，而日距月天高卑后四十五度，二平均应减三分三十四秒，又月高距日高在四象限之正中，朔后四十五度时，末均应减一分八秒，故以二十八分三十二秒为加减之较。又查朔前四十五度，二均应减三十三分一十四秒，而日距月天高卑前四十五度二，平均应加三分三十四秒。又月高距日高，在四象限之正中，朔前四十五度时末，均应加一分八秒。故亦以二十八分三十二秒为加减之较，详后各篇】以减大数，加小数，得六度二十六分一十七秒，为日距月天高卑前后四十五度时，月距最高前后九十度之初均数，最高后为减，最高前为加也。前测均数之大小皆在月距最高前后九十度时，而测两心差之大小则必在本天高卑之适中。其平引【即距最高之平行度】之多于九十度与实引【即距最高之实行度】之少于九十度，或平引之少于九十度与实引之多于九十度者，皆适相等【见日躔求两心差篇】如甲为地心，乙为本天心，甲乙为两心差，甲子为倍差，丙丑丁寅撱圆为月本天，丙为最高，丁为最卑，丑寅为中距【丑寅为本天高卑之适中，丙丑甲分撱圆面积为平引九十度多，丑甲丙角为实引九十度少，然相去不逺故亦名中距，以便与日天较算也】乙丁为大半径一千万，乙丑为小半径，甲丑子丑皆与乙丁等。

设日天最高当月天最高前中距寅，太阳在最高寅，太阴在最高后中距丑，望其丙丑甲分撱圆面积九十二度二十八分五十七秒五十八微半为平引，其大于九十度之二度二十八分五十七秒五十八微半，即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等【与日躔求两心差同，但日躔从最卑起算，月离从最高起算耳】此时测得太阴实行在最高后八十七度三十三分二十七秒一微半，减此时应加之三均二分二十五秒【此时三均应加二分二十五秒，若不因三均则实行应少二分二十五秒，故减】余八十七度三十一分二秒一微半为实引，其小于九十度者亦二度二十八分五十七秒五十八微半，即丑甲卯角与乙丑甲角等，亦与子丑乙角等。平行实行之差四度五十七分五十五秒五十七微，即甲丑子角折半得二度二十八分五十七秒五十八微半，即乙丑甲角。甲丑既为半径一千万，则甲乙即乙丑甲角之正▯，检表得四三三一九○，即日在月天中距时之两心差也。又设日天最高，当月天最高，丙太阳在最高，丙太阴在最高后中距，丑上▯其丙丑甲分撱圆面积九十三度四十九分四十五秒二微半，为平引，其大于九十度之三度四十九分四十五秒二微半，即丑甲乙勾股积，与乙丑甲角度等，此时测得实行在最高后八十六度一十二分三十九秒五十七微半，减此时应加之三均二分二十五秒【同前】余八十六度一十分一十四秒五十七微半，为实引，其小于九十度者，亦三度四十九分四十五秒二微半，即丑甲卯角，与乙丑甲角等，亦与子丑乙角等，平行实行之差七度三十九分三十秒五微，即甲丑子角折半得三度四十九分四十五秒二微半，即乙丑甲角，检正▯得六六七八二○，即日在月天最高最卑时之两心差也前测日，在月天高卑，两心差大；日在月天中距，两心差小。又日，在月天高卑最高，行速；日在月天中距最高，行迟。用小轮之法算之：如甲为地心，乙丙丁戊为最高本轮，甲乙半径为五五○五○五；己庚辛壬为最高均轮，乙己半径为一一七三一五。均轮心循本轮周右旋，自乙而丙而丁而戊行最高平行度。本天心循均轮周右旋，自己而庚而辛而壬行日距月最高之倍度。本天心在均轮上半周顺轮心行，故最高行速，距地心逺，故两心差大；本天心在均轮下半周逆轮心行，故最高行迟，距地心近，故两心差小。日在月天最高，或在月天最卑，本天心皆在己，甲己六六七八二○为最大两心差；日在月天两中距，本天心皆在辛，甲辛四三三一九○为最小两心差。本天最高与甲乙合为一线，无最高均数。如日距月最高四十五度，则本天心自己行九十度至庚，本天最高必对甲庚线之上，用甲乙庚三角形求得甲角一十二度一分四十八秒为最高均数，是为最大之加差，以加于最高平行而得最高实行。

求得甲庚邉五六二八六六为本天心距地数，即本时之两心差也【此乙角为直角，可用勾股法，亦可用切线分外角法；若乙角非直角，则用切线分外角法】如日距月最高一百三十五度，则本天心自己行二百七十度至壬，本天最高必对甲壬线之上，用甲乙壬三角形求得甲角为最高均数，与乙甲庚角等，甲壬两心差亦与甲庚等，但甲角为最大之减差，以减最高平行而得最高实行也。既得最高实行与两心差，则以最高实行与太阴平行相减得平引，而初均数可求矣。

求初均数新法算书用本轮均轮推初均数，日躔月离数虽不同，而其法则一也。自刻白尔以平行为撱圆面积求实行，用意甚精，而推算无术。噶西尼等立借角求角之法，亦极补凑之妙矣。然日天两心差为本天半径千万分之一十六万余，所差之最大者不过百分秒之六十六【见日躔撱圆角度与面积相求篇】月天两心差之最大者为本天半径千万分之六十六万余，若仍用日躔之法则，其差之最大者即至四十秒，虽于数不为踈，而于法则犹未宻，故又立用两三角形之法，先以半径为一边，两心差为一边，太阴平引与半周相减【不及半周者与半周相减，过半周者减半周】为所夹之角，求得对两心差之小角，与前所夹之角相加，复为所夹之角，仍用半径与两心差为两边，求得对半径之大角为平圆引数。次以大半径为一率，小半径为二率，平圆引数之正切线为三率，求得四率，查正切线得实引，与平引相减余为初均数，依日躔借积求积法细推之，其差之最大者不过一十秒，较借角求角之法为密云。

如图甲为地心乙为本天心甲乙为最大两心差六六七八二○丙丁戊己为月本天乙丙为大半径一千万与乙庚等乙丁为小半径九九七七六七五【小余九○】设太阴平引距最高后九十度用日躔借角求角法依甲乙之分截乙丙线于辛取丙辛壬角为九十度自地心甲作甲壬线命甲壬丙分撱圆面积为九十度与乙丁丙面积等亦与丙乙丁角度等用甲辛壬三角形丙辛壬外角为平引九十度甲辛为倍两心差一三三五六四○甲壬与辛壬共为二千万求得壬角七度三十八分二十八秒【小余七○】为初均数，即得壬甲丙角八十二度二十一分三十一秒【小余三○】为实引试依日躔借积求积法细推之辛壬边为九九五五、四○一【小余六四】甲、壬边为一○○四四五九八【小余三六】甲壬丙分撱圆面积为七八三五四五六三一八四七七三与最大两心差之撱圆九十度积七八三六四四八三二一一一四二相减余九九二○○二六三六九为甲壬癸积即甲壬丙积小于九十度积之较故知平引距最高九十度时太阴必在壬防之后如癸乃依最大两心差中率半径九九八八八三二截甲壬线于子截甲癸线于丑成甲子丑分平圆面与甲壬癸为同式形【甲壬长于甲癸，然为数无多，故为同式形】以甲壬自乗得一○○八九三九五六二一三七一五为一率甲子中率自乗方九九七七六七五九○四一一七二为二率甲壬癸积较为三率求得四率九八一