（卷首）
钦定四库全书 子部六数学九章》天文算法类二【算书之属】提要【臣】等谨案《数学九章》十八卷，宋秦九韶撰。九韶始末未详，惟据原序自称其籍曰鲁郡，然序题淳祐七年，鲁郡已久入于元，九韶葢述其祖贯，未详实为何许人也。是书分为九类：一曰大衍，以奇零求总数，为九类之纲；二曰天时，以步气朔晷影及五星伏见；三曰田域，以推方圆羃积；四曰测望，以推髙深广逺；五曰赋役，以均租税力役；六曰钱谷，以权轻重出入；七曰营建，以度土功；八曰军旅，以定行阵；九曰市易，以治交易。虽以九章为名，而与古九章门目迥别，葢古法设其术，九韶则别其用耳。宋代诸儒尚虚谈而薄实用，数虽圣门六艺之一，亦鄙之不言，即有谈数学者，亦不过推演河洛之奇偶于人事无闗，故乐屡争而不决，厯亦每变而愈舛，岂非算术不明，惟凭臆断之故欤？数百年中，惟沈括究心是事，而自《梦溪笔谈》以外，未有成书。九韶当宋末造，独崛起而明絶学，其中如大衍类蓍卦发微，欲以新术改《周易》揲蓍之法，殊乖古义。古厯防积题数既误，且谓设问以明大衍之理，初不计前后多少之厯过，尤非实据。天时类缀术推星，本非方程法，而术曰方程，复于草中多设一数以合方程行列，更为牵合。所载皆平气平朔，凡晷影长短，五星迟疾，皆设数加减，不过得其大防，较今之定气定朔用三角形推算者，亦为未密。然自秦汉以来成法相传，未有言其立法之意者，惟此书大衍术中所载立天元一法，能举立法之意而言之，其用虽仅一端，而以零数推总数，足以尽奇偶和较之变，至为精妙。苟得其意而用之，凡诸法所不能得者，皆随所用而无不通。后元郭守敬用之于弧矢，李冶用之于勾股方圆，欧逻巴新法易其名曰借根方，用之于九章八线，其源实开自九韶，亦可云有功于算术者矣。至于田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易》七类，皆扩充古法，取事命题，虽条目纷纭，曲折往复，不免瑕瑜互见，而其精确者居多。今即《永乐大典》所载，于其误者正之，疎者辨之，颠倒者次序之，各加案语于下，庶得失不掩，俾算家有所稽考焉。乾隆四十九年十月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总 校 官 【臣】 陆 费 墀数学九章序周教六艺，数实成之，学士大夫所从事，尚矣。其用本太虚生一，而周流无穷，大可以通神明，顺性命；小足以经世务，类万物，距容以浅近窥哉？若昔推防以迎日，定律而和气，髀距濬川，土圭度咎，天地之大囿焉，而不能外，况其间总总者乎？爰自河图洛书闿发幽秘，八卦九畴错综精防，极而至于大衍皇极之用，而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。
圣人神之，言而遗其粗；常人昧之，由而莫之觉。要其归，则数与道非二本也。汉去古未逺，有张苍、许商、马延年、耿夀昌、郑▯、张衡、刘洪之伦，或明天道而法传于后，或计功防而效验于时。后世学者自高，鄙不之讲，此学殆绝，惟治厯畴人能为乘除，而弗通于开方衍变。若官府会事，则府史一二絫之算家位置素所不识，上之人亦委而听焉。持算者惟若人，则鄙之也，宜矣。呜呼！乐有制氏，仅记铿锵，而谓与天地同和者止于是，可乎？今数术之书尚三十余家，天象厯度谓之缀术，太乙壬甲谓之三式，皆曰内算，言其秘也。九章所载及周官九数，击于方圆者为专术，皆曰外算，对内而言也。其用相通，不可岐二。独大衍法不载九章，未有能推之者。厯家演法颇用之，以为方程者误也。且天下之事多矣，古之人先事而计，计定而行，仰观俯察，人谋鬼谋，无所不用其谨，是以不愆于成，载籍章章可覆也。后世兴事造始，鲜能考度，▯▯乎天纪人事之殽缺矣，可不求其故哉？九韶愚陋，不闲于艺，然早嵗侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学，时际兵难，歴嵗遥塞，不自意全于矢石之间，更险离忧，荏苒十禩，心槁气落，信知失物莫不有数也。乃肆意其间，旁诹方能探索杳▯，粗若有得焉。所谓通神明，顺性命，固肤末于见；若其小者，窃尝设为问荅以拟于用，积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类。立术具草间，以图发之，恐或可备博学多识君子之余观，曲艺可遂也，愿进之于道。傥曰艺成而下，是惟畴人府史流也，乌足尽天下之用，亦无瞢焉。时淳祐七年九月，鲁郡秦九韶叙，且系之曰：「昆仑旁薄，道本虚一。圣有大衍，防寓于易。竒余取防郡数，皆捐衍而防之，探隐之原，数术之传，以实为体。其书九章，惟兹弗纪。厯家虽用，用而不知。小试经世，姑推所为，述大衍第一。」「七精回穹，人事之纪，追缀而求，宵星画晷。厯乆则踈，惟智能革。不寻天道，模袭何益？三农务穯，厥施自天，以滋以生。雨膏雪零，司牧闵马，尺寸验之，积以噐移。忧喜皆非，述天时第二。」「魁隗粒民，甄度四海。苍姫井之仁政攸在，代逺庶蕃，恳菑日广。步度庀赋，版图是掌。方圆异状，袤窳殊形。专术精防，熟防厥真，差之毫厘，谬乃千里。公私共▯，盖谨其籍，述田域第三。」「莫高匪山，莫濬匪川。神禹奠之，积矩攸传。智创巧述，重差夕桀求之，既详揆之，冈越崇深广逺。度则靡容，形格势禁，防垒仇墉。欲知其数，先望以表，因差施术，坐悉防▯，述测望第四。」「邦国之赋，以待百事。畦田经入，取之有度。
未免力役，先商厥功，以衰以率，逸乃同。汉犹近古，租税以算，调均钱谷，何菑之扞？惟仁隐民，犹已溺饥。赋役不均，寜得勿思，述赋役第五。」「物等敛赋，式时府庾，粒粟寸丝，褐夫红女，商征边籴。后世多端，立縁为欺，上下俱殚。我闻理财如智，治水澄原，濬流惟其深矣。彼昧弗察，▯急烦刑，去理益逺。吁嗟不仁，述钱谷第六。」「斯城斯池，乃栋乃宇。宅坐寄命，以保以聚。鸠功雉制，竹个本章，匪防匪度。财蠧力伤，围蔡而裁。如子西素匠，计露台俾汉文惧。惟武图功，惟俭昭德。有国有家，兹焉取则，述营建第七。」「天生五材，兵去未可，不教而战，维上之过。堂堂之阵，鹅鹳为行，营应规矩。其将莫当，师中之吉，惟智。」仁勇夜算军书，先计攸重。我闻在昔，轻则寡谋，殄民以幸，亦孔之忧。述军旅第八。日中而市，万民所资，贾贸墆鬻，利析铢锱，蹛财役贫，封君低首，豕末兼并，非国之厚。述市易第九。
钦定四库全书数学九章》卷一上宋秦九韶撰。大衍按大衍术，以各分数之竒零求各分数之总数，大而天行，小而物数，皆可御之。其法有求元、求定、求术、求竒、求乘、求用之目。大约以数之竒偶为根，而以诸数相度之尽不尽为用。有求彼此不能度尽之诸数者，元数、定数是也。有求诸数皆能度尽之一数者，衍母数是也。有求诸数皆能度尽而一数不能度尽之数者，各衍数是也。其不尽之数即竒数也。有求二数相度余一之数者，乘数是也。有求二数相度余一而诸数又能度尽之数者，用数是也。求元数、定数，初与约分法相似，终变二数，务使其等数为一。盖以一为等数，始能度尽二数，是他数俱不能度尽二数，而二数相度益不能尽也。以定数、竒数求乘数之法，名曰大衍求一。中有立天元一于左上之语，下载立天元一算式。按立天元一法，见于元郭守敬之厯源，李冶之测圆海镜，及四海之借根方者，皆虚设所求之数为一，与所有实数反覆推求，归于少广诸乘方，得其积数与边数，或正负亷隅数而止。次用除法或开方法得所求数，此数命定数为一，与竒数反覆商较，至余一实数而止，其竒数所积即为乘数。盖其用不同，而法则无二也。然其极和较之用，穷竒偶之情，则有为元法、西法所未及者。但原本法解烦杂，图式譌舛，今详加改定，并释其义，俾学者易见焉。
大衍数术大衍总数术曰：置诸问数【类名有四】一曰元数【谓尾位见单零者，本门揲蓍、酒息、斛粜、砌甎、失米之类是也】二曰牧数【谓尾位见分厘者，假令冬至三百六十五日二十五刻，欲与甲子六十日为一会而求积日之类】三曰通数【谓诸数各有分子母者，本门问一会积年是也】四曰复数【谓尾位见十或百及千以上者，本门筑隄、并急足之类是也】
按此言问题有是四类元数者，先以两连环求等约，竒弗约，偶【或约得五而彼有十，乃约偶而弗约竒】或元数俱偶，约毕可存一位，见偶，或皆约而犹有类数存，姑置之，俟与其他约徧，而后乃与姑置者求等约之，或诸数皆不可尽类，则以诸元数命曰复【按复应作定】数，以复【按同上】数格入之。按此，以元数求定数法也。连环求等者，于诸数中逐次取二数相度，得一数可以度尽者为等数，为法。只约一数，约竒弗约偶，专为等数为偶者言之。若等数为竒者，则约偶弗约竒，而等数为五与十者，又有或约竒或约偶者矣。皆约而犹有类，俟约徧求等。约之者，逐条两两取约毕，犹有二数可约者，求得等数为续等【见后】续等约一数，必复乘一数。盖等数为二数之较【或二数展转之较】可约续等乃已约之较，不可▯约，不可约而两数又不可使有等，故约一数乘一数，犹之不约也。术内未详。收数者乃命尾位分厘作单零以进所问之数定位讫，用元数格入之；或如意立数为母，收进分厘以从所问，用通数格入之。按收数者，单位下有竒零之数也。进位者，以竒零之末位为单位也。若立分母通之，反不如用原数为简。通数者，置问数，通分内子互乘之，皆曰通数。求总等，不约一位，约众位，得各原法数，用元数格入之。或诸母数繁，就分从省通之者，皆不用元各母，仍求总等，存一位，约众位，亦各得原法数，亦用元法数格入之。按，通数与收数相似，但单数有分母，竒零为分子耳。通分纳子，即进尾数为单位之义。因加互乘一次，故加总等一约，然后为元数也。又按，求总等不拘通数、复数，但题中有三数可以一等数度尽者，即可用总等法。存一数约众数，然后为元数。凡度之后等数仍可约者，此数必当存之。复数者问数尾位见十以上者，以诸数求总等，存一位约众位，始得元数。两两连环求等，约竒弗约偶，复乘偶；或约偶或约竒，复乘竒【按此四语有误，应作约竒弗约偶，复乘偶；或约偶弗约竒，弗乘竒。然皆续等下用之，此处可省】或彼此可约，而犹有类数存者，又相减以求续等。以续等约彼，则必复乘此，乃得定数。所有元数、收数、通数三格，皆有复乘求定之理，悉可入之。按复数者，诸问数皆至十或百或千而止也。右各叚皆云以某格入之，此又云三格悉可入之。大约古算必有其程式也。求定数，勿使两位见偶，勿使见一太多，见一多则借用繁，不欲借则任得一。按：勿使两位见偶者，盖众数连乘中有两偶数，则所得总数以一偶数除之，必仍得偶数，不能求余一之乘数也。勿使见一太多，见一多则借数繁者，盖见一多，因数本如此，且见一即不必推，乃云勿使太多，又云借数皆涂人之耳目也。
故曰：不欲借，则任得一。以定相乘为衍母，以各定约衍母，得各衍数【或列各定数于右行，各立天元一为子于左行，以母互乘子，亦得衍数】诸衍数各满定母去之，不满曰竒，以竒与定用大衍求一入之，以求乘率【或竒得一，即为乘率】按诸定数连乘为衍母，即为诸定数皆能度尽之数，亦为总数最大之限。凡总数在限内者，各定数之差皆不等；若过限外，则各定数之差有与限内相等者，其两总数之差必为衍母之倍数。各衍母者，即诸数度尽一数度不尽之数也。竒数者，定数度衍数不尽之数也。定数原为彼此不能度尽之数，衍数为他定数连乘之数，以此一定数度之，必不能尽也。大衍求一数，云置竒右上，定居右下，立天元一于左上，先以右上除右下，所得商数与左上一相生入左下，然后乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘归左行上下，须使右上末后竒一而止，乃验左上所得以为乘率，或竒数已见单一者，便为乘率【按此二语重上】按此以定数竒数求乘数也。其法必使以定数度竒数，仅余一数，而竒数之倍数即乘数也。置竒右上，定右下者，初次以定为实，竒为法也。立天元一于左上者，以一为竒之倍数也。得商数与左上相生入左下者，以竒商定得商数，即竒之倍数，以乘天元一而书于下也。随以竒数与商数相乘，以减定数为余实。次以竒为实，减余为法。置前左下于左上，以法约实，得商乘左上，又并前之左上为左下。随以法乘商减实，又为余实。次又以前余为实，次余为法。置前左下于左上，得商数乘左上，又倂前左上为左下。随以法乘商减实，如此展转相求，合两次为一算。至余实一，乃视左下天元数即乘数也。若未至两次余实一者，仍以一为法，上余数为实。实二则商一，实三则商二，如上求之，复得余一，其天元数方为乘数。原文递互乘除之语未详。置各乘率，对乘衍数，得泛用，并泛课衍母多一者为正用，或泛多衍母倍数者，验元数竒偶同者，损其半倍【或三处同类，以三约衍母，于三处损之】同衍母者为无用，当验元数同类者而正用至多处，借之以元数两位求等，以等约衍母为借数，以借数损有以益其无为正用，或数处无者，如意立数为母，约衍母所得，以如意子乘之，均借补之，或欲从省，勿借任之为空可也。按此求各用数法也。其各乘率乘各衍数得用数者，即一数余一诸数度尽之数也。其云并泛用过衍母倍数验元数同类损之，此语似有误。当云验问数同偶而用数相并过衍母者损之。盖取用皆问数，非元数也。凡偶数减偶仍余偶，减竒仍余竒，其数有定。竒数减竒则余偶，又或余竒；减偶则余竒，又或余偶，其数无定。
故惟偶数可验也。定数一者，即无用数，必虚为借数，未免徒滋烦扰。然后以其余各乘正用为各总，并总满衍母去之，不满为所求率数。按此，既得各用数，以题中所问之竒零求总数也。以各余数乗各用数者，盖用数为诸数度尽一数余一之数，以几数乘之，必为诸数度尽一数余几数之数也。并各条而以各数度之，必各数仍余几数也。余数悉合，则总数必合矣。然衍母为诸数度尽之数，累加一，衍母众余数皆不变，故满衍母去之，得在衍母内者，其数最小，为第一数。若大于此数者，递加一衍母数，无不合者。按，右大衍本法也。原书入于蓍防、发防题问荅之后，殊失其序。今修，冠于卷首。
蓍卦发防问易曰：「大衍之数五十，其用四十有九。」又曰：「分而为二，以象两；卦一以象三，揲之以四，以象四时。三变而成爻，十有八变而成卦。」欲知所衍之术，及其数各几何？按揲蓍之法，载于易传，啓▯言之甚明。算术以竒偶相生，取名大衍，可也。竟欲以此易古法，则过矣。
荅曰衍母十二衍法三一元衍数二十四，二元衍数一十二，三元衍数八，四元衍数六。已上四位衍数计五十一。楪用数一十二，二楪用数二十四，三楪用数四，四揲用数九。已上四位用数四十九。按，此附会五十四、十九之数，与本衍已牵强不合，观后可知。
水 火 木 金 【始此四数以揲】
隂阳象数图老阳，少隂少阳，老隂【终此四者为爻】
按此条与数无取义可删本题术曰：置诸元数，两两连环，求等约。竒弗约，偶徧约毕，乃变元数皆曰定母。列右行，各立天元一为子。列左行，以诸定母互乘左行之子，各得名曰衍数。次以各定母满去衍数各余，名曰竒数。以竒数与定母用大衍术求一【大衍求一术云：以竒于右上，定母于右下，立天元一于左上。先以右行上下两位以少除多，所得商数乃递互乘归左行，使右上得一而止，左上为乘率】得各乘率，以乘衍数，各得用数。验次所揲余几何，以其余数乘诸用数，并之名曰总数。满衍母去之，不满为所求数，以为实。易以三才为衍法，以法除实，所得为象数。如实有余，或一或二，皆命作一，同为象数。其象数得一为老阳，得二为少隂，得三为少阳，得四为老隂。得老阳画重爻，得少隂画拆爻，得少阳画单爻，得老隂画交爻。凡六画，乃成卦。按，此即前大衍法末，以三归取爻象，亦属附会。草曰：一，二，三，四，列右行；立天元一，列左行。
元数右行天元左行以右行一二三四互乘左行，异子一弗乘，对位本子各得衍数。
元数右行上 副 次 下衍数左行 并之得五十乃并左行，衍数四位，共计五十。故《易》曰：“大衍之数五十。”算理不可以此五十为用。葢分之为二，则左右手之数竒偶不同，见隂阳之伏数。必须复求用数，先名此曰衍数，以为限率。遂乃复以一二三四之元数，求等数，约定。按前术，以两两相连环求等约之。先以一与二求等，一与三求等，一与四求等，皆得一，各约竒，弗约偶，数不变。次以二与三求等，亦得一，约竒，弗约偶，数亦不变。及以二与四求等，乃得二。此二只约副数，二变为一，而弗约四。次以三与四求等，亦得一，约竒，亦不变。所得一、一、三、四各为定数母，列右行。仍各立天元一为子，列左行。
定母右行天行左行以右行定母，一一三四，互乘左行各子，一惟不对乘本子，毕，左上得一十二，左副得一十二，左次得四，次下得三，皆曰衍数。
定母右行 以右定母满去左衍数左行 衍衍余各为竒数次以各母去衍数，其一母去衍一十二竒一，其副母一亦去副子一十二，亦各竒一，其次母三去次衍四，亦竒一，其下母四欲去下子三，则不满，便以三为左下竒数。
定母右行竒数左行凡竒数得一者，便为乘率。今左下衍是三，乃与本母四用大衍求一术入之。列衍竒三于右上，定母于右下。立天元一于左上，空其左下。
【衍 定 商竒 母】
【天元】先以右上少数三，除右下多数四，得一为商。以商一乘左上天元一只，得一，归左下。其右下余一。
【商 衍 定母竒 余】○【天 归元 数】次以右下少数一，除右上多数三，须使右上必竒一算乃止，遂于右行最上商二，以除右衍必竒一，乃以上商命右下定余一，除之右衍余一。
【商 衍竒 定母余 余】
【天 归元 数】次以商二与左下归数相乘，得二，加入左上天元一内，共得三。
今验右上衍余得一，当止，乃以左上三为乘率，与前三者乘率各一，与衍定图衍数对列之，通计三行。
定母衍数乘率以乘率对乘左行，毕，左上得一十二，左副得一十二，左次得四，左下得九，皆曰泛用数。
定母 衍母泛用次以右行一二三四相乘得一十二，名曰衍母。复推元用等数，二约副母二为一，今乃复归之为二，遂用衍母一十二益于左副一十二内，共为二十四。
元数定用今验用数，图右行之一、二、三、四，即是所揲之数；左行一十二，并二十四，及四与九并之，得四十九，名曰用数。用为蓍草数，故《易》曰：“其用四十有九”是也。假今用蓍四十九，信手分之为二，则左手竒，右手必偶；左手偶，右手必竒。欲使蓍数近大衍五十，非四十九或五十一不可。二数信手分之，必有一竒一偶，故所以用四十九，取七七之数，始有左副二十四，内益十二，就其三十七，泛为用数。但三十七无意义，兼蓍少太露，是以用四十有九。凡揲蓍求一爻之数，欲得一二三四岀于无余，必令揲者不得知，故以四十九蓍分之为二，只用左手之数。假令左手分得三十三，自一一楪之，必竒一，故不繁楪，乃径挂一。故《易》曰：「分而为二以象两，挂一以象三。」次后又令筮人以二二揲之，其三十三亦竒一，故归奇于防。又令之以三三揲之，其三十三必奇三，故归奇于防。又令之以四四揲之，又奇一，亦归奇于防。与前挂一并三度揲，通有四防，乃得一一三一。其挂一者乘用数图左上用数一十二，其二揲防一者乘左副用数二十四，其三揲防三者乘左次用数四，得一十二，其四揲一者乘左下用数九。
用数左行三防谓之三变挂一得一，十二防一得二十四，防三得一十二，又防一得九，并为总数。
并此四总得五十七，不问所握几何，乃满衍母一十二去之，得不满者九【或使知其所握五十七，亦满衍母去之，亦只得九数】以为实用，三才衍法约之得三，乃画少阳单爻【或不满得八得七为实，皆命为三】他皆仿此。术意谓揲二楪、三楪、四者，凡三度，复以三十三从头数揲之，故曰三变而成爻。既卦有六爻，必有十八变，故曰十有八变而成卦。按此条，强援蓍卦，牵附衍数，致本法反晦。今以本法列于前，则其弊自见矣。
古厯会积问古厯冬至以三百六十五日四分日之一，朔防以二十九日九百四十分日之四百九十九，甲子以六十日各为一周。假令至淳祐丙午十一月丙辰朔，初五日庚申冬至，初九日甲子，欲求古厯气朔甲子一会积年、积月、积日及厯过未至年数各几何？按此题嵗实朔防皆古法用数，淳祐丙午嵗合朔冬至干支，乃宋开禧法所步题数，已不相▯，即推算无误，亦未合，况不能无误耶？荅曰：一会积一万八千二百四十年，二十二万五千六百月，六百六十六万二千一百六十日。厯过九千一百六十三年，未至九千七十七年。按荅数皆不合。术曰：同前置问数【有分者通之，互乘之得通数】求总等不约一位，约众位，各得元法，连环求等，约竒弗约偶，各得定母【本题欲求一会，不复乘偶】以定相乘为衍母，定除母得衍数，满定去衍得竒，以大衍入之得乘率，以乘衍数得泛用数，并诸泛以课衍母，如泛内多倍数者损之，乃验元数竒偶同类处，各损半倍【或三位同类者三约衍母损泛】各得正用。然后推气朔不及，或所遇甲子日数，乘正用加减之为总，满衍去之余为所求厯过率，实如纪元法而一为厯过，以气元法除衍母得一会积年，以气周日刻乘一会年得一会积日，以朔元法除衍母得一会积月数。按：如纪元法，而一以气元法除，衍母二语皆误，故得数不合。皆当以气分为法，葢气分即嵗实分也。右本题问气朔甲子相距日数，系开禧厯推倒，或甲子日在气朔之间，及非十一月前后者，其总数必满母赘去之，所得厯过年数，尾位虽伦，首位必异。今设问以明大衍之理，初不计其前多后少之厯过。按此数语，葢因得数不合，而自解之。然算家终以得数为凖，得数不合，则无以取信于人矣。草曰：「置问数，冬至，三百六十五日四分日之一朔。」防二十九日，九百四十分日之四百九十九，甲子六十日，各通分内子互乘之，列三等位，具图如后。
冬至得一千四百六十一，朔实得二万七千七百五十九。甲子无母，只是六十列三行互乘之。具图如后。
【气通 母 总等不约纪分】
以三行互乘，右得一百三十七万三千三百四十，为气分；中得一十一万一千三十六，为朔分；左得二十二万五千六百，为纪分。先求总等，得一十二【按：十二乃朔分、纪分所求等数，亦可为气分等数，故为总等】乃存纪分一位不约，只以等一十二约气分，得一十一万四千四百四十五；又约朔分，得九千二百五十三，皆为元法。乃以连环求等，次以纪元二十二万五千六百与朔元九千二百五十三求等，得一，不约；又以纪元与气元一十一万四千四百四十五求等，得二百三十五，只约气元，得四百八十七；次以气元四百八十七与朔元九千二百五十三求等，得四百八十七，只约朔元九千二百五十三，得一十九。约偏毕，得四百八十七为气定，得一十九为气定，得二十二万五千六百为纪定。以三定相乘，得二十亿八千七百四十七万六千八百，为衍母。具图如后。
各以定数约衍母，各得衍数。气得四百二十八万六千四百，朔得一亿九百八十六万七千二百，纪得九千二百五十三。寄左行，各满定数去之，各得竒数。
气竒得三百一十三，朔竒得四，纪竒得九千二百五十三，各与定数，用大衍求一，各得乘数，列右行，对寄左行，衍数具图如后。
各以大数入之，气乘率得四百七十三，朔乘率得五，纪乘率得一十七万二千七百一十七。对左行衍数，以右行乘率对，乘左行衍数，气泛得二十亿二千七百四十六万七千二百，朔泛得五亿四千九百三十三万六千，纪泛得一十五亿九千八百一十五万四百一十。具图如后。
右列用数并之，共得四十一亿七千四百九十五万三千六百一，为泛用数。与衍母二十亿八千七百四十七万六千八百验之，在衍母以上，就以衍母除泛，得二，乃知泛内多一倍母数，当于各用内损去所多一倍。按术验法元图内诸元数，奇偶同类者，各损其半。今验法元图气元尾数是五，纪元尾数是六百，为俱五同类，乃以术母二十亿八千七百四十七万六千八百折半，得一十亿四千三百七十三万八千四百，以损泛用图内气泛、纪泛、毕其朔泛不损，各得气朔纪正用数。其气正用得九亿八千三百七十二万八千八百，朔正用五亿四千九百三十三万六千，纪正用五亿五千四百四十一万二千一列为正用图在前。既得正用，数次验问题：十一月朔日丙辰，冬至初五日庚申，初九日甲子。乃以初一减初九甲子，余八日为朔不及。次以初五亦减初九甲子，余四日为气不及。以二不及各乘正用得数，具图如后。
先以气不及甲子四日，以乘气正，用数九亿八千三百七十二万八千八百，得三十九亿三千四百九十一万五千二百，为气总。次以朔不及甲子八日，数以乘其朔正，用数五亿五千九百三十三万六千，得四十三亿九千四百六十八万八千，为朔总。并之得八十三亿二千九百六十万三千二百，为总数。满母二十亿八千七百四十七万六千八百去之，不满二十亿六千七百一十七万二千八百，为所求率。实具图如后。
按，求积嵗应以甲子距冬至前之日分乘纪用数为纪总，以合朔距冬至前之日分乘朔用数为朔总，并纪总朔总，满衍母去之，以嵗实分除之，即已过积年。草内以冬至距甲子前之日分乘气用数，合朔距甲子前之日分乘朔用数，并之，乃求纪周法，非求嵗周法也，故不合。置所得率，实二十亿六千七百一十七万二千八百，如法元图纪元法二十二万五千六百而一，得九千一百六十三年，为厯过年数。次置衍母二十亿八千七百四十七万六千八百为实，如法元图气元一十一万四千四百四十五为法而一，得一万八千二百四十年，为气朔。甲子一会积年内减厯过九千一百六十三年，余九千七十七年，为未至年数。次以冬至周日三百六十五日二十五刻乘积一会年一万八千二百四十，得六百六十六万二千一百六十日，为一会积日。又以术母为实，如法元图朔元法九千二百五十二而一，得二十二万五千六百月，为一会积月，合问。按此纪元，即纪分，以纪分除率实，乃纪周数，非已过年数也。求一会积年，当以气分为法，以气元为法，亦误。此二数既误，余数无是者矣。然题已不合，既法合，数亦不能合也。今改设一题于后，以明其法焉。设古法，嵗实三百六十五日四分日之一，朔防二十九日九百四十分日之四百九十九。甲子六十日，假令十一月平朔辛巳日四百七十分日之一百一十三，冬至癸夘日子正初刻。问距前后甲子日子正初刻合朔冬至之年数各几何？荅曰：「距前八百七十六年，距后六百四十四年。」法按前法求至正用，乃以冬至癸夘距甲子后三十九日为纪余，以日法【即气分母朔分母相乘之数】三千七百六十分通之，得十四万六千六百四十为纪余分，以乘纪正用，得纪总八十一兆二千九百八十九亿七千五百八十二万六千六百四十。次以平朔辛巳距甲子十七日又四百七十分之一百一十三，与冬至距甲子三十九日相减，得二十一日又四百七十分日之三百五十七，以日法三千七百六十通之，得八万一千八百一十六为朔余分，以乘朔正用，得朔总四十四兆九千四百四十四亿七千四百一十七万六千。并二总数，满衍母去之，得率实十二亿零三百零四万五千八百四十为实，以嵗实一百三十七万三千三百四十为法除之，得八百七十六年为距前气朔甲子会积之年数。又以衍母为实，以嵗实分为法除之，得一千五百二十年为前会积距后会积之年数，减去距前会积之年数，余六百四十四年为距后会积之年数。既得积年，若欲还原求题中干支时刻，则以前会之积年与嵗实相乘，得三十一万九千九百五十九为积日，满纪法六十去之余三十九日，自初日起甲子，得冬至为癸夘日子正初刻。又置积日，以朔防日分九百四十通之为实，以朔防通分纳子为法除之，得一万零八百三十四为积朔余二万零四百五十四，又为实，以朔防日分九百四十为法除之，得二十一日又九百四十分之七百一十四，约之为四百七十分日之三百五十七，为距冬至前日数，与甲子距冬至前三十九日相减，得一十七日又四百七十分日之一百一十三，为距甲子后日数，自初日起甲子，得辛巳为平朔，干支悉与题合。
推库额钱问：有外邑七库，日纳息足钱适等，递年成贯整纳。近縁见钱稀少，听各库照当处市陌凖解旧会。其甲库有零钱一十文，丁、庚二库各零四文，戊库零六文，余库无零钱。甲库所在市陌一十二文，递减一文至庚库而止。欲求诸库日息原纳足钱展省及今纳旧会，并大小月分各几何？按题意，系七邑日纳共钱同数，以各邑市陌数计之，或适足，或有余，多寡不同。甲陌十二，则余十；乙陌十一；丙陌十，则无余；丁陌九，则余四；戊陌八，则余六；己陌七，则无余；庚陌六，则余四。以求共钱同数，此本术也。又问展省旧会，按草中“展省”乃官省陌，以七十七为一百，所展日息共钱之数；“旧会”乃以各陌数为一百，所升日息共钱之数。二者在本术中已赘，且不明言。“展省”“旧会”用数求法，皆故为溟涬也。荅曰：「诸库纳日息足钱二十贯九百五十文。」
展省三十五贯文甲库日息旧会二百二十四贯五百一十文【按应作五百文又六分文之五】大月旧会六千七百三十七贯五百文【按少二十五文】小月旧会六千五百一十二贯九百二文【按应作六千五百一十贯五百又六分文之一】乙库日息旧会二百四十五贯文 大月旧会七千三百五十贯文 小月旧会七千五百贯文【按应作七千一百五贯】丙库日息旧会二百六十九贯五百文，大月旧会八千八十五贯文，小月旧会七千八百一十五贯五百文。
丁库日息旧会二百九十九贯四百四文【按应作四百四十四文又九分文之四】大月旧会八千九百八十三贯三百三文【按少三十文又三分文之一】 小月旧会八千六百八十三贯八百八文【按少八十文又九分文之八】戊库日息旧会三百三十六贯八百六文【按应作七十五文】 大月旧会一万一百六贯二百四文【按应作二百五十文】 小月旧会九千七百六十九贯三百六文【按应作七十五文】己库日息旧会三百八十五贯文，大月旧会一万一千五百五十贯文，小月旧会一万一千一百六十贯文【按少五贯】庚库日息旧会四百四十九贯一百四文【按应作一百六十六文又分三文之二】大月旧会一万三千四百七十五贯文，小月旧会一万三千二十四贯八百二文【按应作二万三千二十五贯八百三十三文又三分文之一】术曰：以大衍求之，置甲库市陌，以库减库，减之，各得诸库原陌。连环求等，约竒弗约偶【按：此特为等数为偶者言之，若等数为竒者，则约偶弗约竒】得定母。诸定相乘为衍母，以定约衍母，得衍数。衍数同衍母者去之为无【无者，借之同类】其各满定母，去余为竒数，以竒定用大衍求乘率，乘衍数为用数。无者，则以原数同类者求等，约衍母得数为借数。次置有零文库零钱数，乘本用数，并为总数，满衍母去之，不满为诸库日息足钱。各大小月日数乘之，各为实，各以原陌约为旧会。草曰：置甲库市陌一十二，递减一，得一十一为乙库，陌十一为丙库，陌九为丁库，陌八为戊库，陌七为己库，陌六为庚库，陌得诸库原陌。
甲 乙 丙 丁 戊 己 庚以连环求等约讫，甲得一，乙得十一，丙得五，丁得九，戊得八，己得七，庚得一，各为定母。立各一为子。按此法之要，在于求定，而术中独畧之。今详其式于后。
法列七库陌数于前先以甲与乙相约无等数与丙数相约得等数二【偶】约丙十得五【竒】与丁。数相约，得等数三【奇】约甲十二。得四【偶】与戊数相约得等数，四。【偶】约甲，四得一【奇】甲数既为一。
不能▯约即为与诸数徧约毕次以乙与下五数相约俱无等次以丙与下四数相约亦俱无等次以丁与戊己二数相约俱无等与庚数相约，得等数三【奇】约庚六得二【偶】次以戊与己相约无等与庚相约，得等数二【偶】约庚二得一【奇】庚既为一，己亦不能与之相约，乃为连环。求等毕，得定数为甲一，乙十一，丙五，丁九，戊八，己七，庚一也。后凡求定数，仿此。
【定母】
先以诸定相乘，得二万七千七百二十，为衍母。次以诸定互乘诸子：甲得二万七千七百二十，乙得二千五百二十，丙得五千五百四十四，丁得三千八百，戊得三千四百六十五，己得三千九百六十，庚得二万七千七百二十，各为衍数。
定母右行次验诸衍数，有同衍母者，皆去之，为无衍数。次各满定母，去各本衍，各得奇数。甲无，乙得一，丙得四，丁得二，戊得一，己得五，庚无。各为竒数。
次验有奇数者，得一，便以一为乘率；或得二数以上者，各以奇数于右上，定母于右下，立天元一于左上，用大衍求一之数入之，验乘除至右上余一而止，皆以左上所得为乘率。甲无，乙得一，丙得四，丁得五，戊得一，己得四，庚无，各为乘率，列右行，以对寄左衍数。
以两行对乘之，为用数。甲无，乙得二千五百二十，丙得二万二千一百七十六，丁得一万五千四百，戊得三千四百六十五，巳得一万一千八百八十，庚无。
次推无用数者，惟甲庚合于同类处，借之。其同类谓原陌列，而视之。
今视甲一十二、庚六，皆与丙一十、戊八俱偶为同类。其戊用数三千四百六十五，其数少不可借。惟丙一十之用数系二万二千一百七十六，为最多，当以借之。乃以甲一十二、丙一十、庚六求等，得二。以等数二约衍母二万七千七百二十，得一万三千八百六十为借数。乃减丙用二万二千一百七十六，余八千三百一十六为丙用数。乃以所借岀之数一万三千八百六十为实，以原等二为法除之，得六千九百三十为甲用数。以甲用数减借岀数，余亦得六千九百三十为庚用数。今不欲甲庚之借数同，乃验得岀数一万三千八百六十可用几约如意，乃立三取三分之一，得四千六百二十为甲用，取三分之二，得九千二百四十为庚用，列右行。
一○○○【零数】左行乃视诸库有无零钱数，验得乙、丙、己三库无，先去其用数，乃以甲、子、戊、庚四库零钱列左行，对乘本用：甲得四万六千二百，丁得六万一千六百，戊得二万七百九十，庚得三万六千九百六十，合为总。
并此四总得一十六万五千五百五十，满衍母二万七千七百二十，去之不满二万六千九百五十，为所求率。以贯约为二十六贯九千五十文，为诸库日息等数。以官省七十七陌展得三十五贯文【按官省陌以七十七为一百，故二十六贯余展为三十五贯】各以其库陌纽计【按库陌纽计，即以各陌数为一百】各得旧会零钱。各以三十日乘为大月息，以日息减大月息，余为小月息。合问。
分粜推原问：有上农三人力田，所收之米系用足斗均分，各徃他处岀粜。甲粜本郡官塲，余三斗二升；乙粜与吉安乡民，余七斗；丙粜与平江▯戸，余三斗。欲知共米及三人所分各粜石几何？荅曰：「共米七百三十八石，三人各分米二百四。」
十六石甲粜官斛二百九十六石，乙粜安吉斛二百二十三石，丙粜平江斛一百八十二石。术曰：以大衍求之，置官塲斛率、安吉乡斛率、平江市斛率【官私共知者，官斛八斗三升，安吉乡斛一斗一升，平江市斛一石三斗五升】为原数，求总等，不约一位，约众位，连环求等，约竒不约偶，或犹有类数存者，有求等约彼为复，乘此各等定母相乘为衍母，互乘为衍数，满定去之，得竒，大衍求一得乘率，乘衍数为用数，以各余米乘用，并之为总，满衍母去之，不满为所分，以原人数乘之为共米。草曰：「置文思院官斛八十三升，吉安州乡一百一十升，平江府市斛一百三十升，各为其斛原率。」
先以三率求总等，得一不约【按此题只一数，见十不必用复数求总等】次以连环求等，其安吉率一百一十与平江率一百三十五求等，得五，以约平江率得二十七【按五为中数，或约偶，或约奇，皆可，但不约可以▯约者】余皆求等得一不约，各得原数。
以定相乘，得二十四万六千五百一十，为衍母。各以原率约之，得二千九百七十，为官斛衍数；得二千二百四十一，为安吉州衍数；得九千一百三十，为平江斛衍数。
官斛 安吉 平江 衍母次以定母满法去衍数，得不满六十五为官斛奇，不满四十一为安吉奇，不满四为平江奇数。
定母奇数，各以大衍入之，求得乘数，得二十三，为官斛乘率，得五十一，为安吉乘率，得七，为平江乘率。
以乘率各乘寄左行衍数，得六万八千三百一十，为官斛用数；得一十一万四千二百九十一，为安吉用数；得六万三千九百一十，为平江用数。
次以甲余三十二升乘官斛用数六万八千三百一十得二百一十八万五千九百二十升，于上；次以乙余七十升乘安吉用数一十一万四千二百九十一得八百万三百七十升，于中；次以丙余三十升乘平江用数六万三千九百一十得一百一十九万七千三百于下。各为总，并之得一千二百一十万三千五百九十升，为总数。满衍母二十四万六千五百一十升去之，不满二万四千六百升，为所求率。展为二百四十六石，为三人各分米。以兄弟三人因之，得七百三十八石，为共米。置分米二百四十六石，各以官斛八斗三升、安吉斛一石一斗、平江斛一石三斗五升约之：甲得二百九十六石余三斗二升，乙得二百二十三石余七斗，丙得一百八十二石余三斗。各为粜过及余米，合问。
数学九章卷一上<子部,天文算法类,算书之属,数学九章》>钦定四库全书数学九章》卷一下宋秦九韶撰。大衍积足寻原问欲砌基一叚，见管大小方甎六门城甎四色，令匠取便，或平或侧，只用一色甎砌，湏要适足。匠以甎量地，计料称用：大方料广多六寸，深少六寸【按即多七寸】用小方广多二寸，深少三寸【按即多八寸】用城甎长广多三寸，深少一寸【按即多一尺一寸】以阔深少一寸【按即多五寸】广多三寸；以厚广多五分，深多一寸。用六门甎长广三寸，深多一寸；以阔广多三寸，深多一寸；用厚广多一寸，深多一寸。皆不匼匝，未免修破甎料禆补。其四色甎：大方方一尺三寸，小方方一尺一寸，城甎长一尺二寸，阔六寸，厚二寸五分；六门长一尺，阔五寸，厚二寸。欲知基深广防何？按题意，谓以一尺三寸量基之广，未余六寸；以一尺一寸量之余二寸；以一尺二寸量之余三寸；以六寸量之，亦余三寸；以二寸五分量之余五分；以一尺量之余三寸；以五寸量之，亦余三寸；以二寸量之余一寸，以求广也。其求深之意，亦同。答曰：「深三丈七尺一寸，广一丈二尺三寸。」术曰：以大衍求之，置甎方长阔厚为元数，以小者为单，起一，先求总等，存一位，约众位【列为多者，随意立号】乃为元数，连环求等，约为定母，以定相乗为衍母，各定约衍母，得衍数，满定去之，得竒，竒定大衍，得乗率，以乗衍数，得用数，次置广深多少数，多者乘用，少者减元数，余以乘用，并为总，满衍母去之，不满得广深。草曰：置四甎，方长阔厚，系八数。城甎厚有分为小者，皆通之为单大。方得一百三十分，小方得一百一十分。城甎长得一百二十分，阔得六十分，厚得二十五分。六门甎长得一百分，阔得五十分，厚得二十分。
锥行置之右列，位稍多甎，名相互。今假八音为号，位先以最少者自木二十与革二十五求等，得五，乃反约木二十为四。木四与土五十求等，得二，以约五十为二十五。木四与匏六十求等，得四，约六十为一十五。木四与竹一百求等，得四，约一百为二十五。木四与丝一百一十求等，得二，约一百一十为五十五。木四与石一百二十求等，得四，反约木四为一。以木一与金求等，得一，不约为木与诸数求等，约讫为一。变得数具图如后。
次以革二十五与土五十【按前巳约土为二十五次变不应复用原数然于得数却无碍】求等得二十五约五十为二；以革二十五与匏一十五，求等得五约匏一十五为三；以革二十五与竹二十五，求等得二十五约竹二十五为一；又以革二十五与丝五十五，求等得五约丝五十五得一十一；以革二十五与石一百二十，求等得五约一百二十为二十四；以革二十五与金一百三十，求等得五约金一百三十得二十六。革与诸数徧约讫为二变，具图如后。
乃以土二与匏三、竹一、丝一十一求等，皆得一不约。以土二与石二十四求等，得二及约，土二得一。又不土一与金二十六求等，得一不约。土与诸数约讫，为三变，具图如后。
乃以匏三与竹一，丝十十一求等，皆得一。又以匏三与石二十四求等，得三，约石二十四为八。又匏三与金二十六求等，得一，不约匏与诸数约讫，以为四变。次以竹一与丝一十一，与石二十四【按巳约为八，云二十四误】与金二十六求等，皆得一。竹与诸数约讫，为五变。次以丝一十一与石二十四【按误同上】与金二十六求等，皆得。一不约为六变复以石二【十】四【按误同上】与金二十六求等，得二，约金二十六为一十三，至此七变连环求等约俱毕，得数为定母，列图如后。
右定母列右行以相乗，得八万五千八百，为衍母。以各定母约衍母，各得衍数。其竹、木、土定得一者为无。
金定一，十三得衍数六千六百石；定八，得衍数一万七百二十五丝；定一十一，得衍数七千八百竹；定一，无衍匏；定三，得衍数二万八千六百土；定一，无衍数革；定五五，得衍数三千四百三十二木；定一，无衍数。各满定母去之，得竒数。
金得竒九，石得竒四，丝得竒一，匏得竒一，草得竒七。其丝匏得竒数一者，便以一为乗率。其金、石、革三处竒数，皆与本定母用大衍求一入之，各得乘率，列右行。
金得三，石得五，丝得一，革得一，革得一十八，各为乘率，寄左行，衍数各得，为用数。
凡诸用数同类者，类必多，可互借以补无者，先验革元数二十五与木元数二十为同类，求等得五，以等五约衍母八万五千八百，得一万七千一百六十，乃于革用数内减出，以补木位，为木用余四万四千六百一十六，为革用。次验竹元数一百与土五十为同类，以求等得五十，以等五十约衍母八万五千八百，得一千七百一十六，亦于革用内各借与竹、土为用数，革止余四万一千一百八十四为用，得诸定用数。
按无用数，则此条可省；借数转生烦扰，非法也。其所以可用借补者，盖以同类之元数，其较余之竒偶必同，故一数可分用也。然惟元数同偶者为然，同竒则有不可用者。此题可用，因题中余数未过小元数。
也右行定用，始列锥行，假号求得，今照甎色，迁次列之。
旣照甎次序列用数于右行，乃验问题所谓大方甎砌广多六寸，小方多二寸，城甎长多三寸，城甎阔多三寸，厚多五分，六门长多三寸，阔多三寸，厚多一寸。对本用列左行，各对乘之，具图如后。
两行乗毕，金得一百一十八万八千，丝得一十五万六千，石得一百六十万八千七百五十，匏得八十五万八千，革得二十万五千九百二十，竹得五万一十四百八十，土亦得五万一千四百八十，木得一十七万一千六百。乃并前八位数，共得四百二十九万一千二百三十分，为总满衍母八万五千八百，去之不满一千二百三十分，约之为一丈二尺三寸，为基元广数。乃求其深，验问题：大方砌少六寸，小方砌少三寸，城甎长砌少一寸，阔砌少一寸，厚砌多一寸，六门长砌多一寸，六门阔砌多一寸，六门厚砌多一寸。列为中行，次置诸甎元数，列为左行，课减之，具图如后。
今以中行多者存之，少者用减。左行存者，左行元数去之。所减者，左行余数存之。金得七十丝，得八十石，得一百一十匏，得五十革，得一十竹，一十土，一十本，一十具。图如后。
列为左行，以对右行。定用数具，图如后。
以左行多余数对乘右行用数，金得一百三十八万六千，丝得六十二万四千，石得五百八十九万八千七百五十，匏得一百四十三万，革得四十一万一千八百四十，竹得一万七千一百六十，土得一万七千一百六十，木得一十七万一千六百，具图如后。
并八位得九百九十五万六千五百一十分，为总满衍母八万五千八百，去之不满三千七百一十分，展为三丈七尺一寸，为基地深。
推计土功问筑堤起四县，夫分给里歩皆同，齐阔二丈，里法三百六十歩，歩法五尺八寸。人夫以物力差定：甲县物力一十三万八千六百贯，乙县物力一十四万六千三百贯，丙县物力一十九万二千五百贯，丁县物力一十八万四千八百贯。每力七百七十贯科一名，春程人功平方六十尺，先到县先给。今甲乙二县俱毕，丙县余五十一丈，丁县余一十八丈，不及一日全功。欲知堤长及四县夫所筑各防何？按题意，以四县修堤总长相同，毎日所修之长不同，以各每日所修之长计总长，或适足，或有余，以求总长也。但不正言其数，而设堤阔数，各县物力数，一夫力数，一夫平方数，以取每日所修堤长数，故令人不能骤觧。答曰：堤长一十九里二百三十五歩五尺。甲县夫筑一千二十六丈【乙丙丁同】乙县夫筑一千七百六十八歩五尺六寸【甲丙丁同】丙县夫筑四里三百二十八歩五尺六寸【甲乙丁同】丁县夫筑【同前三县数】按四县所筑堤长等则丈数歩数里数皆同，今以三数分载三县下，而复注以与某县同，殊混人目。术曰：置各县力，以程功程为实，以力率乗堤齐阔为法，除之，得各县日筑复数【有分者通之，互乗之得通数】求总等，不约一位，约众位，曰元数。连环求等约竒，得定母。陆续求衍数，竒数乗率用数，以丙丁县不及数乘本用，并为总数，以定母相乘为衍母。满母去总数，得各县分给里歩积尺数，以县数因之为堤长。各以里法歩法约之为里歩。草曰：置甲县力一十三万八千六百贯，乙县力一十四万六千三百贯，丙县力一十九万二千五百贯，丁县力一十八万四千八百贯。以程功六十尺徧乗之，皆以贯黙【按：贯黙乃以一贯千文为法之名，与前官陌、市陌名相似】约之。甲得八百三十一万六千尺，乙得八百七十七万八千尺，丙得一千一百五十五万尺，丁得一千一百八万八千尺，各为实。次以力率七百七十贯乗堤，齐阔二十尺，亦以贯黙约之，得一万五千四百尺为法，徧除诸各实。甲得五十四丈，乙得五十七丈，丙得七十五丈，丁得七十二丈，各为四县众夫每日筑长率。按大衍术，命曰复数，列右行。
以复数【按前术以尾数在十以上者为复数此数不合】求总等得三大【按此条原本皆以丈为寸于义无取今皆改正】以约三位多者不约其少者，甲得五十四，乙得一十九，丙得二十五，丁得二十四，仍为元数。次以两两连环求等各约之。
按四县每日筑长数皆以丈为单位，非位数也。但一等数可以度尽四数，必先求总等约之，然后可以为元数。即此可见，总等法不独用于通数、复数也。先以丁丙求等，又以丁乙求等，皆得一，不约。次以丁甲求等，得六，只约甲五十四，得九，不约。丁次以丙与乙求等，又以丙与甲九求等，皆得一，不约。后以乙与甲九求等，得一，不约。复验甲九与丁二十四，犹可再约，又求等得三，以约丁二十四，得八。复乘甲为二十七。
次以定母四位相乗求得一十万二千六百为衍母，各以定母约衍母：甲得三千八百，乙得五千四百，丙得四千一百四，丁得一万二千八百二十五为衍数。
满定母各去，衍数甲不满二十，乙不满四，丙不满四，丁不满一，各为竒数。
以各定母与本竒数，用大衍求一术入之，各得乘率：甲得二十三，乙得五，丙得一十九，丁得一。
以右行乗率，对乘寄左行衍数，甲得八万七千四百，乙得二万七千，丙得七万七千九百七十六，丁得一万二千八百二十五，各为用数。
次验四县所筑有无不及零丈尺寸，今甲乙俱毕为无，丙余五十一丈，丁余一十八丈为有。以丙丁二县余丈各乗丙丁二用数，其丙五十一丈乗丙用七万七千九百七十六，得三百九十七万六千七百七十六丈为丙总。以丁余一十八乗丁用一万二千八百二十五，得二十三万八百五十丈为丁总。并二总得四百二十万七千六百二十六丈为总数。亦以丈通衍母得一十万二千六百丈，仍为衍母。满去总数不满一千二十六丈为所求长率。以四县因之得四十一百四丈为实，以歩法五尺八寸除之，得七千七十五歩五尺为堤长歩。以里法三百六十歩约之，得一十九里二百三十五歩五尺为堤通长。置长率一千二十六丈以歩法约之，得一千七百六十八歩五尺六寸。又以里法约之，得四里三百二十八歩五尺六寸为各县所给道里歩尺数。
余米推数问：有米铺诉被盗去米，一般三箩，皆适满，不记细数。今左壁箩剰一合，中间箩剰一升四合，右壁箩剰一合。后获贼系甲、乙、丙三名。甲称当夜摸得马杓，在左壁箩舀入布袋；乙称踢着木履，在中箩舀入袋；丙称摸得漆椀，在左邉箩舀入袋。将归食用，日乆不知数。索到三器：马杓满容一升九合，木履容一升七合，漆椀容一升二合。欲知所失米数，计赃结防，三盗各防何？答曰：共失米九石五斗六升三合。环甲米三石一斗九升二合，乙米三石一斗七升九合，丙米三石一斗九升二合。术曰：以大衍求之，列三器所容为元数，连环求等约为定母，以相乘为衍母，以定各约衍母得衍数，各满定母去之得竒，以竒定用大衍求得乘率，以乘衍数得用数，次以各剰米乗用，并之为总，满衍母去之，不满为毎箩米，各以剰米减之余为甲乙丙盗米，并之为共失米。草曰：「列三器所容，一升九合，一升七合，一升二合，为元数。连环求等，皆得一。不约，便以元数相乗得三千八百七十六，为衍母。以各元数为定母，以定约衍母，得衍数：甲得二百四，乙得二百二十八，丙得三百二十三，各为衍数。列左行，以三定母：甲十九，乙十七，丙十二，列右行。具图如后。」
各满，定母去衍，数得竒数。甲得一十四，乙得七，得七，丙得一十一。
各以竒定，用大衍求一，各得乗率。甲得十五，乙得五，丙得一十一，各为乘率，列右行，对寄在行。衍数具图，如后。
以丙行对乗之，得用数：甲得三千六十，乙得一千一百四十，丙得三千五百五十三。列右行，具图如后。
既得用数，始验问题，三箩剰米，列左行，对三人所用，以两行对乗之，甲得三千六十，乙得一万五千九百六十，丙得三千五百五十三。
并三数得二万二千五百七十三，为总数。满衍母三千八百七十六，去之不满三千一百九十三，合展为三石一斗九升三合，为三箩适满。细数以左箩剰一合，减之余三石一斗九升二合，为甲盗米，又为丙盗米。以中箩剰米一升四合，减之余三石一斗七升九合，为乙盗米。并三人共得九石五斗六升三合，为所失总米，合问。
程行计地问军师：获防当早防，差急足三名徃都下，节节走报。具甲于前数日申末到，乙后数日未正到，丙于今日辰未到。据供：甲日行三百里，乙日行二百四十里，丙日行一百八十里。问自军前至都里数及三人各行日数防何？答曰：「军前至都三千三百里，甲行一十一日，乙行一十三日四时半，丙行一十八日二时。」术曰：以大衍求之。置各行里，先求总等，存一约众，得原里。次以连环求等，约竒复乘偶，得定母。以定相乘为衍母，满定除衍。衍得乘率以乘衍数，得用数。次置辰刻正末，乗各行里为实，以昼六时约之，得余里。各乗用数，并为总，满衍母去，得所求至都里。以各日行约之，得日辰刻数。草曰：置甲三百里，乙二百四十里，丙一百八十里。先求总等，得六十。只存甲三百，勿约。乃约乙二百四十得四，次约丙一百八十得三。各为元数，连环求等。
先以丙乙求等，得一，不约。次以丙甲求等，三于术约，竒不约偶。盖以等三约三，因得一为竒，卢无衍数，乃便径先约甲三百为一百。复以等三兼丙三为九，既丙九为竒，甲百为偶，此即是约竒弗约偶。次以一四与甲百求等，得四，以四约一百得二十五为甲，复以四乗乙四得一十六为乙，各为定母。
以定母相乗，得三千六百，为衍母。以各定约衍母为衍数，甲得一百四十四，乙得二百二十五，丙得四百。
术数各满，衍母去之，不满为竒数。甲得一十九，乙得一，丙得四。
以各竒数与定母用大衍入之，各得乘数：甲得四，乙得一，丙得七。各为乗率，列右行。
以乗率对乘寄左行衍数，甲得五百七十六，乙得二百二十五，丙得二千八百，各为用数。
次置甲申末到者，其酉初为夜，此是甲以全日到为无余里。次置乙于未正到，乃于卯时数至未正，得四个半时，以四半乗乙行二百四十里，得一千八十为实，以画六时约之，得一百八十里为乙行，不及全日之余里。次置丙于辰未到，自卯初数至辰未，得二时，以因丙行一百八十里，得三百六十为实，以六时除之，得六十里为丙行，不及全日之余里。
以乙余一百八十乗乙用二百二十五得四万五百，于中以丙余六十乗丙用二千八百得十六万八千，加中共得二十万八千五百为总，满衍母三千六百去之，不满三千三百里为军前至都里，以甲三百除之得一十一日，以乙二百四十除之得一十三日四时半，以丙一百八十除之得一十八日二时，合问。按凡总等数必小于连环等数，若甚大即为连环等数，此题数是也，故再约即用求续等法，不然不能合也。
程行相及问：有急足三名，甲日行三百里，乙日行二百五十里，丙日行二百里。先差丙徃他处下文字，旣两日，又有文字遣乙追付，已半日，复有文字续令甲赶付。乙三人偶不相及，乃同时俱至彼所。先欲知乙果及丙，甲果及乙，得日并里次。问彼处去此里数各防何？按题意，谓三行迟疾不同，乙后丙两日，甲后乙半日，问防日防里可以追及。又旣及之后，三人不能同行，及各至彼处之时刻，皆与各起程之时刻相同。盖言自此至彼所行，皆为整日数也。答曰：「乙果追及丙，八日行二千里。甲果追及乙，二日半行七百五十里。彼处去此三千里。」术曰：以均输求之，大衍入之。置乙己去日数，乗乙行里为实，以甲乙行里差为法，除之，得甲及乙日数辰刻，以乗甲行得里。次置丙旣去日，乗丙行里为实，以丙乙行里差为法，除之，得乙及丙日数，以乗乙行得里。然后置三人日行，求总等约得原数，以连环求等约得定母，以定相乗得衍母，各定约衍得衍数，满定去衍得竒，竒定大衍得乗率，以乗寄衍得用数。视甲及乙里为乙率，乙及丙里为丙率，以乙日行满去乙率，不满为乙余；以丙日行满去丙率，不满为丙余。以二余各乗本用，并之为总，满衍去之，不满为彼去此里。草曰：置乙己去日，乘乙日行二百五十里，得一百二十五里为实。次置甲日行三百里，减去乙行二百五十里，余五十里为差，法除实，得二日五十刻，甲果及乙。数以乗甲行三百里，得七百五十为甲及乙里数。次置丙既行二百，乗丙日二百里，得四百里为实。次置乙行二百五十里，减丙行二百里，余五十里为差，法除实，得八百为乙及丙日数。以乗乙行二百五十里，得二千里为乙得及丙之里数。已上为先，欲知果及数，次列甲乙丙三名日行，求总等得五十，先约甲丙，存得甲六，乙二百五十，丙四。
以甲六丙四求等得二，以二约甲为三，复以二因丙为八，次将乙二百五十与丙八相约得二，乃约乙为一百二十五，复以二因丙为十六，定得甲三，乙一百二十五，两十六为定母。
以定相乗得六千，为衍母。以各定约衍母，得衍数。甲得二千，乙得四十八，丙得三百七十五。求竒数。
左上二千，以甲三去之，竒二；左中四十八，即为乙竒；左下三百七十五，丙十六去之，竒也。
各以大衍求得甲二，乙一百一十二，丙七，各为乘率。
以乗率对乗衍数，甲得四千，乙得五千三百七十六，丙得二千六百二十五，为泛用数。
并三泛得二万二千，一乃多衍母一倍，当半衍母六千，得三千，以消甲四千，余一千，又消乙五千三百七十六，余二千三百七十六，丙不消，各为定用数。
既得用数，次视前草中甲及乙七百五十里为乙率，乙及丙一千里为丙率，各满乙丙日行里去之。
今乙、丙二人所行，各皆适满，去之无余。虽称同时俱至，乃各系全日所行。便以乙、丙二人约六千里，得三千里为彼去此里数，合问。按复数求元数，用总等法，尚属未密。盖总等约后，有当连环求等者，有当即求续等者，其法不能定也。今少为变通，凡复数皆见十者，先以十为总等，徧约之【百千万同】为元数。俟连环求等毕，复以总等十乗一数【百千万同】然后再求续等，以得定数。爰依题数具式于后。法列三数于上，以十为总，等徧约之，得甲三十，乙二十五，丙二十，即为元数。连环求等，以甲与乙约，得等数五【竒】约甲得六【偶】以甲与丙约，得等数二【偶】约甲得三【竒】为甲数徧约毕。次以乙与丙约，得等数五【竒】约丙得四【偶】为乙丙二数徧约毕。乃以总等十乗乙数，得二百五十。次求续等，以甲与乙与丙相约，俱无续等；以乙与丙约，得续等二【偶】约乙数得一百二十五【竒】复乗丙得八。则甲三，乙一百二十五，丙八，即为各定数也。以三定数连乗，得三千，为衍母，即所问。彼处去此之里数，较旧术算省而数亦确矣。
数学九章卷一下<子部,天文算法类,算书之属,数学九章》>