钦定四库全书数学九章》卷二下宋秦九韶撰天时

钦定四库全书数学九章》卷二下宋秦九韶撰天时

揆日究微问厯代测景，惟唐大衍厯最宻。本朝崇天厯阳城冬至景一丈二尺七寸一分五十杪，夏至景一尺四寸七分七十杪九。系与大衍厯同。今开禧厯临安府冬至景一丈八寸二分二十五杪，夏至景九寸一分。欲求临安府夏至后差防日，而景与阳城夏至日等较以大衍厯晷景所差尺寸各防何？答曰：「大暑后五日午中，景长一尺四寸八分。」八十。

五杪按旧本答数后有二图，舛错潦草，传冩者失其真也。细考图内所载之数，皆与今法颇合，知此悉当时实测所定，非同臆説也。因取其数改正于后。<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二下》>置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五杪，以夏至景九寸一分减之，余九尺九寸一分二十五杪，为景差，以为实。

置象限度九十一度三十一分四十四杪，加一十一度二十五分二十七杪五十小分，命度为寸，得一百二寸五十六百七十一分五十杪为法，以除前差实，得空寸九十六百六十四分四十杪，不尽弃之，自乗得节泛数九千三百四十分，不尽弃之。

先以小暑节乗率二十五乗节率九千三百四十分，得二十三寸三千五百分，于上。

次以临安夏至九寸一分自乗，得八十二寸八千一百分，为夏至幂。

乃以夏至幂加上，得一百六寸一千六百分，为小暑幂，以为实，以一寸为隅，开平方，得一尺三分，为临安小暑节景，不尽七百分，即寸下七毫，弃之。

按各节气影长皆当时实测所定，本不待求。今所设求法，乃故为溟涬，使人不可觧也。细查其数，首以象限加十一度余为法，以除影差，得数自乗为节率。四每节下又有乗率，以乗率节率相乗，与夏至影幂相加，即为本节影幂。是知节率乃强取之数，盖以此数先除各节影幂与夏至影幂之较，名为乗率。故以此与节率相乗，加夏至影幂，即各节影幂也。数家设术误人，往往如此。又以大暑乗率一百九乗节率九千三百四十分，得一百一寸八千六十分，于头位。

仍以夏至幂八十二寸八千一百分，加头位一百一寸八千六十分，得一百八十四寸六千一百六十分，为大暑幂，以为实，以一寸为隅，开平方，得一尺三寸五分八十七杪，为大暑，不尽弃之。

又置立秋乗率二百八十九，乗节率九千三百四十分，得二百六十九寸九千二百六十分于上。

仍置夏至幂八十一寸八千一百分，加于上二百六十九寸九千二百六十分，得三百五十二寸七千三百六十八，为立秋幂。

置立秋幂为实，以一寸为隅，开平方，得一尺八寸七分八十一杪，为立秋景，不尽弃之。

乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪，在大暑后、立秋前。乃置大暑一尺三寸五分八十七杪，并立秋景一尺八寸七分八十一杪，得三尺二寸三分六十八杪，以半之，得一尺六寸一分八十四杪，为大暑后九日景。又以九日景并大暑景，得二尺九寸七分七千一杪，以半之，得一尺四寸八分八十五杪半，为大暑后五日景。

乃以大暑景得五日景得二尺八寸四分七十二杪半，以半之得一尺四寸二分三十六杪少，为大暑后三日景。

又以五日景得三日景得二尺九寸一分二十一杪，大以半之，得一尺四寸五分六十杪，八十七小分五十小杪，为大暑后四日景。

今验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪，为入临安府大暑后四日景一尺四寸五分六十杪太强，乃以四日减五日景，余三分二十四杪太弱为景差，以十二时除之，得二十七杪五小分二十小杪为法。

乃置阳城夏至景一尺四寸七分七十九抄，减临安大暑后四日景一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪，余二分一十八杪一十二小分五十小杪为实。后以法二十七杪五小分二十小杪除之，实如法而一，得商数八有余。命大暑四日午后数八辰，得大暑五日寅时景与阳城夏至之日午景等。

求较以大衍厯晷景所差，乃置阳城大暑景长一尺九寸五分七十六杪，并阳城立秋景二尺五寸三分三十一杪，得四尺四寸九分七杪，以半之，得二尺二寸四分五十三杪半，为次暑后九日午中景。

置九日景复并大暑景一尺九寸五分七十六抄得四尺二寸二十九杪半，以半之得二尺一寸一十四杪太，为大暑后五日景。

今验开禧厯所推临安府大暑后五日午中景一尺四寸八分八十五杪半，与阳城大暑后五日午中景尺一寸一十四杪太课之。

乃以临安府五日景，减阳城五日景，差六寸一分二十九杪少。

按此法不过以临安前后两节气影长比例，一影长之日数时刻，复以所得节气日数时刻比例，一阳城影长与之相较耳。题内引大行、崇天、开禧诸法名目，又称其较同异差数，皆故为张皇之语。且影差逐日不同，皆以平派求之，法亦未宻也。草曰：置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五抄，以夏至景九寸一分减之余，九尺九寸一分二十五抄为景差，以为实。置象度九十一度三十一分四十四杪，加一十一度二十五分二十七杪半，命度为寸，得一百二寸五千六百七十一分半为法，除实，得空寸九千六百六十四分四十杪，以自乗之，得空寸九千三百四十分为节率。先以小暑乗率二十五乗之，得二十三寸三千五百分于上，次以临安夏至景九寸一分自乗，得八十二寸八千一百分为夏至景幂，以加上得一百六寸一千六百分为小暑景幂，开平方，以一寸为隅，开之得一尺三分为小暑景。又以大暑乗率一百九乗节率九千三百四十分，得一百一寸八千六十分于上，仍加夏至幂八十二寸八千一百分，得一百八十四寸六千一百六十分为大暑幂，以为实，一寸寸为隅，开平方得一尺三寸五分八十七杪为大暑景。又置立秋乗率二百八十九乗节率九千三百四十分，得二百六十九寸九千二百六十分于上，仍加夏至幂八十二寸八千一百分，共得三百五十二寸七千三百六十为立秋幂，以为实，以一寸为隅，开平方得一尺八寸七分八十一抄为立秋景。乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪，在大暑后立秋前，乃并大暑立秋二景半之，得一尺六寸一分八十四杪为大暑后九日景。又并大暑景半之，得一尺四寸八分八十五杪半为大暑后五日午中景。又并大暑景得数半之，得一尺四寸二分三十六杪少为大暑后三日景。又并五日景一尺四寸八分八十五杪半得数半之，得一尺四寸五分六十杪强为大暑后四日景。验得阳城夏至景入临安大暑后四日，乃以四日景减五日景，余三分二十四杪太弱为差，以十二时除之，得二十七杪五小分二。十小杪为法，复除阳城景与本日景差二分一十八杪一十二小分五十小杪，得八命外为在初五日寅时景等。求较以大衍厯晷景所差，乃置阳城大暑景长一尺九寸五分七十六杪，并阳城立秋景二尺五寸三分三十一杪，得四尺四寸九分七杪，以半之，得二尺二寸四分五十三杪半，为大暑后九日午中景。复并暑景一尺九寸五分七十六杪，得四尺二寸二十九杪半，以半之，得二尺一寸一十四杪太，为大暑后五日暑。以较今开禧厯当日景一尺四寸八分八十五杪半，差少六寸一分二十九杪少，合问。接集中，皆术在前，草次之，图在后。此条之例不同。

天池测雨问：今州郡多有天池盆，以测雨水。但知以盆中之水为得雨之数，不知器形不同，则受雨多少亦异。未可以所测便为平地得雨之数。假今盆口径二尺八寸，底径一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨防，防何？

答曰平地雨防三寸术曰：盆深乗底径，为底率。二径差乗水深，并底率为靣率。以盆深为法，除靣率，得面径。以二率相乗，又各自乗，三位并之，乗水深为实。盆深乗口径，以自之，又三因为法，除之，得平地水深。草曰：以盆深及径皆通为寸，盆深得一十八寸，底径得一十二寸，相乗得二百一十六寸，为底率。置口径二十八寸，减底径一十二寸，余一十六寸，为差，以乗水深九寸，得一百四十四寸，并底率二百一十六寸，得三百六十寸，为靣率。以盆深一十八寸为法，除靣率得二十寸，展为二尺，为水靣径。以底率二百一十六寸乗靣率三百六十寸，得七万七千七百六十寸，于上，以底率二百一十六寸自乗，得四万六千六百五十六寸，加上，又以靣率三百六十寸自乗，得一十二万九千六百，并上共得二十五万四千一十六。以乗水深九寸，得二百二十八万六千一百四十四寸，为实。以盆深一十八寸乗口径二十八寸，得五百四寸，自乗得二十五万四千一十六寸，又三因得七十六万二千四十八寸，为法，除实得三寸，为平地雨深，合问。

竹器验雪问以圆竹箩验雪，箩口径一尺六寸，深一尺七寸，底径一尺二寸，雪防其中，髙一尺，箩体通风，受雪多则平地少，欲知平地雪髙防何？按「箩体通风」一语，与算术不相涉。或「箩口所降之雪」归于箩底，与前「天池测雨」题相同。然依上步算，平地雪深只七寸余，今其数又不合。殆故为是语，以误人也。答曰：「平地雪厚九寸，三千四百二十九分之七百。」

六十四术曰：口径减底径，余乗雪深半之，自乗为隅。以箩深幂乗雪深幂，并隅，又乗雪深幂为实。隅实可约，约之，开连枝三乗方，得平地雪厚。草曰：列问数各通为寸，置口径一十六寸，减底径一十二寸，余四寸，乗雪深一十寸，得四十寸，以半之，得二十寸，自乗得四百寸为隅，以箩深一十七寸自乗得二百八十九寸为箩深幂，次置雪深一十寸自乗得一百寸为雪深幂，以乗箩深幂数加隅，又乗深幂得二百九十三万寸为实，隅实求等，得四百，俱约之，得七千三百二十五为实，得一为隅，开三乗方歩法不可超，乃约实置商九寸，与隅一相生，得九为下亷，又与商相生，八十一寸为上亷，又与商相生，得七百二十九为从方，乃命上商除实不尽七百六十四，已而复以商生隅入二亷至方陆续又生毕，以方亷隅共并之，得三千四百三十九分寸之七百六十四为平地雪厚九寸，三千四百三十九分寸之七百六十四合问。按此法之意，不可见。然以数考之，非通法也。设原题雪深为一寸，以口径底径较四寸乗雪深一寸，仍得四寸半之得二寸，自之得四寸为隅。以箩深一十七寸自之，得二百八十九寸为箩深幂。雪深一寸自之，仍得一寸为雪深幂。二深幂相乗，仍得二百八十九寸，并隅得二百九十三寸。再以雪深幂乗之，仍得二百九十三寸为实。隅实相约，得七十四寸二十五百分为实，一为隅。开三乗方，得二寸又六千四百分寸之五千七百二十五，是平地雪反深于箩内矣。列问：数各通为十，口径得一十六寸，深一十七寸，底径一十二寸，箩中雪髙一十寸。

乃以底径减口径，余四寸，乗雪深一十寸，得四十寸，以中得数二十寸，自乗得四百寸，为隅。

以箩深一十七寸，自乗得二百八十九寸，为箩深幂。

次置雪深一十寸，自乗得一百寸，为雪深幂。

以雪深幂一百寸，乗箩深幂二百八十九寸，得二万八千九百寸，并隅四百寸，得二万九千三百寸，为上。

置头位数，二万九千三百寸，又乗雪深幂，一百寸，得二百九十三万寸，为实，开三乗方。

以隅实求等，得四百，俱为约之，得七千三百二十五为实，一为隅，开之。

歩法不可超，乃约实置商九寸，与隅相生，得九为下亷。

下亷九，又与商九相生，得八十一，为上亷。

上亷又与商相生，得七百二十九，为从方。

乃以从方七百二十九命上商九除实七千三百二十五讫，实余七百六十四。既而，后以商生隅入下亷。

下亷得一十八，又与啇九相生，入上亷。

上亷得二百四十三，又与商相生入，方得二千九百一十六。

又以商九生隅一入下亷一十八内得二十七。

又以商九生下亷二十七，入上亷二百四十三内，得四百八十六。又以商生隅入下亷二十七内，得三十六。为求图，乃以末圆方亷隅四者并之，得三千四百三十九为母，以实余七百六十四为子。

命为平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合，问？

圆罂测雨问以圆罂接雨，口径一尺五寸，腹径二尺四寸，底径八寸，深一尺六寸，并里明接得雨水深一尺二寸，圆法用宻率，问平地雨水深防何？按此题问平地雨深，无闗圆法宻率，句赘。若求罂中雨积数，则当加此语。答曰：「平地雨深一尺八寸七万四千八十八分寸。」

之六万四千四百八十三按答数误改正见后术曰：底径与腹径相乗，又各自乗并之，乗半罂深，以一十一乗之，为下率；以四十二为下法，除得下积。以半罂深并雨深，减元罂深，余为上深。以口径减腹径，余乗上深，为次。以半罂深乗口径，加次为靣率。以半深除靣率，得水靣径。以半深乗腹径，为腹率。置靣率与腹率相乗，又各自乗并之，以一十一乗之，为上率。以半深自乗为幂，以乗下法为上法。上法除上率，得上积。半深幂乗下率，并上率为总实。口径幂乗上法为总法，除实得平地雨髙草曰：置底径八寸，与腹径二十四寸相乗，得一百九十二寸于上。又底径八寸自乗，得六十四寸，加上。又腹径二十四寸自乗，得五百七十六寸，并上共得八百三十二寸，以乗半罂深八寸，得六千六百五十六寸。又以一十一乗之，得七万三千二百一十六寸为下率【按此下法不合，皆为题中图法句所误】置宻率法一十四，以所并三因之，得四十二为下法。以半深八寸并雨深一十二寸，得二十寸，以减元深一十六寸，余四寸为上深。以口径一十寸五分减腹径二十四寸，余一十三寸五分，以乗上深四寸，得五十四寸为次。以半罂深八寸乗口径一十寸五分，得八十四寸，加次共得一百三十八寸为靣率。以半深八寸乗腹径二十四寸，得一百九十二寸为腹率。置靣率一百三十八寸与腹率一百九十二寸相乗，得二万六千四百九十六寸于上。又以靣率一百三十八寸自乗，得一万九十四十四，加上。又以腹率一百九十二寸自乗，得三万六千八百六十四，并上共得八万二千四百四寸【按此条内落以上髙四寸乗之一层】以一十一乗之，得九十万六千四百四十四寸为上率。以半深八寸自乗，得六十四寸为半深幂，以乗下法四十二，得二千六百八十八为上法。以半深幂六十四寸乗下率七万三千二百一十六寸，得四百六十八万五千八百二十四寸，并上率九十万六千四百四十四，共得五百五十九万二千二百六十八寸为总实。以口径一十寸五分自乗，得一百一十寸二分五厘，以乗上法二千六百八十八寸，得二十九万六千三百五十二寸为总法。除实得一尺八寸，不尽二十五万七千九百三十二，与法求等，得四，俱约之为一尺八寸七万四千八十八分寸之六万四千四百八十三为平地雨深，合问。按此法有二误：法实皆当用圆幂，或皆用方幂。今以圆幂率乗实，方幂率乗法，法实不同类，一误也。罂内雨自腹径截之，为雨圆防体，下髙八寸，上髙四寸。于下体并三幂以髙乗之，于上体只并三幂未以髙乗之，二误也。有此二误，故得平地雨深少三十五分之十七。今依本法改正于后。法以腹径底径相乗又各自乗并三积，以半罂深八寸乗之，得六千六百五十六寸，为三倍方罂内腹下雨积。又以口径腹径相减，余一十三寸五分，以雨深减罂深，余四寸，相乗以半罂深除之，得六寸七分五厘，与口径相加，得一十七寸二分五厘，为雨靣径。与腹径相乗又各自乗并三积，以雨上深四寸乗之，得五千一百五十寸二五，为方罂内三倍腹上雨积。并二雨积，得一万一千八百零六寸二五，为方罂内三倍共雨积，为实。口径自乗三因，得三百三十寸七五，为法，除实，得三尺五寸又一千三百二十三分寸之九百二十，为平地雨深。若不先用除，则以口径腹径较与罂深雨深较相乗之五十四寸，为雨靣径口径较，加一半罂乗之数【应以半罂除之得雨径较，今不除，即如雨径较以半罂乗之】即为雨靣径口径较。此数既加一半罂乗则诸数皆以半罂乗之，得口径八十四寸，腹径一百九十二寸，以口径与雨靣径口径较相加，得雨靣径一百三十八寸，与腹径相乗又各自乗并三幂，以腹上雨深四寸乗之，得三十二万九千六百一十六寸，为三倍上雨积。又以半罂深幂乗前三倍下雨积，得四十二万五千九百八十四寸，为三倍下雨积，并二积，得七十五万五千六百寸，为三倍共雨积，为实。以半罂深幂乗三因口径幂，得二万一千一百六十八寸，为法，除之，得数亦同。

峻积验雪问：验雪占年，墙髙一丈二尺，倚木去址五尺，梢与墙齐。木身积雪厚四寸，峻积薄，平积厚。欲知平地雪厚，防何？

答曰平地雪厚一尺四分术曰：以少广求之，连枝入之，以去址，自乗为隅，以墙髙自乗，并隅于上，以雪厚自之乗上为实【可约者约而开之】开连枝平方得地雪厚。草曰：以问数皆通为寸，置去址五十寸，自乗得二千五百，为隅。以墙髙一百二十寸，自乗得一万四千四百寸，并隅得一万六千九百寸，于上。以雪厚四寸自之，得一十六，乗上得二十七万四百寸，为实。开连枝平方，今隅实可求等，得一百，俱约之，得二千七百四为实，得二十五为隅。开平方，得一十寸四分，展为一尺四分，为平地雪厚，合问。按此术理法皆确然实用，勾股不曰勾股，而曰少广，曰连枝者，犹有所闭匿而不肯尽发也。试以圗明之：甲乙为墙上雪厚，即平地雪厚；乙丙为木上雪厚。甲乙丙勾股形，与木倚墙所成勾股形同式。墙髙为大股，木为大弦，木去址为大。

勾甲乙为小弦甲丙为小股乙丙为小勾以墙髙大股自乗木去址大勾自乗并之为大弦幂为实以木上雪厚乙丙，小勾幂乗之，以木去址大勾幂除之，得甲乙小弦幂，开平方即为平地雪厚也。