钦定四库全书数学九章》卷六下宋秦九韶撰钱谷

钦定四库全书数学九章》卷六下宋秦九韶撰钱谷

僦直推原问房廊数内一户，日纳一百五十六文八分足为准。指挥未曽经减者，减三分；已曽经减三分者，减二分；已曽经减二分者，更减二分。今本户累经减者，欲知原额房钱几何？

答曰原额三百五十文术曰：以衰分求之。列一十分，两行各三位。列减分，对减右行，以余者相乘为法。以左行原列相乘得纳钱为实。实如法而一，得原额钱。草曰：列一十三位于左行，又列一十分三位于右行。其右上减去初，减三分；右中减去次，减二分；右下减去更，减二分。右行余七八八，以相乗得四百四十八为法。乃以左行三位一十分相乘得一千为乗率，以乘见日纳钱一百五十六文八分，得一百五十六贯八百文为实。实如法而一，得三百五十文为本户原额戸钱。

推求本息问：三库息例，万贯以上一厘，千贯以上二厘五毫，百贯以上三厘。甲库本四十九万三千八百贯，乙库本三十七万三百贯，丙库本二十四万六千八百贯。今三库共约到息钱二万五千六百四十四贯二百文。其典率，甲反锥差，乙方锥差，丙蒺藜差。欲知原典三例本息各几何？按此即衰分题也。其差有反锥、方锥、蒺藜之名。盖以一二三递减如立锥为反锥，以一四九平方递加为方锥，以一三六三数递加为蒺藜。是必古有其名也。至以各差求各本，则因各本原依各差入之也。答曰：「甲库共纳息九千五十三贯文一厘，息二千四百六十九贯文二厘半，息四千一百一十五贯文三厘，息二千四百六十九贯文；乙库共纳息一万五十一贯文一厘，息二百六十四贯五百文二厘半，息二千六百四十五贯文三厘，息七千一百四十一贯五百文；丙库共纳息六千五百四十贯二百文一厘，息二百四十六贯八百文二厘半，息一千八百五十一贯文三厘，息四千四百四十二贯四百文。」术曰：置诸库诸色之差，照厘率为三行，纵并之为约率，横命之为乗率。以约率各约自库之本，各得以遍乗未并乗率，然后各以厘率横乗之，次以纵并之为各库共息。草曰：置甲库反锥差，自下置三二一于右行，次置乙库方锥差，自上置一四九于中行，次置丙库蒺藜差，自上置一三六于左行，各为三库上、中、下三等乘率。乃纵并甲差三二一，得六为甲约率；纵并乙差一四九，得一十四为乙约率；纵并丙差一三六，得一十为丙约率。直命九位数各为上、中、下乗率。乃先以约率各约自库之本，乃以甲约率六约甲本四十九万三千八百贯，得八万二千三百贯为甲得；次以乙约率一十四约乙本三十七万三百贯，得二万六千四百五十贯为乙得；次以丙约率一十约丙本二十四万六千八百贯，得二万四千六百八十贯为丙得。以各得乗未并乗率，其甲所得八万二千三百贯乘反锥乗率三二一，得二十四万六千九百贯为上率，得一十六万四千六百贯为中率，得八万二千三百贯为下率。其乙所得二万六千四百五十贯以乗方锥差一四九，得二万六千四百五十贯为上率，得一十万五千八百贯为中率，得二十三万八千五十贯为下率。其丙所得二万四千六百八十贯以乗蒺藜差一三六，得二万四千六百八十贯以乘蒺藜七万四千四十贯为中率，得一十四万八千八十贯为下率。然后各以息厘数乘各库三乗【此是变文为库】其甲以一厘乗上率二十四万六千九百贯，得二千四百六十九贯为上息；以二厘五毫乘中率一十六万四千六百贯，得四千一百一十五贯为中息；以三厘乘下率八万二千三百贯，得二千四百六十九贯为下息，并上中下三息得九千五十三贯文为甲库共息。其乙库以一厘乗上率二万六千四百五十贯，得二百六十四贯五百文为上息；以二厘五毫乗中率一十万五千八百贯，得二千六百四十五贯为中息；以三厘乗下率二十三万八千五十贯，得七千一百四十一贯五百，为下息。并上中下三息，得一万五十一贯文，为乙库共息。其丙库，以一厘乗上率二万四千六百八十贯，得二百四十六贯八百，为上息。以二厘五毫乘中率七万四千四十贯，得一千八百五十一贯，为中息。以三厘乗下率一十四万八千八十贯，得四千四百四十二贯四百文，为下息。并上中下三息，得六千五百四十贯二百文，为丙库共息。并三库共息，得二万五千六百四十四贯二百文，为总息。

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下》>易牒知原【按旧本此问无题，今増入】问：出度牒差人营运，毎三道易盐一十三袋，盐二袋易布八十四疋，布一十五疋易绢三疋半，绢六疋易银七两二钱。今趂到银九千一百七十二两八钱，欲知原闗度牒道数几何？

答曰度牒一百八十道术曰：以粟米互乘，易法求之。列各数，以本色相对，如鴈翅。以多一事者相乗为实，以少一事者相乘为法，除之。

草曰：先以度牒三道乗盐二袋，得六；以乘布一十五，得九十文；乗绢六疋，得五百四十；乃乗银九万一千七百二十八钱，得四千九百五十三万三千一百二十钱为实。次以盐一十三袋乗布八十四，得一千九十二；以乗绢三疋五分，得三千八百二十二；乃乘银七两二钱，得二十七万五千一百八十四钱为法。除实得一百八十道为原闗度牒。粟米交易【按旧本此问无题，今増】问：菽三升易小麦二升，小麦一升五合易油麻八合，油麻一升二合易粳米一升八合。今将菽一十四石四斗欲易油麻，又将小麦二十一石六斗欲易粳米，问各几何？答曰：「油麻五石一斗二升，粳米一十七石二斗。」

八升术曰：以粟米换易求之。置原易率，本色对列，如鴈翅。以多一事者相乘为实，以少一事者相乗为法，除之，各得。或问数不干其率者，不置。草曰：置四色六数，列六位率如鴈翅，皆化为合。先将菽一十四石四斗，化作一万四千四百合，乃对前二句率数四位如鴈翅，至欲易油麻止，共五事为上图。次将小麦二十一石六斗，化为二万一千六百合，乃对后两句率四位鴈翅，至欲粳米止，共五事为下图。下图其上图，以菽一万四千四百合乘麦二十，得二十八万八千，又乗油麻八合，得二百三十万四千合为油麻实。次以菽三十合乘麦一十五合，得四百五十合为法除之，得五千一百二十合，展为五石一斗二升为油麻。其下图，以小麦二万一千六百合乗油麻八合，得一十七万二千八百合，又乗粳米一十八合，得三百一十一万四百合为粳米实。以小麦一以五合乗油麻一十二合，得一百八十合为法除之，得一万七千二百八十，展作一十七石二斗八升为粳米。

计米易麴【按旧本此问无题，今增】问：库率粳谷七石，出米三石；糯米一斗，易小麦一斗七升；小麦五升，踏麴二斤四两；麴一百一十斤，酝糯米一石三斗。今有糯谷一千七百五十九石三斗八升，欲出谷做米，易麦踏麴，还自酝，余谷之米，须令适足，各合几何？答曰：共谷一千七百五十九石三斗八升，出谷九百二十四石，得米三百九十六石，易麦六百七十三石二斗，踏麴三万二百九十四斤，余谷八百三十五石三斗八升，酝米三百五十八石二升。术曰：以粟米换易求之。置诸率，随本色对列，如鴈翅。有分者通之，异类者变之。以头位者进乗之，以下位退乗之。得合数，有对者相乗之，无对者直命之。为诸率并上下无对者为法率【诸率可约者又约之】以今有物徧乘诸率【不乗法率】各为实。诸实并如法而一，各得其已变者，复互易乗除之，即得所求。草曰：置糯谷七出米三于右行上副两位，次置糯米一斗麦一斗七升于副行副中两位，次置小麦五升踏麦二斤四两于次行中次两位，次置麦一百一十觔酝米一石三斗于左行次下两位，随本色对列如鴈翅讫，乃验次行二斤四两是四分斤之一，以母四通次行两位，以子一内次行次位，具中位得二次位得九。又验左行下位是糯米，是异类于糯米合变为糯谷，乃以问中首句率谷七米三变之，以七因米一石三斗得九石一斗于左下为谷，却以米三因麴一百一十斤为三百三十斤麴于左行得变图数。以左行三百三十乗次行二得六百六十，次以六百六十乘副行一十得六千六百，次以六千六百乗右上七得四万六千二百，各于原位。却以右行副位三因副行一斗七升得五斗一升，又以五斗一升乗次行九得四百五十九，又以四百五十九乗左下九十一得四万一千七百六十九，列为合图数。乃验合图四行，其副中次三位有对，以对相乗合之，其右上左下无对者直命之，皆为率。列右行上得四万六千二百为出糯谷率，副位得一万九千八百为得糯米率，中得三万三千六百六十为易得麦率，次得一万五千一百四十七为踏到麴率，下得四万一千七百六十九为余下糯谷率，并上下率共得八万七千九百六十九为法率。今六率共求等，得一约之，只得原率为率。图始用今有谷一千七百五十九石三斗八升，皆化为升，徧乘五率不乗法率，得八十一亿二千八百三十三万五千六百升为出谷实，得三十四亿八千三百五十七万二千四百升为糯米实，得五十九亿二千二百七万三千八十升为易麦实，得二十六亿六千四百九十三万二千八百八十六为踏麴实，得七十三亿四千八百七十五万四千三百二十二。升为余谷，实其五实皆如法，八万七千九百六十九而一，得九百二十四石为出谷，得三百九十六石为做到，糯米得六百七十三石二斗为易到，小麦得三万二百九十四斤为踏到，麴得八百三十五石三斗八升为余下谷。今将余下谷变为米，乃以乗率三因余谷八百三十五石三斗八升，得二千五百六石一斗四升为实，以糯谷率七为法除之，得三百五十八石二升为酝米。

按：术中互乗、进乗、退乗、对乗，皆通分法也。张邱建云：「学者不患乗除之为难，而患通分之为难。」此术曲尽其妙，今各释于后。第一图，互乗以右上谷七乗左下米一十三，得九十一。应以右下米三除之，方得谷数。今不除，便如得谷数，又以米三乗之矣。故以米三乗麴一十一，得三十三，与谷数九十一相当，仍同于麴一十一与米一十三相当也。第二图，左进乗自下而上，右退乗自上而下，左四位连乗至谷，应以右上三位连乗之数除之，得踏麴三十三所用谷数，今不除为寄。右上三位连乗之数为分母，右四位连乘至谷，即如麴三十三所酝谷数同寄。右上三位连乗之数为分母也，并之即如踏麴用谷，麴所酝谷总数同寄，右上三位连乗之分也。第三图对乗，左下一位麴数以前寄分母，右上三位连乗之数乗之，即同寄一分母也。左下二位相乗，应以右上第三位除之，得踏麴所用麦数，不除为寄。右上第三位麴数，又以右上二位相乘之数乗之，是应用麦数内同寄右上三位连乘之分母也。左下三位连乘，应以右中二位相乗之数除之，得易麦应用米数，不除为寄。右中二位相乗之数，又以右上第一位米数乗之，是应用米数内同寄右上三位连乗之分母也。右总谷、出谷、余谷、易米、易麦、踏麴六数皆同寄一分母，则用以乗除求得数，即与本数无异。故以题中总谷数乗寄分母各数，以寄分母总数除之，即得所求各数也。再此术不独法之巧，即图式布置亦皆皆具精义。熟玩之，可以得其往来变通之故。原第三合图仍斜排为上，图第四率图即各寄寄母数直列为下图。今合图改为正图列于右，各得寄母数并列于左。

▯囘运费问：有江西水运米一十二万三千四百石，原系镇江交卸，计水程二千一百三十里，每石水脚钱一贯二百文。今截上件米就池州安顿，池州至镇江八百八十里，欲收囘不该水脚钱几何？答曰：「收囘钱六万一千一百七十八贯五百九十一文。」术曰：以粟米互易求之。置池州至镇江里数，乗水脚钱，得数，又乗运米为实，以原至镇江水程为法，除实，得收囘钱。草曰：置池州至镇江八百八十里，乗毎石水脚钱一贯二百，得一千五十六贯文。又乗运米一十二万三千四百石，得一亿三千三十一万四百贯文，为实。以原至镇江水程二千一百三十里为法，除实，得六万一千一百七十八贯五百九十一文，为收囘钱。三合均价【按旧本此问无题，今増】问：库有三色金共五千两，内八分金一千二百五十两，两价四百贯文；七分五厘金一千六百两，两价三百七十五贯文；八分五厘金二千一百五十两，两价四百二十五贯文。并欲炼为足色，每两工食药炭钱三贯文，耗金九百七十二两五钱。欲知色分及两价各几何？答曰：色十分。两价五百三贯七百二十四文，五百三十七分文之二百一十二。术曰：以方田及粟米求之。置共数，以耗减之余为法。以三色分数各乗两数，并之为色分实。以三色价数各乗两数为寄，以工药价乗共金，并寄共为价实。二实皆如法而一，即各得。草曰：置共金五千两，减耗九百七十二两五钱，外余四千二十七两五钱为法。次置一千二百五十两，乘八分，得一万分于上。置一千六百两，以七分五厘乗之，得一万二千分。加上置二千一百五十两，乗八分五厘，得一万八千二百七十五分。又加上，共得四万二百七十五分为分实。次置一千二百五十两，乗四百贯，得五十万贯为寄。次置一千六百两，乘价三百七十五贯，得六十万贯，加寄。次置二千一百五十两，乗价四百二十五贯，得九十一万三千七百五十贯，又加寄。次置共金五千两，乗工药钱三贯，得一万五千贯，又加寄，共得二百二万八千七百五十贯为贯实。二实并如法四千二十七两五钱而一，得其色一十分。其价每两得五百三贯七百二十四文，不尽一贯五百九十，与法求等，得七十五，俱约之为五百三十七文之二百一十二。

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下》>其色实余，尽得一十分为金色，其价除得五百三贯七百二十四文，为十分金毎两价不尽一贯五百九十文，与法求等，得七半，俱以约之，为五百三十七分文之二百一十二。

数学九章卷六下<子部,天文算法类,算书之属,数学九章》>