数学九章卷三下

数学九章卷三下

钦定四库全书数学九章卷四上《宋秦九韶撰》测望按测望之法，见于晋刘徽《海岛算经》，原名《重差》，其书一卷九题，法简数宻。此卷本其法而扩充之，于古人之意，实多所发明。然其中譌舛之处，较他卷尤甚，今悉为正之。至术有未合者，更设法以附其后焉。

望山高逺问：名山去城不知高逺。城外平地有木一株，高二丈三尺，假为前表。乃立后表与木齐高，相去一百六十四歩。先退前表三丈九寸，次退后表三丈一尺三寸。斜望山峯，各与其表之端参合。人目高五尺，里法三百六十歩，歩法五尺。欲知山高及逺各防何？答曰：髙二十里半，零三歩五分歩之三；逺二十七里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七。按：术数误，后入目，距山系三十五里二百三十九歩一尺三寸，其故详后。术曰：以勾股求之，重差入之。置二退表相减，余为高法。通表间并法于上，以目高减表高，余乗上为寔。寔如法而一，得山高。以法乗表高为逺法【按此条法误，应以法乗表高与人目去地之较】以退后表乗髙寔为逺寔，寔如法而一，得山逺。望山髙逺图【按旧图画山木在术前，今山改移于此】

草曰置后退表三丈一尺三寸减前退表三丈九寸余四寸为高法置表去木一百六十四歩以歩法五十寸通得八千二百寸为表间并法四寸得八千二百四寸于上以目髙五尺减表高二丈三尺余，通之为一百八十寸，乗上得一百四十七万六千七百二十寸，为髙实。实如髙法四寸而一，得三十六万九千一百八十寸，为积寸。次以歩法五十寸约之，得七千三百八十三寸五分歩之三。次以里法三百六十歩约之，得二十里一百八十三歩五分歩之三，为山髙【按此所得系人目上之山高，若加人目高则多一歩】次以法四寸乘表高二丈三尺，得九百二十，为逺法【按误同前】以退后表三丈一尺三寸乗髙实一百四十七万六千七百二十寸，得四亿六千二百二十一万三千三百六十寸，为逺实。实如逺法九百二十寸而一，得五十万二千四百五寸二十三分寸之一十九，为积寸。乃以歩法五十寸乗逺法九百二十，得四万六千寸，为法，亦除逺实，得一万四十八歩，不尽五千三百六十，与法求等，得八十，俱以约之，得五百七十五分歩之六十七。又以里法三百六十歩约得二十七里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七，为山去后表入立望处等图如后。按术中求山髙法，合其求逺以表髙乗高法为逺法，则误。葢本法应即以高法为逺法，以退后表乗表问并法为寔，即得后人目距山之逺。今以退后表乗髙寔为寔，而髙寔乃目高减表高乗表减并法之数，则逺法亦当以目髙减表髙乗髙法。今即以表髙乗之，则法数大，故得数小也。

乃以头位八千二百四寸乗中一百八十寸，得一百四十七万六千七百二十寸为髙寔。<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上》>乃以歩法五十寸乗中位逺法九百二十寸，得下位四万六千寸，为后图中位歩寸法。

乃以中除上，得下位里数及零歩。其不尽寸，与法求得八十，俱约之为歩分母子之数。

临台测水问：临水城台，立髙三丈，其上架楼，其下址侧脚濶二尺，謢岸排沙，下桥去址一丈二尺，外椿露土髙五尺，与址下平，遇水涨时浸至址，今水退不知多少，人从楼上栏杆腰中驾一竿出外斜望水际，得四尺一寸五分，乃与竿端参合，人目髙五尺，欲知水退立深涸岸斜长，自台址至水际各几何？按算题固不厌其难，然必简而不漏，繁而不赘，始为合作。如此题本意，谓竿端与台址上下悬直，则侧脚阔二尺，句已赘，又不明言人目距台边逺近，皆故为黯黮也。术曰：以勾股变法，兼少广求之。求涸岸斜长，置出竿乘台髙为叚，以去基乘叚为阔泛，以岸髙乘叚为浅泛，以目髙乘去基为约泛。三泛可约者约之为定率，不可约径为率。以阔率自乘为阔幂，以浅率自乘为浅幂，并阔浅二幂共为竣幂，复乘阔幂于上，以台髙幂乘上为竣实。次以阔率乘浅率为寄，以台髙数乘阔率，又乘约率，得数内减寄，余自乘为竣隅。騐峻实、峻隅两者可约，求等约之为峻定实、峻定隅。开同休连枝平方得峻岸斜长【同休格：先以隅开平方得数，名同隅；以同隅乘定实开之得数为寔，以同隅为法除之得竣斜。按此条误草中，乃即以定实开平方得数，以同隅除之为竣斜也】求水退深，基岸髙幂乘竣定实为深实，以去岸幂并岸为幂乗竣定为深隅【其深实、深□可约，约之仍以同休格入之】开连枝平方得水退深。临防测水图【按旧图画楼防不画正髙，在术前，今改正，移于此】

草曰以出竿四十一寸五分乘防髙三十尺得一百二十四尺五寸为段以去址一十二尺乘叚得一千四百九十四以为阔泛，以防岸髙五尺乘段一百二十四尺五寸得六百二十二尺五寸为浅泛，以目髙五尺乗去址一十二尺得六十尺为约泛，以阔泛、浅约泛三者求等等得一尺五寸，皆以约其阔泛得九百九十六尺为阔率，其浅泛得四百一十五尺为浅率，其约泛得四十尺为约率，以阔率九百九十六自乗得九十九万二千一十六尺为阔幂，以浅率四百一十五自乗得一十七万二千二百二十五尺为浅幂，倂阔浅二幂得一百一十六万四千二百四十一为竣幂，以阔幂九十九万二千一十六尺乘竣幂得一万一千五百四十九亿四千五百六十九万九千八百五十六尺于上，又以台髙三十尺自乘得九百尺为台髙幂乗上得一千三十九万四千五百一十一亿二千九百八十七万四百尺为竣实，次以阔率九百九十六乘浅率四百一十五得四十一万三千三百四十为寄，以台髙三十乘阔率九百九十六得二万九千八百八十文，乘约率四十得一百一十九万五千二百，内减寄余七十八万一千八百六十尺自乗得六千一百一十三亿五百五万九千六百尺为隅，以隅与竣实求等得二千四百八十万四百，俱以约之得四千一百九十一万二千六百七十六尺为竣定实，得二万四千六百四十九为竣定隅，开同休连枝平方得竣岸至水际斜长，验同休格，乃以定隅二万四千六百四十九万为实，先以一为隅开平方得一百五十七为同休法，次以竣定实四千一百九十一万二千六百七十六尺为实，亦以一为隅开平方得六千四百七十四尺为同休实，实如同休法一百五十七而一求等得一，俱以一各约之，其法与余只得此数，乃直命之得四丈一尺一百五十七分尺之三十七为涸岸。斜长至水际，求退水深，置岸髙五尺，自乗得二十五，为岸髙幂，乗竣定实四千一百九十一万二千六百七十六尺，得一十亿四千七百八十一万六千九百，为深泛。以去岸一十二尺，自乗得一百四十四尺，为去岸幂，并岸髙幕二十五尺，得一百六十九尺，以乗竣定隅二万四千六百四十九，得四百一十六万五千六百八十一，为隅泛。置二泛求等，得一百六十九，俱约二泛，得六百二十万一百，为定实，得二万四千六百四十九，为深定隅。开连枝平方，得水退立深，验同休格。乃以深定隅二万四千六百四十九为实，先以一为隅，开平方得一百五十七，为同休法。次以深实实六百二十万一百为实，亦以一为隅，开平方得二千四百九十，为同休实。实如法一百五十七而一，得一十五尺，不尽一百三十五，与法求等，得一，俱以一各约法与只得，此数乃直命之，得一丈五尺一百五十七分尺之一百三十五，为水退立深数也。按此条术虽甚繁，理数皆极精宻，非兼通于勾股通分之法者不能立也。但累乗累除，错综变换，皆未尝明言，其不能无金鍼不度之疑，今绘图以之，并条拆其乘除各数于后。如图，甲乙为防，正髙乙丙为桩去。防址丙丁为岸，髙乙戊为台址至水际即为峻斜，己庚为人目髙甲。庚为出竿，戊癸为水面正深，题有甲乙防髙，乙丙桩去址，丙丁去桩。

甲庚出竿己入庚目髙求乙辛，竣斜自丁防与丙丁平行相等，作丁辛线。自乙防与丙丁并行，作丁作乙辛线。自丁防与戊甲平行，作丁壬防。得壬丁辛勾股形，内有乙丁辛勾股形一，与乙丙丁辛等；有乙丁壬三角形一，与甲乙戊形同式。法当以己庚小股乗庚辛大勾，以甲庚小勾除之，得壬辛大股。次以乙丁三小角形下斜邉乗甲乙戊形直邉，以乙辛减壬辛，余壬乙为乙丁壬形直邉为法除之，得乙戊为甲乙戊形下斜邉，即所求防址。至水际之峻斜，其法只用丨除两次，甚属易简。即遇数不尽者，以通分御之。▯加一二次乗除可以，乃必增至十余次，多者始欲穷数之变，就一题以为诸法之例，非徒为繁难也。试依术内逓次乗除之数，逐条细论之。出竿【甲庚】乗髙防【甲乙】为段去址【乙丙】乗段为阔率【原名阔泛约之为阔率，今即为阔率】为去址乗防髙出竿长幂之数，阔率自乗为阔幂，即如去址幂乗防髙出竿长幂自乗之数，又即如去址幂乗防髙幂又乗出竿幂之数。岸髙【丙丁】乗段为浅率【原名浅泛约之为浅令即浅浅率】为岸髙乗防髙出竿长幂之数，浅率自乗为浅幂。即如岸髙幂乗台髙出竿长幂自乗之数，又即如岸髙幂乗防髙幂又乗出竿幂之数。并阔幂、浅幂为浅幂，为竣幂【乙丁】幂乗台髙，出竿长幂，自乗之数。又即如小斜幂乗防幂，又乗出竿竿幂之数。阔幂、峻幂相乗为上数。即如小斜幂乗去址幂，又乗台髙幂，自乗又乗出竿幂，自乗之数。阔率浅率相乗为寄数，即土去址岸髙相乗，又乗防髙幂，又乗出竿幂之数。去址目髙【己庚】相乗为约率。即如出竿乗壬辛。台髙乗阔率，即如去址乗台髙幂，又乗出竿之数，又以约率乗之，即如去址壬辛相乗幂，又乗台髙幂，又乗出竿幂之数，内减寄数，余去址壬乙相乗幂，又乗台髙幂，又乗出竿幂之再自乗之隅数，即如壬乙幂乗去址幂，又乗台髙幂自乗，又乗出竿幂自乗之数。

上数隅数内去址幂台髙幂自乗出竿幂自乗各数皆同则用上数乗隅数除即如用小斜幂乗壬乙幂除矣以防髙幂乗上数若以隅数除之即得竣斜【乙戊】幂但数不能尽故约之带隅数开平方所谓连枝同休法也至阔泛浅用于乗数约泛用于除数故可两邉同约又为省算也求水立深同此<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上》>陟岸测水问：行师遇水，须计篾防，搭造浮桥。今垂绳量陟岸髙山，丈人立其上，欲测水面六阔。以六尺为矩，平持去目下五。今矩本抵颐，遥望水彼岸与矩端岸相合。又望水此岸沙际入矩端三尺四寸。人目髙五尺，其水面阔几何？答曰：「水阔二十三丈四尺六寸【按：应二十三丈八尺】术曰：以勾股重差求之。置短去目下寸为法，以人目并岸髙减去法【按：减法误】余乗人矩端为实，如法而一，得水阔。陡岸测水圗【按：旧圗画岸水视緑不能在术前令改正移于此】

草曰置矩本去目下五寸为法以入目髙五尺并岸髙三丈得三丈五尺通为寸得三百五十寸减去五寸余三百四十五寸乗沙际入矩端三十四寸得一万一千七百三十寸为实，实如法五寸而一，得二千三百四十六寸，展为二十三丈四尺六寸，为水阔，合问。按测望诸线皆合于人目之一防，其髙正当自人目计之，今减去人目距矩，自矩下计之，不得其理矣。

表望方城问敌城不知广逺，傍城南山原林间房之林际，有木二株，南北相去一百六十步，遥与城东方面参相直，乃于二水之东相对立，两表表间与木四方平，人目以绳维之，人自东后表向西行一十步，望城东北隅入东前表一十五步，又望城东南隅入东前表四十八歩强半歩，里法三百六十，欲知其方广及相去几何？答曰：城东广各一十二里三百二十步，城去木。

九里三百二十歩按：答数皆误。今推得城方广各一十一里二百二十歩，又三十一分步之二十。城东南隅至北木一里九十九歩，又三十一分歩之一十二。术曰：以勾股重差求之。置城东南隅景入表，减表间，余乗表间，为城去木寔。以西方歩减城东北隅景入表，余为法【按此句法误】得城去木数。以城东北隅景入表，减表间，余乗表间，为广实。实如前法而一，得城广【按此所得乃城东北隅至前木之逺以为城广数误也】表望方城图【按旧图画城南二木与城东面不城一直线在术前今改正移于此】

草曰以西行一十步减东北隅入表一十五步余五歩为法以城东南隅景入表四十八步七分半减表间一百六十步余一百一十一歩二分半乗表间一表六十歩得一万七千八百，为城去木寔，以法五歩除之【按误同上】得三千五百六十歩，以里。法三百六十，约之得九里三百二十步，为城去木里及步数。次置城东北隅，京十表一十五步，减表间一百六十余，一百四十五歩乗表间一百六十，得二万三千二百，为减实。以以前法五步除之，得四千六百四十歩，以里法三百六十约之，为一十二里三百二十歩，即城方广里及歩数【按误亦同上】合问按此题之要在二：本与城东面成一直，面方城与表木方形各邉俱平，西行减城东南隅入表之较与表间成小勾股形，城东南隅入表间表间之表与城东南隅至前木成大勾股形，此二形同式可以相比，故术草中第二求以城东北隅入表减表间之余乗表间为实，以西行步减城东北隅入表之余为法除实，是也。但所得为城东北隅至前木之逺，以为城广则误矣。又西行步减城东南隅入表之较与表间成小勾股形，城东南隅入表减表间之较与城东南隅至前木成大勾股形，此二形亦同式可以相比，以城东南隅入表减表间之余乗表间为实，应以西行步减城东南隅入表之为法除之，即得城东南隅之前木之逺。术草中以西行步减城东北隅入表之余为法，故得数大七倍余。既得城东面南北二隅距前木之逺，则相减为城广，可知矣。

遥度城问：有圆城，不知周径，四门中开，北外三里有乔木，出南门便折，东门九里乃见木，欲知城周径各几何【圆用故法】答曰：径九里，周二十七里。术曰：以勾股夕桀求之。一为从隅，五因北外里为从，七亷置北里幂，八因为从，五亷以北里幂为正率，以东行幂为负率，二率差四乗北里为益从，从三亷倍负率成五亷为益上亷，以北里乗上亷为实，开玲珑九乗方得数，自乗为径，以三因径得周。遥度圆城【图旧图画城挂在术前今删改移于此】

草曰以一为从隅以五因北三里得一十五里为从七亷以北三里自乗得九里为正率以八因率得七十二为从五亷以西行见里自乗得八十一为负率，以正率九减负率，余七十二，位负差，以四因之，得二百八十八，以乗北三里，得八百六十四，系负差所乗者为益。三亷倍负率八十一，得一百六十二，乗五防七十二，得一万一千六百六十四，为益上亷。以北三里乗上亷，得三万四千九百九十二，为实。置实亷隅，玲珑空隅位方亷，以约实，众法不可超进，乃于实上定商三里，其隅与商相生，得三为从下亷，又与商相生入从七亷，共得二十四为星亷，又与商相生得七十二为从六亷，又与商相生入五内，共得二百八十八，又与商相生得八百六十四为从四亷，又与商相生得二千五百九十二为正三亷，内消益三亷八百六十四讫，余一千七百二十八为从三亷，又与商相生得五千一百八十四为从二亷，又与商相生得一万五千五百八十二为从上亷，内消益上亷一万一千六百六十四讫，余三千八百八十八为正上亷，又与商相生得一万一千六百六十四为从方，乃命上商三里除实适尽，得三里，以自乗之，得九里，为城圆径之里数，又以故法圆率三因之，得二十七，为城周。

以上求率图，以后开方图，实与益皆负，画黑；商与从皆正，画朱。按：商实负字旁，书已明，今皆用黒。