钦定四库全书数学九章》卷三下宋秦九韶撰田域

钦定四库全书数学九章》卷三下宋秦九韶撰田域

环田三积问：环田、大小圆田共三段。环田外周三十步，虗径八步。大圆田径一十步，小圆田周三十步。欲知三田积及环田周、通实径、大圆周、小圆径各防何？答曰：环田积二十步，二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五，通径九步一十九分步之九；实径一步一十九分步之九；内周二十五步一十七分步之五。大圆田积七十九步五十三分步之三，周三十一步二十一分步之十三。小圆田积七十一步二百八十六分步之四十三，径九步一十九分步之九。术曰：以方田及少广率变求之。各置圆环径，自乗为幂，进位为实，以一为隅，开平方得周。各置环圆周，自乗为幂，退位为实，以一为隅，开平方得径。以周幂或径幂乗各实，以一十六约之为实，以一为隅，开平方得圆积。置环周幂乘径实，十六约之为大率；置虚径幂乗内周实，十六约之为小率。以二率相减之余，以自乗为实，并二率倍之为从，上亷一为益隅，开三乗方得环积。置环周自乗退位为实，一为隅，开平方得通径。以虚径减通径，余为实径。其有开不尽者，约而命之。

草曰：置大圆径一十步，自乗得一百为径幂，进位得一千为实，以一为隅，开平方得三十一步，不尽三十九为分子，乃以隅生方，又益隅，共得六十三为分母，以分子与母求等，得三，俱以三约之，母子得二十一分步之一十三为大圆周三十一步二十一分步之一十三。次以径幂一百乗前实一千，得一十万，以十六约之，得六千二百五十为实，以一为隅，开平方得七十九步，不尽九为分子，乃以隅生方，又增隅得一百五十九为分母，以分子母求等，得三，俱以三约母子，得五十三分步之三为大圆积七十九步五十三分步之三。次置小圆田周三十步，自乗得九百为周幂，退位得九十为径实，以一为隅，开平方得九步，不尽九，以隅生方，又益隅得一十九步之九为小圆径九步一十九分步之九。次以周幂九百乗前实九十，得八万一千，以十六约之，得五千六十二步五分为实，以一为隅，开平方得七十一步有不尽数二十一步五分为子，以隅生方，又益隅得一百四十三为分母，以分子母求等，得五分，俱约之，得二百八十六分步之四十三为积。次置环田周三十步，自乗得九百为周幂，退位得九十为实，以一为隅，开平方得九步，不尽九为分子，以隅生方并隅得一十九为分母，直命之为环田通径九步一十九分步之九。次以环周幂九百乗环实九十，得八万一千，以十六约之，得五千六十二步五分为大率。次置环田虗径八步，自乗得六十四为虗幂，进位得六百四十为实，以一为隅，开平方得二十五步，不尽一十五为分子，以隅生方又并隅得五十一为分母，与子求等，得三，俱约之，得一十七分步之五为环田内周二十五步一十七分步之五。次以虗幂六十四乗周实六百四十，得四万九百六十，以十六约之，得二千五百六十为小。率以小率减大率，余二千五百二步五分，自乗得六百二十六万二千五百六步二分五厘，为实。以大小二率并之，得七千六百二十二步五分，倍之得一万五千二百四十五，为从上亷。以一为益隅，开玲珑三乗方得二十步，不尽三十二万四千五百六步二分五厘，为分子。续啇无数，乃以益隅一益下亷八十，并之得八十一，为减母。次以从上亷一万二千八百四十五并从方五十七万七千八百，得五十九万六百四十五，以母八十一减之，余五十九万五百六十四，为分母。以分子求等，得二分五厘，俱约之得二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五，为环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五。次置环田通径九步一十九分步之九，以虚径八步减之，余一步一十九分步之九，为环田实径。合问。按周径相求，以进位退位为实者，盖以径一周三有竒，径一自之，仍得一周自之，略与十等，故径幂升一位为周幂，周幂降一位为径幂，以省算，亦法之巧者。其径求周，较宻率约大一百五十七分之一；周求径，约小一百五十九分之一。然较古率则已宻矣。其周幂径幂相乗，十六约之，开平方得圆积者，盖周径相乗，四归得圆积；径自乗为方积，故四归亦展为自乗十六之数，约之得四分径之幂乗周幂之数，故开方得圆积。至求环积，与前求尖田积同，但彼立天元一为两积之和，此立天元一为两积之较耳。其式如左。法立天元一为环田积，即内外两圆积之较，自之得一平方，为较自乗，以大小率【即二圆积各自乗】并而倍之，得一万五千二百四十五步，内减较自乗，得一万五千二百四十五步少一平方，为和自乗，与较自乗再相乗，得一万五千二百四十五平方少一三乗方，寄之。次以大小率相减，余二千五百零二步五分，为和较相乗，再自之，得六百二十六万二千五百零六步二分五厘，与寄数等，即为实。寄数内平方数，即从上亷三乗方数，即益隅。

此圗照问列位以后照草运算乃先置次大径以上副，自乗得中，以中进位为次实，以一为下隅。

凡九变，至此得大圆径。次求大圆积。

上副自乗得中，以次约之得下，为实。

凡十一变，至此得大圆积，次求小圆径。

一十一变，得小圆积，次求环田通径，当求环田通径。盖环田之外周三十步，与小圆田外周同，则不遇，与前七变诸圗一理，兹不复繁，乃求实径。

凡九变得环田内周次求环积<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下》>开三乗方，凡二十变，至此得环田积数。求实径，但以虚径减通径，余一步一十九分步之九，为环田实径。

均分梯田问户业田一段，若梯之状，南广小三十四步，北广大五十二步，正长一百五十步，合系兄弟三人，均分其田，邉道各欲出入，其地形难分，经官乞分，南甲乙北内，欲知其田共积，各人合得田数，及各段正长、大小广防何？答曰：「田共积二十六畆二百一十步。」甲得八畆三角五十步，小广三十四步，系元南广，大广四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四，大约百分步之八十九，正长五十七步二千四十五分步之百五十三，大约一百分步之四十一分。乙得八畆三角五十步，小广同甲，大广，大广四十六步八万四千八百二十六亿。八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三，计大率约百分步之七十七分半强。正长四十九步四亿一千二百四十万六千二百九分步之二千二十七万六千三百一十九，大约百分步之四分九厘。丙得八畆三角五十步，小广同乙，大广，大广五十二步，系元北广，正长四十三步，八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六，大约百分步之五十三分强。术曰：以少广及从法求之，并两广乗长得数，以分田人数约之为通率，半之为各积，以长乗各积为共实，以长乗南广为甲从方，二广差半之为共隅，开连枝平方得甲截长，以甲长除通率得数，减小广余为甲广，即为乙小广。以元长乗乙小广为乙从方，置共隅共实，开连枝平方得乙截长，以乙长除通率得数，减乙小广余为乙大广，即为丙小广。倂甲乙长减元长余为丙长，以元大广为丙大广，各有分者通之。

草曰：置小广三十四，并大广五十二，得八十六，乗长一百五十，得一万二千九百，为实。以兄弟三人约之，得四千三百，为通率。半之，得二十一百五十，为各积。以法二百四十步约之，得八畆，不尽二百三十步。以角法六十步约之，得三角五十步。是三人各得八畆三角五十步。以元长一百五十步乗各积二千一百五十，得三十二万二千五百，为共实。以长一百五乗小广三十四，得五千一百，为甲从方。以小广大广余一十八，乃半之得九，为共隅。开连枝平方【开方革更不繁具】得五十七步，不尽三，约为二千四十五分步之八百五十三，为甲截长。乃以分母二千四十五通全步内子共得一十一万七千四百一十八，为法。又以分母乗通率四千三百，得八百七十九万三千五百，为实。以法除之，得七十四步，不尽一十万四千五百六十八。与法求等，得二，俱约之，为五万八千七百九分步之五万二千二百八十四。乃以小广三十四步于所得全步七十四步内减之余四十步，五万八千七百九分步之五万二千二百八十四，为甲大广，即为乙小广。今次求乙长，乃以分母五万八千七百九通乙小广四十步，得二百三十四万八千三百六十，内子五万二千二百八十四，得二百四十万六百四十四。又元长一百五十乗之，得三亿六千九万六千六百，为乙从方。又以分母五万八千七百九通共实三十二万二千五百，得一百八十九亿三千三百六十五万二千五百，为乙实。又以分母通共隅九，得五十二万八千三百八十一，为乙从隅。开连枝平方【更不立草】得四十九步，不尽二千二十七万六千三百十九。隅并方共得四亿一千二百四十万六千三百九，为母。与不尽求等，单一不可约，乃定为四十九步四亿一千二百四十万六千三。百九分步之二千二十七万六千三百一十九为乙截长，以乙长母通全步内子，得二百二亿二千八百一十八万五千四百六十为法，以乙长七千七百三十三亿四千七百一十二万八千七百为实，以法除之，得八十七步，不尽一百三十四亿九千四百九十九万三千六百八十，与法求等，得一百四十，俱约之为八十七步一亿四千四百四十八万七千三十九分步之九千六百三十九万二千八百一十二为得数。乃以乙小广母五万八千七百九乗得数子九千六百三十九万二千八百一十二，得五万六千五百九十一亿二千五百五十九万九千七百八为泛。却以得数母一亿四千四百四十八万七千三十九分乗乙小广子五万二千二百八十四，得七万五千五百四十三亿六千三十四万七千七十六为寄数，于上。乃以小广母五万八千七百九乗得数母一亿四千四百四十八万七千三十九，得八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一，以寄减泛，今不及减，乃破全步一为分，并泛得八十六步十四万一千四百一十八亿一千五百一十七万二千三百五十九，减去小广四十步及分，余四十六步八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三为乙大广，亦丙小广。求丙长，置甲长五十七步二千四十五分步之八百五十六，乙长四十九步四亿一千二百四十万六千三百九分步之二千二十七万六千三百一十九，以甲乙分母互乗子，甲乙分母相乗，得甲正长五十七步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之三千五百三十亿一千九百八十万五百四亿，乙正长四十九步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四百一十四亿六千五百七万二千三百五十五，并甲乙长及分共长一百六步三千九百四十四亿八千四百八十七万二千八百五十九分。用减元长一百五十步，先破一步，通分母作八千四百三十三亿七千九十万一千九百五，减去甲乙长，长余四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六，为丙正长。按此术以立天元一法明之，法立天元一为甲正长，南北广差折半得九，以乗天元，得九元，以共正长除之，得一百五十分天元之九为甲之半广，差与小广相加得三十四步多一百五十分元之九，再以天元乗之，得三十四元多一百五十分平方之九，即与每人分田二千一百五十步等，两数各以分母一百五十乗之，得三十二万二千五百步与九平方多五千一百元等，步数为实，元数为从，方平方数为隅，得甲正长，求乙丙长广同此，但多一带分，故其数较繁。