<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八上》>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八上》>

圆营敷布问周制一军，欲布圆营九重，毎卒立圆邉六尺，重间相去比立尺数倍之于内，摘差兵四分之一出竒，不可缩营示弱，须令仍用原营布满余兵。欲知原营内外周及立人数，并出竒后每卒数立尺数、外周人数各几何？答曰：「周制一军，一万二千五百人，出竒三千一百二十五人。原内周八百四丈，立一千三百四十人；原外周八百六十一丈六尺，立一千四百三十六人。出竒后，原外周立一千八十九人，原内周立一千一十六人。内外周人立七尺九寸一分。」术曰：以啇功求之。置重数，减一，余为叚。以叚乗圆差为衰。以衰乗重数为率。求圆周，以率减兵，余如重数而一，得内周人数，不满为余兵。以人立圆邉，乗内周人，得内周尺。倍衰乗圆邉为泛。以泛并内周尺，得外周尺为实。如圆邉而一，得外周人。求出竒后，以率加存兵，如重数而一，得外周人，不满为余兵。以外周人约原外周尺，得后立尺。以后立尺约原内周，得内周人。

按，求圆阵草中用圆束法。圆束实六等邉形，非图形也。盖圆形重数相距等，则弧邉上相距不等；弧邉上相距等，则重数相距不等。惟圆束可并取相等，故用其法。至次阵减人数，不减营周尺数，则各重周上相距不能相等。故草中又以尺数求内周人数，然未免与圆束逐层相差数不合，亦仅取其大畧也。又旧用二图，各防为圆周九重；今用一图，防为六等邉形三重，惟取易见。则二图九重，其理一也。草曰：置九重，减一，余八，为叚，以乗圆束差六，得四十八，为衰【按：圆束每层差不，今内外重数相距倍于人立相距，则每层差一十二，为倍差，常法重数减一与半差相乗为衰，今倍差故即与差数相乗为衰也】九重得四百三十二，为率。

求原周以率四百三十二，减周制一军一万二千五百，余一万二千六十八为实，如重数九而一，得一千三百四十人，为内周人数，不满八人为余兵。

次以人立圆邉六尺乗内周人一千三百四十得八千四十尺，收作八百四丈为内周尺数。

倍衰四十八，得九十六；乗圆邉六尺，得五百七十六尺，为泛。

以泛五百七十六尺，并内周八千四十尺，得八千六百一十六尺，为外周尺。

以外周尺八千六百一十六为实，如圆邉六尺而一，得一千四百三十六人，为外周人数。

求出竒后，以竒母四约一万二千五百，得三千一百二十五，为竒兵，以减总军，余九千三百七十五，为存兵。次以率四百三十二加之，得九千八百七十，为实，加重数九而一，得一千八十九，为外周人，不尽六。

次以原外周八千六百一十六尺为实，以外周人一千八十九约之，得七尺九寸一分，不尽二尺一分，与法求等，得三，俱约之为分，下三百六十三分之六十七。

置原内周八千四十尺为实，以后立尺七尺九寸一分约之，得一千一十六为内周人数，不尽三尺四寸四分，为寛地。

本术所求内外周之人数，既定不拘，竒出竒入，皆以六人为重差，或累差加减，各得诸重围数，或并九重人课，总军存兵。

计布圆阵问：歩率二千六百人为图阵，人立圆九尺，形如车辐，无丽布阵，阵重间倍。人立圆邉尺数，须合内径七十二丈。圆法用周三径一之率，欲知阵重几数，及内外周通径并所立人数各几何？答曰：「内周二百一十六丈，立二百四十人；外周三百二丈四尺，立三百三十六人。通径一百丈八尺，阵计九重【不尽八人】术曰：以啇功求之。以圆率因内径为内周，以人立尺约之为内周人数。乃以圆求差率为隅，次置内周人减隅，余约从方列兵数为寛，开平方得重数，不尽为余兵。置重数减一，余四因又乗圆邉尺数，并内径共为通径。以圆率因通径得外周。

按旧本有图前题同今删去草曰：以圆率三因内径七十二丈，得二千一百六十尺，为内周。以圆邉九尺约内周，得二百四十为内周人数。乃以圆束差六为从隅，次置内周二百四十人，减隅余二百三十四为从方。列兵二千六百为寔。开平方歩法，从方进一位，隅法超一位。今方隅皆不可超进，乃于寔约啇，置九重。以啇生隅六，得五十四，増入从方内，共得二百八十八。乃命上啇九重除寔讫，寔余八人为余兵。副置九重，减一余八，以四因之【按九重八间径両端应二因之间倍于立歩又应二因之今合为四因】得三十二。又乗图邉九尺，得二百八十八尺，并内径七百二十尺，得一千八尺为通径。又以圆率三因通径，得三千二十四尺为外周。次以圆邉九尺为法，除外周尺数，得三百三十六人为外周人数。合问。按圆束环积，有内周求重数法：置积为寔，圆束差半之为从隅，又以半差减内周，余为从方，开平方得重数。此圆束环积每层为倍差，故即以圆束差为从隅，减内周为从方也。又按周三径一，正与六邉形相合，故人数尺俱无竒零也。