钦定四库全书数学九章》卷二上宋秦九韶撰天时

钦定四库全书数学九章》卷二上宋秦九韶撰天时

推气治厯问太史测验天道：庆元四年戊午嵗冬至三十九日九十二刻四十五分，绍定三年庚寅嵗冬至三十二日九十四刻一十二分。欲求中间嘉泰甲子嵗气骨、嵗余、斗分各得几何？按：绍定三年庚寅之冬至，实绍定四年辛夘之始。辛夘距戊午三十四年，积年为三十三。答曰：「气骨十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分，余嵗五日二十四刻二十九分三十杪三十小分，斗分空日二十四刻二十九分三十杪三十小分。」术曰：先距前后年数为法，置前测曰刻分，减后测曰刻分，余为率【不足减则加纪防】以纪防累加之，今及天道合用五日以上数为实，以法除实，得嵗余，去全日余为斗分，以所求中间年上距前测年数乘嵗余，益入前测日刻分，满纪防去之余为所求气骨。草曰：置前测戊午嵗，距前嵗庚寅嵗得三十三，为法。置前测戊午嵗冬至三十九日【日辰癸夘】九十二刻四十五分，减后测绍定三年庚寅嵗冬至三十二日【日辰丙申】九十四刻一十二分，今后测者少，不及前测者，以减，乃加纪法六十日于后测日内，得九十二日九十四日一十二分。然后用前测者减之余五十三日一刻六十七分为率。按术，当以法三十三余率，须使啇数必得五日以上乃可，今率未得五日，乃两度累加纪法一百二十入率内，共得一百七十三日一刻六十七分为刻实。如法除之，得五日二十四刻二十九分三十杪三十小分【不尽弃之】为嵗余。乃去全五日，得二十四刻二十九分三十杪三十小分为斗分。次推嘉泰甲子上距庆元戊午嵗得六，以乘嵗余五日二十刻刻二十九分三十杪三十小分，得三十一日四十五刻七十五分八十一杪八十小分，益入前测戊午嵗三十九日九十二刻四十五分，得七十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分，满纪法六十去之余一十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分为所求甲子气骨之数合问按气骨者，年冬至时距甲子日子正初刻后之日分也。嵗余者，嵗实去六甲子之余日分也。斗分者，嵗实去三百六十五日之余分也。此未知嵗实之法，故先以前后两气骨相减，余数为实，以积年为法除之，嵗余约五日余。纪日六十，故实数内累加六十日，至啇得五日上而止，则实数为积嵗余之数。以积年除之，得嵗余日分。既得嵗余，以甲子积年六乘之，得甲子积嵗余，与前测气骨相加，满纪法去之余，即甲子气骨也。

治厯推闰问开禧厯，以嘉泰四年甲子嵗天正冬至为一十一日【日辰乙亥】四十四刻六十一分五十四杪，十一月经朔一日【日辰乙丑】七十五刻五十五分六十二杪，问闰骨、闰率各几何？答曰：「闰骨九日六十九刻五分九十一杪【不尽一百六十九分杪之一百二十一】闰骨率，十六万三千七百七十一。术曰：以日法各通气朔日刻分杪，各为气骨、朔骨分。其气骨分如约率而一，约尽者为可用【或收弃余分在一刻以下者亦可用】然后与朔骨分相减，余为闰骨率，以日法约之为闰骨防。草曰：置本厯曰法一万六千九百，先通冬至一十一日四十四刻六十一分五十四杪，得一十九万三千四百四十分二十六小分为实。其歴约率系三千一百二十，以约之得六十二可用，其余小分二十六乃弃之，只用一十九万三千四百四十为气骨分。次置朔一日七十五刻五十五分六十二杪，以本厯日法一万六千九百乘之，得二万九千六百六十八分九十九杪七十八小分，将近一分，故于气骨内所弃二十六小分借二十二小分以补朔内收上，得二万九千六百六十九为朔。然后以朔骨分减气骨分，余有一十六万三千七百七十一为闰骨率。复以日法除之，得闰骨防九日六十九刻五分九十一杪，不尽一百二十一筭，直命之为一百六十九分杪之一百二十一，合问。按此题，若置冬至日分内，减经朔日分，余九日六十九刻五分九十二杪，得闰骨。防此原草，仅多一百六十九分杪之四十八；尽草中气骨内弃小分二十六，朔骨分内进二十二，并之为一百六十九分杪之四十八。其不径相减，而必用通分约分，累乘累除者，为向后推筭用耳。

治厯演纪问开禧歴积年七百八十四万八千一百八十三，欲知推演之原，调日法，求朔余，朔率，斗分，嵗率，嵗闰，入元嵗，入闰朔，定骨闰，泛骨闰，缩纪率，气元率，元闰，元数及气等率，因率，蔀率，朔等数，因数，蔀数，朔积年二十三事各几何？

答曰日法一万六千九百朔余八千九百六十七朔率四十九万九千六十七斗分四千一百八嵗率六百一十七万二千六百八。

嵗闰一十八万三千八百四入元嵗九千一百八十入闰四十七万四千二百六十朔定骨二万九千六百六十九闰泛骨，一十六万三千七百七十一。闰缩一十八万八千五百七十八。

纪率一百一万四千气元率一万九千五百元闰三十七万七千八百七十三。

元数四百二气等率五十二因率一百四十四蔀率三百二十五朔等数一因数四十五万七千九百九十九。

蔀数四十九万九千六十七朔积年七百八十三万九千积年七百八十四万八千一百八。术曰：以厯法求之，大衍入之，调日法如何？承天术用强弱母子互乘，得数并之为朔余。以二十九日通日法，增入朔余为朔率。又以日法乘前厯所测冬至气刻分，收弃末位为偶数，得斗分。与日法用大衍术入之，求等数。因率、蔀率以纪乘等数为约率。置所求气定骨，如约率而一，得数以乘因率，满蔀率去之，不满以纪法乘之为入元嵗次。置嵗日，以日法通之，并以斗定分为嵗率。以十二月乘朔率，减嵗率，余为嵗闰。以嵗闰乘入元嵗，满朔率去之，不满为入闰。与闰骨相减之，得差【或适足便，以入元嵗为积年后术并不用。或差在刻分法半数以下者，亦以入元嵗为积年】必在刻分法半数以上，却以闰泛骨并朔率得数内减入闰余，与朔率求闰缩【在朔率以下便为闰缩，以上用朔率减之亦得】以纪法乘日法为纪率，以等数约之为气元率。以气元乘嵗闰，满朔率去之，不满为元闰虗。置一亿，减入元嵗，余为实。元率除之得乘限。乃以元闰与朔率用大衍入之，求得等数、因数、蔀数。以等约闰缩得数，以因数乘之，满蔀数去之，不满在乘限以下，以乘元率为朔积年，并入元嵗为演纪积年。又加成厯年。今人相乘演积年，其术如调日法求朔余、朔率立。斗分嵗余，求气骨、朔骨、闰骨及衍等数，约率、因率、蔀率，求入元嵗、嵗闰、入闰、元率、元闰，已上皆同此术。但其所以求朔积年之术，乃以闰骨减入闰余为之闰赢，却与闰缩朔率列号甲乙丙丁四位，除乘消减，谓之方程，乃求得元数，以乘元率所得为之积年，加入元嵗，共为演纪嵗积年。所谓方程，正是大衍术【今人少知】非特置筭繁多，初无定法可传，甚是惑悮后学，易失古人之术意。故今术不言闰赢，而曰入闰差者，盖本将来可用入元嵗便为积年之意。故今止将元闰、朔率二项，以大衍先求等数，因数蔀者，仍仿前前求入元嵗之术理。假闰骨如气骨，以等数为约数，及求乘数蔀数，以等约闰缩得因乘数，满蔀去之，不满在限下，以乘元率，便为朔积年，亦加入元嵗，共为演纪积年。此术非惟止用乘除省便，又且于自然中取见积年，不惑不差矣。新术敢不用闰赢而求者，实知闰赢已存于入闰之中，但求朔积年之竒分与闰缩等，则自与入闰相合，必满朔率所去故也。数理精微，不易窥识，穷年致志，感于梦寐，幸而得知，谨不敢隐。草曰：本厯以何承天术调得一万六千九百为日法，系三百三十九强一十七弱。先以强数三百三十九乘强子二十六，得八千八百一十四，于上次以弱数一十七乘弱子九，得一百五十三，并上共得八千九百六十七为朔余。

次以日法通朔防二十九日，得四十九万一百，增入朔余，得四十九万九千六十七为朔率。又以日法乘统天厯所测毎嵗冬至周日下二十四刻三十一分，得四千一百八分三十九杪为斗泛分。验八分既偶，遂弃三十九杪，只以四千一百八分为斗定分，与日法以大衍术入之□得五十二为等数，一百四十四为因率，三百二十五为蔀率，以甲子六十为纪法，乘等数得三千一百二十。为约率，却置本厯上课所用嘉泰甲子嵗气骨一十一日四十四刻六十一分五十一杪，以乘日法，得一十九万三千四百四十分二十六杪，为气泛骨。欲满约率三千一百二十而一，故就近乃弃微杪，只以一十九万三千四百四十为气定骨。然后以约率三千一百二十除之，得六十二，以因率一百四十四乘之，得八千九百二十八，满蔀率三百二十五去之，不满一百五十三，以纪法六十乘之，得九千一百八十年，为入元嵗次。置嵗三百六十五，以日法乘之，得六百一十六万八千五百，并斗定分四千一百八，得六百一十七万二千六百八，为嵗率。却以十二月乘朔率四十九万九千六百七，得五百九十八万八千八百四，率内减去此数，余一十八万三千八百四，为嵗闰。以嵗闰乘入元嵗九千一百八十，得一十亿八千七百三十二万七百二十，满朔率去之，不满四十七万四千二百六十，为入闰次。置本厯所用嘉泰甲子嵗天正十一月朔一日七十五刻五十五分六十二杪，以日法乘之，得二万九千六百六十八分九千九百七十八杪，为朔泛骨。就近收杪为一分，共得二万九千六百六十九，为朔定骨数。然后乃以朔定骨减气骨一十九万三千四百四十余，一十六万三千七百七十一，为闰泛骨。置日法，以二百归除之，得八十四半，为半刻法。次以入闰数内减去闰泛骨，与入闰相课，减之余三十一万四百八十九【此是闰赢】为差。半刻法以上，乃以闰泛骨并朔率，共得六十六万二千八百三十八，以入闰四十七万四千二百六十减之余，一十八万八千五百七十八，在朔率下便为闰缩。次以纪防六十乘日法，得一百一万四千，为纪率。以等数五十二归除纪率，得一万九千五百【按即六十乘三百二十五之数为一蔀年数】为气。元率以气元率乘嵗闰一十八万三千八百四，得三十五亿八千四百一十七万八千，满朔率去之，不满三十七万七千八百七十三，为元闰。次置一亿【按此数似虗设，不过取一亿之数为限耳，此所求过限，又将改率数以迁就之矣】以入元嵗元千一百八十减之，余九千九百九十九万八百二十为实，以元率一万九千五百为法除之，得五千一二十七为乘元限数。乃以元闰三十七万七千八百七十三余与朔率四十九万九千六十七用大衍术求之，得等数一，因等四十五万七千九百九十九，蔀数四十九万九千六十七。

然后以等数一约闰缩，只得一十八万八千五百七十八，以因数四十五万七千九百九十九乘之，得八百六十三亿六千八百五十三万五千四百二十二，满蔀数四十九万九千六百七十去之，不满四百二，在乘元限数以下为可用。以乘元率一万九千五百得七百八十三万九千年为数，积年并入元嵗九千一百八十，共得七百八十四万八千一百八十为嘉泰四年甲子嵗积算。本厯系于丁夘嵗进呈，又加丁夘三年，共为七百八十四万八千一百八十三年为本厯积年，合具绘图如后。按此术草内竒定相求，有等数，又有因数、蔀数之异。盖等数即度尽定竒两数之数，因数为竒数之倍数。任倍定竒二数相较，但得一等数，则竒之倍数即为因数。蔀数者，竒数最大之倍数也。任倍竒定至两边相等，无较数，则竒数之倍数即谓之蔀数也。等数甚小者，因数不患其甚大，有蔀数以限之也。草中尚多讹舛，正之于后。

按此题术草皆曰：何承天调日法，而《宋书》所载何承天法并无甚率，且各用数亦与此不同。今细按其草，日法已有定数，所调者朔防余分也。然从来朔防余分皆以实测之朔防分、嵗实分两母子互乘相通，即得，并无所谓调法。今所载强弱母子四数，大约已有朔防余分与日法分相约而得，非别有所本，乃故设曲折以为竒也。试以朔余分八千九百六十七分为第一条，置日法分内减朔防余分，余七千九百三十三为第二条。以此二数数取之，先置第一条减第二条，余一千零三十四为第三条。七因第三条以减第二条，余六百九十五为第四条。以第四条减第三条，余三百三十九为第五条。二因第五条以减第四条余一十七为第六条是第五条即强母数第六条即弱母数矣次用第五条第六条转求第一条以取两子数置第六条于上二因第五条加之得第五条者二第六条者一共六百九十五为第四条以第四条加第五条得第五条者三第六条者一共一千零三十四为第三条七因第三条以加第四条得第五条者二十三第六条者八共七千九百三十三为第二条以第二条加第三条得第五条者二十六，第六条者九，共八千九百六十七。为第一条是第五条倍数，即强子数；第六条倍数，即弱子数矣。至算式中，以日法取强母数者，则又以第五条、第六条再约而得者：如以第五条为实，第六条为法，为法商之初商得十，以法乘初商得一百七十为初商积，减实余一百六十九，恰与百分日法分之一等。故百除日法分为一数，又三乘之得五百零七为实，以四十九为法，初商得十，初商积为四百九十，减实余十七。乃以商十乘十七得一百七十，与前初商积等，故加与前余积等之百分日法分之一得三百三十九为五条之数，名之曰强数也。次以日法乘朔防，日得数，并朔余为朔率。

斗分见偶则弃见竒则收为偶按此系弃分以下数不用也，分为偶数，即用其数；分为竒数，则杪微进一分，并为偶数。如无杪微，即加一分。又按算中用数，以日法分一万六千九百分为主，斗分定为四千一百零八，为偶数，气骨分亦定为偶数，其各时刻分皆由日分比例而得，故变时刻分为日分求之，无不合。<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上》>按，求入元嵗法，用斗分与日法分求等率、乘率。盖以六十年之嵗实积分与纪法分相约，后以六十除纪法分，得日法分为定；以六十除嵗实积分，得斗分为竒。求得蔀数、乘数，皆与六十年之嵗实积分与纪法分所求者同。惟等数则为六十之一，故以六十乘之为乘分，以约气骨分，然后以乘数乘之，满蔀数去之，所得用数为六十年之周数，故以六十乘之，始为年数。此立法之意也。然以六十年为周数，则六十年之间，其气骨数有合者，则不可得，故所得年数较以嵗实分、纪分相求者为逺也。

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上》>按气元一万九千五百，乃前蔀数三百二十五，以六十乘之之数。盖求入元嵗，用六十倍者，故此仍用六十倍也。又按，此皆用六十年嵗实分求得之数，与用一嵗实分求得之数同。盖因积年数为六十度尽之数，若非六十度尽之数，则得数必逺也。今依其数，另设一题，以明其法。设宋开禧厯日法一万六千九百分，嵗实分六百一十七万二千六百零八，法纪率分一百零一万四千分，朔率分四十九万九千零六十七分。嘉泰甲子嵗，天正冬至距甲子日子正后十九万三千四百四十分【古名气骨】十一月朔距甲子日子正后二万九千六百六十九分【古名朔骨】问距歴元甲子子正初刻冬至朔之积年几何？答曰：「七百八十四万八千一百八十年。」法以纪率为纪，定纪率，除嵗率【即嵗实分】余八万八千六百零八分，为纪竒。依大衍术求至竒一百零三，余分六百二十四。余分可以度尽上数，则命六百二十四为等数，一百零三为乘数。又求得竒一千六百二十五，无余分，则命一千六百二十五为蔀数。乃以等数约气骨分，得三百一十，以乘数乘之，得三万一千九百三十，满蔀数去之，余一千零五十五，即专以气骨分求得距厯年之积年数也。旧法以斗分【嵗余分四千一百零八】为竒，日法为定，求得等数一，纪法六十乘之，以约气骨得数，以乘数乘之，蔀数除之余数，又以六千乘之，为积年，名入元嵗。其术未密【详前】故所得积年为九千一百八十，其数亦较逺也。

次以蔀数【即嵗实纪法满一会年数】乘嵗率，得一百亿三千四十八万八千，满朔率去之余二十三万九千四百三十四，旧名气元闰，为朔竒。朔率为朔定，依前法求得等数一，乗数六千二百五十一，蔀率四十九万九千零六十七。次以前所得积年乗嵗率，满朔率去之余二十七万五千二百二十四，为前朔距至前分数，旧名入元闰。以嘉泰甲子气骨朔骨相减，得十六万三千七百七十一，为后朔距至前分数，旧名闰骨。夫十一月朔常在冬至前退行，今前逺后近，是已退过一朔防，则于后闰骨内加一朔防，再减去入元闰，余三十八万七千六百一十四，为后朔前朔相差之分数，旧名闰缩。乃以等数约闰缩，仍得原数，以乘数乘之，满蔀数去之余四千八百二十九，为会数。乃以一会年数【即前蔀数】乗之，得七百八十四万七千一百二十五，为朔积年。加入前积年，得七百八十四万八千一百八十，为嘉泰甲子积年。

又法，仍按本法求之。先以嵗率、纪率、朔率求总等朔率，不尽无总等，各率朔即为各元数。次连环求等朔元，不尽嵗元、等数。等数为六百二十四，留嵗元不约，约纪元得一千六百二十五分。为纪泛定，嵗元、朔元即为嵗泛定、朔泛定。次求续等纪泛定、嵗泛定等数为十三，约嵗泛定乗纪泛定，得四十七万四千八百一十六为嵗定，二万一千一百二十五为纪定。朔泛定即朔定。三定数连乗，得五○○五八八五五五四六九六○○○为衍母。纪定、朔定相乗，得八一○九八三八七五为嵗衍。嵗定朔定相乗得二三六九六四九九六六七二为纪衍嵗定纪定相乗得一○○三○四八八○○○为朔衍置各衍数满各定数去之余嵗竒四七二九六三纪竒二○○四七朔竒二三九四三四次以各定各竒求各乗数得嵗乗数【此题不用嵗乗数求之，以备其数】二四九六七纪乗数二○○○八朔乗数六二五一以各乘数乗各衍数得各泛用数嵗泛用二○一九八九三二○七九四六二五纪泛用四七四一一九五六五四四一三三七六朔泛用六二七○○五八　四八八○○○并三泛用与衍母数等则泛用即为定用乃以气骨乗纪定用得九一七一三六八八七一九六二八三四五五三四四○置气骨减去朔骨余十六万三千七百七十一以乘朔定用得一○二六八五三六七六七一○○二四八○○○并数得九二七四○五四二三九六三三八三七○一四四○满衍母去之余四八四四三七三八六五三四四○为实以嵗实分为法除之得七百八十四万八千一百八十即嘉泰甲子积年之数也此法较前法数繁然其理可互相发明后复设一法兼二法用之三法，先以嵗率、纪率求等数，得六百二十四，专约纪率，得一六二五，分为纪元。嵗率即为嵗元。又求续等数，得十三，以约嵗元，得四七四八一六，为嵗定。以乘纪元，得二一一二五，为纪定。纪定、嵗定相乘，得一○○三○四八八○○○，为衍母。以纪定二一一二五为嵗衍以嵗定四七四八一六为纪衍嵗衍小于嵗定即为嵗竒纪衍满纪定去之余一○○六六为纪竒次以各定各竒求各乘数得嵗乗数二五四八六一纪乗数九七八六以各乗数乗各衍数得各用数嵗用数五三八三九三八六二五纪用数四六四六五四九三七六乃以气骨乗纪用数得八九八八二八五一一二九三四四○满衍母去之余六五一二一○一四四○为通积分为实以嵗实分为法除之得一千零五十五即专以气骨求<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上》>次以前衍母分【即嵗率纪率一会一千六百二十五年之积分】一○○三○四八八○○○与朔率分求等数得一，即以前衍衍母分为嵗纪元，亦即为嵗纪定；以朔率分四九九○六七为朔元，亦即为朔定。二定数相乗得五○○。

五八八五五五四六九六○○○为衍母以朔定为嵗纪衍以嵗纪定为朔衍嵗纪衍小于嵗纪定即以嵗纪衍为嵗纪竒明衍满朔定去之余二三九四三四为朔竒各以定竒求乗数得嵗纪乗数九九○四八五二四○三朔乗数六二五一以各乗数乗各衍数得嵗纪泛用数四九四三一八四九七四二○八○○一朔泛用数六二七○○五八○四八八○○○并二泛数与衍母等则泛用数即为定用数乃置前通积分六五一二一