数学九章卷四下　　　宋　秦九韶　撰

数学九章卷四下　　　宋　秦九韶　撰

测望望敌圆营问敌临河为圎营，不知大小。自河南岸至其地七里，于其地立两表，相去二步。其西表与敌营南北相直，人退西表一十二步，遥望东表适与敌营圆邉参合。圆法用密率里法三百六十，欲知其营周及径各防何？答曰：营周六里一百二步七分步之六，径二里。按答数有误，营周系六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八，径系一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九。术曰：以勾股夕桀求之。置表间自乗为勾幂，以退表自乗为股幂，并二幂为▯幂。置里通步自之乗勾幂为率，自乗为泛实【按此数当即为实开▯从方，今不开平方，乃以此数自乗，并以此数升他数开▯从三乗方不合】半▯幂乗率为泛从上亷【按半▯幂即半▯自乗又倍之之数】以勾幂减股幂，余四约之【按此即半勾半股各自乗相减之数】自乗为泛益隅【三泛可约之为定】开连枝三乗玲珑方得营径，以密率二千二乗七除为周。

草曰置表间二步自乗得四为勾幂以退表一十二步自乗得一百四十四为股幂以勾股二幂并之得一百四十八为▯幂置七里以里法三百六十步通之得二千五百二十步自乗得六百三十五万四百乗勾幂，四得二千五百四十万一千六百为率。以率自乗，得六百四十五万二千四百一十二亿八千一百五十六万为之实。乃半▯幂，得七十四乗率二千五百四十万一千六百，得一十八亿七千九百七十一万八千四百为泛从上亷。以勾幂四减股幂一百四十四，余一百四十，以四约之，得三十五，以自乗得一千二百二十五为泛益隅。置三泛求等，得一千二百二十五【按即泛益隅】俱以约之，得五千二百六十七亿二千七百五十七万七千六百为定实，一百五十三万四千四百六十四为从上亷，一为定益隅。开玲珑三乗方，乃以亷隅超二度约啇。置七百上亷为一百五十三亿四千四百六十四，益隅为一亿。乃以上啇生隅得七亿为益下亷。又以上啇生益亷减从亷，余一百四亿四千四百六十四万为从上亷。又以上啇生从亷得七百三十一亿一千二百四十八万为从方。乃命上啇除实，实余一百四十九亿四千二十一万七千六百。又以上啇生益隅入下亷得一十四亿为益下亷。又以上啇生益亷得益上亷减从亷，余六亿四千四百六十四万为上亷。又以上啇生上亷入方得七百七十六亿二千四百九十六万为方。又以上啇生益隅入下亷得二十一亿。又以上啇生下亷为益上亷减从亷，余一百四十亿五千五百三十六万为益上亷。又以上啇生益隅入下亷得二十八亿。诸法皆退方一退为七十七亿六千二百四十九万六千益上亷，再退为一亿四千五十五万三千六百益下亷，三退为二百八十万益隅，四退为一万。乃于上啇之次续啇，置二十步以续啇生隅入下亷为二百八十二万。又以续啇生下亷入上亷为一亿四千六百一十九万三千六百。又以续啇生上亷减从方余七十四亿。七千一十万八十八百，乃命续啇，除实，适尽，所得七百二十步，以里法约之，得二万，为营径。次以密率二十二乗七百二十，得一万五千八百四十，为实，以七除之，得二千二百六十二步七分步之六，以里法约之，得六里一百二步七分步之六，为营周。

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下》>按此题用平方可矣。术中所谓率者，即平方实也。乃复加自乗，开三乗方，徒为繁冗耳。且乗从亷，用半▯自乗之倍数乗隅数，应用半股自乗之数。今用勾股幂较四分之一，即用半股幂、半勾幂之较，比半股自乗数小一半勾自乗数，故得数较大。若转求表间及退步，必与原数不合。试以相去七里为大勾▯和，营径三里为倍大勾，相减得五里为大勾▯较。和相乗得较三十五，为大股幂。大勾▯里自之，仍得一为大勾幂。置小勾幂四步，以大股幂乗之，得百百四十步，以大勾幂除之，仍得一百四十步为小股幂，比原小股幂少四步，其术之疎可知矣。设用平方法如左。法立天元一为营径，相去七里，通为二千五百二十步，为大勾▯和。相减得二千五百二十步少一元，为大勾▯较。和较相乗，得六百三十五万零四百步二千五百二十元，为大少股幂。天元一半之，以减相去步，得二千五百二十步少二分天元之一，为大▯。自之得六百三十五万零四百步少二千五百二十元多四分平方之一，为大▯幂。退步十二为小股，自之得一百四十四步，为小股幂。表间二步为小勾，自之得四步，为小勾幂。相并得一百四十八步，为小▯幂。以小▯幂乗大股幂，得九亿三千九百八十五万九千二百步少三十七万二千九百六十元，寄之。又以小股幂乗大▯幂，得九亿一千四百四十五万七千六百步少三十六万二千八百八十元多三十六平方，与寄数为相等。两邉各减九亿一千四百四十五万七千六百步，各加三十七万二千九百六十元，得二千五百四十万零一千六百步【即术中率数】与三十六平方多一万零八十元等。三数求总等，得三十六约步数，得七十万零五千六百为长方积，为实。约元数得二百八十为从方，为长阔较。约平方数得一为隅。用▯从平方法开，得阔七百一十一步又一千七百零三分步之九百九十九为营径步。以密率用二十二乗之，径七除之，得二千二百三十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八为营周步。各以里率収之，得营周六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八，营径一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九。还原之法，置营径步数通分纳子，得一二一一八三二分为倍大勾分数。又以分母通相去步，得四二九一五六分为大勾▯和分数。二数相减余三七九七二八分为大勾▯较分数和较。分数相乗得一三二一六八三七四五九六八分为大股幂分，倍大勾分折半得六五九一六，自之得三六七一三四一九九五六分为大勾幂分，及以小勾幂四步乗大股幂分得五二八六七三四九九八二七二分，以大勾幂分除之得一百四十四步为小股幂，与原数合。此犹用西表相去步也，若细较之，当用人目相去步，则营周当多十二步余，营径当多四步不足也。

望知敌众问敌为圆营，在水北平沙，不知人数。谍称彼营布卒，占地方八尺。我军在水南山原于下立表，髙八丈，与原山腰等平。自表端引防虚量平至人足三十步，人立其处望彼营北陵与表端参合。又望营南陵入表端八尺，人目髙四尺八寸。以圆密率入重差，求敌众合得防何？

答曰敌众八百四十九人按数不合，应二百七十三人，其故详草后。术曰：以勾股乗之，置人退表步【按此条误法应置表髙】乗入表为实，以人目髙为法除之，得径。以密周率乗径得数为实，以密径率因人立为法约之，得外周人数，余収为一副。置加六以乗副，得数为实，如一十二而一，余亦収为全。望知敌众，图【按旧图畵山水在术前，今删改移于此】

草曰置人立退表三十步以步法五尺展为五十寸通之得一千五百寸乗入表八尺得一十二万寸为实以人目髙四十八寸为法除之以密率周法二十二乗径二千五百，得五万五千寸，为实。

以密率径法七因谍，称人立八尺，得五百六十为法。

以法五百六十寸，约实五万五千寸，得九十八人，为外周人数，不尽一百二十寸，弃之。

副置外周九十八人，加六得一百四人，乗副为实。

按此术应置表髙，加人目髙，以入表弃之；误置退步，以入表乗之。故人数差多二倍，盖思省偶未至耳。至求人数，先用密率，次用束箭法，亦未尽合题问。今依其数，各步于后。求营径，置表髙八丈，加人目髙四尺八寸，得八丈四尺八寸，以入表八尺乗之，得六万七千八百四十寸，以人目髙除之，得一十四丈一尺三寸又三分寸之一，为营径。盖以表髙加人目髙为大股，营径为大勾，较人目髙为小股，入表为小勾，较置大股，以小勾较乗之，以小股除之，即得大勾较也。求人数，用密率置径为实，倍每人占地八尺，得一十六尺为法，除实得八为外层数，加最内一层得九为共层数，余一十三尺三寸又三分寸之一为最内径，以最内径与最外径【即营陉】相加，以九层乗之，折半得六百九十六尺为九层共径数，以密周率二十二乗之，得一万五千三百一十二尺为实，以密率七乗每人占地八尺，得五十六尺为法，除之得二百七十三人，余三尺又七分尺之三，弃之。此法应先求得内外圆周，再求九层共周数，今先求九层共径数，然后变为圆周，其理一也。

望敌逺近问敌军处北山下，原不知相去逺近，乃于平地立一表，髙四尺，人退表九百步【步法五尺】遥望山原，适与表端参合，人目髙四尺，八欲之敌军相去防何？

答曰一十二里半术曰：以勾股求之，重差入之。置人目髙，以表髙减之，余为法。置退表乗表髙为实，实如法而一。

草曰置人目髙四尺八寸减表髙四尺余八寸为法置退表九百步以步五十寸通之得四万五千寸乗表髙四十寸得一百八十万寸为实如法八寸而一得二十二万五千寸，以步法五十寸约之，得四千五百步，为相去步；以里法三百六十步约之，得一十二里半，为敌去表所合，问。

表望浮图问：有浮图欹侧，欲换塔心木，不知其髙。去塔六丈，有刹竿，亦不知其髙。竿本去地九尺二寸，始钉锔【按：锔原本作钩，今改正】锔一十四枚，枚长五寸。每锔下股相去二尺五寸。就竿为表，人退竿三丈，遥望浮图尖，适与竿端斜合。又望相轮之本影，锔第七枚上股。人目入去地四尺八寸。心木放三尺为防【按：防原本作□，今改正】卯剪截，欲求塔髙、轮髙，合用塔心木长各防何？答曰：「塔髙一十一丈七尺，相轮髙三丈，塔身髙八丈七尺，竿髙四丈二尺二寸，塔心木九丈，内三尺为剪截穿凿防卯。」按塔髙、竿髙二数合相轮髙、塔身髙、塔心木长三数俱误。相轮髙四丈五尺，塔身髙七丈二尺，塔心木长七丈五尺。説详草后。术曰：以勾股求之，重差入之。置锔数减一，余乗锔相去数，并一枚长数，加竿本，共为表竿髙。以退表为法，以人目髙减表竿髙，余乗竿去塔为实。实如法而一，得数加表竿髙，共为塔髙。置相轮入，本锔数减一，余乗锔相去，又乗竿去塔为实。实如法而一，得相轮髙【按：未加入锔人数，法误】以减塔髙，余为塔身髙。以益防卯尺数，为塔心木长。

草曰置锔一十四枚减一余一十三以乗锔相去二尺五寸得三百二十五寸并最上锔一枚长五寸得三百三十寸，又加竿本九尺二寸，共得四百二十二尺，为表竿髙。以人退表三丈，通为三百寸，为法。次以人目髙四尺八寸，减表竿髙四百二十二寸，余三百七千四寸，以乗竿去塔六丈，得二十二万四千四百寸，为实。实如法三百两一，得七百四十八寸，加表竿髙四百二十二寸，得一千一百七十寸，以十约之，为一十一丈七尺，为塔髙。置相轮本入第七锔，减一，余六，以乗锔相去二尺五寸，得一百五十寸，又乗竿去塔六丈，得九万寸，为实。实如前法三百寸而一，得三百寸，约为三丈，得相轮髙【按：不加入锔即为相轮髙误】以相轮髙三丈，减塔髙一十一丈七尺，余八丈七尺，为塔身髙【按：此数及塔心木数皆因上数而误】益三尺，为剪截防卯，共得九丈，为塔心木长，合前问。按此皆大小形同式相求法也。人目去塔为总勾，人目上塔尖髙、塔身皆为总股。髙相轮髙为总股较。人目去竿为分小勾，人目上竿髙及相轮本入竿髙俱为分小股。相轮本入竿为小股较。竿去塔为分大勾。术以竿去塔分大勾与小勾股乗除得大股数，加小股为总股。故塔尖髙数合以大勾与小勾、小股较乗除得大股较数，即为总股较。故相轮髙数少一小股较一丈五尺也。塔身髙、塔心木长皆本此数加减而得，故误数相等。