钦定四库全书数学九章》卷九下宋秦九韶撰市易
钦定四库全书数学九章》卷九下宋秦九韶撰市易
推求典本问典库：「今年二月二十九日，有人取觧一号主家，听得当事共筭本息一百六十贯八百三十二文，称系前嵗头腊月半觧去，月息二分二厘，欲知原本几何？」答曰：「本一百二十贯文。」术曰：以粟米求之，置积日，乘息分数，增三百为法，以三百乘共钱为寔，寔如法而一，得本。草曰：置前年头腊月半，系四十五日，并去年三百六十，又加今年五十九日，共得四百六十四日为积日。乘息二分二厘，得一百二十文八厘，增三百文，得四百二文八厘为法。以三百文乘共钱一百六十贯八百三十二文，得四万八千二百四十九贯六百文为寔。如法而一，得一百二十贯文为原本。按题意，谓前年十一月半典钱，去年未取，今年二月二十九日取去。按日计利，共合本息钱一十六千八百三十二文。月息每千二十二文。问本钱若干？法当以积日乗息二十二文，以三十日除之，得一千文之共息，加一千文为一千文之本息共数。然后置今本息共数，以一千乗之，一千之本息共数除之，即得今本钱数。草中以十文为本，以二分二厘为息，不以三十除之为共息，而以三十乗十文得三百为本，其理一也。
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下》>推知籴数问：和籴三百万贯，求石数。闻每石牙钱三十文，籴埸量米折支，牙人所得，毎石出牵钱八百，牙人量米四石六斗八合，折与牵头。欲知米数、石价、牙钱、米牵钱各几何？按题意，买米共用钱三十亿，每石牙钱三十文，共牙钱折米给之，共折米每石牵钱八百文，共牵钱，牙人又折米四石六斗零八合给之，求各数。答曰：「籴到米一十二万石，石价二十五贯文，牙钱三千六百贯文，折米一百四十四石，牵钱一百一十五贯二百文。」术曰：以商功求之，率变入之，置籴本、牙钱、牵钱相乘为寔，以牵米为隅，开连枝立方，得石价，以价除本，得籴到米，以牙钱乘米，得縂牙钱，以价除之，得牙米，以牵钱乘牙米，得共牵钱。草曰：置籴本三百万贯，乘牙钱三十文，得九千万贯文；乘牵钱八百文，得七百二十亿万贯【按：七百二十亿贯“万”字误，后余“寔”内“万”字同此】为价寔，置牵米四石六斗八合，于寔数零文之下为立方，从隅起，歩歩法常超二位，每超一度，商进之。今隅凡超四度，当于寔上约定首商二十贯，乃以商生隅超四石六斗八合，得九十二贯一百六十文，乃以为亷。又以商生亷得一百八十四万三千二百贯为方，乃以方命上商二十贯除寔讫，寔余三百五十一亿三千六百万贯。复以商生隅四石六斗八合入亷，得一百八十四贯三百二十文；又以商生亷加入方内，得五百五十二万九千六百贯为方法。复以商又生隅四石六斗八合加入亷，得二百七十六贯四百八十文为亷法。其方法一退，亷法二退，从隅三退。乃于首商之次约寔，续商五贯，以续商生隅四石六斗八合入亷，得二百九十九贯五百二十文；又以续商生亷入方，得七百二万七千二百贯。乃命续商五贯除寔适尽，所得二十五贯为毎石米价，以为法，以籴本三百万贯为寔，寔如法而一，得一十二万石为籴到米数。以米数乘牙钱三十，得三千六百贯为牙钱；以石价二十五贯除牙钱三千六百贯文，得一百四十四石为籴埸量米折牙钱。以牵钱八百乘牙米一百四十四石，得一百一十五贯二百文为牵头，得牙人所与牵钱之数；以石价二十五贯文约牵钱一百一十五贯二百文，得四石六斗八合为牵米折钱，合问。按此术之意，以立天元一觧之法，立天元一为米每石之价，以折牵米四石六斗零八合，乘之得四元【六○八】为共牵钱，应以每石牵钱八百除之，寄分母代除，得八百分元之四分【六○八】为共折给牙人米数，又以天元一乘之，得八百分平方之四分【六○八】为共牙钱，应以每石牙钱三十除之，寄分母代除，得三十分又八百分平方之四分【六○八】为共米数，又以天元一乗之，得三十分又八百分立方之四分【六○八】为共米价，与三百万贯相等，两邉各以三十乗之，又以八百乗之，得四立方【六○八】与七百二十亿贯等，以立方数除两邉，得一立方与一百五十六亿二千五百万贯等，置贯数为寔，开立方得二十五贯为米每石价数，草中不除开连枝立方为除之，不能尽者便于用也。
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下>累收库本问：有库本钱五十万贯，月息六厘半，今令掌事每月带本约息共还一十万，欲知几何月而纳足，并末复畸钱多少？答曰：「本息纳足，共七个月末，后一月畸钱二万四千七百六贯二百七十九文三分四厘八毫四丝六忽七微七沙三莽一轻二清五烟。」术曰：以盈朏变法求之。置原本以息数退位乗归本位，每出共纳累得月数，以末后不及数为足月钱数。草曰：置本五十万贯，以六厘五毫乘之，入共本内，得五十三万二千五百贯文。内减初月一十万余，四十三万二千五百贯文。又以六厘五毫乘之，余本内得四十六万六百一十二贯五百文。又减次月一十万贯，余三十六万六百一十二贯五百文。又以六厘五毫乘之，入余本内，得三十八万四千五十二贯三百一十二文五分。又减第三月钱一十万贯文，余二十八万四千五十二贯三百一十二文五分。又以六厘五毫乘之，得三十万二千五百一十五贯七百一十二文八分一厘二毫五丝。内减第四月钱一十万贯，余二十万二千五百一十五贯七百一十二文二分一厘二毫五丝。又以六厘五毫乘之，入余本内，得二十一万五千六百七十九贯二百三十四文一分四厘五毫三丝一忽二微五尘。内减第五月钱一十万贯，余一十一万五千六百七十九贯二百三十四文一分四厘五毫三丝一忽二微五尘。又以六厘五毫乘之，入余本内，得一十二万三千一百九十八贯三百八十四文三分六厘四毫七丝五忽七微八尘一沙二▯五莾。减第六月钱一十万贯，余二万三千一百九十八贯三百八十四文三分六厘四毫七丝五忽七微八尘一沙二▯五莾。又以六厘五毫乘之，入余本内，得二万四千七百六贯二百七十九文三分四厘八毫四丝六忽七微无尘七沙无▯三莾一轻二清五烟。为第七月纳足本息畸钱。
均货推本问海舶赴务抽毕，除纳主家货物外，有沉香五千八十八两，胡椒一万四百三十包【包四十觔】象牙二百一十二合【以大小为合觔两俱等】系甲乙丙丁四人合本博到。縁昨来凑本，互有假借。甲分到官供称：甲本金二百两，盐四袋，钞一十道；乙本银八百两，盐三袋，钞八十八道；丙本银一千六百七十两，度蝶一十五道；丁本度蝶五十二道，金五十八两八铢。已上共估值四十二万四千贯。甲借乙钞，乙借丙银，丙借丁度蝶，丁借甲金。今合拨各借物归原主名下，为率均分。上件货物欲知金银袋盐度牒原价及四人各合得香椒牙几何？按题意谓：甲金，乙盐，丙银，丁牒，原本不同，互借为同本买得香椒牙三色。今有互借各物及同本贯数，求原本以分所买之物，葢方程而亷衰分之法也。甲乙二条内盐钞二色寔即一色，先言盐袋数乃一钞之数，以钞数乘之始为盐数。是钞数既赘，又不明言其故，皆故为隠晦也。答曰：甲金每两四百八十贯，文本一十二万四十贯文，合得沉香一千四百八十八两，胡椒三千五十包，一十一觔五两五十三分两之七，象牙六十二合。乙盐每袋二百五十贯，文本七万六千贯，文合得沉香九百一十二两，胡椒一千八百。六十九包，二十一觔二两五十三分两之六，象牙三十八合。丙银每两五十贯，文本一十二万三千五百贯文。合得沉香一千四百八十二两，胡椒三千三十七包三十九觔五两五十三分两之二十三，象牙六十一合四分合之三。丁度牒每道一千五百贯，文本一十万五百贯文。合得沉香一千二百六两，胡椒二千四百七十二包八觔三两五十三分两之十七，象牙五十合分合之一。术曰：以方程求之，衰分入之，正负入之。置共钱，以人数约之，得数列，入人数各为行积。次置诸色各物数为叚子，对本色有分者通之，可约者约之，为定率。以第一行为右，以第二行为副，以第三行为次，第四行为左。每以下位互遍乘之，每騐其积，以少减多，如同名相减，异名相加，正无人，负之；负无人，正之。如同名相加，异名相减，正无人，正之；负无人，负之。得一叚为法，以余积为寔，除之，各得诸价。以诸价列右行，以各物数列左行，以两行对乘，各得本率。以诸色求等，约之，得列衰，并诸衰为总法，以列衰遍乘各物诸数，各为寔。诸寔并，如总法而一，各得其物。除不尽者，以觔两通而除之，或又分母命之。草曰：置估值四十二万四千贯，以四人约之，得一十万六千贯，为各积，以人数列四位次。置甲金二百两于右上，以四袋乘钞一十道，得四十袋【按此条以四袋为一钞，相乘为塩数，是二色止为一色，不如即用塩为正】于右副为右行。次置乙钞八十八道，以三袋乘之，得盐二百六十四袋【按此条以三袋为一钞】及银八百两为副行。次置丙银一千六百七十两，度牒一十五道为次行。次置丁度牒五十二道，金五十八两八铢为左行。验得首图左行上叚金带八铢，是三分两之一，乃以分母遍乘左行诸数，只以分子一内入左上金内。其左积得三十一万八千贯，左金得一百七十五两，左度牒得一百五十六道。为次图验，次图四行皆可求等。右行求得四十约之，副行求得八约之，次行求得五约之，左行求得一约之，各得数为定。
率图定率图右积得二千六百五十贯，金五两，盐一袋；副积得一万三千二百五十贯，盐三十三袋，银一百两；次积得二万一千二百贯，银三百三十四两，度牒三道；左积得三十一万八千贯，金一百七十五两，度牒一百五十六道。乃以定图次行度牒三因，左行左积得九十五万四千贯，金五百二十五两，度牒四百六十八道；次以定图左下度牒一百五十六乗次行积得三百三十万七千二百贯，银五万二千一百四两【按此下落度牒四百六十八道八字】
定率图 维图乃验维图左及次行之下，度牒等当相减之，以积为端，当以左之少积减次之多积。按术曰：同名相减，其次行之金空，而左行之金五百二十五两有为正，次空为无。按术曰：正无人负之，即以左行之金正加入次行金位为负。名成音图，仍置定图，左行诸数。乃验音图次行积得二百三十五万三千二百贯，正金五百二十五两，负银五万二千一百四两为正，余三行皆正。
音图 驳图今验音次行之负金，当以右行之正金补之，而其数不等。先以右金五约次金五百二十五，得一百五，以乗音图右行毕，其右积得二十七万八千二百五十贯，金二百五十五两，正盐一百五袋，正。其副次左三行如音图，故乃成爻图。今视爻图右行之金正与次行之金负适等，即用右行直加次行，按术以同名相加，乃以右之金正减其次之金负为空，按术以异名相减之。其次盐空为无人，按术以正无人正之，乃以爻图右积二十七万八千二百五十贯加次积二百三十五万三千二百贯内，得二百六十三万一千四百五十贯，其次金空，次盐一百五袋，正，次银五万二千一百四两，正。仍置定图右行数而成政图。
政图 卜图今视政图，从者乃择其诸行本色可求等首，金可盐亦可，盖金多盐少，乃以政图副次两行盐数三十三与一百五求等，得三，故以三约三十三得一十一，以乗次行；又以三约一百五得三十五，以乗副行，毕其副积得四十六万三千七百五十贯，盐一千一百五十五袋，银三千五百两；次积二千八百九十四万五千九百五十贯，盐一千一百五十五袋，银五十七万三千一百四十四两，皆正列成卜图。
宫图及视上图副行积少，次行积多，即以副行求减次行，皆是同名相减之。既毕，仍置定图副行数，其次行乃得积二千八百四十八万二千二百贯银，得五十六万九千六百四十四两，列为宫图。验宫图次行下，只有银五十六万九千六百四十四两，独一数以为法，以次积二千八百四十八万二千二百贯为寔，寔如法而一，得五十贯为银一两价，而成千图。
千图乃以千图副行银一百两，乗两价五十贯，得五千贯，以减千图副行之积一万三千二百五十贯讫，副积余八千二百五十贯。其下盐得三十三袋，银空而成，曜图。
曜图 支图乃以曜图副行之，积八千二百五十贯为盐寔，以其下盐三十三袋为法，除之，得二百五十贯为盐一袋价，而成支图。乃以支图右行盐一袋徧乗副行，毕其副积，只得二百五十贯。次以副行直减右行，毕右积余二千四百贯，金五两，盐空而成闰图。乃以闰图右积二千四百贯为寔，金五两为法，除之，得四百八十贯为金一两价，成定图。次以左金一百七十五两徧乗右行直减左行，讫左积得二十三万四千贯，度牒一百五十六道，左金空而成定图。
闰图 定图今验定图左积二十三万四十贯为寔，以左下度牒一百五十六道为法，除之，得一千五百贯为度牒一道价，而成终图。既得金银每两、钞盐每袋、度牒每各色之价，次列甲乙丙丁四人乗之。
终图后以首图右金二百两，并左金五十八两八铢，得二百五十八两，以八铢为三分两之一，通分内子，得七百七十五于左甲。其右价四百八十贯，乃以左甲母三约之，为一百六十贯于左甲。次以右盐四千袋，并副盐二百六十四袋，得三百四袋于左乙。以盐价二百五十贯于右乙。次以副银八百两，并银一千六百七十两，得二千四百七十两于左丙。以银价五十贯于右丙。又以次行度牒一十五道，并左度牒五十二道，得六十七道于左丁。以度牒价一千五百贯于右丁。两行对乗之。
以右甲一百六十乗左甲七百七十五两，得一十二万四千贯，为甲原本。以右乙二百五十贯乗左乙三百四袋，得七万六千贯，为乙原本。以右丙五十贯乗左丙二千四百七十两，得一十二万三千五百贯，为丙原本。以右丁一千五百贯乗左丁六十七道，得一十万五百贯，为丁原本。列四人各得原本，求等得五百贯，皆以五百贯为法除之。甲行二百四十八，乙得一百五十二，丙得二百四十七，丁得二百一，各为列衰于右行。并右行列衰得八百四十八，为总法。次置▯到沉香五千八十八两，遍乗列衰各为沉香寔。次置胡椒一万四百三十包，亦遍乗列衰为椒寔。次置象牙四百二十四条，以大小各半之得二百一十二合，亦遍乗列衰为牙寔。
甲得一百二十六万一千八百二十四，乙得七十七万三千三百七十六，丙得一百二十五万六千七百二十六，丁得一百二万三千六百八十八。各为沉香寔，以总法八百四十八除之。甲得沉香一千四百八十八两，乙得沉香九百一十二两，丙得沉香一千四百八十二两，丁得沉香一千二百六两。
甲得二百五十八万六千六百四十，乙得一百五十八万五千三百六十，丙得二百五十七万六千二百一十，丁得二百九万六千四百三十，各为椒寔，以总法八百四十八除之。甲得三千五十包，不尽二百四十包，以包率四十觔乘之，得九千六百觔，又以法除之，得一十一觔，不尽二百七十二觔，以十六两通之，得四千三百五十二两，又以法除之，得五两，不尽一百一十二，求等得一十六，约之得五十三分两之七，约甲得椒三千五十包一十一觔五两五十三分两之七。乙得一千八百六十九包，不尽四百四十八包，以四十觔乘之，得一万七千九百二十，又以法除之，得二十一觔，不尽一百一十二觔，以十六两通之，得一千七百九十二两，又以法除得二两，不尽九十六两，求等得十六，约之得五十三分两之六，为乙合得椒一千八百六十九包二十一觔二两五十三分两之六。丙得三千三十七包，不尽八百三十四，以四十觔通之，得三万三千三百六十觔，又以法除之，得三十九觔，不尽二百八十八，以十六两通之，得四千六百八两，又以法除之，得五两，不尽三百六十八两，求等得十六，约之得五十三分两之二十三，为丙合得椒三千三十七包三十九觔五两五十三分两之二十三。丁得二千四百七十二包，不尽一百七十四，以四十觔通之，得六千九百六十觔，又以法除之，得八觔，不尽一百七十六，以十六两通之，得二千八百一十六，又以法除之，得三两，不尽二百七十二，求等得十六，约之得五十三分两之一十七，为丁合得椒二千四百七十二包八觔三两五十三分两之一十七。
甲得五万二千五百七十六合，乙得三万二千二百二十四合，丙得五万二千三百六十四合，丁得四万二千六百一十二合，各为牙寔，皆以总法八百四十八除之。甲合得牙六十二合，乙合得牙三十八合，丙合得牙六十一合，不尽六百三十六，求等得二百一十二，约之得四分合之三。丁合得牙五十合，不尽二百十二，求等得二百一十二，约之得四分合之一。按此条于方程正负之用，通分乗除之变，多所发明，歩筭虽繁，寔有条而不紊也。
推求物价问：推货务三次支物凖钱各一百四十七万贯文，先拨沉香三千五百裹，瑇瑁二千二百觔，乳香三百七十五套；次拨沉香二千九百七十裹，瑇瑁二千一百三十觔，乳香三千五十六套，四分套之一；后拨沉香三千二百裹，瑇瑁一千五百觔，乳香三千七百五十套。欲求沉、乳、瑇瑁裹、觔、套各价几何？答曰：「沉香每裹三百贯文，乳香毎套六十四贯文，瑇瑁每斤一百八十贯文。」术曰：以方程求之，正负入之列，积及物数于下，布行数各对本色，有分者通之，可约者约之，为定率。积列数，每以下项互徧乘之，毎视其积，以少减多，其下物数各随积正负之类，如同名相减，异名相加，正无人，负之；负无人，正之。其如同名相加，异名相减，正无人，正之；负无人，负之。使其下项物数得一数者为法，其积为寔，寔如法而一，所得不计遍损或益诸积，各得法寔除之余，仿此。草曰：置凖钱一百四十七万贯为三次拨钱为三行积数，次置先拨沉香三千五百里，瑇瑁二千二百觔，乳香三百七十五觔为右行物数；又列次拨沉香二千九百七十裹，瑇瑁二千一百三十觔，乳香三千五十六套四分套之一为中行物；次列沉香三千二百裹，瑇瑁一千五百觔，乳香三千七百五十套为左行之物，各以本色相对列之。
率图 定率图其中行乳香有四分套之一，便以母四通中行诸数只内，子一入乳香叚内，积得五百八十八万贯，沉香得一万一千八百八十裹，瑇瑁得八千五百二十觔，乳香得一万二千二百二十五套。以右行求等，得二十五俱约之，积得五万八千八百贯，沉香得一百四十裹，瑇瑁得八十八觔，乳香得一十五套。以中行求等，得一十五约之，积得三十九万二千贯，沉香得七百九十二裹，瑇瑁得五百六十八觔，乳香得八百一十五套。以左行求等，得五约之，积得二万九千四百贯，沉香得六十四裹，瑇瑁得三十觔，乳香得七十五套。列为定率图三行，副置求之。今先欲去定图下位，乳香套数一十五与左下七十五互乘，左右两行右积得四百四十一万贯，沉香一万五百裹，瑇瑁得六千六百觔，乳香得一千一百二十五套。左积得四十四万一千贯，沉香得九百六十一裹，瑇瑁得四百五十觔，乳香得一千一百二十五套。验左积少，右积多，当以左行直减右行毕，仍置定图左行数。维图【按：以上三图名旧本未载，今依前题补之，以便检阅】
右积得三百九十六万九千贯，沉香得九千五百四十裹，瑇瑁得六千一百五十觔。次验中左两行，各有下位叚。又以左下七十五互乗中行，乃以中行下八百一十五互乗左行毕。中积得二千九百四十万贯，沉香得五万九千四百裹，瑇瑁得四万二千六百觔，乳香得六万一千一百二十五套。左积得二千三百九十六万一千贯，沉香得五万二千一百六十觔，瑇瑁得二万四千四百五十觔，乳香得六万一千一百二十五套。验左积少，中积多，以左行同名直减中行毕，仍置定图左行数。
卜图 宫图中积得五百四十三万九千贯，沉香得七千二百四十裹，瑇瑁得一万八千一百五十觔。今验右中两行数多，又求约之。其右行求得三十，约之右积得一十三万二千三百贯，沉香得三百一十八裹，瑇瑁得二百五觔。中行求得一十，约之中积得五十四万三千九百贯，沉香得七百二十四裹，瑇瑁得一千八百一一十五觔。今又欲去中左行之瑇瑁，乃以中行瑇瑁一千八百一十五互乗右行，右积得二亿四千一十二万四千五百贯，沉香得五十七万七千一百七十裹，瑇瑁得三十七万二千七十五套。以卜右瑇瑁二百五觔互乗中行，中积一亿一千一百四十九万九千五百贯，沉香得一十四万八千四百二十裹，瑇瑁得三十七万二千七十五觔。今验宫右积多，中积少，乃以中行直减右行毕，仍置卜图中行数。
干图 支图今验干图右行叚数，只有沉香四十二万八千七百五十裹，以为法，以右上积一亿二千八百六十二万五千贯为寔，寔如法而一，得三百贯为沉香一裹价，便以中行沉香七百二十四乗三百贯，得二十一万七千二百贯，减中行五十四万三千九百贯，余三十二万六千七百贯为中积，便减去中行沉香叚之数，次以左上沉香六十四乗三百贯，得一万九千二百贯，减左积二万九千四百贯，余一万二百贯为左积，便减左上沉香裹数去之，今验支图中行其下，只有瑇瑁一千八百一十五觔以为法，中积三十二万六千七百贯为寔，寔如法而一，得一百八十贯为瑇瑁价。闰图【按，此图旧本亦未载名，今补】
今验闰图左行有瑇瑁三十觔，以乘价一百八十贯，得五千四百贯。减左积一万二百贯，余四千八百贯，为左积。其下只有乳香七十五套，以为法。以积四千八百贯为寔，寔如法而一，得六十四贯为乳香套价。此题并系俱正补草。
数学九章巻九下