钦定四库全书数学九章》卷七下宋秦九韶撰营廷

钦定四库全书数学九章》卷七下宋秦九韶撰营廷

计定城筑问郡筑一城，围长一千五百一十丈。外筑羊马墙，▯壕长与城同。城身髙三丈，靣阔三丈，下阔七丈五尺。羊马墙髙一丈，靣阔五尺，下阔一丈。▯壕靣阔三十丈，下阔二十五丈。女头鹊防共髙五尺五寸，共阔三尺六寸，共长一丈。鹊台长一丈，髙五寸，阔五尺四寸。座子长一丈，髙二尺二寸五分，阔三尺六寸。肩子髙一尺二寸五分，阔三尺六寸，长八尺四寸。防子髙一尺五寸，阔三尺六寸，长六尺六寸。箭窻三眼，各阔六寸，长七寸五分。外眼比内眼斜低三寸。取土用穿，四坚三为率。周廻石版铺城脚三层，每片长五尺，阔二尺，厚五寸。通身用甎包砌。下一丈九幅【按九幅即九层】中一丈七幅，上一丈五幅。甎每片长一尺二寸，阔六寸，厚二寸五分。防崄墙髙三尺，阔一尺二寸【按此句赘，盖下既论幅则不用阔，下当云每幅之阔为甎之长数】下脚髙一尺五寸，铺甎三幅。上一尺五寸，铺甎二幅。每长一丈，用木物料：永定柱二十条，长三丈五尺，径一尺，每条栽埋工七分，串凿工三分。爬头拽后木共八十条，长二丈，径七寸，每条作工三分，串凿工二分。▯子木二百条，长一丈，径三寸，每条作工二分，搬扛工二分。絍橛二千个，每个长一尺，方一寸，每个工七毫。絍索二千条，长一丈，径五分，每条工九毫。石版一十片，匠一工，搬一工。每片灰一十觔，搬灰千觔用一工。甎匠每工砌七百片。石灰每甎一觔。芦蓆一百五十领，青茅五百束，丝竿筀竹五十条，笍子水竹一十把，每把二尺围。镢手、锹手、担、土杵手，每工各六十尺。火头一名，受六十工。部押壕寨一名，管一百二十工。每工日支新会一百文，米二升五合。欲知城墙坚积、壕积、壕深共用木竹橛索甎石灰芦茅人工钱米数各防何？按题意，掘土为壕以筑城，城身及羊马墙身共积，即壕身积。语中未详羊马墙及壕周绕城外，当长于城周，题中未载距城尺数。城墙用甎包砌，当计三靣，题中只计一靣，皆属疎漏。防险墙应以甎长为阔，题中复言阔之尺数。柱木防橛等径方长短，术草不用其数，题中亦皆▯载，未免冗繁。然古啇功之略，犹可见焉。故于草中就其所问之意而改正之。答曰：「城积二千三百七十八万二千五百尺，坚积；墙积一百一十三万二千五百尺，坚积。」壕积三千三百二十二万尺，穿积壕深八丈永定柱三万二百条，每条长三丈五尺，径一尺爬头拽后木一十二万八百条，每条长二丈，径七寸▯子木三十万二千条，毎条长一丈，径三寸絍橛子三百二万个，每个长一尺，方一寸絍索三百二万条，每条长一丈，径五分芦蓆二十二万六千五百领青茅七十五万五千束，每束六尺围筀竹七万五千五百竿水竹一万五千一百把，毎把二寸围石版一万五千一百片城甎一千二百八十三万三千四百九十片　石灰一千二百九十八万四千四百九十觔　用工二百万三千七百七十工　新会二十万三百七十七贯文　支米五万九十四石二斗五升按，右答数石、版城甎、石灰三数俱误，余数亦多偶合，具详草后。术曰：以啇功求之。置城及墙上下广各并之，乘髙，进位半之，各得每丈积，率并之为共率。先以每功尺除之，又以诸色工各数乘之，为土功丈率。次置柱木橛索，乘其每条叚功，得各共功。次置城方一丈，自之，乘用甎总幅数为实，以甎长乘厚为则法，除实，得城身用甎。次置鹊台、座子、肩子、防子各髙阔长相乘为寄，并之于上。次箭窻眼髙，依差寸求斜深，虚积减寄，余为女头甎实。以则法乘甎阔为甎积，法除之，得女头台用砖。又置防险墙髙，以丈乘而半之，又乘上下幅共数为实，以砖阔厚相乘为法，除之，得防险墙用甎。并三项用甎为都实，以毎功片为法，除之，得甎匠功。以每丈用石叚数求石匠工，以搬每丈石求搬石工，以片用灰数乘都甎，得甎用灰，以每丈石版数乘片用灰，得石用灰，并之为甎石共灰，以每工搬灰数除之，得搬灰工，并诸作工为实，以火头、壕寨每管人数各为法，除之，得各数，又并之为都工。然后以城围通长偏乘诸项毎丈率积灰各工料，得共数。女头围【按旧图在术前，其尺数多未合，今改正，移于此】

草曰置城上广三丈并下广七丈五尺得一十丈五尺乘髙三丈得三千一百五十尺进位【按即十尺乘之】得三万一千五百尺半之得一万五千七百五十尺，为每丈城积率。置羊马墙阔五尺，并下阔一丈，得一十五尺。乘髙一丈，得一百五十尺。进位得一千五百尺，以半之，得七百五十尺，为羊马墙每丈积率。并城墙二率，得一万六千五百尺，为共率，以为实。以镢锹担工杵手各六十尺为法，除实得二百七十五工，以四色因之，得一千一百工，为镢锹担土杵手工。置永定柱二十条，乘每条栽埋工七分，得一十四工。又乘串凿工三分，得六工，计二十工，为永定柱工。置爬头拽后木八十条，乘作工三分，得二十四工。又乘串凿工二分，得一十六工，计四十工，为爬头拽后木工。置▯子木二百条，乘作工二分，得四十工。又乘搬扛工二分，得四十工，计八十工，为▯子木工。置絍撅二千个，乘作工七毫，得一十四工。絍索二千条，乘作工九毫，得一十八工，计三十二工，为橛索共工。乃以城墙女头甎积求甎匠工。置城身方一丈，自乘一百尺，于上次置下九幅，中七幅，上五幅，并之得二十一幅，乘上得二千一百尺。甎长有寸，以寸通之，为二十一万寸，为实【按此条误应减去三层石脚积余为甎实方合】以甎长一十二寸乘厚二寸五分，得三十寸为则法【按则法即甎立长靣数葢论幅数则不用求积也】除实得七千片，为城身甎数。又置鹊台髙五寸乘阔五尺四寸，得二百七十寸，又乘长一丈，得二万七千寸，寄上。又置座子髙二尺二寸五分乘阔三尺六寸，得八百一十寸，又乘长一丈，得八万一千寸，加寄。又置肩子髙一尺二寸五分乘阔三尺六寸，得四百五十寸，又乘长八尺四寸，得三万七千八百寸，又加寄。又置防子髙一尺五寸乘阔三尺六寸，又乘长六尺六寸，得三万五千六百四十寸，又加寄，共得一十八万一千四百四十寸，共为寄。其箭窻内外眼虽差三寸。于斜深虚积将盈补亏与直深等，以窻阔六寸乘长七寸五分，得四十五寸，又乘座阔三尺六寸，得一千六百二十寸，为窻积【按箭眼三当三因之，此用一眼数误】以减寄余一十七万九千八百二十寸，为实。置甎则法三十寸乘甎阔六寸，得一百八十寸，为甎则法，除实得九百九十九片，为女头鹊台共甎。又置防险墙髙三尺乘每丈，得三千寸，以墙法当半折之，得一千五百寸，又乘上下五幅，得七千五百寸，为实。次以甎厚二寸五分乘阔六寸，得一十五寸，为甎法，除实得五百片，为防险墙甎。次并三项甎八千四百九十九片，为毎丈用甎。都实以每工七百片为法，除实得一十二工七百分工之九十九，为甎工。

每丈用石版十片【按此条误应用一十六片二分】计一工搬石十片，计一工甎每片用灰一觔，命都甎即甎用灰之数。又置每丈用石版一十片，每片用灰一十觔，相乘之得一百觔，为石版用灰，并甎用灰八千四百九十九，得八千五百九十九觔，为甎石用灰数，为实。以毎工搬一千觔为法，除之得八工一千分工之四百九十九，为搬灰工。并石匠搬石二工，通前列土工一千一百，定柱工二十，爬头拽后木工四十，▯子木工八十，橛索工三十二，甎工一十二工七百分工之九十九【按此数误】搬灰八工千分工之四百九十九【按此数误】石匠搬石共二工【按此数误】并诸作工余分不同者，合分术入之，共得一千二百九十四工七千分工之一千四百八十九【按甎工差多一工，石工差少一工，故相并之工数无差，分子则差少四千八百五十二分】通分内子得一百二十九万五千四百八十九，为众工实。置火头每管六十人，分母乘之得六万，为法【按数误，分母七千乘六十应得四十二万】除都工实得火头二。十一人六万分之三万五千四百八十九，壕寨每部一百二十人，就倍火头法六万为十二万，亦除众工，实得壕寨十人，十万分之九万五千四百八十九，列两余分及前诸作工余七千分之一千四百八十九，三项以合分术入之，得一工不尽五十万四十亿分之三十万二千三百六十九亿四千万分，求等又约之为八十四万分之五十万三千九百四十九分，乃又并之，共得一千三百二十六工，其余分大约百分中之五十九，在半以上收为一工，共定得一千三百二十七工【按此数偶合】为每丈都工，然后以城通长徧乘，乘诸项置城长一千五百一十丈，乘城率一万五千七百五十尺，得二千三百七十八万二千五百尺，为城坚积，又以城长乘墙率七百五十尺，得一百一十三万二千五百尺，为墙坚积，并城墙二积，得二千四百九十一万五千尺，又以墟率四因之，得九千九百六十六万尺为实，以坚率三约，得三千三百二十二万尺为壕积，以为实，以壕阔三十丈并下阔二十五丈，得五十五丈，以半之得二百七十五尺，乘壕长一千五百一十丈，得四十一万五千二百五十尺，为壕法，除实得八丈为壕深，求工料共数如术，以城通长徧乘丈率，工永定柱爬头拽后木▯子木橛子木絍索芦蓆筀竹水竹青茅城甎石版石灰各得以共工乘日支钱米得共钱米更不立革按草中法数有不合者，逐条改正如左。一题言：城脚周廻铺石版三层，通身用甎包砌。应于先求得一丈自乘幅数，再乘之二十一万寸数内，减去三层石脚之一万三千五百寸，余一十九万六千五百寸为甎实。以甎则三十寸除之，得六千五百五十觔为甎数。

草中即以全积为甎实，故得数差多四百五十片。一女头鹊台全积一十八万一千四百四十寸，一箭窻虚积一千六百二十寸，三眼应三因之，得四千八百六十寸，以减全积，余一十七万六千五百八十寸，为实，以一甎积一百八十寸除之，得九百八十一片，为甎数。草中只减一眼虚积，故得数差多一十八片。一并城墙、鹊台、防险墙三甎数，得共用甎八千零三十一片，草中差多四百六十八片。一题言：城脚铺石版三层，应以甎阔六寸，乘九幅，得五十四寸；以一丈乘之，得五千四百寸；三因之，得一万六千二百寸，为实。以石之长阔相乘，得一千寸，为法；除之，得一十六片二分。草中并无求法，但云毎丈用石版十片，差少六片二分。一石每片用灰十觔，甎每片用灰一觔。毎丈石用灰一百六十二觔，甎用灰八千零三十一觔二。共用灰八千一百九十三觔。草中石用灰差少六十二觔，甎用灰差多四百六十八觔二。共用灰差多四百零六觔。一石十片，二工甎七百片，一工灰千觔，一工。每丈应用石工三工二分四厘，甎工一十一工七百分，工之三百三十一，灰工八工千分工之一百九十三，并之又并土工一千一百工，定柱工二十工，爬头木工四十工，▯子木工八十工，橛索工三十二工，共得一千二百九十四工七千分之六千三百四十一。草中分子为一千四百八十九，差少四千八百五十二分。一求大头工，应以共工分母通工数内子为实，以分母通所受六十人为法，除实得火头二十一工又一十四万分工之八万一千四百四十七。草中误以千分通之，故分母子数不合。求壕寨，应仍用前实，以分母七千通所管一百二十人为法，除实得壕寨十工又二十八万分之二十二万一千四百四十七。草中同前误分母子数不合。一前共工火头壕寨三分数通而并之得二工又二十八万分之七万七千九百八十一，然后总并之得一千三百二十七工又二十八万分工之七万七千九百八十一。其分子不及分母十之三，弃之，即以一千三百二十七工为定数。草中分子仅进一工，余数及十之六，又进一工，故所得定工数亦同。一共用石版二万四千四百六十二觔，答数内差少九千三百六十二觔。一共用甎一千二百一十二万六千八百一十觔，答数内差多七万零六百六十八觔。一共用灰一千二百三十七万一千四百三十觔，答数内差多六十一万三千六十觔。右十余条，皆依旧草正其舛讹，至立法之疎密，未暇论也。

楼橹功料问筑城合葢楼橹六十处，每处一十间，防险髙四尺，长三丈，厚随甎长。卧牛木一十一条，长一丈六尺，径一尺一寸。搭脑木一十一条，长二丈，径一尺。防壕柱一十一条，长一丈六尺，径一尺二寸。副壕柱一十一条，长一丈五尺，径一尺二寸。挂甲柱一十一条，长一丈三尺，径一尺一寸。虎蹲柱一十一条，长七尺五寸，径一尺。仰艎板木四十五条，长一丈，径一尺二寸。平靣板木三十五条，长一丈，径一尺二寸。串挂枋木七十三条，长五尺，径一尺。仰板四八甎结砌三层，计六千片，每片用灰半觔，共用纸觔一百觔。墙甎长一尺二寸，阔六寸，厚二寸半。中板瓦七千五百片。一尺钉八个，八寸钉二百七十个，五寸钉一百个，四寸钉五十个，丁环二十个。用工三百九十六人。欲知共用工料各几何【按防险墙每甎一片用灰一觔题内缺】答曰：「卧牛木六百六十条，搭脑木六百六十条，防壕柱六百六十条，副壕柱六百六十条，挂甲柱六百六十条，虎蹲柱六百六十」。

条　串挂枋四千三百八十条　仰板木二千七百条　平板木二千一百条　城甎四万八千片　四八甎三十六万片　石灰二十万八千觔　纸觔六千觔　中板瓦四十五万片　丁环一千二百个　一尺钉四百八十个　八寸钉一万六千二百个　五寸钉六千个　四寸钉三千个　用工二万三千七百六十人术曰：以啇功求之，置墙髙乘长，得寸为实；以甎阔乘厚为法，除之，得用甎及用灰。以处数并乘诸工料，得总用工料。草曰：置墙髙四尺，通为四十寸；置长三丈，通为三百寸。相乘得一万二千寸为实，以甎阔六寸乗厚二寸五分，得一十五寸为法，除之得八百片为墙甎。又为灰，并四八甎灰三千觔，共灰三千八百觔。乃以六十处徧乗，总用工料：卧牛木、搭脑木、防壕柱、副壕柱、挂甲柱、虎蹲柱、仰板木、平板木、串挂枋木、四八甎、城甎、石灰、纸觔、中板瓦一尺、钉八寸、钉五寸、钉四寸、钉钉环工数各项总数在前。

计造石坝问：创石坝一座，长三十丈，水深四丈二尺，令靣阔三丈。石版每片长五尺，阔二尺，厚五寸，用灰一十觔。每层髙二尺，差阔一尺。石匠每工九片，搬扛五片，用工四人。搬灰兼用，每工一百一十觔。火头每名管六十人，部押每名管一百二十人。所用石湏依原叚，不许凿动。欲知坝下阔及用石并灰共工各几何？答曰：「坝下阔五丈，石版一十万八千片，石灰一百万八千觔，用夫一十万三千五百二十八工，十一分工之八。」术曰：以啇功求之，招法入之。置层髙尺数，乗靣阔及长，为初率。次以差阔尺数，乗髙，又乗长，为次率。却以石版长阔厚相乗为法，以除二率，各得石版为上积及次积。置深，以层髙尺数约之，得层数。对二积列之一行，各添一拨天地数，各以累乗对约之，得乗率。以对上次积并之，为石版。以每觔用灰乗石，为灰数。以匠工片数约版，得石匠。以搬夫数乗石版为实，以扛片数为法，除之得人数。以搬用灰数除灰，得人数。并诸工，以火头管数约之，为火头，半之为部。

草曰：置层髙二尺，靣阔三丈，相乘得六十尺，又乘长三十，又得一万八千尺，为初率。次以差阔一尺乘髙二尺，又乘长三十丈，得六百尺，为次率。却以石版长五尺，阔二尺，厚五寸，相乘得五尺，为法，以除二率，得三千六百片，为初积；一百二十片，为次积。列右行，置深四丈二尺，以每层二尺约之，得二十一层，乘初积三千六百片，得七万五千六百片，于上次。置二十一层减一，余二十，以乘二十一层，得四百二十，半之得二百一十，乗次积一百二十觔，得二万五千二百片，加入上，共得一十万八百片，为石版数。次置二十一层减去一，余二十，以差阔一尺乗之，得二丈，并上阔三丈，共得五丈，为下阔之数。又置石一十万八百片，以每工九约得一万一千二百。置石版数，以搬扛四人乗之，得四十万三千二百，为实。以五片为法除之，得八万六百四十工。又置石版数，以每片用灰一十觔乗之，得一百万八千觔，为灰实。以毎人担用一百一十觔约之，得九千一百六十三工一十一分工之七，为灰工。于上又并石版工一万一千二百，及并搬扛工八万六百四十工，加上共得一十万一千三工一十一分工之七。通分内子得一百一十一万一千四十为实。置火头每名管六十工，以乗分母一十一，得六百六十为法，除实得一千六百八十三工，不尽二百六十，与法约之为三十三分工之一十三，为火头工数。半之得八百四十一工三十三分工之二十三，为部押壕寨数。今众工下十一分工之七，以母十一除火头分母三十三，得三，以三因众工下母子为一十万一千三工三十分工之二十一，并三项母子得一十万三千五百二十九工分子五十七，满母三十三收一工，余二十四，与母各三约为十一分工之八，为共用一十万三千五百二十八工十一分。工之八。

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷七下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷七下》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷七下》>筑埂均功问曰：县共兴筑圩埂，长三十六里半。甲县出二千七百八十人，乙县出一千九百九十人，丙县出一千六百三十人，丁县出一千三百二十人。其甲县先差到一千五百四十四，丙县先差到九百六十五夫，欲知各合赋役埂长几何【里法：三百六十歩】筑曰：甲先到人筑二千六百二十八歩【计七里一百八歩】丙先到人筑一千六百四十二歩半【计四里二百二歩半】术曰：以啇功求之。置里通歩，作尺为积率，并诸县人数为均法。法与率可约者，约之。以科率各乗先到人，为实，皆法而一，各得先筑里歩。为先赋埂长，续到人合赋功，凖此求之。草曰：置三十六里五分，以里法三百六十歩通之，得一万三千一百四十歩。又以歩五尺乗之，得六万五千七百尺，为长率。并甲乙丙丁县四县合科人，得七千七百二十，为均法。合法与率可求等，得二十，以约之率得三千二百八十五，法得三百八十六。以长率三千二百八十五尺乗甲县先到人一千五百四十四夫，得五百七万二千四十人为甲实。实如法三百八十六而一，得一万三千一百四十尺。以歩五尺约之，得二千六百二十八歩，为甲县先到人所筑积歩。又以长率三千二百八十五乗丙县先到人九百六十五夫，得三百一十七万二十五尺，为丙实。实如法三百八十六而一，得八千二百一十二尺五寸。以歩法五尺约之，得一千六百四十二歩半，为丙县先到人所筑歩。

计浚河渠问：▯通运河就土筑堤，令面广六丈，底广四丈，上流深八尺，下流深一丈六尺，长四十八里。其堤下广二丈四尺，上广一丈八尺，与河等，未知髙。以墟四、坚三为率，秋程入功，每名自▯运筑墟坚共积常六十尺。筑堤至半为棚道，取土上下工减五分之一，限一月毕。欲知河积及堤积尺，共用工并日役工数及堤髙各几何？答曰：「河积六千二百二十万八千尺，堤积四千六百六十五万六千尺，堤髙二丈一尺七分尺之三，共用工二十四万四千九百四十四，日役工八千一百六十四，五分工之四。」按，共用工、日用工二数俱误。若以共工分工积，则每工各得四百四十四尺余，其不合明矣。辨详草后。术曰：以啇功求之，并河上下广于上，并河上下流深乗之，又以长乗为实，以四为法，除得河积。以坚率乗河积为实，以墟率为法，除得堤积。并堤上下广乗堤长，半之为法，除堤积得堤髙。并河堤二积，以棚道母半之，副置。以棚道减工子乗之，以棚道减工母除之，得数。以并其副共为寄。以子减母，余乗常尺为増子，以母乗常尺为増分。并増分増子乗寄倍为用工实。以増分乗増子，又乗限月日为法，除实得用人工数。草曰置河上广六丈，并底广四丈，通之折半得五十尺于上，又置河上流深八尺，并下流深一丈六尺，并之折半得一十二尺，以乗上数得六百尺为次，置长四十八里，以尺里法二千一百六十通之得一十万三千六百八十尺，得堤河长，以乗次得六千二百二十万八千尺为河积，以坚率三因河积得一亿八千六百六十二万四千尺为实，以穿率四为法除之得四千六百六十五万六千尺为堤积，置上广一丈八尺，下广二丈四尺，并之为四十二尺，以乗堤长一十万三千六百八十尺得四百三十五万四千五百六十尺，以半之得二百一十七万七千二百八十尺为法除堤积得二十一尺为堤髙，不尽九十三万三千一百二十，与法求等得三十一万一千四十，俱约之为七分尺之三，次置河积六千二百二十万八十尺，并堤积四千六百六十五万六千尺得一亿八百八十六万四千尺，以棚道筑至半是二除之得五千四百四十三万二千尺，副之，先以减工之子一【按此以下法皆误】乗之只得此数为实，乃后以减工母五为法除之得一千八十八万六千四百尺，并副五千四百四十三万二千尺共得六千五百三十一万八千四百尺为寄，以折减工五分之一，以子一减母五余四，以乗常尺六十得二百四十尺为増子，以母五乗常尺六十得三百尺为増分，以二増并之得五百四十乗寄得三百五十二亿七千一百九十三万六千尺，以半之得一百七十亿三千五百九十六万八千尺为用工实【按此下又有脱误】得八千一百六十四为每日人工数，不尽一百七十二万八千，与法求等四十三万二千，俱约之为五分工之四，得每日用工八千一百六十四工五分工之四，复通分内子得四万七百二十四，以三十日乗之得一百二十二万一千七百二十为寔，仍以母五约之，得二十四万四千三百四十四工为共用工，合问。按草中求堤积至宻至防，诚数家之要法也。至减工子母乗除而下，则法与数皆有误焉。葢题言棚道减工五分之一，是棚道为平道四分之五也。四为分母，五为分子，应以分子五乗上下积五千四百四十三万二千尺，得二亿七千二百一十六万尺；以分母四乗副半积，得二亿一千七百七十二万八千尺，并之得四亿八千九百八十八万八千尺为实。以分母四乗常尺六十，得二百四十尺为法，除实得二百零四万一千二百工为共工数。以一月三十日除之，得六万八千零四十工为每日工数。或置分子五乗上半积之得数于上，又并分子母得九乗常尺六十，得五百四十尺乗上数，得一千四百六十九亿六千六百四十万尺为实。以分母四乗六十尺得二百四十尺为增母，以分子五乗六十尺得三百尺为増子。増母子相乗得七万二千尺为法，除实得共工数，亦与前同。此特不用副半积数，然不若前法之省。草中以五为分母，以一为分子，母子既以颠倒，而又以余分为分子，后虽易一为四，而母子之名未正，故其中累乗累除之数漫无可据，而所差甚逺也。

围田先计问有草荡一所，广三里，纵一百一十八里。夏日水深二尺五寸，与溪靣等平。溪阔一十三丈，流长一百三十五里，入湖。冬日水深一尺，欲趁此时围▯成田于荡中。顺纵▯大港一条，磬折通溪。顺广▯小港二十四条，其深同。其小港阔比大港六分之一，大港深比大港靣三分之一。大小港底各不及靣一尺。取土为埂，髙一丈，上广六尺，下广一丈二尺。荡纵当溪，其岸髙广倍其埂数。上下流各立斗门一所，湏令田内止容水八寸，遏余水复溪入湖。里法三百六十歩，歩法五尺。欲知田积、埂土积、大小港底靣深阔、冬夏积水、田港容水、过水溪靣泛髙几何。按题意，掘土为港，即以其土四邉为埂，当溪者髙阔倍之余，三邉等语，皆未详。答曰：田积一千八百六十六顷八畆二十四歩，埂土积九百六十五亿五千二百万立方寸，大港靣阔六丈一尺七寸，底阔六丈七。

寸　深六尺八寸　小港靣阔一丈二寸六分寸之五　底阔九尺二寸六分寸之五深六尺八寸　夏积水二万八千六百七十四亿立方寸　冬积水一万一千四百六十九亿六千万立方寸　田容水九千七十二亿六千九百一十二万立方寸　港容水九百六十五亿五千二百万立方寸【港上者在田内】遏出水一万八千六百三十五亿七千八百八十八万立方寸溪靣泛髙一尺三寸一十三万一千六百二十五分寸之一万四千四百一十一按题言大港深比大港靣三分之一，答数中大港靣六丈一尺七寸，深六尺八寸，是九之一不足，而非三之一矣，此数与题不合，以下俱误。<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷七下》>草曰：先通歩法，为五十寸，通三百六十歩，得一万八千寸，为里法。以里法通荡广三里，得五万四千，为广率。又通荡纵一百一十八里，得二百一十二万四千，为纵率。以纵并广率，得二百一十七万八千，为和。以纵率乗广率，得一千一百四十六亿九千六百万，为寄。三因纵率二百一十二万四千，得六百三十七万二千，于上。倍和二百一十七万八千，得四百三十五万六千，加上得一千七十二万八千，为叚次。以埂上广六尺，并下广一丈二尺，得一十八尺，乗半埂髙五十寸，得九千寸。又乗叚一千七十二万八千，得九百六十五亿五千二百万，为土积，亦为港容水。以港阔母六因土积，得五千七百九十三亿一千二百万，为实。以阔子一乗小港二十四条，又乗广率五万四千，得一百二十九万六千，为泛。以阔母六因纵率二百一十二万四千，得一千二百七十四万四千，并泛得一千四百四万，为隅▯平方【按：大港阔六分，差一尺；小港阔一分，差一尺，故此法不免有差】得二百三寸，不尽七百三十七万六千四百，收为所得一寸，乃得二百四寸，为堢。以深子一乗之，以深母三除，得六尺八寸，为大小港等深。次以深母三因堢二百四寸，得六百一十二寸，为实。如深子一而一，得六丈一尺二寸，为中。以不及一尺半之得五寸，加中得六丈一尺七寸【按：如此则不成分数矣】为大港靣阔。如母六而一，得一丈二寸六分寸之五，为小港靣。以不及一尺，各减大小港靣，得六丈七寸，为大港底；得九尺二寸六分寸之五，为小港底。次以埂下广一丈二尺乗叚一千七十二万八千寸，得一十二亿八千七百三十六万，为址。以大港靣六丈一尺七寸乗隅一千四百四万，得八十六亿六千二百六十八万，为实。以阔母六除之，得一十四亿四千三百七十。八万为港平，以并址一千二亿八千七百三十六万，得二十七亿三千一百一十四万，减寄一千一百四十六亿九千六百万余一千一百一十九亿六千四百八十六万为田积寸。

以歩法五十寸自乗，得二千五百，除积寸，得四千四百七十八万五千九百四十四歩为田积歩。以畆法二百四十歩约之，得一千八百六十六顷八畆，不尽二十四歩为田积。以址一十二亿八千七百三十六万减寄一千一百四十六亿九千六百万余一千一百三十四亿八百六十四万乗令容水八寸，得九千七十二亿六千九百一十二万为田容水。次以夏水深二尺五寸乗寄一千一百四十六亿九千六百万，得二万八千六百七十四亿寸为夏积水。次以冬水深一尺乗寄得一万一千四百六十九亿六千万寸为冬积水。乃以田容水九千七十二亿六千九百一十二万并港容水九百六十五亿五千二百万，得一万三十八亿二千一百一十二万，减夏积水二万八千六百七十四亿寸，余一万八千六百三十五亿七千八百八十八万为遏出水。当以八节乗之，嵗日三百六十除之为实。今从省，先以八节约嵗日三百六十，得四十五为率。次以里法一万八千寸通流长一百三十五里，得二百四十三万，又乗溪阔一十三丈，得三十一亿五千九百万，以乗除率四十五，得一千四百二十一亿五千五百万为法，除遏出水一万八千六百三十五亿七千八百八十八万，得一尺三寸为溪靣泛髙，不尽一百五十五亿六千三百八十八万与法一千四百二十一亿五千五百万求等，得一百八万俱以约之，为一十三万一千六百二十五分寸之一万四千四百一十一为泛髙寸下分母之数，合问。按草中自求大小港阔深，以后既与题问不合，且法多疎漏。今以立天元一术，推明求大小港阔深之法于后。至田积水积等，不过幂积体积相较，初无深义，可无论也。法立天元一为一分，六因之得六元为大港阔，减十寸得六元少十寸为大港底阔，并之得十二元少十寸，以半深一元乗之得十二平方少十元，以纵率因之得二千五百四十八万八千平方少二千一百二十四万元。又以天元一为小港阔，减十寸得一元少十分为小港底阔，并之得二元少十寸，以半深一元因之得二平方少十元，以二十四广率因之得二百五十九万二千平方少一千二百九十六万元，并二数得二千八百零八万平方少三千四百二十万元，与土埂共积等。而邉各以一万除之得二十八百零八平方少三千四百二十元，与九百六十五万五千二百寸等。三数又求等得三十六，徧约之得七十八平方少九十五元，与二十六万八千二百寸等。乃以寸数为实，以元数为纵，以方数为隅，▯带纵平方得方邉为一分数五尺九寸【二五○五三二九】即小港阔减一尺得四尺九寸【二五○五三二九】为小港底阔。六因一分数得三丈五尺五寸【五三○一九七三】为大港阔，减一尺得三丈四尺五寸【五○三一九七三】为大港底阔。

二因一分数得一丈一尺八寸【五○一○六五八】为同深，以此转求共港容水数，乃与共土埂原积数相合。

数学九章巻七下<子部,天文算法类,算书之属,数学九章》>钦定四库全书数学九章》巻八上宋秦九韶撰军旅计立方营问：一军三将，将三十三队，队一百二十五人，遇暮立营，人占立地方八尺，须令队间容队，师居中央，欲知营方几何？答曰：「方营一百七十一丈，队方九丈。」术曰：以少广求之，置人占方幂，乗每队人，为队实，以一为隅，开平方所得为队方图【或开不尽就为全尽】次置队数乗将数，又四因之，増三为寔，以二为从隅，开平方得率，以乗队方面为营方面【开不尽为全数】

按旧图各队四眼内每人作一小圆为识，今去之。总图内各队仍画四眼，今只以一小方为一队。旧总图太大，难于捡阅，今收入半页内。又按总图内系百队筭，内只有九十九队，图中应虚一队。旧本未详。草曰：置人占八尺，自乗得六十四尺，为人占方幂，以乗每队一百二十五人，得八千尺为寔，以一为隅，开平方歩法，常超一位，今隅超一度，至寔之百下，约寔置啇八十尺，以啇八十生隅一，得八十为方，乃命上啇除寔讫，实余一千六百，次以啇生隅入方，得一百六十，毕方一退隅再退之，复于上啇之次续啇九尺，乃以续啇九生隅一入方，得一百六十九，乃命续啇除寔讫，得八十九尺，不尽七十九尺，就为九十尺，得队方面，次置三十三队乗三将，得九十九，又四因得三百九十六，増三得三百九十九为寔，以二为从方，一为从隅，开平方歩法，以从方进一位至寔之十下，隅隅超一位至寔之百下，乃约寔置啇一十生隅一入方，得一十二，乃命上啇除寔讫，余二百七十九，又以啇一十生隅入方，得二十二，毕方一退隅再退之，续于寔上啇九队，以续啇九生隅入方，得三十一，乃命续啇除寔适尽，得一十九，乗队方面九十，得一千七百十尺，展为营方一百七十一丈，合问。

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八上》>方变鋭阵问：歩兵五军军一万二千五百人，作方阵，人立地方八尺，欲变为前后鋭阵，阵后阔令多，原方面半倍，阵间仍容骑路五丈以上，顺鋭形出入，求方阵面、鋭阵长及前后鋭阵各布兵几何？答曰：「方面二百丈，方面布兵二百五十人。鋭后广二百丈，鋭广列共三百六十二人。鋭通正长三百丈，骑路二条各阔五丈三尺。内鋭阵广一百四十五丈六尺，列一百八十二人，长一百四十五丈六尺，计布兵一万六千六百五十三人。外鋭两广各七十二丈，列九十人，计布兵四万五千八百四十七人。」按鋭阵数，惟内鋭数合，外鋭通广丈数及布兵数皆不合，详见草后。术曰：以少广求之，置兵开平方，得方面人数【开不尽方为补队】以人立尺数乗之，为原方面。置原方面，以欲多数加之，为鋭后阔，亦为通长。倍马路减之余为实，以人立尺约为阔，布兵不尽半归马路。以四约阔，布兵得外鋭一邉人，倍一邉人并不归，为内鋭长阔人数。副置减一余乗其副，得数半之为内鋭布兵，以减总兵余为外鋭布兵。

计立六万二千五百人，鋭后广通长各三百丈，内鋭立一万六千六百五十三人，外鋭立四万五千八百四十七人【按旧图式不细，且在题后，今改正移于此】草曰：置一军一万二千五百，以五军因之，得总兵六万二千五百人。为寔，开平方得二百五十人。以人立八尺乗之，得方面二百丈。置二百丈加半倍一百丈，得三百丈为鋭阵。后阔亦为鋭阵，道长先倍骑路五丈，得一十丈，以减后阔二百丈，余二百九十丈为实。以人立八尺约之，得三百六十二为鋭后阔布兵，不尽四尺，以半之得二尺，軰归骑路作五丈二尺。以四约鋭后阔布兵三百六十二人，得九十人为外鋭一邉人。倍一邉九十得一百八十，并不尽二人，共得一百八十二人为内鋭。广布兵数亦为长布兵，副置加一得一百八十三，乗副一百八十二得三万三千三百六。以半之得一万六千六百五十三人为内鋭阵布兵。以减总兵六万二千五百，余四万五千八百四十七人为外鋭兵。按草中以内鋭阵兵数减前方阵兵数余为外鋭阵兵数，非是。盖无以知两总数为相等也。试以数明之。依束箭法以总阔求得总三角数七万零五百，以鋭阔求得内三角数一万六千六百五十三。又以每人八尺除两骑路濶十丈零四尺，得一十三人，与内鋭阔相加得阔二百，求得内外间三角数二万零一百。置总三角数减内外间三角数加内三角数，得六万七千零五十三，与前方阵兵数相较多四千五百五十三，安得谓之等乎？今另设歩法于后。法设骑路之阔当二十人，先以总三角数与前方阵数相减，得今多八千人。乃倍骑路阔人数，得四十人为截骑路上小三角之阔，求得小三角数八百二十，以减今多数，余七千一百八十为寔，以四十为法除之，得一百七十九人为内鋭阔，余二十人。依术内不尽者为补队兵。次置总阔减去内阔，余一百九十六人，再减并骑阔四十人，余一百五十六人，半之得七十八人为外后阔。是内鋭阔长皆为一百七十九人，外鋭长为三百七十五人，后两阔共一百五十六人。骑路阔二十人，乃以内鋭阔求得内三角数一万六千一百一十人，以内阔并两骑阔得二百一十九人为阔，求得内外间三角数二万四千零九十人。未置总三角数内减去内外间三角数，余四万六千四百一十人，加内三角数得六万二千五百二十人，再减补队兵二十人，得六万二千五百人，与方阵总兵原数脗合。