数学九章卷二下

数学九章卷二下

钦定四库全书数学九章卷三上。宋张九韶撰。田域。按此卷以方圆斜直幂积相求，即方田、少广、勾股诸法，而术中累乘累除，错综变换，与常法回然，其本则出于立天元一法，今择其难解者。以立天元一法，明之，皆不攻自破矣。

古池推元问：有方中古圆池堙圮，北余一角，从外方隔斜至内圆边七尺六寸，欲就古迹修之，欲求圆方、方斜各几何？荅曰：池圆径三丈六尺六寸，四百二十九分寸之四百一十二方面三丈六尺六寸，四百二十九分寸之四百一十二；方斜五丈一尺八寸，四百二十九分寸之四百一十二。术曰：以少广求之，投胎术【按：即益积之名】入之斜，自乘，倍之为实；倍斜为益方，以半寸为从隅。开投胎平方，得径，又为方面，以隅并之，共为方斜。草曰：以斜七十六寸自乘，得五千七百七十六，倍之，得一万一千五百五十二寸，为实；倍斜七十六寸，得一百五十二，为益方【按：有长方积，先求长，其长濶较名益方】以半寸为从隅，开平方。置实一万一千五百五十二于上，益方一百五十二于中，从隅五分于下。于下起歩，约得百。古池图。乃于实上商置三百寸方。

再进为一万五千二百【按再进者，以百乘之也】隅五进为五千。【按隅五分以百再乗得五千】以商隅相。

生得一万五千为正方以消益方一万五千二百其益方余二百以与商相生得六百投入实得一万二千一百五十二又商隅相生又得正方一万五千，内消负方二百讫，余一万四千八百为从方【按倍正方减益方之数】一退为一千四百八十，以隅再退为五十，乃于上商之次续商，置六十寸与隅相生，増入正方，得一千七百八十，乃命续商除实讫，实余一千四百七十四。次以商生隅増又正方，为二千八十方，一退为二百八，隅再退为五分，乃于续商之次又商，置六寸与隅相生，増入正方，为二百一十一，乃命商除实讫，实不尽二百六寸，不开为分子，乃以商生隅増入正方，又并隅共得二百一十四寸五分为分母，以分母分子求等，得五分为等数，皆以五分约其分母分子之数，为四百二十九分寸之四百一千二，通命之得池圆径及方面皆三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二。又倍隅斜七尺六十，得一丈五尺二寸，并径三丈六尺六寸，共得五丈一尺八寸四百二十九分寸之四百一十二为方斜。按此术以立天元一法明之。法立天元一为池径，即方边，自之得一平方，为方幂，倍之得二平方，为斜幂，寄左。次倍斜至歩，加天元一得一百五十二寸，多一元为方斜。自之得二万三千一百零四寸，多三百零四元，多一平方，亦为斜幂，与左相消。雨边各减一平方，得二万三千一百零四寸，多三百零四元，与一平方等。寸数为实，元数为较，或两边各半之，得一万一千五百五十二寸，多一百五十二元，多半平方，与一平方等。寸数为实，元数半方数共为较。术中所用葢次数也，然不如前数之便。至开方法，即有长方积，有长濶軗带纵，先求长之法也。

尖田求积问：有两尖田一叚，其尖长不等，两大斜三十九歩，两小斜二十五歩，中广三十歩，欲知其积几何？

荅曰曰积八百四十歩术曰：以少广求之，翻法入之。置半广自乘为半幂，与小斜幂相减，相乘为小率；以半幂与大斜幂相减，相乘为大率。以二率相减，余自乘为实，并二率倍之为从上亷，以一为益隅。开翻法三乘方得积【一位开尽者不用翻法】

草曰：置广三十歩，以半之，得一十五，自乘得二百二十五，为半幂。以小斜二十五歩自乘得六百二十五，为小斜幂，与半幂相减，余四百，与半幂二百二十五相乘，得九万歩，为小率。置大斜三十九歩，自乘得一千五百二十一，为大斜幂，与半幂二百二十五相减，余一千二百九十六，与半幂二百二十五相乘，得二十九万一千六百，为大率。以小率九万减大率，余二十万一千六百，自乘得四百六亿四千二百五十六万，为实。以小率九万并大率二十九万一千六百，得三十八万一千六百，倍之得七十六万三千二百，为从上亷【按：从上亷平方和数也】以一为益隅，开玲珑翻法三乘方歩法，乃以从亷超一位，益隅超三位，约商得十。今再超进，乃商置百，其从上亷为七十六亿三千二百万，其益隅为一亿，约实。置商八百为定商，以商生益隅得八亿，为益下亷。又以商生下亷得六十四亿，为益上亷，与从上亷七十六亿三千二百万相消，从上亷余十二亿三千二百万。又与商相生得九十八亿五千六百万，为从方。又与商相生得七百八十八亿四千八百万，为正积，与元实四百六亿四千二百五十六万相消，正积余三百八十二亿五百四十四万，为正实。又以益隅一亿与商相生得八亿，増入益下亷为一十六亿。又以益下亷与商相生得一百二十八亿，为益上亷。乃以益上亷与从上亷一十二亿三千二百万相消，余一百一十五亿六千八百万，为益上亷。又与商相生得九百二十五亿四千四百万，为益方，与从方九十八亿五千六百万相消，益余八百二十六亿八千八百万，为益方。又以商生益隅一亿得八亿，増入益下亷得二十四亿。又以商相生得一百九十二亿入益上亷得三百七亿六千八百万，为益上亷。又以商生益隅一亿得八亿入益下亷得三十二亿，毕其益方一退为八十二亿六千八百八十万，益上亷再退得三亿七百六十八万，益十亷三退得三百二十万，益隅四退为一万，毕。乃约正实续置，置四十歩与益隅一万相生得四万，入益下亷为三百二十四万，又与商相生得一千二百九十六万，入益上亷内为三亿二千六十四万，又与商相生得一十二亿八千二百五十六万，入从方内为九十五亿五千一百三十六万。乃命上续啇四十除实适尽，所得八百四十歩为田积。今列求率开方图于后。按此术以立天元一法明之，法立天元一为尖积，即大小两三角积和，自之得一平方为和，自乘以半广幂减大斜幂与余积相乘得二十九万一千六百歩为大三角积，自乘以坐广幂减小斜幂与余数相乘得九万歩为小三角积，自乘二，自乘数并而倍之内减去和自乘得七十六万三千二百歩少一平方为较，自乘与和自乘再相乘得七十六万三千二百平方少一三乘方，寄左。次以大小两三角积相减，余二十万零一千六百歩为和较相乘数，自之得四百零六亿四千二百五十六万歩，与左相等，则后歩数为实，前平方数为从，上亷三乘方数即益隅与草中所取之数悉合。又按此苦以小率九万歩开平方得三百歩，即小三角积，以大率二十九万一千六百歩开平方得五百四十歩，即大三角积，并之得八百四十歩，即尖积，其法甚易，然必如此费算者，殆欲用立天元一法，不求分积即得所问之总积也。

正负开三乘方图术曰：商常为正，实常为负，从常为正，益常<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三上》><子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三上》>已上系开三乘方翻法图，后篇效此。

三斜求积问沙田一叚，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百歩，欲知为田几何？

荅曰田积三百一十五顷术曰：以少广求之，以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂，减上余四约之，为实，一为从隅，开平方，得积。

草曰：以斜一十三里自乘，得一百六十九里，为小斜幂。以大斜一十五里自乘，得二百二十五里，为大斜幂。并小斜幂得三百九十四里于上，以中斜一十四里自乘，得一百九十六里，为中斜幂。减上余一百九十八里，以半之得九十九里，自乘得九千八百一里于上。以小斜幂一百六十九乘大斜幂二百二十五，得三万八千二十五，减上余二万八千二百二十四，以四约之得七千五十六里为实，以为一隅，开平方，以隅超歩为一百。乃于实上商置八十，以商生隅得八百为从方。乃命上商除实，余六百五十六。又以商生隅入方得数退一位为一百六十，隅退二位为一。乃于实上续商四里，生隅入从方内得一百六十四。乃命续商除实适尽，所得八十四里为田积。其形长八十四，广一里，以里法三百歩自乘得九万歩，乘八十四里得七百五十六万歩，以亩法二百四十除之得三万一千五百畆。又以顷法一百畆约之得三百一十五顷。按此术以立天元一法明之。法立天元一为三角积，倍之得二元，自之得四平方，为中长幂，乘底幂，以大斜为底寄之。又以小斜幂与大斜幂相加，内减中斜幂，得一百九十八里，半之得九十九里，为小分底，与底相乘，长幂自之，得九千八百零一里，为小分底幂乘底幂之数。又以小斜幂大斜幂相乘，得三万八千零二十五里，为小分底幂乘底幂中长幂乘底幂各一，内减小分底幂乘底幂之数，余二万八千二百二十四里，为中长幂乘底幂之数，与寄数等。两边各以四约之，得七千零五十六里，与一平方等，里数为实，方数即从隅也。从二题同此。

斜荡求积问：有荡一所，正北濶一十七里，自南尖穿径中，长二十四里，东南斜二十里，东北斜一十五里，西斜二十六里，欲知畆积几何？荅曰：「荡积一千九百一十一顷六十畆。」术曰：以少广求之，置中长乘北濶，半之为寄，以中长幂减西斜幂，余为实，以一为隅，开平方，得数减北濶，余自乘，并中长幂，共为内率，以小斜幂并率，减中斜。

幂余半之自乘于上以小斜幂乘率减上余四约之为实以一为隅开平方得数加寄共为荡积草曰以中长二十四里乘北濶一十七里得四百八乃半之，得二百四里，为寄。以中长自乘，得五百七十六，为长幂。以西斜二十六里自乘，得六百七十六，为大斜幂。以减长幂，余一百里，为实。开平方，得一十里。以减北濶数一十七里，余七里。自乘得四十九里，并长幂五百七十六，得六百二十五，为内率。次置东小斜一十五里自乘，得二百二十五，为小斜幂。又置东南中斜二十里自乘，得四百，为中幂。却以小斜幂并率，得八百五十，以减中幂四百，余四百五十。乃半之，得二百二十五。自乘得五万六百二十五里于上。又以小斜幂二百二十五乘率六百二十五，得一十四万六百二十五。减上，余九万里。以四约，得二万二千五百，为实。开平方，得一百五十。并寄二百四里，得三百五十四里，为泛。以里法三百六十自乘，得一十二万九千六百歩。乘泛得四千五百八十七万八千四百歩。以畆法二百四十歩约之，得一千九百一十一顷六十畆，为荡积。

计地容民问：沙洲一叚，形如棹，力广一千九百二十歩，从三十六百歩，大斜二千五百歩，小斜一千八百二十歩，以安集民，每户给一十五畆，欲知地积容民几何？荅曰：池积一百四十九顷九十五畆，容民九百。

九十九戸　余地一十畆术曰：以少广求之，置广乘长，半之为寄，以广幂并从幂为中幂【按实大斜幂】以小斜幂并中幂，减大斜幂【按实中斜幂】余半之，自乘于上，以小斜幂弃中幂，减上余，以四约之为实，以一为隅，开平方，得数加寄，共为积，以每户给数除积，得容民戸数。

草曰置广一千九百二十歩乘从三千六百歩得六百九十一万二千歩乃半之得三百四十五万六千歩为寄，以广自乘，得三百六十八万六千四百歩，为广幂。又以从自乘，得一千二百九十六万步，为从幂。并广幂，得一千六百六十四万六千四百步，为中幂。次以小斜一千八百二十歩自乘，得三百三十一万二千四百歩，为小斜幂。又以大斜二千五百歩自乘，得六百二十五万歩，为大斜幂。却以小▯幂并中幂，得一千九百九十五万八千八百歩。以大斜幂减之余，一千三百七十万八千八百歩。乃半之，得六百八十五万四千四百歩。自乘得四十六万九千八百二十七亿九千九百三十六万歩。于上次以小斜幂乘中幂，得五十五万一千三百九十五亿三千五百三十六万歩。减上余八万一千五百六十七亿三千六百万为实。以四约之，得二万三百九十一亿八千四百万为实。以一为隅，开平方，得一十四万二千八百歩。并寄三百四十五万六千歩，共得三百五十九万八千八百歩。以畆法二百四十歩除之，得一万四千九百九十五畆。次以顷法一百畆约之，为一百四十九顷九十五畆，为地积。又为实，以每户所给一十五畆为法，除实得九百九十九户，不尽一十畆，不及一戸所给数，以为余地一十畆蕉田求积问：蕉叶田一叚，中长五百七十六歩，中广三十四歩，不知其周，求积畆合几何？荅曰：田积四十五畆一角【按：六十歩为一角，葢四分畆之一也】十一歩六万三千七十分歩之五千二百一十三。术曰：以长并广，再自乗，又十乘之，为实；半广、半长，各自乘，所得相减，余为从方，一为从隅。开平方，半之得积。

草曰：以长五百七十六歩，并广三十四歩，得六百一十两度，自乘【按即自乘再乘】得二亿二千六百九十八万一千歩，进一位，即是以十乘之，得二十二亿六千九百八十一万歩，定得此数以为实。置长五百七十六，以半之，得二百八十八，自乘得八万二千九百四十四，于上。又置广三十四歩，以半之，得一十七，自乘得二百八十九，减上，余八万二千六百五十五，为从方，以一为从隅，开平方，得二万一千七百四十二歩，不尽一万四百二十六歩，以商生隅入方，又并隅算，共得一十二万六千一百四十为母，与不尽及开方田积数皆半之，田积定得一万八百七十一步六万三千七十分歩之五千二百一十三，以畆法二百四十约之，得四十五畆一角一十一歩六万三千七十分歩之五千二百一十三。按此术以长与广相加，自乘，再乘，又以十乘之，为长方积；以半长自乘，半广自乘，相减为长濶较，求得阔，折半为田积，非法也。此题中广甚小，故得数较古法多七百余，较密法少二千七百余。若设长为七百零七，广为二百九十三，亦以此法求之：长广相加，自之，再之，又十乘之，得一百亿为实；半长、半广各自之，相减得十万零三千五百为长阔较，求得阔，折半得三万零四百二十六歩余为田积。依宻法求之，实十四万四千九百余歩，所差甚逺，其术之不合，显然矣。葢数必三乘而后可以平方求之，今再乘之后，仅以十进之，宜其不可用也。

漂田堆积问：三斜田被水冲去一隅而成四不等直田之状元中斜一十六步，如多长水直五歩如少濶，残小斜一十三歩如▯，残大斜二十歩如元中斜之▯，横量径一十二歩如残田之广，又如元中斜之勾，亦是水直之股，欲求元积、残积水积、元大斜、元中斜、二水斜各几何？荅曰：元积一百三十八歩一十一分歩之八，水积一十二歩一十一分歩一八【按：应一十三歩一十一分歩之七】

残积一百二十六歩元大斜二十九歩一十一分歩之一。元小斜一十八歩一十一分歩之一【按：应一十一分歩之十】水大斜九歩一十一分歩之一。水小斜五歩一十一分歩之一【按：应一十一分歩之一】术曰：以少广求之，连枝入之，又勾股入之。置水直，减中斜，余为法。以中斜乘大残为大斜实，以法除实，得元大残。以残大斜减之余为水大斜。以法乘径，又自之为小斜隅。以水直幂并径幂为▯幂，又乘径幂，又乘中斜幂为小斜实，与隅可约，约之。闭连枝平方得元小斜。以残小斜减之余为水小斜。以水直乘之为水实，倍水小母为法，除之得水积【按：此处法踈】以水直并中斜乘径为实，以二为法，除之得残积。以残积并水积，共为元积分者，通之。重有者，重通之。

草曰以水直五减中斜一十六余一十一为法以中斜一十六乘大残二十得三百二十为大斜实以法除之得二十九歩一十一分歩之一为元大斜，内减残大斜二十歩，余九歩一十一分歩之一为水大斜。以法一十一乘径一十二【按乘径可省】得一百三十二，自之得一万七十四百二十四，为小斜隅。以水直五自乘得二十五，为水直幂。以径一十二自之得一百四十四，为径幂。并水直幂得一百六十九，为▯幂。以乘径幂【按此乘径幂亦可省葢以此乘复以此除徒为多筭耳】一百四十四得二万四千三百三十六，于上又以中斜一十六自乘得二百五十六，为中斜幂。以乘上得六百二十三万一十六，为小斜实。开平方与隅求等，得一百四十四，俱约之实得四万三千二百六十四，隅得一百二十一。开方不尽，以连枝术入之。用隅一百二十一乘实四万三千二百六十四得五百二十三万四千九百四十四，为定实。以一为定隅，开平方得二千二百八十八为实，以约隅一百二十一除之，得一十八歩，不尽一百一十一【按一百一十整】与法一百二十一俱以一十一约之，得一十一分歩之十为元小斜。减残小斜一十三歩，余五歩一十一分歩之一【按十讹一故下数误】为水小斜。通歩内子得五十六，以水直五歩乘之得二百八十，为水实。倍水小母一十一得二十二为法，除之得一十二歩，不尽一十六，与法俱以二约之，为一十二歩一十一分歩之八【按应一十二歩一十一分步之七】水积置中斜一十六，并水直五得二十一，乗径一十二得二百五十二，以半之得一百二十六，为残积。以水并积共得一百三十八歩一十一分歩之八为元积【按应一百三十九步一十一分步之七】

数学九章卷三上<子部,天文算法类,算书之属,数学九章》>