时务分类文编卷十四

译将其分为两个直角三角形，那么三角形的其他要素也就随之求得了。只有直角三角形，已知一角一边，或者已知两边，就能求出其余三个未知量，这是为什么呢？因为直角三角形选取的是直角，其直角为九十度是已知的，虽然说是已知一角一边，或者已知两边，但结合直角来讨论，实际上就是已知两角一边，或者已知两边一角。以较短的直角边为句，较长的直角边为股，直角所对的边为弦，弦的平方等于句的平方加上股的平方，这就是直角三角形基本定理立法的依据。直角三角形中的名称很多，比如和、较、和和、较较等类别。两件事相加称为和，两件事相减称为较。例如句加股，就是句股和；股减句，就是句股较。弦加句股和，叫做弦和，这个和就是三边之和；弦加句股较，叫做弦较；弦和与句股和相比，叫做弦和较；弦与句股较相比，叫做弦较较。求解直角三角形的方法不止一种，但关键都不出比例推导。例如句的平方等于股弦和乘以股弦较；股的平方等于句弦和乘以句弦较。试着列出比例表如下，凡是直角三角形的各类题目，按照这个表来驾驭，大概会觉得简单容易了。

译句股比例表

股与弦的和

勾

弦与较的和

三者的和

勾

股与弦的较

弦与和的较

弦与较的较

弦与较的和

弦与和的较

两倍的勾与股的较

两倍的股

三者的和

弦与较的较

两倍的股

两倍的勾与弦的和

勾与弦的和

股

弦与较的较

三者的和

股

勾与弦的较

弦与和的较

弦与较的和

弦与较的较

弦与和的较

两倍的股与弦的较

两倍的勾

三者的和

弦与较的和

两倍的勾

两倍的股与弦的和

地圆解

莫有镳

地球像球体一样，是行星之一。地球极其广大，看上去似乎平坦，然而仔细考察，就知道地球是圆的并且在运动，绕着太阳运行。它的证据不止一种，试略述如下：比如一条大河，宽约四五英里，人低头平视，看不见对岸的低矮房屋和小船，只看见高山大树，因为水面微微隆起，略呈圆形，能遮挡住视力的所及之处，这是第一个证据。比如人站在海边高处，遥望大船驶来，先看见桅杆顶端，渐渐靠近才看见船帆，更近才看见船身。如果望大船开走，船走稍远，就看不见船身，更远就看不见桅杆，愈远连桅杆顶端也看不见。船身是大物体，桅杆船帆是小物体。如果海面是平的，那么船来的时候，应先看见大的部分；船走的时候，应先看不见小的部分。现在所见与此相反，因为海面微微弯曲，船身在底部，远了就看不见，桅杆船帆在高处，远了还能看见，这是第二个证据。凡是月食时，看见月面被黑影遮掩，这是地球的影子。太阳与月亮相对，而地球恰好在中间，日光照射地球，地球后面有影子投射在月面上，所以月食所说的月亮进入暗虚，那黑影正是圆的，由此知道地球整体必定是圆形的，这是第三个证据。人在平原没有树林山峦遮挡视线的地方，视力所及之处，看天地周界形成一个平圆，或者登上高塔，或者在海船上升到桅顶，所看到的地面水面必定有一定的界线，四周形成一个大平圆。如果登上高山，那么四周的界线更大，也形成平圆，界线外不能看见，不是大气折射遮挡隔绝，而是地球是圆体，眼睛的视线直行，不能像弧线那样弯曲，所以看不见，这是第四个证据。如果用水平线测量地面，相距一英里，地面微微弯曲八英寸，相距三英里约弯曲六英尺，相距五英里微微弯曲一丈六英尺，地球如果不是圆的，怎么能这样，这是第五个证据。凡是各种星辰看起来似乎绕着地球运行，有的形成大圆，有的形成小圆，大小不等。只有北极星居于其位，似乎屹立不动，这是因为地球是圆体并且自动运行不息，而南北方向不改变，所以觉得众星循环而北极星不动，这是第六个证据。比如开凿河道，各处河底深度不同，相距多远，就要相差多少尺，各河工都知道，这是第七个证据。凡是航海者，从某处驶行，或向西，或向东，都能绕地球一周而回到原处，比如船从中国扬帆西去，先经过印度洋，又向西南经过好望角，又向西经过大西洋及南美洲海角，又向西北经过太平洋，一直向西行，又回到中国，可见地球是圆体，这是第八个证据。有航海者，船行靠近北极，就看不见南极星；再驶船行靠近南极，就看不见北极星，就像蚂蚁在橙子蒂上，看不见橙子底部，这也知道地球是圆的，这是第九个证据。有这九个证据，明显看见地球圆如球体，难道是虚话吗？查地球直径约七千九百二十六英里，赤道直径比两极直径大约三百分之一，知道地球不是正球体，而是微微扁平，然而其差别很微小，即使视力极精的人也难以分辨，因此作《地圆解》。

西法代数本于中法四元说

姚模

历来道理追溯渊源，必定依据旧有的方法；寻求敏捷，必定出自新的数学。自从河图洛书之后，门类日益增多，精深的义理日益显现，各种方法繁多，道理非常精妙深奥，入门者不深入，就会迷惑眩乱。到了本朝，西方人将借根方法传入中国。借根方，就是西方古代数学。到了近年代数盛行，它的形式虽然繁杂，但道理尚且明晰。然而西方代数，就是中国的四元法，不过是阐明它、补充它。所以说代数本于四元。考察四元的方法，中国失传已久。此后，宋朝秦九韶著《数书九章》，元朝朱汉卿著《四元玉鉴》，李仁卿推演《测圆海镜》等书，到清初，都无法得到。后来从高丽得到，四元法于是重新流行。当六朝时，四元法流入天竺，国名东来术。希腊有丢芬图，依据这种方法而用字代替符号。而天竺后来有精通丢芬图方法的人，代替未知的数，用五色名称，即秦九韶的大衍术，这是代数本于四元的开始。元朝时意大利的波那文图拉从阿拉伯学到传入其国。到明朝嘉靖、万历年间，铁法利传到日耳曼，白勒得利传到法兰西，立可传到英吉利，都仿效东来术，改变天地人物四字，而各自用方言字母代替已知的数和未知的数，这是四元法流入各国的开始。等到牛顿出现，才开始加上各种符号，并制作各种快捷简便的方法，依据其浅

译深奥难懂的四元术步数，被汇集成为代数的集大成之作。于是谈论算法的人，不再知道代数的本源在于四元术了。四元术用天地人物来相因相剔，而代数用字母来相乘相除。代数中相消的道理，就是四元术中所谓的如积相消、齐同相消的道理。代数中有“公生”这一名称，即公度数，又名公约数；有“大公生”这一名称，即大公度数，又名大公约数。四元术有天勾、地股、人弦、物黄方的称号，上下升降，左右进退，互相变化，以假象求真，加正消负，其理是相同的。况且推演四元术的方法，全都基于方程；试演代数的方法，也基于方程。推究代数之所以能通于方程，是因为四元术本就源于方程的缘故。四元术设立天元一、地元一；代数术有一次、二次，全都根源于方程中的一色、二色而产生。方程对减一遍，去掉一色而省去一行，就像四元术相消一遍，去掉一元而省去一色，也像代数相消，一遍去掉一次，而省去一事。由此看来，四元术源于方程，而代数源于四元术，这是可以知晓的。大概四元术的方法，在中国失传，后来流入天竺，由天竺传入欧洲。经过西方人的推阐增详，创制为代数，又在中国流行。学习算法的人认为四元术简练而深奥所以难，认为代数繁杂而浅显所以易，于是说四元术不如代数，中国的方法不如西方的方法。这是不知道代数的渊源和四元术的深奥旨意啊。

译解释日月食

徐永铨

凡是日月食，都是因为一个天体的影子遮蔽了另一个天体。地球是暗体，依靠太阳照射才发光，它的影子在背向太阳的远处可以看见。太阳比地球大，地球影子的尽头必然形成尖锥形，这就是所谓的“闇虚”。地球影子的两旁还有一层外层的虚影，离地球影子越远，外层虚影就越淡。月亮绕着地球运行，距离不远，地球的影子常常足以遮蔽月亮。如果太阳、月亮和地球三者正好在一条直线上，就一定会发生食。月食总是发生在望日，之所以不是每次都发生，是因为黄道和白道斜交，月亮运行到偏上或偏下的位置，没有正好对齐，否则每个月都一定会发生食。食的亏缺程度各不相同，有时甚至持续一两个小时之久。凡是日食，都是月亮遮蔽太阳。发生食的时候，月亮正好位于太阳和地球之间，月亮后面的影子投射到地面上，处在影子里的人看不见日光，所以形成日食。日食总是发生在朔日。凡是月食，都是月亮进入闇虚。发生食的时候，地球位于太阳和月亮之间，地球后面的影子遮蔽了月面，人们看不见月光，这就是月食。月亮被食的程度深浅不同，月面一半进入地球影子的是半食，全部进入地球影子的是全食。到了地球影子中心与月面中心完全重合的时候，就是食甚了。日半食的时候，月影投射到地面，那个地方就看见日食，在影子外面的人仍然看见日光。到了日食甚的时候，两心重合，或者出现金环露在月亮边缘。那时月亮距离地球较远，假如月亮的轨道和地球的轨道在同一平面内，那么日食总是出现在朔日，月食总是出现在望日。但是两条轨道斜交的角度大约五度又四分之一，斜交的地方叫做交点。日食初亏时，从太阳的西边开始，等到复圆时，在太阳的东边结束。月食初亏时，从月亮的东边开始，等到复圆时，在月亮的西边结束。按照每年的交食次数，最多七次，最少两次，大约平均计算，有四次，即日食两次，月食两次。月食循环的顺序，大抵每十九年重复一次。普通人向来看待日月食，只认为是有灾祸，不知道这实际上是天文学的重要学问。通过月食可以辨别地球是圆体，并且知道太阳比地球大，地球比月亮大，以及月亮的运动。有时对于地理学家来说，可以通过交食来确定地球的经线；对于历法学家来说，也可以根据交食来考察时间的适宜性。

解释潮汐

徐永铨

海水在十二个半小时内涨落两次，叫做潮。潮汐与日月对地球的摄动有关。海潮则主要受月亮摄力的影响。天地万物都有自然的摄力。月亮应当用它的摄力吸引海水，只是距离越远，摄力越微弱。如果距离增加成平方比，朝向月亮最近的海水，受到的摄力多于地球背向月亮一面的海水。这是因为太阳距离地球远，月亮距离地球近的缘故。天文学家牛顿考察月亮摄动潮汐的力量大于太阳摄力的四倍。月亮单独摄动海水大约升高八英尺七寸，日月合力摄动海水大约只升高十一尺。有人问：月亮的力量摄动正面的海水上升是对的，但为什么同时相对背面的海水也上升呢？回答说：地球和海水都受到月亮的摄力，引动正面的海水受到的摄力比地球本体多，所以上升。背面的海水受到的摄力比地球本体少，地球被拉走而海水留下，所以也上升。因此地球两面相对的海水同时涨潮，而距离涨潮相等距离的地方，两面相对的海水都是落潮。潮汐的盛大增长，不是在月亮经过子午线的时候，而是在月亮经过子午线之后。凡是物体由静止到运动，由运动到静止，不能立刻改变，水势也是这样。月亮经过子午线时，水应该达到最高，月亮经过子午线后，水势仍然高涨，不能立刻消退。海潮受日月摄力而形成，浪顶总是跟随日月的视运动，与日月的各种差数相符合。日月两个浪有时合并相加，有时分离相减。朔望时是两个潮汐之和，两弦时是两个潮汐之差。所以朔望时潮汐最大，叫做高潮；两弦时潮汐最小，叫做低潮。当月亮在赤道以北，月亮经过子午线在地平以上时，潮汐大；在地平以下时，潮汐小。如果月亮在赤道以南，潮汐的大小与此相反。由此推知，月亮向南时，月亮在地平以下时，赤道对面的潮汐极大；月亮在地平以上时，赤道对面的潮汐极小。道理是一样的。假如地面都是水，那么潮汐的涨落应该没有不同时。所以各地地势潮汐不齐，是因为岛屿和两大洲的阻滞。要理解这个道理，必须根据各地海岸沙滩和各河流的地势来论述，自然就能明白其中的原因了。洋中的小岛潮汐涨落很微弱，只有海湾河口其潮汐高度常由十二尺到五十尺。高潮有时最高，低潮有时最低，都在冬至后大约十日，即西历正月元旦。那时因为太阳距离地球最近，其摄力必然比其他时候更强。高潮遇到那个时候，也比其他时候更盛大。太平洋的潮汐盛于大西洋的潮汐，而潮汐在大西洋热带内介于非洲、美洲之间的，少于在温带内的潮汐，因为海面较窄。海面不宽阔，潮汐多被阻塞，只有在洋面由高到低宽阔达九十度的地方，潮汐才畅通无阻。

解释电气摄力

潘行让

电气摄力

译这是什么原理呢？试着取一片玻璃或琥珀，用干燥的物品或手摩擦使其发热，让它靠近轻微的物品，如丝线、头发、羽毛、芥子等，那些物品会被吸附力吸引，从而互相黏连，过一会儿才掉落。假如用一根木筷子，两头插上轻质的塞子，用丝线从中间悬挂使其保持平衡，再用琥珀或火漆摩擦发热，靠近轻塞并牵引它，筷子就会随之转动。这些都是电气的吸附力。凡是能吸附轻物的力量，就称为电气吸附力。物体具有这种吸附力的，叫做有电气质；被其他物体的吸附力所吸引的，叫做受摄气质。物体摩擦后不产生吸附力的，叫做无电气质。人的头发、猫的皮毛在暗中摩擦，常能看到电光，这些都是具有电气质的物体。格物学家傅兰克论述天下万物都含有电气流质，大概天然的电气在各物体中是均衡的，只有当电气互相牵引时，才有吸附力，有吸附力的物体其电气较多，无吸附力的物体其电气较少。试着用能传导电的物体，如金属片，靠近电气较多的物体处，那么金属片会将该物体多余的电气传导过来，这时所受到的电气比其本质的电气更盛，这叫做正电气，“正”是指有余的意思。如果把传导电的金属片放在电气较少的物体附近，那么金属片的电气会被该物体分走，这时所有的电气比其本质的电气更少，这叫做负电气，“负”是指不足的意思。按照电气流行的规律，从有余传到不足，其趋势是自然的。物体有的难以传导电气，有的不能传导电气。凡是电气相互吸引，从正极吸引到负极的，叫做引电质；那些难以传导电及不能传导电的，叫做阻电质。能传导电的物体，以金属为最；不能传导电的物体，以琥珀、火漆、松香、玻璃、瓷器、丝绸为最。凡是物体用电气支架托住，那么电气就可以储存。比如用玻璃做椅子腿，或者在玻璃上放置一片金属，电气也可以储存。如果想要多获取电气流质以作其他用途，必须使用电气机器。机器种类繁多，以玻璃制造的为主流。有摩擦生电的物体，用来激发电；有传导电的物体，用来储存电；有托住电的物体，使电气不外散。这些机器都是让电气运行的装置。傅兰克说人造的电气与天上的雷电相同，其原理已经被各位格物学家深入讨论过了。将雷电的形态与人造的电气相比，没有多大差别。电光灿烂闪烁，从高空迸发，流动不定，而电光发出声响，其现象是相同的。西方人用风筝取电，风筝上有铁齿，用线放于空中，接手处系上丝线，以防传导电。在丝线与麻线相接处挂一把铁钥匙，当电从风筝向下传导时，看到丝线蓬松竖起，用手靠近，看到有火星。后来用这种方法将电储存在容器中，看到它发光爆响，与人造的电气没有区别。雷击极高的物体，遇到传导电的物体，流行非常容易，遇到阻电的物体则勃然发热形成雷火，以至于焚烧击打爆裂，伤害生灵，这都是由电气流质而来的。西方人有避雷的方法，在房屋最高处树立一根铁竿，长几丈，一端埋入地下，或靠近水的地方，一端高出屋顶几尺，上面有盆齿，用银包裹其尖端，以防生锈。雷电经过时，就顺着铁竿下入地下，而人的房屋可以得到保护，这叫防雷铁盖。雷的性质遇到传导电的物体畅通无阻，如果遇到阻电的物体，遏制其流行的势头，于是轰然作响，奋击成灾罢了。

译气学浅说

戴儒珍

冲漠先生对凭虚公子说：“现在试着点燃一盏洋灯，您认为里面有什么呢？”公子说：“除了光以外，什么也看不见。”先生说：“凡是空管中本来充满了空气，等到灯一点燃，空气就随着热气上升而排出，而热气开始散发，这是因为热气比空气轻。推而广之，其他管子也是这样。试着观察地球热带的风，常常吹向南北极各处，由此可知热气能够高出冷气之上。”按：蒙戈尔菲耶热气球始于西历一千八百年，气球是由约瑟夫·米歇尔·蒙戈尔菲耶兄弟所创制。其方法是将热气灌入球内，务必使其充足，等到热气与球口生火处的热度相等，那么热气自然足以升到冷气之上，而气球也随之上升。高到极点时大约有七八百法尺。公子说：“不妨做一个气球来试一试？”先生说：“一个气球不足以阐明其道理，必须做十个气球才可以。”公子说：“这是什么意思？”先生说：“不难知道。我现在用一杯水和少许肥皂，再用笔管插入水中吹气，您看见的是什么？”公子说：“只见皂水中冒出无数气泡从管端飞入空中罢了，这与热气球有什么关系呢？”先生说：“即此也可以阐明气学的道理。气泡之所以被我吹出，是因为口中的热气通过管子进入水中，热气既然比冷气轻，自然从水中上升而形成气泡。”公子说：“为什么气泡不能升得很高呢？”先生说：“口中吹出的气不太热，一遇到空气就变冷，所以五彩的皂泡于是被水滴打散而化为尘埃了。”公子说：“从今以后，我不再疑惑皂泡也与气学有关了。”先生说：“这也是格物的一种方法。然而还有可以试验的，比如用一个盆和一个深玻璃杯，盆里装水仅一半，再把引火纸的一头点燃放在杯内，迅速将杯子倒扣在盆上，火就熄灭而盆中的水涨入杯内，因为气中的养气一经烧尽，水无不升于杯中。”公子说：“这是什么缘故呢？”先生说：“杯中有火，那么剩余的气体都是淡气，起初固然热而膨胀，接着就冷而收缩，最终成为真空，所以水受到空气压力就泛上来以填补其空缺。”公子说：“我深深喜爱这种考验的方法，请说完您的论述。”先生说：“试着去厨子那里取一个煮熟的鸡蛋去掉壳，再取一个玻璃瓶用塞子塞住，放在靠近火的地方烘烤，等到瓶子热到极点，迅速用这个鸡蛋塞住瓶口。”然后将此瓶离开火源，您又看见什么呢？公子说：“我看见这个鸡蛋渐渐进入瓶中了。”先生说：“其缘故是因为瓶子被火烤热，那么瓶中本有的空气都被热气逼迫而排出。等到远离火源，那么热气自然减少而逐渐形成真空。瓶中既然空虚，那么外面的空气想要进入，而恰好有这个鸡蛋阻挡它。鸡蛋虽然阻挡，而空气想要进入，鸡蛋能不被气压推入瓶中吗？”

释热

长庚

热这种东西，无声无臭，而它的用途极其广泛。有从太阳而来的，有由火产生的，有因两物摩擦而发出的。那从太阳而来的，与光直接而来，历程万万里。由火产生的，其热有光，与从太阳来的没有区别。大地受到太阳的照耀，热气非常旺盛，地心积聚的热气像大炉子一样。地震就是地中烈火造成的，烈火发于火焰山，如同地心火炉的烟，所以常常地中冒出火来。至于人身上的热，则没有光。人感觉温暖，是由于体内自有热气，并不是衣服足以温暖身体。衣服用来遮蔽身体，使内部的热气不迅速向外散发罢了。两物摩擦而产生热，也有没有光的，比如用两根光滑的棍子互相摩擦，只觉得热而已。比如木制机器两端摩擦，热得很厉害就产生火。两根木棍互相摩擦，也有火产生。热能四处散发，比如拿一根铁条，把它的一端放在火里，不久这一端也感觉热，因为传热速度快。如果两物相连，热能由此到达彼。假设有两物，一热一冷，互相靠近，过一会儿两物的冷热就相等了。热的传递，视各种物质的性质来决定快慢。铁传热最容易，试着拿铁条，把一端放在火里加热，就传到另一端。如果是木条，传热一定不像这样容易。因为木头难以传热，那一端烧火，这一端还不觉得热呢。热能令物体膨胀，比如火车的铁轨，两轨相接处必须留有空隙，防止因热铁膨胀。车轮安置铁圈，必须先炙烤铁圈，铁热则膨胀，安装就很容易，然后浇上水，铁圈收缩紧固，车轮自然坚固，就是这个道理。热能发散天气，气热则膨胀，膨胀则轻就上升，而其他地方的气较冷较重，就向此处吹聚以填补其空缺，所以天气时常鼓荡。假设严密关闭一间暗室，只开一个缝隙，放光射入，窥视光线中，看见天气飞腾，或上或下，由此知道气遇热则上升，其他地方的气吹来，这气的流行没有阻滞。风的兴起，就是这个缘故。海边晚风的凉爽，是因为白天大地受到太阳的热，热得很厉害则气上升，清气吹来，所以形成

译这是海风。热气总是比冷气轻，因为气体遇到热就会膨胀，而气体的本质并没有增加，只是感觉越膨胀越稀薄，越稀薄越轻。气体遇到冷就会收缩，而气体的本质并没有减少，只是感觉越收缩越稠密，越稠密越重。水和液体遇到热就会膨胀变薄，热得厉害液体就会化为气体，比如水热了就会化为蒸汽，固体遇到热也会膨胀，只是不如气体和水那样显著罢了。巨大的热源，是由太阳产生的。如果世界没有这种热气，那么万物就无法繁育，草木也就不会生长。热的作用，真是伟大啊！

译用方形推导出圆形

叶尔昌

方是直线，圆是弧线。《周髀算经》所说的“以方出圆”，是指用方形的形状来度量圆形的分划，圆的数值就从方的数值中推导出来，这与前面所说“圆出于方”的道理相吻合。大概方象征地，圆象征天，方的本质是偶数，圆的本质是奇数。方象征地，地容易测量；圆象征天，天难以测量。然而推算天象的人用地作为标准，也就是用容易测量的来测量难以测量的。方的象征是偶数，偶数是有尽头的；圆的象征是奇数，奇数是无穷无尽的。然而探求奇数的人用偶数来确定它，也就是用有尽头的来穷尽无终点的。所以说“以方出圆”。《管子》说：“能够画出大圆的人，是因为体悟了大的方形。”基于此，例如求正圆的面积，用直径自乘得到正方形，再用方率与圆率的比例来推算，就能得到结果。又如在圆内画正方形，将其划分为勾股，先得到四边形，再推算得到八边形，如此反复推算，直到亿万边形与圆外切吻合，于是将圆周转化为直线，这都是“以方出圆”的道理。又如绘图家，用圆规画圆，圆规是方形的器具。以圆规的一端为轴心，另一端旋转画出圆，这也是圆出于方的证明。大概万物的形象，万象的数值，都不脱离方与圆。孟子说：“圆规和曲尺，是方和圆的极致。”《考工记》说：“圆形的符合圆规，方形的符合曲尺。”《淮南子》说：“左手画方，右手画圆，方和圆都是相对而言的。”实际上是用方形推导出圆形，圆的形体没有方形就不能确定，圆的面积没有方形就不能求得。

光气考

叶尔昌

物体有轻重，不可测量，而依附于物体显现其巨大力量的有四种：光、热、电气和引力。热、电气和引力，前面已经解释过了。根据化学，光与热有相互依存的关系。再试言之，光的变化可以从照相见出来。有时一个物体具备多种颜色，如一片光，红、朱、黄、绿、蓝、青、紫色彩灿烂呈现，红色居首，而紫色居末。化学物质的光多产生紫色，腐烂的鱼和死畜，其物质常转化为光，即朽光常发，这就是所谓的磷。热气的作用，主要是温暖，能使流体和气体不凝固，实为固定物质。如果人靠近火，或日光照射，手上自然产生温暖，这就是热气的证据。根据光的定位，紫色居末，受热最微弱，而红色居首，受热最强烈。热气随处可见，但也有无法求得的，热由内部转化，不得而知，这就是所谓热气的隐蕴。比如将少量热水放在冰上，水渗入冰中，热不敌寒，热气随即消散不见。水尚未结成冰，而热先消散；冰尚未融于水，而热已消失。消散了就看不见，其热所消耗的热，必定是所融化的冰。然而水少冰多，刚融化就立刻结冰了。内部蕴含的热，也能验证得知，如锤打一块铁，久了就会看到它发红；摩擦一块干木，久了就会看到它产生温暖。由此可知铁与木都蕴含内热。物体去除其热，就会成为固定物质，如水银去除其热气，就变成实质，像银一样。这事有人航海靠近北极时见过，北极是热最微弱的地方。热加于冰，就化为水，这叫融化；热加于水，就化为气，这叫气化；热加于铁，就化为流体，这也叫融化。如果热达到十分，且不断增加，铁质或许也会气化。石灰掺水，热气暴发，放出火焰能伤人，这是什么原因呢？大概水蕴含内热，一遇到石灰，热就向外发散，发散后水的流体就变成固定物质。所谓固定物质，是因为内部热少。凡是物质都有内热，只是有多寡的不同。火酒内含热气，水也是如此。水和酒相混合，其热气比原来的酒、原来的水更盛，这是什么原因呢？大概两种物质搀和均匀就变成杂质，杂质的热本来不如普通物质原热那么多，现在既然两种热相混合，所以感觉如此。

时务分类文编卷十五

算学 地舆

问开正负各种乘方哪种是快捷方法

沈善蒸

根据开正负各种乘方的方法，用处最广。比如秦九韶的《数书九章》，李冶的《天元玉鉴》，朱世杰的《四元玉鉴》，都借助开正负各种乘方而得到所求的数值。开方必须先确定初商，而正负各种乘方的初商最难确定。因为有益积连枝的差异，甚至有商数多而余实反而多，退商却反而穷尽的情况。公式的方式，乘数增加则开方更加困难。所以研究天元的人，常以开方为难事。因此数学家精心思考设法，屡次推出新术。现在将各种术数详细解释如下。

假如三乘方式为●●●●●，方法说：定初商为●，以初商乘第一层隅，此层数自下而上得●，加入第二层下廉得●，再以初商乘之得●，加第三层上廉得●。再以初商乘之，得●，加入第四层方得●。再以初商乘之，得●。加入上层负实，异名减为加，得┼为次商实。再以初商乘第一层隅，四倍之得●。加入三倍下廉得●。又以初商乘之得●。加入倍上廉得●，再以初商乘之，得●