周易函书约存卷十一

译《周易函书约存》卷十一。【经部，易类，《周易函书约存》】。钦定《四库全书》。《周易函书约存》卷十二，礼部侍郎胡煦撰。原古【冒道分▯】。九章都以勾股为根本。《周礼》所说保氏掌管的九数，注释说：方田，用于治理田地的界域，叫作粟布；差分，用于治理交错、质变和变易；少广，用于治理贵贱和廪税；商功，用于治理积聚、土方和圆方；均输，用于治理工程的积实；盈朒，用于治理远近和劳费；方程，用于治理隐杂和互相显见；勾股，用于治理错杂、糅合、正负；御，用于测量高、深、广、远。《周髀》是周代的算经。陈子说：“髀”就是股，“正晷”就是勾；以勾为首，以髀为股。又说：“髀”就是表。然而《周髀》单独阐明勾股，为什么不涉及《九章》呢？竖起矩来测望高度，倒置矩来测量深度，横放矩来测知距离，这是勾股自身的用处。环绕矩来作圆，合拢矩来作方；以方数为准则，用方推出圆，这是勾股所产生的内容。数有可以看见的，有隐伏而不能看见的，有彼此互见的，有从旁边显现的。它的变化无穷，藏在圆方之中；少广所说的圆方就是由此产生的。方田、商功都是少广所产生的，一个属于方，一个属于圆；其中有不齐之处，首先产生差分，而均输又同差分之数相对。盈朒是借差数求均数，又由差分、均输产生，并用方程来解决它的困难。度量和衡量都源于黄钟，粟布由此产生。黄钟也是由方圆产生的。三分增加一分，圆周就变成方周；四分取三分，圆积就由方积变化而来。因此勾股所容纳的内容，圆与方并不相同，于是产生方田、少广。折半而求平，于是产生粟布、均输；盈朒、方程产生于各种和数；商功、差分产生于各种较数。勾股难道不是九数的根源吗？设置《九章》，只是为了便于使用罢了。田地界域，有时见于勾股、少广、方田，统称起来就是这些；交错、质变、变易，有时见于差分、均输，而粟布统摄这些内容。所以《九章》是按用途划分，不是按数目划分。泰西建立十八种方法：盈朒叫叠借互征，方程叫杂和较乘分；少广的九种开方方法，其中有七种，另外两种叫递加、倍加；勾股有其大略；差分仍称差分；粟布、商功见于三率；均输见于重准。名称虽不同，道理相同，归根到底没有什么同异。加、减、乘、除出于洛书，也由勾股形成。和，是勾、股、弦相加；较，是勾、股、弦相减。相并便形成加，相较便形成减。勾股自乘而成为弦积，这是乘形成弦积；开方而成为弦，这是除形成弦。有河图就有洛书，有勾股就有加、减、乘、除。哪里不是图书相互引发、触类旁通的呢？煦按：天道向左旋转，属于三这个奇数。奇数属阳，所以用三相乘并向左旋转，这叫作参天。例如一三为三，三三为九，三九为二十七，三七为二十一，都是这样。然而洛书之数，凡是左右、上下相对的，合起来无不为十。十是数的最大盈满。因此百、千、万、亿直到无穷，没有超出这十个数的。阴阳逆顺的机理，以及加减乘除的妙处，都寄托在这里。三和七合起来是十三的乘法；顺则为七的乘法，必然还要逆转。例如一七为七，七七为四十九，七九为六十三，三七为二十一，都是这样。然而乘就是数的推进，也是数的增加，只限于这十个数。现在把所乘之数作为用数，而在所乘之外、乘法不能达到的部分，就都属于除；同样，把所除之数作为用数，而在所除之外、除法不能达到的部分，就都属于乘。乘得少，除得必多；乘得顺，除得必逆。顺者为乘，逆者必为除，都是自然的道理。比如三乘已经是顺了，现在又以三为除，就必然要逆行来与之相合。例如三三除为九余一，一三除为三余七，三七除二十一余九，三九除二十七余三，都是这样。比如以七相乘已经是逆行了，现在又以七为除，就必须向左旋转来与之相合。例如一七除为七余三，三七除二十一余九，七九除六十三余七，七七除四十九余一，都是这样。天道以向左旋转为顺，以向右旋转为逆。顺势推进，日益增加；逆势退行，日益减少。增加产生乘，减少产生除。在循环太极图中，阳推进一分，阴就必然减少一分；阴推进一分，阳就必然减少一分。这就是乘除、加减的妙理，总体上都是由洛书产生的。

译煦按：地道向右转，属于二这个偶数。偶数属阴，所以用二相乘并向右旋转，这叫作两地。例如二二为四，二四为八，二八为十六，二六为十二，都是这样。若用与十相合的八来相乘，那么二的乘法是顺的，八的乘法必然是逆的。例如二八为十六，六八为四十八，八八为六十四，四八为三十二，都是这样。十是数的最大盈满，二与八相互进退，因此这两个数必然具备逆顺的机理。已经用二相乘，现在又用八数相乘，那么二向右旋转，八就必然向左旋转。然而既然能够用乘来推进、增加，也必然能够用除来退行、减少。如果以二数逆旋而加之为乘，那么必然能够以二数顺转而加之为除。例如二二除为四，余六；二六除十二，余八；二八除十六，余四；二四除为八，余二，就是这样。以八数顺转而加之为乘，那么必然能够以八数逆旋而加之为除。例如八八除六十四，余六；六八除四十八，余二；二八除十六，余四；四八除三十二，余八，就是这样。如果对于相合为十的两个数都用乘来求，那么必须一个顺、一个逆，然后才能相合。如果对于相合为十的两个数都用除来求，也必须一个顺、一个逆，然后才能相合。如果对于相合为十的两个数一乘一除，那么顺的必定同顺相合，逆的必定同逆相合。如果用一个数同时兼取乘除来求，那么乘者为顺，除者必为逆；除者为顺，乘者必为逆。相合为十的数为什么能够反复互用乘除呢？因为万物的道理，有进就必有退，有逆就必有顺，有乘就必有除，有显现就必有隐伏。阴阳的道理本来就是这样。孔子说：“万有一千五百二十，以备万物之数。”既然如此，就没有一件事物不能用数来记录，也没有一件事物不在数之中；同样，也没有一件事物不在数之外。这就是洛书相对待的道理：只限于这十个数，任意从中分开，逆顺、进退、加减、乘除无论怎样都能相合。阳统摄阴，阴奉承阳。阴所到达的地方，阳都必有相应到达的部分，这是充分说明始终之义。阳所到达的地方，阴却不一定都有相应到达的部分，这是因为地道本身不能成就万物，而是代天完成其终局。世间有温泉，却没有寒火，这就说明阳能够统摄阴，而阴不能超过阳，意义很明显。因此，二、八这样的偶数不能同一、三、七、九这样的奇数互相乘除，是因为阴本来就不能干犯阳，所以称为常乏。三、七这样的奇数能够同二、四、六、八这样的偶数互相乘除，这正是阳统摄阴、天包容地的道理，所以称为常饶。现在就洛书的偶数来说，也用三这个奇数乘它来求其进数，这是阴顺从阳，所以必定向左转才有相合的结果，如二三、六三，六三为一十八，三八为二十四，三四为一十二，都是这样。若用三这个奇数除它来求其退数，则必定逆转才开始奉承阳，如二三除，六除余四，三四除一十二余八，三八除二十四余六，三六除一十八余二，都是这样。若再用七这个奇数来乘，则生数顺行，而乘数必逆行，如二七为一十四，四七为二十八，七八为五十六，六七为四十二。若再用七这个奇数来除，则乘数逆行，而除数必顺行，如二七除一十四余六，六七除四十二余八，七八除五十六余四，四七除二十八余二，都是这样。奇数和偶数互相乘除，进退互相消长，逆顺互相盈缩；每一次乘除兼有四种法则，四次四法应有一十六法，而这里止于一十二法，这就是邵子所谓“四分用三”的说法，是半隐半见的机理，总都是阴阳自然的奥妙。若一定用二、八这样的偶数去乘除一、三、七、九这样的奇数，就只能产生四隅的偶数，不能产生四正的奇数。如一八，如八而生东北之八，三八为二十四而生东南之四，八九为七十二而生西南之二，七八为五十六而生西北之六，都是这样。又如二三如六而余四，二九为一十八而余二，二七为一十四而余六，一二如二而余八，都是这样。可见偶数所进行的乘除，也只能乘除偶数，不能乘除奇数，这就是地道不能成就万物的缘故。煦按：阴阳的道理，彼此互相发挥作用，所以阳的作用施于阴，阴的作用施于阳，原本没有彼此分离的。这个数属于阳，又使用少阳的成数七来转动，所以必定向右转而循行阴的道路，以此补助阳。向右而逆行，是因为顺从地。这个数属于阳，如今又向左转而顺从阳，就必定使用少阴的生数三，以此补助阳。除与乘、进与退、加与减既然使数不同，所以逆与顺的道理也不同。这个数属于阴，又使用少阴的成数八来转动，所以必定向左转而循行阳的道路，以此补助阴。向左而顺行，是因为顺从天。这个数属于阴，如今再向右转而顺从阴，就必定使用少阳的生数四，以此补助阴。除与乘、进与退既然不同，逆与顺也就不同。至于用偶数而以三、七这样的奇数进行乘除，其逆顺也无不如此。煦按：乘除之数都不离十数之内，而这里作乘数，那里却作除数，为什么呢？现在试看，二与八合为一十；若以二乘八除，或以八乘二除，所得之数都能相合。如二二除为四，则二八乘得一十六。这样，在二十之中，四是除数，而一十六是乘数。如四四除一十六，则二二如四，又成为乘数。然而必须在二十之中，是因为二作为乘除数的缘故。若以三、七进行乘除，则三作乘数时必以七为除数，三作除数时必以七为乘数。如三七除二十一，则必以三三乘之而得九；如三三除九，则必以三七乘之而得二十一。然而必须在三十之中，是因为三作为乘除数的缘故。若以四、六进行乘除，则必在四十之内。如四六除得二十四，则必以四四乘得一十六；如四四除得一十六，则必以四六乘得二十四。总之都不离一十之内：较少的数作乘数，较多的数必作除数；生数作乘数，成数必作除数。这些都是阴阳微盛、进退变化的奥妙。

译河图有十，洛书没有十，是因为十散布在四方，所以要通过相对相待来取得，无不归于十。乘除同样依据这个十数，只是有半显半隐、用与不用的分别。河图主静，洛书主动；河图为体，洛书为用。乘除进退的奥妙，都是在运动和施用时显现出来的。因此洛书没有十，正是半显半隐的奥妙：乘法之外有除法，除法之外有乘法。无穷的数，即使达到千、百万、亿，也没有能够超出这十数范围的。现在任意分配十数，除去居中的两个五不论，其余所得必有一个生数和一个成数。若用成数相乘而得到某数，就用生数相除而得到原数；若用生数相乘而得到某数，就用成数相除而得到原数。所以八与二同为一，十三与七同为一，十四与六同为一，十一与九同为一；十只有一个，既没有乘法，也没有除法，恰好得到本数而止。像前面的参天两地图那样，把道理引申开来，也可以得到大概。总之，这都是阴阳互相需要、奇偶互相依存、进退同出一源、生成相合相成、顺逆相互循环的奥妙。以除法代替乘法的方法 这种方法不因乘法而计算，而是用除法代替，所得的数也自然相合。其方法须改变除数：一位数法，是在十内减去所乘之数，以所得的余数作除数，同样可以得到所乘之数。因为被除的余数和原来同乘的数合起来都是一十。现在把所乘之数作为用数，则剩下的数自然应当除去；例如按十数来说，既然用了三数，七数自然应当除去。这就是根据除数得到成数的原因。二位数法，是在百内减去所乘之数，以所得的几十几数作除数，就能得到所乘之数。三位数法，是在千内减去所乘之数，以所得的几百几十几数作除数，就能得到所乘之数。除数和被除数既然已经改变，就把变换后的除数同实数相除：呼实数时从右向左，呼除数时从左向右，逐位相除；除完以后所剩的实数，就是所求的乘数。例如有一百二十人，每人二两一钱，问总共多少？答：二百五十二两。方法：这是二位数法。把除数二两一钱写作二十一，在百内减去它，余七十九，所以七十九就是二十一的变换除数。先以甲位除数七呼丑位实数二，说“二七除一十四”；乙位除数九呼丑位实数二，说“二九除一十八”，都从丑位实数二中除去。这就像把丑位的二作二百，先除去一百四十，再除去一十八，只剩四十二。所以丑位空，寅位存四，卯位存二。再以甲位除数七呼子位实数一，说“一七除七”；乙位除数九呼子位实数一，说“一九除九”。这就像把子位的一作一百，先除去七十，再除去九。说：“七退十还三”，子位空，丑位上为三；说：“九退十还一”，丑位存二，并把一加到寅位原有的四上，成为五，卯位仍存二。逐位除完，就是丑位余二、寅位余五、卯位余二，合为所求的二百五十二两。因为所除的数都是乘数中没有使用的数，如今把余数全部除去，所以就能由除数得到乘数。总的来说，十数之中有被使用的正数，就有没有被使用的余数；正数被使用，余数就被除去。由未使用的数来反证被使用的数，这就是《周易》以阳为体而以阴为用、以阴为体而以阳为用的奥妙。这也就是八卦小图的妙理：纯阳之体，由阴终、阴始而显现；纯阴之体，由阳终、阳始而形成。揲蓍时，本来是把分、揲、挂、扐所得的策数作为所用之数，有时则用剩下的未用之数来分别老少、阴阳，总都是由隐显互相征验、体用同出一源的奥妙。因此，前面的参天两地图，如把十数中的成数、生数分别使用，没有不相合的，只是逆顺不同罢了。九九图 《经部，易类，周易函书约存，卷十二》《经部，易类，周易函书约存，卷十二》《经部，易类，周易函书约存，卷十二》《经部，易类，周易函书约存，卷十二》《经部，易类，周易函书约存，卷十二》《经部，易类，周易函书约存，卷十二》《经部，易类，周易函书约存，卷十二》《经部，易类，周易函书约存，卷十二》六十四子按顺逆安置，以横向八位作为一阵。第一行的数居北方中央，第八行的数居北方右侧，第七行的数居西方，第三行的数居东方，第五行的数居南方，第四行的数居南方左侧，第六行的数居南方右侧。求积的方法如前面的八八图，每阵得到二百六十；每阵各取半面四子，积为一百三十，合起来共同成为一阵，数目没有不同。例如截取坎东四子和艮西四子，共得二百六十；截取乾南四子和兑北四子，也得二百六十。煦说：必须这样按顺逆排列，然后左右相对取数，每一对都得到六十五。知道一对得六十五，那么两对必得一百三，十四对必得二百六十。前面的四四等图，左右上下的数无不相合，都是采用此图相对取数的方法。

译用七十二子作图，再把一与七十二相加得七十三，乘以七十二得五千二百五十六，折半得二千六百二十八作为实数；以九为除数相除，得到每环八子为一阵，每阵各为二百九十二，再把九阵化为十三阵。煦按：这也是先按上下顺逆排列，然后左右相对取数，每一对得到七十二数。左右相对取数，就是用多数配少数，例如一便配七十二。洛书以三三积数作为数的根源，为什么从四以下都把它作为法呢？这是因为三是天数，所以其象为圆；如前图所示，居四方和居四隅的数有的动、有的静【居中的一定不变】，各自都形成纵横十五的数。四是地数，所以其象为方；如后图所示，居中央、居四隅和居四方的数有的动、有的静，也各自形成纵横三十四的数。五五以下都以三三图为根，六六以下都以四四图为根，而四四图实际上又以三三图为根，所以说洛书是数的根源，是不可改变的论断。现在把四四图附在左边，以互相证明；其余内容载在《数学》中，这里不全部记录。四八十二十六四九五十六，十三八十二，一三七十一，十五十四七十一二，三十六十五二六十十四，十五六十三，二十一七十四一五九十三，一十二八十三，十六五九四 这是把十六个数从左到右、从上到下排列【第一图】；中央和四隅的位置不变，而四方的位置相互交换，于是纵横都成为三十四的数【第二图】。如果四方的位置不变，而中央与四隅的位置相互交换，也同样成为纵横三十四的数【第三图】。十三九五一，十三八十二一，四九五十六，十四十六二，三十六十五，十四七十一，二十五十一七三，二十一七十四，十五六十三，十六十二八四，十六五九四，一十二八十三。这是把十六个数从右到左、从下到上排列【第一图】，再用前面的方法变成两图【第二图、第三图】，也都得到纵横三十四的数。只是其中不变的位置，就是前面相互交换的位置；其中相互交换的位置，就是前面不变的位置【这里的第二图同前面的第二图，第三图同前面的第三图】。这也是阴阳互相以动为静、以静为动的道理。【一作中数，两率三、七相加为十，十减一得九；三用九减得一；七若用一、九相加也为十，十减三得七，用七、九相减得三。二作中数，两率四、六相加为十，十减二得八，用四、八相减得二；六若用二、八相加也为十，十减四得六，用六、八相减得四。】

译【一作中数，两率三、九相乘为二十七，二十七除以一得二十七，二十七除以二十七得一；九若用一与二十七相乘，以三除得九，以九除得三。二作中数，两率四、八相乘为三十二，三十二除以二得一十六，一十六除以一十六得二；八若用二与一十六相乘，以四除得八，以八除得四。】《大传》说：“天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。天地之数，都是由少而多，又由多返回少，这是加减的根源。”又说：“参天两地而倚数，天数以三运行，地数以二运行，这是乘除的根源。”因此，河图以一、二作为数之体的开始，洛书以三、二作为数之用的开始。不过，洛书的用开始于参两，是因为以参两为根。实际上，各数循环运行，互相作为根，没有不包含乘除之法的；而且又都以加减之法为根本。现在推得洛书加减之法四种、乘除之法十四种、积方之法五种、勾股之法四种，分别作成图表，在左边说明。洛书加减四法【都讨论下一字】一、用奇数向左旋转相加，得到相连的偶数【这是产生四隅之数。一加三为四，三加九为十二，九加七为十六，七加一为八】。若用奇数减去向左旋转相连的偶数，就得到向右旋转相连的奇数【三减四为一，九减十二为三，七减十六为九，一减八为七】。一、用偶数向左旋转相加，得到相连的偶数【这也产生四隅之数】；二加六为八，六加八为十四，八加四为十二，四加二为六。若用偶数减去向左旋转相连的偶数，就得到向右旋转相连的偶数【这也产生四隅之数】。【六减八为二，八减十四为六，四减十二为八，二减六为四。】一、用奇数向右旋转，与偶数相加，得到相连的奇数。【一加六为七，九加四为十三。】若用奇数减去相连的奇数，就得到相连的偶数【这两个奇数产生申位的偶数】。【一减七为六，九减十三为四。】一、用偶数向右旋转，与奇数相加，得到相对的奇数。【二加九为十一，四加三为七，八加一为九，六加七为十三。】若用奇数减去相对的奇数，就得到相连的偶数。【九减十一为二，三减七为四，一减九为八，七减十三为六。】洛书乘除十四法 一、用三向左旋转，乘奇数，得到相连的奇数。【三三如九，三九二十七，三七二十一，一三如三。】一、用八向左旋转，乘偶数，得到相连的偶数。【八八六十四，四八三十二，八二一十六，八六四十八。】一、用三向左旋转，乘偶数，得到相连的偶数。【三四一十二，三二如六，三六一十八，三八二十四。】一、用八向左旋转，乘奇数，得到相连的偶数。【八三二十四，八九七十二，八七五十六，八一如八。】一、用二向右旋转，乘偶数，得到相连的偶数。【二二如四，二四如八，二八一十六，二六一十二。】一、用七向右旋转，乘奇数，得到相连的奇数。【七七四十九，七九六十三，七三二十一，七一如一。】一、用二向右旋转，乘奇数，得到隔二位的偶数。【二九一十八，二三如六，二一如二，二七一十四。】一、用七向右旋转，乘偶数，得到相连的偶数。【七二一十四，七四二十八，七八五十六，七六四十二。】一、用六乘偶数，得到本位的偶数。【六六三十六，六八四十八，六四二十四，六二一十二。】一、用六乘奇数，得到相连的偶数【这是由四正产生四隅】。【六七四十二，六九五十四，六三一十八，六一如六。】一、用四乘偶数，得到相对的偶数。【四四一十六，四六二十四，四二如八，四八三十二。】一、用九乘奇数，得到相对的奇数。【九九八十一，九一如九，九三二十七，九七六十三。】一、用四乘奇数，得到隔二位的偶数。【四九三十六，四七二十八，四一如四，四三一十二。】一、用九乘偶数，得到相对的偶数。【九二一十八；九八七十二；九四三十六；九六五十四。】凡是除法，除去所得的数，就得到原来用来相乘的数。洛书乘除十四法，可以约括为八法。为什么呢？五是河图、洛书的中数。从五以上的数，都是由五产生的：五加一为六，六减五为一，所以六与一同根；五加二为七，七减五为二，所以七与二同根；三、八、四、九也是这个道理。现在用三与八向左旋转，分别乘奇数和偶数，都得到相连的奇数或偶数，由此可知八就是三。用二与七向右旋转，分别乘奇数和偶数，都得到相连的奇数或偶数，由此可知七就是二。其中只有二乘奇数得到隔二位的偶数，但这个所得数就是相连奇数位置的同根数，也等同于相连之数【如二九一十八，八与三同根，得到八就等同于得到相连的三，其余类推】。用一与六相乘，都得到本位的奇数或偶数，由此可知六就是一。其中只有六乘奇数得到相连的偶数，但所得数就是本位的同根数，也等同于本位之数【如六七四十二，七与二同根，得到二就等同于得到本位的七，其余类推】。用四与九相乘，都得到对位的奇数或偶数，由此可知九就是四。其中只有四乘奇数得到隔二位的偶数，但所得数就是对位的同根数，也等同于对位之数【如四九三十六，六与一同根，得到六就等同于得到对位的一，其余类推】。为什么只得到同根之数呢？

译凡奇数乘偶数、偶数乘偶数，所得都为偶数，而且结果相同【如三四为一十二，八四也是三十二】；奇数乘奇数，所得为奇数。偶数乘奇数，不能得到奇数而又相同，所以只能得到其同根的偶数【如三三为九，八三为二十四；九与四同根，得到四就等同于得到九】。因此，一六、二七、三八、四九，在河图中是四方相配，在洛书中是正隅相连，因为它们的数都是由中五产生而同根。数有相合，也有相对。相合之数由五产生，相对之数成于十一。六、二、七、三、八、四、九，是相合之数，都是彼此相减而成为五；一、九、二、八、三、七、四、六，是相对之数，都是彼此相加而成为十。在河图中，相合之数同居一方，相对之数相互连接；在洛书中，相合之数相互连接，相对之数相互对应。相合之数彼此相从，就是六从一、七从二、八从三、九从四【如前面的乘除十四法】；相对之数彼此相从，就是九从一、八从二、七从三、六从四【如后面的积方五法】。凡把相合之数合起来构成一个数，所得之数必定相同【偶数相乘结果相同，奇数相乘则得到同根数】；若各自相乘，则又必定相合【如三三得九，八八得六十四】。把相对之数共同乘以一个数，所得之数必定相对【如三三得九，七三得二十一】；若各自相乘，则又必定相同【如一一得一，九九也得八十一；二二得四，八八也得六十四】。所以，对于自乘所得的数，相合而相从的，一方得到本数，另一方也得到本数【如一得一，六得六】；一方得到对数，另一方也得到对数【如四得六，九得一】；一方得到连数，另一方也得到连数【如三得九，七也得九；二得四，八也得四】。总之都归结于一、六、四、九而取得整齐。所以，开平方时的自乘数只止于一、六、四、九；而洛书的方位把一、六、四、九置于上下作为经，把二、七、三、八置于左右作为纬，原因就在这里。《经部，易类，周易函书约存，卷十二》《经部，易类，周易函书约存，卷十二》《经部，易类，周易函书约存，卷十二》以上各图本来同出一根，虽然积数似乎不同，但作为九六之变却是同一回事。九六可以分为内、外、中三重，也可以分为上、中、下三层。就每一重、每一层来说，九为天而包容地，六为地而涵藏于天，人心居中而主宰天地。统括三重来说，外为天，内为地，中为人；统括三层来说，上为天，下为地，中为人。再合起来说，九六在天为阴阳，在地为刚柔，在人为阴阳刚柔的交会，而其中心就是天地人的极。按上下划分时，其中心有三个，这就是三极之道，即三才各自具有一个太极；按内外划分时，其中心只有一个，这就是所谓“人者天地之心”，三才合为一体而同属一个太极。此图之中，理、象、数的奥妙完全具备，就是如此。所以分开来作图，便对应阴阳刚柔之义，以太极为根而循环运行不穷。圣人取法于此，说“易有太极，是生两仪，阳九阴六，命爻衍策”，就是这个道理。分开来成书，则对应三才之义，以人为主，并使人在其中成其位置。圣人取法于此，说：“皇极既建，彝伦攸叙，参天贰地，垂范作畴”，就是这个道理。有人说：“河图、洛书出于两个时代，分为两种象，现在用一幅图把它们总括起来，可以吗？”回答说：“十中包含九，所以数终于十，而方位止于九。这是天地自然的纲纪，也是图书彼此经纬而从未分离的原因。若没有十作为经，九的体就无法建立；若没有九作为纬，十的用就无法运行。不知道图书本来是一体，也就不知道它为什么分为二。”有人说：“河图、洛书已经有固定方位，如今却说有未变化的部分，为什么？”回答说：“《易大传》谈河图说：‘天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十’，按顺序数它，这就是未变化的部分。又说：‘天数五，地数五，五位相得而各有合，分而置之’，这就是固定方位的部分。比如《易》卦从一卦开始，每次生出二卦，直到六十有四卦，这是未变化的部分；‘乾南坤北，离东坎西’，这是固定方位的部分。不知道未变化的根本，也就不足以认识固定方位的奥妙。【煦按：这里论说图书不分，确实很有道理；论九六也很好，我在《参互错综注》中已经详细说过。】这幅图左方所注的是本数，从一到九，所用的数已经完整。中间所列所注的是加数：一加二为三，二加三为五，直到八加九为一十七，都是依次把本数相加，每一层的幂积也如此。右方所注的是乘数：一自乘为一，幂积为一；二自乘为四，幂积合于一、三两层而为四；直到九自乘为八十一，其幂积也合并一至一十七九层的数而为八十一，都是本数自乘，每一种形状的幂积也如此。掌握加法、乘法的法则，减法、除法也包含在其中。从这里推演到无穷，所有数都无不相合。推及《九章》中的算法，其道理也无不贯通。现在考察《洛书》的纵横、逆顺，无论怎样都能得到结果；加减乘除之法、开方勾股之算，原来在它未变化以前就已经具备各种法则，到《洛书》才完全显出其参伍错综的极致罢了。大衍圆方的根源

译蓍策之数必定以七为用，是因为方形、圆形的形制，只有以径七作为比例，才能得到周围的整数；勾股之形也只有以三、四作为比例，才能得到斜弦的整数。圆径七本来就是七，勾三、股四相加也为七。因此，论方圆周围的合数，是五十；论勾、股、弦的合积，也是五十。这是大衍之体。由此开方，不能尽一数，而止于四十九，这是大衍之用。开方而不能尽一数，就是蓍策中虚一的道理；方形之中包含八个勾股，而且又不能尽一数，就是蓍策中挂一的道理。只有老阳、老阴之数与此严密相合，所以作图来说明。勾股的名称和含义 勾【横边】，股【直边】，弦【斜边】；勾股较【勾与股相减】，勾弦较【勾与弦相减】，股弦较【股与弦相减】；勾股和【勾与股相加】，勾弦和【勾与弦相加】，股弦和【股与弦相加】；弦较和【弦与勾股较相加】，弦和和【弦与勾股和相加】，弦和较【弦与勾股和相减】，弦较较【弦与勾股较相减】。由勾和股求弦：勾自乘，股自乘，把两数相加得到弦，实际使用开平方的方法。相除便得到弦。由勾和弦求股：用勾自乘、弦自乘，把两数相减所得的数开平方。这样得到股。由股和弦求勾：用股自乘、弦自乘，把两数相减所得的数开平方。这样得到勾。《周易函书约存》卷十二 钦定四库全书 《周易函书约存》卷十三，礼部侍郎胡煦撰。原古【冒道分派】异乘同除法【泰西称为三率】根据先前已有的数来求知现在所有的数，前后两组数彼此对应，于是形成这种方法。没有比异乘同除更好的了，这是古代《九章算术》的关键。先有的数有两个，现在有的数有一个，已知数共有三个，未知数有一个，用三个已知数求一个未知数，所以泰西称为三率。什么叫异？是说名称不同。什么叫同？是说名称相同。假如用粟米交换布匹，粟与粟同名，布与粟就是异名。〔原文数字、纪年保留：两两〕 为什么叫异乘同除呢？这是以现在所有的物作为主来说明的。假如先前有若干粟，换得若干布；现在又有若干粟，将要用来换布，就应当按照先前交换的数量作为例子。先前换得的布与现在所有的粟名称不同，所以用它来乘，这叫异乘。先前所有的粟与现在所有的粟名称相同，所以用它来除，这叫同除。都是用来对现在的粟进行乘除，所以说以现在所有的物为主来说明【列出现在所有的粟，以异名的布相乘作为实数，再以同名的粟作为法相除；这都是以现在的粟为主，而用先前的两件事来乘除。】原价与现在的物名称不同，用来乘；原物与现在的物名称相同，用来除。泰西把原物作为一率，原价作为二率，现在所有的物作为三率，用二率乘三率，再用一率除，就得到四率。问：为什么不先除后乘？回答：用原有总物除以原有总价，可以得到每件物的价格，再乘现在所有的总物，也可以得到现在所有物的总价。但是除法如果除不尽，就不能再乘，所以改为先乘后除；道理是一样的。三率法，把先有的两件事作为一率、二率，把现在有的两件事作为三率、四率。这样，前两率的比例与后两率的比例相等，所以可以互相求得其数。【现在有的两率中，原先只有其中一率，把它同前面已有的两率合起来，共成为三率；由此求得现在所没有的另一率，所以是以三求一，称为三率法，实际上是四率。】例如一率是三，二率是四，三率是