周易函书约存卷十二
何也？三与四之比例，若九与十二也。故以四【二率】九【三率】相乗【卅六】为实，以三【一率】为法除之，必得十二【四率】若互用之，以四率为一率，三为二率，则十二为三率，九为四率。葢十二与九之比例，若四与三也。【解曰：以三比四，以九比十二，并三分加一之比例；以十二比九，以四比三，并四分减一之比例。凡言比例等者，皆如是】若倒用之，十二为一率，九为二率，则四为三率，三为四率。若以九为一率，十二为二率，则三为四率，四为三率【四九相乘，三十六；而十二与三相乗，亦三十六。故以三除三十六，得十二；以十二除三十六，亦复得三。此前两图互求之理。若更一四为二，三其实同为三十六，故以四除之得九；以九除之亦复得四】若错综之三为一率，九为二率，四为三率，则十二为四率。若以九为一率，三为二率，十二为三率，则四为四率。若以十二为一率，四为二率，九为三率，则三为四率。若以四为一率，十二为二率，三为三率，则九为四率。此又以前图之二与三更之，则前两率之第二变为后两率之第一，而比例亦等【在前图为三与四，若九与十二者，此图则三与九亦若四与十二也】若以一率除二率得数以乗三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乗三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也】笔算并法并法即加法也。千与千并，百与百并，俱从小数始，自下而上。笔算减法亦千与千并，百与百并，亦従小数始，自下而上，本位不足减，借上位一数以减之。试加差法【凡加皆自下小数起】有九减七减二法，凡九减，不论单、十、百、千之位，亦不计○位，只据现有之数而合计之，以九除之余者存之，列于右；次减总数，以九除之余者存之，列于左。两余相比，同则无差。七减有二法，俱论位，俱由大数以至小数。一法以所加之数分积之，凡首数皆作几十，以七减之，存其余，合下数便作几十几。如下有○位，则此所余之数便作几十，以七减之，存其余，方合三位之数作几十几，以七减之。若其末有○位，不可以其余便为余数，亦须作几十之数，七减之，其余方为所余之数，记于右。又従首减二行之加数，以其余亦记于右。又从首减三行之加数，以其余亦记于右。若所加之数止于三行，则以三行所得之数合而七减之，存其余列于右。然后减总数，亦自大数以至小数，其○位亦如前法。两余相比同，则无差。一法以所加之数合积之，万与万积为一处，以七减之，以其余并千位之数减毕，以其余合百位之数，凡所余之数俱作十减至末位止，以其余列于右。
译九，则四率必定是十二。为什么呢？三与四的比例，如同九与十二。因此用四【二率】乘九【三率】，得实数三十六；再以三【一率】为法相除，必得十二【四率】。如果互换使用，以四率为一率，三为二率，那么十二为三率，九为四率。因为十二与九的比例，如同四与三。【解释说：三比四，九比十二，都是三分加一的比例；十二比九，四比三，都是四分减一的比例。凡说比例相等，都是如此。】如果倒过来使用，十二为一率，九为二率，那么四为三率，三为四率。如果以九为一率、十二为二率，则三为四率，四为三率【四乘九得三十六；十二乘三也得三十六。因此三除三十六得十二，十二除三十六也得三。这就是前面两图互相求数的道理。若再把一、四作为二率，三作为实数，也同样是三十六；所以四除它得九，九除它也得四。】如果错综使用，三为一率，九为二率，四为三率，则十二为四率。如果以九为一率、三为二率、十二为三率，则四为四率。若以十二为一率、四为二率、九为三率，则三为四率。若以四为一率、十二为二率、三为三率，则九为四率。这是把前图的二、三互换：前两率中的第二率变成后两率中的第一率，而比例仍然相等【前图中三与四如同九与十二；本图中三与九也如同四与十二。】如果用一率除二率，所得的数再乘三率，也能得到四率【例如三除九得三，三乘四必得十二；四除十二得三，三乘三必得九。不过先除后乘常有除不尽的情况，所以异乘同除是算学家的大法，也是中西两种术法共同采用的。】笔算加法 加法就是相加。千位与千位相加，百位与百位相加，都从小数位开始，自下而上。笔算减法 也是千位与千位相减，百位与百位相减，也从小数位开始，自下而上。本位不够减时，就向上一位借一数来减。试加差法【凡是相加，都从下方的小数位开始】有“九减”“七减”“二减”三种方法。凡是九减，不论数字处在个位、十位、百位还是千位，也不计算 ○位，只根据现有的数字合计，用九除，保留余数，列在右边；再减总数，用九除，保留余数，列在左边。比较左右两个余数，相同就是没有差错。七减有两种方法，都要按位计算，并且都从大数算到小数。第一种方法，把相加的数分段相乘；凡是开头的数，都按“几十”处理，用七减去它，保留余数，再与下面的数合起来，成为“几十几”。如果下面有 ○位，那么这个余数就按“几十”处理，再用七减去，保留余数，然后才与三位数合成“几十几”，再用七减去。如果末尾有 ○位，不能直接把余数作为最终余数，也必须按“几十”处理，用七减去，所得余数才是所求余数，记在右边。又从开头减去第二行的加数，把余数也记在右边；再从开头减去第三行的加数，把余数也记在右边。如果相加的数只有三行，就把三行所得的数合在一起，用七减去，保留余数，列在右边。然后减总数，也从大数算到小数，其中的 ○位也按照前面的方法处理。比较两个余数，相同就是没有差错。第二种方法，把相加的数合并计算：万位与万位合在一起，用七减去；再用所得余数与千位的数相减；将所得余数与百位的数合并。凡所得的余数，都按十位逐步减到末位为止，把余数列在右边。其中的 ○位都不计算。然后按照前面的方法减
中有○位皆不论矣。然后如前减其所得总数相合，则无差矣。试减差法【凡减皆自下小数起】一法以减数并减余数，仍得原数。一法，以减余之数于原数中减之，即得。所减之数亦有九减、七减、二法。九减法，以减数并减余之数合而九减之，以其所余者列于右。次并原数亦合而九减之，以其余列于左。两余相比同则无误【葢必用减数减余二者，然后能与原数配也】七减法，先以减数从大数始，如前七减之法，有
译去所得的总数；两边相合，就没有差错了。试验减法的校验方法【凡是相减，都从下面的小数开始】一种方法是把减数和减余数相加，仍然得到原数。另一种方法，是从原数中减去减余数的数，立即可以得到结果。所减的数也有九减、七减两种方法。九减法，把减数和减余数合在一起用九减，将余数列在右边；再把原数合在一起用九减，将余数列在左边。比较两个余数，相同就没有错误【大概必须把减数和减余数这两项合起来，才能与原数相配】。七减法，先从大数开始对减数按前面的七减法处理。如果有
○位，则所余之数亦作十数，视其所余者列于右，然后以减余之数亦如前七减之法，由大数而始，递降而七减之，亦列于右，然后并二者之余数合为一处，如过七数，仍以七减之，不及则并其余列于右，次以原数亦如前七减之法，由大数而始，以七减之，存其余列于左，两余相比同则无误【如得数原数下冇三○则亦三余而止，不可及于四余】试乗差法【凡乗之实数由尾而起，乗之法数由大者而起】亦有九减、七减、二法。九减法，先以实数积而九减之，而纪其余于右；次以法数如法九减之，而纪其余于左。再以左右两减之余相乗，得数仍九减之，而纪其余于上；末以所得之数亦九减之，而纪其余于下。两余相比同，则无误。若左右二方内有○，即上方亦○；又或左为一数，即上数亦同右数，皆不用乗。七减亦然【几曰十者在本位，余者便在第二位】试除差法亦用九减七减二法，九减得数记余于左，法数记余于右，得数与法数相乗，记余于上，然后以原数九减之，记于下，而合之。七减法，先以除数【即法数】如法减之，列于左；次以得数如法减之，列于右；次以除数得数之余相乗而减之，列于上；然后以原数如法减之，列于下。两数相同，知其无悮。若使得数除之不尽，尚有余数未除，则于两数相乗之时，合并所余之数而减之。试加差法九减式试，第一式，先减散数，去○，与九不入减【□本不入】。数九在减内，故不入】并四七【此处除九】五。八八六七八八六一五共为七十三，九减余一【减去八九七十二】列。□左○次并总数三二七七共为。一十九，九减余一【减去二九一十八】列□右，左右相比，数同无差，通曰：此以见数为主，不论千百位也。七减式试，第一式散数，首行之左一○作一，十七减余。三次作三十六七减余一【减五七三十五】次作一十五七减余一【减二七一十四】次作一十四七减无余右下纪○次行左八九作八十九七减余五次作五十七减余一次作一十七七减余三右下纪三【三行余五四行余五】三行依法减余五俱纪右下再以各行纪余○三五五并为十三【此合数也】七减余六乃以总数依法减之余六左右列比无差试减差法九减式试第一式，先并减数四二，及减余二三一三共。为一十五九减余六次并原数二七一五为一十五九减余六左右列比无差通曰：「九减用实积数，亦可。葢九数无往。」不合故也【此二七一五减四二者】七减式试第一式，先以减数之左四○作四十七，灭余。五次作五十二七减余三又以减余之左二三作二十三七减余二次作二十一七减无余，次三不足，减仍余三【不足】【在末不必作十】三俱纪右下乃以各数纪余之三三并为六不足减仍作六再以原数之左二七作二十七七减余六次作六十一七减余五次作五十五七减余六左右列比无差【此二七一五减四二者】补乗法术曰：乗即因也。用九因法，上列原数【即实数】下列乗数【即法数】齐于右尾，算即始右。将下一位遍乗上诸位，向左逐位纪所乗数于下，尽下数乃止。诸所纪为散数，用加法得所求总数。若定总首为何数，从乗数左首推至总数左首，即知。通曰：凡以下乗上，一数有二位，左十右零，右即本位也。遇十有数而零亦有数者，曰平【三四一十二，四四一十六之类】本位纪零数，左位纪十数。遇十有数而零无数者，曰足【五四得二十五，八得四十之类】本位纪○，而其数纪左位也。遇十无数而零有数者，曰如【一三如三，二三如六之类】左位纪○，而其数纪本位也。旧法纪数，每并为一令，人难晓。凡原尾有○而乗尾无○者，虽○亦乗之以存其位。乗尾有○而原尾无○者，即自乗数之有数位乗起。若上下尾与中或俱有○者，亦须乗之以存位。下数乗上○，下○乗上数，皆曰某○如某。下○乗上○，曰○○如○。
译○位，所得余数也按十位数处理，将所得余数列在右边；然后对减余数的数也按前面的七减法，从大数开始逐位递减并用七减，也列在右边；再把两者的余数合在一起，超过七就仍用七减，不足七就把余数合并列在右边。接着对原数也按前面的七减法，从大数开始用七减，保留余数列在左边。比较两个余数，相同就没有错误【例如得数原数下面有三 ○，也只到三个余数为止，不能达到四个余数】。试验乘法的校验方法【凡乘法，实数从末位开始，法数从大数位开始】也有九减、七减两种方法。九减法，先把实数相乘后用九减，把余数记在右边；再把法数依此用九减，把余数记在左边。然后将左右两个余数相乘，所得数仍用九减，把余数记在上方；最后把所得的数也用九减，把余数记在下方。比较上下两个余数，相同就没有错误。如果左右两边中有 ○，那么上方也为 ○；又或者左边是一个数，那么上面的数也与右边的数相同，都不用相乘。七减法也是这样【凡是十位的数在本位，余数就在第二位】。试验除法的校验方法 也使用九减、七减两种方法。九减所得的数，把余数记在左边；法数把余数记在右边；将所得数与法数的余数相乘，把余数记在上方；然后将原数用九减，把余数记在下方，再将上下两数合并。七减法，先把除数【即法数】依照方法减除，列在左边；再把所得数依照方法减除，列在右边；再把除数和所得数的余数相乘并减除，列在上方；然后把原数依照方法减除，列在下方。两数相同，就知道没有错误。如果所得数不能除尽，还有余数没有除掉，那么在两数相乘时，也要把余数合并进去减除。试验加法的校验方法 九减法的试例，第一式：先减去散数，去掉 ○，不纳入九减【□本不纳入】。数字九在减法之内，所以不纳入】合计四、七【这里是除以九】、五。八八六七八八六一五合计 为七十三，九减后余一【减去八九七十二】，列在 □左边。○再把总数三二七七合计为 一十九，九减后余一【减去二九一十八】，列在□右边；左右比较，数字相同，没有差错。总的说：这是说明以现有数字为主，不论它处在千位还是百位。七减法的试例，第一式为散数；第一行左边的一个 ○作一，用十七减，得余数。第三次作 三十六。用七减，余一【减去五 七三十五】；第二次作一 十五，用七减余一【减去二七一十四】；再作一十四，用七减没有余数，记在右下 ○。第二行左边八九作八十九，用七减余五；再作五十，用七减余一；再作一十七，用七减余三，右下记三【第三行余五，第四行余五】。第三行依照方法减，余五，都记在右下；再把各行所记的余数 ○三五五相加为十三【这是合计数】，用七减余六；然后把总数依照方法相减，余六，左右列出比较，没有差错。试验减法的校验方法 九减法的试例，第一式：先把减数四二与减余数二三一三相加，合计 为一十五，用九减余六；再把原数 二七一五相加为一十五，用九减余六。左右列出比较，没有差错。总的说：“九减法使用实际合计的数，也可以。大概是九这个数无处不在。” 因为不相合的缘故【这是用二七一五减去四二】。七减法的试例，第一式：先把减数左边的四 ○作四十七，减去后没有余数。再作五十二，用七减余三。又把减余数左边的二三作成二 十三，用七减余二；再作二十一，用七 减没有余数；然后第三次不足，减后仍余三【不足】。【在末位不必按十处理】三处都记在右下。于是把各数所记的余数三三相加为六，不足以减，仍作六。再把原数左边的二七作二十七，用七减余六；再作六十一，用七减余五；再作五十五，用七减余六。左右列出比较，没有差错【这是用二七一五减去四二】。补充乘法 方法说：乘就是因。使用九因法时，上面列原数【即实数】，下面列乘数【即法数】，右端对齐，从右边开始计算。将下面数的下一位依次乘上面各位，向左逐位把乘得的数记在下方；下面的数全部处理完就停止。所有记下的数都是散数，用加法求出总数。如果要确定总数的首位是什么数，就从乘数左端推到总数左端，便可以知道。总的说：凡是用下面的数乘上面的数，一个数有两位时，左边是十位，右边是零位，右边就是本位。遇到十位和零位都有数的情况，叫作“平”【如三四一十二、四四一十六之类】；本位记零位的数，左位记十位的数。遇到十位有数而零位没有数的情况，叫作“足”【如五四得二十五、八得四十之类】；本位记 ○，而把这个数记在左位。遇到十位没有数而零位有数的情况，叫作“如”【如一三如三、二三如六之类】；左位记 ○，把这个数记在本位。旧方法记数，每次相加都归为一位，别人很难明白。凡是原数末尾有 ○而乘数末尾没有 ○的，虽然是 ○也要相乘，以保存它的位次。乘数末尾有 ○而原数末尾没有 ○的，就从乘数中有数字的位次开始相乘。如果上下两端和中间都有 ○，也必须相乘，以保存位次。下面的数乘上面的 ○，下面的 ○乘上面的数，都称为某 ○如某。下面的 ○乘上面的 ○，称为 ○ ○如 ○。
则本位、左位俱纪○也。十因式乗上下数不等，少数尚未满十，乗数而少数不及于乗上下数。如以八乗九，何以得七十二？术：九在十内，少一，纪一于九右；八在十内，少二，纪二于八右。是九、八为乗上下数，一、二为少数也。上九下八，上下数不等也。一。不及九二，不及八，少数不及也。以少数一二相乗得二【此即七十二之二也，呼一二如二】纪下二，未满十，故曰未满十乗数也。又以右一斜减左八，右二斜减左九，俱余七数【此即七十二之七】同下纪七，故得七十二。又式乗上下数等，少数未满十，乘数而少数不及于乘上下数，如以八乗八，何以得六十四？术，上下俱八，故曰上下数等，八在十内，少二，右俱纪二，相乗得四，下纪四，左右上下斜减，俱余六。下纪六故得六十四又式乗上下数等少数已满十乗数而少数反过于乗上下数，如以三乗三，何以得九？术上下俱三，三在十内，小七右俱纪七，相乗得四十九，已有四十，故曰已满十乗数也。下纪九，纪四于左，左上下三各加所▯，四俱变。为七，然后左右斜减，俱无余【七与七减也】下纪○，故得九。又式乗上下数不等，少数满十，乗数而少数不及于乗上下数。如以六乗七，何以得四十二？术：七在十内，少三；六在十内，少四。俱纪右相乗，得一十二，下纪二▯一于左。左上七加一变为八，下六加一变为七，然后左右上下。斜减俱余四下，纪四，故得四十二。又术，三乗四得一十二，将一悬于左，待左右上下斜减俱余三，乃并所悬之一为四，亦合。通曰：一二之乗，得八九之乘，是以小乗而得大乗也。七七之乗，得三三之乗是以大乗而得小乗也。九因本乎【卜因，即洛书之无十而藏十也】试乗差法九减式试，第二式，四千六百零八人，每人三百二十五两，共得一百四十九万七千六百两也。除○九外，并原数四六八为一十八九减无余列○于□左，并乘数三、二、五为一十九，减余一；列□右，以左右一与○乘。曰：一○如○无数列○于□上，并总数一四七六，为一十八九，减无余，列○于□下，上下相比，无差。七减式试，第四式，四十五人，每人六十两，共得二千七。百两原数如法减之【减六七四十二】余。三列□左乗数如法减之【减七八五】【十六】余四列□右，以左右三、四乗，得一十二；七减余五，列上总数如法减之，余五。列下上下相比无差通曰：九减用，见数可去。○九不用，七减用，实积数必存。○九之位与数，以便逐位减至右未而止也。试除差法除无余九减式试第一式三百四十二两九人分之各得三十八两除数九九减无余左列○并用数三八为一十一九减余二，右列二乗无数，列○于□上。并原数三、四、二为九，九减无余，列○于□下，上下相比无差【下有余实一五未分】除有余九，减式试第五式，六百五十三两，五十八人分。之各得一十一两并除数五八为一十三九减余四左列四，并用数一一为二，不足九。减右即列二乗得八【二四如八也】又并余实一五为一十四九，减余五，列上，并原数六五三为一十四九，减余五，列下，上下相比无差。除无余七，减式试第一式，三百四十二两九人分之各。得三十八两除数九作九七减余二列左用数三八作二十八七减余三，列右乗，得六【二三如六】不足，七减。即列六于上，原数三、四作三十四，七减余六，次作六十二，七减余六，列下上、下相比，无差。除有余七，减式试第五式，六百五十三两，五十八人分。之各得一十一两除数五八作五十八七减余二列左用数一，一作一十一，七减，余四。列右乗得八【二四如八】又以余实一五作一十五，七减余一，以此余一并左右所乗八为九，七减余二。列上原数六五作六十五，七减余二，次作二十三，七减余二。列上原数六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列下上下相比无差。半除试差式，除数六五，用数一三，原数八六六三，余实。二一三○用九减并除数六五为一十一九减余二列左又并用数一三为四不足九减右即列四乗得八乃并法尾止处以前之余，实二一为三，不足九。减即以此三并左右所乗八为一十一，九减余二列上，并原数抹去三位之八六六为二十九，减余二列下，上下相比无差。○用七减除数六五作六十五，七减余二列左，用数一三作一十三，七减余六列右，乗得一十二，乃以法尾止处以前之余实二一作二十一，七减无余，与左右所乗数相并，仍是一十二，七减余五列上，原数抹去之八六作八十六，七减余二次作二十六，七减余五列下，上下相比无差。
译那么本位和左位都记 ○。十因 例：上下两个数不相等，少数还没有满十；乘数的少数又小于上下所乘的数。例如用八乘九，怎样得到七十二？方法是：九在十以内，少一，在九的右边记一；八在十以内，少二，在八的右边记二。这九、八就是上下两个相乘的数，一、二就是少数。上面是九，下面是八，上下数不相等。一 不及九二，不及八，说明少数都不足。把少数一、二相乘得二【这就是七十二的二，称“一二如二”】，记二在下方；还没有满十，所以称为“未满十乘数”。又用右边的一斜减左边的八，用右边的二斜减左边的九，所得都余七【这就是七十二的七】，同样记七在下方，所以得到七十二。又一例：上下两个数相等，少数还没有满十；乘数的少数小于上下相乘的数。例如用八乘八，怎样得到六十四？方法是：上下都是八，所以说上下数相等；八在十以内，少二，右边都记二；相乘得四，记四在下方；左右上下斜减，都余六。下方记六，所以得到六十四。又一例：上下两个数相等，少数已经满十，乘数的少数反而超过上下相乘的数。例如用三乘三，怎样得到九？方法是：上下都是三；三在十以内，小七，右边都记七；相乘得四十九，已经有四十，所以称为“已满十乘数”。下方记九，左边记四；上下左边的三各自加上所悬之数，四处都变 为七，然后左右斜减，都没有余数【七与七相减】；下方记 ○，所以得到九。又一例：上下两个数不相等，少数已满十，乘数的少数小于上下相乘的数。例如用六乘七，怎样得到四十二？方法是：七在十以内，少三；六在十以内，少四。右边都记下后相乘，得一十二，下方记二，把一悬在左边。上面的七加一变为八，下面的六加一变为七，然后左右上下 斜减，都余四，下方记四，所以得到四十二。又一种方法：三乘四得一十二，把一悬在左边；等到左右上下斜减都余三时，再把所悬的一加进去成为四，也相合。总的说：一、二的相乘，所得相当于八、九的相乘，这是用小数相乘而得到大数相乘的结果；七、七的相乘，所得相当于三、三的相乘，这是用大数相乘而得到小数相乘的结果。九因法根本上出自【卜因，即洛书中没有十而把十藏在其中】。试验乘法的校验方法 九减法的试例，第二式：四千六百零八人，每人三百二十五两，共得一百四十九万七千六百两。除去 ○九之外，把原 数四六八相加为一十八，用九减没有余数。列 ○在□左边；把乘数三、二、五相加为一十九，减后余一；列□在右边，以左右的一与 ○相乘。说：一 ○如 ○无数，列 ○在□上；把总数一四七六相加为一十八，用九减没有余数，列 ○在□下；上下比较，没有差错。七减法的试例，第四式：四十五人，每人六十两，共得二千七 百两。原数依照方法减除【减去六七四十二】，余 三，列□在左；乘数依照方法减除【减去七八五】【一十六】，余四，列□在右；将左右的三、四相乘得一十二，用七减余五，列在上方；总数依照方法减除，余五。列在下方，上下比较，没有差错。总的说：九减法的使用，以现成数字为依据，可以去掉 ○；九不用。七减法的使用，实际合计数必须保留。○九的位次和数字，是为了便于逐位相减，一直到右端末位为止。试验除法的校验方法 除法无余数的九减法试例，第一式：三百四十二两由九人分，每人各 得三十八两。除数九，九减后没有余数。左列。○把数三、八相加，得一十一。九减去余数二；右列二相乘，列出无数。○列在□上。把原数三、四、二相加得九，九减去没有余数，列出。○列在□下；上下相比较没有差别【下方有余实一五尚未分开】。除后有余数九，减式试验第五式：六百五十三两由五十八人分配。每人各得一十一两，除数为…… 五、八合为一十三，九减去余数四。左列四，把数一、一相加得二，不足九。减去右数，即列二相乘得八【二四如八】；又把余实一五合为一十四九，减去余数五，列在上面；把原数六五三合为一十四九，减去余数五，列在下面，上下相比较没有差别。除后无余数七，减式试验第一式：三百四十二两由九人分配。每人得三十八两，除数九作九，七减…… 余数二列在左边，用数三、八作二十八。七减去余数三，列在右边相乘，得六【二三如六】；数不足，减七。于是把六列在上面；原数三、四作三十四，七减余数六；接着作六十二，七减余数六，列在下面。上下相比较没有差别。除后有余数七，减式试验第五式：六百五十三两由五十八人分配。每人各得一十一两，除数五。八作五十八，七减余数二，列在…… 左边用数一、一作一十一，七减，余数四。列在右边相乘得八【二四如八】；又把余实一五作一十五，七减余数一；把这个余数一与左右相乘所得的八相加为九，七减余数二，列在上面。原数六五作六十五，七减余数二；接着作二十三，七减余数二，列在下面。上下相比较没有差别。半除试差式：除数六五，用数一三，原数八六六三，余实…… 二一三。○用九减去除数六。五合为一十一，九减余数二，列在左边。又把用数一三相加为四，不足九。减去右数，即列四相乘得八，于是把法…… 尾止处以前的余实二一合为三，不足九。减去后，把这个三与左右相乘所得的八相加为一十一，九减余数二，列在上面；又把原数抹去三位的八六六合为二十九，减余数二，列在下面，上下相比较没有差别。○用七减去除数六五作六十五，七减余数二，列在左边；用数一三作一十三，七减余数六，列在右边；相乘得一十二。于是把法尾止处以前的余实二一作二十一，七减无余，与左右相乘所得的数相加，仍是一十二，七减余数五，列在上面。原数抹去的八六作八十六，七减余数二；接着作二十六，七减余数五，列在下面。上下相比较没有差别。
通曰：「试策之法，独用九七，何也？葢十者，数之穷也。数穷则变，十复为一。故数始于一，终于九。九，阳数也。下九之阳数为七，故七与九同用。自七九而外，或有合者于率不通，不可立法。所以加减试差，用实积则无不可用；见数则七与五不可也。乗除试差，用实积则亦无不可用；见数则自九而外皆不可也。若夫论除之余，六与三之余同九，是用九而六三可无用矣。四与二之余用八，是用八而四二之余可无用矣。且八或可以试加减，而或不可以试乗除，亦不可用。然则试差之法，舎七与九，又何所取用哉！」命分法术曰：命分者，一大几何，已分几何，命余者为几何，分之几何也。又曰：所余之小几何，再分几何，命此得者为几何，分之几何也。通曰：第一术，即《几何原本》之命比例法也。第二术，恰尽则可，否则终不能尽也。式法数为母，余数为子。如实数八万七千二百四十八，法数三百七十四，法尾已齐，实尾用数已得二三三，尚有余实一○六，当命为三百七十四分之一百零六也。又式得数为子，得数前位为母，得数一位为十，二位为百，三位为千也。如右式，余实一○六，先于六右加一○，依法再除之得二，又加一○，再除之得八，又加一○，再除之得三，凡三位乃千也，当命为千分之二百八十三也。尺算法尺之式，上连下分。下则可开可合，上则相对不移。如此乃可为法。
两端变为三角，因参知两勾股矩度，直景倒景，葢同一源。加实尺于法尺之上，谓之三角可也，谓之勾股可也。天地间无非参两之妙，虽百千万亿至于无穷，胥莫能逃矣。
乗法
先定实数法数与他算不同，既定乃以法数作法尺，何数实数作实尺，何数？或寸或分，又须预定，然后将实尺比照实数，横安于法尺之一分或一寸上，令法尺开而就之，随量法尺之法数空处得何数，即为所求数也。通变升降其用始广，如实尺数大不便安放者，须降实数，寸降为分，分降为厘，或将实数折半，法实俱大，必须俱折，先降后升，先半后倍，得数原无异也。或用升法以代降实。
式有五人，每人四两，问共若干？曰：二十两。
以四两为四分，作实数；以五人为五寸，作法数。将实尺比定四分，横安于法尺一寸空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸，因以分为两则寸即为十。知所得二寸为二十两
降数式有五十九人，每人八两，问共若干？曰：四百七十二两。
以八两为八分作实数，以五十九人作五寸九分为法数，用实尺比定八分，安于法尺一分上，八大一小，不可安放，乃降十倍，安于法尽一寸空处，量法尺五寸九分空处，得四寸七分二力，先降后升，应升为四尺七寸二分，原以分为两，故知所得四百七十二两，此系升法以代降实。
实数折半式，有八人，每人一十二两，问共若干？曰：九十。
以八人作八寸为法，以一十二两折半得六两，作六分为实用，实尺比定六分，安于法尺一寸空处，量法尺八寸空处得四寸八分，原以分为两，是为四十八两，先半后倍，倍得九十六两也。
法实俱折半式，有一十六人，每人一十二两，问共若十？曰：一百九十二两。
以一十六人折半得八人，作八寸为法；以一十二两折半得六两，作六分为实。用实尺比定六分，安于法尺一寸空处，量法尺八寸空处得四寸八分。以分为两，是为四十八两，倍之得九十六两，再倍之得一百九十二两。因法实俱折半，故再倍之也。
实数再折式，八人，每人二十四两，问共若干？曰：一百九十二两。
以八人作八寸为法，以二十四两折半得一十二两，又折半为六两，作六分为实用，实尺比定六分，安于法尺一寸空处，量法尺八寸空处得四寸八分，以分为两，是为四十八两，倍之得九十六，再倍之得一百九十二，再折故再倍，或将实三分之得数三乗之亦可。
法实俱再折式三十二人，每人二十四两，问共若干？曰：七百六十八两。
以三十二人折半得一十六人，又折半得八人，作八寸为法。以二十四两折半得一十二两，又折半得六两，作六分为实用。实尺比定六分，安于法尺一寸空处，量法尺八寸空处得四寸八分。以分为两，是为四十八两，倍之得九十六两，再倍之得一百九十二两，再倍之得三百八十四两，再倍之得七百六十八两。四其折半，故四其加倍。如以四自乗得十六，又乗四十八，亦合。
整零截量式二十四人每人五钱三分，问共若干？曰：一十三两七钱二分。
译通论说：“试策的方法独用九和七，为什么呢？因为十是数的穷尽处。数到了穷尽处就会变化，十又重新成为一。所以数从一开始，到九结束。九是阳数；在九以下的阳数是七，所以七和九共同使用。除七、九以外，其他数有的虽然能够相合，但在比例上行不通，不能据此立法。所以用加减试差时，使用实积没有不能用的；若看现成的数，七和五就不能用。用乘除试差时，使用实积也没有不能用的；若看现成的数，除九以外都不能用。至于讨论除法的余数，六与三的余数都归于九，所以用了九，六和三便可以不用。四与二的余数归于八，所以用了八，四和二的余数便可以不用。况且八有时可以用来试加减，有时却不能用来试乘除，因此也不能采用。既然如此，试差的方法舍弃七和九，又还能取用什么呢？” 命分法。术语说：命分，就是先有一个大数，已经分出若干，问余下的部分是多少、占整体的几分。又说：把所余的小数再分，问这次分得的数是多少、占整体的几分。通论说：第一种方法，就是《几何原本》的命比例法。第二种方法，若正好除尽便可以；否则最终不能除尽。式中的法数作分母，余数作分子。例如实数八万七千二百四十八，法数三百七十四，法尾已经对齐，实尾用数已经得到二三三，仍有余实一。○六，应当命作三百七十四分之一百零六。又一种方法是：式中所得的数作分子，所得数的前一位作分母；得数一位表示十，二位表示百，三位表示千。例如右式余实一。○六，先在六的右边加一。○，依法再除，得二；又加一。○，再除，得八；又加一。○，再除得三，共三位就是千，应当命作千分之二百八十三。尺算。法尺的式样是上面相连、下面分开。下面可以开合，上面则相对而不移动。这样才可以成为法。两端变成三角形，由此参照可知两种勾股矩度，直景、倒景大概同出一源。在法尺上加上实尺，称为三角也可以，称为勾股也可以。天地之间无非参两之妙，即使达到百千万亿以至无穷，也都不能逃脱。乘法。先确定实数、法数，这与其他算法不同。确定后，以法数作法尺，以何数作实数尺，也要预先确定，或用寸，或用分。然后将实尺与实数相对应，横放在法尺的一分或一寸上，使法尺开合相就；按照法尺上法数的空处量取，得到多少数，就是所求的数。通变、升降的用法很广：如果实尺的数太大，不便安放，就必须降低实数，把寸降为分、分降为厘，或把实数折半；法数、实数都大时，必须一起折半。先降后升，先折半后加倍，所得的数原本没有不同。也可以用升法代替降低实数。例如有五人，每人四两，问总共多少？答：二十两。把四两作四分，作为实数；把五人作五寸，作为法数。将实尺按四分对准，横放在法尺一寸的空处，再量法尺五寸的空处得到多少数；现在得到二寸，因此把分作为两，则一寸就是十，知道所得二寸就是二十两。降数式：有五十九人，每人八两，问总共多少？答：四百七十二两。把八两作八分作为实数，把五十九人作五寸九分作为法数。用实尺对准八分，放在法尺一分处；八大一小，无法安放，于是降低十倍，放在法尺尽头一寸的空处。量法尺五寸九分的空处，得到四寸七分二厘；先降低后升高，应升为四尺七寸二分。原来以分作两，所以知道所得是四百七十二两。这属于以升法代替降低实数。实数折半式：有八人，每人一十二两，问总共多少？答：九十。把八人作八寸作为法数；把一十二两折半得六两，作六分作为实数。实尺按六分对准，放在法尺一寸空处；量法尺八寸空处，得到四寸八分。原来以分作两，所以是四十八两；先折半后加倍，加倍得九十六两。法实俱折半式：有一十六人，每人一十二两，问总共多少？答：一百九十二两。把一十六人折半得八人，作八寸为法；把一十二两折半得六两，作六分为实。实尺按六分对准，放在法尺一寸空处；量法尺八寸空处得四寸八分。以分作两，就是四十八两；加倍得九十六两，再加倍得一百九十二两。因为法、实都折半，所以要再加倍一次。实数再折式：八人，每人二十四两，问总共多少？答：一百九十二两。把八人作八寸为法；把二十四两折半得一十二两，再折半得六两，作六分为实。实尺按六分对准，放在法尺一寸空处；量法尺八寸空处得四寸八分。以分作两，就是四十八两；加倍得九十六，再加倍得一百九十二。因为再折半，所以再加倍；或者把实数三分之一，所得数再乘三，也可以。法实俱再折式：三十二人，每人二十四两，问总共多少？答：七百六十八两。把三十二人折半得一十六人，再折半得八人，作八寸为法。把二十四两折半得一十二两，再折半得六两，作六分为实。实尺按六分对准，放在法尺一寸空处；量法尺八寸空处得四寸八分。以分作两，就是四十八两；加倍得九十六两，再加倍得一百九十二两，再加倍得三百八十四两，再加倍得七百六十八两。折半四次，所以加倍四次。若以四自乘得十六，再乘四十八，也相合。整零截量式：二十四人，每人五钱三分，问总共多少？答：一十三两七钱二分。
以二十四人作法尺二寸四分，以五钱三分作实尺五分三厘。先截整数二十人求之，将实尺比定五分三厘，安于法尺一分空处，实大不便安顿，降之，安于法尺一寸空处。将五分三厘升作五寸三分，此为十人所得数，倍之得十寸六分，便是二十人所得数也。后截零数四人求之，量法尺四分空处得二分一厘二毫，亦升作二寸一分二厘，便是四人所得数。并两得数得十二寸七分二厘，为二十四人所得总数。因以尺之厘为银之分，故知为十二两七钱二分。
又术以二十四人作法尺二尺四寸，以五钱三分作实尺五分三厘，将实尺比定五分三厘，安于法尺一寸空处，得五寸三分，倍之得一尺○六分，为二十人所得数。又于法尺四寸空处量得二寸一分二厘，并得一尺二寸七分二厘，亦合所截为二十人，故加倍。若三十人，则用三乗；四十人，则用四乗之。
除法
法实数定之后，将实尺比定实数，安于法尺之法数空处，乃量法尺之一分或一寸空处得几何，即为所求除出数也。亦用降数、折数二法，或有实无法，任意作几分者，不论实数多寡，将实尺比数安于法尺之百分空处，用随分量之。
式银二十二两，四十人分之，问各得银若干？曰：五钱五分。
以二十二两作二寸二分为实，以四十四人作四寸四分为法。将实尺比定二寸二分，安于法尺四寸四分空处，乃量法尺之一分空处得几何？今得五厘。因以尺之分为银之两，则厘当为钱。又因以分为人，则五钱为一人所得数也。量一寸空处得五分，降为五厘，亦合一分为一人。一寸则为十人，量四寸空处得四十人，银数四分空处得四人银数。此用乗以知除也。
降数式银四十四两，二十二人分之，问各若干？曰：二两。
以四十四两作四寸四分为实，以二十二人作二寸二分为法。将实尺比定四寸四分，安于法尺二寸二分上，实大不可安，顿降为四分四厘，安于法尺二寸二分空处。乃量法尺一分空处得二厘，因先降数，此当升为二分，分为银之两，知所得为二两。
折实式一十八两，六人分之，问共若干？曰：三两。
以一十八两折半得九两，作九寸为实；以六人作六寸为法。将实尺比定九寸，安于法尺六寸上，实大降作九分，安于法尺六寸空处。乃量法尺一寸空处得一分五厘，因降实此当升为一寸五分；又因折实此当倍为三寸。以寸为两，故知所得为三两。
法实俱折，式一十八两，一十二人分之，问各若干？曰：一两五钱。
以一十八两折半得九两，作九寸为实；以一十二人折半得六人，作六寸为法。将实尺比定九寸，安于法尺六寸上，实大降作九分，安于法尺六寸空处。乃量法尺一寸空处得一分五厘，因降实当升为一寸五分，寸为两，知所得为一两五钱。法实俱折者，除与乗不同：乗折则所得止半数，故须倍之；除折则所得即所求数，故不必又倍。
随分式银八十两，或四平分，或五平分，问各若干？曰：四分之一，得二十两；五分之一，得一十六两。
以八十两作八十分为实，将实尺比定八十分，安于法尺百分空处。如欲作四平分者，则量法尺二寸五分空处，得二十分，每人即得二十两也。如欲作五平分者，则量法尺二寸空处，得一十六分，每人即得一十六两也。二寸五分者，四分百之一也；二寸者，五分百之一也。
整零截量式三十二两，五人分之，问各若干？曰：六两四。
以三十二两作三尺二寸为实，以五人作五寸为法。先截实末二寸求之，将实尺比定二寸，安于法尺五寸空处，量法尺一寸空处得四分。后截实首三尺求之，将实尺比定三尺，降作三寸，安于法尺五寸空处，量法尺一寸空处得六分。应升为六寸，并前四分得六寸四分，以两为寸，知每人得六两四钱。后量法尺之十寸空处得六寸，亦合此不升数而升度也。
比例法
有实数于此，以某法数分之，得某数。今又有实于此，照前分例，求法几何？将实尺比前尺数，安法尺之前法数上。又将实尺比后实数，于法尺空处上下推移，求至脗合处，视法尺之分寸几何？即所求数也。比类无穷，不可胜举。引而伸之，存乎其人。
银四百四十两，二百二十人分之，人得二两。今有银
八百八十两，照前二两分数，该人几何？曰：四百四十人。
以二百二十人作二寸二分为法，将四百四十两作四寸四分为实。以实尺比定四寸四分，安于法尺二寸二分土实，大降作四分四厘，安于法尺二寸二分空处。又将八百八十两作八寸八分，亦降作八分八厘，以实尺比定八分八厘于法尺空处，上下推移至四寸四分空处适合。以寸为百数，即知为四百四十人。前后俱降实，故不升。且前以人为法，银为实；后亦以银为实，求出法数。人降实则不升法也。
式银三两给六人，今有银七两，照前例应给几人？曰：一十四人。
译把二十四人作法尺二寸四分，把五钱三分作实尺五分三厘。先截取整数二十人计算：实尺按五分三厘对准，放在法尺一分空处；实数太大，不便安放，于是降低，放在法尺一寸空处。把五分三厘升作五寸三分，这是十人所得的数；加倍得十寸六分，就是二十人所得的数。再截取零数四人计算：量法尺四分空处得二分一厘二毫，也升作二寸一分二厘，就是四人所得的数。把两项所得相加，得十二寸七分二厘，为二十四人的总数。因为以尺的厘对应银的分，所以知道是十二两七钱二分。又一种方法：把二十四人作法尺二尺四寸，把五钱三分作实尺五分三厘；实尺按五分三厘对准，放在法尺一寸空处，得五寸三分；加倍得一尺。○六分，是二十人所得的数。又在法尺四寸空处量得二寸一分二厘；相加得一尺二寸七分二厘，也与截取二十人的数相合，所以要加倍。若是三十人，就乘三；四十人，就乘四。除法。确定法、实数以后，将实尺按实数对准，放在法尺的法数空处；再量法尺一分或一寸空处，得到多少，就是除出的所求数。也使用降数、折数两种方法；如果有实数而没有法数，任意作几分，不论实数多少，都把实尺按数放在法尺百分的空处，按照相应分数量取。例如有银二十二两，分给四十人，问每人各得银多少？答：五钱五分。把二十二两作二寸二分作为实数，把四十人作四寸四分作为法数。实尺按二寸二分对准，放在法尺四寸四分空处；再量法尺一分空处得到多少？现在得到五厘。因为尺的分对应银的两，所以厘应当对应钱；又因为分对应人数，所以五钱是每人所得的数。量一寸空处得五分，降低为五厘，也与一分对应一人相合。一寸就是十人；量四寸空处得四十人，银数四分空处就是四人的银数。这是用乘法来知道除法。〔原文数字、纪年保留：四十四人〕 降数式：有银四十四两，分给二十二人，问每人各得多少？答：二两。把四十四两作四寸四分作为实数，把二十二人作二寸二分作为法数。实尺按四寸四分对准，放在法尺二寸二分处；实数太大不能安放，于是降低为四分四厘，放在法尺二寸二分空处。量法尺一分空处得二厘；因为先降低了数，这里应升为二分；分对应银两，所以知道所得为二两。折实式：一十八两分给六人，问每人多少？答：三两。把一十八两折半得九两，作九寸为实；把六人作六寸为法。实尺按九寸对准，放在法尺六寸处；实数太大，降低作九分，放在法尺六寸空处。量法尺一寸空处得一分五厘；因为降低了实数，这里应升为一寸五分；又因为实数折半了，这里应加倍为三寸。寸对应两，所以知道所得为三两。法实俱折式：一十八两分给一十二人，问每人各得多少？答：一两五钱。把一十八两折半得九两，作九寸为实；把一十二人折半得六人，作六寸为法。实尺按九寸对准，放在法尺六寸处；实数太大，降低作九分，放在法尺六寸空处。量法尺一寸空处得一分五厘；因为降低实数，应升为一寸五分；寸对应两，所以知道所得为一两五钱。法、实都折半时，除法与乘法不同：乘法折半后所得的只是半数，所以必须加倍；除法折半后所得的就是所求数，所以不必再加倍。随分式：银八十两，或分成四等份，或分成五等份，问每份各有多少？答：四分之一得二十两，五分之一得一十六两。把八十两作八十分为实。实尺按八十分对准，放在法尺百分空处。若要分成四等份，就量法尺二寸五分空处，得二十分，每人就是二十两；若要分成五等份，就量法尺二寸空处，得一十六分，每人就是一十六两。二寸五分就是百分之四分之一，二寸就是百分之五分之一。整零截量式：三十二两分给五人，问每人多少？答：六两四。把三十二两作三尺二寸为实，把五人作五寸为法。先截取实数末尾二寸计算：实尺按二寸对准，放在法尺五寸空处；量法尺一寸空处得四分。再截取实数开头三尺计算：实尺按三尺对准，降低作三寸，放在法尺五寸空处；量法尺一寸空处得六分，应升为六寸。与前面的四分相加得六寸四分，以两对应寸，所以知道每人得六两四钱。最后量法尺十寸空处得六寸，也与此相合；这是数不升而升度。比例法。这里有一个实数，用某个法数分它，得到某个数。现在又有一个实数，按照前面的分法比例，求法数是多少。将实尺按前尺数对准，放在法尺的前法数上；又将实尺按后实数对准，在法尺空处上下移动，直到相合，查看法尺的分寸是多少，就是所求数。类推可以无穷无尽，不能全部列举；推广发挥，存乎其人。银四百四十两，分给二百二十人，每人得二两。现在有银。八百八十两，按照前面每人二两的分数，应当有多少人？答：四百四十人。把二百二十人作二寸二分为法，把四百四十两作四寸四分为实。实尺按四寸四分对准，放在法尺二寸二分处；实数太大，降低作四分四厘，放在法尺二寸二分空处。又把八百八十两作八寸八分，也降低作八分八厘；实尺按八分八厘对准法尺空处，上下移动到四寸四分空处正好相合。以寸作百数，所以知道是四百四十人。前后都降低了实数，所以不升。况且前面以人为法、银为实；后面同样以银为实，求出法数。人作为法数时降低实数，所以不升法数。例如银三两给六人，现在有银七两，按照前例应给多少人？答：一十四人。
以三两作三寸为法，以六人作六分为实，将实尺比定六分，安于法尺三寸空处，乃量法尺七寸空处，视得几何？今得一寸四分，以分为人，即知所得为一十四人也。又术，以三两作三分为实，以六人作六分为法，将实尺比定三分，安于法尺六分空处，又将实尺比定七分，在于法尺空处，上下推移至法尺一寸四分空处，适得脗合，一寸四分即一十四人也。法实可互更，乘除可互用，此尺算之异于他算也。凡求得数，皆以例比，即乘除亦无非比例，故比例以尺为便。
筹算
珠算、笔算皆有数而后乘，筹算无数而先乘也。故乘以筹为防，数尽九九，除亦因乘，故随时施用。所遇数更，而先乘之数亦变多寡，前后相合，自成。至若零筹，无数又无用之用也【零筹多置几根】
开方筹
筹有二：曰平方，自乘之还原也，故用自乘之数；曰立方，自乘再乘之还原也，故用自乘再乘之数。
术曰：有实有法，先将实数查筹，从左向右齐列。其两筹每格平行线斜方形合成一位，并为一数矣。或前位有数，或后位有数，皆一位也。或两位皆有数，则合为一数。次以筹之格为法数，如法数是五，即查第五格也。若法有二位，先查法尾所得数横列之，次查法首所得数进一位横列之。再用笔算加法得所求数。乗除皆有法实，实者现有之物也，法者今所用以乗之、除之之规则也。凡筹算皆以实列位，而以筹为法。法有几位，则用几筹；中有零位，则用○筹；有几○位，则用几○筹。凡法实不可误用，唯乗法或可通融，若除法必须细认。
凡乗法皆于实末位小数起，视原实某数，即于筹某行取数列之。
一位法式五十九人，每人八两，问共若干？曰：四百七十二两。
以五十九人为实，八两为法。先依实数查第五筹，第九筹五左九右，并列次依法八查第八格内横数，曰二，曰七○，曰四。去○不用，自左向右横视之，得四百七十二两也。得数尾与法尾数同，故知为两。
二位法式五十四人，每人六十四两，问共若干？曰：三千四百五十六两。
以五十四人为实，六十四两为法。依实查五四两，筹齐列。先依法尾四，查第四格，曰六，曰一○，曰二，自右向左横列之。次依法首六，查第六格，曰四，曰二○，曰三，进一位横列之。用笔算加法，得三千四百五十六两也。多位法者，视此每查格一囘，进一位列数。此横列之法，故従右起，梅定九竪列之，则应自下而上矣。九格内，凡遇右尾有○，必须列之以存位，其○在
数中者说详后式
【并 二一六法三二四】
【得数】三四五六
如一年三百六十日，每日一十二时，问共几何？答曰：四千三百二十时。
法列一筹，二筹看六，三两位六位为七，二三位为三六，合并得四三二。
定位法，従末位起，知未位是十，上一位便是百，又上一位便是千也。若末位是单，上一位便是十。
二
一
三筹为法式，如每岁三百六十五日，每日九十六刻，该刻几何？曰：三万五千○四十刻。
法列三六五三筹，看九六两位，六位二一九九位三二八五，因六位二一九下有一○，则存之，以存刻位筹内斜方有○，无数式五十四人，每人二十八两，问共若干？曰：一千五百一十二两。
以五十四人为实，查筹并列二十八两为法。先查八格，曰二，曰三，○曰四，横列之。次查二格，曰八，曰○，曰一，进一位列之。加得合问。○斜方之中，有数有○，则去不用；若无数有○，则须存之以定位。如八格去○，列三二格列○，存位是也。
筹内斜方并数进十式有八十七人，毎人六两，问共若干？曰：五百二十二两。
以八十七人为实，查筹并列六两为法。查六格，曰二，曰四，八曰四。其曰四八者，并为十二，本位存二，以十进位作一。其曰四者，并所进之一为五。当自右向左列曰二二五矣。自下而上者亦然。若自上顺数之，则为五二二。
法尾有空式，如每年三百六十日，今三千八百三十年，问日该几何？曰：一百三十七万八千八百○日。此因所问止及十数，未及单位之日，故法尾存单位为日。法列三六两筹，而后加一○筹，先看三位为一○八，次看八位进一位为二八八，又次看三位又进一位为一○八，并之得一三七八八。下有○○方至单位，但知尾位一圈是单日，则各位皆定。
实尾位有空式，如一十二万，日每日九十六刻，该则几何？曰一千一百五十二万刻。法置九六两筹，看一二两位，二位为一九二，一位为○九六。因一位上有一圈，故必存○位于上。然所问为每日，则日为单位，而所问实止于万，则千百十单必须存四空位，方能及于单日。用零筹式，六百零八人，每人三十四两，问共若干？曰二万零六百七十二两。
译把三两作三寸为法，把六人作六分为实。实尺按六分对准，放在法尺三寸空处；量法尺七寸空处，看得到多少；现在得到一寸四分。以分对应人数，所以知道所得为一十四人。又一种方法是：把三两作三分为实，把六人作六分为法；实尺按三分对准，放在法尺六分空处；又把实尺按七分对准，在法尺空处上下移动，直到法尺一寸四分空处正好相合；一寸四分就是一十四人。法、实可以互换，乘、除可以互用，这是尺算不同于其他算法之处。凡是求得的数，都以比例类推；即使乘除也无非比例，所以用尺来作比例最方便。筹算。珠算、笔算都是先有数然后相乘，筹算则没有数而先相乘。因此用筹来进行乘法演算，数到九九为止；除法也因乘法而来，所以随时施用。所遇到的数发生变化，先乘的数也随之增减，前后相合，自然形成结果。至于零筹，没有数，却又是无用之用【零筹多放几根】。开方筹。筹有两种：一是平方，即自乘后还原，所以使用自乘的数；二是立方，即自乘后再乘一次而还原，所以使用自乘再乘的数。术语说：有实数、有法数，先查实数筹，从左向右整齐排列。两根筹的每格，以平行线和斜线组成的方格合成一位，合起来就是一个数。前一位有数或后一位有数，都是一位；两位都有数，就合成一数。其次把筹的格作为法数；法数是五，就查第五格。若法数有两位，先把查法尾所得的数横向列出，再把查法首所得的数向前进一位横向列出。最后用笔算加法，得到所求数。乘除都有法数和实数：实数是现有的事物，法数是现在用来乘、除的规则。所有筹算都是按实数列位，以筹作为法数。法数有几位，就用几根筹；中间有零位，就用…… ○筹。有几。○位，就用几。○筹。凡是法数、实数都不能误用，只有乘法有时可以通融；如果是除法，就必须仔细辨认。凡是乘法，都从实数末位的小数起算；看原实数是某个数，就在筹的某一行取数列出。一位法式：五十九人，每人八两，问总共多少？答：四百七十二两。以五十九人为实数，八两为法数。先按照实数查第五筹；第五筹中五在左、九在右，并列排列。接着按法数八查第八格中的横列数字，依次为二、七。○，四。去掉。○不用，从左向右横看，得到四百七十二两。所得数的末位与法数的末位相同，所以知道单位是两。二位法式：五十四人，每人六十四两，问总共多少？答：三千四百五十六两。以五十四人为实数，六十四两为法数。按照实数查五、四两位，筹整齐排列。先按法尾四查第四格，依次为六、一。○，二，从右向左横向列出。接着按法首六查第六格，依次为四、二。○，三，向前进一位横向列出。用笔算加法，得到三千四百五十六两。多位法数可依此办理，每查一格一次，就进一位列数。这是横向列数的方法，所以从右边起；若每隔九格竖向排列，就应当自下而上。九格之内，凡遇到右尾有。○，必须列出它以保存位数；其中的。○在。数中者，详见后面的式例。【并：二一六；法：三二四】【得数：三四五六】例如一年三百六十日，每日一十二时，问总共多少？答：四千三百二十时。法数列一筹；第二筹看六；第三筹两位六位为七，两三位为三六，合并得到四三二。定位法从末位起算：知道末位是十，上一位就是百，再上一位就是千。若末位是单数，上一位就是十。二。一。以三筹为法数的式例：每年三百六十五日，每日九十六刻，共有多少刻？答：三万五千。○四十刻。法数列三、六、五三筹，查九、六两位；六位为二一九，九位为三二八五。因为六位二一九的下面有一。○，所以保留它；为了保存刻位，筹内斜方格中有…… 有五十四人，每人二十八两，问合计多少？答：一千五百一十二两。以五十四人为实数，查筹并列二十八两为法数。先查八格，分别是二、三，又是四，把它们横向排列。再查二格，分别是八、又是一，再进一位排列。相加所得即符合题问。斜方中若有数而有 圈，就去掉不用；若没有数而有 圈，就必须保留它以确定位置。例如八格去掉 圈，列三二；格内列 圈，保留这个位置就是如此。筹内斜方合计为八十七人，每人六两，问合计多少？答：五百二十二两。以八十七人为实数，查筹并列六两为法数。查六格，数为二、四；八格数为四。八格的四与四相加为十二，本位保留二，向十位进一。六格的四再与进上的一相加为五。应当自右向左排列，成为二二五。自下向上排列也是如此。若自上向下顺数，就是五二二。法数末位有空式。例如每年三百六十日，今有三千八百三十年，问共有多少日？答：一百三十七万八千八百 日。这是因为所问只涉及十位数，还没有涉及日这个单位，所以法数末位保留单位“日”。排列法数时列三六两筹，然后加一 个圈筹，先看三位，得到一 八；再看八位，进一位成为二八八；又看三位，再进一位成为一 八，把它们相加得到一三七八八。下面有 圈，圈方才到达单位；只要知道末位一圈表示单日，各位便都能确定。实数末位有空式。例如一十二万，按每日九十六刻计算，应是多少？答：一千一百五十二万刻。法数列九六两筹，观察一二两位，二位为一九二，一位为 圈九六。因为一位上有一个圈，所以必须保留 圈位在上面。但是题目问的是每日数量，所以“日”是单位；而题目中的实数只到万位，因此千、百、十、个位必须保留四个空位，才能表示单日。使用零筹式：六百零八人，每人三十四两，问合计多少？答：二万零六百七十二两。
以六百零八人为实，查六筹，零筹八筹，并列三十四两为法。先查四格，曰二，曰三，○曰四，曰二，横列之。次查三格，曰四，曰二，○曰八，曰一，进一位列之，加得合问。
实数整几十者，列一零筹于右；整几百者，列二零筹于右，以定位也。
除法【即商法】
术曰：有实，有法，有商。别列实数，以法数依号查筹，従左向右齐列于诸筹九格内。查横行数之等于实数或略少于实数者，在第几格即是初商数。如在第一格，即一为初商也。次以查得之数减其实数，已尽则止，一商。如未尽，则有再商，即再查横行内数之等于存实或略少于存实者，在第几格即是再商数。又以查得之数减其存实，如前。又未尽，则更有三商。倘再商已除实，虽未尽而次位无实，则商有○位，即作○以当次商。再以存实于格内查之。若至余实数少于法数，是为不尽，法当命分之。
凡除以所分之物为实，今欲作几分分之为法，法与实须审定，不可倒置。如有粮若干，给若干人，则当以粮为实，以人之数为法除之。葢粮数是所分之物，人数是用以分之之法也。
凡书商数皆与减数第一行相对。若所减第一位是○，则▯作○于原实首位上而对之，此定位之根也。定位法除毕，以商得数与原实对位求之，皆如法。首位之上一位命为单数【归于法前得零，古法实如法而一是也】然此有二法，有法少实多者，従原实内防法首位认定，逆转上一位命为单数【如米则为单石，钱则为单文】既得单数，则上而十百千万，下而分秒忽微皆定矣，此为正法。有法反多而实反少者，乃变法也。法従原实首位逆遡而上至法首位止，又上一位命为单数【此是虚位借之以求实数】既得单数，乃顺下求之，命所得为分秒之数。
一位商式三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两。
别列三百二十五两为实，以六十五人为法，查六五两筹，左右齐列，何格数与实相等？一格至四格皆少，五格内自左向右曰三二五适等，即五为商数也。
如太阳每歳行天三百六十度，分为七十二候。每候几何度？曰：每候五度。此欲分七十二分，当以七二为法，用两算。
先列三百六十度为实，次检七二两筹为法，视何格内有三六○与相同，今在五格，则商作五。又查所减第一位是三，将商数五对三字书之，此法少于实也，宜于原实内防十度位，即法首位也，法首再上一位为单度，定所得为五度。
假令实是三千六百，则所得为五十度。此亦法少于实，法亦于原实内防。法首十位，再上一位为单位，单位空▯作圈。再上一位是十度，定所得为五十度。用筹同，而得数迥异。定位之法，所以当明。
二位商式三千三百二十五两，九十五人分之，问各若干？曰：三十五两。
列三千三百二十五两为实，九十五人为法，列筹二筹，横数止三位，须截实上三位，曰三三二，作三百三十二于格内查之，至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五，略少于实数，四格则多矣，用三为初商，相减余四十七，再以余实四七及截外之五作四百七十五，查至五格四七五【二五并七】适等，用五为次商。
如《皇极经世》一元共十二万九千六百年，分为十二防，共几何？曰：每防一万○八百年。
如图列实检一二两筹，第一行是○一二，商作一，数除实一二，尚余九六；至第八行得○九六，商作八，恰尽。又因所减数是○一二，故于实首位▯作圈，而以商得一，对此商位书之。此定位之根，次所减亦是○九六，故以商得八进位书之，以暗对其○。因法以十为首，则十字之上方是单位数至一，恰当万也。
三商式，如有水轮，毎日共转二千二百四十四周，一日十二时，每时几何转？曰：每时一百八十七。此亦欲分为十二也，故用一二两筹检筹。第一行是○一二，商一，减实一千二百余一千四十四。次检筹第八行是○九六，商八，减实九百六十余八十四。末俭筹第七行是○八四，商七。法以十为首，则十上一位为单数，初商数对所减筹第一位，因初商是○一二，故遂以一字对书之。商当有○式，三十二万三千八百七十六两，五百三十八人分之，问各若干？曰：六百零二两。
译以六百零八人为实数，查六筹、零筹、八筹，并列三十四两为法数。先查四格，数为二、三、四、二，横向排列。再查三格，数为四、二、八、一，进一位排列；相加所得即符合题问。实数若整整是几十，就在右边列一个零筹；若整整是几百，就在右边列两个零筹，用来确定位置。除法【即商法】。方法是：有实数、法数和商数。另列实数，按照法数依次查筹，从左向右整齐地列入各筹的九格中。查横行中等于实数或略小于实数的数，它所在的是第几格，便是初商数。若在第一格，初商就是一。再用查得的数减去实数；如果正好除尽，就停止，这是一商。若没有除尽，就有再商，即再查横行中等于余实或略小于余实的数，它所在的格数便是再商数。再用查得的数减去余实，如前法。若仍未尽，就还有三商。假如再商已经除尽实数，虽然计算尚未完全结束，但下一位没有实数，则商中有 一个空位，就作 圈来表示这一次商。再把余实放入格中查找。如果余实数小于法数，就是没有除尽，法数应当作为分母来表示分数。凡是除法，都以所要分配的东西作为实数，以打算分成的份数作为法数；法数和实数必须审慎确定，不能颠倒。例如有若干粮食，分给若干人，就应以粮食为实数，以人数为法数来除。因为粮食数是被分配的东西，人数是用来分配的法数。凡是书写商数，都要与减数的第一行相对。如果所减数的第一位是 圈，就补作 圈在原实数的首位上，与之相对；这是确定位置的根本。定位法：除完以后，以所得商数和原实数对位求取单位，完全依照前法。首位的上一位规定为单数【归到法数之前得到零，古法所谓“实如法而一”就是这个意思】。这里有两种方法：法数少而实数多时，从原实数中对准法数首位确定位置，向上逆推一位规定为单数【例如米就是单石，钱就是单文】。确定单数后，向上排列的十、百、千、万，向下排列的分、秒、忽、微，都可以确定，这叫正法。法数反而多、实数反而少时，就是变法。法数从原实数首位向上逆推，直到法数首位为止，再向上一位规定为单数【这是借用的虚位，用来求实数】。确定单数后，再顺向向下求取，把所得规定为分、秒等数。一位商式：三百二十五两由六十五人分，问每人多少？答：五两。另列三百二十五两为实数，以六十五人为法数，查六五两筹，左右整齐排列。哪一格的数与实数相等？第一格到第四格都小于实数，第五格内从左向右为三二五，正好相等，所以五就是商数。例如太阳每年运行周天三百六十度，分为七十二候。每候有多少度？答：每候五度。这里要分成七十二份，应以七二为法数，使用两筹。先列三百六十度为实数，再查七二两筹为法数，看哪一格中有三六 圈，与实数相同；现在在第五格，所以商作五。又查所减数的第一位是三，把商数五对着“三”字书写。这是法数少于实数的情形，应在原实数中对准十度位，也就是法数首位；法数首位再上一位为单度，于是确定所得为五度。假如实数是三千六百，则所得就是五十度。这同样是法数少于实数，法数也要在原实数中定位。法数首位在十位，再上一位为单位，单位为空就补作圈；再上一位是十度，确定所得为五十度。所用筹相同，但所得数大不相同，所以定位的方法必须明白。二位商式：三千三百二十五两由九十五人分，问每人多少？答：三十五两。列三千三百二十五两为实数，以九十五人为法数，列两筹，横向数到第三位为止，须截取实数最左边三位，即三三二，作三百三十二放入格内查找。查到第三格，从左向右为二八五【中位一七与八相加】，作二百八十五，略小于实数；第四格就多了，所以用三作初商。相减后余四十七；再以余实四七和截去的五合成四百七十五，查到第五格为四七五【二五与七相加】，正好相等，所以用五作次商。例如《皇极经世》说一元共十二万九千六百年，分为十二会，共有多少？答：每会一万 零八百年。如图排列实数，查一二两筹，第一行是 圈一二，商作一，除去实数一二，尚余九六；到第八行得到 圈九六，商作八，正好除尽。又因为所减的数是 圈一二，所以在实数首位补作圈，并把所得商一写在与它相对的商位上。这就是定位的根本。其次，所减的数也是 圈九六，所以把所得商八进一位书写，暗中对准它的 圈。因为法数以十为首，所以“十”字的上方就是单位数，直到一，恰好对应万。三商式：例如水轮每天共转二千二百四十四周，一日十二时，每时转多少周？答：每时一百八十七周。这也是要分成十二份，所以使用一二两筹查筹。第一行是 圈一二，商为一，减去实数一千二百，余一千零四十四。接着查筹，第八行是 圈九六，商为八，减去实数九百六十，余八十四。最后查筹，第七行是 圈八四，商为七。法数以十为首，则十的上一位是单数。初商数要对准所减筹的第一位；因为初商是 圈一二，所以就把“一”字对着它书写。商数应当有 圈式：三十二万三千八百七十六两，由五百三十八人分，问每人多少？答：六百零二两。
列实查筹，三筹横数止四位，截实左四位，曰三二二八，作三千二百二十八。查至六格，自左向右，曰三二二八，作三千二百二十八，畧少于实数，七格则多矣。用六为初商，相减余一十，以余实一○及截七六，作一千零七十六，此乃次位无实也。次商当作○，竟不除实，余实仍是一千零七十六。查至二格一零七六，适等，用二为三商。若次位三位俱无实者，即一连两商皆当作○。
法有○位式，假如布二万一千七百六十八丈，给与九百○七人，各几何？曰：每人二十四丈。此欲分为九百○七分也，故以九筹○筹七筹为法，检筹第二行一八一四，商作二。葢一格本少，自二格以下皆多，唯第二格略少于实数，故商二，减实一万八千一百四十，尚余三千六百二十八丈。减至第四三六二八，恰尽，故又商四。因法首是百，故百上为单位，知为二十四丈。以上皆法少于实，故法首在原实中乃本位也。
法多实少式【即除分秒法】假如银五百一十二两，给六百四十人，各若干？曰：每人八钱。解曰：凡不能成一单数者，皆分秒也。故斤下有两，两下有钱，钱下有分，分下有厘，厘下有毫，零以两为主。以两为主，则两为单位，而钱为两十之一。八钱即十分两之八。此欲分为六百四十分也，故以六四两筹为法，检筹第八行恰尽，故商八。又所减首位不空，故商数对之定位。法曰：此法多于实也，防法首位百逆上一位是两，二位空，则知是钱。
又式如饥民四十八万口，赈米三千六百石，各得若干？曰：每口七合五勺，此人分米也。故以四十八万为法，列四八两筹，检筹第七行是三三六，初商七，余二百四十石。次检筹第五行是二四○，次商五，恰尽。定位法，于原实内防法首位，而原实内无十万，只有千，虚进一位，防万，又进一位，十万。十万者，法首位也。再上一位得零，是单石石位○，顺下斗升俱○。知所得为七合五勺。以上两例，皆法多于实者，其法首位或在原实中，必原实首位也；或不在原实中，则于其原实上几位也。要之，皆不能满法，其所得必为分秒。
法多实者，实乃零数，法乃整数。假如有银四百五十六两，而千百十人分，是也。
实多法者，法乃零数，实乃整数。假如有银四百五十六两，而有二三十人分也。
法首位者，法首位之数也。若法首是十，即于实之十位上为法首位；若法首是百，即是实之百位上为法首位。法首位上一位是单者，如实之十数是法首位，而十上之百数位即为单位也；实之百数是法首位，而百上之千即为单位。
实不尽式，二千三百三十六两，九十五人分之，问各若干？曰：三十五两，余实一十一两。
译列出实数查筹。三筹横向数到第四位为止，截取实数左边四位，即三二二八，作三千二百二十八。查到第六格，从左向右为三二二八，作三千二百二十八，略小于实数；第七格就超过了。于是用六作初商，相减余一十；以余实一 圈和截取后剩下的七六，作一千零七十六；这就是下一位没有实数的情形。次商应当作 圈，实际上不能再除实数，余实仍是一千零七十六。查到第二格，一零七六，正好相等，所以用二作三商。若下一位的三位都没有实数，那么连续两次商都应当作 圈。法数有 圈位式：例如布二万一千七百六十八丈，分给九百 圈七人，每人多少？答：每人二十四丈。这是要分成九百 圈七份，所以以九筹、圈筹、七筹为法数，查筹第二行一八一四，商作二。因为第一格本来就小于实数，从第二格以下都超过实数，只有第二格略小于实数，所以商为二；减去实数一万八千一百四十，尚余三千六百二十八丈。减到第四格的三六二八，正好除尽，所以又商为四。因为法数首位是百，所以百位的上一位是单位，于是知道所得为二十四丈。以上都是法数少于实数的情形，因此法数首位在原实数中就是本位。法数多于实数式【即除分秒法】：例如银五百一十二两，分给六百四十人，每人多少？答：每人八钱。解释说：凡是不能成为一个单数的，都是分、秒等小数。因此斤以下有两，两以下有钱，钱以下有分，分以下有厘，厘以下有毫；零数以两为主。以两为主，则两是单位，钱是两的十分之一。八钱就是十分之八两。这是要分成六百四十分，所以以六四两筹为法数，查到第八行正好除尽，故商为八。又因为所减数首位不是空位，所以商数对准它定位。法数多于实数，应把法数首位百位逆推上一位作为两；第二位为空，于是知道所得是钱。又如四十八万口饥民，赈济三千六百石米，每人得到多少？答：每口七合五勺。这是以人数分米，所以以四十八万为法数，列四八两筹，查第七行是三三六，初商七，余二百四十石。再查第五行，是二四 圈，次商五，正好除尽。定位法是在原实数中对准法数首位。原实数中没有十万，只有千，所以虚进一位，对准万；又进一位，对准十万。十万就是法数首位。再上一位得到零，是单石的石位 圈，向下排列，斗、升都为 圈。由此知道所得是七合五勺。以上两个例子，都是法数多于实数：法数首位有时在原实数中，必定是原实数首位；有时不在原实数中，就在原实数上方若干位。总之，都不能达到法数，所以所得必然是分、秒等小数。法数多于实数时，实数就是零数，法数就是整数。例如有银四百五十六两，而由一千一百十人分配，就是这种情形。〔原文数字、纪年保留：千百十人〕 实数多于法数时，法数就是零数，实数就是整数。例如有银四百五十六两，而由二三十人分配，就是这种情形。所谓法数首位，就是法数首位上的数。若法数首位是十，就在实数的十位上作为法数首位；若法数首位是百，就在实数的百位上作为法数首位。法数首位的上一位就是单数位：例如实数的十位是法数首位，那么十位上方的百位就是单位；实数的百位是法数首位，那么百位上方的千位就是单位。实数不能除尽式：二千三百三十六两由九十五人分，问每人多少？答：三十五两，余实一十一两。
列实查筹二筹，横数止三位，截实左三位，曰三三三。查至三格，自左向右，曰二八五，略少于实数，用三为初商，相减余四八。以余实四八及截外六，作四八六，查至五格四七五，略少于余实，用五为次商，相减尚余一十一，为不尽数也。
开平方法
术曰：有积数【即实数】有商数，商有方法，有廉法【倍初商】隅法【次商】置积数，従末位下作防，向左隔一位作一防。有一防，知有一商也。视平方筹内自乗之数与实相等或略少者，取以除实。但自左一防为始【此谓横列者，若上下列则従上始】防前无位，则自乗止于零数；防前有位，则自乗应有十数。而此乗数在筹内第几格，即用其格数为初商也。有二防者，以初商倍之，乃以倍数查筹，列于平方筹之左，再视诸筹横行内数与存实相等者，用以除实。而此实在几格，即用为次商法。不尽者，以法命之，或实右加○，再开之。
开方有实无法，故用方廉隅以代之。初商积与次商隅积皆自乗数也。次商廉积之数，处初商与隅积之间也。
第一防求初商之根为方法乙为方
积也不尽，求二防之商，倍初商根为。
廉法，甲丙两长边也。隅法，丁方一角。
也，此甲乙丙丁为平方二商之形，如
三商则加戊已廉及庚隅也
积三万二千○四十一平方，开之，问边得若干？曰：
一百七十九别列积为实，従末位一下作点，向左隔一位○下作点，三下作点，共得三点，知商有三位也。点左无实【横言左，竪言上】三作零数，视方筹内自乗无三，近少为
一平行取一为方法为初
商乃于实三内减去一格
自乗之一存二以共次点
实曰二二○为余实次倍
初，商根得二，为廉法【倍一为二】取二号筹，列方筹之左于
两筹横行内求二二○无
则用近少者一八九在第
七格即七为次商为隅法
乃以一八九减余实二二
○余三一以共三点之实
曰三一四一为次商余实
再倍初次两商之一七得
三、四【初商一，作一十次商七，共为十七，倍为三】
【十四】为次廉法，乃去次商所列之第二筹，又取三号、四号两筹，自左向右，俱列方筹之左，于横行内求三一四一，在第九格，即九为三商，为次隅法，减实无余，即三次所商为平方边，一百七十九也。
开立方法
术曰：有积数，有商数。商有方法，有平廉法，长廉法，隅法。置积为实，従末位作点，向左隔二位作点，每一点有一商。视立方筹内再乗之数，有与实相等或近少者，用以除实也。但自左一点为始，点前无位，则再乗止于零；数点前有一位，则再乗应有十数；点前有二位，则再乗应有百数。而此乗数在第几格，即用作初商。也有二点者，以初商自乗而三倍之为平廉法，以初商三倍之为长廉法。却以平廉法数查筹列立方筹左，以长廉法数查筹列立方筹右。乃视左筹与方筹之横行内数，查其或等或少于余实者，取格数为约数，即以此为次商。以次商自乗之数与长亷法数相乗，进一位书于约数之下，以此二数并之，除其余实，即得立方边。也不尽者，依法命之。
其一，作六面方体，诸面线角皆相等，此名方法体，成甲乙丙丁形。
此初商形也凢边皆初商之数
其二作六面扁方体，其上下面各与方法等，旁四面之髙少于方法之髙，而四棱线皆等，此各平廉法体成戊己庚辛形。
其三，作六面长方体，其上下左右四面与平廉之旁面等，两端之四界线皆与平廉之高等，此名长廉法体，成壬癸形。其四，作六面小立方体，六面之广袤皆
与长廉之两端等，此名隅法，体成子丑形。
通曰：「右三形，皆次商形也。三、四商者，亦如此三形増之。」
后边长廉之下
尚有一平廉
译列实数查两筹，横向数到第三位为止，截取实数左边三位，即三三三。查到第三格，从左向右为二八五，略小于实数，所以用三作初商；相减余四八。以余实四八和截取后剩下的六合成四八六，查到第五格为四七五，略小于余实；用五作次商，相减后尚余一十一，这就是不能除尽的数。开平方法。方法是：有积数【即实数】和商数，商数有方法、廉法【初商的二倍】、隅法【次商】。放置积数，从末位下方作一防，向左每隔一位再作一防。有一防，就知道有一位商。查看平方筹中自乘后等于实数或略小于实数的数，用它来除实数。但要从最左边的一防开始【横向排列时如此，若上下排列则从上面开始】；防前没有位数，就将自乘数计算到零数为止；防前有位数，就应当有十数。这个乘数在筹内位于第几格，就用该格数作为初商。有两防时，将初商加倍，再以这个加倍数查筹，列在平方筹左边；然后再看各筹横行中等于余实的数，用它来除余实。余实在第几格，就用该格数作为次商法。不尽的，以法数表示分数；或者在实数右边补加 圈，再继续开方。开方时有实数而没有现成的法数，所以用方、廉、隅三法来代替。初商的积和次商的隅积，都是自乘所得的数；次商的廉积，位于初商与隅积之间。第一防用来求初商的根，是方法；乙是方 积。若不能除尽，要计算第二防的商，就把初商根加倍，作为 廉法，即甲、丙两条长边；隅法就是丁方的一角。这就是甲、乙、丙、丁构成的平方二商图形。例如 有三商，就再加上戊、己两条廉边及庚隅。积为三万二千 圈四十一的平方，开方后问边长多少？答：一百七十九。另列积数为实数，从末位下方作一点，向左每隔一位 再向下作一点，第三位下方也作一点，共得到三点，由此知道商有三位。点的左边没有实数【横向说是左边，竖向说是上面】，三位作零数。查看方筹中没有自乘后为三的数，取最接近且略小的 一，平行取一作为方法，作为初 商，于实数三中减去一格 自乘所得的一，余二，作为第二点的合计。实数为二二。○作为余实，下一步加倍。开始时，商根得到二，作为廉法【加倍一就是二】；取二号筹，列在方筹的左边。在两筹横行中查找二二。○没有。于是使用相近而稍小的数一八九，在第。七格，就是七，作为次商，作为隅法。于是用一八九减去余实二二。○余数为三一，连同三点的实数。称为三一四一，作为次商的余实。再把最初和第二个商的一七加倍，得到。三、四【初商为一，作一十；次商为七，合起来是十七，加倍为三】。【十四】作为次廉法。于是撤去次商所列的第二筹，又取三号、四号两筹，从左向右都列在方筹左边，在横行中查找三一四一，在第九格，就是九，作为三商、次隅法。减去实数后没有余数，因此三次所商的数就是平方根的边长，即一百七十九。开立方的方法。方法说：有积数，也有商数。商数有方法、平廉法、长廉法和隅法。把积数作为实数，从末位起作点，向左每隔二位作一点；每一点对应一个商。察看立方筹中再乘所得的数，取与实数相等或相近而稍小的数，用它来除实数。不过要从最左边的一点开始：点前没有数位时，再乘的数止于零；点前有一位时，再乘的数应当有十位；点前有二位时，再乘的数应当有百位。这个乘数在第几格，就用作初商。若有两个点，就把初商自乘后再乘三，作为平廉法；把初商乘三，作为长廉法。然后按照平廉法的数查筹，列在立方筹左边；按照长廉法的数查筹，列在立方筹右边。接着察看左筹与方筹横行中的数，找出等于或小于余实的数，取其格数作为约数，以此作为次商。把次商自乘所得的数乘以长廉法的数，进一位写在约数下面，将这两个数相加，用来除余实，就得到立方根的边长。若不能除尽，就依照上述方法处理余数。第一，作一个六面方体，各面的线和角都相等，这叫作方法体，构成甲乙丙丁形。这是初商的形体，所有边都等于初商的数。第二，作一个六面扁方体，它的上、下两面都与方法相等，旁边四面的高度小于方法的高度，而四条棱线都相等；这就是各个平廉法体，构成戊己庚辛形。第三，作一个六面长方体，它的上、下、左、右四面与平廉的旁面相等，两端的四条界线都与平廉的高度相等；这叫作长廉法体，构成壬癸形。第四，作一个六面小立方体，六面的长宽都。与长廉的两端相等；这叫作隅法，形体构成子丑形。通说：以上三种形体，都是次商的形体。第三商、第四商，也照这样增加这三种形体。后面长廉的下面。还留有一个平廉。
通曰：「初商方根，次商。上加一平防，左加一平防，后加一平防。故三倍初商之自乗为平防法也。上与后之边齐，右加一长防；上与左之边齐，前加一长防；左与后之边齐，下加一长防。故三倍初商为长防法也。上与左与后三角加隅法，而立方形成矣。」
积九百二十一万九千三百二十九，立方开之，问。
边得若干曰二百零九，别列积数为实，从末位九。
下作点向左隔二位作点
凡三点知商有三位也点
前无实则实前九为零数
视立方筹内再乗之数无
九三格二七过实用二格
八实之近少数也即取二
为方法为初商九内减八
存一以共次点之实曰一
一二九为余实将初商二
自乗得四又三倍得十二
为平防法取一号二号
两筹列方筹左又将初
商二三倍得六为长防
法取六号筹列方筹右
乃于立方与平防共三
筹内之横行数取其少
于余实者为约数，视筹内无近少数，即第一格之一二○一，亦多于余实之一一二九，遇此则知商有○位矣。竟于初商下作○以当次商，而实数不动。复开第三点之实一一二九三二九，将初次两商之二○【此作二十】自乗之，得四○○【此作四百】又三倍得一二○○【此作一千二百】为次平廉法。乃取一号、二号、○○○号之四筹列方筹左，而去次商所列之平廉两筹。又将初次两商之二○【此作二十】三倍之，得六○【此作六十】为次长廉法。取六号、○号两筹列方筹右，而去次商所列之长廉筹。乃于立方与次平廉共五筹内之横行数，取其少于余实者为约数。至第九格曰一○八○七二九，另立之，向立方筹右平行，取九格内平方之自乗数八十一，以乗次长廉六○【此作六十】得四八六○【此八十一囘六十也】进一位列约数一○八○七二九之下，相并得一一二九三二九，以此数除余实之一一二九三二九，恰尽。乃以约数之格数九为三商也。三次所商曰二，曰○，曰九，是谓立方根二百零九也。通曰长廉筹止。
用其号数格内诸数皆
无用即不列筹而止列
数亦可开方宜入少广
章因有此二筹故亦附
于此
周易函书约存卷十三
<经部,易类,周易函书约存》>
钦定四库全书
周易函书约存卷十四礼部侍郎胡煦撰原古【冒道分▯】
译通说：初商是方根，次商在上面增加一个平廉，在左边增加一个平廉，在后面增加一个平廉。所以，初商自乘后乘三，就是平廉法。上面与后面的边相齐，右边增加一个长廉；上面与左边的边相齐，前面增加一个长廉；左边与后面的边相齐，下面增加一个长廉。所以，初商乘三就是长廉法。上、左、后三面再加上隅法，立方体就形成了。积数为九百二十一万九千三百二十九，开立方，问：边长得到多少？答：二百零九。另列积数作为实数，从末位九开始。在下面作点，向左每隔二位作一点。共作三点，知道商有三位。点。前面没有实数，则实数前的九是零数。察看立方筹中再乘所得的数，没有。九三格二七超过实数，使用二格。八是实数中相近而稍小的数，于是取二。作为方法，在九内减去八。余下一，连同下一点的实数，称为一。一二九为余实。把初商二。自乘得四，再乘三得十二。作为平廉法，取一号、二号。两筹列在方筹左边，又把初。商二乘三得六，作为长廉。法，取六号筹列在方筹右边。于是从立方筹和平廉共三。筹的横行数中，取其较。小于余实的数作为约数。察看筹中没有相近而稍小的数，就是第一格的一二。○一，也多于余实一一二九。遇到这种情况，就知道商有。○位了。最后在初商下面作。○，用来表示次商，而实数不变。重新开第三点的实数一一二九三二九，把初商和次商的二。○【这里作二十】自乘，得到四。○。○【这里作四百】再乘三，得到一二。○。○【这里作一千二百】，作为次平廉法。于是取一号、二号、。○。○。○号的四根筹列在方筹左边，并撤去次商所列的两根平廉筹。又把初商和次商的二。○【这里作二十】乘三，得到六。○【这里作六十】，作为次长廉法。取六号、。○号两筹列在方筹右边，并撤去次商所列的长廉筹。于是从立方筹与次平廉共五根筹的横行数中，取小于余实的数作为约数。到第九格，称为一。○八。○七二九，另行列出，向右与立方筹平行；取九格内平方的自乘数八十一，乘以次长廉六。○【这里作六十】，得到四八六。○【这是八十一乘六十所得】，进一位列在约数一。○八。○七二九的下面，相加得到一一二九三二九；用这个数除余实一一二九三二九，正好除尽。于是以约数的格数九作为三商。三次所商分别是二、。○、九，这就是立方根二百零九。通说：长廉筹到此为止。在所用号数的格内，各数都。没有用处，就不列筹而停止；只列出数也可以开方，宜放入《少广》章。因为有这两根筹，所以也附在这里。数也可以开方，宜收入《少广》章。因为有这两根筹，所以也附。在这里。《周易函书约存》卷十三。《经部，易类，周易函书约存》。钦定《四库全书》。《周易函书约存》卷十四，礼部侍郎胡煦撰。原古【冒道分▯】。