御制厯象考成上编卷二
御制厯象考成上编卷二
弧三角形上弧三角形总论弧三角形纲领弧三角形凡例正弧三角形论正弧三角形图说正弧三角形八线勾股比例图说。
正弧三角形用次形图说正弧三角形边角相求法正弧三角形设例七则弧三角形总论弧三角形者，球面弧线所成也。古厯家有黄赤相准之率，大约就浑仪度之，仅得大概，未能形诸算术。惟元郭守敬以弧矢命算，黄赤相求，始有定率，视古为密。但其法用三乘方，取数甚难。自西人利玛窦、汤若望等翻译厯书，始有曲线三角形之法。三弧度相交成三角形，其三弧三角各有相应之八线。弧与弧相交，即线与线相遇，而勾股比例生焉。于是乎，有黄道可以知赤道，有赤道可以知黄道，有经可以知纬，有纬可以知经。厯象之法，至此而备，勾股之用，至此而极矣。
弧三角形纲领凡弧三角形皆在球面。球面之腰围一线谓之大圈。如甲乙丙丁为子午规，戊己为赤道，庚辛为黄道，壬乙癸丁为地平规，如此之类皆为大圈。其周度皆相等，故可以相为比例。凡圈皆有极，极距圈皆九十度。如赤道则有南北极，黄道则有黄极。若圈不相等，则为距等圈。如子丑二圈，其四围之距大圈皆相等，而与大圈平行，虽亦为三百六十度，其分则小于大圈。距大圈愈逺，距极愈近，则其圈愈小，至极一防而止，不能与大圈为比例。故弧三角形之角度边度皆大圈之度也。凡两弧相交所成角相距皆半周一百八十度，名其角度则必取其两弧各足象限九十度，其对角之弧即为本角之度。如甲乙丙丁为黄道，甲戊丙己为赤道，甲丙二处相交，相距各半周一百八十度，即如春秋分。试于甲丙弧之各平分九十度处作丁己乙戊垂弧【凡言垂弧皆曲线画图于平面不能显出，故作虚线以别之】则丁己弧为甲丁己三角形之甲角度，亦为丙丁己三角形之丙角度；其乙戊弧为甲乙戊三角形之甲角度，亦为丙乙戊三角形之丙角度。即如冬夏至之大距为春秋分之角度，葢甲丙为极，则丁己乙戊为腰圈，所谓大圈者是也。凡弧三角形之三弧不足九十度者，必引长至九十度，其对角之弧方为本角之度。如甲乙丙弧三角形，三弧皆不足九十度，则将甲乙弧引长至丁，甲丙弧引长至戊，作丁戊弧，其丁戊弧之度即甲角之度也。又将乙甲弧引长至己，乙丙弧引长至庚，作己庚弧，其己庚弧之度即乙角之度也。又将丙甲弧引长至辛，丙乙弧引长至壬，作辛壬弧，其辛壬弧之度即丙角之度也。凡弧三角形，其角适足九十度者，为直角，为正弧三角形，甲图是也。大于九十度者，为钝角；不及九十度者，为鋭角，俱为斜弧三角形，乙图、丙图是也。因三边皆弧，故与直线三角形不同。直线三角形有一直角或一钝角，余二角必锐；弧三角形则有一直角、二锐角者，如丁形；有一直角、二钝角者，如戊形；有一直角、一钝角、一锐角者，如己形；有二直角、一锐角者，如庚形；有二直角、一钝角者，如辛形；有三角俱直者，如壬形；有一钝角、二锐角者，如癸形；有三角俱钝者，如子形；有一锐角、二钝角者，如丑形。而弧三角之形势，大概尽于此数端矣。
弧三角形凡例一直线三角形之三角相加成一百八十度，弧三角形之三角相加，最小者亦必大于一百八十度，但不得满五百四十度【因其有三钝角，每一钝角不得满一百八十度，故三钝角不得满五百四十度】一直线三角形，知两角，即知其所余一角。弧三角形，虽知两角，其余一角，非算不知。一直线三角形之边，小则咫尺，大则千百万里，实有尺度之可量；弧三角形之边，俱系弧度，必在半周一百八十度之内，但合三边不得满三百六十度【葢三百六十度则成全圜，而不得成角矣】一直线三角形之八线，惟用于角弧三角形之八线，并用于边角之八线与边之八线相求，仍以勾股为比例也。一直线三角形、两形之三边各相等者，为相等形；两形之三角各相等者，为同式形。弧三角形则但有相等形，而无同式形。葢以两形之三角同，其三边必各相同也。一直线三角形可以三边求角，不可以三角求边；而弧三角形，既可以三边求角，又可以三角求边。一弧三角形，三角、三弧，共六件。知三件，可求其余。理与直线三角形同。一正弧三角形，除直角外，二角三弧，共五件，知二件，可求其余，理与直线三角形同。一斜弧三角形，作垂弧，分为两正弧三角形。与直线三角形作中垂线之理同。一弧三角形所知之三件有弧角相对者，即用弧角为比例理，与直线三角形同。一正弧三角形，弧角不相对者，则用次形法。一斜弧三角形，知三边求角者，用总较法；知三角求边者，先用次形法，将角易为边，边易为角，然后用总较法。一斜弧三角形，知两边一角，而角在两边之间者，用总较法，或用垂弧法；知两角一边，而边在两角之间者，先用次形法，将角易为边，边易为角，然后用总较法，或用垂弧法。
正弧三角形论正弧三角形必有一直角者，葢因南北二极为赤道之枢纽，皆距赤道九十度，故凡过南北二极经圈与赤道相交所成之角俱为直角，其相当之弧皆九十度。又凡有一圈，即有两极，其过两极经圈与本圈相交，亦必为直角，其所成三角形必皆为正弧三角形。夫正弧三角形所知之三件，弧角相对者，用弧角之八线所成勾股为比例；而弧角不相对者，则用次形。盖以弧角之八线所成勾股比例，不生于本形，而生于次形，而次形者，乃以本形与象限相减之余度所成，故用本形之余▯余切，即用次形之正▯正切也。其法可易弧为角，易角为弧【若斜弧三角形，可易大形为小形，易大边为小边，易钝角成锐角】边与角虽不相对，可易为相对，且知三角，即可以求边，其理实一以贯之也。今以黄道、赤道与过极经圈所成之三角形设例，而正弧三角形比例推算之法，无不统于是矣。正弧三角形图说【设黄赤大距二十三度三十分】
如甲乙丙丁为赤道甲戊丙己为黄道相交于甲丙甲为春分丙为秋分戊为夏至己为冬至庚为北极辛为南极庚戊乙辛己丁为二极二至交圈戊至乙己至丁俱二十三度三十分为黄赤大距今作庚壬癸辛为过南北二极经圈与黄道交于壬与赤道交于癸成甲癸壬正弧三角形甲为黄道赤道交角当戊乙弧二十三度三十分癸为直角葢庚辛二极即赤道之极皆距赤道九十度故凡过南北极经圈与赤道所成之角皆为直角其相当之弧皆九十度又如子丑为黄道两极若从子丑二处作子寅卯丑过黄极经圈与黄道交于卯与赤道交于寅成甲寅卯正弧三角形则卯亦为直角葢子丑为黄道两极皆距黄道九十度故凡过黄极经圈与黄道所成之角皆为直角其相当之弧皆九十度由此推之凡有一圈必有两极其过两极圈与本圈相交必为直角其所成三角形必皆为正弧三角形可知矣正弧三角形八线勾股比例图说【设黄道四十五度】
甲为黄道赤道交角甲乙为黄道四十五度甲丙为赤道同升度乙丙为黄赤距度成甲乙丙正弧三角形甲丁甲戊皆象限丁戊为黄赤大距二十三度三十分即甲角度己为北极庚为南极己丁庚壬为二极二至交圈甲为春分丁为夏至辛为秋分壬为冬至癸为地心己乙丙庚为过南北二极经圈其甲乙丙三角形之八线各成相当比例之勾股形丁子为甲角之正弦子癸为甲角之余▯丑戊为甲角之正切丑癸为甲角之正割戊癸丁癸皆为半径成丑戊癸及丁子癸同式两勾股形乙寅为乙丙距纬弧之正▯乙卯为甲乙黄道弧之正▯将两正▯之寅卯二处作虚线聨之成乙寅卯勾股形【两正▯之末立于各半径寅卯】二处，而寅卯二处，皆未抵于弧界，故不得为正▯。今以虚线聨之者，为眀勾股之理也】辰丙为乙丙距纬弧之正切丙己为甲丙赤道弧之正▯将正切正▯之辰巳二处作虚线聨之成辰丙巳勾股形午甲为甲乙黄道弧之正切未甲为甲丙赤道弧之正切将两正切之午未二处作虚线聨之成午未甲勾股形此三勾股形与前二勾股形皆为同式形夫甲癸辛原系一线如将甲癸辛平视之则甲癸辛合成一防而辛癸卯己甲五角皆合为一角甲戊象限亦成一直线而戊癸半径寅卯聨线丙己正▯未甲正切亦皆合为一线矣赤道既平置则黄道斜倚従辛视之甲丁象限亦成一直线而丁癸半径乙卯正▯辰巳聨线午甲正切亦皆合为一线矣夫五勾股形既同角而各股皆合为赤道之一线各▯皆合为黄道之一线则各勾必皆与赤道径线相交成直角而自将平行故皆为相当比例之勾股形而可以互相比例也正弧三角形用次形图说如甲乙丙形可易为乙己丁次形葢甲戊甲丁己丙己戊四弧皆象限九十度于甲丁象限弧内减去甲乙弧余乙丁弧即次形之乙丁边于己丙象限弧内减去乙丙弧余己乙弧即次形之己乙边于己戊象限弧内减去丁戊弧【即甲角度】余己丁弧，即次形之己丁。
边于甲戊象限弧内减去甲丙弧余丙戊弧即次形之己角度是次形之三边一角即本形三边一角之余度而用▯形之余▯余切实即用次形之正▯正切也▯次形之丁角为直角与本形之丙角等乙为交角其度又等故算乙己丁形即得甲乙丙形也又甲乙丙形可易为己庚辛次形葢庚丁为象限弧与己戊等则庚己与丁戊等故本形【丁戊即甲角度】之甲角，即次形。
之庚己边乙辛壬庚乙壬皆为象限弧与甲丁等则壬丁即与甲乙等故本形之甲乙边即次形之庚角乙壬与乙辛既皆【庚、壬与庚、丁俱象限，故壬、丁弧为庚角度】为象限，则辛壬弧即乙角。
之度故象限内减去乙角之辛壬弧余即次形之庚辛边丙戊弧即己角之度故于甲戊象限弧内减去甲丙弧余丙戊弧即次形之己角又次形之辛角为直角与本形之丙角等次形之丁戊即甲角度庚壬与庚丁俱象限故壬辛己边与本形之乙丙边等故【辛乙与己丙等，故辛己与乙丙等】算己。
庚辛形亦得甲乙丙形也辛乙正弧三角形边角相求法正弧三角形边角相求，错综变换共三十则。用黄赤交角所生八线勾股比例者九，用黄道交极圏角所生八线勾股比例者亦九，用次形者十二。依题比类列目于前，按法循序设问于后，以便观览。有直角，有黄赤交角，有黄道求距纬【第一】有直角，有黄赤交角，有黄道，求赤道【并见第一】有直角，有黄赤交角，有黄道，求黄道交极圏角【并见第一】有直角，有黄赤交角，有赤道求距纬【第二】有直角，有黄赤交角，有赤道，求黄道【并见第二】有直角，有黄赤交角，有赤道，求黄道交极圏角【并见第二】有直角，有黄赤交角，有距纬，求黄道【第三】有直角，有黄赤交角，有距纬，求赤道【并见第三】有直角，有黄赤交角，有距纬，求黄道交极圏角【并见第三】有直角，有黄道，有赤道，求黄赤交角【第四】有直角，有黄道，有赤道，求距纬【道并见第】有直角，有黄道，有赤道，求黄道交极圏角【四并见第】有直角，有黄道，有距纬，求黄赤交角【四第】有直角，有黄道，有距纬，求赤道【五并见第】有直角，有黄道，有距纬，求黄道交极圏角【五并见第】有直角，有赤道，有距纬，求黄赤交角【五第】有直角，有赤道，有距纬，求黄道【六并见第】有直角，有赤道，有距纬，求黄道交极圏角【六并见第】有直角，有黄道交极圏角，有黄道，求赤道【六与第一之理】有直角，有黄道，交极圏角，有黄道，求距纬【同与第一之理】有直角，有黄道交极圏角，有黄道，求黄赤交角【同与第一之理】有直角，有黄道交极圏角，有距纬，求赤道【同与第二之理】【同】有直角，有黄道交极圏角，有距纬，求黄【与第二之理同】有直角，有黄道交极圏角，有距纬，求黄赤交角【与第二之理同】有直角，有黄道，交极圏角，有赤道，求黄道【与第三之理同】有直角，有黄道，交极圏角，有赤道，求距纬【与第三之理同】有直角，有黄道交极圏角，有赤道，求黄赤交角【与第三之理同】有直角，有黄赤交角，有黄道交极圏角，求黄道【第七】有直角，有黄赤交角，有黄道交极圏角，求赤道【并见第七】有直角，有黄赤交角，有黄道交极圏角，求距纬【并见第七】设如黄赤交角二十三度三十分，黄道弧四十五度，求距纬度及赤道度，并黄道交极圏角各防何【第一】
甲乙丙正弧三角形甲为黄赤交角丙为直角甲乙为黄道弧求乙丙距纬弧则以丙直角为对所知之角其正▯即半径一千万为一率甲角二十三度三十分为对所求之角其正▯三百九十八万七千四百九十一为二率甲乙弧四十五度为所知之边其正▯七百零七万一千零六十八为三率求得四率二百八十一万九千五百八十二为乙丙弧之正▯检表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距纬弧之度也如图丁癸为半径丁子为甲角之正▯乙卯为甲乙弧之正▯乙寅为乙丙弧之正▯丁子癸勾股形与乙寅卯勾股形为同式形故以丁癸与丁子之比同于乙卯与乙寅之比也求甲丙赤道度则以半径一千万为一率甲角二十三度三十分之余▯九百一十七万零六百零一为二率甲乙弧四十五度之正切一千万为三率仍得四率九百一十七万零六百零一为甲丙弧之正切检表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如图丁癸为半径子癸为甲角之余▯午甲为甲乙弧之正切未甲为甲丙弧之正切丁子癸勾股形与午未甲勾股形为同式形故以丁癸与子癸之比同于午甲与未甲之比也求黄道交极圈之乙角则用次形法以甲乙弧四十五度之余▯七百零七万一千零六十八为一率甲角二十三度三十分之余切二千二百九十九万八千四百二十五为二率半径一千万为三率求得四率三千二百五十二万四千六百八十三为乙角之正切检表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交极圈之乙角度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢甲乙弧之余▯即乙己丁次形之丁乙弧之正▯为丁子而甲角之余切即乙己丁次形之己丁弧之正切为丑丁又乙角之正切亦即乙己丁次形之乙角之正切为寅壬而丑丁子勾股形与寅壬癸勾股形为同式形故以丁子与丑丁之比同于壬癸与寅壬之比也此法用乙己丁次形有丁乙边己丁边及丁直角求乙角即与【甲乙余弧】有赤道【甲角余弧】有距。
纬求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角丁乙即如赤道己乙即如黄道己丁即如距纬其八甲乙余弧甲角余弧线所成之勾股皆由乙角而生故其相当之比例皆同也设如黄赤交角二十三度三十分，赤道弧四十二度三十一分二十二秒，求距纬度及黄道度，并黄道交极圈角各防何【第二】
甲乙丙正弧三角形甲为黄赤交角丙为直角甲丙为赤道弧求乙丙距纬弧则以半径一千万为一率甲角二十三度三十分之正切四百三十四万八千一百二十四为二率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正▯六百七十五万八千八百二十一为三率求得四率二百九十三万八千八百一十九为乙丙弧之正切检表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距纬弧之度也如图戊癸为半径丑戊为甲角之正切丙己为甲丙弧之正▯辰丙为乙丙弧之正切丑戊癸勾股形与辰丙己勾股形为同式形故以戊癸与丑戊之比同于丙已与辰丙之比也求甲乙黄道度则以甲角二十三度三十分之余▯九百一十七万零六百零一为一率半径一千万为二率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正切九百一十七万零六百零一为三率仍得四率一千万为甲乙弧之正切检表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如图子癸为甲角之余▯丁癸为半径未甲为甲丙弧之正切午甲为甲乙弧之正切丁子癸勾股形与午未甲勾股形为同式形故以子癸与丁癸之比同于未甲与午甲之比也求黄道交极圈之乙角则用次形法以半径一千万为一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秘之余▯七百三十七万零九十八为二率甲角二十三度三十分之正▯三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率二百九十三万八千八百二十为乙角之余▯检表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交极圈之乙角度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为己庚辛葢甲丙弧之余▯即己庚辛次形之己角之正▯为卯辰而甲角之正▯亦即己庚辛次形之己庚弧之正▯为庚己又乙角之余▯即己庚辛次形之庚辛弧之正▯为庚午而庚午巳勾股形与卯辰癸勾股形为同式形故卯癸与卯辰之比同于庚己与庚午之比也此法用己庚辛次形有己角【甲丙余弧】己庚边【与甲角等】及辛。直角求庚辛边【乙角余弧】即与有黄赤交角有黄道求距纬之理同葢己角即如黄赤交角己庚即如黄道己辛即如赤道庚辛即如距纬其八线所成之勾股皆由己角而生故其相当之比例皆同也设如黄赤交角二十三度三十分，距纬弧一十六度二十二分三十八秒，求黄道度及赤道度，并黄道交极圈角各防何【第三】
甲乙丙正弧三角形甲为黄赤交角丙为直角乙丙为距纬弧求甲乙黄道弧则以甲角二十三度三十分为对所知之角其正▯三百九十八万七千四百九十一为一率丙直角为对所求之角其正▯即半径一千万为二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秘为所知之边其正▯二百八十一万九千五百八十二为三率求得四率七百零七万一千零六十八为甲乙弧之正▯检表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如图丁子为甲角之正▯丁癸为半径乙寅为乙丙弧之正▯乙卯为甲乙弧之正▯丁子癸勾股形与乙寅卯勾股形为同式形故丁子与丁癸之比同于乙寅与乙卯之比也求甲丙赤道度则以甲角二十三度三十分之正切四百三十四万八千一百二十四为一率半径一千万为二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之正切二百九十三万八千八百一十九为三率求得四率六百七十五万八千八百二十一为甲丙弧之正▯检表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如图丑戊为甲角之正切戊癸为半径辰丙为乙丙弧之正切丙己为甲丙弧之正▯丑戊癸勾股形与辰丙己勾股形为同式形故丑戊与戊癸之丙同于辰丙与丙己之比也求黄道交极圈之乙角则用次形法以乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之余▯九百五十九万四千二百六十七为一率甲角二十三度三十分之余▯九百一十七万零六百零一为二率半径一千万为三率求得四率九百五十五万八千四百一十七为乙角之正▯检表得七十二度五十四分三十四秘即黄道交极圈之乙角度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢乙丙弧之余▯即乙己丁次形之己乙弧之正▯为己未而甲角之余▯即乙己丁次形之己丁弧之正▯为巳申又乙角之正▯亦即乙己丁次形之乙角之正▯为辛酉而巳申未勾股形与辛酉癸勾股形为同式形故巳未与巳申之比同于辛癸与辛酉之比也设如黄道弧四十五度，赤道弧四十二度三十一分二十二秒，求黄赤交角及距纬度，并黄道交极圈角各几何【第四】
甲乙丙正弧三角形丙为直角甲乙为黄道弧甲丙为赤道弧求黄赤相交之甲角则以甲乙弧四十五度之正切一千万为一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正切九百一十七万零六百零一为二率半径一千万为三率仍得四率九百一十七万零六百零一为甲角之余▯检表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如图午甲为甲乙弧之正切未甲为甲丙弧之正切丁癸为半径子癸为甲角之余▯午未甲勾股形与丁子癸勾股形为同式形故午甲与未甲之比同于丁癸与子癸之比也求乙丙距纬度则用次形法以甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之余▯七百三十七万零九十八为一率半径一千万为二率甲乙弧四十五度之余▯七百零七万一千零六十八为三率求得四率九百五十九万四千二百六十六为乙丙弧之余▯检表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距纬弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢甲丙弧之余▯即乙己丁次形之己角之正▯为丙辰而甲乙弧之余▯即乙己丁次形之乙丁弧之正▯为乙子又乙丙弧之余▯即乙己丁次形之乙己弧之正▯为乙未而丙辰癸勾股形与乙子未勾股形为同式形故丙辰与丙癸之比同于乙子与乙未之比也此法用乙己丁次形有己角乙丁边及【甲丙余弧】丁直角。【甲乙余弧】求乙己边，即与有黄。【乙丙余弧】赤交角有距纬，求黄。
道之理同葢己角即如黄赤交角己乙即如黄道己丁即如赤道乙丁即如距纬其八线所成之勾股皆由己角而生故其相当之比例皆同也求黄道交极圈之乙角则以甲乙弧四十五度为对所知之边其正▯七百零七万一千零六十八为一率甲丙弧四十二度三十甲丙余弧甲乙余弧乙丙余弧一分二十二秒为对所求之边其正▯六百七十五万八千八百二十一为二率丙直角九十度为所知之角其正▯即半径一千万为三率求得四率九百五十五万八千四百一十六为乙角之正▯检表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交极圈之乙角度也如图甲申为甲乙弧之正▯甲酉为甲丙弧之正▯戌癸为半径戌亥为乙角之正▯甲酉申勾股形与戌亥癸勾股形为同式形故甲申与甲酉之比同于戌癸与戌亥之比也此与有黄道有距纬求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角甲乙为黄道乙丙即如赤道甲丙即如距纬其八线所成之勾股皆由乙角而生故其相当之比例皆同也设如黄道弧四十五度，距纬弧一十六度二十二分三十八秒，求黄赤交角及赤道度，并黄道交极圈角各防何【第五】
甲乙丙正弧三角形丙为直角甲乙为黄道弧乙丙为距纬弧求黄赤相交之甲角则以甲乙弧四十五度为对所知之边其正▯七百零七万一千零六十八为一率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒为对所求之边其正▯二百八十一万九千五百八十二为二率丙直角九十度为所知之角其正▯即半径一千万为三率求得四率三百九十八万七千四百九十一为甲角之正▯检表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如图乙卯为甲乙弧之正▯乙寅为乙丙弧之正▯丁癸为半径丁子为甲角之正▯乙寅卯勾股形与丁子癸勾股形为同式形故乙卯与乙寅之比同于丁癸与丁子之比也求甲丙赤道度则用次形法以乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之余▯九百五十九万四千二百六十七为一率甲乙弧四十五度之余▯七百零七万一千零六十八为二率半径一千万为三率求得四率七百三十七万零一百一十三为甲丙弧之余▯检表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢乙丙弧之余▯即乙己丁次形之乙己弧之正▯为乙未而甲乙弧之余▯即乙己丁次形之乙丁弧之正▯为乙子又甲丙弧之余▯即乙己丁次形之己角之正▯为丙辰而乙子未勾股形与丙辰癸勾股形为同式形故乙未与乙子之比同于丙癸与丙辰之比也求黄道交极圈之乙角则与前第四问有黄道有赤道求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角甲乙为黄道乙丙即如赤道其勾股比例同也设如赤道弧四十二度三十一分二十二秒，距纬弧一十六度二十二分三十八秒，求黄赤交角及黄道度，并黄道交极圈角各防何【第六】
甲乙丙正弧三角形丙为直角甲丙为赤道弧乙丙为距纬弧求黄赤相交之甲角则以甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正▯六百七十五万八千八百二十一为一率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之正切二百九十三万八千八百一十九为二率半径一千万为三率求得四率四百三十四万八千一百零九为甲角之正切检表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如图丙己为甲丙弧之正▯辰丙为乙丙弧之正切戊癸为半径丑戊为甲角之正切辰丙己勾股形与丑戊癸勾股形为同式形故丙己与辰丙之比同于戊癸与丑戊之比也求甲乙黄道度则用次形法以半径一千万为一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之余▯七百三十七万零九十八为二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之余▯九百五十九万四千二百六十七为三率求得四率七百零七万一千零六十八为甲乙弧之余▯检表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢甲丙弧之余▯即乙己丁次形之己角之正▯为丙辰而乙丙弧之余▯即乙己丁次形之乙己弧之正▯为乙未又甲乙弧之余▯即乙己丁次形之乙丁弧之正▯为乙子而丙辰癸勾股形与乙子未勾股形为同式形故丙癸与丙辰之比同于乙未与乙子之比也求黄道交极圈之乙角则与求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角乙丙即如赤道甲丙即如距纬其勾股比例同也设如黄赤交角二十三度三十分，黄道交极圈角七十二度五十四分三十四秒，求黄道度及赤道度并距纬度各防何【第七】
甲乙丙正弧三角形甲为黄赤交角丙为直角乙为黄道交极圈角求甲乙黄道弧则用次形法以乙角七十二度五十四分三十四秒之正切三千二百五十二万四千六百八十三为一率半径一千万为二率甲角二十三度三十分之余切二千二百九十九万八千四百二十五为三率求得四率七百零七万一千零六十八为甲乙弧之余▯检表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢乙角之正切亦即乙己丁次形之乙角之正切为寅壬而甲角之余切即乙己丁次形之丁己弧之正切为丑丁又甲乙弧之余▯即乙己丁次形之丁乙弧之正▯为丁子而寅壬癸勾股形与丑丁子勾股形为同式形故寅壬与壬癸之比同于丑丁与丁子之比也求甲丙赤道弧亦用次形法以甲角二十三度三十分之正▯三百九十八万七千四百九十一为一率乙角七十二度五十四分三十四秒之余▯二百九十三万八千八百二十为二率半径一千万为三率求得四率七百三十七万零九十八为甲丙弧之余▯检表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为己庚辛葢甲角之正▯亦即己庚辛次形之庚己弧之正▯为庚己而乙角之余▯即己庚辛次形之庚辛弧之正▯为庚午又甲丙弧之余▯即己庚辛次形之己角之正▯为卯辰而庚午己勾股形与卯辰癸勾股形为同式形故庚己与庚午之比同于卯癸与卯辰之比也求乙丙距纬弧亦用次形法以乙角七十二度五十四分三十四秒之正▯九百五十五万八千四百一十七为一率半径一千万为二率甲角二十三度三十分之余▯九百一十七万零六百零一为三率求得四率九百五十九万四千二百六十七为乙丙弧之余▯检表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距纬弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢乙角之正▯亦即乙己丁次形之乙角之正▯为辛酉而甲角之余▯即乙己丁次形之己丁弧之正▯为巳申又乙丙弧之余▯即乙己丁次形之己乙弧之正▯为己未而辛酉癸勾股形与巳申未勾股形为同式形故辛酉与辛癸之比同于巳