御制厯象考成上编卷六

御制厯象考成上编卷六

交食厯理一【日食月食合】

交食总论朔望有平实之殊朔望用时求日月距地与地半径之比例日月视径求日月实径与地径之比例地影半径交食总论太隂及于黄白二道之交，因生薄蚀，故名交食。然白道出入黄道南北，太隂每月必两次过交，而或食或否，何也？月追及于日而无距度为朔，距日一百八十度为望，此皆为东西同经。其入交也，正当黄道而无纬度，是为南北同纬。虽入交而非朔望，则同纬而不同经；当朔望而不入交，则同经而不同纬，皆无食。必经纬同度而后有食也。盖合朔时，月在日与地之间，人目仰观与日月一线参直，则月掩蔽日光，即为日食。望时，地在日与月之间，亦一线参直，地蔽日光而生闇影，其体尖圆，是为闇虚。月入其中，则为月食也。按日为阳精，星月皆借光焉。月去日逺，去人近，合朔之顷，特能下蔽人目，而不能上侵日体，故食分时刻南北迥殊，东西异视也。若夫月食，则月入闇虚，纯为晦魄，故九有同观，但时刻有先后耳。至于推步之法，日食须用髙下、南北、东西三差，委曲详密，而月食惟论入影之先后浅深，无诸视差之繁，故先总论交食之理，次论月食，乃及日食。因日食立法较难，故后论加详焉。

如图合朔时月在地与日之间人在地面居甲者见月全掩日居乙者见月掩日之半居丙者但见日月两周相切而不相掩故日食随地不同乃月蔽人日不见日光而日体初无异也如地在日月之间日大地小地向日之面为昼背日之面则生尖影人在影中不见日光为夜望时月入影中而不能借日光全为晦魄故月食为普天同视也朔望有平实之殊日月相防为朔，相对为望。而朔望又有平、实之殊。平朔望者，日月之平行度相防相对也；实朔望者，日月之实行度相防相对也。故平朔望与实朔望相距之时刻，以两实行相距之度为准。盖两实行相距之度，以两均数相加减而得；而两朔望相距之时刻，则以两实行相距之度变为时刻，以加减平朔望而得实朔望。故两实行相距无定度，则两朔望相距亦无定时也。

如图甲为地心即日月本天心乙为月本轮心丙为日本轮心【日月止用本轮者，因明平实之理取其易于辨析也】两轮心俱在甲乙丙及甲乙丁直线上为平朔望而丙为黄道上平朔之度丁为黄道上平望之度如日在本轮之戊月在本轮之己或在本轮之庚俱在甲己戊辛及甲庚壬直线上则为实朔望而辛为黄道上实朔之度壬为黄道上实望之度也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚则日之实行度在辛相对之度在壬而辛丙及壬丁皆为加均乃实行过于平行之度月之实行度朔在癸望在子而癸丙及子丁皆为减均乃实行不及平行之度故以辛丙加均与癸丙减均相并得癸辛弧为两实行相距之度亦即实朔距平朔之度以壬丁加均与子丁减均相并得子壬弧为两实行相距之度亦即实望距平望之度也此日为加均月为减均故日实行在月实行之前为实朔望在平朔望之后必计月得若干时分而后行过癸辛弧及子壬弧始能与日相防相对故以癸辛弧及子壬弧变为时分以加平朔望而得实朔望也若日为减均月为加均则日实行在月实行之后而实朔望在平朔望之前即以实行相距之时分减平朔望而得实朔望其理亦同也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚则日之实行度在辛相对之度在壬而辛丙及壬丁皆为减均乃实行不及平行之度月之实行度朔在癸望在子而癸丙及子丁亦皆为减均乃实行不及平行之度故以辛丙减均与癸丙减均相减余辛癸弧为两实行相距之度亦即实朔距平朔之度以壬丁减均与子丁减均相减余壬子弧为两实行相距之度亦即实望距平望之度也此日之减均大于月之减均故日实行在月实行之后而实朔望在平朔望之前必计月己行过与日相防相对若干时分为辛癸弧及壬子弧故以辛癸弧及壬子弧变为时分以减平朔望而得实朔望也若日之减均小于月之减均则日实行在月实行之前而实朔望在平朔望之后即以实行相距之时分加平朔望而得实朔望其理亦同也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚则日之实行度在辛相对之度在壬而辛丙及壬丁皆为加均乃实行过于平行之度月之实行度朔在癸望在子而癸丙及子丁亦皆为加均乃实行过于平行之度故以辛丙加均与癸丙加均相减余辛癸弧为两实行相距之度亦即实朔距平朔之度也以壬丁加均与子丁加均相减余壬子弧为两实行相距之度亦即实望距平望之度也此日之加均大于月之加均故日实行在月实行之前而实朔望在平朔望之后必计月得若干时分而后行过辛癸弧及壬子弧始能与日相防相对故以辛癸弧及壬子弧变为时分以加平朔望而得实朔望也若日之加均小于月之加均则日实行在月实行之后而实朔望在平朔望之前即以实行相距之时分减平朔望而得实朔望其理亦同也朔望用时太阳与太隂实行相防相对为实朔望，但实朔望之时刻，按诸测验，犹有数分之差【或早或迟，差至一刻】以其犹非用时也。盖实朔望固两曜实防实对之度，而推算时刻则仍以平行所临之位为时，皆依黄道而定。今推平行与实行既有盈缩差，则时刻亦有增减。又时刻以赤道为主，而黄道赤道既有升度差，则时刻亦有进退。故必以本时太阳均数与升度差俱变为时分，以加减实朔望之时刻，为朔望用时，乃与测验脗合。此即日躔时差加减之理也。

求日月距地与地半径之比例太阳太隂距地之逺，近日躔月离地半径差篇言之详矣。顾求地半径差止用最髙最卑中距三限，而交食之日月视径以及影径影差则逐度不同。且太隂在最髙两▯尤髙，太阴在最卑两▯尤卑。交食在朔望，其髙卑皆不及两▯，故欲求日月逐度之髙，必先定最髙最卑中距之距地心线。今依日月诸轮之行，求得太阳在最髙距地心一○一七九二○八【本天半径加本轮半径减均轮半径】其与地半径之比例为一与一千一百六十二【详日躔厯理】中距距地心一○○○六四二一【求均数时并求太阳距地心之邉即得】其与地半径之比例为一与一千一百四十二。最卑距地心九八二○七九二【本天半径减本轮半径加均轮半径】其与地半径之比例为一与一千一百二十一。太阴在最髙朔望时距地心一○一七二五○○【本天半径加负圏半径减均轮半径又减次轮半径又减次均轮半径即得，俱详月离二三均数图】其与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六。中距朔望时距地心九九二○二七三【求初均数时并求太阴距地心之邉内减次均轮半径即得，盖朔望时无二三均但距地心少次均轮半径耳】其与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二【详月离地半径差篇，最髙最卑皆以此为比例】最卑朔望时距地心九五九二五○○【本天半径减负圏半径加均轮半径又加次轮半径减次均轮半径即得】其与地半径之比例为一与五十四又百分之八十四。如求太阳在最髙前后四十度距地心与地半径之比例，则以太阳最髙距地心一○一七九二○八为一率，一千一百六十二为二率，太阳在最髙前后四十度之距地心线一○一三九八九八为三率得四率，一千一百五十七，即当时日距地与地半径之比例也。求月距地之法，仿此。

日月视径日月之径，为食分浅深之原，所关甚大。但人目所见者，非实径，乃视径也。实径为一定之数，而视径则随时不同。盖凡物逺则见小，近则见大。日月之行有髙卑，其去地之逺近，逐日不同，故其视径之小大亦不等。数年以来，精推实测，得太阳最髙之径为二十九分五十九秒，最卑之径为三十一分零五秒，比旧定日径最髙少一秒，最卑多五秒。朔望时，太阴最髙之径为三十一分四十七秒，最卑之径为三十三分四十二秒，比旧定月径最髙多一分一十七秒，最卑少五十八秒。而以日月髙卑比例推算，今数为密，兹将测算之术详着于篇。

测太阳径一法用正表倒表各取日中之影求其髙度两髙度之较即太阳之径也盖正表之影乃太阳上边之光射及表之上邉其所得为太阳上边距地平之髙度倒表之影乃太阳下边之光射及表之下边其所得为太阳下邉距地平之髙度故两髙度之较即太阳之径也一法用仪器测得太阳午正之髙度复用正表测影亦求其髙度两髙度之较即太阳之半径也盖仪器所得者太阳中心之度表影所得者太阳上边之度故两髙度相较即得太阳之半径也一法用中表正表各取日中之影求其髙度两髙度之较即太阳之半径也盖中表系横梁上下皆空太阳上边之光射横梁之下面太阳下边之光射横梁之上面其所生之影必当太阳之中心故以中表所测之髙度与正表所得太阳上边之髙度相较即得半径也一法治一暗室令甚黝黒于室顶上开小圆孔【径一寸或半寸】以透日光孔面顶平不可欹侧室内置平案孔中心悬垂线至案中线正午时日光射于案上必成撱圆形爰従案上对垂线处量至撱圆形之前后两界垂线至前界加孔之半径为前影垂线至后界减去孔之半径为后影乃以垂线【即孔距案面】为一率，前后影。

各为二率半径一千万为三率得四率并查八线表之余切线得前后影之两髙度相减之较即太阳之全径也盖太阳上边之光従孔南界射入至案为撱圆形之前界与正表之理同太阳下边之光従孔北界射入至案为撱圆形之后界与倒表之理同故两髙度之较即为太阳之径也至于前后影必加减孔之半径者因量影时俱对孔之中心起算然前影则自孔之南界入在中心之前而后影则自孔之北界入在中心之后较之中心并差一半径故必须加减半径而后立算也测太阴径一法春秋分望时用版或墙为表以其西界当正午线人在表北依不动之处候太隂之西周切于正午线看时辰表是何时刻俟太阴体过完其东周才离正午线复看时辰表是何时刻乃计太阴过正午线共得防何时刻以时刻变度【每时之四分为一度】内减本时分之太阴行度余即太阴之径也一法两人各用仪器候太阴当正午时同时并测一测其上弧髙度一测其下弧髙度两髙度之较即太隂之径也一法用附近恒星以纪限仪测其距太阴左右两弧之度其两距度之较即太阴之径也以上诸法逐时测量即得太阳太阴自髙及卑之各半径以立表又法不用逐时测量止测得最髙最卑时之两半径相减用其较数与本轮之矢度为比例即可得髙卑间之各半径数也如太阳最髙之径为二十九分五十九秒最卑之径为三十一分零五秒相差一分零六秒化为六十六秒今求距髙卑前后六十度之视径则命本轮径为二千万为一率六十度之矢五百万为二率径差六十六秒为三率得四率一十六秒半以加最髙之径二十九分五十九秒得三十分一十五秒半为最髙前后六十度之视径以减最卑之径三十一分零五秒得三十分四十八秒半为最卑前后六十度之视径也太阴之法并同求日月实径与地径之比例日月地三体，各有大小之比例。日最大，地次之，月最小。《新法厯书》载日径为地径之五倍有余，月径为地径之百分之二十七强。今依其法，用日月髙卑两限各数推之，所得实径之数，日径为地径之五倍又百分之七，月径为地径之百分之二十七弱，皆与旧数大致相符，足征其説之有据，而非诬也。

凡明暗两体相对明体施光暗体受之其背即生黑影若两体同大则其影成平行长圆柱形其径与原体相同其长至于无穷而无尽也如甲图然若明体小暗体大则其影渐大成圆墩形其径虽与原体相同其长至于无穷其底之大亦无穷也如乙图然惟明体大暗体小则其影渐小成尖圆体其径与原体等其下渐小而尽成鋭角如丙图然使日小于地或与地等则地所生之影宜如甲乙两图其长无穷今地影不能掩荧惑何况嵗星以上诸星是地影之长有尽必如丙图而日之大于地也其理明矣又凡人目视物近则见大逺则见小如丁戊与己庚两物同大人目视之成两三角形丁戊近目其两腰短故底之对角大己庚逺目其两腰长故底之对角小若去人目有逺近而视之若等则逺者必大近者必小今仰观日月其径畧等而日去地甚逺月去地甚近则月必小于日也可知矣夫地径小于日而地影之径又渐小于地月过地影则食食时月入影中多厯时刻而后生光则月必小于地影月既小于地影则其必小于地也又何疑焉求日实径之法如图甲为地心乙为日心甲乙为两心相距乙甲丙角为日视半径角乙丙为日半径用甲乙丙直角三角形此形有丙直角有甲角十四分五十九秒三十微为日在最髙之视半径有乙甲边一千一百六十二为日在最髙距地心之数求得乙丙五又百分之七为日实半径即为地半径之五倍又百分之七也求月实径之法仿此地影半径太阳照地而生地影，太阴过影而生薄蚀。凡食分之浅深，食时之乆暂，皆视地影半径之大小，其所系固非轻也。但地影半径之大小，随时变易，其故有二：一缘太阳距地有逺近，距地逺者影巨而长，距地近者影细而短，此由太阳而变易者也；一缘地影为尖圆体，近地麤而逺地细。太阴行最卑，距地近，则过影之麤处，其径大；行最髙，距地逺，则过影之细处，其径小，此由太阴而变易者也。今依太阳在最髙所生之大影为率，而以太阴従髙及卑各距地心之地半径数，求其相当之影半径，为影半径表。复求得太阳従髙及卑所生之各影，各求其太阴在中距所当之影半径，俱与太阳在最髙所生之大影相较，余为影差，列于本表之下。用时以太阴引数宫度查得影半径，复以太阳引数宫度查得影差，以减影半径，即得所求之地影实半径也。如图，甲为地球，乙丙皆为太阳，乙为最髙，丙为最卑。太阳従最髙乙发光，则地影长大为丁己戊；従最卑丙发光，则地影短小为丁庚戊。太阴遇丁己戊大影而在最髙辛，则其所当之影径如辛壬。

在最卑癸，则其所当之影径如癸子。若太阴遇丁、庚、戊，小影而在最髙辛，则其所当之影径如丑寅。在最卑癸，则其所当之影径如卯辰。其两半径之较为辛丑与癸卯，是所谓影差也。求地影半径有二法，一用推算，一用测。

量而推算所得之数，比测量所得之数，常多数分。盖因太阳光大，能侵削地影故也。如甲为地球，乙丙、丙丁为太阳实半径，従乙丁作两线切地球戊己两边，而交于庚，则成戊庚己影。然太阳光芒常溢于原体之外，如辛壬，従辛壬作两线切地球戊己两边而交于癸，则成戊癸己影，而小于戊庚己影。论其实，则推算之数为真；欲合仰观，则测量之数为准。故地影表所列之数，皆小于推算之数也。推算之法，命地半径甲己为一百分，则太阳实半径丙丁为五百零七分【太阳实径】

【为地径之五倍又百分之七，今以地半径为一百分，则太阳实半径为五百零七分】以甲己与丙丁相减，余丙子四百零七。乃以丙子四百零七为一率，太阳在最髙距地心之丙甲一十一万六千二百【即地半径之一千一百六十二倍】为二率，甲己地半径一百为三率，得四率甲庚二万八千五百五十为地影之长。盖丙子甲勾股。

形与甲己庚勾股形为同式形，故其相当各界皆可为比例也。既得甲庚地影之长，乃求得甲庚己角一十二分零二秒。又于甲庚地影之长内减去太阴在中距朔望时距地心之甲丑五千六百七十二【即地半径之五十六倍又百分之七十二】余二万二千八百七十八为丑庚。于是用丑庚寅直角三角形求得丑寅八十有余，又用甲丑寅直角三角形求得甲角四十八分三十四秒，为太阴在中距时所过地影之半径，查地影半径表为四十四分四十三秒，多三分五十一秒。测量之法，如康熈五十六年丁酉八月十七日月食，其实引为二宫三度四十一分零三秒，距地心五十七地半径零百分之四十一，测得纬度在黄道北三十六分一十八秒，月半径为一十六分一十秒，食分为二十三分三十秒。乃以黄道纬度三十六分一十八秒求得白道纬度三十六分二十六秒，为食甚距纬，与食分二十三分三十秒相加得五十九分五十六秒，内减月半径一十六分一十秒，余四十三分四十六秒为地影半径。查地影半径表为四十三分五十四秒，相差八秒，乃本时太阳之影差也【表数乃太阳在最髙之影，今太阳在八宫，故差八秒】如图，子丑寅为黄道，卯辰己为白道，卯子寅己为地影，午丑为地影半径，未申酉为月，未辰为月半径。月行白道，従卯至辰，距地影心丑最近，是为食甚。午酉即为食分，辰戌为黄道纬度，辰丑即白道纬度。用辰丑戌正弧三角形，此形有辰角与黄白交角等，有戌直角，有辰戌边，求得辰丑为食甚距纬。以午酉食分与辰丑距纬相加成亥丑，内减与月半径未辰相等之亥午，余午丑即为地影之半径也。推算所得之数既大于测量所得之数，则太阳光大之能侵削地影可知矣。然不得太阳之光分，虽逐时测量，又有影差杂于其内，则地影之大小终不能得其真。今立法以太阴在中距之地影半径四十四分四十三秒为准【前测月食实引二宫三度近中距，而其影畧与表合，故以中距之地影为准】求太阳之光分，命地半径甲巳为一百分，则太阴在中距朔望时距地心之甲丑为五千六百七十二，丑甲寅角即为四十四分四十三秒。用甲丑寅直角三角形求得丑寅为七十三小余七八，甲寅为五千六百七十二小余四八。又用甲巳寅直角三角形【巳为直角】求得巳甲寅。角为八十。

八度五十九分二十四秒，于象限内减去巳甲寅角，又减去丑甲寅角，余一十五分五十三秒，为卯甲己角。乃用卯甲己直角三角形【已为直角】求得甲卯为一百又千分之一。甲卯内减去与丑寅相等之甲辰，余二十六小余二二一，为辰卯。于是以卯辰寅勾股形【辰寅与甲丑等】与卯甲庚勾股形为比例，得甲庚二万一千六百三十二，即地影之长。又以甲己庚勾股形与丙丁庚勾股形为比例，得丙丁六百三十七，即太阳之光分为地半径之六倍又百分之三十七也。既得丙丁太阳之光分，又得甲庚地影之长，乃于甲庚内减太阴在最髙距地心之甲巳。

五千八百一十六，余己庚。一万五千八百一十六，以甲卯庚勾股形与巳午庚勾股形为比例，得巳午七十三小余一一。又用甲巳午直角三角形，求得甲角四十三分一十三秒，为太阴在最髙所过地影之半径。于甲庚内减太阴在最卑距地心之甲未五千四百八十四，余未庚，一万六千一百四十八，以甲卯庚勾股形与未申庚勾股形为比例，得未申七十四小余六五。又用甲未申直角三角形，求得甲角四十六分四十八秒，为太阴在最卑所过地影之半径，比旧表最髙多一十三秒，最卑少一十二秒。盖旧表固由实测，要亦准于太隂之髙卑。今测太阴之在最髙，较旧数为稍卑，故月径大而影径亦大；太阴之在最卑，较旧数为稍髙，故月径小而影径亦小。然月径约以三十分为十分，影径差一十二秒，食分止差四秒，固不失为密合。况影径随月径而大小，尤不致舛谬也。于是以随时太阴距地心之地半径数各与地影之长相减，以求得地影之半径线，又各求其相当之角，即得太阴随时之影半径，以立表。求影差之法，用太阳在最髙所生之长影，求得太阴在中距时所当之影，半径四十四分四十三秒，为率，而以太阳在最卑所生之短影，亦求得太阴在中距。所当之影半径为四十四分零八秒相差三十五秒，为太阳最髙、最卑两限之影差其余影差俱依此例推之

御制厯象考成上编卷六

钦定四库全书