御制歴象考成上编卷五

御制歴象考成上编卷五

月离歴理太隂各种行度太隂平行度太隂本轮迟疾四限三月食推本轮半径及最髙晦朔▯朢太隂四轮总论求初均数求二三均数两月食定交周黄白大距度及交均视差隐见迟疾太隂各种行度太隂行度共有九种，而随天西转之行不与焉。一曰平行，葢太隂之本天带一本轮，本轮心循本天自西而东，每日平行一十三度有竒，二十七日有余而行天一周，即白道经度也。二曰自行，葢本轮心循白道行自西而东【即平行经度】太隂复依本轮周行自东而西，每日亦行一十三度有竒，防不及本轮心行，而与本轮心之行顺逆参错，人目视之，遂生迟疾，故名自行，以别之。授时厯名为转周，满一周为转终，其所生之迟疾差名为初均数也。三曰均轮行，西人第谷言用一本轮以齐太隂之行，往往与实测未合，因将本轮半径三分之，存其二分为均轮半径，用其一分为均轮半径，均轮循本轮用行自东而西【即自行转周度】太隂复依均轮周行自西而东，每日行二十六度有竒，为轮心行之倍度【均轮心行一度，月行均轮周二度也】其所生之迟疾差即今所用之初均数也。四曰次轮行，葢用本轮均轮推得迟疾之最大差为四度有竒，于朔朢时测之，其数恰合，而于上下▯时测之则不合，其大差至七度有竒，故厯家又于均轮之周复设一轮，循均轮周行，命为次轮，次轮心自西而东，太隂复依次轮周亦自西而东，每日行二十四度有竒，为本轮心距太阳行之倍度【本轮心距太阳行一度，月行次轮周二度也】名为倍离，倍离所生之迟疾差名为次均数也。五曰次均轮行，葢有初均次均以步朔朢，以定两▯，则既合矣，而于两▯前后测之又多不合，故新法厯书复有二三均数表之加减也。细考其表中所列，诚皆实测之数，但总合二三均数加减之而为一表耳。爰思次轮之上必更有一轮以消息乎次均之数，今命之曰次均轮，其心循次轮周自西而东行倍离之度，而太隂则循此轮之周自东而西亦行倍离之度，用其所生之差，以加减次均数，即与太隂两▯前后所行恰合也。六曰交行。葢太隂行白道，出入于黄道之内外，大距五度有竒。其自黄道南过黄道北之防，名曰正交【即如春分自赤道南过赤道北】自黄道北过黄道南之防，名曰中交【即如秋分自赤道北过赤道南】每交之终，不能复依原次，而不及一度有余，逐日计之，退行三分有余，命为两交左旋之度【自东而西也】亦名罗计行度也【正交曰罗防，中交曰计都】七曰最髙行。最髙者，本轮之上半，最逺地心之处。而最髙行者，平行与自行相较之分也。均轮心从最高左旋，防不及于平行，每日六分有竒，即命为最髙左旋之度，亦名月孛行度也。八曰距日行。于每日平行度内，减去太阳之行，为每日太隂距太阳行。二十九日有竒而复与日防，是为朔防。九曰距交行。以每日平行度与每日交行相加，得每日太隂距交度。二十七日有竒而行交一周，名为交周也。要之，太隂之去地甚近，其行最着。诸小轮之设，虽无象可见，而实有数可稽。葢借以推步度数，期与实测相符而已。至于大象寥廓，其或然或不然，则非智计之所能及也。

太隂平行度测太隂平行之法，须用两月食，计其前后相距若干日时及月行天若干周，用其度分为实，中积日时为法，除之即得每日平行之率。葢月之视差甚大，惟月食为月入闇虚，无地心地面之殊，又食甚时正与太阳冲，故将太阳之经度加半周，即太隂之经度，其得数为真也。然所用两月食亦须详审，葢闇虚与月体有小大之分，而行度有迟疾之异，必须择各率均齐之两月食方可用也。其择之之法，第一取两食时之太阳距地等，斯闇虚之大小相等【太阳距地逺则影粗而长，太阳距地近则影细而短，详交食】第二取两食时之太隂距地等，斯月体之大小等，而入影之粗细亦等【闇虚为尖圆体，近地粗，渐逺地渐细以至于无，故太隂距地近则当闇虚之粗处，太隂距地逺则当闇虚之细处，详交食】第三取两食时之自行度等，斯入转之迟疾等，而过影之时刻必等。考之史志所书月食，并无时刻分秒及躔离度数，即西人交食考亦不载月转迟疾，无凭取用。今依新法厯书载西人依巴谷法定为三百四十五平年【平年者三百六十五日无余分】又八十二日四刻【每日九十六刻】或一十二万六千零七日四刻，为两月食各率齐同之距。于时防朢转终皆复其始，计其中积凡为防朢者四千二百六十七，为转终者四千五百七十三。置中积一十二万六千零七日四刻为实，会朢数四千二百六十七为法，除之得防朢策【即朔防】二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒【即二十九日零十分日之五分三○五九三，授时厯同】乃以周天三百六十度为实，防朢策二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒为法，除之得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十六纎二十二忽三十四芒【即一十二度零十分度之一分九○七四七四○五五八授时厯作一十二度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分约之得一十二度一十一分二十七秋二十七微】为每日太隂平行距太阳之度，加太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒，得一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之一分七六三九四七七一三八授时厯作一十三度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分约之得一十三度一十分三十五秒二十四防】为每日太隂平行经度【即白道经度】又置中积一十二万六千零七日四刻为实，以转终数四千五百七十三为法除之，得二十七日五十三刻零三分三十四秒四十防三十纤四十三忽一十二芒【即二十七日零十分日之五分五四五六八授时厯作二十七日五五四六】为转终分。乃以天周三百六十度为实，以转终分二十七日五十三刻零三分三十四杪四十微三十纤四十三忽一十二芒为法除之，得一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒【即一十三度零百分度之六分四九八四三六一二一】为每日太隂自行度。又以每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒与每日自行度一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒相减，余六分四十一秒零四微三十八纤五十四忽五十七芒【即十分度之一分一一四一○四一○一七】为每日月孛之平行。既得以上各种行度每日之平行递加之，得十日百日之平行，递析之，得每时每分之平行以立表【毎日二十四时，每时六十分】

太隂本轮迟疾四限太隂之轮有四而本轮乃迟疾四限之所由生其余皆所以消息迟疾之数故本轮为步月离之主如图甲为地心即本天心乙丙丁戊为白道即太阴之本天己庚辛壬为本轮其心循白道右旋每日行一十三度一十分百奇自乙而丙而丁而戊而复至乙是为平行径度太隂循本轮左旋每日行一十三度零三分有奇自己而庚而辛而壬而复至己是为自行度【一名转周，一名引数】太隂在本轮。之己为最高【即月孛】在本轮。

之辛为最卑最髙最卑之防皆对本轮心与地心成一直线故平行实行同度为迟疾起算之端如太隂由己向庚为迟初限以其背轮心行能损右旋之度故较平行度为迟至半象限后所损渐少迨行满一象限至庚则无所损然而积迟之多正在于庚葢平行在乙而太隂在庚从地心甲计之太阴当本天之癸癸乙弧以本轮半径庚乙为正切为迟差之极大也从庚向辛为迟末限太隂行本轮之下半周顺轮心行其实行渐疾然因有积迟之度方以次相补其实行仍在平行后迨行满一象限至辛为极疾而积迟之度始补足无缺实行与平行乃合为一线故自最髙至最卑半周为迟厯也如太隂由辛向壬为疾初限以其顺轮心行能益右旋之度故较平行度为疾至半象限后所益渐少迨行满一象限至壬则无所益然而积疾之多正在于壬盖平行在乙而太隂在壬从地心甲计之太隂当本天之子子乙弧以本轮半径壬乙为正切为疾差之极大也从壬向己为疾末限太隂行本轮之上半周背轮心行其实行渐迟然因有积疾之度方以次相消其实行仍在平行前迨行满一象限至己为极迟而积疾之度始消尽无余实行与平行复合为一线故自最卑至最髙半周为疾厯也三月食推本轮半径及最髙太隂初均数生于本轮半径，本轮半径不定，则实行不可得而定。新法厯书载西人多録某用汉阳嘉永和间三次月食，推得本轮半径为本天半径十万分之八千七百零六，月过最髙三百一十四度一十七分【阳嘉二年三月朢】西人歌白泥用明正徳嘉靖间三次月食，推得本轮半径为本天半径十万分之八千六百零四，月过最髙一百八十三度五十一分【正徳六年九月朢】迨后西人第谷定本轮半径为本天半径十万分之八千七百，月离表定崇祯戊辰年天正冬至次日子正月过最髙二百零五度三十二分一十六秒，交日表定崇祯戊辰年首朔【即年前十二月朔】月过最髙三十七度三十四分三十四秒。其年首朔距天正冬至次日子正一十四日一十六时二十六分四十六秒，以交日表所定首朔月过最髙之度推其年天正冬至次日子正月过最髙之度，应得二百零五度四十二分四十九秒，比月离表所定多一十分三十三秒。又察其正交行度，两表差至二十余分。今以交食表推步月食，其时刻之早晚，食分之浅深，俱与天行颇合，故月过最髙之度宜以交食表为凖。但用目下三月食推本轮半径，或微大或微小，皆不能合八千七百之数。葢用本轮以推实朢，惟自行当三宫九宫初度之一防方合，而目下所测月食，其自行皆不正当三宫九宫初度之数。用本轮半径以推实朢，既与实测不合，则用实测之实朢以推本轮半径，亦必与原数不合。因假设三月食以明其法，如左。

设如第一食，日躔鹑首宫七度三十五分四十七秒五十三微，月离星纪宫七度三十五分四十七秒五十三微，月行迟末限之初，在本轮右半周之中，如甲。第二食，日躔夀星宫初度，月离降娄宫初度，月行迟初限将半，在本轮右半周之上，如乙。第三食，日躔星纪宫二度五十四分零二秒四十九微，月离鹑首宫二度五十四分零二秒四十九微，月行疾末限之初，在本轮左半周之中，如丙。

第一食距第二食一千一百八十日二十二时一十四分零四秒实行相距八十二度二十四分一十二秒零七微【即星纪宫丁防距降娄宫戊防】之度于第二次月离度内减去第一次月离度，即得】平行相距八十度二十一分一十秒【即星纪宫已防距降娄宫庚防】之度，以每日平行与距日相乘，减去全周，即得】平行小于实行二度零三分零二秒零七微自行相距三百零八度四十七分零七秒二十七微【以每日自行与距日相乘，减去全周，即得】第二食距第三食一千九百一十八日二十三时零五分五十七秒实行相距九十二度五十四分零二秒四十九微【即降娄宫戊防，距鹑首宫辛防之度】平行相距。

八十五度零二十五秒【即降娄宫庚防，距实沈宫壬防之度】平行小于实行七度五十三分三十七秒四十九微自行相距二百三十一度一十二分五十二秒三十三微乃以三月食自行相距度列于一本轮之上立法算之如图，癸为地心，即本天心。丁、戊、己、辛为本天之一弧，己为本轮心。从丁向戊右旋，为平行度。月体从本轮最高子向乙左旋，为自行度。第一食，月在甲，本天平行度在己，实行度在丁。从甲行三百零八度四十七分零七秒二十七微至乙，即第一食距第二食之自行度。第二食月在乙，本天平行度在己，实行度在戊。丁戊弧二度零三分零二秒零七微，即第一食距第二食平行实行之差。从乙行二百三十一度一十二分五十二秒。

三十三微至丙，即第二食距第三食之自行度。第三食月在丙本天平行度在己，实行度在辛。戊辛弧七度五十三分三十七秒四十九微，即第二食距第三食平行实行之差。乙癸线割本轮于丑，从丑防作丑甲、丑丙二线，又作甲丙线，即成丑丙癸、丑甲癸、丑甲丙三三角形。

乃用此三三角形求本天半径与本轮半径之比例，先用丑丙癸三角形求丑丙边，此形有丑角一百一十五度三十六分二十六秒一十六微【以乙丑丙弧二百三十一度一十二分五十二秒三十三防折半即得，葢乙子丙弧为丑界角之倍度，折半得丑外角，与半周相减得丑内角，以乙丑丙弧折半得数亦同，故乙丑丙弧亦即丑角之倍度】有癸角七度五十三分三十七秒四十九微【即戊辛弧之度】即有丙角五十六度二十九分五十五秒五十五微。设丑癸边为一○○○○○○○，求得丑丙边一六四六九八六。次用丑甲癸三角形，求丑甲边。此形有丑角一百五十四度二十三分三十三秒四十三微【以甲丑丙乙弧三百零八度四十七分零七秒二十七防折半即得，葢乙甲弧为丑】

【界角之倍度折半得丑外角与半周相减得丑内角以甲丑丙乙弧折半得数亦同故甲丑丙乙弧亦即丑角之倍度】有癸角二度零三分零二秒零七微【即丁戊弧之度】即有甲角二十三度三十三分二十四秒一十微设丑癸边为一○○○○○○○求得丑甲边八九五三一六末用丑甲丙三角形求丙角此形有丑角九十度【以癸丑丙角与】

【癸丑甲角相加得二百七十度，与三百六十度相减即得】有丑丙边一六四六九八六，有丑甲边八九五三一六，求得丙角二十八度三十一分四十四秒，倍之得五十七度零三分二十八秒，为甲丑弧。以甲丑弧与乙甲弧五十一度一十二分五十二秒三十三微相加，得一百零八度一十六分二十秒。

三十三微为乙丑弧，于是以本轮半径命为一○○○○○○○，各用八线表求其通▯，则乙丑弧之通▯为一六二○八二三六，丑丙弧之通▯为一七五七一五三○，乃用比例法，变先设之丑癸边为同比例数，以先得之丑丙边一六四六九八六与先设之丑癸边一○○○○○○○之比，即同于今所察之丑丙通▯一七五七一五三○，与今所求之丑癸边之比，而得丑癸边一○六六八九○○六。又以乙丑通▯一六二○八二三六折半，得八一○四一一八，为寅丑与丑癸一○六六八九○○六相加，得一一四七九三一二四，为寅癸。

又以乙丑弧一百零八度一十六分二十秒三十三微，折半得五十四度零八分一十秒一十六微，其余▯五八五八六○六，为寅巳成巳寅癸勾股形，乃用勾股求▯法，求得巳癸▯一一四九四二五二七，为本天半径，即得本天半径与本轮半径之比例为一一四九四二。

五二七与一○○○○○○○，若设本天半径为一○○○○○○○，则得本轮半径为八七○○○○。求大阴距最髙之度，则用巳寅癸直角三角形，求得巳角八十七度零四分四十二秒三十微，即卯辰弧加乙卯弧五十四度零八分一十秒一十六微，得一百四十一度一十二分五十二秒四十。

六微与半周相减，余三十八度四十七分零七秒一十四微，为子乙弧，即第二次月食月距最髙之度也。

晦朔▯朢太隂之晦朔▯朢，虽无闗于自行之迟疾，而自行之迟疾，实由于朔朢两▯而得知。其二十七日有奇而一周者，太阴之自行也。其二十九日半强而与太阳相防者，朔策也。其间犹有朢与上下两▯之分焉。葢太隂之体，赖太阳而生光，其向太阳之面恒明，背太阳之面恒晦。而其行则甚速于太阳，当其与太阳相会之时，人在地上正见其背，故谓之朔。朔后渐逺太阳，人可渐见其面，其光渐长。至距朔七日有奇，其距太阳九十度，人可见其半面，太阳在后，太隂在前，其光向西，其魄向东，故名上▯。上▯以后，距太阳愈逺，其光渐满。至一百八十度，正与太阳相朢，人居其间，正见其面，故谓之朢。自朢以后，又渐近太阳，人不能正见其面，其光渐亏，其魄渐生。至距朢七日有奇，其距太阳亦九十度，则又止见其半面，太阳在前，太隂在后，其光向东，其魄向西，故名下▯。下▯以后，距太阳愈近，其光渐消，至复与太阳相会，其光全晦，复为朔矣。

如图甲为地面乙为太阳丙丁戊己皆为太隂如太隂在丙与太阳正会为朔其光向乙从甲视之止见其背故全晦也离太阳而前距九十度至丁为上▯从甲视之见其半面故半明半晦也至距太阳一百八十度至戊正与太阳相朢从甲视之正见其面故全明也及离太阳而后距九十度至己为下▯从甲视之又止见其半面故亦半明半晦也及至于丙而与太阳复防则又全晦而为朔矣太隂四轮总论太隂行度，用四轮推之，而四轮之法，皆系实测而得，非意设也。西人第谷以前，步月离惟用本轮、次轮，葢因朔朢之行有迟疾，故知其有本轮；而两▯之行不同于朔朢，故知其有次轮。其法，次轮与本轮两周相切，太隂行于次轮之上。朔朢时，太隂正当两周相切之防，故云朔朢时太隂循本轮周行；而两▯时，太隂则从两周相切之防行次轮半周，距本轮心最逺，故次轮全径为两▯时大于朔朢时平行实行之极大差。第谷遵其法用之，因不能密合太隂之行，故于本轮上复加一均轮；且因两▯前后之行又不同于两▯，故又加一次均轮。葢用本轮推朔朢时平行实行之极大差为本轮半径，得四度五十八分有余，而徴之实测，惟自行三宫、九宫初度之一防为合，在最髙前后两象限则失之小，在最卑前后两象限则失之大。故第谷将本轮半径三分之，存其二分为本轮半径，取其一分为均轮半径，用求平行实行之差为初均数，乃密合于天。至于两▯时平行实行之极大差七度二十五分有余，虽为新本轮半径并均轮半径，仍加次轮全径之数，然即旧本轮半径与次轮全径相并之数也。其次均轮行于次轮，即如初均轮之行于本轮，但所行之度不同耳【初均轮行为引数之度，次均轮行为倍离之度】第谷以次轮设于地心，又设不同心之天，其心循次轮周行，而本轮心则循不同心天行，初均轮则循本轮周行。夫用不同心天与用小轮理本相通，但两法合讲，殊觉纷纭，不如専用一法观之为便。至于两▯前后有二三均数之加减而不言其由，次均轮而生，今并悉其根源，増一负均轮圈，移初均轮心，使行于此，则次轮心即行于初均轮，而次均轮心亦得行于次轮。葢负均轮圏半径乃新本轮半径加一次轮半径之分。朔朢时太隂在次轮之最近防，又在次均轮之下防，而次均轮心又必常在次轮周，故朔朢时止用初均轮，不用次轮及次均轮也。两▯时太隂在次轮之最逺防，又在次均轮之上防，而次均轮心亦必在次轮之最逺防，故两▯时止用次轮，不用次均轮也。至于朔朢前后及两▯前后，太隂在次轮之逺近二防之间，又在次均轮之上下二防之间，而次均轮心亦不在次轮之逺近二防，故有次轮与次均轮之相差，而或加或减也。要之，本轮者，推本天之髙卑；均轮者，所以消息本轮之行度；次轮者，定朔朢两▯之逺近；次均轮者，又所以分别朔朢两▯前后之加减。故本轮行度合初均轮之倍引，而生初均数，分髙卑左右，而为朔朢之加减差也。次轮行度合次均轮之倍离，而生二三均数，分逺近上下，而为两▯及两▯前后之加减差也。是故非騐诸实测，无以知四轮之妙，而明于四轮之用，则于太隂迟疾之故思过半矣。西人第谷以前所用本轮次轮法，如甲为地心，乙丙丁为本天之一弧，丙为本轮心，戊己庚为本轮，戊为最髙庚为最卑，辛为次轮心，辛壬为负次轮之圈，己为次轮最近，癸为次轮最逺，如次轮周。

在本轮最髙后六十度相切于己朔朢时，太隂在己，从地心甲作己甲实行线，割本天于子，子丙弧为平行实行之差。

故用丙甲己三角形求得甲角，即子丙弧为本轮所生初均数也。上下▯时，太隂则从次轮之巳防，厯丑至癸，从地心甲作癸甲实行线，割本天于寅，寅丙弧。

为平行实行之差，故用丙甲癸三角形，求得甲角，即寅丙弧为本轮所生初均及次轮所生次均之共数也【子丙弧为初均，寅子弧为次均】第谷用此法求得均数，征之实测，在最髙前后两象限，其数失之小；在最卑前后两象限，其数失之大，故将本轮半径三分之存其二分，为本轮半径，取其一分为均轮，半径将次轮设于地心，又设不同心之天，其心循次轮周行，而本轮心则循不同心天行，均轮心循本轮周行。如甲为地心，乙丙丁为本天之一弧，丙为本轮心，戊己庚为旧本轮，辛壬癸为新本轮，辛丙半径为戊丙半径三分之二，戊子丑为均轮，戊辛半径为戊丙，半径三分之一，本轮心循本天右旋，均轮心循本轮左旋，甲寅卯辰为次轮，本天心循甲寅卯辰右旋，半月一周，朔朢时，本天心与地心同在甲，两▯时，本天心在卯，离地心极逺，总之，朔朢以外，本天心俱离甲防，本天皆为不同心之天矣。

又第谷添设初均轮新法所推均数与本轮旧法所生均数最大之差有九分五十余秒，在最高前后两象限为大，最卑前后两象限为小。如旧法太隂距最髙戊后六十度在已，则丙甲巳角为初均数；若新法则均轮心距最髙辛后六十度在壬，太隂则距均轮之近防丑行。

一百二十度至子，而丙甲子角为初均数，比旧法初均数丙甲巳角大一，已甲子角其在最髙前之均数亦如之。又如旧法，太隂距最卑庚后六十度在已，则丙甲已角为初均数；若新法则均轮心距最卑癸后六十度在壬，太隂则距均。

轮之近防，丑行一百二十度，至子而丙甲子角为初均数，比旧法初均数丙甲已角小一子甲已角，其在最卑前之均。

数亦如之。然第谷所増均轮法，极有理，而所设不同心天与小轮合用，则不便于观。今将次轮置于均轮之周，其心循均轮周右旋。又将次轮半径与新本轮半径相加为半径，作负均轮之圈，均轮心则循负均轮圈左旋。又増一次均轮，以明二三均数之根。用此法求各均数，皆与第谷之法无异。依第谷所添初均轮，并新増次均轮，合本轮、次轮，共为一图。如甲为地心，乙丙丁为本天之一弧，丙为本轮心，戊己庚为旧本轮，辛壬癸为新本轮，巳子丑为原均轮，寅卯为新増负均轮之圈，其半。

径为次轮半径与新本轮半径相加之数，乃移均轮心于负均轮圈卯作辰，巳午均轮与巳子丑原均轮等，辰为逺防，午为近防。用均轮心行负均轮圈寅卯弧之倍度【即本轮周辛壬弧之倍度】从均轮近点午数至巳，以巳为心作未申子次轮，其未子全径与均轮辰午全径平行，未为逺。

防子为近防，又以次轮周近防子为心，作酉戌亥次均轮。酉为上防，戌为下防。如均轮心循负均轮圈，从最髙寅厯卯左旋，则次轮心循均轮周，从最近午厯巳右旋行。均轮心距最髙之倍度，次均轮心又循次轮周，从最近子厯申右旋行。太隂距太阳之倍度，太阴则循次均轮周从最下戌厯亥左旋亦行，距太阳之倍度，朔朢时太隂必在次均轮之最下戌，次均轮心必在次轮周之最近子【即次轮周与巳子丑原均轮周相切之防】从地心甲作子甲实行线，即成丙甲子三角形，其甲角为初均数。葢朔朢时太隂虽在次均轮之周，然必在下防，而次均轮心又必在次轮周与均轮周相切之防，故求朔朢时之初均数，止用均轮，不用次轮也【太隂在次均轮之戌防，虽在子防之下，然俱在实行线上，其经度无异也】两▯时，次均轮心从次轮周之最近子行至最逺未，太阴从次均轮周之最下戌行至最上酉，从地心甲作酉甲实行线，成子甲未三角形，其甲角为二均数，葢两▯时太隂必在次均轮周之上防，而次均轮心又必在次轮周之逺防，故两▯时止用次轮求二均数，不用次均轮也【太隂在次均轮周之酉点虽高于未点，然俱在实行线上，其经度无异也】如在朔朢之后，两▯之前，次均轮心从次轮周之最近子行至申，太隂从次均轮周之最下戌行至亥，从地心甲至次均轮之最上酉作酉甲过心线复从地心甲至次均轮之太隂所在亥作亥甲实行线则成子甲申与亥甲申两三角形其子甲申角为二均数亥甲申角为三均数两角相减余子甲亥角为二三均数也如在朔朢之前两▯之后次均轮心从次轮周之最近子厯最逺未行至申太隂从次均轮周之最下戌厯最上酉行至亥，从地心甲至次均轮之最上酉作酉甲，过心线复从地心甲至次均轮之太隂所在亥作亥甲实行线，则成子甲申与申甲亥两三角形。其子甲申角为二均数，申甲亥角为三均数，两角相加得子甲亥角为二三均数也。求初均数及二三均数法俱见后求初均数太隂之行，因迟疾而生加减差，朔望用之者，名为初均数。自最髙至最卑六宫为迟厯，为减差；自最卑至最髙六宫为疾厯，为加差。葢因最髙前三宫与后三宫相当，最卑前三宫与后三宫相当，其差数皆相等，故求得最髙后六宫之差数，而最卑后六宫之差数，视此但加减不同耳【如最髙前三十度与最髙后三十度，其差数必等，但在最髙前者为加差，最髙后者为减差也】授时厯名为迟疾差，其最大者为五度四二九三四四，以周天三百六十度，每度六十分约之，得五度二十一分零五秒。朔朢两▯同用，今求得最大之差四度五十八分二十七秒【即四度零十分度之九分七四二】惟朔朢为然，名之初均数者，所以别于朔朢以外之二三均数也。如图，甲为地心，即本天心；乙丙丁为本天之一弧，丙甲半径为一千万；戊己庚为本轮，戊丙半径为五十八万；戊为最。

髙庚为最卑，辛壬癸为均轮，辛戊半径为二十九万，辛为最逺【去本轮心逺也】癸为最近【去本轮心近也】本轮心循本天右旋，自乙而丙而丁，每日行一十三度一十分三十五秒，即白道经度，均轮心循本轮左旋，自戊而已而庚，每日行一十三度零三分五十四秒，即自行引数。太隂则循均轮右旋，自癸而壬而辛，每日行二十六度零七分四十八秒，为倍引数也。如均轮心在本轮之最髙戊，为初宫初度，则太隂在均轮之最近癸，从地心甲计之，成一直线，无平行实行之差，故自行初宫初度无均数也如均轮心从本轮最髙戊向己行一百八十度至最卑庚，为六宫初度，则太隂。

从均轮最近癸，厯壬、辛行一周，复至癸。从地心甲计之，亦成一直线，无平行实行之差，故自行六宫初度，亦无均数也。如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子，为一宫初度，则太隂从均轮最近癸行六十度至丑【丑癸弧为戊子弧之倍度】从地心甲。

计之太隂当本天之寅，寅丙弧为实行不及平行之度，乃用丙癸卯直角三角形求癸卯、卯丙二边。此形有卯直角，有丙角三十度，则癸角必六十度。有癸丙本轮半径之半二十九万【于子丙半径五十八万内减去子癸半径二十九万即得】求得癸卯边一十四万五千，卯丙边二十五万一千一百四十七。以卯丙边与丙甲半径一千万相加。

得一千零二十五万一千一百四十七为卯甲边，以癸卯边三因之，得四十三万五千为丑卯边【辛丑癸三角形与丙卯癸三角形为同式形，葢癸为交角，丑角立于圜界之一半为直角，与卯角等，则辛角必与丙角等，是三角俱等也。辛癸为均轮全径，为癸丙之二倍，则丑癸亦必为癸卯之二倍，故三因癸卯即得丑卯也】于是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度二十五分四十七秒，即寅丙弧为太隂自行一宫初度之初。

均数是为减差，以减于平行，而得实行也【凡求得初均角，即求得丑甲边，为太隂距地心数，存之为后求二均之用，余仿此】若均轮心从最髙戊，向己厯庚行三百三十度，至辰为十一宫初度，则太隂从均轮最近癸行一周，复自最近癸厯辛行三百度至己【癸巳弧为戊辰弧之倍度】从地心甲计之，太隂当本天之午，午丙弧与寅丙弧等，故自行十一宫初度之初均。

数与一宫初度等，但为实行过于平行之数，是为加差，以加于平行而得实行也。用此法求得最髙后三宫之减差【初宫初度至二宫末度】即得最髙前三宫之加差【九宫初度至十一宫末度】如均轮心从本轮最髙戊行九十二度至未为三宫二度，则太隂从均轮最近。

癸歴辛行一百八十四度至申，从地心甲计之，太隂当本天之酉，酉丙弧为实行不及平行之度，乃用丙癸戌直角三角形求癸戌、丙戌二边。此形有戌直角，有丙角八十八度，则癸角必二度。癸丙边为二十九万，求得癸戌边二十八万九千八百二十三，丙戌边一万零一百。

二十一，以丙戌边与丙甲边相减，余九百九十八万九千八百七十九，为戌甲边。以癸戌边三因之，得八十六万九千四百六十九，为申戌边。于是用甲申戌直角三角形，求得甲角四度五十八分二十七秒，即酉丙弧为太隂自行三宫。

二度之初，均数是为极大之减差，以减于平行，而得实行也。若均轮心从最髙戊厯庚行二百六十八度至亥，为八宫二十八度，则太隂从均轮最近癸行一周，复自癸厯壬行一百七十六度至子，从地心甲计之，太隂当本天之丑，丑丙。

弧与酉丙，弧等故自行八宫二十八度之初，均数与三宫二度等，但为实行过于平行之数，是为极大之加差，以加于平行而得实行也。用此法求得最卑前三宫之减差【三宫初度至五宫末度】即得最卑后三宫之加差【六宫初度至八宫末度】

求二三均数太隂之加减差，朔朢以外用者，名为二均、三均数。其二均数之生于次轮全径，与三均数之生于次均轮半径，亦犹初均数之生于本轮及均轮半径也。故欲求二均、三均之数，必先定次轮及次均轮之径；而欲定次轮及次均轮之径，又须先测二均及三均之数也。厯家于上下▯，当自行三宫或九宫时，累测之【惟此时太隂距本轮心甚逺，平行视行之差极大】其极大之均数得七度二十五分四十六秒，查其切线得一百三十万四千，内减去本轮均轮两半径之共数八十七万余，四十三万四千，半之得二十一万七千，即次轮之半径也。于两▯及朔朢之间【约太隂距太阳四十五度时】当自行三宫或九宫时，累测之，其均数常与推算不合，差至四十一分零二秒，是即次均轮所生之三均数也。依法求其半径，得一十一万七千五百。既定次轮与次均轮之半径，乃逐度求其二均、三均之数，复用三均数以加减乎二均数，是为二三均数，用以推步月离，乃与测验脗合矣。如图，甲为地心，即本天心。乙丙丁为本天之一弧，丙甲为本天半径，戊丙己为本轮全径，戊为最髙，己为最卑，庚丙辛为负均轮圈全径【省曰负圈】庚为最髙，辛为最卑，壬庚癸为均轮全径，壬为最逺，癸。

为最近，子癸丑为次轮全径，子为最逺，丑为最近，寅丑卯为次均轮全径，寅为最上，卯为最下，本轮心从本天冬至度右旋【本天上与黄道冬至相对之度也】为经度，均轮心从负圈最髙左旋【即同本轮最髙】为引数【即自行度】次轮心从均轮最近右旋为倍引数，次均轮心从次轮最近右旋行倍离之度【即太隂距太阳之倍度】太隂从次均轮最下左旋。

亦行倍离之度，如均轮心在负圈最髙，庚为自行初宫初度，则次轮心在均轮之最近，癸又当朔朢时，则次均轮心在次轮之最近，丑太隂在次均轮之最下，卯从地心甲计之，同在一直线，即平行实行合而为一，故无均数之加减也。如均轮心在负圈最卑，辛为自行六宫初度，则次轮心在均轮之最近，癸又当朔朢时则次均轮心在次轮之最近丑太隂在次均轮之最下卯从地心甲计之亦同在一直线即平行实行合而为一故亦无均数之加减也如均轮心从最髙庚行九十度至辰为自行三宫初度，次轮心则从均轮最近癸行一百八十度至最逺壬，朔朢时次均轮心常在次轮周之最近丑，太隂常在次均轮周之最下卯，从地心甲计之，仍见太隂在丑【太隂虽在丑点之下，因在一直线，故视之如在一处也】其实行不及平行之度为丙甲丑。

角四度五十八分二十秒，即初均数。其切线丑丙八十七万，即本轮均轮两半径之共数也。两▯时，次均轮心常在次轮周之最逺子，太隂常在次均轮周之最上寅从地心甲计之，仍见太隂在子【太隂虽在子点之上，因在一直线，故视之如在一处也】其实行不及平行之度，为丙甲子角七度二十五分四十五秒，内减初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒，余二度二十七分二十五秒，即丑甲子角，命为二均数。丙甲子角之切线子丙得一百三十万四千内减丑，丙本轮均轮两半径八十七万余，丑子线四十三万四千，是为次轮之全径也。此初均数为减差，二均数亦为减差。葢朔朢之实行，丑点在平行丙点之后【本轮心丙循本天右旋，故以左为前，右为后，凡言前后者皆仿此】而两▯时之实行，子点仍在丑点之后，故于平行内减去初均数，丙甲丑角。

即得朔朢时之实行，复减去二均数，丑甲子角，始得两▯时之实行也。若均轮心从最髙行二百七十度至辰，为自行九宫初度；次轮心则从均轮最近癸行一周，复行一百八十度至最逺壬。而当两▯之时，则初均数丙甲丑角与二均数丑甲子角皆与三宫初度之数相等，但实行俱在平行之前，故俱为加差以加于平行而得实行也如均轮心从最髙庚行九十度至辰为自行三宫初度，次轮心从均轮之最近癸行一百八十度至最逺壬，时当朔与上▯之间，或朢与下▯之间，次均轮心从次轮最近，丑行九十度至巳，太隂则从次均轮最下，卯行九十度至午，其丙甲丑角四度五十八分二十秒，为初均数，丑甲边一千零三万七千七百七十四，为次轮最近点距地心之数【求丑甲边法见前求初均数篇】乃用丑甲己三角形求二均数。

此形有丑甲边一千零三万七千七百七十四，有丑己边三十万六千八百八十四【即次轮九十度之通▯，以半径一千万为一率，九十度之通▯一千四百一十四万二千一百三十六为二率，次轮半径二十一万七千为三率，求得四率三十万六千八百八十四，即次轮九十度之通▯】有丑角四十九度五十八分二十秒【丙甲丑直角形，以丙直角与甲角相加得九十四度五十八分二十秒为壬丑甲角，内减去壬丑己角四】

【十五度余四十九度五十八分二十秒为巳丑甲角】求得丑甲巳角一度二十二分零五秒，与初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒相加，得丙甲巳角六度二十分二十五秒，为实行不及平行之度。然太隂不在巳而在午，于时测得实行不及平行之度为五度三十九分二十三秒，相差四十一分。

零二秒，即丙甲巳角大于丙甲午角之午甲巳角，命为三均数。乃用午甲巳直角三角形，求次均轮之半径。此形有巳甲边九百八十四万二千六百二十二【用丑巳甲三角形求之而得】有己直角，有甲角四十一分零二秒，求得己午边一十一万七千五百，是为次均轮之半径也，此初均。

数为减差，二均数亦为减差，而三均数转为加差，故于二均数内减去三均数，余四十一分零三秒，即丑甲午角为二三均数，仍为减差【凡二均与三均加减异者，相减为二三均数，仍从大数，如二均大于三均则从二均，三均大于二均则从三均】葢次轮之最近丑点在平行丙点之后，次均轮心巳点又在最近丑点之后，而太隂午点却在次均轮心巳点之前，故以二均与三均相减，余丑甲午角为二三均数，于平行内减去初均数丙甲丑角，复减去二三均数丑甲午角，始得本时之实行也。若均轮心从最髙庚行二百七十度至辰为自行九宫初度，次轮心从均轮最近癸，行一周，复行一百八十度，至最逺壬，而当上▯与朢之间，或下▯与朔之间，则初均数丙甲丑角，及二三均数丑甲午角，皆与三宫初度之数相等，但实行俱在平行之前，故俱为加差。

以加于平行而得实行也如均轮心从最髙庚行一百二十度至未，为自行四宫初宫；次轮心从均轮最近癸行二百四十度至申。此时若太隂距太阳一百一十度，为上▯后一日余，则次均轮心从次轮最近丑行二百二十度至酉，太隂亦从次均轮最下卯行二百二十度至戌，其丙甲丑角四度二十二分一十九秒为初均数，丑甲边九百八十八万三千七百六十为次轮最近点距地心之数，乃用丑甲酉三角形求二均数，此形有丑甲边九百八十八万三千七百六十，有丑酉边四十万七千八百二十七【次轮丑酉弧一百四十度之通▯】有丑角八十四度二十二分一十九秒【丙甲亥三角形，以甲丙两角相并与亥外角等。丑申子次轮全径原与癸未壬均轮全径平行，则申丑亥角与丑亥丙角为平行线内两尖交错之角，其度必等。故以丙甲亥角四度二十二分一十九秒与甲丙亥角六十度相加，得六十四度二十二分一十九秒，即为申丑亥角。又酉丑子为界角，对酉子弧四十度，则酉丑子角必二十度，与申丑亥角相加得八十四度二十二分一十九秒，即为酉丑甲】

【角】求得丑甲酉角二度二十一分四十秒，为二均数。又求得酉甲边九百八十五万一千五百九十五，复用酉甲戌三角形，求三均数。此形有酉甲边九百八十五万一千五百九十五，有酉戌边一十一万七千五百【次均轮半径】有酉角一百四十度【即次均轮戌卯弧】求得酉甲戌角二十六分零七秒为三均数也，此二均、三均并为减差，故以二均与三均相加，得二度四十七分四十七秒为二三均数，仍为减差【凡二均与三均加减同者相加为二三均数，余仿此】葢次轮之最近丑点与次均轮心酉点俱在平行丙点之后，而太隂戌点又在次均轮心酉点之后，故以二均与三均相加。

得丑甲戌角为二三均数，于平行内减去初均数丙甲丑角，复减去二三均数丑甲戌角，始得本时之实行也。若均轮心从最髙庚行二百四十度至未，为自行八宫初度；次轮心从均轮最近癸行一周，复行一百二十度至申，而太隂距太阳七十度为上▯，前一日余则次均轮心从次轮最近丑行一百四十度至。

酉太隂亦从次均轮最下卯行一百四十度至戌其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲戌角皆与四宫初度之数相等但实行俱在平行之前，故俱为加差，以加于平行而得实行也。如均轮心合朔时，在本轮之辰，距最卑辛十五度余，则次轮心在均轮之己，距均轮最近癸三十一度余，次均轮心则在次轮，最近丑太隂在次均轮最下卯，迨朔后一日余，本轮心从本天合朔后行十六度至丙，则均轮心亦从本轮辰行十五度余至最卑辛，为自行六宫初度，次轮心亦从均轮己行三十一度余。

至最近癸次均轮心从次轮最近丑行三十二度至午太隂亦从次均轮最下卯行三十二度至未则无初均数乃用癸甲午三角形求二均数此形有癸甲边九百四十九万三千【于丙甲半径一千万内减去负圈半径丙辛七十九万七千余辛甲九百二十万三千最加均轮半径癸辛二】

【十九万即得】有癸午边二十一万七千，有癸角一百四十八度，求得癸甲午角四十分五十一秒，为二均数。又求得午甲边九百六十七万七千五百零七，复用午甲未三角形，求三均数。此形有午甲边九百六十七万七千五百零七，有午未边一十一万七千五百，有午角三十二度。求得午甲未角二十二分二十一秒。

为三均数也。此二均、三均并为加差。以二均与三均相加，得一度零三分一十二秒，为二三均数，仍为加差。葢次轮之最近丑点与平行内点在一直线上，平行即实行，故无初均数。而次均轮心午点在平行丙点之前，太隂未点又在午点之前，故以二均与三均相加，得丙甲未角为二三均数，以加于平行，即得本时之实行也，若均轮心在最卑，辛而太隂距太阳三百四十四度，为朔前一日余，则二三均数，丙甲未角与朔后一日余之数相等，但实行在平行后，故为减差，以减于平行而得实行也。

如均轮心过最卑辛行五十度至午为自行七宫二十度则次轮心从均轮最近癸行一百度至未而太阴距太阳一百三十五度为朢，前三日余则次均轮心从次轮最近丑行二百七十度至申，太隂亦从次均轮最下卯行二百七十度至酉，其丙甲丑角三度五十三分零六秒为初均数，丑甲边九百八十三万六千一百九十五为次轮最近点距地心之数，乃用丑甲申三角形求二均数。

此形有丑甲边九百八十三万六千一百九十五，有丑申边三十万六千八百八十四【次轮丑申弧九十度之通▯】有丑角八度五十三分零六秒【丙甲戌三角形，以丙甲两角相并与戌外角等，丑未子次轮全径原与癸午壬均轮全径平行，则丙戌丑角与戌丑未角为平行线内两尖交错之角，其度必等，故以丙甲戌角三度五十三分零六秒与甲丙戌角五十度相加得五十三度五十三分零六秒为戌丑未角，内减去未丑】

【申角四十五度余八度五十三分零六秒为申丑甲角也】求得丑甲申角一十七分零六秒，为二均数。又求得申甲边九百五十二万八千九百二十，复用申甲酉三角形求三均数。此形有申甲边九百五十二万八千九百二十，有申酉边一十一万七千五百，有申角九十度，求得申甲酉角四十二分二。

十三秒为三均数也。此初均数为加差，二均数亦为加差，而三均数转为减差，故于三均数内减去二均数，余二十五。

分一十七秒为二、三均数转为减差【三均大于二均故从三均】葢次轮之最近丑点与次均轮心申点俱在平行丙点之前，而太隂酉点却在次轮最近丑点之后，故以二均与三均相减，余丑甲酉角，为二三均数。于平行外加初均数丙甲丑角，复减去二三均数丑甲酉角，始得本时之实行也。若均轮心未至最卑辛五十度，在午为自行四宫十度，而太隂距太阳二百二十五度，为朢后三日余，其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲酉角皆与七宫二十度之数相等，但初均数为减差，二、三均数为加差。以初均数减于平行，复以二、三均数加之，而得实行也。如均轮心从最卑辛行一百二十度至辰，为自行十宫初度，则次轮心从均轮最近癸行二百四十度至己，而太隂距太阳三百二十度，为下▯后四日，则次均轮心从次轮最近丑行一周复行二百八十度至午，太隂亦从次均轮最下卯行一周复行二百八十度至未。其丙甲丑角四度一十四分五十一秒为初均数，丑甲边一千零一十七万二千九百四十一为次轮最近点距地心之数，乃用丑甲午三角形求二均数。此形有丑甲边一千零一十七万二千九百四十一，有丑午边二十七万八千九百七十【次轮丑午弧八十度之通▯】有丑角七十四度一十四分五十一秒【丙申甲三角形，以丙甲两角相并与申外角等，丑巳子次轮全径原与癸辰壬均轮全径平行，则己丑甲角与壬申丑角为平行线之内外角，其度必等，故以申丙甲角一百二十度与丙甲申角四度一十四分五十一秒相加，得一百二十四度一十四分五十一秒，即为己丑甲】

【角内减去己丑午角五十度，余七十四度一十四分五十一秒，为午丑甲角也】求得丑甲午角一度三十一分二十三秒，为二均数。又求得午甲边一千零一十万一千六百一十七，复用午甲未三角形求三均数。此形有午甲边一千零一十万一千六百一十七，有午未边一十一万七千五百，有午角八十度，求得午甲未角三十九分二十七秒，为三均数也。此初均数、二均数俱为加差，而三均数为减差，故于二均数内减去三均。

数余五十一分五十六秒，为二三均数，仍为加差。葢次轮之最近丑点与次均轮心午点俱在平行丙点之前，而太隂未点却在次均轮心午点之后，故以二均与三均相减，余丑甲未角，为二三均数。于平行外加初均数丙甲丑角，复加二三均数丑甲未角，即得本时之实行也。若均轮心在最髙庚后六十度，为自行二宫初度，而太隂距太阳二百二十度，为下▯前四日，其初均数丙甲丑角。

及二、三均数丑、甲未角加与十宫初度之数相等，但实行在平行之后，故俱为减差，以减于平行而得实行也。

两月食定交周白道与黄道斜交，月行天一周，必两次过交，而交无定处，每一交之中，退天一度有余，故每日太隂距交行度常多于每日平行经度，其较即为每日交行度。测法亦择用两月食，其两食必须太阳之距最髙等，太隂之自行度等，食分等，食在阳厯或在隂厯亦等【黄道南为阳厯，黄道北为隂厯】乃可推月行若干交周而复于故处。西人依巴谷用前法推得四百四十一平年又二百一十二日九十四刻零五分一十三秒为朔策，五千四百五十八交周，五千九百二十三，因定太隂每日距交得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之二分二九三五○三二六九三】与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒相减，余三分一十秒三十八微二十四纤【即百分度之五分二九五五五五五五一，授时厯作百分度之五分二三六，以周天三百六十度约之得百分度之五分一六○七】为两交每日左旋之度也。今择用两月食以明其法，如左第一食，顺治十三年丙申十一月庚申朢，子正后一十八时四十四分一十五秒，月食一十五分四十七秒，在阳厯日躔星纪宫一十度三十九分，在最卑后三度四十九分，于时月自行为三宫二十七度四十六分。第二食，康熙十三年甲寅十二月丙午朢，子正后三时二十三分二十六秒，月食一十五分五十秒，在阳厯日躔星纪宫二十一度五十二分，在最卑后一十四度二十一分，于时月自行为三宫二十五度二十四分【两次月食太阳距最髙差一十度余，然地景之大小无异，月自行差二度半，食分差三秒，所差甚微，俱可勿论】以上两次月食相距中积二百二十三月，乃用朔策定数五千四百五十八为一率，交终定数五千九百二十三为二率【此二数依巴谷所定】二百二十三月为三率，得四率二百四十一又五千四百五十八分之五千四百五十一，可收作二百四十二【差千分之一可以不论】为两次月食相距之交终数。又以两次月食相距中积六千五百八十五日零八时三十九分一十秒，与每日太隂平行经度相乗，以交终数二百四十二除之，得一百二十九万零八百一十二秒，小余八七九五九八，为每一交行度，与周天一百二十九万六千秒相减，余五千一百八十七秒，小余一二○四○二，为每一交退行度。又以交终数除两次月食相距中积日分，得二十七日二一二二三三，为交周日分。乃以交周日分除每一交退行度，得三分一十秒三十七微，为两交每日退行度，与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微相加，得一十三度一十三分四十五秒三十八微，为太隂每日距交行度，比旧数止少一微，今仍用旧数。各以日数乘之，得十日、百日之行度，以时分除之，得每时每分之行度，以立表。

黄白大距度及交均白道与黄道相距之纬曰大距度，而交均者乃两交平行与自行之差，是二者常相因也。葢相距之度时少时多，而自行之度有迟有疾，故必测得距度极多极少之数，而后交行之迟疾可推测。大距之法，推得月离黄道鹑首宫初度，又在黄道北【月在黄道北则近天顶而地半径差最防可以勿论】而距交适足九十度时，俟至子午线上测之，得地平髙度，乃于髙度内减去赤道髙及黄赤距纬度，其余即为黄白大距度也。厯家用此法测得朔朢时之大距为四度五十八分三十秒【即四度零十分度之九分七五】上下▯时之大距为五度一十七分三十秒【即五度零十分度之二分九一六，授时厯无分，朔朢两▯皆六度，以周天三百六十度，每度六十分约之，得五度五十四分三十九秒】既得二数，乃用弧三角形法推得逐日之大距及交均，以立表。

如图甲为黄极乙丙丁戊为黄道用朔朢与上下▯两距度相加折半得五度零八分为黄白大距之中数取中数为半径如己甲作己庚辛壬圈为白极绕黄极本轮又取两距度之较数一十九分折半得九分三十秒为半径如己癸作癸子丑寅圈为负白极均轮其心循己庚辛壬本轮左旋【从己向庚】每日行三分。

一十秒有余白极则循癸子丑寅均轮左旋【从癸向子】行。

倍离之度半月一周如癸子丑寅均轮心在己朔朢时白极在癸白道交黄道于丙于戊其卯乙弧为大距四度五十八分三十秒与癸甲弧等上下▯时白极在丑白道亦交黄道于丙于戊其辰乙弧为大距五度一十七分三十秒与丑甲弧等如癸子丑寅均轮心从本轮己行至庚朔朢时白极在癸白道交黄道于乙于丁其卯丙弧为大距四度五十八分三十秒与癸甲弧等上下▯时白极在丑白道亦交黄道于乙于丁其辰丙弧为大距五度一十七分三十秒与丑甲弧等惟朔朢与上下▯时白极俱在丑甲线上平行自行相合故无交均数如白极从癸向子交行渐迟至子距癸九十度为朔与上▯之间或朢与下▯之间其行极迟白道交黄道于巳于午其未申弧为大距与子甲弧等【子甲为白极距黄极之弧，故与未申大距弧等】于是用子甲己正弧三角形求子甲弧此形有己甲弧五度零八分有己子弧九分三十秒有己直角九十度【当癸子弧】求得子甲弧五度零。

八分零九秒与未申弧等为黄白大距又求得甲角一度四十六分零八秒为交均即自行迟于平行极大之差从子向丑则迟行之度渐减至丑而合于平行矣如白极从丑向寅交行渐疾至寅距丑九十度为上▯与朢之间或下▯与朔之间其行极疾己甲寅角亦一度四十六分零八秒寅甲两极距弧亦与子甲等从寅向癸则疾行之度渐减至癸而又合于平行矣要之从癸向子至丑为前半周所求之诸甲角俱为减差以减交之平行而得交之实行从丑向寅至癸为后半周诸甲角之度皆以前半周等但俱为加差以加交之平行而得交之实行故用弧三角形法以己庚辛壬圈之半径五度零八分及癸子丑寅圈之半径九分三十秒为常用之两边以极距癸点之逐度为角得弧三角形一百八十求得各对角之弧为两极，大距【如子甲之类】近黄极之角为交均，在前。

半周为减差后半周为加差而大距及交均之表全矣至于有大距之数而求逐度之小距度与日躔求黄赤距纬之法同视差太隂之视差有四：一为蒙气差，能升卑为髙，其理与数皆与太阳同；一为髙下差【即地半径差】生于地之半径，能变髙为下，其理亦与太阳同，而数则过之。葢太阳本天半径与地半径之比例为千余分之一，而太隂本天半径与地半径之此例为五六十分之一，故其差角迥别，不可同论也。又有东西差【即经度差】南北差【即纬度差】皆由髙下差而生，算交食用之，详载交食本篇，兹不具论。

如图甲为地心乙为地面甲乙为地半径乙丙为地平丁戊己为太隂本天庚辛壬癸为恒星天戊为太隂人从地面乙测之对恒星天于壬其视髙为壬乙丙角若从地心甲计之则见太隂于戊者对恒心天于辛其真髙为辛甲癸角此两髙之差为乙戊甲角即髙下差然亦时时不同者一因太隂距地平近则差角大渐髙则渐小一因太隂在本天最髙则差角小在本天最卑则差角大与日躔之理同今亦约为最髙最卑中距三限于朢时及两▯各以所测地面上太隂之髙度求太隂距地心之甲戊线【朢时测中距两▯时】测最髙及最卑，葢月自行在中距朢时，次均轮心在次轮之最近月，在次均轮之最下，微小于本天，若两▯时则次均轮心在次轮之最逺已在本天之外月」又在次均轮之最上，未免太过于本天，故于朢时测。中距也，又月自行在最髙，两▯时，月距地心比朢时。髙一次轮全径，又髙一次均轮全径，故于此时测最髙月自行在最卑两▯时，月距地心北朢时，卑一次。轮全径，又髙一次，均轮全径，犹在朢时月体之下，故。

于此时测最卑也】

如畅春园测得太隂髙六十二度四十分五十一秒四十三微同时于广东广州府测得太隂高七十九度四十七分二十六秒一十二微【广东子午线在京师西三度三十三】分然髙下差甚微，可勿论】于时月自行。

三宫初度月距日一百八十度【即朢时】以之立法，甲为地心乙为京师地面庚为天顶子为广州府地面丑为天顶戊为太隂寅为赤道寅庚弧三十九度五十九分三十秒为畅春园赤道距天顶之度寅丑弧二十三度一十分为广州府赤道距天顶之度以两处赤道距天顶度相减余一十六度四十九分三十秒为庚丑弧即庚甲丑角以畅春园髙度与一象限相减余二十七度一十九分零八秒一十七微为庚乙戊角以广州府髙度与一象限相减余一十度一十二分三十三秒四十八微为丑子戊角先用乙甲子三角形此形有甲角一十六度四十九分三十秒又有乙甲及子甲俱地半径命为一千万乃以甲角折半之正▯倍之得二九二五九七七为乙子边又以甲角与半周相减余数半之得八十一度三十五分一十五秒为乙角亦即子角次用乙戊子三角形此形有乙子边二九二五九七七有戊乙子角七十一度零五分三十六秒四十三微【以庚乙戊角与子乙甲角相加得一百零。八度五十四分二十三秒一十七微，以减半周，即得】有戊子乙角，一百零八度三十七分一十八秒四十八微【于半周内减去乙子甲角八十一度三十】五分一十五秒，加入戊子丑角一十度一十二分三十三秒四十八微，即得】即有乙戊子角一十七分零四秒二十九微求得戊乙边五五八二六五二五四末用戊乙甲三角形此形有乙甲地半径一千万有戊乙边五五八二六五二五四有戊乙甲角一百五十二度四十分五十一秒四十三微【于半周内减去庚乙戊角二十七度一十九分零八】秒一十七微，即得】求得乙戊甲角二十七分四十九秒零四微为中距限太隂髙六十二度四十分五十一秒四十三微之髙下差求得戊甲边五六七一七一三三四为太隂在本天中距时距地心之逺以地半径较之其比例为一千万与五亿六千七百一十七万一千三百三十四若命地半径为一则月距地心为五十六又百分之七十二也乃依此法于月自行初宫初度月距日九十度时【即上下▯】测之求得甲乙线与戊甲线之比例为一与六十一又百分之九十八即月在本天最髙距地心最逺之数又于月自行六宫初度月距日九十度时测之求得甲乙线与戊甲线之比例为一与五十三又百分之七十一即月在本天最卑距地心最近之数于是自最近五十三至最逺六十二之十数逐度求其髙下差以立表隠见迟疾合朔之后，恒以三日月见于西方，故《尚书》注“月之三日为哉生明”。然有朔后二日即见者，更有晦日之晨月见东方、朔日之夕月见西方者，唐厯家遂为进朔之法，致日食乃在晦。宋元《史》已辨其非，而未明其故。葢月之隠见迟疾，固有一定之理，可按数而推，殆因乎天行，由于地度，无庸转移迁就也。至于汉、魏厯家，未明盈缩迟疾之差，以平朔着厯故有晦而月见西方、朔而月见东方者，此则推步之疎不可以隠见迟疾论也。隠见之迟疾，其故有三，今并详于后。

一因黄赤道之升降有斜正也葢春分前后各三宫【由星纪至实沈六宫】黄道斜升而正。

降月离此六宫则朔后疾见秋分前后各三宫【由鹑首至】析木六宫】黄道正升而斜降月。

离此六宫则朔后迟见如上二图前图日躔降娄初度月离降娄一十五度为正降日入时月在地平上髙一十四度余即可见葢入地迟而见早也后图日躔夀星初度月离夀星一十五度为斜降日入时月在地平上髙六度余即不可见葢入地疾而见迟也若晦前月离正升六宫则隠迟斜升六宫则隠早其理亦同一因月距黄纬有南北也葢月距黄道北则朔后见早距黄道南则朔后见迟如图日躔降娄初度月离降娄一十五度而月距黄道北则月距地平之度多入地迟而见早月距黄道南则月距地平之度少入地疾而见迟也若晦前距黄道北则隠迟距黄道南则隠早其理亦同一因月视行之度有迟疾也葢月视行为迟厯则朔后见迟晦前隠迟视行为疾厯则朔后见早晦前隠早也夫月离正降宫度距日一十五度即可见以每日平行一十二度有竒计之则朔后一日有余即见生明于西是故合朔如在甲日亥子之间月离正升宫度距黄道北而又行迟厯则甲日太阳未出亦见东方月离正降宫度距黄道北而又行疾歴则乙日太阳已入亦见西方矣御制歴象考成上编卷五<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成》>钦定四库全书