御制歴象考成上编卷三
御制歴象考成上编卷三
弧三角形下斜弧三角形论斜弧三角形边角比例法斜弧三角形作垂弧法斜弧三角形用总较法【次形法附】
斜弧三角形设例八则斜弧三角形论弧三角之有斜弧形，犹直线三角之有锐钝形也。但直线三角之锐钝形惟二种：一种三角俱鋭，一种一钝两锐；而斜弧形则不然，或三角俱锐，或三角俱钝，或两锐一钝，或两钝一锐。其三边或俱大过于九十度，或俱小不及九十度，或两大一小，或两小一大，参错成形，为类甚多。而《新法算书》所载推算之法，抑复繁杂难稽。葢三角三边各有八线，但线与线之比例相当即可相求，是故或同步一星，或同推一数，而所用之法彼此互异，遂使学者莫知所从。兹约以三法求之，无论角之锐钝，边之大小，并视先所知之三件为断：其一，先知之三件有相对之边角，又有对所求之边角，则用边角比例法；其一，先知之三件有相对之边角，而无对所求之边角【或求角而无对角之边，或求边而无对边之角】则用垂弧法；其一，先知之三件无相对之边角【或三边求角，或有两边一角而角在所知两边之间，或三角求边，或有两角一边而边在所知两角之间】则用总较法。明此三法，则斜弧之用已备，而七政之升降出没，经纬之纵横交加，无不可推测而知矣。
斜弧三角形边角比例法凡斜弧三角形，先知之三件，有相对之边角，又有对所求之边角者，则用边角比例法。如甲乙丙斜弧三角形，有甲角，有甲乙边，有乙丙边，而求丙角，则乙丙为对所知之边，甲为所知之角，甲乙为对所求之边，乃以对所知之乙丙边正▯与对所求之甲乙边正▯之比，同于所知之甲角正▯与所求之丙角正▯之比也。又如丁戊己斜弧三角形，有丁角，有己角，有丁戊边，而求戊己边，则己角为对所知之角，丁戊为所知之边，丁为对所求之角，乃以对所知之己角正▯与对所求之丁角正▯之比，同于所知之丁戊边正▯与所求之戊己边正▯之比也。
斜弧三角形作垂弧法凡斜弧三角形，先知之三件，有相对之边角，而无对所求之边角者，则用垂弧法。如甲乙丙斜弧三角形，有甲角，有甲乙边，有乙丙边，而求乙角及甲丙边，乃自乙角作乙丁垂弧于形内，分为甲乙丁、丙乙丁两正弧三角形算之。先用甲乙丁形，求乙丁垂弧、甲丁分边及乙分角。葢此形有甲角，有甲乙边，有丁直角，以丁角正▯【即半径】与甲角正▯之比，同于甲乙边正▯与乙丁垂弧正▯之比，而得乙丁垂弧；以半径与甲角余▯之比，同于甲乙边正切与甲丁边正切之比，而得甲丁分边；以甲乙边正▯与甲丁边正▯之比，同于丁角正▯【即半径】与乙分角正▯之比，而得乙分角。次用丙乙丁形，求乙分角及丁丙分边。葢此形有乙丙边，有乙丁垂弧，有丁直角，以乙丙边正切与乙丁垂弧正切之比，同于半径与乙分角余▯之比，而得乙分角；以丁角正▯【即半径】与乙分角正▯之比，同于乙丙边正▯与丁丙边正▯之比，而得丁丙分边。既得两分角并之，即乙角；得两分边并之，即甲丙边也。又如戊己庚斜弧三角形，有戊角，有庚角，有己庚边，而求戊庚边及己角，乃自己角作己辛垂弧于形外，将戊庚弧引长至辛，作戊己辛、庚己辛两正弧三角形算之。先用庚己辛形，求己辛垂弧、庚辛虚边及己虚角。葢此形有庚外角，有己庚边，有辛直角，以辛角正▯【即半径】与庚角正▯之比，同于己庚边正▯与己辛垂弧正▯之比，而得己辛垂弧；以半径与庚角余▯之比，同于己庚边正切与庚辛虚边正切之比，而得庚辛虚边；以己庚边正▯与庚辛边正▯之比，同于辛角正▯【即半径】与己虚角正▯之比，而得己虚角。次用戊己辛形，求戊辛总边及己总角。葢此形有戊角，有己辛垂弧，有辛直角，以戊角正切与半径之比，同于己辛垂弧正切与戊辛边▯▯之比，而得戊辛总边。以己辛垂弧正▯与戊辛边正▯之比，同于戊角正▯与己角▯▯之比，而得己总角。既得戊辛总边，内减去庚辛虚边，即戊庚边。得己总角，内减去己虚角，即己角也。
斜弧三角形用总较法凡斜弧三角形知三边求角者则用总较法以角傍之两边相加为总弧相减为较弧各取其余▯相加减【总弧较弧俱不过象限，或俱过象限，则两余▯相减若一过象限，一不过象限，则两余▯相加，其或过二象限者，与过一象限同；过三象限者，与不过象。
限同】折半为中数又以对边之矢与较弧之矢相减余为矢较乃以中数与矢较为比同于半径与所求角之正矢之比也如知两边一角而角在两边之间者以半径与所知角之正矢为比同于中数与矢较之比既得矢较与较弧之矢相加即得对边之矢也如甲乙丙斜弧三角形有三边求甲角则以甲角傍之甲乙甲丙二边相加得乙丁【甲】、丙【甲】、戊【甲】、丁三弧同为丁戊距等圈所截，故其度相等】为总弧。其正▯为丁。
己余▯为己庚甲乙与甲丙相减余乙戊为较弧其正▯为戊辛余▯为辛庚两余▯相加得己辛【乙丁总弧】过象限，乙戊较弧不过象限，其两余▯在圜心之两。边故相加】折半得辛壬与癸子。
等为中数乙丙对边与乙丑等【乙丙与乙丑两弧同为丑寅距等圈所截】故其度相等】其正▯为丑卯余。
▯为卯庚正矢为乙卯以乙卯与乙戊较弧之正矢乙辛相减余辛卯与辰巳等为矢较戊辰巳与戊癸子为同式两勾股形故癸子与辰巳之比同于戊子与戊巳之比也又午庚为半径戊子为距等圈之半径午未与戊己两段同为甲丙申大圈所分则戊子与戊己之比原同于午庚与午未之比是以中数癸子与矢较辰巳之比即同于半径午庚与甲角正矢午未之比也以午未与午庚半径相减余未庚为甲角之余▯检表即得甲角所当午申弧之度也若先有甲角及甲乙甲丙二边求乙丙对边则以半径午庚与甲角正矢午未之比即同于中数癸子与矢较辰巳之比既得辰巳与辛卯等与乙戊较弧之正矢乙辛相加得乙卯为乙丙对边之正矢也如有甲乙甲丙乙丙三边求乙角则以乙角傍甲乙乙丙二边相加得甲丁【乙丙，乙丁，乙戊三弧同为戊丁、距等圈所截，故其度相等】为总弧，其正▯为丁己余▯为己庚甲乙与乙丙相减余甲戊为较弧其正▯为戊辛余▯为辛庚两余▯相减余辛己【甲丁总弧，甲戊较弧，皆不过象限，其两余。▯同在圜心之一边故相减】折半得辛。
壬与癸子等为中数甲丙对边与甲丑等【甲丙与甲丑两弧同。为寅丑距等圈所截，故其度相等】其正▯为丑卯余▯为卯庚正矢为甲卯以甲卯与甲戊较弧之正矢甲辛相减余辛卯与辰巳等为矢较戊癸子与戊辰巳为同式两勾股形故癸子与辰巳之比同于戊子与戊巳之比也又午庚为半径戊子为距等圈之半径戊巳与午未两段同为乙丙申大圈所分则戊子与戊巳之比原同于午庚与午未之比是以中数癸子与矢较辰巳之比即同于半径午庚与乙角大矢午未之比也【凡钝角所用诸线皆与外角同，惟矢则有正矢、大矢之别。如庚未为乙锐角所当，申酉弧之余▯亦为乙钝角。所当午申弧之余，▯检表锐角，即得本角；度钝角与半周相减，亦即得本角度，而未酉为乙锐角之正矢。乃于酉庚半径内减庚未，余▯午未，为乙钝角之大。矢乃于午庚半径加庚未余▯也，此正矢大矢之别。过弧亦然】于午未，大矢内减午。
庚半径余庚未为乙角之余▯检表得乙外角度与半周相减余即乙钝角之度也若先有乙钝角及甲乙乙丙二边求甲丙对边则以半径午庚与乙角大矢午未之比即同于中数癸子与矢较辰巳之比既得辰巳与辛卯等与甲戊较弧之正矢甲辛相加得甲卯为甲丙对边之正矢也斜弧三角形知三角求边者则用次形法如甲乙丙形可易为丁戊己次形葢甲角之度当庚辛弧而庚辛与己戊等【庚，己与辛戊皆象限故庚辛与己戊等】故本形之甲角即次形之己戊边乙外角之度当壬癸弧而壬癸与己丁等【壬己与癸丁皆象限，故壬癸与己丁等】故本形之乙外角，即次形。
之己丁边丙角之度当子丑弧而子丑与戊丁等【子戊与丑丁皆象限，故子丑与戊丁等】故本形之丙角即次形之戊丁边是本形之三角即次形之三边也又次形丁角之度当癸丑弧而癸丑与乙丙等【丙丑与乙癸皆象限，故癸丑与乙丙等】故次形之丁角即本形之乙丙边戊外角之度当辛子弧而辛子与甲丙等【丙子与甲】辛皆象限，故辛子与甲丙等】故次形之戊外角即本形之甲丙边己角之度当庚壬弧而庚壬与甲乙等【乙壬与甲庚皆象限故庚】壬与甲乙等】故次形之己角即本形之甲乙边是本形之三边即次形之三角也故用丁己戊次形仍用总较法算之求得次形之三角即得本形之三边也如有乙角丙角及乙丙边而求甲角亦用丁戊己次形有己丁边戊丁边及丁角仍用总较法算之求得己戊边即甲角也设如申正初刻测得太阳髙三十二度，地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒，求太阳距赤道纬度几何？
甲乙丙三角形甲为北极乙为天顶丙为太阳乙丁戊己为子午经圏乙丙癸戊为地平经圏丁己为地平庚辛为赤道庚壬为申正初刻距午正赤道六十度即甲角丙癸为太阳髙三十二度【即地平纬度，一名髙弧】与乙癸象限相减余太阳距天顶五十八度即乙丙边丁癸为地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒与丁己半周相减余癸己九十八度一十七分一十二秒即乙角丙壬为太阳距赤道纬度与甲壬象限相减余甲丙边为太阳距北极度故用甲乙丙三角形有甲乙二角及乙丙边求甲丙边以甲角六十度为对所知之角其正▯八百六十六万零二百五十四为一率乙角九十八度一十七分一十二秒为对所求之角其正▯九百八十九万五千五百九十三为二率乙丙五十八度为所知之边其正▯八百四十八万零四百八十一为三率求得四率九百六十九万零一百七十六为所求甲丙边之正▯检表得七十五度四十二分零一秒即甲丙弧之度与九十度相减余一十四度一十七分五十九秒即太阳距赤道北之纬度也此法用边角相比例与直线三角形同但直线三角形以角之正▯与边相比【见数理精】蕴第十七卷】此以角之正▯与边之正▯相比其比例之理一也又以正弧之理明之试将甲乙弧引长至丁自丙角作丙丁垂弧则成甲丁丙乙丁丙两正弧三角形先求乙丁丙形丁角正▯【即半径】为一率，乙角正▯为二率乙丙正▯为三率丙丁正▯为四率此第一比例也次求甲丁丙形甲角正▯为一率丁角正▯【即半径】为二率，丙丁正▯。
为三率甲丙正▯为四率此第二比例也然第二比例之二率三率即第一比例之一率四率而二率三率相乘与一率四率相乘之数等故用第一比例之二率三率而用第二比例之一率即得第二比例之四率此有对角求对边之法也设如太阳距赤道北一十四度一十七分五十九秒，测得髙弧三十二度，地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒，求系何时刻？
甲乙丙三角形甲为北极乙为天顶丙为太阳丙壬为太阳距赤道北一十四度一十七分五十九秒甲丙即为太阳距北极七十五度四十二分零一秒丙癸为太阳髙三十二度乙丙即为太阳距天顶五十八度丁癸为地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒癸己为九十八度一十七分一十二秒即乙角庚壬为太阳距午正赤道度即甲角故用甲乙丙三角形有乙角及甲丙乙丙二边求甲角以甲丙七十五度四十二分零一秒为对所知之边其正▯九百六十九万零一百七十六为一率乙丙五十八度为对所求之边其正▯八百四十八万零四百八十一为二率乙角九十八度一十七分一十二秒为所知之角其正▯九百八十九万五千五百九十三为三率求得四率八百六十六万零二百五十四为所求甲角之正▯检表得六十度即甲角度以六十度变得二时从午正初刻后计之【因偏西故为午正后】为申正初。
刻也此有对边求对角之法也设如北极出地四十度，申正初刻测得太阳髙三十二度，求太阳距赤道纬度及地平经度各几何？
甲乙丙三角形甲为北极乙为天顶丙为太阳甲己为北极出地四十度甲乙即为北极距天顶五十度庚壬为申正初刻距午正赤道六十度即甲角丙癸为太阳髙三十二度乙丙即为太阳距天顶五十八度丙壬为太阳距赤道纬度甲丙为其余丁癸为地平经度即乙角之外角【甲乙丙形之乙角，当癸己弧。其癸乙丁外角，即当丁癸弧】故用甲乙丙三角形，有甲角及甲乙乙丙二边求甲丙边及乙角乃自乙角作乙丁垂弧分为甲乙丁丙乙丁两正弧三角形先求甲乙丁形以丁角正▯即半径一千万为一率甲角六十度之正▯八百六十六万零二百五十四为二率甲乙五十度之正▯七百六十六万零四百四十四为三率求得四率六百六十三万四千一百三十九为乙丁弧之正▯检表得四十一度三十三分三十九秒即乙丁弧之度也【此即正弧三角形，有黄赤交角，有黄道求距纬之法。】葢甲角即如黄赤交角，甲乙即如黄道，甲丁即如赤。道乙丁，即如距纬】又以半径一千。
万为一率甲角六十度之余▯五百万为二率甲乙五十度之正切一千一百九十一万七千五百三十六为三率求得四率五百九十五万八千七百六十八为甲丁弧之正切检表得三十度四十七分二十三秒即甲丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤交角，有黄道求赤道之法】又以甲乙五十度之正▯七百六十六万零四百四十四为一率甲丁三十度四十七分二十三秒之正▯五百一十一万八千八百八十八为二率丁角正▯即半径一千万为三率求得四率六百六十八万二千二百三十四为乙分角之正▯检表得四十一度五十五分四十八秒即乙分角之度也【此即正弧三角形有黄道】有赤道求黄道交极圏角之法】次求乙丙。
丁形以乙丁四十一度三十三分三十九秒之余▯七百四十八万二千五百二十六为一率乙丙五十八度之余▯五百二十九万九千一百九十三为二率半径一千万为三率求得四率七百零八万二千零九十一为丙丁弧之余▯检表得四十四度五十四分三十八秒即丙丁弧之度也【此即正弧三角形有黄道有距纬求赤道之法，葢丙角，即如黄赤交角，乙丙，即如黄道，丙。丁即如赤道，乙丁即如距纬】又以乙丙五十八度之正▯八百四十八万零四百八十一为一率丙丁四十四度五十四分三十八秒之正▯七百零六万零二十七为二率丁角正▯即半径一千万为三率求得四率八百三十二万五千零三十为乙分角之正▯检表得五十六度二十一分二十四秒即乙分角之度也【此即正弧】三角形有黄道，有距纬，求黄赤交角之法。葢乙分角。即如黄赤交角，乙丙，即如黄道，乙丁，即如赤道，丙丁。即如距纬】乃以甲丁、丙丁相并。
得甲丙七十五度四十二分零一秒即太阳距北极度与九十度相减余一十四度一十七分五十九秒即太阳距赤道北之纬度【如甲丙大于九十度，则减去九十度，余为太阳距赤】【道南之纬度】以两乙分角相并。
得九十八度一十七分一十二秒与一百八十度相减余八十一度四十二分四十八秒即太阳距午正偏西之地平经度也此作垂弧于形内之法也设如申正初刻测得太阳髙三十二度，地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒，求北极出地度几何？
甲乙丙三角形甲为北极乙为天顶丙为太阳丙癸为太阳髙三十二度乙丙即为太阳距天顶五十八度庚壬为申正初刻距午正赤道六十度即甲角丁癸为地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒即乙角之外角甲己为北极出地度甲乙为其余故用甲乙丙三角形有甲乙二角及乙丙边求甲乙边乃自丙角作丙丁垂弧补成甲丙丁乙丙丁两正弧三角形先求乙丙丁形以丁角正▯即半径一千万为一率乙角九十八度一十七分一十二秒之正▯九百八十九万五千五百九十三为二率乙丙五十八度之正▯八百四十八万零四百八十一为三率求得四率八百三十九万一千九百三十九为丙丁弧之正▯检表得五十七度零三分一十八秒即丙丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤。交角有黄道求距纬之法，葢乙角即如黄赤交角，乙丙即如黄道，乙丁即如赤道，丙丁即如距纬】又以半径一千万为一率乙角九十八度一十七分一十二秒之余▯一百四十四万一千二百六十为二率乙丙五十八度之正切一千六百万零三千三百四十五为三率求得四率二百三十万六千四百九十八为乙丁弧之正切检表得一十二度五十九分一十七秒即乙丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤交角有黄道求赤道】。
之法】次求甲丙丁形以甲角六十度之正切一千七百三十二万零五百零八为一率半径一千万为二率丙丁五十七度零三分一十八秒之正切一千五百四十三万一千零五十九为三率求得四率八百九十万九千一百二十六为甲丁弧之正▯检表得六十二度五十九分一十七秒即甲丁弧之度也【此即正弧】三角形有黄赤交角，有距纬，求赤道之法。葢甲角即如黄赤交角，甲丙即如黄道，甲丁即如赤道，丙丁即如距纬】乃以甲丁与乙丁相减余甲乙五十度即北极距天顶又与九十度相减余四十度即北极出地度也【若求丙角，则求得丙总角与丙虚角相减，即得】此作垂弧于形外之法也。设如大角星，黄道纬北三十一度零三分，赤道纬北二十度五十八分四十七秒，黄极赤极【即北极】相距二十三度三十分，求黄道经度、赤道经度各几何？
甲乙丙三角形甲为赤极【即北极】乙为黄极，甲乙相距。
二十三度三十分丙为大角星丁戊为黄道己庚为赤道丙辛为黄道纬北三十一度零三分乙丙即为星距黄极五十八度五十七分丙壬为赤道纬北二十度五十八分四十七秒甲丙即为星距赤极六十九度零一分一十三秒丁辛为星距夏至后黄道经度即乙角己壬为星距夏至后赤道经度即甲角之外角故用甲乙丙三角形有甲乙甲丙乙丙三边求甲乙二角先求乙角则以夹乙角之甲乙边二十三度三十分与乙丙边五十八度五十七分相加得八十二度二十七分为总弧其余▯一百三十一万三千九百一十三又以甲乙乙丙两边相减余三十五度二十七分为较弧其余▯八百一十四万六千二百二十两余，▯相减【总弧较弧】俱不过象限，或俱过象限，则两余▯相减，若一过象，限一不过象限，则两余▯相加。其或过二象限者，与过一象限，同过三象限者，与不过象限同】余六百八十三万二千三百零七折半得三百四十一万六千一百五十四为中数为一率以对乙角之甲丙边六十九度零一分一十三秒之正矢六百四十一万九千六百二十五【余▯与半】径相减，得矢度】与较弧三十五度。
二十七分之正矢一百八十五万三千七百八十相减余四百五十六万五千八百四十五为矢较为二率半径一千万为三率求得四率一千三百三十六万五千四百五十四为乙角之大矢【凡矢度过于半径者为大矢，其角即为钝角】内减半径一千万。
余三百三十六万五千四百五十四为乙角之余▯检表得七十度二十分与半周相减余一百零九度四十分为乙角度即星距夏至后黄道经度自夏至未宫初度逆计之为卯宫一十九度四十分也如图甲乙与乙丙相加得甲癸为总弧【乙、丙、乙、癸、乙、子三弧同为癸子距等】圈所截，故其度相等】其正▯为癸丑。
余▯为丑寅甲乙与乙丙相减余甲子为较弧其正▯为子卯余▯为卯寅以丑寅与卯寅两余▯相减余卯丑折半得卯辰与巳午等为中数又对乙角之甲丙边与甲未等其正▯为未申余▯为申寅正矢为甲申以甲申与甲子较弧之正矢甲卯相减余卯申与酉戌等为矢较遂成子酉戌与子巳午同式两勾股形故巳午与酉戌之比必同于子午与子戌之比也又丁寅为半径子午为距等圈之半径子戌与丁亥两段同为乙丙辛黄道经圈之所分则子午与子戌之比原同于丁寅与丁亥之比是以中数己午与矢较酉戌之比即同于半径丁寅与乙角大矢丁亥之比也既得丁亥大矢内减丁寅半径余寅亥即乙外角之余▯检表得乙外角所当辛戊弧之度复与半周相减即得乙角所当丁辛弧之度也既得乙角则以对边对角之法求之即得甲角度矣如先求甲角则以夹甲角之甲乙边二十三度三十分与甲丙边六十九度零一分一十三秒相加得九十二度三十一分一十三秒为总弧其余▯四十三万九千七百二十九又以甲乙甲丙两边相减余四十五度三十一分一十三秒为较弧其余▯七百万零六千五百六十八两余▯相加【总弧过象限，较弧不过象限，故两余▯相加】得七百四十四万六千二百九十七折半得三百七十二万三千一百四十八为中数为一率以对甲角之乙丙边五十八度五十七分之正矢四百八十四万二千一百四十一与较弧四十五度三十一分一十三秒之正矢二百九十九万三千四百三十二相减余一百八十四万八千七百零九为矢较为二率半径一千万为三率求得四率四百九十六万五千四百四十五为甲角之正矢与半径一千万相减余五百零三万四千五百五十五为甲角之余▯检表得五十九度四十六分一十六秒即甲角度与半周相减余一百二十度一十三分四十四秒即星距夏至后赤道经度自夏至未宫初度逆计之为卯宫初度一十三分四十四秒也如图甲乙与甲丙相加得乙癸为总弧其正▯为癸子余▯为子丑甲乙与甲丙相减余乙寅为较弧其正▯为寅卯余▯为卯丑两余▯相加得卯子【因两余▯在圜心之两边故相加】折半得。
卯辰与巳午等为中数又对甲角之乙丙边与乙未等其正▯为未申余▯为申丑正矢为乙申以乙申与乙寅较弧之正矢乙卯相减余卯申与酉戌等为矢较遂成寅巳午与寅酉戌同式两勾股形故巳午与酉戌之比同于寅午与寅戌之比又庚丑为半径寅午为距等圈之半径寅戌与庚亥两段同为甲丙壬赤道经圈之所分则寅午与寅戌之比原同于庚丑与庚亥之比是以巳午中数与矢较酉戌之比即同于半径庚丑与甲角正矢庚亥之比也既得庚亥正矢与庚丑半径相减余亥丑即甲角之余▯检表即得甲角所当庚壬弧之度也既得甲角则以对边对角之法求之亦即得乙角度矣此三边求角之法也设如大角星，黄道经度距夏至一百零九度四十分，赤道经度距夏至一百二十度一十三分四十四秒，黄赤两过极经圈交角二十三度四十二分四十五秒，求黄道纬度、赤道纬度各几何？
甲乙丙三角形甲为赤极【即北极】乙为黄极，甲乙为两。
极距度丙为大角星丁戊为黄道己庚为赤道丁辛为黄道经度距夏至一百零九度四十分即乙角己壬为赤道经度距夏至一百二十度一十三分四十四秒即甲角之外角丙角为甲壬乙辛两经圏交角二十三度四十二分四十五秒丙辛为黄道北纬度乙丙为其余丙壬为赤道北纬度甲丙为其余故用甲乙丙三角形有甲乙丙三角求乙丙甲丙二边乃用次形法先求乙丙边将甲乙丙形易为癸子丑次形葢本形之甲角即次形之子丑边【甲角当庚壬弧与子丑等】本。
形乙角之外角即次形之癸丑边【乙角之外，角当戊辛弧与癸丑等】本形之丙角，即次形之癸。子边【丙角当寅卯弧与癸子等】本形之。
甲乙边即次形之丑角【丁己弧与甲乙等，即丑角度】本形之乙丙。边即次形之癸角【辛寅弧与乙丙】等即癸角，度】本形之甲丙边，即次形子角之外角【壬卯弧与甲丙】。等即子锐角度为癸子丑形，子钝角之外角】故用癸子丑三角形有三边求癸角【即乙丙边】以夹癸角之。癸子边【即丙角】二十三度四。
十二分四十五秒与癸丑边【即乙外角】七十度二十分相。
加得九十四度零二分四十五秒为总弧其余▯七十万五千五百四十四又以癸子癸丑两边相减余四十六度三十七分一十五秒为较弧其余▯六百八十六万八千二百三十二两余，▯相加【总弧过象限较弧不过象限，故两余▯相加】得七百五十。
七万三千七百七十六折半得三百七十八万六千八百八十八为中数为一率以对癸角之子丑边【即甲角】五十九度四十六分一十六秒之正矢四百九十六万五千四百四十五与较弧四十六度三十七分一十五秒之正矢三百一十三万一千七百六十八相减余一百八十三万三千六百七十七为矢较为二率半径一千万为三率求得四率四百八十四万二千一百七十四为癸角之正矢与半径一千万相减余五百一十五万七千八百二十六为癸角之余▯检表得五十八度五十七分即癸角度亦即乙丙边度与象限相减余三十一度零三分即黄道北之纬度也既得乙丙边则以对边对角之法求之即得甲丙边矣如先求甲丙边则用癸子丑次形求子角【子角之外，角当壬卯。】弧与甲丙等】以夹子角之子丑。边【即甲角】五十九度四十六。
分一十六秒与癸子边【即丙角】二十三度四十二分四十五秒相加得八十三度二十九分零一秒为总弧其余▯一百一十三万四千八百七十四又以子丑癸子两边相减余三十六度零三分三十一秒为较弧其余▯八百零八万四千一百五十二两余▯相减【总弧较弧俱不过象限，故两余▯相减】余六百九十四万九千二百七十八折半得三百四十七万四千六百三十九为中数为一率以对子角之癸丑边【即乙外角】七十度二十。
分之正矢六百六十三万四千五百二十五与较弧三十六度零三分三十一秒之正矢一百九十一万五千八百四十八相减余四百七十一万八千六百七十七为矢较为二率半径一千万为三率求得四率一千三百五十八万零三百三十七为子角之大矢内减半径一千万余三百五十八万零三百三十七为子角之余▯检表得六十九度零一分一十三秒即子角之外角度亦即甲丙边度与象限相减余二十度五十八分四十七秒即赤道北之纬度也既得甲丙边则以对边对角之法求之亦即得乙丙边矣此三角求边之法也设如土星黄道经度卯宫二度二十九分，距夏至一百二十二度二十九分，黄道南纬度二度三十七分，黄极赤极相距二十三度三十分，求赤道经度纬度各几何？
甲乙丙三角形甲为赤极【即北极】乙为黄极，甲乙相距。
二十三度三十分丙为土星丁戊为赤道己庚为黄道己辛为黄道经度距夏至一百二十二度二十九分即乙角丙辛为黄道南纬度二度三十七分乙丙为星距黄极九十二度三十七分丙壬为赤道南纬度甲丙即星距北极度丁壬为距夏至赤道经度即甲角之外角故用甲乙丙三角形有乙角及甲乙乙丙二边求甲丙边及甲角先求甲丙边以半径一千万为一率乙角一百二十二度二十九分之大矢一千五百三十七万零五百四十二为二率以夹乙角之甲乙边二十三度三十分与乙丙边九十二度三十七分相加得一百一十六度零七分为总弧其余▯四百四十万二千零四又以甲乙乙丙两边相减余六十九度零七分为较弧其余▯三百五十六万四千六百六十二两余▯相加【总弧过象限，较弧不过象限，故两余▯相加】得七百九十六万六千六百六十六折半得三百九十八万三千三百三十三为中数为三率求得四率六百一十二万二千五百九十九为矢较与较弧六十九度零七分之正矢六百四十三万五千三百三十八相加得一千二百五十五万七千九百三十七为甲丙对边之大矢【凡矢度过于半径者，为大矢，其弧即为过弧】内减。
半径一千万余二百五十五万七千九百三十七为甲丙边之余▯检表得七十五度一十分四十六秒与半周相减余一百零四度四十九分一十四秒即甲丙边之度内减九十度余一十四度四十九分一十四秒为赤道南之纬度也如图己癸为半径己子为甲角之大矢甲乙与乙丙相加【乙丙与乙丑乙卯皆相等】得甲。
丑为总弧其正▯为丑寅余▯为寅癸甲乙与乙丙相减余甲卯为较弧其正▯为卯辰余▯为辰癸两余▯相加得辰寅折半得辰巳与午未等为中数又对乙角之甲丙边与甲申等其正▯为申酉余▯为酉癸大矢为甲酉以甲酉与甲卯较弧之正矢甲辰相减余辰酉与戌亥等为矢较遂成卯午未与卯戌亥同式两勾股形而卯未与卯亥之比同于午未与戌亥之比又卯未为丑卯距等圈之半径卯亥与巳子两段同为乙辛丙黄道经圈之所分则卯未与卯亥之比原同于己癸与己子之比是以半径己癸与乙角大矢己子之比即同于中数午未与矢较戌亥之比也既得戌亥矢较与甲卯较弧之正矢甲辰相加得甲酉即为甲丙弧之大矢内减甲癸半径余酉癸为甲丙弧之余▯亦即丙干弧之余▯检表得丙干弧之度故与半周相减始为甲丙弧之度也次求甲角则以甲丙弧一百零四度四十九分一十四秒之正▯九百六十六万七千三百一十六为一率乙丙弧九十二度三十七分之正▯九百九十八万九千五百七十三为二率乙角一百二十二度二十九分之正▯八百四十三万五千四百七十七为三率求得四率八百七十一万六千六百七十一为甲角之正▯检表得六十度三十九分一十秒即甲角之度与半周相减余一百一十九度二十分五十秒即星距夏至赤道经度自夏至未宫初度逆计之为辰宫二十九度二十分五十秒也又法将乙丙弧引长至丁自甲作甲丁垂弧补成甲丁乙甲丁丙两正弧三角形先求甲丁乙形以丁角正▯即半径一千万为一率乙外角五十七度三十一分之正▯八百四十三万五千四百七十七为二率甲乙弧二十三度三十分之正▯三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率三百三十六万三千六百三十八为甲丁弧之正▯检表得一十九度三十九分二十秒即甲丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤。交角有黄道求距纬之法】又以半径一千万为一率乙外角五十七度三十一分之余▯五百三十七万零五百四十二为二率甲乙二十三度三十分之正切四百三十四万八千一百二十四为三率求得四率二百三十三万五千一百七十八为乙丁弧之正切检表得一十三度零八分三十八秒即乙丁弧之度也【此即正弧三角】。形有黄赤交角，有黄道，求赤道之法】次求甲。
丁丙形以半径一千万为一率乙丙弧九十二度三十七分与乙丁弧一十三度零八分三十八秒相加得丙丁弧一百零五度四十五分三十八秒其余▯二百七十一万六千一百七十八为二率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之余▯九百四十一万七千三百一十八为三率求得四率二百五十五万七千九百一十一为甲丙弧之余▯检表得七十五度一十分四十六秒与半周相减余一百零四度四十九分一十四秒即甲丙边之度也【此即正弧三角形有赤道有距纬求】黄道之法】既得甲丙边，则以对。
边对角之法求之即得甲角矣此两边夹一角之法也设如土星黄道经度卯宫二度二十九分，距夏至一百二十二度二十九分；赤道经度辰宫二十九度二十分五十秒，距夏至一百一十九度二十分五十秒。黄极赤极相距二十三度三十分，求黄道纬度、赤道纬度各几何？
甲乙丙三角形甲为赤极【即北极】乙为黄极。甲乙相距。
二十三度三十分丙为土星丁戊为赤道己庚为黄道己辛为黄道经度距夏至一百二十二度二十九分即乙角丁壬为赤道经度距夏至一百一十九度二十分五十秒即甲角之外角丙辛为黄道南纬度乙丙为星距黄极度丙壬为赤道南纬度甲丙为星距赤极度故用甲乙丙三角形有甲乙二角及甲乙边求甲丙乙丙二边乃用次形法先求丙角将甲乙丙形易为癸子丑次形葢本形之甲角即次形之子丑边【甲角当壬戊弧与子丑等】本形乙。
角之外角即次形之癸丑边【乙，外角当辛庚弧与癸丑等】本形之丙角即次形之癸子边【丙角当寅卯弧与癸子等】本形之甲乙边。即次形之丑角【丁己与甲乙等，即丑。
角度】本形之乙丙边与半周相减之余度即次形癸角之外角【乙丙边与半周相减，余丙辰与卯辛。等即辛、癸、卯、角为癸、子、丑、形。癸角之外，角葢卯、丙与。辛辰皆象限各减辛丙，故卯辛与丙辰等】本形之甲丙边与半周相减之余度即次形之子角【甲丙边与】【半周相减，余丙巳，与寅壬等，即子角度。葢寅丙与壬巳皆象限各减壬丙，故壬寅与丙巳等】故用癸子丑三角形有丑角及癸丑子丑二边求癸子边【即丙角】以半径一千万为一。
率丑角二十三度三十分之正矢八十二万九千三百九十九为二率以癸丑边【即乙外角】五十七度三十一。分与子丑边【即甲角】六十度。
三十九分一十秒相加得一百一十八度一十分一十秒为总弧其余▯四百七十二万零八百零七又以癸丑子丑两边相减余三度零八分一十秒为较弧其余▯九百九十八万五千零二十四两余▯相加得一千四百七十万五千八百三十一折半得七百三十五万二千九百一十五为中数为三率求得四率六十万九千八百五十为矢较与较弧三度零八分一十秒之正矢一万四千九百七十六相加得六十二万四千八百二十六为癸子对边之正矢与半径一千万相减余九百三十七万五千一百七十四为癸子对边之余▯检表得二十度二十一分四十一秒为癸子边之度亦即丙角度也次求乙丙边则以丙角之正▯三百四十七万九千三百八十七为一率甲角六十度三十九分一十秒之正▯八百七十一万六千六百五十七为二率甲乙边二十三度三十分之正▯三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率九百九十八万九千五百七十三为乙丙边之正▯检表得八十七度二十三分与半周相减余九十二度三十七分即乙丙边之度内减九十度余二度三十七分即星距黄道南之纬度也次求甲丙边以丙角之正▯三百四十七万九千三百八十七为一率乙角一百二十二度二十九分之正▯八百四十三万五千四百七十七为二率仍以甲乙边之正▯三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率九百六十六万七千三百三十一为甲丙边之正▯检表得七十五度一十分四十六秒与半周相减余一百零四度四十九分一十四秒即甲丙边之度内减九十度余一十四度四十九分一十四秒即星距赤道南之纬度也又法将乙丙弧引长至丁自甲作甲丁垂弧补成甲丁乙甲丁丙两正弧三角形先求甲丁乙形以丁角正▯即半径一千万为一率乙外角五十七度三十一分之正▯八百四十三万五千四百七十七为二率甲乙弧二十三度三十分之正▯三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率三百三十六万三千六百三十八为甲丁弧之正▯检表得一十九度三十九分二十秒即甲丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤。交角有黄道求距纬之法】又以甲乙弧二十三度三十分之正切四百三十四万八千一百二十四为一率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之正切三百五十七万一千七百五十二为二率半径一千万为三率求得四率八百二十一万四千四百六十七为甲虚角之余▯检表得三十四度四十六分一十二秒即甲虚角之度也【此即正弧三角形有黄道有赤道求黄赤交角之法】次求甲丁丙形以丙甲乙角六十度三十九分一十秒与甲虚角三十四度四十六分一十二秒相加得九十五度二十五分二十二秒为丙甲丁角乃以其余▯九十四万五千零六十四为一率半径一千万为二率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之正切三百五十七万一千七百五十二为三率求得四率三千七百七十九万三千七百五十七为甲丙弧之正切检表得七十五度一十分四十六秒与半周相减余一百零四度四十九分一十四秒即甲丙边之度也【此即正弧三角形有黄赤。交角有赤道求黄道之法】既得甲丙边。
则以对边对角之法求之即得乙丙边矣此两角夹一边之法也御制▯象考成上编卷三<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成》>钦定四库全书