御制歴象考成上编卷四

御制歴象考成上编卷四

日躔歴理南北眞线北极髙度地半径差黄赤距纬清▯气差测岁实以定平行本天髙卑为盈缩之原求两心差及最髙最髙行及本轮均轮半径求盈缩差时差【原名日差】

曚影刻分昼夜永短节气时刻南北眞线辨方定位，厯象首务。盖必先定南北，然后可以候中星，歩日躔。然南北之大势，虽若昜知，而立线定向，必豪厘不失，乃得其眞即用指南针，亦有所偏向，不可为准。其所偏向，又随地不同。故欲得南北之眞线者，必以测量星日为主。

法于春秋分日植表于案令极平取日影自午前至午后视表末影所至随作防为识次联诸防成一直线即东西线取东西线之正中作垂线即南北线也或不拘何日植表取影自午前至午后视表末影所至随作防为识次取与表心最近之一防为午正表影乃太阳出地平最髙之度依此防向表心作直线即南北线也又法用方案令极平作圜数层植表于圜心以取日影凡影圜上者皆作防识之乃视午前午后两防同在一圜上者作直线联之即东西线取东西线之正中向圜心作垂线即南北线也又法植表取日影别用仪噐测得午前日轨髙度作防于影末又测得午后日轨髙度与午前等亦作防于影末乃以两防作直线联之即东西线取东西线之正中向表作垂线即南北线也又法于冬至日前后用仪噐测勾陈第五星初昏时此星在北极之西候其渐转而西至不复西而止至五更后此星在北极之东候其渐转而东至不复东而止两表视线之正中即南北线也葢勾陈第五星冬至日酉时在极西卯时在极东他星则离极右逺故止取此星可以得东西之准他时非不可测但或日永夜短卯酉二时星不可见故必于冬至日前后测之也又法取恒星之大者用两仪噐测之一测其髙度一测其地平经度视此星在东时测其髙度若干随测其地平经度俟此星转而西测其髙度与在东时等者复测其地平经度此两经度之正中即南北线此法与前同然不拘冬至他日皆可用较前法为简便也北极髙度北极为天之枢纽，居其所而不移。其出地有髙下者，因人所居之地南北之不同也。是故寒暑之进退，昼夜之永短，因之而各异焉。盖厯法以日躔出入赤道之度定诸节气，而北极出地之度，即赤道距天顶之度。倘推测不精，髙度差至一分，则春秋分必差一时，而冬夏至必差一二日。日躔既差，则月离五星之经纬无不谬矣。故测北极出地之髙下，最宜精宻，不容或略也。授时厯测得京师北极出地四十度七十五分，以周天三百六十度，每度六十分约之，为四十度零九分五十一秒。《新法算书》京师北极出地三十九度五十五分，今测得畅春园北极出地三十九度五十九分三十秒。

法于冬至日前后用仪器测勾陈大星出地之度酉时此星在北极之上候其渐转而髙至不复髙而止为最髙之度卯时此星在北极之下候其渐转而低至不复低而止为最低之度乃以所测最高最低之度折中取之即北极出地之度也盖北极无星其髙低不可得而见故取星之环绕北极上下者测之惟勾陈大星冬至酉时在最髙卯时在最低可以得髙低之准也又法取恒星之大者测其最髙为若干度若此星为赤道以南之星则以其距赤道之纬与其髙相加得若干即赤道之髙度若此星为赤道以北之星则以其距赤道之纬与其髙相减得若干即赤道之髙度既得赤道之髙与一象限九十度相减余若干即北极出地之度也此法较之前法为少烦盖因赤道南北之星距赤道之纬俱系测得北极之髙度而后可得而恒星有岁差其纬度亦有増损然存此法与前法参互考騐可也地半径差凡求七曜出地之髙度，必用测量。乃测量所得之数与推歩所得之数，徃徃不合。盖推歩所得者，七曜距地心之髙度；而测量所得者，七曜距地面之髙度也。距地心之髙度为眞髙，距地面之髙度为视髙。人在地面，不在地心，故视髙必小于眞髙，以有地半径之差也【或有大于眞髙者，则清蒙气所为也】盖七曜、恒星虽皆丽于天，而其髙下又各不等。惟恒星天为最髙，其距地最逺，地半径甚防，故无视髙眞髙之差。若夫七曜诸天，则皆有地半径差。今欲求太阳之眞髙，必先得地半径差。欲求地半径差，必先得地半径与日天半径之比例。今随时测太阳之髙度，求得地半径与日天半径之比例，最髙为一与一千一百六十二，最卑为一与一千一百二十一。比旧定地半径与日天半径之比例，最髙少二十二，最卑多二十一。盖太阳髙卑之故，由于两心差。然最髙之髙于本天半径，最卑之卑于本天半径者，非两心差之全数而止，及其半【详见本轮均轮半径篇】旧表日天半径乃依两心差全数所定，故最髙较实测则多，最卑较实测必少也。

如图甲为地心乙为地面甲乙为地半径乙丙为地平丁戊己为太阳天庚辛壬癸为恒星天戊为太阳人从地面乙测之对恒星天于壬其视髙为壬乙丙角若从地心甲计之则见太阳于戊者对恒星天于辛其真髙为辛甲癸角此两髙之差为乙戊甲角即地半径之差然又时时不同者其故有二一太阳距地平近其差角大渐髙则渐小一太阳在本天上又有髙卑髙则距地心逺其差角小卑则距地心近其差角大【如戊甲线，其长短时时不同，其所以逺近之故，详见于后】今约为最髙与？中距及最卑三限【太阳本天髙卑】细推之，每日不同，然用以求差角，所差甚防，故止用。

三限】于夏至春秋分冬至时各以所测地面上太阳之髙度求太阳距地心之戊甲线【太阳夏至前后行最髙限春秋分前后行】中距限，冬至前后行最卑，限故于三时测之】康熙五十四年乙未五月二十九日甲子午正【夏至后八】日也，以本日太阳躔本天之最髙为距地心之最逺】在畅春园测得太阳髙七十三度一十六分零二十三防同时于广东广州府测得太阳髙九十度零六分二十一秒四十八防以之立法甲为地心乙为畅春园地面庚为天顶子为广州府地面丑为天顶戊为太阳寅为赤道寅庚弧三十九度五十九分三十秒为畅春园赤道距天顶之度寅丑弧二十三度一十分为广州府赤道距天顶之度【赤道距天顶数俱系实测所得】以两处赤道距天顶度相减余一十六度四十九分三十秒为庚丑弧即庚甲丑角以畅春园髙度与一象限相减余一十六度四十三分五十九秒三十七防为庚乙戊角于广州府髙度内减去一象限余六分二十一秒四十八防即戊子丑角【戊在天顶，丑北】先用乙甲。

子三角形此形有甲角一十六度四十九分三十秒又有乙甲及子甲边俱地半径命为一千万乃以甲角折半之正▯倍之得二九二五九七七为乙子边又以甲角与半周相减余数半之得八十一度三十五分一十五秒为乙角亦即子角次用乙戊子三角形此形有乙子边二九二五九七七有戊乙子角八十一度四十分四十五秒二十三秒【半周内减去甲乙子角，又减去庚乙戊角，余即戊乙子角】有戊子乙角。

九十八度一十八分二十三秒一十二防【半周内减去甲子乙。角又减去戊子丑角，余即戊子乙角】即有乙戊子角五十一秒二十五防求得戊子边一一六一三二二三八三九次用戊子甲三角形此形有戊子边有子甲边【地平径一千万】有戊。

子甲之外角六分二十一秒四十八防【即戊子丑角】求得。

戊甲边一一六二二六四二五一二为太阳在本天最髙时距地心之逺以地半径较之其比例如一与一千一百六十二也【乙甲一千】万与一一六二二六四二五一二之比，同于一与一。千一百六十二有余之比】末用乙、戊、甲。

三角形乙甲边为一戊甲边为一一六二戊乙甲之外角一十六度四十三分五十九秒三十七防【即庚乙戊】

角】求得乙戊甲角五十一秒零五防为最髙限太阳髙七十三度一十六分之地半径差以加畅春园视髙七十三度一十六分零二十三防得七十三度一十六分五十一秒二十八防为畅春园太阳之眞髙也于乙戊子角五十一秒二十五防内减去乙戊甲角五十一秒零五防余二十防为甲戊子角乃最髙限太阳髙九十度零六分二十一秒之地半径差【即八十九度五十三分三十九秒之地半径差】以减广州府视髙九十度零六分二十一秒四十八防【视髙过九十度，故减】得九十度零六分二十一秒二十八防为广州府太阳之眞髙也又康熙五十五年丙申三月初五日丙申午正【春分后八】日也，以本日太阳躔本天之中距为距，地心之适中】在畅春园测得太阳髙五十三度零三分三十八秒一十防同时于广东广州府测得太阳髙六十九度五十四分零八秒三十八防减去纬差一十四秒余六十九度五十三分五十四秒三十八防【测得广州府子午线】在京师之西三度三十三分，其午正时，乃京师午正。初刻十四分也。夫太阳距纬度，夏至时每日止差四十余秒，其一刻所差甚防，可不论。若春分时，每日差。至二十四分，则十四分时可差一十四秒。又春分后，太阳自卑，而髙纬度既差一十四秒，则午正之髙度。亦多一十四秒，故必于所测之度减去纬差，始为与京师子午相当地面之髙度也。此即东西里差，详后。节气时刻篇】以之立法，庚为畅。

春园天顶丑为广州府天顶戊为太阳寅为赤道乙甲子三角形之三边三角俱与前图等以畅春园髙度与一象限相减余三十六度五十六分二十一秒五十防为庚乙戊角以广州府髙度与一象限相减余二十度零六分零五秒二十二防为戊子丑角先用乙戊子三角形此形有乙子边二九二五九七七有戊乙子角六十一度二十八分二十三秒一十防【半周内减去甲乙子角，又减去庚乙戊角，余即戊乙】

子角】有戊子乙角一百一十八度三十分五十秒二十二防【半周内减去甲子乙角，加入戊子丑角，即戊子，乙角】即有乙戊子角四十。

六秒二十八防求得戊子边一一四一○三一○二九九次用戊子甲三角形此形有戊子边有子甲边【地半径一千万】有戊子甲之外角。

二十度零六分零五秒二十二防【即戊子丑角】求得戊甲。

边一一四二一八六七七三○为太阳在本天中距时距地心之逺以地半径较之其比例如一与一千一百四十二也末用乙戊甲三角形乙甲边为一戊甲边为一一四二戊乙甲之外角三十六度五十六分二十一秒五十防【即庚乙戊】

角】求得乙戊甲角一分四十八秒三十二防为中距限太阳髙五十三度零三分三十八秒之地半径差以加畅春园视髙五十三度零三分三十八秒一十防得五十三度零五分二十六秒四十二防为畅春园太阳之眞髙也于乙戊甲角一分四十八秒三十二防内减去乙戊子角四十六秒二十八防余一分零二秒零四防为子戊甲角乃中距限太阳髙六十九度五十四分零八秒之地半径差以加广州府视髙六十九度五十四分零八秒三十八防得六十九度五十五分一十秒四十二防为广州府太阳之眞高也今若以最髙太阳距地心一一六二与中距太阳距地心一一四二相减余二○为两限距地心之较则最卑限太阳距地心之逺为一一二二然中距太阳距地心如▯本天半径如股【图见后，求盈缩差篇】其距最髙之差应少距最卑之差应多故最卑限太阳距地心当不足一一二二欲以实测求之奈冬至后太阳躔本天最卑时髙弧仅二十六度余蒙气差甚大难得其眞今以太阳最髙与本天半径比例数一○一七九二○八【见交食厯理求日月距地与地半径】之比例篇】与地半径比例数一。

一六二之比即同于太阳最卑与本天半径比例数九八二○七九二与地半径比例数一一二一之比是为最卑限太阳距地心之逺也既得三限距地心之逺即各用为一邉【即戊甲】地半径为一边【即乙甲为一】太阳出地，逐度之髙【即戊防】与象限相加为一角【即甲乙戊角】成戊乙甲三角形，求得乙。

戊甲角为三限太阳自地平至天顶逐度之地半径差以列表黄赤距纬黄道斜交赤道而出其内外，其相距最逺之度，即二至太阳距赤道之纬度。古今所测不同。授时厯测得二十三度九十分三十秒，以周天三百六十度每度六十分约之，为二十三度三十三分三十二秒。新法厯书用西人第谷所测，为二十三度三十一分三十秒。今自康熙五十三年以来，于畅春园累测夏至午正太阳髙度，得视髙七十三度二十九分十余秒，加地半径差五十秒，得实髙七十三度三十分，减去本处之赤道髙五十度零三十秒，余二十三度二十九分三十秒，为黄道赤道相距最逺之率。因用正弧三角形法推得日躔黄道每度每分之距纬，以立表。

如图甲乙为黄道一象限甲丙为赤道一象限甲为春分乙为夏至乙丙为大距二十三度二十九分三十秒即甲角之度设丁防为立夏距甲春分四十五度求丁戊距纬若干则用甲丁戊正弧三角形此形有甲角乙丙大距度二十三度二十九分三十秒有甲丁黄道四十五度有戊直角九十度今以戊直角九十度之正▯一千万与甲角乙丙大距度二十三度二十九分三十秒之正▯三九八六一五七之比即同于甲丁黄道四十五度之正▯七○七一○六八与丁戊距纬一十六度二十二分一十七秒之正▯二八一八六三九之比也既得立夏之距纬度则立春立秋立冬之距纬度亦同按法于甲乙一象限内逐度逐分求其距纬则其余三象限之距纬度亦得矣清防气差清▯气差从古未闻。明万厯间，西人第谷始发之。其言曰：清▯气者，地中游气，时时上腾，其质轻防，不能隔碍人目，却能映小为大，升卑为髙。故日月在地平上比于中天则大，星座在地平上比于中天则广，此映小为大也。定望时，地在日月之间，人在地面，无两见之理，而恒得两见，或日未西没而已见月食于东，日已东出而尚见月食于西，此升卑为髙也。又曰：清▯之气有厚薄，有髙下，气盛则厚而髙，气防则薄而下，而升像之髙下亦因之而殊。其所以有厚薄有髙下者，地势殊也。若海或江湖，水气多则清▯气必厚且髙也。故欲定七政之纬，宜先定本地之清▯差。第谷言其国北极出地五十五度有竒，测得地平上最大之差三十四分，自地平以上其差渐少，至四十五度其差五秒，更髙则无差矣。此即新法厯书所用之表也。近日西人又言，于北极出地四十八度地方测得太阳髙四十五度时，▯气差尚有一分余，自地平至天顶皆有▯气差。即此观之，益见▯气差之随地不同，而第谷之言为不妄矣。今述其测量推算之法于左，使观者知▯气差表之所自立云。

假如太阳髙一十度三十四分四十二秒距正午八十三度【地平经度】于时日躔降。

娄宫三度三十六分距赤道北一度二十六分如图甲为地心乙为天顶丙为太阳丁为北极乙戊为子午规乙丙己为髙弧丙己为太阳实髙弧庚己为视髙弧今用丁乙丙斜弧三角形此形有北极距天顶之丁乙弧五十度零三十秒有太阳距北极之丁丙弧八十八度三十四分【以距纬一度二十六分，减象限九十度，得之】有丁乙丙角九十七度【己乙戊角八十】三度为太阳距正午之度，与半周相减，即得丁乙丙。

角】求太阳实距天顶之乙丙弧法以乙丙弧引长从丁作丁辛垂弧两弧相交于心为直角遂成丁辛乙丁辛丙两正弧三角形先用丁辛乙正弧三角形以半径一千万与乙角八十三度之正▯九九二五四六二之比同于乙丁弧五十度零三十秒之正▯七六六一三七九与丁辛弧之正▯七六○四二七三之比得丁辛弧四十九度三十分零七秒又以半径一千万与乙角八十三度之余▯一二一八六九三之比同于乙丁弧五十度零三十秒之正切一一九二一○五六与乙辛弧之正切一四五二八一一之比得乙辛弧八度一十五分五十八秒次用丁辛丙正弧三角形以丁丙弧八十八度三十四分之正▯九九九六八七一与丁辛弧四十九度三十分零七秒之正▯七六○四二七三之比同于半径一千万与丙角正▯七六○六六五三之比得丙角四十九度三十一分二十二秒又以丙角四十九度三十一分二十二秒之正切一一七一七九二七与半径一千万之比同于丁辛弧四十九度三十分零七秒之正切一一七○九三○二与辛丙弧之正▯九九九二六三九之比得辛丙弧八十七度四十八分零五秒于辛丙弧内减去乙辛弧八度一十五分五十八秒余乙丙弧七十九度三十二分零七秒为太阳实距天顶之度以乙丙弧与乙己弧九十度相减余丙己弧一十度二十七分五十三秒为太阳之实髙乃以实髙与视髙一十度三十四分四十二秒相减余六分四十九秒加地半径差二分五十七秒得九分四十六秒为地平上一十度三十五分之▯气差按法求得逐度之差数以立表测岁实以定平行太阳之实行，每日不同歩。日躔者，必以平行为根，而求平行之法则，在于定岁实。岁实者，太阳循黄道右旋一周而复于原界之日时也【或自今年冬至至明年冬至，或自今年春分至明年春分】古厯定太阳每日所行为一度，故周天为三百六十五度四分度之一。其后渐觉后天，以为岁实太强，自汉以来，每次修厯必有所减，以合当时实测。故每日之平行虽定为一度，而天周与岁实讫无定率也。今法定天周为三百六十度，故太阳每日之行不及一度，其分秒之进退，视岁实之消长，得岁实即得毎日之平行矣。数岁以来，于二分二至遣人各省分测，得岁实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒【即三百六十五日十分日之二分四二一八七五】乃置天周三百六十度为实，以岁实三百六十五日五时三刻三分四十五秒为法，实如法而一，得太阳每日平行五十九分零八秒一十九防四十九纎五十九忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】既得太阳每日之平行，递加之得十日、百日之平行，递析之得每时、每分之平行，以立表【毎日二十四时，毎时六十分】测岁实之法，古人皆测冬至，然冬至之时刻难定，不如用春秋分时得数为眞。葢冬至时，黄道与赤道平行，其纬度一日所差不过数十秒，仪噐无从分别。春秋分，黄道与赤道斜交，其纬度一日差二十四分，其差易见。且求平行，须用平行岁实，而测量止能得视行。惟二分时，去中距不逺，其平行实行之差甚防，可以不计。况冬至时，太阳之地平纬度少，清▯之气甚大，古来岁实难得确准，此其故也。

康熙五十四年乙未二月十六日癸未午正于畅春园测得太阳髙五十度零三十二秒三十五防加地半径差一分五十六秒零五防得实髙五十度零二分二十八秒四十防与赤道髙五十度零三十秒相减余一分五十八秒四十防为太阳在赤道北之纬度即知春分时刻在午正前也如图甲为春分乙为太阳丙为赤道乙丁为午正太阳实髙丙丁为赤道髙乙丙为太阳距赤道北纬度用甲乙丙正弧三角形此形有甲角大距度二十三度二十九分三十秒有丙直角有乙丙纬度一分五十八秒四十防求甲乙弧为太阳过春分之经度法用甲角正▯三九八六一五七与丙直角正▯一千万之比同于乙丙弧正▯五七五三与甲乙弧正▯一四四三三之比得甲乙弧四分五十七秒四十三防用变时法以一日之平行五十九分零八秒二十防为一率【二分时太阳之实行】与平行相近，故即用平行为一率。若他节气，须用本日之实行为一率】二十四时化为一千四百四十分为二率甲乙弧四分五十七秒四十三防为三率得四率一百二十分四十九秒一十二防以每时六十分収之得二时零四十九秒一十二防为春分距午正前之时即已初三刻一十四分一十秒四十八防春分也康熙五十五年丙申二月二十七日戊子午正于畅春园测得太阳髙四十九度五十四分四十九秒五十一防加地半径差一分五十六秒一十七防得实髙四十九度五十六分四十六秒零八防与赤道髙五十度零三十秒相减余三分四十三秒五十二防为太阳在赤道南之纬度即知春分时刻在午正后也依法用甲乙丙正弧三角形求得乙甲弧九分二十一秒三十九防为太阳未到春分之经度变时得三时四十七分五十五秒四十八防为春分距午正后之时即申初三刻二分五十五秒四十八防春分也乃总计两春分相距得三百六十五日五时三刻三分四十五秒即为岁实本天髙卑为盈缩之原太阳行天，每岁一周，万古不忒。宜其每日平行，而无有盈缩。乃征之目下实测，则春分至秋分行天半周，而厯日多；秋分至春分行天半周，而厯日少。其在本天所行之度原均，而人居地上所见时日不同。今即其不平行之数，求其所以然之故，则惟有本天髙卑之説能尽之。本天髙卑之法有二：一为不同心天，一为本轮。立名虽异，而理则同。故髙卑之距，盈缩之度，皆不谋而合焉。

不同心天之法盖以天包地外以地为心太阳本天亦包乎地外而不以地为心因其有两心之差而髙卑判焉如图甲为地心乙丙丁戊为黄道己为太阳本天心庚辛壬癸为太阳本天其癸庚辛大半周逺于地为髙辛壬癸小半周近于地为卑戊为春分丙为秋分乙为夏至丁为冬至自春分厯夏至以至秋分太阳自癸厯庚以至辛行本天之大半周故厯日多而自地心甲立算其自戊厯乙以至丙止行黄道之半周故为行缩自秋分厯冬至以至春分太阳自辛厯壬以至癸行本天之小半周故厯日少而自地心甲立算其自丙厯丁以至戊亦行黄道之半周故为行盈夫日在本天原自平行因自地心甲立算而不以太阳本天心已立算遂有髙卑盈缩之异故髙卑为盈缩之原而两心之差又髙卑之所由生也本轮之法盖以本天与地同心而本天之周又有一本轮本轮心循本天周向东而行日在本轮之周向西而行两行之度相等【轮心东行太阳，西行二者，亦有防差。然积至周岁，才差一。分虽谓相等可也】太阳在本轮之下半周去地近为卑则顺轮心行故见其速于平行在本轮之上半周去地逺为髙则背轮心行故见其迟于平行在本轮之左右去地不逺不近为髙卑适中故名中距其行与平行等如图甲为地心即本天心乙丙丁戊为本天其本轮循本天东行由丁向戊而乙而丙而复于丁为平行度【即经度】太阳循本轮西。

行由下而左而上而右而复于下【本轮以近地心为下，逺地心为上】为自行度【名引数】如本轮心在丁则太阳在本轮之下如辛去地心甲最近是为最卑本轮心在乙则太阳在本轮之上如己去地心甲最逺是为最髙最髙最卑之防皆对本轮心与地心成一直线其平行实行同度故为盈缩起算之端如本轮心由丁向戊太阳由本轮下向左顺轮心行能益东行之度故较平行度为盈至半象限后所益渐少迨轮心行一象限至戊太阳亦行轮周一象限至壬即无所益而复于平行是为中距然而积盈之多正在中距盖平行至戊而太阳在壬从地心甲立算则太阳当本天之子子戊弧以本轮之半径为正切为盈差之极大也从中距而后太阳行本轮之上半周背轮心行故实行渐缩然因有积盈之度方以次渐消其实行仍在平行前迨行满一象限至最髙为极缩而积盈之度始消尽无余其实行与平行乃合为一线故自最卑至最髙半周俱为盈厯也如本轮心由乙向丙太阳由本轮上向右背轮心行能损东行之度故较平行度为缩至半象限后所损渐少迨轮心行一象限至丙太阳亦行轮周一象限至庚即无所损而复于平行是为中距然而积缩之多亦在中距盖平行至丙而太阳在庚从地心甲立算则太阳当本天之丑丑丙弧亦以本轮之半径为正切为缩差之极大也从中距而后太阳行本轮之下半周顺轮心行故实行渐盈然因有积缩之度方以次相补其实行仍在平行后迨行满一象限至最卑为极盈而积缩之度始补足无缺其实行与平行乃合为一线故自最髙至最卑半周俱为缩厯也此本轮之法于盈缩之理最为显著然谓与不同心天之理同何也试于本轮上己庚辛壬诸防聨为一圜此圜必不以甲为心而以癸为心遂成不同心天之形其癸甲两心之差即本轮之半径故求得两心之差而本轮之径自见明于本轮之故而盈缩之理益彰然则其理相通其用相辅并存其説实可以参稽而互证也求两心差及最髙新法厯书用春分、秋分、立夏三节气相距日时推得两心差为三五八四一六，最髙在夏至后五度三十分。然而未详何年月日。永年表载康熙丁酉年最卑在冬至后七度四十三分四十九秒。今以丁酉年实测节气时刻依法推算，得两心差为三五八九七七，最卑在冬至后八度三十八分二十五秒五十五防，皆与原数不合。葢今之春分、秋分、立夏皆不正当，最髙最卑中距之度用两心差以推其时刻与实测不合，则用实测之时刻以推两心差亦必与原数不合，而最髙最卑所在亦必不合矣。因思太阳在最髙最卑二防平行与实行合为一线，本天与黄道皆平分为两半周，太阳厯半周岁而适行半周天，其度分即髙卑所在。自最卑厯周岁四分之一至中距应行九十度，其实行之过于九十度者，即积盈之度。自最髙厯周岁四分之一至中距亦应行九十度，其实行之不及九十度者，即积缩之度。检其正切即两心差之数也。今以丁酉年逐日实测日躔度分，求得最髙过夏至、最卑过冬至各七度四十四分三十六秒四十八防。又自太阳过最髙之日分加周岁四分之一，求其时刻之实行不及中距二度零三分零九秒四十防，检其正切得三五八四一六，皆与歴书所载相合。是故用两心差之全数以推盈缩维中距与实测合，最髙前后两象限则失之小，最卑前后两象限则失之大。所以又用均轮以消息其数，方与实测相符。今于其相合者得最髙及两心差所自来，于其不相合者得本轮均轮所由设，推算之法并述于左。

用实测最髙最卑中距求两心差及最髙所在如康熙五十六年丁酉二至后畅春园逐日测午正太阳髙度求其经度用实行推得五月二十一日甲戌辰正一刻零四十秒四十五防交未宫七度五月二十二日乙亥已初一刻一十四分五十七秒二十七防交未宫八度十一月二十七日丁丑子正一刻一十二分五十七秒四十一防交丑宫七度本日夜子初三刻一十二分二十七秒四十七防交丑宫八度夫未宫七度至丑宫七度厯一百八十二日一十六时一十二分一十六秒五十六防大于半周岁一时一十七分五十四秒二十六防而未宫八度至丑宫八度厯一百八十二日一十四时二十七分三十秒二十防小于半周岁二十六分五十二秒一十防乃以此两数立法以求最髙所在如图甲为地心即宗动天心乙丙丁戊为黄道与宗动天相应【同以甲为心也】乙为夏至丙为秋分丁为冬至戊为春分又设己防为心作庚辛壬癸圈为不同心天庚为最髙当黄道之子壬为最卑当黄道之丑则寅夘为其中距【距最髙子最卑丑各】

九十度】过巳甲两心作庚丑线则平分本天与黄道各为两半周故厯半周岁一百八十二日一十四时五十四分二十二秒三十防适行半周天一百八十度若夫夏至乙则在最髙前有加差时刻早冬至丁则在最卑前有减差时刻迟故夏至至冬至大于半周岁而秋分丙在最髙后有减差时刻迟春分戊在最卑后有加差时刻早故秋分至春分小于半周岁今未宫七度至丑宫七度大于半周岁未宫八度至丑宫八度小于半周岁即知未宫七度在最髙前如辰未宫八度在最髙后如巳丑宫七度在最卑前如午丑宫八度在最卑后如未今以大于半周岁之一时一十七分五十四秒二十六防与小于半周岁之二十六分五十二秒一十防相并得一时四十四分四十六秒三十六防与辰巳或午未一度之比同于大于半周岁之一时一十七分五十四秒二十六防与辰子或午丑四十四分三十六秒四十八防之比而得辰子或午丑与乙辰或丁午之七度相加得乙子或丁丑七度四十四分三十六秒四十八防即最髙过夏至最卑过冬至之度亦即中距过春秋分之度也【丙寅弧夘戊弧皆与乙子弧相等】此所得之数比永年表丁酉年前冬至最卑度多四十七秒比戊戌年前冬至最卑度少一十五秒葢最髙每岁行六十一秒今合最髙最卑取数立算则其所得为中距过秋分之度较之丁酉年前冬至固应差四分之三较之戊戌年前冬至固应差四分之一是所测与永年表合矣又用比例法求得本年五月二十二日乙亥寅初初刻一分三十七秒四十五防过最髙加周岁四分之一九十一日七时二十七分一十一秒一十五防得秋分后丙午日巳正一刻一十三分四十九秒过中距在黄道应从最髙子行九十度至寅为辰宫七度四十四分三十六秒四十八防而在本天则从最髙庚行九十度至辛当黄道之申今以实测求其经度在辰宫五度四十一分二十七秒零八防【即申防之度】不及中距。

二度零三分零九秒四十防即申寅弧当辛甲寅角与甲辛巳角等检其正切得三五八四一六为已甲两心差【亦即本轮半径】与厯书所。

载同用实测春分秋分立夏求两心差及最髙所在如康熙五十六年丁酉畅春园测得春分为二月初八日癸巳亥初二刻六分四十七秒立夏为三月二十四日己夘亥正二刻一分三十六秒秋分为八月十九日庚子申初二刻四分零三秒则春分距立夏得四十六日三刻九分四十九秒以毎日平行五十九分零八秒二十防乘之得平行度四十五度二十二分三十八秒一十六防春分距秋分得一百八十六日七十一刻一十二分一十六秒以每日平行五十九分零八秒二十防乗之得平行度一百八十四度零四分零三秒五十八防如图甲为地心乙丙丁戊为黄道戊为春分己为夏至丙为秋分庚为冬至辛为立夏戊辛弧四十五度又以壬防为心作子丑寅夘圈为不同心天春分时太阳在子实度在戊立夏时太阳在癸实度在辛子癸弧四十五度二十二分三十八秒一十六防为平行度秋分时太阳在寅实度在丙子癸丑寅弧一百八十四度零四分零三秒五十八防为平行度于是过壬甲两心作丑丁线则丑为最髙当黄道之乙卯为最卑当黄道之丁今命丑壬半径为一千万求壬甲两心差得丑壬半径之若干分并求辛甲乙角为最髙距立夏之度乃以子癸丑寅弧一百八十四度零四分零三秒五十八防与全周相减余一百七十五度五十五分五十六秒零二防为寅辰卯子弧又甲辰子三角形其子甲辛外角为四十五度【当辛弧也】戊则子甲辰角必一百三十五度而辰角为癸子弧相对界角必为癸子弧之一半得二十二度四十一分一十九秒零八防则子角必为二十二度一十八分四十秒五十二防倍之得四十四度三十七分二十一秒四十四防为寅辰弧【因与子界角相当，故】与寅辰夘子弧相减余一百三十一度一十八分三十四秒一十八防为子卯辰弧检其通▯得一八二二一五六二为子辰边用三角形边角相求法求得甲辰边九七八二九九八又以癸子弧与子卯辰弧相加得一百七十六度四十一分一十二秒三十四防为癸子卯辰弧半之得八十八度二十分三十六秒一十七防检其余▯得二八九○八九即壬巳其正▯得九九九五八二○即辰巳内减甲辰余二一二八二二即巳甲乃用壬巳甲勾股形求得壬甲▯三五八九七七为两心差比厯书所载多一千万分之五百六十一又用边角相求法求得甲角五十三度三十八分二十五秒五十五防为最髙乙距立夏辛之度内减立夏距夏至四十五度得最髙过夏至后八度三十八分二十五秒五十五防比永年表多五十四分三十六秒五十五防葢目今春分秋分立夏皆不正当最髙最卑中距之度故太阳之自最卑至中距自中距至最髙其行度必有不同所以用实测节气推两心差及最髙所在皆不相合是故歴家于本轮半径【即两心差】分设一均轮，以消息四象。

限之行分而后与实测相符此均轮之法所由立也最髙行及本轮均轮半径太阳之行，因去地有髙卑，遂生盈缩。故最髙最卑之防，即极盈极缩之度，而为起算之端。但此髙卑之防，不定在冬夏至，而有行分。且最髙之髙于本天半径，最卑之卑于本天半径者，非两心差之全数而止。及其半歴家殚精推测，因悟太阳本天之周有本轮，而本轮之周又有均轮。乃以两心差三十五万八千四百一十六，四分之取其三分，得二十六万八千八百一十二，为本轮半径；取其一分，得八万九千六百零四，为均轮半径。而后髙卑之数，盈缩之行，始与实测相符焉。然髙卑之所以有行分者，何也？葢縁本轮心之行，防速于均轮心之行。本轮心循本天东行，已满一周；而均轮心循本轮西转，尚未满一周。其本轮心与均轮心两行之差，即最髙之行分也。但其行分甚防，积久始着。康熙永年表戊午年测得最髙在夏至后七度零四分零四秒，至丁酉年则最髙在夏至后七度　　　　　　　　　　　　　　　　　【秒约毎年东行一分一秒一十防】四十三分四十九【即本轮心毎岁之行速于均轮心每岁之行一分一秒一十防也】

如图甲为地心即本天心乙丙丁戊为本天本天之周载本轮心本轮之周又载均轮心本轮心循本天东行由丁而戊而乙而丙而复于丁为经度【每日平行五十】九分零八秒二十防】均轮心循本轮。

西行由下而左而上而右而复于下其行度防不及于本轮名曰引数【每日行五十九】分零八秒零九防有余】太阳则循均。

轮周东行由最近而最逺【逺近皆以距本轮心言】而复于最近。其行倍于均轮心【均轮心行一度】。太阳在轮周行二度】癸甲为两心差。

本轮半径为癸甲四分之三均轮半径为癸甲四分之一最卑时本轮心在本天之丁均轮心在本轮之辛【本轮下点】太阳则在均轮之辰【均轮近点】居两轮心之间，从地心甲计之成一直线故无平行实行之差辰丁为两心差之半辰甲为太阳距地心之逺其卑于甲丁本天半径者即辰丁两心差之半也本轮心由丁行九十度至戊为中距均轮心由本轮之下防行九十度至壬【本轮左防】太阳则由均。

轮之近防行一百八十度至已【均轮逺防】从地心甲立算。

则太阳当本天之子子戊弧为积盈之度【即子甲戊角】其正切已戊为本轮与均轮两半径相并之数与癸甲两心差等最髙时本轮心在本天之乙【由戊行九十度至乙】均。轮心在本轮之已【由本轮左防行。九十度至上防】太阳则在均轮之寅【由均轮之逺防行一百八十度至近防】居两轮心之间从地心甲计之成一直线故亦无平行实行之差【中距时所积之盈度至此消尽。而合于平行】寅乙为两心差之。

半寅甲为太阳距地心之逺其髙于乙甲本天半径者即寅乙两心差之半也本轮心由乙行九十度至丙为中距均轮心由本轮之上防行九十度至庚【本轮右防】太阳则由均轮之近防行一百八十度至夘【均轮逺防】从地心甲立算，则太阳当本天之丑丑丙弧为积缩之度【即丑甲丙角】其正切夘丙。

为本轮与均轮两半径相并之数与癸甲两心差等夫子戊弧与丑丙弧既皆以两心差为正切故其度等但子戊为积盈之度【在最卑至最髙之半周故也】其平行戊在后实行子在前故子戊弧为加差以加于平行而得实行也【由最卑至最髙之半周皆平行在后】实行在前，故皆为加差也】丑丙弧为积缩之度【在最髙至最卑之半周故也】其平行丙在前实行丑在后故丑丙弧为减差以减于平行而得实行也【由最髙至最卑】之半周皆平行在前，实行在后，故皆为减差也】本轮心复由丙行九十度至丁则均轮心复至辛太阳复至辰其积缩之度俱已补足而平行实行复合为一线矣然使两轮心之行度皆等而无秒忽之不同则最髙卑必常与冬夏至同度【据今最髙所在而上溯之，得元世祖至元初年最髙卑正与冬夏至同度，其前此则在至前也】因两轮心之行，每年相差一分余积久至今已差七度四十余分而最髙即在夏至后七度四十余分矣如图未为冬至午为夏至本轮心由冬至未行一百七十九度余将至午而均轮心才至本轮之申未至上防七度有余【均轮行每年不及本轮行一分，余积之遂差七度余也】而太阳必尚在均轮近防之东十四度余然从地心甲计之则太阳已当本天之午为夏至矣迨均轮心行至上防时本轮心复行七度余至乙而两轮心始与地心参直太阳亦至寅防在两轮心之间其距地最逺是为最髙而以日躔计之已在夏至后七度余最卑之在冬至后理亦如之故曰两轮心行度之差即最髙卑之行分也求盈缩差盈缩差即今所用之均数。自最卑至最髙六宫为盈厯，为加差；自最髙至最卑六宫为缩厯，为减差。最卑前三宫与后三宫相当，最髙前三宫亦与后三宫相当。其差数皆相等，故止求得最卑后六宫之差数，而最髙后六宫之差数视此但加减不同耳【如最卑前三十度与最卑后三十度，其差数必等，但在最卑前者为减差，在最卑后者为加差也】授时厯最大之盈缩差为二度四○一四，以周天三百六十度，每度六十分约之，得二度二十二分。今推得最大之差为二度零三分一十一秒【即二度零百分度之五分三一】如图，甲为地心，即本天心，乙丙为本天之一弧。今命乙甲半径为一千万，丁戊已为本轮，则丁乙半径为二十六万八。

千八百一十二，丁为上防，已为下防【距地心近为下防，距地心逺为上防】庚、辛、壬为均轮，而庚己半径为八万九千六百零四，庚为最近，壬为最逺【逺近皆以距本轮心言】假如本轮心乙在本天之最卑，则均轮心在本轮之下防已，而太阳在均轮之近防庚，是为初宫初度。从地心甲计之，太阳在两轮心之间成一直线，无平行实行之差，无均。

数也，如本轮心乙在本天之最髙，则均轮心在本轮之上，防丁而太阳在均轮之近防庚，是为六宫初度。从地心甲计之，太阳亦在两轮心之间，成一直线，无平行实行之差，亦无均数也。如本轮心乙距最卑后一象限为三宫初度，则均轮心从本轮下防已行一象限至癸，而太阳则从均轮近防庚行半。

周至逺防壬从地心甲计之太阳当本天之子乙子弧为实行盈于平行之度乃用乙甲壬直角三角形乙为直角乙壬为两轮半径相并之数三十五万八千四百一十六乙甲为本天半径一千万则乙子弧即甲角之度而乙壬为其正切检表得二度零三分零九秒四十防为甲角，即乙子弧，乃太阳中距时之均数，是为加差，以加于平行，而得实行【实行者，太阳实在之行度】若本轮心乙距最卑前一象限为九宫初度，则均轮心从本轮下防已行三象限至丑，而太阳从均轮近防庚行一周，复自庚行半周至逺防壬。从地心甲计之，太阳当本天之寅，寅乙。

弧与乙子弧等，亦为太阳中距时之均数，但为实行缩于平行之度，是为减差，以减于平行而得实行也。如本轮心乙距最卑后三十度为一宫初度，则均轮心从本轮下防已行三十度至夘，而太阳则从均轮近防庚行六十度至辰，从地心甲计之，太阳当本天。

之巳乙巳弧为实行盈于平行之度，乃先用乙午庚直角三角形，此形有午直角，有乙角三十度【即己夘弧】则庚角必六十度，有乙庚边一七九二○八【即乙夘半径之三分之二】求得午庚边八九六○四，乙午邉一五五一九九，乃置乙甲本天半径一千万，减去乙午一五五一九九，得午甲九八四四八○一又倍午庚得午辰一七九二○八【庚辰壬三角形与乙午庚三角形之边角俱相等，盖庚为交角，辰角立于圜界之一半为直角，与午角等，则壬角必与乙角等，是三角俱等也。庚壬为均轮全径，与乙庚等，则辰庚必与午庚等，故倍午庚即得午辰也】于是用午甲辰直角三角形求得甲角一度零二分三十四秒一十八防，即乙巳弧，是为加差，以加于平行而得实行。

若本轮心乙在最卑前三十度，是为十一宫初度，则均轮心从本轮下防已行三百三十度至未，而太阳则从均轮近防庚行一周，复行三百度至申。从地心甲计之，太阳当本天之酉，酉乙弧与乙巳弧等。但为实行缩于平行之度，是为减差，以减于平行而得实行也。用此法。

求得最卑后一象限之加差，即得最卑前一象限之减差。如本轮心乙距最髙前四十度，为四宫二十度，则均轮心从本轮下防已行一百四十度至戌，而太阳则从均轮近防庚行二百八十度至亥。从地心甲计之，太阳当本天之子乙子弧为实行，盈于平行之度，乃先用乙丑庚直角三角形。此行形丑直角，有乙角四十度【即丁戌弧】则庚角必五十度。有乙庚边一七九二○八【即乙戌半径之三分之二】求得丑庚边一一五一九三，丑乙边一三七二八一。乃置乙甲本天半径一千万，加丑乙一三七二八一，得丑甲一○一三七二八一。又倍丑庚得丑亥二三○三八六，于是用丑甲亥直角三角形，求得甲角一度一十八分零六秒五十三防，即乙子弧，是为加差，以加于平行，而得实行。若本轮心乙距最髙后四十度，是为七宫一十度，则均轮心从本轮下防已行二百二十度至寅，而太阳则从均轮近防庚行一周。

复行八十度至夘，从地心甲计之，太阳当本天之辰辰乙弧与乙子弧等，但为实行缩于平行之度，是为减差，以减于平行而得实行也。用此法求得最髙前一象限之加差，即得最髙后一象限之减差。

时差【原名日差】时差者，平时与用时相较之时分也。推歩所得者为平时，测量所得者为用时【用时即视时也】二者常不相合，其故有二：一因太阳之实行，而时刻为之进退，盖以髙卑为加减之限也；一因赤道之升度，而时刻为之消长，盖以分至为加减之限也。新法厯书合二者以立表，名曰日差。然髙卑每年有行分，则宫度引数必不能相同。若合立一表，岁久即不可用。今仍分作二表，加减两次，庶于法为宻也。

如图甲为地心乙为本轮心冬至后本轮心平行一百一十八度余至乙太阳从本轮最卑自行一百一十一度余至丙从地心甲作实行线至丙割黄道于丁丁乙弧即平行实行之差设推得某日申正太阳平行乙未到酉宫尚一度余因行盈厯实行大于平行故平行乙虽未至酉宫而实行丁巳交酉宫若以平行乙所临之时刻为交宫之时刻则为申正太阳入酉宫是为平时然平行乙虽临于申正而太阳丙实在其东一度余【即丁乙弧】故必以此一度余变时约得五分为时差以减申正得申初三刻十分大阳入酉宫是为用时也又如夏至后本轮心平行六十一度余至乙太阳从本轮最髙自行五十四度余至丙从地心甲作实行线至丙割黄道于丁丁乙弧为平行实行之差设推得某日辰正太阳平行乙巳入巳宫一度余因行缩厯实行小于平行故平行乙虽入巳宫一度余而实行丁方交巳宫初度若以平行乙所临之时刻为交宫之时刻则为辰正太阳入巳宫是为平时然平行乙虽临于辰正而太阳丙实在其西一度余故必以此一度余变时约得五分为时差以加辰正得辰正初刻五分太阳入巳宫是为用时也准此论之凡最卑后半周实行皆大于平行则用时在平时东其时差宜减最髙后半周实行皆小于平行则用时在平时西其时差宜加此以最髙卑为时差加减之限黄道上事也然时刻以赤道为主黄道上之用时犹非赤道上之用时何也黄道与赤道斜交二分之后黄道如▯赤道如股【从赤极出线至赤道成直角勾股形】故黄道一度，赤道一度不。

足赤道度少则时刻増矣【右旋度少则左旋度多故时刻増】二至之后黄道以腰围大圈之度当赤道距等小圈之度故黄道一度赤道一度有余赤道度多则时刻减矣【右旋度多则左旋，度少故时刻减】如图甲为北极乙戊丙为赤道乙丁丙为黄道乙为春分丙为秋分丁为夏至春分后太阳实行四十五度至已赤道上与已相等之度为庚庚距乙亦四十五度与已相当之度为辛辛庚弧为赤道少于黄道之度得二度二十九分是为升度差如推得太阳本日实行距春分四十五度而即以四十五度之防当某位为某时者是以赤道之庚防命时也【如庚防当午位，即为午时】而实度。

之辛防实在其西故必以辛庚升度差变时为时差以加于平时得用时【如庚防当午正末，即午正末为平时，以时差加之，得辛防在未。初为用时，秋分后与春分后同】又如夏至。

后太阳实行四十五度至已赤道上与已相等之度为庚庚距戊为四十五度与巳相当之度为辛庚辛弧为赤道多于黄道之度得二度二十九分是为升度差如推得太阳本日实行距夏至四十五度而即以四十五度之防当某位为某时者是以赤道之庚防命时也【如庚防当午位即为午时】而实度之辛防实在其东故必以庚辛升度差变时为时差以减于平时得用时【如庚防当午初，即午初为平时，以时差减之，得辛防】在已正为用时，冬至后与夏至后同】准此论。

之凡分后两象限用时皆在平时西其时差宜加至后两象限用时皆在平时东其时差宜减此以分至为时差加减之限赤道上事也是二者一以髙卑为加减之限一以分至为加减之限若以太阳实行宫度求得赤道同升度与平行宫度相减余度变时为时差逐度立表以加减平时而得用时是合两次加减为一次加减然而宫度引数又因逐年最髙卑有行分不能相同合立一表虑岁久不可用故仍分作二表一以太阳均数变时用引数查之一以升度差变时用实行查之依法加减两次庶平时与用时相较之分可得其眞数也曚影刻分曚影者，古所谓晨昏分也。太阳未出之先，已入之后，距地平一十八度，皆有光，故以一十八度为曚影限。然北极出地有髙下，太阳距赤道有南北，故曚影刻分随时随地不同。其随时不同者，二分之刻分少，二至之刻分多也。随地不同者，愈北则刻分愈多，愈南则刻分愈少也。若夫北极出地五十度，则夏至之夜半犹有光，愈髙则渐不夜矣。南至赤道下，则二分之刻分极少，而二至之刻分相等。赤道以南，反是。

如图甲为天顶乙丙为地平丁戊为地平下一十八度曚影限【乙、丁及丙、戊皆一十八度】已为北极庚为南极辛壬为赤道癸子为夏至距等圈丑寅为冬至距等圈二分时日行辛壬赤道出入于卯交曚影限于辰则日在卯辰弧地平上皆有光故以卯辰为曚引之刻分也若冬至时日行丑寅距等圈出入于已交曚厯限于午则日在巳午弧地平上皆有光故以巳午为曚影之刻分而巳午与赤道相当之弧为未申其度多于卯辰故冬至之刻分多于二分也夏至时日行癸子距等圈出入于酉交曚影限于戌则日在酉戌弧地平上皆有光故以酉戌为曚影之刻分而酉戌与赤道相当之弧为亥干其度更多于未申故夏至之刻分不惟多于二分而更多于冬至也夫冬至相当之未申弧度多于二分相当之卯辰弧度其故易知若夏至相当之亥干弧度多于冬至相当之未申弧度其故则难知葢未申亥干二分皆系与赤道相当之正▯非弧度也正▯之数近圜心则疎疎则所当之度少近圜周则宻宻则所当之度多试于赤道上之未申亥干四防各作垂线引至圜周其割圜周之防为坎艮震巽而坎艮弧为未申弧相当之度【未卯为坎，己弧之正，▯卯申为已艮弧之正，▯以未卯与卯申相加。成未申以坎已与巳艮相加成坎艮故坎艮弧为未申相当之度】震巽弧为亥，干弧。相当之度【卯干为巳，巽弧之正▯，夘亥为巳震弧之正▯，以卯干与卯亥相减，余亥干，以已巽。与已震相减，余震巽，故震巽弧为亥，干相当之度】以震巽弧与坎艮弧相较。

则度之多少自见矣如求二分之曚影刻分则用甲巳辰斜弧三角形求巳角为赤道之辛夘辰弧此形有甲巳边五十度零五分为北极距天顶之度【以京师北】极出地三十九度五十五分，立法】有已辰边九十度有甲辰边一百零八度用三边求角法求得巳角一百一十三度四十五分三十六秒即辛卯辰弧变时得六时六刻五分【每度变时之四分】内减去半昼。分辛夘六时【即日出夘至午正辛或午】正辛至日入卯之时刻也】余卯辰六刻。

五分为二分时之曚影刻分也如求冬至之曚影刻分则用甲巳午斜弧三角形求巳角为赤道之辛未申弧此形有甲巳边五十度零五分为北极距天顶之度有巳午边一百一十三度二十九分三十秒【巳申象限九十度，加申午距纬二十三度二十九分三十。

秒】有甲午边一百零八度用三边求角法求得已角九十四度二十分零六秒即辛未申弧变时得六时一刻二分内减去半昼分辛未，四时二刻五分【即日出巳至午正丑，或午正丑至日入巳之时刻也】余未申六刻一十二分为冬至时之曚影刻分也如求夏至之曚影刻分则用甲巳戌斜弧三角形求巳角为赤道之辛亥干弧此形有甲巳边五十度零五分为北极距天顶之度有巳戌边六十六度三十分三十秒【已乾象限九十度内，减去戌干距纬二十三度】二十九分三十秒】有甲戌弧一百零八度用三边求角法求得巳角一百四十三度二十三分零五秒即辛亥干弧变时得九时二刻五分内减去半昼分辛亥七时一刻一十分【即日出酉至午正癸或午】正癸至日入酉之时刻也】余亥干八刻。

九分为夏至时之曚影刻分也其余各节气皆仿此推之昼夜永短昼夜由于日之出入，因人所居有南北，故见日之出入早晚随时各异，而昼夜之永短生焉。中土居赤道之北，赤道斜倚于天顶之南，南极入地，北极出地，故惟春秋分见日出入于卯酉，而昼夜平分。若秋分以后，则出入于卯酉之南，随天左旋之度，地平上者少，地平下者多，故昼短夜永。春分以后，则出入于卯酉之北，随天左旋之度，地平上者多，地平下者少，故昼永夜短。所居之地愈北，则永短之差愈多【广州府北极出地二十三度一十分，夏昼冬夜各五十三刻一十一分，夏夜冬昼各四十二刻零四分，其较一十一刻零七分。京师北极出地三十九度五十五分，夏昼冬夜各五十九刻零五分，夏夜冬昼各三十六刻一十分，其较二十二刻一十分。北极愈髙其较愈多】及至北极之下，则赤道当地平，夏则有昼而无夜，冬则有夜而无昼，葢以半年为昼，半年为夜矣。所居之地愈南，则永短之差渐少，以至于赤道之下，则两极当地平，而昼夜常均，并无永短，盖一岁中为四时者各二矣【以日当天顶为夏，日去天顶逺为冬。赤道既当天顶，而太阳一岁必两躔赤道，是两夏也。一躔天顶南二十三度余，一躔天顶北二十三度余，是两冬也。春秋亦如之】

昼夜永短以南北而异若东西虽相去千万里苟南北极之髙度同则昼夜之永短亦同故谓之南北里差亦名地平纬差其推歩之法以本地北极出地髙度为主求得各节气日出入时刻即得昼夜时刻也如图甲乙丙为子午防甲丙为地平丁为北极丁丙三十九度五十五分为京师北极之髙戊为卯正酉正之位巳戊庚为赤道春秋分太阳正当赤道日出于戊为卯正中于巳为午正复入于戊为酉正地平上戊巳之度与地平下戊庚之度等故昼夜平分各四十八刻辛为夏至辛壬癸为赤道距等圈【古名昼长规】即夏至太阳随天西转一周之轨壬当卯正酉正之位子为冬至子丑寅为赤道距等圈【古名昼短规】即冬至。

太阳随天西转一周之轨丑当卯正酉正之位夏至日出于辰在卯正前壬辰为日出距卯正之弧与赤道之戊巳度等中于辛为午正复入于辰在酉正后地平上辰辛之度多于地平下辰癸之度故昼永夜短冬至日出于未在卯正后未丑为日出距卯正之弧与赤道之申戊度等亦即与夏至日出距卯正之戊己度等中于子为午正复入于未在酉正前地平上未子之度少于地平下未寅之度故昼短夜永冬至时地平上未子之度与夏至时地平下辰癸之度等冬至时地平下未寅之度与夏至时地平上辰辛之度等故冬之夜同于夏之昼冬之昼同于夏之夜也今求戊巳之度以丁戊半径一千万与丁丙北极髙三十九度五十五分之正切丁戌八三六六二四二之比即同于辰巳距纬弧二十三度二十九分三十秒之正切巳亥四三四六三九五与戊巳弧之正▯三六三六二九九之比【浑圆从外视之则弧与正▯俱合为一线】得戊。

巳二十一度一十九分二十四秒【戌丁戊三角形与亥巳戊三角形为同式形，其巳角与丁角同为直角，戌角与戊角为平。行线上交错之角必等，故相当之边皆可为比例】变时得五刻一十分，在夏至时为卯前酉后分以减卯正得日出寅正二刻五分以加酉正得日入戌初一刻一十分复倍卯前分得一十一刻五分与四十八刻相加得五十九刻五分为昼刻与四十八刻相减得三十六刻一十分为夜刻也在冬至时为卯后酉前分以加卯正得日出辰初一刻一十分以减酉正得日入申正二刻五分复倍卯后分得一十一刻五分与四十八刻相减得三十六刻一十分为昼刻与四十八刻相加得五十九刻五分为夜刻也其余节气各用其距纬之正切为比例即得日出入距卯酉之弧但自春分至秋分半岁日出皆在卯前日入皆在酉后其变时加减并与夏至同自秋分至春分半岁日出皆在卯后日入皆在酉前其变时加减并与冬至同各省各国并依此法推之节气时刻古厯节气之日时有二，其一取周岁之日【三百六十五日有竒】二十四分之得一十五日有余为节为气，其日相等，以之颁厯授时，置闰成岁【置闰之法以无中气者为闰月】名为恒气，言其各节气之日皆一定而不易，且岁岁有常也。其一取周天之度【古三百六十五度四分度之一】二十四分之得一十五度有余为节为气，其度相等，以歩躔离推朓朒，名为定气，言以日躔之度为定，而不问日时之多寡也【因日行有盈缩故各节气度数虽等而日时不等】今颁厯亦用定气【以日躔右旋一十五度为一气】故冬至至小寒止一十四日有余，夏至至小暑则一十六日不足，且每年不同，葢有加减可推，务求宻合于天行也。然一岁之中，同一节气而京师各省时刻不同者，此则东西之里差，亦名地平经差，而非天行之故。盖地体浑圎，与天相应，而人居地面，各以所见日中为午正。今以京师为主，在京师东者，见日出入皆早，其日中必在京师午正之前；在京师西者，见日出入皆迟，其日中必在京师午正之后。故东方节气迟者，非日躔之缩，乃其见日早也；西方节气早者，非日躔之盈，乃其见日迟也。其时刻之差，视偏度之多寡，每偏一度得时之四分，偏东者加，偏西者减。要以京师西之节气时刻加减之，即得各省之节气时刻。

御制厯象考成上编卷四<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成》>钦定四库全书