乐律全书卷一
起度之法，十寸为尺，八寸为咫，商之咫，夏之尺也。夏之咫，周之尺也。十寸自乗为实，八寸为法，除之，得十二寸有半寸也。
不用三分损益第三
律家三分损其一，三分益其一，厯家四分度之一，四分日之一，与夫方则直五，斜七，圆则周三径一等率，皆举大略而言之耳，非精义也。新法筭律与方圆皆用句股术，其法本诸《周礼》防氏为量，内方尺而圆其外【冇图见后】内方尺而圆其外，则圎径与方斜同，知方之斜则知圆之径矣。度本起于黄钟之长，则黄钟之长即度法一尺，命平方一尺为黄钟之率，东西十寸为句，自乗得百寸为句羃，南北十寸为股，自乗得百寸为股羃，相并共得二百寸为▯羃，乃置▯羃为实，开平方法除之，得▯一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纎二三七三○九五○四八八○一六八九，为方之斜，即圆之径，亦即蕤賔倍律之率。以句十寸乗之，得平方积一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九五○四八八○一六八九，为实，开平方法除之，得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纎五○○二七二一○六六七一七五，即南吕倍律之率。仍以句十寸乗之，又以股十寸乗之，得立方积一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一丝○六十六忽七一七五，为实，开立方法除之，得一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五，即应钟倍律之率。葢十二律，黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端，此自然真理，犹贞后元生坤尽复来也。是故各律皆以黄钟正数十寸乗之为实，皆以应钟倍数十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五为法除之，即得其次律也。安有往而不返之理哉？旧法往而不返者，葢由三分损益▯术不精之所致也。是故新法不用三分损益，别造密率，其详如左。
积筭旁通图【此条命尺为京后条，或命寸为兆，或命寸为亿，葢欲多列位数，见开方之妙也】二【本是二尺，进作二百寸为实，以上文所载应钟倍律之数十寸五分有奇为法除之，余条放此】右乃黄钟倍律积筭【置黄钟倍律积▯，进一位为实，以应钟倍律积▯为法除之，得大吕】
一八八七，七四八六，二五三六，三三八六，九九三二，八三八二六。
右乃大吕倍律积▯【置大吕倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之，得太蔟】
一七八一，七九七四，三六二八，○六七八，六○九四，八○四五二。
右乃太蔟倍律积▯【置太蔟倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之，得夹钟】
一六八一，七九二八，三○五○，七四二九，○八六○，六二二五，一。
右乃夹钟倍律积筭【置夹钟倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法除之，得姑洗】
一五八七，四○一○，五一九六，八一九九，四七四七，五。
一七○六
右乃姑洗倍律积筭【置姑洗倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之得仲吕】
一四九八三○七○七六八七六六八一四九八七九九二八一
右乃仲吕倍律积筭【置仲吕倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之得蕤賔】
一，四，一，四，二，一，三，五，六，二，三，七，三，○，九，五，○，四，八，八，○，一，六，八，九。
右乃蕤賔倍律积筭【置蕤賔倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之得林钟】
一三三四八三九八五四一七○○三四三六四八三○八三二
右乃林钟倍律积筭【置林钟倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之得夷则】
一，二，五，九，九，二，一，○，四，九，八，九，四，八，七，三，一，六，四，七，六，七，二，一，一。
右乃夷则倍律积筭【置夷则倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之得南吕】
一，一八九，二○七，一一五，○○二，七二一，○六六，七一七，五○○。
右乃南吕倍律积筭【置南吕倍律积筭，进
译确立度量衡的方法，十寸为一尺，八寸为一咫，商代的一咫，等于夏代的一尺。夏代的一咫，等于周代的一尺。十寸自乘作为被除数，八寸作为除数，相除之后，得到十二寸又半寸。
不采用三分损益法（第三篇）
音律学家所说的“三分损其一”、“三分益其一”，历法学家所说的“四分度之一”、“四分日之一”，以及方形则边长五、对角线七，圆形则周长三、直径一等比例，都是大致粗略的说法罢了，并非精微的义理。新的算法在计算音律和方圆时，都使用勾股术，这种方法本源于《周礼》中防氏制定量器的方法，即内部是方形一尺而外部是圆形【有图见后】。内部是方形一尺而外部是圆形，那么圆的直径就与方形的对角线相同，知道了方形的对角线也就知道了圆的直径。度量衡本起源于黄钟的长度，那么黄钟的长度就是度量衡的一尺，将一尺的平方作为黄钟的比率，东西方向十寸为勾，自乘得到一百寸作为勾的平方，南北方向十寸为股，自乘得到一百寸作为股的平方，两者相加共得到二百寸作为圆的平方，于是将圆的平方作为被除数，用开平方法去除，得到一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三〇九五〇四八八〇一六八九，这是方形的对角线，也就是圆的直径，同时也是蕤宾倍律的比率。用勾十寸乘以它，得到平方积一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽〇九五〇四八八〇一六八九，作为被除数，用开平方法去除，得到一尺一寸八分九厘二毫〇七忽一微一纤五〇〇二七二一〇六六七一七五，这就是南吕倍律的比率。仍然用勾十寸乘以它，再用股十寸乘以它，得到立方积一千一百八十九寸二百〇七分一百一十五厘〇〇二毫七百二十一丝〇六十六忽七一七五，作为被除数，用开立方法去除，得到一尺〇五分九厘四毫六丝三忽〇九纤四三五九二九五二六四五六一八二五，这就是应钟倍律的比率。十二律中，黄钟为开始，应钟为终结，终结之后又重新开始，循环往复没有尽头，这是自然的真理，就像贞之后元产生，坤尽之后复来一样。因此，各律都以黄钟的正数十寸乘以作为被除数，都以应钟的倍数十寸〇五分九厘四毫六丝三忽〇九纤四三五九二九五二六四五六一八二五作为除数去除，就能得到下一个律。哪有只去不返的道理呢？旧法只去不返，大概是因为三分损益法不精确所导致的。因此，新法不使用三分损益法，另外创造精密的比率，其详细情况如下。
积算旁通图【这条将尺命名为京，后面的条目，有的将寸命名为兆，有的将寸命名为亿，大概是为了多列出位数，显示开方的精妙之处】二【原本是一尺二寸，进位作为二百寸作为被除数，以上文所载应钟倍律的数十寸五分有奇作为除数去除，其余条目仿照此例】右边是黄钟倍律的积算【将黄钟倍律的积〇，进一位作为被除数，以应钟倍律的积〇作为除数去除，得到大吕】
一八八七，七四八六，二五三六，三三八六，九九三二，八三八二六。
右边是大吕倍律的积〇【将大吕倍律的积算，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，去除，得到太簇】
一七八一，七九七四，三六二八，〇六七八，六〇九四，八〇四五二。
右边是太簇倍律的积〇【将太簇倍律的积算，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，去除，得到夹钟】
一六八一，七九二八，三〇五〇，七四二九，〇八六〇，六二二五，一。
右边是夹钟倍律的积算【将夹钟倍律的积算，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数去除，得到姑洗】
一五八七，四〇一〇，五一九六，八一九九，四七四七，五。
一七〇六
右边是姑洗倍律的积算【将姑洗倍律的积算，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，去除得到仲吕】
一四九八三〇七〇七六八七六六八一四九八七九九二八一
右边是仲吕倍律的积算【将仲吕倍律的积算，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，去除得到蕤宾】
一，四，一，四，二，一，三，五，六，二，三，七，三，〇，九，五，〇，四，八，八，〇，一，六，八，九。
右边是蕤宾倍律的积算【将蕤宾倍律的积算，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，去除得到林钟】
一三三四八三九八五四一七〇〇三四三六四八三〇八三二
右边是林钟倍律的积算【将林钟倍律的积算，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，去除得到夷则】
一，二，五，九，九，二，一，〇，四，九，八，九，四，八，七，三，一，六，四，七，六，七，二，一，一。
右边是夷则倍律的积算【将夷则倍律的积算，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，去除得到南吕】
一，一八九，二〇七，一一五，〇〇二，七二一，〇六六，七一七，五〇〇。
右边是南吕倍律的积算【将南吕倍律的积算，进
一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之得无射】
一一二二四六二○四八三○九三七二九八一四三三五三三
译一位是实数，用应钟倍律的积算作为除数，去除它得到无射】
一一二二四六二○四八三○九三七二九八一四三三五三三
右乃无射倍律积筭【置无射倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之得应钟】
一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六一八二五
右乃应钟倍律积筭【置应钟倍律积筭，进一位为实，以应钟倍律积筭为法，除之得】
【黄钟】
新造密率二种【倍律命寸为兆，正律命寸为亿。欲初学者知命法之变通云耳】
黄钟之率，二十兆【本是二十寸，命作二十兆】
大吕之率，十八兆八千七百七十四万八千六百二十五亿三千六百三十三万八千六百九十九。
太蔟之率，十七兆八千一百七十九万七千四百三十六亿二千八百○六万七千八百六十○。
夹钟之率，十六兆八千一百七十九万二千八百三十亿○五千○七十四万二千九百○八。
姑洗之率，十五兆八千七百四十万○一千○五十一亿九千六百八十一万九千九百四十七。
仲吕之率，十四兆九千八百三十万○七千○七十六亿，八千七百六十六万八千一百四十九。
蕤賔之率，十四兆，一千四百二十一万，三千五百六十二亿，三千七百三十万○九千五百○四。
林钟之率，十三兆，三千四百八十三万，九千八百五十四亿，一千七百万○○，三千四百三十六。
夷则之率，十二兆五千九百九十二万一千○四十九亿，八千九百四十八万七千三百一十六。
南吕之率，十一兆八千九百二十万○七千一百一十五亿○○二十七万二千一百○六。
无射之率，十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿，三千○九十三万七千二百九十八。
应钟之率，十兆○五千九百四十六万，三千○九十四亿，三千五百九十二万，九千五百二十六。
黄钟之率，十亿【本是十寸，命作十亿】
大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二，太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八，夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五，姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五，仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八，蕤賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一，林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七，夷则之率六亿二千九百九十六万○五百二十四，南吕之率五亿九千四百六十万○三千五百五十七，无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四，应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七。论曰：造率始于黄钟，必先求蕤賔者，犹冬夏二至也；次求夹钟及南吕者，犹春秋二分也。太极生两仪，两仪生四象，此之谓也。始于黄钟者，▯端于始也；中于蕤賔者，举正于中也；终于应钟者，归余于终也。律与厯一道也。黄钟为宫，蕤賔为中，应钟为和，此三律者，律吕之纲纪也。尤见变宫变徴有益于乐，而不可妄废也。
不拘隔八相生第四
新法不拘隔八相生，而相生有四法，或左旋，或右旋，皆循环无端也。以证三分损益往而不返之误，所谓四法者，开列于后。
其一，黄钟生林钟，林钟生太蔟，太蔟生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤賔，蕤賔生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕，仲吕生黄钟。长生短，五亿乗之；短生长，十亿乗之；皆以七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之。
其二，黄钟生仲吕，仲吕生无射，无射生夹钟，夹钟生夷则，夷则生大吕，大吕生蕤賔，蕤賔生应钟，应钟生姑洗，姑洗生南吕，南吕生太蔟，太蔟生林钟，林钟生黄钟。长生短，五亿乗之；短生长，十亿乗之；皆以六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之。
其三，黄钟生大吕，大吕生太蔟，太蔟生夹钟，夹钟生姑洗，姑洗生仲吕，仲吕生蕤賔，蕤賔生林钟，林钟生夷则，夷则生南吕，南吕生无射，无射生应钟，应钟生黄钟半律。此系长生短，皆以五亿乗之，皆以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之。
其四，黄钟半律生应钟，应钟生无射，无射生南吕，南吕生夷则，夷则生林钟，林钟生蕤賔，蕤賔生仲吕，仲吕生姑洗，姑洗生夹钟，夹钟生太蔟，太蔟生大
译右边是无射倍律的积算数值【设置无射倍律的积算数值，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算数值作为除数，去除后得到应钟】
一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六一八二五
右边是应钟倍律的积算数值【设置应钟倍律的积算数值，进一位作为被除数，以应钟倍律的积算数值作为除数，去除后得到】
【黄钟】
新制定的密率有两种【倍律将寸命名为兆，正律将寸命名为亿。这是为了让初学者了解命名方法的变通罢了】
黄钟的比率，二十兆【原本是二十寸，命名为二十兆】
大吕的比率，十八兆八千七百七十四万八千六百二十五亿三千六百三十三万八千六百九十九。
太蔟的比率，十七兆八千一百七十九万七千四百三十六亿二千八百○六万七千八百六十○。
夹钟的比率，十六兆八千一百七十九万二千八百三十亿○五千○七十四万二千九百○八。
姑洗的比率，十五兆八千七百四十万○一千○五十一亿九千六百八十一万九千九百四十七。
仲吕的比率，十四兆九千八百三十万○七千○七十六亿，八千七百六十六万八千一百四十九。
蕤賔的比率，十四兆，一千四百二十一万，三千五百六十二亿，三千七百三十万○九千五百○四。
林钟的比率，十三兆，三千四百八十三万，九千八百五十四亿，一千七百万○○，三千四百三十六。
夷则的比率，十二兆五千九百九十二万一千○四十九亿，八千九百四十八万七千三百一十六。
南吕的比率，十一兆八千九百二十万○七千一百一十五亿○○二十七万二千一百○六。
无射的比率，十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿，三千○九十三万七千二百九十八。
应钟的比率，十兆○五千九百四十六万，三千○九十四亿，三千五百九十二万，九千五百二十六。
黄钟的比率，十亿【原本是十寸，命名为十亿】
大吕的比率九亿四千三百八十七万四千三百一十二，太蔟的比率八亿九千○八十九万八千七百一十八，夹钟的比率八亿四千○八十九万六千四百一十五，姑洗的比率七亿九千三百七十万○○五百二十五，仲吕的比率七亿四千九百一十五万三千五百三十八，蕤賔的比率七亿○七百一十万○六千七百八十一，林钟的比率六亿六千七百四十一万九千九百二十七，夷则的比率六亿二千九百九十六万○五百二十四，南吕的比率五亿九千四百六十万○三千五百五十七，无射的比率五亿六千一百二十三万一千○二十四，应钟的比率五亿二千九百七十三万一千五百四十七。论述说：制定比率始于黄钟，必须先求出蕤賔，这就像冬至和夏至一样；其次求出夹钟和南吕，这就像春分和秋分一样。太极产生两仪，两仪产生四象，说的就是这个道理。始于黄钟，是因为黄钟是万物的开端；中于蕤賔，是因为蕤賔确立了中正；终于应钟，是因为应钟归于终结。音律与历法遵循同样的道理。黄钟作为宫音，蕤賔作为中音，应钟作为和音，这三条律管，是律吕的纲领。尤其可以看出变宫和变徵对音乐有益，而不可以随意废弃。
不拘泥于隔八相生的第四种方法
新的方法不拘泥于隔八相生，而是相生有四种方法，有的向左旋转，有的向右旋转，都是循环没有尽头的。以此来证明三分损益法只去不返的错误，所说的四种方法，列在后面。
第一种，黄钟生出林钟，林钟生出太蔟，太蔟生出南吕，南吕生出姑洗，姑洗生出应钟，应钟生出蕤賔，蕤賔生出大吕，大吕生出夷则，夷则生出夹钟，夹钟生出无射，无射生出仲吕，仲吕生出黄钟。长律生出短律，用五亿去乘；短律生出长律，用十亿去乘；都用七亿四千九百一十五万三千五百三十八去除。
第二种，黄钟生出仲吕，仲吕生出无射，无射生出夹钟，夹钟生出夷则，夷则生出大吕，大吕生出蕤賔，蕤賔生出应钟，应钟生出姑洗，姑洗生出南吕，南吕生出太蔟，太蔟生出林钟，林钟生出黄钟。长律生出短律，用五亿去乘；短律生出长律，用十亿去乘；都用六亿六千七百四十一万九千九百二十七去除。
第三种，黄钟生出大吕，大吕生出太蔟，太蔟生出夹钟，夹钟生出姑洗，姑洗生出仲吕，仲吕生出蕤賔，蕤賔生出林钟，林钟生出夷则，夷则生出南吕，南吕生出无射，无射生出应钟，应钟生出黄钟的半律。这属于长律生出短律，都用五亿去乘，都用五亿二千九百七十三万一千五百四十七去除。
第四种，黄钟的半律生出应钟，应钟生出无射，无射生出南吕，南吕生出夷则，夷则生出林钟，林钟生出蕤賔，蕤賔生出仲吕，仲吕生出姑洗，姑洗生出夹钟，夹钟生出太蔟，太蔟生出大
吕，大吕生黄钟。此系短生，长皆以十亿乗之，皆以九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之。
译吕律，大吕生出黄钟。这属于短律生长律的情况，长律的长度都用十亿去乘，然后再用九亿四千三百八十七万四千三百一十二去除。
横黍百分律依新法筭
黄钟长十寸
新法置黄钟之率，十亿为实，五亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得林钟。
林钟长六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纎。新法置林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七为实，十亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得太蔟。
太蔟长八寸九分，○八毫九丝八忽七防一纎。
新法置太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八为实，五亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得南吕。
南吕长五寸九分四厘六毫，○三忽五微五纎。
新法置南吕之率，五亿九千四百六十万○三千五百五十七为实，十亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得姑洗。
姑洗长七寸九分三厘七毫，○○五防二纎。
新法置姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五为实，五亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得应钟。
应钟长五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纎，新法置应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七为实，十亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得蕤賔。
蕤賔长七寸○七厘一毫○六忽七防八纎。
新法置蕤賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一为实，十亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得大吕。
大吕长九寸四分三厘八毫七丝四忽三防一纎，新法置大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二为实，五亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得夷则。
夷则长六寸二分九厘九毫六丝，○五微二纎。
新法置夷则之率，六亿二千九百九十六万○五百二十四为实，十亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得夹钟。
夹钟长八寸四分，○八毫九丝六忽四微一纎。
新法置夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五为实，五亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得无射。
无射长五寸六分一厘二毫三丝一忽，○二纎。
新法置无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四为实，十亿乗乏，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得仲吕。
仲吕长七寸四分九厘一毫五丝三忽五防三纎，新法置仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八为实，十亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得黄钟。
黄钟长十寸【还元】
新法置黄钟之率，十亿为实，五亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得仲吕。
仲吕长七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纎。新法置仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八为实，五亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得无射。
无射长五寸六分一厘二毫三丝一忽，○二纎。
新法置无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四为实，十亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得夹钟。
夹钟长八寸四分，○八毫九丝六忽四微一纎。
新法置夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五为实，五亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得夷则。
夷则长六寸二分九厘九毫六丝，○五微二纎。
新法置夷则之率，六亿二千九百九十六万○五百二十四为实，十亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得大吕。
大吕长九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎。新法置大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二为实，五亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得蕤賔。
蕤賔长七寸○七厘一毫○六忽七微八纎。
新法置蕤
译横黍百分律依新法计算
黄钟长十寸
新法设定黄钟的比率，以十亿作为被除数，乘以五亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到林钟。
林钟长六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纤。新法设定林钟的比率六亿六千七百四十一万九千九百二十七作为被除数，乘以十亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到太簇。
太簇长八寸九分，零零八毫九丝八忽七微一纤。
新法设定太簇的比率八亿九千零八十九万八千七百一十八作为被除数，乘以五亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到南吕。
南吕长五寸九分四厘六毫，零零三忽五微五纤。
新法设定南吕的比率，五亿九千四百六十万零三千五百五十七作为被除数，乘以十亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到姑洗。
姑洗长七寸九分三厘七毫，零零零五微二纤。
新法设定姑洗的比率七亿九千三百七十万零零零五百二十五作为被除数，乘以五亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到应钟。
应钟长五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纤，新法设定应钟的比率五亿二千九百七十三万一千五百四十七作为被除数，乘以十亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到蕤宾。
蕤宾长七寸零零七厘一毫零零六忽七微八纤。
新法设定蕤宾的比率七亿零七百一十万零六千七百八十一作为被除数，乘以十亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到大吕。
大吕长九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纤，新法设定大吕的比率九亿四千三百八十七万四千三百一十二作为被除数，乘以五亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到夷则。
夷则长六寸二分九厘九毫六丝，零零五微二纤。
新法设定夷则的比率，六亿二千九百九十六万零五百二十四作为被除数，乘以十亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到夹钟。
夹钟长八寸四分，零零八毫九丝六忽四微一纤。
新法设定夹钟的比率八亿四千零八十九万六千四百一十五作为被除数，乘以五亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到无射。
无射长五寸六分一厘二毫三丝一忽，零零二纤。
新法设定无射的比率五亿六千一百二十三万一千零二十四作为被除数，乘以十亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到仲吕。
仲吕长七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纤，新法设定仲吕的比率七亿四千九百一十五万三千五百三十八作为被除数，乘以十亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得到黄钟。
黄钟长十寸【回归本源】
新法设定黄钟的比率，十亿作为被除数，乘以五亿，再除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到仲吕。
仲吕长七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纤。新法设定仲吕的比率七亿四千九百一十五万三千五百三十八作为被除数，乘以五亿，再除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到无射。
无射长五寸六分一厘二毫三丝一忽，零零二纤。
新法设定无射的比率五亿六千一百二十三万一千零二十四作为被除数，乘以十亿，再除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到夹钟。
夹钟长八寸四分，零零八毫九丝六忽四微一纤。
新法设定夹钟的比率八亿四千零八十九万六千四百一十五作为被除数，乘以五亿，再除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到夷则。
夷则长六寸二分九厘九毫六丝，零零五微二纤。
新法设定夷则的比率，六亿二千九百九十六万零五百二十四作为被除数，乘以十亿，再除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到大吕。
大吕长九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纤。新法设定大吕的比率九亿四千三百八十七万四千三百一十二作为被除数，乘以五亿，再除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到蕤宾。
蕤宾长七寸零零七厘一毫零零六忽七微八纤。
新法设定蕤
賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一为实，五亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得应钟。
译以賔之率七亿零七百一十万零六千七百八十一作为被除数，用五亿去乘它，再用六亿六千七百四十一万九千九百二十七去除它，所得的亿数约等于寸，从而得到应钟。
应钟长五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纎，新法置应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七为实，十亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得姑洗。
姑洗长七寸九分三厘七毫，○○五防二纎。
新法置姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五为实，五亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得南吕。
南吕长五寸九分四厘六毫，○三忽五微五纎。
新法置南吕之率，五亿九千四百六十万○三千五百五十七为实，十亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得太蔟。
太蔟长八寸九分，○八毫九丝八忽七微一纎。
新法置太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八为实，五亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得林钟。
林钟长六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纎。新法置林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七为实，十亿乗之，六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之，所得亿约为寸，得黄钟。
黄钟长十寸【还元】
新法置黄钟之率，十亿为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得大吕。
大吕长九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎。新法置大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得太蔟。
太蔟长八寸九分○八毫九丝八忽七微一纎。
新法置太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得夹钟。
夹钟长八寸四分，○八毫九丝六忽四微一纎。
新法置夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得姑洗。
姑洗长七寸九分三厘七毫○○五微二纎。
新法置姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得仲吕。
仲吕长七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纎。新法置仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得蕤賔。
蕤賔长七寸○七厘一毫○六忽七微八纎。
新法置蕤賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得林钟。
林钟长六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纎。新法置林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得夷则。
夷则长六寸二分九厘九毫六丝，○五微二纎。
新法置夷则之率，六亿二千九百九十六万○五百二十四为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得南吕。
南吕长五寸九分四厘六毫，○三忽五微五纎。
新法置南吕之率，五亿九千四百六十万○三千五百五十七为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得无射。
无射长五寸六分一厘二毫三丝一忽，○二纎。
新法置无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得应钟。
应钟长五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纎。新法置应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七为实，五亿乗之，五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，所得亿约为寸，得黄钟半律。
黄钟半律长五寸
新法置黄钟半率五亿为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得应钟。
应钟长五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纎，新法置应钟之率五亿二千九百七
译应钟长五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纎，新法将应钟的比率五亿二千九百七十三万一千五百四十七作为被除数，乘以十亿，除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到姑洗。
姑洗长七寸九分三厘七毫，○○五防二纎。
新法将姑洗的比率七亿九千三百七十万○○五百二十五作为被除数，乘以五亿，除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到南吕。
南吕长五寸九分四厘六毫，○三忽五微五纎。
新法将南吕的比率五亿九千四百六十万○三千五百五十七作为被除数，乘以十亿，除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到太蔟。
太蔟长八寸九分，○八毫九丝八忽七微一纎。
新法将太蔟的比率八亿九千○八十九万八千七百一十八作为被除数，乘以五亿，除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到林钟。
林钟长六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纎。新法将林钟的比率六亿六千七百四十一万九千九百二十七作为被除数，乘以十亿，除以六亿六千七百四十一万九千九百二十七，所得的亿数约等于寸，得到黄钟。
黄钟长十寸【还元】
新法将黄钟的比率十亿作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到大吕。
大吕长九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎。新法将大吕的比率九亿四千三百八十七万四千三百一十二作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到太蔟。
太蔟长八寸九分○八毫九丝八忽七微一纎。
新法将太蔟的比率八亿九千○八十九万八千七百一十八作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到夹钟。
夹钟长八寸四分，○八毫九丝六忽四微一纎。
新法将夹钟的比率八亿四千○八十九万六千四百一十五作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到姑洗。
姑洗长七寸九分三厘七毫○○五微二纎。
新法将姑洗的比率七亿九千三百七十万○○五百二十五作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到仲吕。
仲吕长七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纎。新法将仲吕的比率七亿四千九百一十五万三千五百三十八作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到蕤賔。
蕤賔长七寸○七厘一毫○六忽七微八纎。
新法将蕤賔的比率七亿○七百一十万○六千七百八十一作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到林钟。
林钟长六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纎。新法将林钟的比率六亿六千七百四十一万九千九百二十七作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到夷则。
夷则长六寸二分九厘九毫六丝，○五微二纎。
新法将夷则的比率六亿二千九百九十六万○五百二十四作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到南吕。
南吕长五寸九分四厘六毫，○三忽五微五纎。
新法将南吕的比率五亿九千四百六十万○三千五百五十七作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到无射。
无射长五寸六分一厘二毫三丝一忽，○二纎。
新法将无射的比率五亿六千一百二十三万一千○二十四作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到应钟。
应钟长五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纎。新法将应钟的比率五亿二千九百七十三万一千五百四十七作为被除数，乘以五亿，除以五亿二千九百七十三万一千五百四十七，所得的亿数约等于寸，得到黄钟半律。
黄钟半律长五寸
新法将黄钟半律的比率五亿作为被除数，乘以十亿，除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸，得到应钟。
应钟长五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纎，新法将应钟的比率五亿二千九百七
十三万一千五百四十七为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得无射。
译以十三万一千五百四十七作为被除数，用十亿去乘它，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的结果以亿为单位约等于寸，从而得到无射律。
无射长五寸六分一厘二毫三丝一忽，○二纎。
新法置无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得南吕。
南吕长五寸九分四厘六毫，○三忽五微五纎。
新法置南吕之率，五亿九千四百六十万○三千五百五十七为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得夷则。
夷则长六寸二分九厘九毫六丝，○五微二纎。
新法置夷则之率，六亿二千九百九十六万○五百二十四为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得林钟。
林钟长六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纎。新法置林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得蕤宾。
蕤賔长七寸○七厘一毫○六忽七微八纎。
新法置蕤賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得仲吕。
仲吕长七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纎。新法置仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得姑洗。
姑洗长七寸九分三厘七毫○○五微二纎。
新法置姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得夹钟。
夹钟长八寸四分，○八毫九丝六忽四微一纎。
新法置夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五为实，十亿乗之，九亿四千三百八十十万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得太蔟。
太蔟长八寸九分，○八毫九丝八忽七微一纎。
新法置太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得大吕。
大吕长九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎。新法置大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二为实，十亿乗之，九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之，所得亿约为寸，得黄钟。
黄钟长十寸【还元】
已上横黍百分之律，依新密率四法筭竟。
斜黍九十分律依新法筭
黄钟长九寸【毎寸十分余律放此】
新法置黄钟之率，十亿折半为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得林钟。
林钟长六寸，○○六毫，七丝，七忽，九微，三纎。
新法置林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得太蔟。
太蔟长八寸，○一厘八毫，○八忽八微四纎。
新法置太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八，折半为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得南吕。
南吕长五寸三分五厘一毫四丝三忽二微○
新法置南吕之率，五亿九千四百六十万○三千五百五十七为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得姑洗。
姑洗长七寸一分四厘三毫三丝，○四微七纎。
新法置姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五，折半为实九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得应钟。
应钟长四寸七分六厘七毫五丝八忽三微九纎。新法置应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得蕤賔。
蕤賔长六寸三分六厘三毫九丝六忽一微○
新法置蕤賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得大吕。
大吕长八寸四分九厘四毫八丝六忽八微八纎。新法置大吕之率九亿四千三百八十七万四
译无射的长度为五寸六分一厘二毫三丝一忽，○二纎。
新法：将无射的比率五亿六千一百二十三万一千○二十四作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到南吕。
南吕的长度为五寸九分四厘六毫，○三忽五微五纎。
新法：将南吕的比率五亿九千四百六十万○三千五百五十七作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到夷则。
夷则的长度为六寸二分九厘九毫六丝，○五微二纎。
新法：将夷则的比率六亿二千九百九十六万○五百二十四作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到林钟。
林钟的长度为六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纎。新法：将林钟的比率六亿六千七百四十一万九千九百二十七作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到蕤宾。
蕤宾的长度为七寸○七厘一毫○六忽七微八纎。
新法：将蕤宾的比率七亿○七百一十万○六千七百八十一作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到仲吕。
仲吕的长度为七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纎。新法：将仲吕的比率七亿四千九百一十五万三千五百三十八作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到姑洗。
姑洗的长度为七寸九分三厘七毫○○五微二纎。
新法：将姑洗的比率七亿九千三百七十万○○五百二十五作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到夹钟。
夹钟的长度为八寸四分，○八毫九丝六忽四微一纎。
新法：将夹钟的比率八亿四千○八十九万六千四百一十五作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十十万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到太蔟。
太蔟的长度为八寸九分，○八毫九丝八忽七微一纎。
新法：将太蔟的比率八亿九千○八十九万八千七百一十八作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到大吕。
大吕的长度为九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎。新法：将大吕的比率九亿四千三百八十七万四千三百一十二作为被除数，乘以十亿，再除以九亿四千三百八十七万四千三百一十二，所得的亿数约等于寸数，从而得到黄钟。
黄钟的长度为十寸【回归本源】
以上横黍百分之一的律管长度，依照新的精密比率四种方法计算完毕。
斜黍九十分之一的律管依照新法计算
黄钟的长度为九寸【每寸十分，其余律管以此类推】
新法：将黄钟的比率十亿减半作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸数，从而得到林钟。
林钟的长度为六寸，○○六毫，七丝，七忽，九微，三纎。
新法：将林钟的比率六亿六千七百四十一万九千九百二十七作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸数，从而得到太蔟。
太蔟的长度为八寸，○一厘八毫，○八忽八微四纎。
新法：将太蔟的比率八亿九千○八十九万八千七百一十八减半作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸数，从而得到南吕。
南吕的长度为五寸三分五厘一毫四丝三忽二微○
新法：将南吕的比率五亿九千四百六十万○三千五百五十七作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸数，从而得到姑洗。
姑洗的长度为七寸一分四厘三毫三丝，○四微七纎。
新法：将姑洗的比率七亿九千三百七十万○○五百二十五减半作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸数，从而得到应钟。
应钟的长度为四寸七分六厘七毫五丝八忽三微九纎。新法：将应钟的比率五亿二千九百七十三万一千五百四十七作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸数，从而得到蕤宾。
蕤宾的长度为六寸三分六厘三毫九丝六忽一微○
新法：将蕤宾的比率七亿○七百一十万○六千七百八十一作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸数，从而得到大吕。
大吕的长度为八寸四分九厘四毫八丝六忽八微八纎。新法：将大吕的比率九亿四千三百八十七万四
千三百一十二，折半为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得夷则。
译一千三百一十二，折半作为实数，用九亿去乘它，用七亿四千九百一十五万三千五百三十八去除它，所得的亿数大约就是寸数，从而得到夷则。
夷则长五寸六分六厘九毫六丝四忽四微七纎。新法置夷则之率六亿二千九百九十六万○五百二十四为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得夹钟。
夹钟长七寸五分六厘八毫，○六忽七微七纎。
新法置夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五，折半为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得无射。
无射长五寸，○五厘一毫，○七忽九微二纎。
新法置无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得仲吕。
仲吕长六寸七分四厘二毫三丝八忽一微八纎。新法置仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八为实，九亿乗之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得黄钟。
黄钟长九寸【还元】
纵黍八十一分律依新法筭
黄钟长八寸一分
新法置黄钟之率十亿，以八十一亿乗之，折半退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得林钟。
林钟长五寸四分，○六毫一丝，○一微四纎。
新法置林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七，以八十一亿乗之，退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得太簇。
太蔟长七寸二分一厘六毫二丝七忽九微六纎。新法置太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八，以八十一亿乗之，折半退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得南吕。
南吕长四寸八分一厘六毫二丝八忽八微八纎。新法置南吕之率五亿九千四百六十万○三千五百五十七，以八十一亿乗之，退位为实；七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得姑洗。
姑洗长六寸四分二厘八毫九丝七忽四微二纎。新法置姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五，以八十一亿乗之，折半退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得应钟。
应钟长四寸二分九厘，○八丝二忽五微五纎。
新法置应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七，以八十一亿乗之，退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得蕤賔。
蕤賔长五寸七分二厘七毫五丝六忽四微九纎。新法置蕤賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一，以八十一亿乗之，退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得大吕。
大吕长七寸六分四厘五毫三丝八忽一微九纎。新法置大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二，以八十一亿乗之，折半退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得夷则。
夷则长五寸一分，○二毫六丝八忽，○二纎。
新法置夷则之率六亿二千九百九十六万○五百二十四，以八十一亿乗之，退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得夹钟。
夹钟长六寸八分一厘一毫二丝六忽○九纎。
新法置夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五，以八十一亿乗之，折半退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得无射。
无射长四寸五分四厘五毫九丝七忽一微二纎，新法置无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四，以八十一亿乗之，退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得仲吕。
仲吕长六寸，○六厘八毫一丝四忽三微六纤。
新法置仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八，以八十一亿乗之，退位为实，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，所得亿约为寸，得黄钟。
黄钟长八寸一分【还元】
已上斜黍九十分律及纵黍八十一分律各具四法，今载其一，余三法皆仿此，故不悉载。
纵黍八十一分作九寸，律依新法筭。
例曰：
译夷则长五寸六分六厘九毫六丝四忽四微七纎。新法将夷则的比率六亿二千九百九十六万零五百二十四作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出夹钟。
夹钟长七寸五分六厘八毫，零六忽七微七纎。
新法将夹钟的比率八亿四千零八十九万六千四百一十五，折半作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出无射。
无射长五寸，零五厘一毫，零七忽九微二纎。
新法将无射的比率五亿六千一百二十三万一千零二十四作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出仲吕。
仲吕长六寸七分四厘二毫三丝八忽一微八纎。新法将仲吕的比率七亿四千九百一十五万三千五百三十八作为被除数，乘以九亿，再除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出黄钟。
黄钟长九寸【回归本源】
纵黍八十一分，律依新法计算
黄钟长八寸一分
新法将黄钟的比率十亿，乘以八十一亿，折半退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出林钟。
林钟长五寸四分，零六毫一丝，零一微四纎。
新法将林钟的比率六亿六千七百四十一万九千九百二十七，乘以八十一亿，退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出太簇。
太蔟长七寸二分一厘六毫二丝七忽九微六纎。新法将太蔟的比率八亿四千零八十九万八千七百一十八，乘以八十一亿，折半退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出南吕。
南吕长四寸八分一厘六毫二丝八忽八微八纎。新法将南吕的比率五亿九千四百六十万零三千五百五十七，乘以八十一亿，退位作为被除数；除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出姑洗。
姑洗长六寸四分二厘八毫九丝七忽四微二纎。新法将姑洗的比率七亿九千三百七十万零零五百二十五，乘以八十一亿，折半退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出应钟。
应钟长四寸二分九厘，零八丝二忽五微五纎。
新法将应钟的比率五亿二千九百七十三万一千五百四十七，乘以八十一亿，退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出蕤賔。
蕤賔长五寸七分二厘七毫五丝六忽四微九纎。新法将蕤賔的比率七亿零七百一十万零六千七百八十一，乘以八十一亿，退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出大吕。
大吕长七寸六分四厘五毫三丝八忽一微九纎。新法将大吕的比率九亿四千三百八十七万四千三百一十二，乘以八十一亿，折半退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出夷则。
夷则长五寸一分，零二毫六丝八忽，零二纎。
新法将夷则的比率六亿二千九百九十六万零五百二十四，乘以八十一亿，退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出夹钟。
夹钟长六寸八分一厘一毫二丝六忽零九纎。
新法将夹钟的比率八亿四千零八十九万六千四百一十五，乘以八十一亿，折半退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出无射。
无射长四寸五分四厘五毫九丝七忽一微二纎，新法将无射的比率五亿六千一百二十三万一千零二十四，乘以八十一亿，退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出仲吕。
仲吕长六寸，零六厘八毫一丝四忽三微六纎。
新法将仲吕的比率七亿四千九百一十五万三千五百三十八，乘以八十一亿，退位作为被除数，除以七亿四千九百一十五万三千五百三十八，所得的亿数约等于寸，得出黄钟。
黄钟长八寸一分【回归本源】
以上斜黍九十分律及纵黍八十一分律各有四种算法，现在只记载其中一种，其余三种算法都仿照此例，所以不再全部记载。
纵黍八十一分作九寸，律依新法计算。
例如说：
此法，每寸九分，每分九厘，每厘九毫，毎毫九丝，毎丝九忽，毎忽九微，毎微九纤，皆以九为法，故与十不同。
译这种算法，每寸包含九分，每分包含九厘，每厘包含九毫，每毫包含九丝，每丝包含九忽，每忽包含九微，每微包含九纤，都以九作为进位法则，所以与十进制不同。
筭盘首位为寸位，第二位为分位，第三位为厘位，第四位为毫位，第五位为丝位，第六位为忽位，第七位为微位，第八位为纎位。
初九，因至寸位住。又九，因至分位住。又九，因至厘位住。又九，因至毫位住。又九，因至丝位住。又九，因至忽位住。又九，因至微位住。又九，因至纎位住。
云至分位者，不许至寸位；云至厘位者，不许至分位，余放此。
黄钟长九寸
新法置黄钟之率，十亿为实，九因至寸位，住得九寸为黄钟。
大吕长八寸四分四厘，○六丝七忽四微五纤。
新法置大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二为实，初九因至寸位住，得八寸。又九因至分位住，得四分。又九因至厘位住，得四厘。又九因至毫位住，得○毫。又九因至丝位住，得六丝。又九因至忽位住，得七忽。又九因至微位住，得四微。又九因至纎位住，得五纎。凡九因八遍，共得八寸四分四厘○毫六丝七忽四微五纎为大吕。
太蔟长八寸，○一厘四毫一丝六忽，○八纎。
新法得太蔟之率，八亿九千○八十九万八千七百一十八为实。初九因至寸位，住得八寸。又九因至分位，住得○分。又九因至厘位，住得一厘。又九因至毫位，住得四毫。又九因至丝位，住得一丝。又九因至忽位，住得六忽。又九因至微位，住得○微。又九因至纎位，住得八纎。凡九因八遍，共得八寸○分一厘四毫一丝六忽○微八纎为太蔟。
夹钟长七寸五分一厘，○一丝，○七微四纎。
新法置夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五为实，初九因至寸位住，得七寸。又九因至分位住，得五分。又九因至厘位住，得一厘。又九因至毫位住，得○毫。又九因至丝位住，得一丝。又九因至忽位住，得○忽。又九因至微位住，得七微。又九因至纎位住，得四纎。凡九因八遍，共得七寸五分一厘○毫一丝○忽七微四纎为夹钟。
姑洗长七寸一分二厘五毫四丝二忽。○○
新法置姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五为实，初九因至寸位住得七寸，又九因至分位住得一分，又九因至厘位住得二厘，又九因至毫位住得五毫，又九因至丝位住得四丝，又九因至忽位住得二忽，又九因至微位住得○微，又九因至纎位住得○纎，凡九因八遍，共得七寸一分二厘五毫四丝二忽○微○纎为姑洗。
仲吕长六寸六分六厘一毫一丝六忽八微一纎。新法置仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八为实。初九因至寸位住，得六寸。又九因至分位住，得六分。又九因至厘位住，得六厘。又九因至毫位住，得一毫。又九因至丝位住，得一丝。又九因至忽位住，得六忽。又九因至微位住，得八微。又九因至纎位住，得一纎。凡九因八遍，共得六寸六分六厘一毫一丝六忽八微一纎为仲吕。
蕤賔长六寸三分二厘四毫二丝八忽四微七纎。新法置蕤賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一为实。初九因至寸位住得六寸。又九因至分位住得三分。又九因至厘位住得二厘。又九因至毫位住得四毫。又九因至丝位住得二丝。又九因至忽位住得八忽。又九因至微位住得四微。又九因至纎位住得七纎。凡九因八遍共得六寸三分二厘四毫二丝八忽四微七纎为蕤賔。
林钟长六寸，○○四毫八丝四忽二微七纎。
新法置林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七为实，初九因至寸位住，得五寸。又九因至分位住，得○分。又九因至厘位住，得○厘。又九因至毫位住，得四毫。又九因至丝位住，得八丝。又九因至忽位住，得四忽。又九因至微位住，得二微。又九因至纤位住，得七纤。凡九因八遍，共得六寸○分○厘四毫八丝四忽二微七纤为林钟。
夷则长五寸六分，○二毫一丝四忽七微五纎。
新法置夷则之率六亿二千九百九十六万○五百二十四为实，初九因至寸位住得五寸，又九因至分位住得六分，又九因至厘位住得○厘，又九因至毫位住得二毫，又九因至丝位住得一丝，又九因至忽位住得四忽，又九因至微
译算盘的第一位是寸位，第二位是分位，第三位是厘位，第四位是毫位，第五位是丝位，第六位是忽位，第七位是微位，第八位是纤位。
初九，乘以九到达寸位停止。又九，乘以九到达分位停止。又九，乘以九到达厘位停止。又九，乘以九到达毫位停止。又九，乘以九到达丝位停止。又九，乘以九到达忽位停止。又九，乘以九到达微位停止。又九，乘以九到达纤位停止。
说到达分位，就不允许到达寸位；说到达厘位，就不允许到达分位，其余类推。
黄钟长九寸
新法设定黄钟的比率，以十亿为被乘数，乘以九到达寸位停止，得到九寸作为黄钟。
大吕长八寸四分四厘，零六丝七忽四微五纤。
新法设定大吕的比率，以九亿四千三百八十七万四千三百一十二为被乘数，初九乘以九到达寸位停止，得到八寸。又九乘以九到达分位停止，得到四分。又九乘以九到达厘位停止，得到四厘。又九乘以九到达毫位停止，得到零毫。又九乘以九到达丝位停止，得到六丝。又九乘以九到达忽位停止，得到七忽。又九乘以九到达微位停止，得到四微。又九乘以九到达纤位停止，得到五纤。总共乘以九八次，共得到八寸四分四厘零毫六丝七忽四微五纤作为大吕。
太蔟长八寸，零一厘四毫一丝六忽，零八纤。
新法得到太蔟的比率，以八亿零八十九万八千七百一十八为被乘数。初九乘以九到达寸位，停止得到八寸。又九乘以九到达分位，停止得到零分。又九乘以九到达厘位，停止得到一厘。又九乘以九到达毫位，停止得到四毫。又九乘以九到达丝位，停止得到一丝。又九乘以九到达忽位，停止得到六忽。又九乘以九到达微位，停止得到零微。又九乘以九到达纤位，停止得到八纤。总共乘以九八次，共得到八寸零分一厘四毫一丝六忽零微八纤作为太蔟。
夹钟长七寸五分一厘，零一丝，零七微四纤。
新法设定夹钟的比率，以八亿四千零八十九万六千四百一十五为被乘数，初九乘以九到达寸位停止，得到七寸。又九乘以九到达分位停止，得到五分。又九乘以九到达厘位停止，得到一厘。又九乘以九到达毫位停止，得到零毫。又九乘以九到达丝位停止，得到一丝。又九乘以九到达忽位停止，得到零忽。又九乘以九到达微位停止，得到七微。又九乘以九到达纤位停止，得到四纤。总共乘以九八次，共得到七寸五分一厘零毫一丝零忽七微四纤作为夹钟。
姑洗长七寸一分二厘五毫四丝二忽。零零
新法设定姑洗的比率，以七亿九千三百七十万零零五百二十五为被乘数，初九乘以九到达寸位停止得到七寸，又九乘以九到达分位停止得到一分，又九乘以九到达厘位停止得到二厘，又九乘以九到达毫位停止得到五毫，又九乘以九到达丝位停止得到四丝，又九乘以九到达忽位停止得到二忽，又九乘以九到达微位停止得到零微，又九乘以九到达纤位停止得到零纤，总共乘以九八次，共得到七寸一分二厘五毫四丝二忽零微零纤作为姑洗。
仲吕长六寸六分六厘一毫一丝六忽八微一纤。新法设定仲吕的比率，以七亿四千九百一十五万三千五百三十八为被乘数。初九乘以九到达寸位停止，得到六寸。又九乘以九到达分位停止，得到六分。又九乘以九到达厘位停止，得到六厘。又九乘以九到达毫位停止，得到一毫。又九乘以九到达丝位停止，得到一丝。又九乘以九到达忽位停止，得到六忽。又九乘以九到达微位停止，得到八微。又九乘以九到达纤位停止，得到一纤。总共乘以九八次，共得到六寸六分六厘一毫一丝六忽八微一纤作为仲吕。
蕤宾长六寸三分二厘四毫二丝八忽四微七纤。新法设定蕤宾的比率，以七亿零七百一十万零六千七百八十一为被乘数。初九乘以九到达寸位停止得到六寸。又九乘以九到达分位停止得到三分。又九乘以九到达厘位停止得到二厘。又九乘以九到达毫位停止得到四毫。又九乘以九到达丝位停止得到二丝。又九乘以九到达忽位停止得到八忽。又九乘以九到达微位停止得到四微。又九乘以九到达纤位停止得到七纤。总共乘以九八次共得到六寸三分二厘四毫二丝八忽四微七纤作为蕤宾。
林钟长六寸，零零四毫八丝四忽二微七纤。
新法设定林钟的比率，以六亿六千七百四十一万九千九百二十七为被乘数，初九乘以九到达寸位停止，得到五寸。又九乘以九到达分位停止，得到零分。又九乘以九到达厘位停止，得到零厘。又九乘以九到达毫位停止，得到四毫。又九乘以九到达丝位停止，得到八丝。又九乘以九到达忽位停止，得到四忽。又九乘以九到达微位停止，得到二微。又九乘以九到达纤位停止，得到七纤。总共乘以九八次，共得到六寸零分零厘四毫八丝四忽二微七纤作为林钟。
夷则长五寸六分，零二毫一丝四忽七微五纤。
新法设定夷则的比率，以六亿二千九百九十六万零五百二十四为被乘数，初九乘以九到达寸位停止得到五寸，又九乘以九到达分位停止得到六分，又九乘以九到达厘位停止得到零厘，又九乘以九到达毫位停止得到二毫，又九乘以九到达丝位停止得到一丝，又九乘以九到达忽位停止得到四忽，又九乘以九到达微
位住得七微，又九因至纎位住得五纎，凡九因八遍，共得五寸六分○厘二毫一丝四忽七微五纎为夷则。
译律管长度达到七微，又加上九个因到达纎位，长度达到五纎，总共九个因八遍，合计得到五寸六分零厘二毫一丝四忽七微五纎，这就是夷则律的长度。
南吕长五寸三分一厘四毫一丝六忽六微三纎。新法置南吕之率五亿九千四百六十万○三千五百五十七为实。初九因至寸位住，得五寸。又九因至分位住，得三分。又九因至厘位住，得一厘。又九因至毫位住，得四毫。又九因至丝位住，得一丝。又九因至忽位住，得六忽。又九因至微位住，得六微。又九因至纤位住，得三纎。凡九因八遍，共得五寸三分一厘四毫一丝六忽六微三纎为南吕。
无射长五寸，○四厘一毫二丝一忽一微五纎。
新法置无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四为实，初九因至寸位住，得五寸。又九因至分位住，得○分。又九因至厘位住，得四厘。又九因至毫位住，得一毫。又九因至丝位住，得二丝。又九因至忽位住，得一忽。又九因至微位住，得一微。又九因至纎位住，得五纎。凡九因八遍，共得五寸○分四厘一毫二丝一忽一微五纎为无射。
应钟长四寸六分八厘一毫五丝一忽，○五纎。
新法置应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七为实，初九因至寸位住，得四寸；又九因至分位住，得六分；又九因至厘位住，得八厘；又九因至毫位住，得一毫；又九因至丝位住，得五丝；又九因至忽位住，得一忽；又九因至微位住，得○微；又九因至纤位住，得五纤。凡九因八遍，共得四寸六分八厘一毫五丝一忽○微五纤为应钟。
黄钟半律，长四寸四分四厘四毫四丝四忽四微四纎。新法置黄钟半率五亿为实，八因九归，亿约为寸，得四寸四分四厘四毫四丝四忽四微四纎，为黄钟半律。
谨按：约十为九，主意葢为三分损益而设，使归除无不尽数耳。夫律吕之理，循环无端，而秒忽之数，归除不尽，此自然之理也。因其天生自然，不须人力穿凿，以此筭律，何善如之！歴代筭律，只欲秒忽除之有尽，遂致律吕往而不返，此乃颠倒之见，非自然之理也。是以新法不用三分损益，不拘隔八相生，然而相生有序，循环无端，十二律吕，一以贯之，此葢二千余年之所未有，自我圣朝始也。学者宜尽心焉。
乐律全书卷一
钦定四库全书
乐律全书卷二
明 朱载堉 撰
律吕精义内篇二
不取围径皆同第五之上
旧律围径皆同，而新律各不同。《礼记注防》曰：「凡律空围九分。」《月令章句》曰：「围数无增减。」及《隋志》安丰王等説，皆不足取也。故着此论。论曰：「琴瑟不独徽柱之有逺近，而▯亦有巨细焉。笙竽不独管孔之有高低，而簧亦有厚薄焉。▯之巨细若一，但以徽柱逺近别之，不可也。簧之厚薄若一，但以管孔髙低别之，不可也。譬诸律管，虽有修短之不齐，亦有广狭之不等。先儒以为长短虽异，围径皆同，此未达之论也。今若不信，以竹或笔管制黄钟之律，一様二枚，截其一枚分作两段，全律半律，各令一人吹之，声必不相合矣。此昭然可验也。又制大吕之律，一様二枚，周径与黄钟同，截其一枚分作两段，全律半律，各令一人吹之，则亦不相合，而大吕半律乃与黄钟全律相合，略差不逺。是知所谓半律者，皆下全律一律矣。大抵管长则气隘，隘则虽长而反清；管短则气寛，宽则虽短而反浊。此自然之理，先儒未达也。要之，长短广狭皆有一定之理，一定之数在焉。置黄钟倍律九而一以为外周，用▯求句股术，得其内周。又置倍律四十而一以为内径，用句股求▯术，得其外径。葢律管两端，形如环田，有内外周径焉。外周内容之方，即内径也；内周外射之斜，即外径也。方圆相容，天地之象，理数之妙者也。黄钟通长八十一分者，内周九分，是为八十一中之九，即约分法九分中之一也。若约黄钟八十一分作为九寸，则其内周当云一寸。旧以九十分为黄钟，而云空围九分者，误也。况又穿凿指为面羃九方分，则误益甚矣。方圆相容，有图如左。
<经部,乐类,乐律全书,卷二>
新法宻率▯术周径羃积相求
周求径者，置周全数，九因四十除之，所得自乗倍之为实，开平方法
译南吕的长度为五寸三分一厘四毫一丝六忽六微三纎。按照新法，将南吕的比率五亿九千四百六十万零三千五百五十七作为被除数。首先用九去乘，直到寸位停止，得到五寸。再用九去乘，直到分位停止，得到三分。再用九去乘，直到厘位停止，得到一厘。再用九去乘，直到毫位停止，得到四毫。再用九去乘，直到丝位停止，得到一丝。再用九去乘，直到忽位停止，得到六忽。再用九去乘，直到微位停止，得到六微。再用九去乘，直到纎位停止，得到三纎。总共用九去乘八次，共得到五寸三分一厘四毫一丝六忽六微三纎，这就是南吕的长度。
无射的长度为五寸零四厘一毫二丝一忽一微五纎。
按照新法，将无射的比率五亿六千一百二十三万一千零二十四作为被除数，首先用九去乘，直到寸位停止，得到五寸。再用九去乘，直到分位停止，得到零分。再用九去乘，直到厘位停止，得到四厘。再用九去乘，直到毫位停止，得到一毫。再用九去乘，直到丝位停止，得到二丝。再用九去乘，直到忽位停止，得到一忽。再用九去乘，直到微位停止，得到一微。再用九去乘，直到纎位停止，得到五纎。总共用九去乘八次，共得到五寸零分四厘一毫二丝一忽一微五纎，这就是无射的长度。
应钟的长度为四寸六分八厘一毫五丝一忽零五纎。
按照新法，将应钟的比率五亿二千九百七十三万一千五百四十七作为被除数，首先用九去乘，直到寸位停止，得到四寸；再用九去乘，直到分位停止，得到六分；再用九去乘，直到厘位停止，得到八厘；再用九去乘，直到毫位停止，得到一毫；再用九去乘，直到丝位停止，得到五丝；再用九去乘，直到忽位停止，得到一忽；再用九去乘，直到微位停止，得到零微；再用九去乘，直到纎位停止，得到五纎。总共用九去乘八次，共得到四寸六分八厘一毫五丝一忽零微五纎，这就是应钟的长度。
黄钟半律的长度为四寸四分四厘四毫四丝四忽四微四纎。按照新法，将黄钟半律的比率五亿作为被除数，用八去乘再用九去除，亿位约化为寸位，得到四寸四分四厘四毫四丝四忽四微四纎，这就是黄钟半律的长度。
谨按：将十约化为九，其主旨大概是为了配合三分损益法而设立，使得归除运算没有除不尽的余数。然而律吕的道理，循环往复没有尽头，而秒忽等微小单位的数值，在归除时除不尽，这是自然的道理。因为这是天生自然的规律，不需要人力去穿凿附会，用这种方法计算律吕，还有什么比这更好的呢！历代计算律吕，只想要秒忽等微小单位除尽，于是导致律吕只往而不返，这是颠倒的看法，不符合自然的道理。因此新法不使用三分损益法，不拘泥于隔八相生的规则，然而相生有序，循环往复没有尽头，十二律吕，一以贯之，这大概是两千多年来所没有的，从我们圣明的朝廷才开始。学者们应当尽心研究。
乐律全书卷一
钦定四库全书
乐律全书卷二
明 朱载堉 撰
律吕精义内篇二
不取围径皆同第五之上
旧律认为律管的周长和直径都相同，而新律则认为各不相同。《礼记注疏》说：“凡是律管的空围都是九分。”《月令章句》说：“周长没有增减。”以及《隋书·律历志》中安丰王等人的说法，都不值得采纳。所以著此论。论曰：“琴瑟不仅徽柱有远近之分，而且弦也有粗细之别。笙竽不仅管孔有高低之分，而且簧片也有厚薄之别。如果弦的粗细完全一样，只凭徽柱的远近来区分音高，是不行的。如果簧片的厚薄完全一样，只凭管孔的高低来区分音高，也是不行的。拿律管来比喻，虽然有长短不齐，也有宽窄不等。先儒认为虽然长短不同，但周长和直径都相同，这是没有通达的言论。现在如果不信，用竹子或笔管制作黄钟律管，同样规格的两枚，截取其中一枚分为两段，全律和半律，各让一人吹奏，声音必定不相合。这是显而易见的验证。又制作大吕律管，同样规格的两枚，周长和直径与黄钟相同，截取其中一枚分为两段，全律和半律，各让一人吹奏，则也不相合，而大吕半律却与黄钟全律相合，差别不大。由此可知所谓的半律，都是比全律低一律。大抵管子长则气流狭窄，狭窄则虽然长反而声音清越；管子短则气流宽畅，宽畅则虽然短反而声音浊重。这是自然的道理，先儒没有通达。总之，长短宽窄都有一定的道理，一定的数值在其中。将黄钟倍律乘以九再除以一作为外周长，用圆周求勾股的方法，得到内周长。又将倍律乘以四十再除以一作为内直径，用勾股求圆周的方法，得到外直径。大概律管的两端，形状像环形田地，有内外周长和直径。外周长容纳的方形，就是内直径；内周长向外辐射的斜线，就是外直径。方圆相容，是天地的象征，是理数精妙之处。黄钟通长八十一分，内周长九分，这是八十一中的九，即约分法中九分之一。如果将黄钟八十一分约化为九寸，那么其内周长应当说是一寸。旧法以九十分为黄钟，而说空围九分，是错误的。况且又穿凿附会地指为面积九平方分，错误就更严重了。方圆相容，有图如下。
<经部,乐类,乐律全书,卷二>
新法密率圆周直径面积体积相互求取
由周长求直径的，将周长的完整数值，乘以九再除以四十，所得结果自乘后加倍作为被开方数，开平方