乐律全书卷二十六

译（这就）叫做新说，为什么呢？暂且以周径、面积、体积相互推求之类为例，旧法疏略而新法精密；以开平方不用商除、开立方不显廉法之类为例，旧法繁琐而新法简捷。旧法将勾股定理置于末位，专门阐明《九章算术》；新法将勾股定理置于首位，专门阐明律历。这就是它们的差异所在。其余部分虽然文字略有不同，但终究是殊途同归罢了。

译初学凡例

臣恭敬地考察《内则》说：“六岁教孩子数数和方向名称，十岁外出跟随老师学习，住宿在外，学习书写和计算。”所谓的数，就是一二三四五六七八九十乃至百千万等数字的名称；所谓的计，就是一一退位一乃至逢九进一十等计算的方法。《中庸》说：“譬如走远路必定从近处开始，譬如登高必定从低处开始，说的就是这个道理。”

常数【孩子六岁时，教他们这些】

一 二 三 四 五

六 七 八 九 十

十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九 二十

二十一 二十二 二十三 二十四 二十五

二十六 二十七 二十八 二十九 三十

三十一 三十二 三十三 三十四 三十五

三十六 三十七 三十八 三十九 四十

四十一 四十二 四十三 四十四 四十五

四十六 四十七 四十八 四十九 五十

五十一 五十二 五十三 五十四 五十五

五十六 五十七 五十八 五十九 六十

六十一 六十二 六十三 六十四 六十五

六十六 六十七 六十八 六十九 七十

七十一 七十二 七十三 七十四 七十五

七十六 七十七 七十八 七十九 八十

八十一 八十二 八十三 八十四 八十五

八十六 八十七 八十八 八十九 九十

九十一 九十二 九十三 九十四 九十五

九十六 九十七 九十八 九十九 一百

大数【名称虽然很多，但从“京”以上，初学者难以理解，算学家也不常用，所以省略】

一、十、百、千、万、十万、百万、千万、万万为亿。一亿、十亿、百亿、千亿、万亿、十万亿、百万亿、千万亿、万万亿为兆。一兆、十兆、百兆、千兆、万兆、十万兆、百万兆、千万兆、万万兆为京。大数有三个等级：下等是，十万为亿，十亿为兆，十兆为京之类；中等是，万万为亿，万万亿为兆，万万兆为京之类。大致儒家典籍中所记载的，是下等；算学书籍中所记载的，是中等。其上等者，不详记载，而佛经中则又与这三等不同。现在所使用的，特别依照算学书籍，采用中等的数。

小数【名称虽然很多，但从“纤”以下，初学者难以理解，算学家也不常用，所以省略】

几尺，几寸，几分，几厘，几毫，几丝，几忽，几微，几纤。这是常人所了解的。其次记载平积、立积，与常规不同。初学者应当学习。

平方积【这就是所谓的计算方法，十岁以后才教】

平方百纤为一微，百微为一忽，百忽为一丝，百丝为一毫，百毫为一厘，百厘为一分，百分为一寸，百寸为一尺，所以说。

几十几尺，几十几寸，几十几分，几十几厘，几十几毫，几十几丝，几十几忽，几十几微，几十几纤。

立方积【平积和立积，初学者难以理解，所以列出表格】

立方千纤为一微，千微为一忽，千忽为一丝，千丝为一毫，千毫为一厘，千厘为一分，千分为一寸，千寸为一尺，所以说。

几百几十几尺，几百几十几寸，几百几十几分，几百几十几厘，几百几十几毫，几百几十几丝。

几百，几十，几忽；几百，几十，几微；几百，几十，几纤。

又平积一【一自乘所得】四【二自乘所得】九【三自乘所得】

十六【四自乘所得】 二十五【五自乘所得】 三十六【六自乘所得】

四十九【七自乘所得】 六十四【八自乘所得】 八十一【九自乘所得】

一以上开一，四以上开二，九以上开三，十六以上开四，二十五以上开五，三十六以上开六，四十九以上开七，六十四以上开八，八十一以上开九，一百以上开十，四百以上开二十，九百以上开三十，一千六百以上开四十，二千五百以上开五十，三千六百以上开六十，四千九百以上开七十，六千四百以上开八十，八千一百以上开九十，一万以上开一百，四万以上开二百，九万以上开三百，十六万以上开四百，二十五万以上开五百，三十六万以上开六百，四十九万以上开七百，六十四万以上开八百，八十一万以上开九百

又立积一【一再乘所得】八【二再乘所得】二十七【三再乘所得】

六十四【四再乘所得】一百二十五【五再乘所得】二

译一百一十六【是六自乘所得的结果】，三百四十三【是七自乘所得的结果】，五百一十二【是八自乘所得的结果】，七百二十九【是九自乘所得的结果】。一以上开平方得一，八以上开平方得二，六十四以上开平方得四，一百二十五以上开平方得五。

译三百四十三以上，开七；五百一十二以上，开八；一千以上，开十；八千以上，开二十。

六万四千以上开四十，十二万五千以上开五十三，十四万三千以上开七十，五十一万二千以上开八十一，一百万以上开一百，八百万以上开二百。

六千四百万以上，开四百；一亿二千五百万以上，开五百；三亿四千三百万以上，开七百；五亿一千二百万以上，开八百。以上这些开方数的规律，初学者必须知道。凡是学习开方，必须制作大型算盘，长度为九九八十一位，总共五百六十七颗算珠，才可以进行计算。如果不这样做，只用普通的四五个算盘连接在一起计算，也是可以的。在算盘的横梁上贴一条长纸，上面写第一位、第二位等字样，使初学者容易明白。

第一个问题问：古人说黄钟长九寸，现在说黄钟长十寸，这是为什么呢？回答说：所谓九寸，是法度的名称。度量产生于音律，而不是音律产生于度量。古代的神瞽考察中声来制定音律，在这个时候，音律尚未确定，度量尚未产生，那么怎么知道黄钟是九寸呢？等到音律确定后，于是将黄钟的管命为一尺，所以先儒说度量本起源于黄钟的长度，由此可知黄钟的长度就是度量法的一尺。如果说黄钟只长九寸，外加一寸才成为一尺，那就不是所说的度量本起源于黄钟的长度了。大概九寸，只是计算的比例罢了。比例，是假设的方法。比如穿四壤五，坚三句三，股四〇五之类就是。假设黄钟长九寸，那么林钟长六寸；假设林钟长六寸，那么太簇长八寸。创立这个比例的人，主要意图不过是专为三分损益法而设。现在既然察知三分损益法，其比例疏漏错误，不使用三分损益法，那么那黄钟九寸的说法也就不可遵循了。现在取法河图的数字，详细列在左边：五与十居中央，为土，为宫，为君【十寸最尊贵，所以黄钟的宫长十寸】；四与九居西方，为金，为商，为臣【九寸次之，所以黄钟的商长九寸】；三与八居东方，为木，为角，为民【八寸次之，所以黄钟的角长八寸】；二与七居南方，为火，为徵，为事【七寸次之，所以黄钟变徵长七寸】；一与六居北方，为水，为羽，为物【六寸次之，所以黄钟的羽长六寸】。

第二个问题：音律学家先求黄钟，就像历法学家先求冬至一样；其次求蕤宾，就像求夏至一样；又其次求夹钟，就像求春分一样；又其次求南吕，就像求秋分一样。然后求大吕，它是除了黄钟以外诸律吕的首位；其次求应钟，它是诸律吕的终结。这也就像历法学家所说的履端、举正、归余一样。黄钟履端于开始，蕤宾举正于中间，应钟归余于终结。所以说：音律和历法是一条道理。现在黄钟正律长十寸，蕤宾倍律和正律各长多少？回答说：黄钟长十寸，这是作为正方形的面，它的两个角之间的斜边〇就是蕤宾倍律。倍律折半，就是蕤宾正律。如果把蕤宾正律作为正方形的面，而它的斜边〇就是黄钟正律。《周礼》中防氏制作量器，内部是方尺而外部是圆形，用算法求方形的斜边，即圆的直径，得到斜边〇一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三〇九五〇四八八〇一六八九，这就是蕤宾倍律。折半得到七寸〇七厘一毫〇六忽七微八纤一一八六五四七五二四四〇〇八四四五，这就是蕤宾正律【纤以下的数字不再设立名称，其余都仿照此例】。方法说【依据勾股定理求〇的计算】：放置方面【从南到北十寸】自乘【得到一百寸】作为股幂，另外放置方面【从东到西十寸】自乘【得到一百寸】作为句幂，两者相加【共得到二百寸】作为〇幂，就放置〇幂【二百寸】作为实，看前面的式子内【一百以上该开十寸命作一归】作为下法，用开方归除法去除。在实的首位归实【喊逢一进十得一十寸】有归不除，余实【一百寸】倍下法【十寸改作二十寸命曰二归】，从此以后，有归有除，在实的第一位归实【喊二一添作五起一还二只得四寸】下法也放置【四寸在二十寸之下共得二十四寸】在实的第二位除实【喊四四除一十六】余实【四寸】倍下法【四寸改作八寸共得二十八寸】在实的第三位归实【喊逢二进十得一分】下法也放置【一分在二十八寸之下共得二十八寸一分】在实的第三位除实【喊一八退位除八】在第四位除实【喊一一退位除一】余实【一寸一十九分】倍下法【一分改作二分，共得二十八寸二分】在实的第三位归实【喊二一添作五，起一还二，只得四厘】下法也放置【四厘在二十八寸二分之下，共得二十八寸二分四厘】在实的第四位除实【喊四八除三十二】在第五位除实【喊二四退位除八】在第六位除实【喊四四除一十六】

译余数为六分零四厘，倍以下法（四厘改为八厘，共得二十八寸二分八厘），在实数的第五位归实（口诀：逢四进二十，得二毫），下法也置于此（二毫置于二十八寸二分八厘之下，共得二十八寸二分八厘二毫），在实数的第五位除实（口诀：二八除一十六），在第六位除实（口诀：二二退位除四），在第七位除实（口诀：二八除一十六），在第八位除实（口诀：二二退位除四），余数为三十八厘三十八毫，倍以下法（二毫改为四毫，共得二十八寸二分八厘四毫），在实数的第六位归实（口诀：逢二进一十，得一丝），下法也置于此（一丝置于二十八寸二分八厘四毫之下，共得二十八寸二分八厘四毫一丝），在实数的第六位除实（口诀：一八退位除八），在第七位除实（口诀：一二退位除二），在第八位除实（口诀：一八退位除八），在第九位除实（口诀：一四退位除四），在第十位除实（口诀：一一退位除一），余数为一十厘零七毫五十九丝，倍以下法（一丝改为二丝，共得二十八寸二分八厘四毫二丝），在实数的第六位归实（口诀：二一添作五，起二还四，只得三忽），下法也置于此（三忽置于二十八寸二分八厘四毫二丝之下，共得二十八寸二分八厘四毫二丝三忽），在实数的第七位除实（口诀：三八除二十四），在第八位除实（口诀：二三退位除六），在第九位除实（口诀：三八除二十四），在第十位除实（口诀：三四除一十二），在第十一位除实（口诀：二三退位除六），在第十二位除实（口诀：三三退位除九），余数为一厘五十九毫零六丝三十一忽，倍以下法（三忽改为六忽，共得二十八寸二分八厘四毫二丝六忽），在实数的第七位归实（口诀：二一添作五，得五微），下法也置于此（五微置于二十八寸二分八厘四毫二丝六忽之下，共得二十八寸二分八厘四毫二丝六忽五微），在实数的第八位除实（口诀：五八除四十），在第九位除实（口诀：二五除一十），在第十位除实（口诀：五八除四十），在第十一位除实（口诀：五四除二十），在第十二位除实（口诀：二五除一十），在第十三位除实（口诀：五六除三十），在第十四位除实（口诀：五五除二十五），余数为一十七毫六十四丝一十七忽七十五微，倍以下法（五微改为一忽零微，共得二十八寸二分八厘四毫二丝七忽零微），在实数的第八位归实（口诀：二一添作五，逢二进一十，得六纤），下法也置于此（六纤置于二十八寸二分八厘四毫二丝七忽零微之下，共得二十八寸二分八厘四毫二丝七忽零六纤），在实数的第九位除实（口诀：六八除四十八），在第十位除实（口诀：二六除一十二），在第十一位除实（口诀：六八除四十八），在第十二位除实（口诀：四六除二十四），在第十三位除实（口诀：二六除一十二），在第十四位除实（口诀：六七除四十二，至第十五位下法空微无除），在第十六位除实（口诀：六六除三十六），余数为六十七丝一十二忽一十二微六十四纤。

译从这以后，开方至第二十五位，其方法与前面相同。只是“纤”以下的单位，不再设立名称。总共得到斜边一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三○九五○四八八○一六八九，这就是蕤宾倍律。将其减半，就得到蕤宾正律，与下面一条开方所得的蕤宾正律数值相同。

第三问，黄钟正律作为直角边的长度，斜边即为蕤宾，加倍前一条已经说清楚了。黄钟正律作为斜边的长度，那么防宾正律也必须弄明白。现在黄钟正律长十寸，它的防宾正律长多少？

回答说：长七寸○七厘一毫○六忽七微八纤一一八六五四七五二四四○○八四四五，这就是防宾正律。方法说【依据斜边求直角边的算法】放置斜边【即黄钟正律长十寸】自乘【得到一百寸】作为斜边面积，从中减去直角边面积【正方形中直角边与另一直角边相同，减去五十寸】剩余【五十寸】作为另一直角边面积。就放置另一直角边面积【五十寸】作为被除数，看前面算式内【四十九以上对应开七寸，命名为七归】作为除数，用开方归除法去除。在被除数首位归除被除数【喊七五七十一得七寸】加倍除数【七寸改作一十四寸，命名为一归，喊逢七进七十，虽然进一位仍作七寸】有归不除，剩余被除数【一寸】从这以后有归有除，第一位【得到空分】在第二位归除被除数【喊见一无除作九一起二还二只得七厘】除数也放置【七厘在一十四寸○分之下，共得一十四寸○分七厘】在被除数第三位除被除数【喊四七除二十八】，第四位除数空分无除】在第五位除被除数【喊七七除四十九】剩余被除数【一分五十一厘】加倍除数【七厘改作一分四厘，共得一十四寸一分四厘】在被除数第四位归除被除数【喊逢一进一十得一毫】除数也放置【一毫在一十四寸一分四厘之下，共得一十四寸一分四厘一毫】在被除数第四位除被除数【喊一四退位除四】在第五位除被除数【喊一一退位除一】在第六位除被除数【喊一四退位除四】在第七位除被除数【喊一一退位除一】剩余被除数【九厘五十九毫】加倍除数【一毫改作二毫，共得一十四寸一分四厘二毫】第五位【得到空丝】在第六位归除被除数【喊逢六进六十得六忽】除数也放置【六忽在一十四寸一分四厘二毫○丝之下，共得一十四寸一分四厘二毫○丝六忽】在被除数第六位除被除数【喊四六除二十四】在第七位除被除数【喊一六退位除六】在第八位除被除数【喊四六除二十四】在第九位除被除数【喊二六除一十二】第十位除数空丝无除】在第十一位除被除数【喊六六除三十六】剩余被除数【一厘一十毫○四十七丝六十四忽】加倍除数【六忽改作一丝二忽】，共得一十四寸一分四厘二毫一丝二忽】在被除数第六位归除被除数【喊见一无除作九一起二还二只得七微】除数也放置【七微在一十四寸一分四厘二毫一丝二忽之下】，共得一十四寸一分四厘二毫一丝二忽七微】在被除数第七位除被除数【喊四七除二十八】在第八位除被除数【喊一七退位除七】在第九位除被除数【喊四七除二十八】在第十位除被除数【喊二七除一十四】在第十一位除被除数【喊一七退位除七】在第十二位除被除数【喊二七除一十四】在第十三位除被除数【喊七七除四十九】剩余被除数【一十一毫四十八丝一十五忽一十一微】加倍除数【七微改作一忽四微】，共得一十四寸一分四厘二毫一丝三忽四微】在被除数第七位归除被除数【喊见一无除作九一起一还一得八纤】除数也放置【八纤在一十四寸一分四厘二毫一丝三忽四微之下】，共得一十四寸一分四厘二毫一丝三忽四微八纤】在被除数第八位除被除数【喊四八除三十二】在第九位除被除数【喊一八退位除八】在第十位除被除数【喊四八除三十二】在第十一位除被除数【喊二八除一十六】在第十二位除被除数【喊一八退位除八】在第十三位除被除数【喊三八除二十四】在第十四位除被除数【喊四八除三十二】在第十五位除被除数【喊八八除六十四】剩余被除数【一十六丝七十八忽○三微一十六纤】

从这以后，开方至第二十五位，其方法与前面相同。只是“纤”以下的单位，不再设立名称。所得直角边七寸○七厘一毫○六忽七微八纤，一一八六五四七五二四四○○八四四五，这就是蕤宾正律。将其加倍，就得到蕤宾倍律，与上面一条开方所得的蕤宾倍律数值相同。

第四问，用黄钟正律乘以蕤宾正律，得到平方积七十寸○七十一分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五，开平方所得，就是夹钟正律，它的长度是多少？

回答说：长八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤五二五三七一

译四五四三○三一一二五，即是夹钟的正律。算法如下：将所得的蕤宾长度【七寸○七厘一毫○六忽七微八纤一一八六五四七五二四四○○八四四五】乘以黄钟的长度【十寸】，得到平方积【七十寸○七十一分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】作为被除数。查看前式内【六十四以上对应开方得八寸，命名为八归】作为下法，用开方归除法去除之。在被除数首位归除【呼八七八十六得八寸】，加倍下法【八寸改作一十六寸，命名为一归，呼逢八进八十，虽进一位仍作八寸】，有归不除，余下被除数【六寸七十一分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】。自此以后，有归有除，在被除数第二位归除【呼逢四进四十得四分】，下法也放置【四分在一十六寸之下，共得一十六寸四分】，在被除数第二位除【呼四六除二十四】，在第三位除【呼四四除一十六】，余下被除数【一十五分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】，加倍下法【四分改作八分，共得一十六寸八分】，第二位【得空厘】，在第三位归除【呼见一无除作九一，起一还一得八毫】，下法也放置【八毫在一十六寸八分○厘之下，共得一十六寸八分○厘八毫】，在第四位除【呼六八除四十八】，在第五位除【呼八八除六十四，第六位下法空厘无除】，在第七位除【呼八八除六十四】，余下被除数【一分六十二厘一十四毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】，加倍下法【八毫改作一厘六毫，共得一十六寸八分一厘六毫】，在第四位归除【呼见一无除作九一得九丝】，下法也放置【九丝在一十六寸八分一厘六毫之下，共得一十六寸八分一厘六毫九丝】，在第五位除【呼六九除五十四】，在第六位除【呼八九除七十二】，在第七位除【呼一九退位除九】，在第八位除【呼六九除五十四】，在第九位除【呼九九除八十一】，余下被除数【一十厘○七十八毫九十丝○八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】，加倍下法【九丝改作一毫八丝，共得一十六寸八分一厘七毫八丝】，在第五位归除【呼见一无除作九一，起三还三得六忽】，下法也放置【六忽在一十六寸八分一厘七毫八丝之下，共得一十六寸八分一厘七毫八丝六忽】，在第六位除【呼六六除三十六】，在第七位除【呼六八除四十八】，在第八位除【呼一六退位除六】，在第九位除【呼六七除四十二】，在第十位除【呼六八除四十八】，在第十一位除【呼六六除三十六】，余下被除数【六十九毫八十三丝七十忽○五十四微七十五纤二四四○○八四四五】，加倍下法【六忽改作一丝二忽，共得一十六寸八分一厘七毫九丝二忽】，在第七位归除【呼逢四进四十得四微】，下法也放置【四微在一十六寸八分一厘七毫九丝二忽之下，共得一十六寸八分一厘七毫九丝二忽四微】，在第七位除【呼四六除二十四】，在第八位除【呼四八除三十二】，在第九位除【呼一四退位除四】，在第十位除【呼四七除二十八】，在第十一位除【呼四九除三十六】，在第十二位除【呼二四退位除八】，在第十三位除【呼四四除一十六】，余下被除数【二毫五十六丝五十三忽五十八防七十五纤二四四○○八四四五】，加倍下法【四微改作八微，共得一十六寸八分一厘七毫九丝二忽八微】，在第八位归除【呼逢一进一十得一纎】，下法也放置【一纎在一十六寸八分一厘七毫九丝二忽八微之下，共得一十六寸八分一厘七毫九丝二忽八微一纎】，在第八位除【呼一六退位除六】，在第九位除【呼一八退位除八】，在第十位除【呼一一退位除一】，在第十一位除【呼一七退位除七】，在第十二位除【呼一九退位除九】，在第十三位除【呼一二退位除二】，在第十四位除【呼一八退位除八】，在第十五位除【呼一一退位除一】，余下被除数【八十八丝三十五忽六十五微九十四纎有竒】。自此以后开方至二十五位，其算法同前，只是纤以下不再设立名目，所得长度为八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤五二五三七一四五四三○三一一二五，即是夹钟的正律，加倍得一尺六寸八分一

译厘七毫九丝二忽八微三纤零五零七四二九零八六零六二二五一，即是夹钟的正律。

译第五问：用黄钟正律乘以蕤宾倍律，得到平方积一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三二忽○九微五十纤○四八八○一六八九，开平方所得，即南吕倍律，其长度是多少？

回答说：“长一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纤五○○二七二一○六六七一七五○○，这就是南吕倍律。”

方法说：设置所得蕤宾的长度【一十四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三○九五○四八八○一六八九】，用黄钟的长度【十寸】乘以它，得到平方积【一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】作为被除数。查看前式内【一百以上该开一十寸，命名为一归】作为下法，用开方归除法去除它。在被除数首位归除被除数【呼逢一进一十得一十寸】，有归不除，余数【四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】加倍下法【一十寸改作二十寸，命名为二归】，自此以后有归有除。在被除数第二位归除被除数【呼逢二进一十得一寸】，下法也放置【一寸于二十寸之下，共得二十一寸】，在被除数第二位除被除数【呼一一退位除一】，余数【二十寸○四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽九微○十纤○四八八○一六八九】加倍下法【一寸改作二寸，共得二十二寸】，在被除数第二位归除被除数【呼见二无除作九二起一还二得八分】，下法也放置【八分于二十二寸之下，共得二十二寸八分】，在被除数第三位除被除数【呼二八除一十六】，在第四位除被除数【呼八八除六十四】，余数【二寸一十八分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】加倍下法【八分改作一寸六分，共得二十三寸六分】，在被除数第三位归除被除数【呼见二无除作九二得九厘】，下法也放置【九厘于二十三寸六分之下，共得二十三寸六分九厘】，在被除数第四位除被除数【呼三九除二十七】，在第五位除被除数【呼六九除五十四】，在第六位除被除数【呼九九除八十一】，余数【四分九十二厘五十六毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】加倍下法【九厘改作一分八厘，共得二十三寸七分八厘】，在被除数第五位归除被除数【呼逢四进二十得二毫】，下法也放置【二毫于二十三寸七分八厘之下，共得二十三寸七分八厘二毫】，在被除数第五位除被除数【呼二三退位除六】，在第六位除被除数【呼二七除一十四】，在第七位除被除数【呼二八除一十六】，在第八位除被除数【呼二二退位除四】，余数【一十六厘九十二毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】加倍下法【二毫改作四毫，共得二十三寸七分八厘四毫】，第五位【得空丝】，在第六位归除被除数【呼二一添作五逢四进二十得七忽】，下法也放置【七忽于二十三寸七分八厘四毫○丝之下，共得二十三寸七分八厘四毫○丝七忽】，在被除数第七位除被除数【呼三七除二十一】，在第八位除被除数【呼七七除四十九】，在第九位除被除数【呼七八除五十六】，在第十位除被除数【呼四七除二十八，第十一位下法空丝无除】，在第十一位除被除数【呼七七除四十九】，余数【二十七毫三十五丝二十四忽○九微五十纤○四八八○一六八九】加倍下法【七忽改作一丝四忽，共得一十三寸七分八厘四毫一丝四忽】，在被除数第八位除被除数【呼逢二进一十得一微】，下法也放置【一微于二十三寸七分八厘四毫一丝四忽之下，共得二十三寸七分八厘四毫一丝四忽一微】，在被除数第八位除被除数【呼一三退位除三】，在第九位除被除数【呼一七退位除七】，在第十位除被除数【呼一八退位除八】，在第十一位除被除数【呼一四退位除四】，在第十二位除被除数【呼一一退位除一】，在第十三位除被除数【呼一四退位除四】，在第十四位除被除数【呼一一退位除一】，余数【三毫五十六丝八十二忽六十八微五十纤○四八八○一六八九】加倍下法【一微改作二微，共得二十三寸七分八厘四毫一丝四忽二微】，在被除数第九位归除被除数【呼逢二进一十得一纤】，下法也放置【一纤于二十三寸七分八厘四毫一丝四忽二微之下，共得二十三寸七分八厘四毫一丝四忽二微一纤】，在被除数第九位除被除数【呼一三退位除三】，在第十位除被除数【呼一七退位除七】，在第十一位除被除数【呼一八退位除八】，在第十二位除被除数【呼一

译四，退位，除四。在第十三位，除实；（呼一一，退位，除一）。在第十四位，除实；（呼一四，退位，除四）。在第十五位，除实；（呼一二，退位，除二）。在第十六位，除实；（呼一一，退位，除一）。余实：一毫一十八丝九十八忽五十四微二十九纎四八八○一六八九。

译从此往后，开至第二十五位，其方法与前面相同。只是到了“纤”以下，不再设立名称，所得长度为1尺1寸8分9厘2毫07忽1微1纤5002721066717500，这就是南吕倍律。将其减半，得到5寸9分4厘6毫03忽5微5纤7501360533358750，这就是南吕正律。

初学开立方的基本规则

凡是开立方的时候，在算盘梁上贴一条纸条，写上千、百、十、寸、百、十、分、百、十、厘、百、十、毫、百、十、丝、百、十、忽、百、十、微、百、十、纤的名称。至于“纤”以下的位数，不再设立名称，只每隔两位画一个圈，以便开立方的时候除实不错误。

隅法定式

一减001，二减008，三减027，四减064，五减125，六减216，七减343，八减512，九减729。

第六问，设置夹钟正律，用黄钟再乘，得到立方积840寸，0896分，415厘，253毫，714丝，543忽，031微，125纤。开立方所得，就是大吕正律。它的长度是多少？

回答说：“长度为9寸4分3厘8毫7丝4忽3微1纤26816934966419134，这就是大吕正律。”

方法说：设置所得夹钟正律的长度【8寸4分08毫9丝6忽4微1纤5253714543031125】，首先用黄钟正律的长度【10寸】去乘【得到84寸8分96厘41毫52丝53忽71微45纤43031125】，称为平方积；再用黄钟正律的长度【10寸】去乘【得到840寸0896分415厘253毫714丝543忽031微125纤】，称为立方积，作为实数。

商第一位【得到9寸】

看定式【739寸以上】该商【9寸】置于左边，而从实数中减去，再乘数【729寸】，余实【111寸有余】

商第二位【得到4分】

三因所商【9寸得到2尺7寸】置于右边作为下法，与实数【111寸】相商【5则太过，3则不及】，所得【该4】作为分，置于上商【9寸】之下【共得到9寸4分】，另置【9寸4分】，用所商【4分】去乘【得到376分】，又用下法【2尺7寸】去乘，满千分为寸【得到101寸520分】，隅法【64分】相并，减去实数【101寸584分】，余实【10寸0312分有余】

商第三位【得到3厘】

三因所商【4分得到1寸2分】并入下法【共得到2尺8寸2分】，与实数【10寸312分】相商【4则太过，2则不及】，所得【该3】作为厘，置于上商【9寸4分】之下【共得到9寸4分3厘】，另置【9寸4分3厘】，用所商【3厘】去乘，满千厘为分【得到2分829厘】，又用下法【2尺8寸2分】去乘，满千分为寸【得到7寸977分780厘】，隅法【27厘】相并，减去实数【7寸977分807厘】，余实【2寸334分608厘有余】

商第四位【得到8毫】

三因所商【3厘得到9厘】并入下法【共得到2尺8寸2分9厘】，与实数【2寸334分608厘】相商【9则太过，7则不及】，所得【该8】作为毫，置于上商【9寸4分3厘】之下【共得到9寸4分3厘8毫】，另置【9寸4分3厘8毫】，用所商【8毫】去乘，满千毫为厘【得到75厘504毫】，又用下法【2尺8寸2分9厘】去乘，满千厘为分，满千分为寸【得到2寸136分008厘160毫】，隅法【512毫】相并，减去实数【2寸136分008厘672毫】，余实【198分599厘581毫有余】

商第五位【得到7丝】

三因所商【8毫得到2厘4毫】并入下法【共得到2尺8寸3分1厘4毫】，与实数【198分599厘581毫】相商【8则太过，6则不及】，所得【该7】作为丝，置于上商【9寸4分3厘8毫】之下【共得到9寸4分3厘8毫7丝】，另置【9寸4分3厘8毫7丝】，用所商【7丝】去乘，满千丝为毫【得到660毫0709丝】，又用下法【2尺8寸3分1厘4毫】去乘，满千毫为厘，满千厘为

译分得一百八十七分、七十三厘、一百四十六毫、二百六十丝；隅法为三百四十三丝；二者相并，减去实数一百八十七分、八十三厘、一百四十六毫、六百零三丝；剩余实数为一十一分、五百二十六厘、四百三十五毫、一百一十一丝有余。

译商第六位【得到四忽】

三倍所求得的商数【七丝，得到二毫一丝】并入下法【共得到二尺八寸三分一厘六毫一丝】与实数【一十一分五百三十六厘四百三十五毫一百一十一丝】相除【商五则太大，商三则太小】所得到的【该是四】作为忽，置于上商【九寸四分三厘八毫七丝】之下【共得到九寸四分三厘八毫七丝四忽】另置【九寸四分三厘八毫七丝四忽】用所求得的商数【四忽】去乘它，满千忽进为丝，满千丝进为毫【得到三毫七百七十五丝四百九十六忽】又用下法【二尺八寸三分一厘六毫一丝】去乘它，满千毫进为厘，满千厘进为分【得到一十分○六百九十厘○七百三十二毫二百二十八丝五百六十忽】隅法【六十四忽】合并相加，减去实数【一十分○六百九十厘○七百三十二毫二百二十八丝六百二十四忽】剩余实数【八百三十五厘七百○二毫八百八十二丝九百一十九忽有余】

商第七位【得到三微】

三倍所求得的商数【四忽，得到一丝二忽】并入下法【共得到二尺八寸三分一厘六毫二丝三忽】与实数【八百三十五厘七百○二毫八百八十二丝九百一十九忽】相除【商四则太大，商二则太小】所得到的【该是三】作为微，置于上商【九寸四分三厘八毫七丝四忽】之下【共得到九寸四分三厘八毫七丝四忽三微】另置【九寸四分三厘八毫七丝四忽三微】用所求得的商数【三微】去乘它，满千微进为忽，满千忽进为丝【得到二十八丝三百一十六忽二百二十九微】又用下法【二尺八寸三分一厘六毫二丝二忽】去乘它，满千丝进为毫，满千毫进为厘【得到八百○一厘八百○八毫五百六十九丝九百三十四忽三百八十微】隅法【二寸七微】合并相加，减去实数【八百○一厘八百○八毫五百六十九丝九百三十四忽四百○七微】剩余实数【三十三厘八百九十四毫三百一十二丝九百八十四忽六百二十四微有余】

商第八位【得一纤】

三倍所求得的商数【三微，得到九微】并入下法【共得到二尺八寸三分一厘六毫二丝二忽九微】与实数【三十三厘八百九十四毫三百一十二丝九百八十四忽六百二十四微】相除【商二则太大，商一则恰好】所得到的【该是一】作为纤，置于上商【九寸四分三厘八毫七丝四忽三微】之下【共得到九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纤】另置【九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纤】用所求得的商数【一纤】去乘它，满千纤进为微，满千微进为忽【得到九十四忽三百八十七微四百三十一纤】又用下法【二尺八寸三分一厘六毫二丝二忽九微】去乘它，满千忽进为丝，满千丝进为毫，满千毫进为厘【得到二十六厘七百二十六毫九百六十一丝一百○九忽一百七十六微九百九十纤】隅法【一纤】合并相加，减去实数【二十六厘七百二十六毫九百六十一丝一百○九忽一百七十六微九百九十一纤】剩余实数【七厘一百六十七毫三百五十一丝八百七十五忽四百四十七微一百三十四纤】

如果想要开方到二十五位，必须使用八十一位的算盘，先将黄钟、夹钟等律各开方到七十多位，然后才能得到立方积的实数，其商除的方法都与前面相同。

有人问：“二十五位的主要意图是什么？”回答说：“河图中的数是五，五自乘得到二十五。《易经》说：‘天数有二十五。’算学家计算立方积，从千寸到几百几十几纤，是二十五位。从一到京，也是二十五位。所以以二十五位为极限之数。也如同民间算盘，都是十七位，从一到兆为极限之数。”

第七问：设置南吕倍律，用黄钟再乘，得到立方积一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一丝○六十六忽七百一十七微五百○○纤。开立方所得到的，就是应钟倍律。它的长度是多少？

回答说：一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纤四三五九二九五二六四五六一八二五。

方法说：设置所得到的南吕倍律长度【一尺一寸八分九厘二毫七忽一微一纤五○○二七二一○六六七一七五○○】起初用黄钟正律长度【一十寸】去乘它【得到一百一十八寸九十二分○七厘一十一毫五十丝○○二忽七十二微一十纤○六六七一七五○○】称为平方积；再用黄钟正律长度【一十寸】去乘它【得到一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一丝○六十六忽七百一十七微五百○○纤】称为立方积，作为实数。

商第一位【得一尺】

看式【一千寸以上】该商【一十寸

译将其放在左边，并在实际数值中减去，再乘以一千寸，余下的实际数值为一百八十九寸有余。

译商第二位【得空寸】

商第二位【得空寸】

三因所商【一十寸得三十寸】置于右边作为下法，与实【一百八十九寸】相商【一寸该三百三十寸，实数不够减】所得【空位】为寸，置于上商【一十寸】之下【共得一十空寸，无减】余实【同上】

商第三位【得五分】

三因所商【一十空寸】得三十空寸】作为下法与实【一百八十九寸】相商【六则太大，四则太小】所得【该五】为分，置于上商【一十空寸】之下【共得一十寸○五分】另置【一十寸○五分】以所商【五分】乘之【得五百二十五分】又以下法【三十空寸】乘之，满千分为寸【得一百五十七寸五百分】隅法【一百二十五分】相并减实【一百五十七寸六百二十五分】余实【三十一寸五百八十二分有奇】

商第四位【得九厘】

三因所商【五分得一寸五分】并入下法【共得三十一寸五分】与实【三十一寸五百八十二分】相商【九则恰好，八则太小】所得【该九】为厘，置于上商【一十寸五分】之下【共得一十寸○五分九厘】另置【一十寸○五分九厘】以所商【九厘】乘之，满千厘为分【得九分五百三十一厘】又以下法【三十一寸五分】乘之，满千分为寸【得三十寸○○二十二分六百五十厘】隅法【七百二十九厘】相并减实【三十寸○○二十三分三百七十九厘】余实【一寸五百五十八分七百三十六厘有奇】

商第五位【得四毫】

三因所商【九厘得二分七厘】并入下法【共得三十一寸七分七厘】与实【一寸五百五十八分七百三十六厘】相商【五则太大，三则太小】所得【该四】为毫，置于上商【一十寸○五分九厘】之下【共得一十寸○五分九厘四毫】另置【一十寸○五分九厘四毫】以所商【四毫】乘之，满千毫为厘【得四十二厘三百七十六毫】又以下法【三十一寸七分七厘】乘之，满千厘为分，满千分为寸【得一寸三百四十六分二百八十五厘五百二十毫】隅法【六十四毫】相并，减实【一寸三百四十六分二百八十五厘五百八十四毫】余实【二百一十二分四百五十厘○四百一十八毫有奇】

商第六位【得六丝】

三因所商【四毫得一厘二毫】并入下法【共得三十一寸七分八厘二毫】与实【二百一十二分四百五十厘○四百一十八毫】相商【七则太大，五则太小】所得【该六】为丝，置于上商【一十寸○五分九厘四毫】之下【共得一十寸○五分九厘四毫六丝】另置【一十寸○五分九厘四毫六丝】以所商【六丝】乘之，满千丝为毫【得六百三十五毫六百七十六丝】又以下法【三十一寸七分八厘二毫】乘之，满千毫为厘，满千厘为分【得二百○二分○三十厘○五百四十六毫三百二十丝】隅法【二百一十六丝】相并，减实【二百○二分○三十厘○五百四十六毫五百三十六丝】余实【一十分○四百一十九厘八百七十二毫一百八十五丝有奇】

商第七位【得三忽】

三因所商【六丝得一毫八丝】并入下法【共得三十一寸七分八厘三毫八丝】与实【一十分○四百一十九厘八百七十二毫一百八十五丝】相商【四则太大，二则太小】所得【该三】为忽，置于上商【一十寸○五分九厘四毫六丝】之下【共得一十寸○五分九厘四毫六丝三忽】另置【一十寸○五分九厘四毫六丝三忽】以所商【三忽】乘之，满千忽为丝，满千丝为毫【得三毫一百七十八丝三百八十九忽】又以下法【三十一寸七分八厘三毫八丝】乘之，满千毫为厘，满千厘为分【得一十分○一百○二厘一百二十八毫○二十九丝八百二十忽】隅法【二十七忽】相并，减实【一十分○一百○二厘一百二十八毫○三十九丝八百四十七忽】余实【三百一十七厘七百四十四毫一百五十五丝二百一十九忽有奇】

商第八位【得空微】

三因所商【三忽得九忽】并入下法【共得三十一寸七分八厘三毫八丝九忽】与实【三百一十七厘七百四十四毫一百五十五丝二百一十九忽】相商【一微该三百三十六厘，实数不够减】所得【空位】为防，置于上商【○十寸○五分九

译厘四毫六丝三忽之下，共得一十寸零五分九厘四毫六丝三忽，空防无减；余实同上。

译商第九位【得九纤】

三因所商【空微得空微】并入下法【共得三十一寸七分八厘三毫八丝九忽○微】与实【三百一十七厘七百四十四毫一百五十五丝二百一十九忽】相商【九则适足八则不及】所得【该九】为纤置于上商【一十寸○五分九厘四毫六丝三忽○微】之下【共得一十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纤】别置【一十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纤】以所商【九纤】乘之满千纤为防满千防为忽【得九百五十三忽五百一十六微七百八十一纤】又以下法【三十一寸七分八厘三毫八丝九忽○微】乘之满千忽为丝满千丝为毫满千毫为厘【得三百○三厘○六十四毫七百二十四丝八百○四忽五百八十微○九百纤】隅法【七百二十九纤】相并减实【三百○三厘○六十四毫七百二十四丝八百○四忽五百八十一微六百二十九纤】余实【一十四厘六百七十九毫四百三十丝○四百一十五忽一百三十五微八百七十一纤】

如欲开至二十五位，须用八十一位算盘，先将防宾、南吕等律各开至于七十余位，然后乃得立方积实，其商除法俱与前同。

第八问：子午卯酉四律，谓之四正。其象二至二分，而为律历之要。故曰：律与历一道也。上文既明，兹无疑矣。又有正倍半律之说不与历同，何也？

答曰：“历者，天道也，人事寓焉。律者，人道也，天象具焉。”记曰：“律居阴而治阳，历居阳而治阴。律历迭相治，其间不容发，此之谓也。”安有不同之理？夫黄钟正律，人君之象也。倍律象君之父，又象郊社宗庙。《孝经》曰：“虽天子，必有尊也，言有父也。”又曰：“宗庙致敬，不忘亲也。”孝弟之至，通于神明，光于四海，非乐孰能保此？黄钟倍律以之。其黄钟半律者，人君之继嗣也。宋仁宗时，李照建议不用四清二变。刘羲叟曰：“不用防宾，有北极无南极；不用应钟，有始无终，〇惑之兆甚着。又不用黄钟半律，则继嗣缺矣。”时人皆以羲叟之言为然，独陈〇《乐书》以李照为是。倍半之说，关系甚重，律家不可不知。且如历家周天半周，象防朔、防望、防〇、防之类，即是正倍半也。何谓不与历同？

第九问：正倍半之说既明矣，然所疑者，丑未巳亥四律，谓之四辅，尤为至要。四辅之说，亦须明之。

答曰：“大吕、仲吕、林钟、应钟，此四者居南北二极两邻，以象四辅之星。仲吕属阴，而生黄钟，其倍律象人君之母；正律、半律象人君之姑、侄、姊妹。林钟属阴，而乃黄钟所生，其倍律象人君之后；正律、半律象人君之宫眷、子女。又有一说：大吕象左辅，应钟象右弼，仲吕象前疑，林钟象后丞，兹所谓四辅也。”《易》曰：“黄裳元吉。”《书》曰：“钦四邻。”《诗》曰：“予曰有疏附，予曰有先后，予曰有奔奏，予曰有御侮。”皆此之谓也。是故丑、未、己、亥四律，算律之家以为至要，观下文二图，其义可见矣。

左旋相生

分宫徵商

羽角和中

右旋相生

分中和角

羽商徵宫

一均七律

是为七同

宫商角中

征羽和宫

宫则连和

征则近中

其余隔一

均均皆同

周而复始

是为旋宫

第十问：大吕倍律自乘所得折半，即是太簇倍律。太簇倍律自乘所得折半，即是姑洗倍律。夹钟倍律自乘所得折半，即是防宾倍律。姑洗倍律自乘所得折半，即是夷则倍律。仲吕倍律自乘所得折半，即是无射倍律。防宾倍律自乘所得折半，即是黄钟正律。已上六条系长律生短律，故须折半乃得。○应钟倍律自乘所得，即是无射倍律。无射倍律自乘所得，即是夷则倍律。南吕倍律自乘所得，即是防宾倍律。夷则倍律自乘所得，即是姑洗倍律。林钟倍律自乘所得，即是太簇倍律。防宾倍律自乘所得，即是黄钟倍律。已上六条系短律生长律，不须折半即得。诸律各长几何？

答曰：凡学多位乘除算盘，梁上安一竹条，其上写所求二十五位数，乘法自尾至首，除法自首至尾，次

译只有那移动算筹的方法没有差错。它的倍数与半数，三十六律和二十五位排列在后面。

译二【黄钟倍律的首位是二，即二尺有余；律的首位是一，即一尺】

右边是黄钟倍律的积算【将黄钟倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到大吕】

一八八七，七四八六，二五三六，三三八六，九九三二，八三八二六。

右边是大吕倍律的积算【将大吕倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数相除，得到太簇】

一七八一，七九七四，三六二八，○六七八，六○九四，八四五二。

右边是太簇倍律的积算【将太簇倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到夹钟】

一六八，一七九，二八三○，五○七，四二九○，八六○，六二二，五二。

右边是夹钟倍律的积算【将夹钟倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到姑洗】

一五八七，四○一○，五一九六，八一九九，四七四七，五一七○六。

右边是姑洗倍律的积算【将姑洗倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到仲吕】

一四九八三○七○七六八七六六八一四九八七九九二八一

右边是仲吕倍律的积算【将仲吕倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到蕤宾】

一四一四，二一三五，六二三七，三○九五，○四八八，○一六八，九

右边是蕤宾倍律的积算【将蕤宾倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到林钟】

一三三四八三九八五四一七○○三四三六四八三八三二

右边是林钟倍律的积算【将林钟倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到夷则】

一，二，五，九，九，二，一，○，四，九，八，九，四，八，七，三，一，六，四，七，六，七，二，一，一。

右边是夷则倍律的积算【将夷则倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数相除，得到南吕】

一，一八九，二○七，一一五，○○二，七二一，○六六，七一七，五。

右边是南吕倍律的积算【将南吕倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到无射】

一一二二四六二○四八三○九三七二九八一四三三五三三

右边是无射倍律的积算【将无射倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到应钟】

一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六一八二五

右边是应钟倍律的积算【将应钟倍律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到黄钟】

一【黄钟倍律的首位是一，即一尺有余；律的首位都定为寸】

右边是黄钟正律的积算【将黄钟正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到大吕】

○九四三八七四三一二六八一六九三四九六六四一九一三

右边是大吕正律的积算【将大吕正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到太簇】

○八九○八九八七一八一四○三三九三○四七四○二二六。

右边是太蔟正律的积算【将太蔟正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到夹钟】

○八四○八九六四一五二五三七一四五四三○三一一二五

右边是夹钟正律的积算【将夹钟正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到姑洗】

○七九二七○○五二五九八四○九九七三七三七五八五三

右边是姑洗正律的积算【将姑洗正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到仲吕】

○七四九一五三五三八四三八三四○七四九三九九六四○

右边是仲吕正律的积算【将仲吕正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到蕤宾】

○七○七，一○六七，八一一，八六五，四七五二，四四○○，八四四

右边是蕤宾正律的积算【将蕤宾正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到林钟】

○六六七四一九九七二○八五○一七一八二四一五四一六。

右边是林钟正律的积算【将林钟正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到夷则】

○六二九九六○五二四九四七四三六五八二三八三六○五

右边是夷则正律的积算【将夷则正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到南吕】

○五九四六○三五五七五○一三六○五三三三五八七五○

右边是南吕正律的积算【将南吕正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到无射】

○五六一二三一○二四一五四六八六四九○七一六七六六

右边是无射正律的积算【将无射正律的积算数作为被除数，以应钟倍律的积算数作为除数，相除得到应钟】

○五二九七三一五四七一七九

译六四七六三二二八○九一二

以上是应钟正律的积算【将应钟正律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到黄钟】

译○五【黄钟律管首位是五，即五寸有余，各律管首位都定为寸】

右边是黄钟半律的积算【将黄钟半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到大吕】

○四七一九三七一五六三四○八四六七四八三二○九五六

右边是大吕半律的积算【将大吕半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到太蔟】

○四四五四四九三五九○七○一六九六五二三七○一一三

右边是太蔟半律的积算【将太蔟半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到夹钟】

○四二○四四八二○七六二六八五七二七一五一五五六二

右边是夹钟半律的积算【将夹钟半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到姑洗】

○三九六八五○二六二九九二○四九八六八六八七九二六

右边是姑洗半律的积算【将姑洗半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到仲吕】

○三七四五七六七六九二一九一七○三七四六九九八二○

右边是仲吕半律的积算【将仲吕半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到蕤宾】

○三五，三五五，三三九，○五九，三二七，三七六，二二○，○四二，二。

右边是蕤宾半律的积算【将蕤宾半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到林钟】

○三三三七○九九六三五四二五○八五九一二○七七○八

右边是林钟半律的积算【将林钟半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到夷则】

○三一四九八○二六二四七三七一八二九一一九一八○二

右边是夷则半律的积算【将夷则半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到南吕】

○二九七三○一七七八七五○六八○二六六六七九三七五

右边是南吕半律的积算【将南吕半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到无射】

○二八○六一五五一二○七七三四三二四五三五八三八三

右边是无射半律的积算【将无射半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到应钟】

○二六四八六五七七三五八九八二三八一六一四○四五六

右边是应钟半律的积算【将应钟半律的积算作为被除数，以应钟倍律的积算作为除数，相除得到黄钟】

二【黄钟律管首位是二，即二尺有余。律管首位是一，即一尺】

右边是黄钟倍律的积算【将黄钟倍律的积算作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数，相除得到林钟】

一三三四八三九八五四一七○○三四三六四八二○八三二

右边是林钟倍律的积算【将林钟倍律的积算加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数相除，得到太蔟】

一七八一，七九七四，三六二八，○六七八，六○九四，八○四五二。

右边是太蔟倍律的积算【将太蔟倍律的积算作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数，相除得到南吕】

一，一八九，二○七，一一五，○○二，七二一，○六六，七一七，五。

右边是南吕倍律的积算【将南吕倍律的积算加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数相除，得到姑洗】

一五八七，四○一○，五一九六，八一九九，四七四七，五一七○六。

右边是姑洗倍律的积算【将姑洗倍律的积算作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数，相除得到应钟】

一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六一八二五

右边是应钟倍律的积算【将应钟倍律的积算加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数相除，得到蕤宾】

一，四，一，四，二，一，三，五，六，二，三，七，三，○，九，五，○，四，八，八，○，一，六，八，九。

右边是蕤宾倍律的积算【将蕤宾倍律的积算加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数相除，得到大吕】

一八八七，七四八六，二五三六，三三八六，九九三二，八三八二六。

右边是大吕倍律的积算【将大吕倍律的积算作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数相除，得到夷则】

一，二，五，九，九，二，一，○，四，九，八，九，四，八，七，三，一，六，四，七，六，七，二，一，一。

右边是夷则倍律的积算【将夷则倍律的积算加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数相除，得到夹钟】

一六八一，七九二八，三○五○，七四二九，○八六○，六二二五，一。

右边是夹钟倍律的积算【将夹钟倍律的积算作为被除数，以仲吕倍律的积算作为除数，相除得到无射】

一一二二四六二○四八三○九三七二九八一四三三五三三

右边是无射倍律的积算【将无

译计算射声律的积算，将其加倍作为实数，以仲吕律的积算作为法数，用实数除以法数，得到仲吕律的数值为：一，四九八，三○七，○七六，八七六，六八一，四九八，七九九，二八一。

译右侧是仲吕倍律的积算数值【将仲吕倍律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到黄钟】

一【黄钟首位为一，即一尺余，各律的首位都定为寸】

右侧是黄钟正律的积算数值【将黄钟正律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到林钟】

○六六七四一九九二七○八五○一七一八二四一五四一六。

右侧是林钟正律的积算数值【将林钟正律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到太蔟】

○八九○八九八七一八一四○三三九三○四七四○二二六。

右侧是太蔟正律的积算数值【将太蔟正律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到南吕】

○五九四六○三五五七五○一三六○五三三三五八七五

右侧是南吕正律的积算数值【将南吕正律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到姑洗】

○七九三七○○五二五九八四○九九七三七三七五八五三

右侧是姑洗正律的积算数值【将姑洗正律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到应钟】

○五二九七三一五四七一七九六四七六三二二八○九一二

右侧是应钟正律的积算数值【将应钟正律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到蕤宾】

○七○七，一○六七，八一一，八六五，四七五二，四四○○，八四四

右侧是蕤宾正律的积算数值【将蕤宾正律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到大吕】

○九四三八七四三一二六八一六九三四九六六四一九一三

右侧是大吕正律的积算数值【将大吕正律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到夷则】

○六二九九六○五二四九四七四三六五八二三八三六○五

右侧是夷则正律的积算数值【将夷则正律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到夹钟】

○八四○八九六四一五二五三七一四五四三○三一一二五

右侧是夹钟正律的积算数值【将夹钟正律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到无射】

○五六一二三一○二四一五四六八六四九○七一六七六六

右侧是无射正律的积算数值【将无射正律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到仲吕】

○七四九，一五三五，三八四三，八三四○，七四九三，九九六四。

右侧是仲吕正律的积算数值【将仲吕正律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到黄钟】

○五【黄钟首位为五，即五寸余，各律的首位都定为寸】

右侧是黄钟半律的积算数值【将黄钟半律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到林钟】

○三三三七○九九六三五四二五○八五九一二○七七○八

右侧是林钟半律的积算数值【将林钟半律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到太蔟】

○四四五四四九三五九○七○一六九六五二三七○一一二

右侧是太蔟半律的积算数值【将太蔟半律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到南吕】

○二九七三○一七七八七五○六八○二六六六七九三七五

右侧是南吕半律的积算数值【将南吕半律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到姑洗】

○三九六八五○二六二九九二○四九八六八六八七九二六

右侧是姑洗半律的积算数值【将姑洗半律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到应钟】

○二六四八六五七七三五八九八二三八一六一四○四五六

右侧是应钟半律的积算数值【将应钟半律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到蕤宾】

○三五三五五三三九○五九三二七三七六二二○○四二二

右侧是蕤宾半律的积算数值【将蕤宾半律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到大吕】

○四七一九三七一五六三四○八四六七四八三二○九五六

右侧是大吕半律的积算数值【将大吕半律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到夷则】

○三一四九八○二六二四七三七一八二九一一九一八○二

右侧是夷则半律的积算数值【将夷则半律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到夹钟】

○四二○四四八二○七六二六八五七二七一五一五五六二

右侧是夹钟半律的积算数值【将夹钟半律的积算数值作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到无射】

○二八○六一五五一二○七七三四三二四五三五八三八三

右侧是无射半律的积算数值【将无射半律的积算数值加倍作为被除数，以仲吕倍律的积算数值作为除数去除，得到仲吕】

○三

译七四五七六七六九二一九一七○三七四六九九八二

上述数字是仲吕半律的积算数值【将仲吕半律的积算数值作为被除数，用仲吕倍律的积算数值作为除数去除它，即可得到黄钟】。凡是长律生成短律，就用应钟的数值去除，或者用大吕的数值相乘；凡是短律生成长律，就用大吕的数值去除，或者用应钟的数值相乘；凡是左旋隔八相生以及右旋隔六相生，就用仲吕的数值去除，或者用林钟的数值相乘；凡是左旋隔六相生以及右旋隔八相生，就用林钟的数值去除，或者用仲吕的数值相乘。虽然乘除的方法不同，但所得的结果都是一样的。本篇只记载了应钟、仲吕这两种方法，其大吕、林钟两种方法可以依照此例推导出来。这在《律吕精义内篇》中已经见过，这里就不再重复记载了。

译第十一问：黄钟作为起始的基准，这是古今都知道的。防宾在中间确立标准，可以与黄钟相配。就像天有北极和南极，就像君主有正配的后妃一样。因此需要阐明这一点。譬如先天八卦，乾在南，坤在北。乾为主，则坤为宾；坤为主，则乾为宾。它们互相隐藏居所，在六个虚空中周流运行。乾与坤遵循同一道理，宾与主遵循同一原理。黄钟在北，其象征是坤；防宾在南，其象征是乾。天圆地方，所以称为黄钟。利用宾来辅佐王，所以称为防宾。因此黄钟为股，则防宾为弦；防宾为股，则黄钟为弦。这就叫做互相隐藏居所。六律六吕，两两相乘相除，都能得到所求的结果。这就叫做周流六虚。用道理来阐明，还没有完全讲透。如果善于计算的人，用数字来阐明，方法是怎样的呢？

回答说：“十二律吕参差错落而变化，错综其数字，交互相求，反复都能得到。如果固守旧法，隔八相生来求取，这种方法就太浅陋了。”黄钟为宫，则防宾为中；防宾为宫，则黄钟为中。因此黄钟、防宾这两律被称为“宫中”，是相求的比率。大吕为宫，则黄钟为和；黄钟为宫，则应钟为和。因此大吕、应钟这两律被称为“宫和”，是相求的比率。无射为宫，则黄钟为商；黄钟为宫，则太簇为商。因此无射、太簇这两律被称为“宫商”，是相求的比率。夹钟为宫，则黄钟为羽；黄钟为宫，则南吕为羽。因此夹钟、南吕这两律被称为“宫羽”，是相求的比率。夷则为宫，则黄钟为角；黄钟为宫，则姑洗为角。因此夷则、姑洗这两律被称为“宫角”，是相求的比率。仲吕为宫，则黄钟为徵；黄钟为宫，则林钟为徵。因此仲吕、林钟这两律被称为“宫徵”，是相求的比率。法则说：“把黄钟设为实数，用防宾去乘它，得到防宾；或者把黄钟设为实数，用防宾去除它，也得到防宾。”这就是黄钟的中【所得多就减半，少就加倍，首位有一为尺，无一为寸，其余各律仿照此法】

把大吕设为实数，用防宾去乘它，得到林钟；或者把大吕设为实数，用防宾去除它，也得到林钟。这就是大吕的中。

把太簇设为实数，用防宾去乘它，得到夷则；或者把太簇设为实数，用防宾去除它，也得到夷则，这就是太簇的中。

把夹钟设为实数，用防宾去乘它，得到南吕；或者把夹钟设为实数，用防宾去除它，也得到南吕。这就是夹钟的中。

把姑洗设为实数，用防宾去乘它，得到无射；或者把姑洗设为实数，用防宾去除它，也得到无射。这就是姑洗的中。

把仲吕设为实数，用防宾去乘它，得到应钟；或者把仲吕设为实数，用防宾去除它，也得到应钟，这就是仲吕的中。

把防宾设为实数，用防宾去乘它，得到黄钟；或者把防宾设为实数，用防宾去除它，也得到黄钟。这就是防宾的中。

把林钟设为实数，用防宾去乘它，得到大吕；或者把林钟设为实数，用防宾去除它，也得到大吕。这就是林钟的中。

把夷则设为实数，用防宾去乘它，得到太簇；或者把夷则设为实数，用防宾去除它，也得到太簇，这就是夷则的中。

把南吕设为实数，用防宾去乘它，得到夹钟；或者把南吕设为实数，用防宾去除它，也得到夹钟。这就是南吕的中。

把无射设为实数，用防宾去乘它，得到姑洗；或者把无射设为实数，用防宾去除它，也得到姑洗。这就是无射的中。

把应钟设为实数，用防宾去乘它，得到仲吕；或者把应钟设为实数，用防宾去除它，也得到仲吕。这就是应钟的中【以上十二条名为宫中相求】把黄钟设为实数，用应钟去乘它，得到应钟；或者把黄钟设为实数，用大吕去除它，也得到应钟。这就是黄钟的和。

把大吕设为实数，用应钟去乘它，得到黄钟。或者把大吕设为实数，用大吕去除它，也得到黄钟。这就是大吕的和。

把太簇设为实数，用应钟去乘它，得到大吕。或者把太簇设为实数，用大吕去除它，也得到大吕。这就是太簇的和。

把夹钟设为实数，用应钟去乘它，得到太簇。或者把夹钟设为实数，用大吕去除它，也得到太簇。这就是夹钟的和。

把姑洗设为实数，用应钟去乘它，得到夹钟；或者把姑洗设为实数，用大吕去除它，也得到夹钟，这就是姑洗的和。

把仲吕设为实数，用应钟去乘它，得到姑洗；或者把仲吕设为实数，用大吕去除它，也得到姑洗，这就是仲吕的和。

把防宾设为实数，用应钟去乘它，得到仲吕；或者把防宾设为实数，用大吕去除它，也得到仲吕，这就是防宾的和。

把林钟设为实数，用应钟去乘它，得到防宾；或者把林钟设为实数，用大吕去除它，也得到防宾，这就是林钟的和。

把夷则设为实数，用应钟去乘它，得到林钟；或者把夷则设为实数，用大吕去除它，也得到林钟，这就是夷则的和。

把南吕设为实数，用应钟去乘它，得到夷则；或者把南吕设为实数，用大吕去除它，也得到夷则，这就是南吕的和。

把无射设为实数，用应钟去乘它

译用大吕去除它，得到南吕；或者将无射设为实数，用大吕去除它，也得到南吕。这就是无射的和谐。

译把应钟的律数作为被乘数，用应钟的律数去乘它，得到无射；或者把应钟的律数作为被乘数，用大吕的律数去除它，也得到无射。这就是应钟的“和”音。【以上十二条称为宫音与和音相互推求】把黄钟的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到太蔟；或者把黄钟的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到太蔟。这就是黄钟的“商”音。

把大吕的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到夹钟。或者把大吕的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到夹钟。这就是大吕的商音。

把太蔟的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到姑洗。或者把太蔟的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到姑洗。这就是太蔟的商音。

把夹钟的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到仲吕。或者把夹钟的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到仲吕。这就是夹钟的商音。

把姑洗的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到蕤宾。或者把姑洗的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到蕤宾。这就是姑洗的商音。

把仲吕的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到林钟；或者把仲吕的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到林钟。这就是仲吕的商音。

把蕤宾的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到夷则；或者把蕤宾的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到夷则。这就是蕤宾的商音。

把林钟的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到南吕。或者把林钟的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到南吕。这就是林钟的商音。

把夷则的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到无射；或者把夷则的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到无射。这就是夷则的商音。

把南吕的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到应钟。或者把南吕的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到应钟。这就是南吕的商音。

把无射的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到黄钟。或者把无射的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到黄钟。这就是无射的商音。

把应钟的律数作为被乘数，用太蔟的律数去乘它，得到大吕。或者把应钟的律数作为被乘数，用无射的律数去除它，也得到大吕。这就是应钟的商音。【以上十二条称为宫音与商音相互推求】把黄钟的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到南吕。或者把黄钟的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到南吕。这就是黄钟的“羽”音。

把大吕的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到无射。或者把大吕的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到无射。这就是大吕的羽音。

把太蔟的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到应钟。或者把太蔟的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到应钟。这就是太蔟的羽音。

把夹钟的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到黄钟。或者把夹钟的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到黄钟。这就是夹钟的羽音。

把姑洗的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到大吕。或者把姑洗的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到大吕。这就是姑洗的羽音。

把仲吕的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到太蔟；或者把仲吕的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到太蔟。这就是仲吕的羽音。

把蕤宾的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到夹钟；或者把蕤宾的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到夹钟。这就是蕤宾的羽音。

把林钟的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到姑洗。或者把林钟的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到姑洗。这就是林钟的羽音。

把夷则的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到仲吕；或者把夷则的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到仲吕。这就是夷则的羽音。

把南吕的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到蕤宾。或者把南吕的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到蕤宾。这就是南吕的羽音。

把无射的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到林钟。或者把无射的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到林钟。这就是无射的羽音。

把应钟的律数作为被乘数，用南吕的律数去乘它，得到夷则；或者把应钟的律数作为被乘数，用夹钟的律数去除它，也得到夷则。这就是应钟的羽音。【以上十二条称为宫音与羽音相互推求】把黄钟的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到姑洗；或者把黄钟的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到姑洗。这就是黄钟的“角”音。

把大吕的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到仲吕。或者把大吕的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到仲吕。这就是大吕的角音。

把太蔟的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到蕤宾。或者把太蔟的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到蕤宾。这就是太蔟的角音。

把夹钟的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到林钟。或者把夹钟的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到林钟。这就是夹钟的角音。

把姑洗的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到夷则；或者把姑洗的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到夷则。这就是姑洗的角音。

把仲吕的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到南吕；或者把仲吕的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到南吕。这就是仲吕的角音。

把蕤宾的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到无射；或者把蕤宾的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到无射。这就是蕤宾的角音。

把林钟的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到应钟；或者把林钟的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到应钟。这就是林钟的角音。

把夷则的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到黄钟；或者把夷则的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到黄钟。这就是夷则的角音。

把南吕的律数作为被乘数，用姑洗的律数去乘它，得到大吕。或者把南吕的律数作为被乘数，用夷则的律数去除它，也得到大吕。这就是南吕的角音。

译把无射作为实，用姑洗去乘它，得到太蔟。或者把无射作为实，用夷则去除它，也得到太蔟。这就是无射的角音。

译把应钟作为被乘数，用姑洗去乘它，得到夹钟；或者把应钟作为被除数，用夷则去除它，也得到夹钟。这就是应钟的角音。【以上十二条称为宫角相求】把黄钟作为被乘数，用林钟去乘它，得到林钟；或者把黄钟作为被除数，用仲吕去除它，也得到林钟。这就是黄钟的徵音。

把大吕作为被乘数，用林钟去乘它，得到夷则。或者把大吕作为被除数，用仲吕去除它，也得到夷则。这就是大吕的徵音。

把太蔟作为被乘数，用林钟去乘它，得到南吕。或者把太蔟作为被除数，用仲吕去除它，也得到南吕。这就是太蔟的徵音。

把夹钟作为被乘数，用林钟去乘它，得到无射。或者把夹钟作为被除数，用仲吕去除它，也得到无射。这就是夹钟的徵音。

把姑洗作为被乘数，用林钟去乘它，得到应钟；或者把姑洗作为被除数，用仲吕去除它，也得到应钟。这就是姑洗的徵音。

把仲吕作为被乘数，用林钟去乘它，得到黄钟。或者把仲吕作为被除数，用仲吕去除它，也得到黄钟。这就是仲吕的徵音。

把蕤宾作为被乘数，用林钟去乘它，得到大吕；或者把蕤宾作为被除数，用仲吕去除它，也得到大吕。这就是蕤宾的徵音。

把林钟作为被乘数，用林钟去乘它，得到太蔟。或者把林钟作为被除数，用仲吕去除它，也得到太蔟。这就是林钟的徵音。

把夷则作为被乘数，用林钟去乘它，得到夹钟；或者把夷则作为被除数，用仲吕去除它，也得到夹钟。这就是夷则的徵音。

把南吕作为被乘数，用林钟去乘它，得到姑洗。或者把南吕作为被除数，用仲吕去除它，也得到姑洗。这就是南吕的徵音。

把无射作为被乘数，用林钟去乘它，得到仲吕。或者把无射作为被除数，用仲吕去除它，也得到仲吕。这就是无射的徵音。

把应钟作为被乘数，用林钟去乘它，得到蕤宾。或者把应钟作为被除数，用仲吕去除它，也得到蕤宾。这就是应钟的徵音。【以上十二条称为宫徵相求】

第十二问。上文辨析虽然详细，总而言之，不过是在讨论律管的长短罢了。至于圆周、直径、面积、体积的计算方法，还没有来得及详细询问。《律吕精义》的圆周直径篇中，其方法已经阐明；《乐学新说》典同条下，其道理更加显著。玩味那些文字，就没有什么疑问了。这里所问的，是不先设定总长度，先求取实际体积；然后才求取底面积，先得到底面积，然后才求取圆周直径。相互交错求取，反复都能得出结果，从而显现出算术的奥妙，因此提出这个问题。

回答说：黄钟与蕤宾互相隐藏其居所，上文已经阐明。求取黄钟、蕤宾两律的实际体积，以蕤宾的比率为主；求取大吕、林钟两律的实际体积，以夷则的比率为主；求取太蔟、夷则两律的实际体积，以无射的比率为主；求取夹钟、南吕两律的实际体积，以黄钟的比率为主；求取姑洗、无射两律的实际体积，以太蔟的比率为主；求取仲吕、应钟两律的实际体积，以姑洗的比率为主。求取蕤宾的倍律、正律、半律，放置所求得的黄钟倍律、正律、半律，折半即可得到林钟等五律，仿照此法求取底面积，也是如此。其中略有不同的地方，下文逐条详细说明可知。方法说：求取黄钟、蕤宾两律实际体积的，放置蕤宾倍率【一尺四寸一四二一三五六二三七三○九五○四八八○一六八九】进一位，命名为立方积【一百四十一寸四百二十一分三百五十六厘二百三十七毫三百○九丝五百○四忽八百八十微○一百六十八纎】作为被除数。先用六律去约分【得二十三寸五百七十分○二百二十六厘○三十九毫五百五十一丝五百八十四忽一百四十六微六百九十四纎】，后用六吕去约分【得三寸九百二十八分三百七十一厘○○六毫五百九十一丝九百三十忽○六百九十一微一百一十五纎】，这就是黄钟倍律的实际体积，折半【得一寸九百六十四分一百八十五厘五百○三毫二百九十五丝九百六十五忽三百四十五微五百五十七纎】，这就是蕤宾倍律的实际体积，再折半【得九百八十二分○九十二厘七百五十一毫六百四十七丝九百八十二忽六百七十二微七百七十八纎】，这就是黄钟正律的实际体积，再折半【得四百九十一分○四十六厘三百七十五毫八百二十三丝九百九十一忽三百三十六微三百八十九纎】，这就是蕤宾正律的实际体积，再折半【得二百四十五分五百二十三厘一百八十七毫九百一十一丝九百九十五忽六百六十八微一百九十四纎】，这就是黄钟半律的实际体积，再折半【得一百二十二分七百六十一厘五百九十三毫九百五十五丝九百九十七忽八百三十四微○九十七纎】，这就是蕤宾半律的实际体积。

求取大吕、林钟两律实际体积的，放置夷则倍率【一尺二寸五九九二一○四九八九四八七三一六四七六七二一一】进一位，命名为立方积【一百二十五寸九百九十二分一百○四厘九百八十九毫四百八十七丝三百一十六忽四百七十六微七百二十一纎】作为被除数。先用六律去约分【得

译二十寸零九百九十八分六百八十四厘一百六十四毫九百一十四丝五百五十二忽七百四十六微一百二十纤。后用六吕来约分，得到四寸四百九十九分七百八十厘零六百九十四毫一百五十二丝四百二十五忽四百五十七微六百八十六纤，作为大吕倍律的实积。折半，得到一寸七百四十九分八百九十厘零三百四十七毫零七十六丝二百一十二忽七百二十八微八百四十三纤，作为林钟倍律的实积。再次折半，得到八百七十四分九百四十五厘一百七十三毫五百三十八丝一百零六忽三百六十四微四百二十一纤，作为大吕正律的实积。再次折半，得到四百三十七分四百七十二厘五百八十六毫七百六十九丝零五十三忽一百八十二微二百一十纤零，作为林钟正律的实积。再次折半，得到二百一十八分七百三十六厘二百九十三毫三百四十八丝五百二十六忽五百九十一微一百零五纤，作为大吕半律的实积。再次折半，得到一百零九分三百六十八厘一百四十六毫六百九十二丝二百六十三忽二百九十五微五百五十二纤，作为林钟半律的实积。

译求太蔟、夷则二律的实际积数，取无射的倍率【一尺一寸二二四六二○四八三○九三七二九八一四三三五三三】进一位，令作立方积【一百一十二寸二百四十六分二百○四厘八百三十毫○九百三十七丝二百九十八忽一百四十三微三百五十三纎】作为实数。先用六律去约【得一十八寸七百○七分七百厘○○八百○五毫一百五十六丝二百一十六忽三百五十七微二百二十五纎】，再用六吕去约【得三寸一百一十七分九百五十厘○一百三十四毫一百九十二丝七百○二忽七百二十六微二百○四纎】，这就是太蔟倍律的实际积数。折半【得一寸五百五十八分九百七十五厘○六十七毫○九十六丝三百五十一忽三百六十三微一百○二纎】，就是夷则倍律的实际积数。再折半【得七百九十七分四百八十七厘五百三十三毫五百四十八丝一百七十五忽六百八十一微五百五十一纎】，就是太蔟正律的实际积数。再折半【得三百八十九分七百四十三厘七百六十六毫七百七十四丝○八十七忽八百四十微○七百七十五纎】，就是夷则正律的实际积数。再折半【得一百九十四分八百七十一厘八百八十三毫三百八十七丝○四十三忽九百二十微○三百八十七纎】，就是太蔟半律的实际积数。再折半【得九十七分四百三十五厘九百四十一毫六百九十三丝五百二十一忽九百六十微○一百九十三纎】，就是夷则半律的实际积数。

求夹钟、南吕二律的实际积数，取黄钟的正率【一尺】进一位，令作立方积【一百寸】作为实数，先用六律去约【得一十六寸六百六十六分六百六十六厘六百六十六毫六百六十六丝六百六十六忽六百六十六微六百六十六纎】，再用六吕去约【得二寸七百七十七分七百七十七厘七百七十七毫七百七十七丝七百七十七忽七百七十七微七百七十七纎】，这就是夹钟倍律的实际积数，折半【得一寸三百八十八分八百八十八厘八百八十八毫八百八十八丝八百八十八忽八百八十八微八百八十八纎】，就是南吕倍律的实际积数，再折半【得六百九十四分四百四十四厘四百四十四毫四百四十四丝四百四十四忽四百四十四微四百四十四纎○】，就是夹钟正律的实际积数，再折半【得三百四十七分二百二十二厘二百二十二毫二百二十二丝二百二十二忽二百二十二微二百二十二纎】，就是南吕正律的实际积数，再折半【得一百七十三分六百一十一厘一百一十一毫一百一十一丝一百一十一忽一百一十一微一百一十一纎】，就是夹钟半律的实际积数，再折半【得八十六分八百○五厘五百五十五毫五百五十五丝五百五十五忽五百五十五微五百五十五纎】，就是南吕半律的实际积数。

求姑洗、无射二律的实际积数，取太蔟的正率【八寸九○八九八七一八一四○三三九三○四七四○二二六】进一位，令作立方积【八十九寸○八十九分八百七十一厘八百一十四毫○三十三丝九百三十忽○四百七十四微○二十七纎】作为实数。先用六律去约【得一十四寸八百四十八分三百一十一厘九百六十九毫○○五丝六百五十五忽○七十九微○○三纎】，再用六吕去约【得二寸四百七十四分七百一十八厘六百六十一毫五百丝○○九百四十二忽五百一十三微一百六十七纎】，这就是姑洗倍律的实际积数，折半【得一寸二百三十七分三百五十九厘三百三十毫○七百五十丝○四百七十一忽二百五十六微五百八十三纎】，就是无射倍律的实际积数，再折半【得六百一十八分六百七十九厘六百六十五毫三百七十五丝二百三十五忽六百二十八微二百九十一纎】，就是姑洗正律的实际积数，再折半【得三百○九分三百三十九厘八百三十二毫六百八十七丝六百一十七忽八百一十四微一百四十五忽】，就是无射正律的实际积数，再折半【得一百五十四分六百六十九厘九百一十六毫三百四十三丝八百○八忽九百○七微○七十二纎】，就是姑洗半律的实际积数，再折半【得七十七分三百三十四厘九百五十八毫一百七十一丝九百○四忽四百五十三微五百三十六纎】，就是无射半律的实际积数。

求仲吕、应钟二律的实际积数，取姑洗的正率【七寸九三七○○五二五九八四○九九七三七三七五八五三】进一位，令作立方积【七十九寸三百七十分○○五十二厘五百九十八毫四百○九丝九百七十三忽七百三十

译以七微五百八十五纎作为被除数，先用六律去除它，得到一十三寸二百二十八分三百四十二厘零九十九毫七百三十四丝九百九十五忽六百二十二微九百三十纎；再用六吕去除它，得到二寸二百零四分七百二十三厘六百八十三毫二百八十九丝一百六十五忽九百三十七微一百五十五纎，这是仲吕倍律的实际积数。将其减半，得到一寸一百零二分三百六十一厘八百四十一毫六百四十四丝五百八十二忽九百六十八微五百七十七纎，这是应钟倍律的实际积数。再次减半，得到五百五十一分一百八十厘零九百二十毫零八百二十二丝二百九十一忽四百八十四微二百八十八纎，这是仲吕正律的实际积数。再次减半，得到二百七十五分五百九十厘零四百六十毫零四百一十四丝一百四十五忽七百四十二微一百四十四纎，这是应钟正律的实际积数。再次减半，得到一百三十七分七百九十五厘二百三十毫零二百零五丝五百七十二忽八百七十一微零七十二纎，这是仲吕正律的实际积数。再次减半，得到六十八分八百九十七厘六百一十五毫一百零二丝七百八十六忽四百三十五微五百三十六纎，这是应钟半律的实际积数。

求黄钟的表面积，取防宾正率（七寸零七一零六七八一一八六五四七五二四四零零八四四），进一位命名为平方积（七百零七分一十厘零六十七毫八十一丝一十八忽六十五微五十七纎）作为被除数，先用六律去除它，得到一百一十七分八十五厘一十一毫三十丝零一十九忽七十七微五十七纎；再用六吕去除它，得到一十九分六十四厘一十八毫五十五丝零三忽二十九微五十九纎，这是黄钟倍律的表面积。将其减半，得到九分八十二厘零九毫二十七丝五十一忽六十四微七十九纎，这是黄钟正律的表面积。再次减半，得到四分九十一厘零四毫六十三丝七十五忽八十二微三十九纎，这是黄钟半律的表面积。

译求大吕的截面面积，取林钟的正率【六寸六七四一九九二七○八五○一七一八二四一五四一六】进一位，令作平方积【六百六十七分四十一厘九十九毫二十七丝○八忽五十微○一十七纤】作为实数，先以六律约分【得一百一十一分二十三厘六十六毫五十四丝五十一忽四十一微六十九纤】，后以六吕约分【得一十八分五十三厘九十四毫四十二丝四十一忽九十微○二十八纤】，作为大吕倍律的截面面积，折半【得九分二十六厘九十七毫二十一丝二十忽○九十五微一十四纤】作为大吕正律的截面面积，再折半【得四分六十三厘四十八毫六十丝○六十忽○四十七微五十七纤】作为大吕半律的截面面积。

求太蔟的截面面积，取夷则的正率【六寸二九九六○五二四九四七四三六五八二三八三六○五】进一位，令作平方积【六百二十九分九十六厘○五毫二十四丝九十四忽七十四微三十六纤】作为实数。先以六律约分【得一百○四分九十九厘三十四毫二十丝○八十二忽四十五微七十二纤】，后以六吕约分【得一十七分四十九厘八十九毫○三丝四十七忽○七微六十二纤】，作为太蔟倍律的截面面积。折半【得八分七十四厘九十四毫五十一丝七十三忽五十三微八十一纤】作为太蔟正律的截面面积。再折半【得四分三十七厘四十七毫二十五丝八十六忽七十六微九十纤○】作为太蔟半律的截面面积。

求夹钟的截面面积，取南吕的正率【五寸九四六○三五五七五○一六三○五三三三五八七五○】进一位，令作平方积【五百九十四分六十厘○三十五毫五十七丝五十忽○一十三微六十纤】作为实数。先以六律约分【得九十九分一十厘○○五毫九十二丝九十一忽六十八微九十三纤】，后以六吕约分【得一十六分五十一厘六十七毫六十五丝四十八忽六十一微四十八纤】，作为夹钟倍律的截面面积。折半【得八分二十五厘八十三毫八十二丝七十四忽三十微○七十四纤】作为夹钟正律的截面面积。再折半【得四分一十二厘九十一毫九十一丝三十七忽一十五微三十七纤】作为夹钟半律的截面面积。

求姑洗的截面面积，取无射的正率【五寸六一二三一○二四一五四六八六四九○七一六七六六】进一位，令作平方积【五百六十一分二十三厘一十毫○二十四丝一十五忽四十六微八十六纤】作为实数。先以六律约分【得九十三分五十三厘八十五毫○四丝○二忽五十七微八十一纤】，后以六吕约分【得一十五分五十八厘九十七毫五十丝○六十七忽○九微六十三纤】，作为姑洗倍律的截面面积。折半【得七分七十九厘四十八毫七十五丝三十三忽五十四微八十一纤】作为姑洗正律的截面面积。再折半【得三分八十九厘七十四毫三十七丝六十六忽七十七微四十纤○】作为姑洗半律的截面面积。

求仲吕的截面面积，取应钟的正率【五寸二九七三一五四七一七九六四七六三二二八○九一二】进一位，令作平方积【五百二十九分七十三厘一十五毫四十七丝一十七忽九十六微四十七纤】作为实数，先以六律约分【得八十八分二十八厘八十五毫九十一丝一十九忽六十六微○七纤】，后以六吕约分【得一十四分七十一厘四十七毫六十五丝一十九忽九十四微三十四纤】，作为仲吕倍律的截面面积，折半【得七分三十五厘七十三毫八十二丝五十九忽九十七微一十七纤】作为仲吕正律的截面面积，再折半【得三分六十七厘八十六毫九十一丝二十九忽九十八微五十八纤】作为仲吕半律的截面面积。

求蕤宾的截面面积，取黄钟的半率【五寸】进一位，令作平方积【五百分】作为实数，先以六律约分【得八十三分三十三厘三十三毫三十三丝三十三十三忽三十三微三十三纤】，后以六吕约分【得一十三分八十八厘八十八毫八十八丝八十八忽八十八微八十八纤】，作为蕤宾倍律的截面面积，折半【得六分九十四厘四十四毫四十四丝四十四忽四十四微四十四纤】作为蕤宾正律的截面面积，再折半【得三分四十七厘二十二毫二十二丝二十二忽二十二微二十二纤】作为蕤宾半律的截面面积。

求林钟的截面面积，取大吕的半率【四寸七一九三七一五六三四○八四六七四八三二○九五六】进一位，令作平方积【四百七十一分九十三厘七十一毫五十六丝三十四忽○八微四十六纤】作为实数，先以六

译用律来约分【得到七十八分六十五厘六十一毫九十二丝七十二忽三十四微七十四纤】，之后用六吕来约分【得到一十三分一十厘零九十三毫六十五丝四十五忽三十九微一十二纤】，作为林钟倍律的面积，将其折半【得到六分五十五厘四十六毫八十二丝七十二忽六十九微五十六纤】，作为林钟正律的面积，再将其折半【得到三分二十七厘七十三毫四十一丝三十六忽三十四微七十八纤】，作为林钟半律的面积。

译求夷则的截面面积，取太蔟的半率【四寸四五四四九三五九○七○一六九六五二三七○一一三】进一位，令作平方积【四百四十五分四十四厘九十三毫五十九纤○七忽○一防六十九纤】作为被除数。先用六律去约【得七十四分二十四厘一十五毫五十九丝八十四忽五十微○二十八纎】，再用六吕去约【得一十二分三十七厘三十五毫九十三丝三十忽○七十五微○四纤】，作为夷则倍律的截面面积，折半【得六分一十八厘六十七毫九十六丝六十五忽三十七微五十二纎】作为夷则正律的截面面积，再折半【得三分○九厘三十三毫九十八丝三十二忽六十八微七十六纎】作为夷则半律的截面面积。

求南吕的截面面积，取夹钟的半率【四寸二○四四八二○七六二六八五七二七一五一五五六二】进一位，令作平方积【四百二十分○四十四厘八十二毫○七丝六十二忽六十八微五十七纎】作为被除数。先用六律去约【得七十分○○七厘四十七毫○一丝二十七忽一十一微四十二纎】，再用六吕去约【得一十一分六十七厘九十一毫一十六丝八十七忽八十五微二十三纎】，作为南吕倍律的截面面积。折半【得五分八十三厘九十五毫五十八丝四十三忽九十二微六十一纎】作为南吕正律的截面面积。再折半【得二分九十一厘九十七毫七十九丝二十一忽九十六微三十纎○】作为南吕半律的截面面积。

求无射的截面面积，取姑洗的半率【三寸九六八五○二六二九九二○四九八六八六八七九二六】进一位，令作平方积【三百九十六分八十五厘○二毫六十二丝九十九忽二十微○四十九纎】作为被除数。先用六律去约【得六十六分一十四厘一十七毫一十丝○四十九忽八十六微七十四纎】，再用六吕去约【得一十一分○二厘三十六毫一十八丝四十一忽六十四微四十五纎】，作为无射倍律的截面面积，折半【得五分五十一厘一十八毫○九丝二十忽○八十二微二十二纎】作为无射正律的截面面积，再折半【得二分七十五厘五十九毫○四丝六十忽○四十一微一十一纎】作为无射半律的截面面积。

求应钟的截面面积，取仲吕的半率【三寸七四五七六七六九二一九一七○三七四六九九八二】进一位，令作平方积【三百七十四分五十七厘六十七毫六十九丝二十一忽九十一微七十纎】作为被除数。先用六律去约【得六十二分四十二厘九十四毫六十一丝五十三忽六十五微二十八纎】，再用六吕去约【得一十分○四十厘○四十九毫一十丝○二十五忽六十微○八十八纎】，作为应钟倍律的截面面积。折半【得五分二十厘○二十四毫五十五丝一十二忽八十微○四十四纎】作为应钟正律的截面面积。再折半【得二分六十厘○一十二毫二十七丝五十六忽四十微○二十二纎】作为应钟半律的截面面积。

求黄钟的总长度，取黄钟倍律的体积【三千九百二十八分三百七十一厘○○六毫五百九十一丝九百三十忽○六百九十一微一百一十五纎】作为被除数，以黄钟倍律的截面面积【一十九分六十四厘一十八毫五十五丝○三忽二十九微五十九纎】作为除数，去除【得二百分，命名为二尺】作为黄钟倍律的总长度，折半【得一尺】作为黄钟正律的总长度，再折半【得五寸】作为黄钟半律的总长度。

求大吕的总长度，取大吕倍律的体积【三千四百九十九分七百八十厘○六百九十四毫一百五十二丝四百二十五忽四百五十七微六百八十六纎】作为被除数，以大吕倍律的截面面积【一十八分五十三厘九十四毫四十二丝四十一忽九十微○二十八纎】作为除数，去除【得一尺八寸八分七厘七毫四丝八忽六微二纎】作为大吕倍律的总长度，折半【得九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎】作为大吕正律的总长度，再折半【得四寸七分一厘九毫三丝七忽一微五纎】作为大吕半律的总长度。

求太蔟的总长度，取太蔟倍律的体积【三千一百一十七分九百五十厘○一百三十四毫一百九十二丝七百○二忽七百二十六微二百○四纎】作为被除数，以太蔟倍律的截面面积【一十七分四十九厘八十九毫○三丝四十七忽○七微六十二纎】作为除数去除【得一尺七寸八分一厘七毫九丝七忽四微三纎】作为太蔟倍律的总长度，折半【得八寸九分○八毫九丝八忽七微一纎】作为太蔟正律的总长度，再折半【得四寸四分五厘四毫四丝九忽三微五纎】作为太蔟半律的总长度。

译求夹钟通长的方法，是将夹钟倍律的体积【二千七百七十七分七百七十七厘七百七十七毫七百七十七丝七百七十七忽七百七十七微七百七十七纎】作为被除数，以夹钟倍律的底面积【一十六分五十一厘六十七毫六十五丝四十八忽六十一微四十八纎】作为除数去除它【得到一尺六寸八分一厘七毫九丝二忽八微三纎】，这就是夹钟倍律的通长；将其对折【得到八寸四分○八毫九丝六忽四微一纎】，这就是夹钟正律的通长；再对折【得到四寸二分○四毫四丝八忽二微○】，这就是夹钟半律的通长。

译求姑洗通长的方法：将姑洗倍律的实积【二千四百七十四分七百一十八厘六百六十一毫五百丝○○九百四十二忽五百一十三微一百六十七纎】作为被除数，以姑洗倍律的面羃【一十五分五十八厘九十七毫五十丝○六十七忽○九微六十三纎】作为除数，相除【得一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纎】作为姑洗倍律的通长，折半【得七寸九分三厘七毫○○五微二纎】作为姑洗正律的通长，再折半【得三寸九分六厘八毫五丝○二微六纎】作为姑洗半律的通长。

求仲吕通长的方法：将仲吕倍律的实积【二千二百○四分七百二十三厘六百八十三毫二百八十九丝一百六十五忽九百三十七微一百五十五纎】作为被除数，以仲吕倍律的面羃【一十四分七十一厘四十七毫六十五丝一十九忽九十四微三十四纎】作为除数，相除【得一尺四寸九分八厘三毫○七忽○七纎】作为仲吕倍律的通长，折半【得七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纎】作为仲吕正律的通长，再折半【得三寸七分四厘五毫七丝六忽七微六纎】作为仲吕半律的通长。

求防賔通长的方法：将防賔倍律的实积【一千九百六十四分一百八十五厘五百○三毫二百九十五丝九百六十五忽三百四十五微五百五十七纎】作为被除数，以防賔倍律的面羃【一十三分八十八厘八十八毫八十八丝八十八忽八十八微八十八纎】作为除数，相除【得一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纎】作为防賔倍律的通长，折半【得七寸○七厘一毫○六忽七微八纎】作为防賔正律的通长，再折半【得三寸五分三厘五毫五丝三忽三微九纎】作为防賔半律的通长。

求林钟通长的方法：将林钟倍律的实积【一千七百四十九分八百九十厘○三百四十七毫○七十六丝二百一十二忽七百二十八微八百四十三纎】作为被除数，以林钟倍律的面羃【一十三分一十厘○九十三毫六十五丝四十五忽三十九微一十二纎】作为除数，相除【得一尺三寸二分四厘八毫三丝九忽八微五纎】作为林钟倍律的通长，折半【得六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纎】作为林钟正律的通长，再折半【得三寸三分三厘七毫○九忽九微六纎】作为林钟半律的通长。

求夷则通长的方法：将夷则倍律的实积【一千五百五十八分九百七十五厘○六十七毫○九十六丝三百五十一忽三百六十三微一百○二纎】作为被除数，以夷则倍律的面羃【一十二分三十七厘三十五毫九十三丝三十忽○七十五微○四纎】作为除数，相除【得一尺二寸五分九厘九毫二丝一忽○四纎】作为夷则倍律的通长，折半【得六寸二分九厘九毫六丝○五微二纎】作为夷则正律的通长，再折半【得三寸一分四厘九毫八丝○二微六纎】作为夷则半律的通长。

求南吕通长的方法：将南吕倍律的实积【一千三百八十八分八百八十八厘八百八十八毫八百八十八丝八百八十八忽八百八十八微八百八十八纎】作为被除数，以南吕倍律的面羃【一十七分六十七厘九十一毫一十六丝八十七忽八十五微二十三纎】作为除数相除【得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纎】作为南吕倍律的通长，折半【得五寸九分四厘六毫○三忽五微五纎】作为南吕正律的通长，再折半【得二寸九分七厘三毫○一忽七微七纎】作为南吕半律的通长。

求无射通长的方法：将无射倍律的实积【一千二百三十七分三百五十九厘三百三十三毫○七百五十丝四百七十一忽二百五十六微五百八十三纎】作为被除数，以无射倍律的面羃【一十一分○二厘三十六毫一十八丝四十二忽六十四微四十五纎】作为除数，相除【得一尺一寸二分二厘四毫六丝二忽○四纎】作为无射倍律的通长，折半【得五寸六分一厘二毫三丝一忽○二纎】作为无射正律的通长，再折半【得二寸八分○六毫一丝五忽五微一纎】作为无射半律的通长。

求应钟通长的方法：将应钟倍律的实积【一千一百○二分三百六十一厘八百四十一毫六百四十四丝五百八十二忽九百六十八微五百七十七纎】作为被除数，以应钟倍律的面羃【一十分○四十厘○四十九毫一十丝○二十五忽六十微○八十八纎】作为除数，相除【得一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎】作为应钟倍律的通长，折半【得五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纎】作为应钟正律的通长，再折半【得二寸六分四厘八

译毫六、丝五、忽七、微七、纎，作为应钟半律的总长度。

译求黄钟内外周径的方法：设定黄钟倍律的截面面积【一十九分六十四厘一十八毫五十五丝○三忽二十九微五十九纎】，自乘得到平方积【三百八十五分八十厘○二十四毫六十九丝一十三忽五十七微七十六纎】，用一百六十二分去乘，再用一百分去除【得到六百二十五分】作为被开方数，开平方【得到二十五分】，再开平方【得到五分】，这就是黄钟倍律的内径，也就是正律的外径；将其折半【得到二分五厘】，就是黄钟半律的内径。设定前面所得的【二十五分】，将其折半【得到一十二分半】作为被开方数，开平方【得到三分五厘三毫五丝五忽三微三纎九尘】，这就是黄钟正律的内径，也就是半律的外径；将其加倍【得到七分○七毫一丝○六微七纎八尘】，就是黄钟倍律的外径。设定正律的内径【三分五厘三毫五丝五忽三微三纎九尘】，用四十去乘【得到一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纎】，用九去除【得到一寸五分七厘一毫三丝四忽八微四纎○】，这就是黄钟倍律的内周，也就是正律的外周；将其折半【得到七分八厘五毫六丝七忽四微二纎】，就是黄钟半律的内周。设定正律的外周【一寸五分七厘一毫三丝四忽八微四纎】，自乘得到平方积【二寸四十六分九十一厘三十五毫七十九丝四十一忽八十二微五十六纎】，将其加倍【得到四寸九十三分八十二厘七十一毫五十八丝八十三忽六十五微一十二纎】作为被开方数，开平方【得到二寸二分二厘二毫二丝二忽二微二纎】，这就是黄钟倍律的外周；将其折半【得到一寸一分一厘一毫一丝一忽一微一纎】，就是黄钟正律的内周，也就是半律的外周。

求大吕内外周径的方法：设定大吕倍律的截面面积【一十八分五十三厘九十四毫四十二丝四十一忽九十微○二十八纎】，自乘得到平方积【三百四十三分七十一厘○九毫二十五丝二十忽○八十四微五十四纎】，用一百六十二分去乘，再用一百分去除【得到五百五十六分八十一厘一十六毫九十八丝八十三忽七十六微九十五纎】作为被开方数，开平方【得到二十三分五十九厘六十八毫五十七丝八十一忽七十微四十一纎】，再开平方【得到四分八厘五毫七丝六忽五微九纎】，这就是大吕倍律的内径，也就是正律的外径；将其折半【得到二分四厘二毫八丝八忽二微九纎】，就是大吕半律的内径。设定前面所得的【二十三分五十九厘六十八毫五十七丝八十一忽七十微○四十一纎】，将其折半【得到一十一分七十九厘八十四毫二十八丝九十忽○八十五微二十纎○】作为被开方数，开平方【得到三分四厘三毫四丝八忽八微四纎一尘】，这就是大吕正律的内径，也就是半律的外径；将其加倍【得到六分八厘六毫九丝七忽六微八纎二尘】，就是大吕倍律的外径。设定正律的内径【三分四厘三毫四丝八忽八微四纎一尘】，用四十去乘【得到一尺三寸七分三厘九毫五丝三忽六微二纎】，用九去除【得到一寸五分二厘六毫六丝一忽五微一纎】，这就是大吕倍律的内周，也就是正律的外周；将其折半【得到七分六厘三毫三丝○七微五纎】，就是大吕半律的内周。设定正律的外周【一寸五分二厘六毫六丝一忽五微一纎】，自乘得到平方积【二寸三十三分○五厘五十三毫六十六丝三十五忽四十八微○一纎】，将其加倍【得到四寸六十六分一十一厘○七毫三十二丝七十忽○九十六微○二纎】作为被开方数，开平方【得到二寸一分五厘八毫九丝五忽九微七纎】，这就是大吕倍律的外周；将其折半【得到一寸○七厘九毫四丝七忽九微八纎】，就是大吕正律的内周，也就是半律的外周。

求太蔟内外周径的方法：设定太蔟倍律的截面面积【一十七分四十九厘八十九毫○三丝四十七忽○七微六十二纎】，自乘得到平方积【三百○六分二十一厘一十六毫二十二丝六十七忽九十微○四十六纎】，用一百六十二分去乘，再用一百分去除【得到四百九十六分○六厘二十八毫二十八丝七十四忽○○五十四纎】作为被开方数，开平方【得到二十二分二十七厘二十四毫六十七丝九十五忽三十五微○八纎】，再开平方【得到四分七厘一毫九丝三忽七微一纎】，这就是太蔟倍律的内径，也就是正律的外径；将其折半【得到二分三厘五毫九丝六忽八微五纎】，就是太蔟半律的内径。设定前面所得的【二十二分二十七厘二十四毫六十七丝九十五忽三十五微○八纎】，将其折半【得到一十一分一十三厘六十二毫三十三丝九十七忽六十七微五十四纎】作为被开方数，开平方【得到三分三厘三毫七丝○九微九纎六尘】，这就是太蔟正律的内径，也就是半律的外径；将其加倍【得到六分六厘七毫四丝一忽九微九纎二尘】，就是太蔟倍律的外径。设定正律的内径【三分三厘三毫七丝○九微九纎六尘】，用四十

译十乘之【得一尺三寸三分四厘八毫三丝九忽八微四纤】，用九归约之【得一寸四分八厘三毫一丝五忽五微三纤】，作为太簇倍律的内周，也就是正律外周的一半【得七分四厘一毫五丝七忽七微六纤】，作为太簇半律的内周。

放置正律外周【一寸四分八厘三毫一丝五忽五微三纤】，自乘得到平方积【二寸一十九分九十七厘四十九毫六十四丝三十九忽一十八微零九纤】，加倍【得四寸三十九分九十四厘九十九毫二十八丝七十八忽三十六微一十八纤】作为实数开方【得二寸零九厘七毫四丝九忽八微三纤】，作为太簇倍律内周的一半【得一寸零四厘八毫七丝四忽九微一纤】，作为太簇正律的内周，也就是半律的外周。

译求夹钟内外周径的方法：设定夹钟倍律的横截面积【一十六分五十一厘六十七毫六十五丝四十八忽六十一微四十八纎】，自乘得到平方积【二百七十二分八十厘○三十五毫四十二丝一十二忽四十四微○九纎】，用一百二十六分去乘，再用一百分去除【得到四百四十一分九十四厘一十七毫三十八丝二十四忽一十五微四十二纎】作为被开方数进行开方【得到二十一分○二厘二十四毫一十丝○三十八忽一十三微四十一纎】，再次开方【得到四分五厘八毫五丝○二微○】作为夹钟倍律的内径，也就是夹钟正律的外径；将其折半【得到二分二厘九毫二丝五忽一微】作为夹钟半律的内径。设定前面所得的数【二十一分○二厘二十四毫一十丝○三十八忽一十三微四十一纎】，将其折半【得到一十分○五十一厘一十二毫○五丝一十九忽○六微七十纎○】作为被开方数进行开方【得到三分二厘四毫二丝○九微八纎八尘】作为夹钟正律的内径，也就是夹钟半律的外径；将其加倍【得到六分四厘八毫四丝一忽九微七纎六尘】作为夹钟倍律的外径。设定夹钟正律的内径【二分二厘四毫二丝○九微八纎八尘】，用四十去乘【得到一尺二寸九分六厘八毫三丝九忽五微二纎】，用九去除并约简【得到一寸四分四厘○九丝三忽二微八纎】作为夹钟倍律的内周长，也就是夹钟正律的外周长；将其折半【得到七分二厘○四丝六忽六微四纎】作为夹钟半律的内周长。设定夹钟正律的外周长【一寸四分四厘○九丝三忽二微八纎】，自乘得到平方积【二寸○七分六十二厘八十七毫三十三丝四十一忽一十五微八十四纎】，将其加倍【得到四寸一十五分二十五厘七十四毫六十六丝八十二忽三十一微六十八纎】作为被开方数进行开方【得到二寸○三厘七毫七丝八忽六微七纎】作为夹钟倍律的外周长；将其折半【得到一寸○一厘八毫八丝九忽三微三纎】作为夹钟正律的内周长，也就是夹钟半律的外周长。

求姑洗内外周径的方法：设定姑洗倍律的横截面积【一十五分五十八厘九十七毫五十丝○六十七忽○九微六十三纎】，自乘得到平方积【二百四十三分○四厘○三毫二十五丝九十八忽二十七微九十一纎】，用一百六十二分去乘，再用一百分去除【得到三百九十三分七十二厘五十三毫二十八丝○九忽二十一微二十一纎】作为被开方数进行开方【得到一十九分八十四厘二十五毫一十三丝一十四忽九十六微○一纎】，再次开方【得到四分四厘五毫四丝四忽九微三纎】作为姑洗倍律的内径，也就是姑洗正律的外径；将其折半【得到二分二厘二毫七丝二忽四微六纎】作为姑洗半律的内径。设定前面所得的数【一十九分八十四厘二十五毫一十三丝一十四忽九十六微○一纎】，将其折半【得到九分九十二厘一十二毫五十六丝五十七忽四十八微○○】作为被开方数进行开方【得到三分一厘四毫九丝八忽○二纎六尘】作为姑洗正律的内径，也就是姑洗半律的外径；将其加倍【得到六分二厘九毫九丝六忽○五纎二尘】作为姑洗倍律的外径。设定姑洗正律的内径【三分一厘四毫九丝八忽○二纎六尘】，用四十去乘【得到一尺二寸五分九厘九毫二丝二忽○四纎】，用九去除并约简【得到一寸三分九厘九毫九丝一忽二微二纎】作为姑洗倍律的内周长，也就是姑洗正律的外周长；将其折半【得到六分九厘九毫九丝五忽二微一纎】作为姑洗半律的内周长。设定姑洗正律的外周长【一寸三分九厘九毫九丝一忽二微二纎】，自乘得到平方积【一寸九十五分九十七厘五十四毫一十六丝七十七忽○八微八十四纎】，将其加倍【得到三寸九十一分九十五厘○八毫三十三丝五十四忽一十七微六十八纎】作为被开方数进行开方【得到一寸九分七厘九毫七丝七忽四微八纎】作为姑洗倍律的外周长；将其折半【得到九分八厘九毫八丝八忽七微四纎】作为姑洗正律的内周长，也就是姑洗半律的外周长。

求仲吕内外周径的方法：设定仲吕倍律的横截面积【一十四分七十一厘四十七毫六十五丝一十九忽九十四微三十四纎】，自乘得到平方积【二百一十六分五十二厘四十三毫一十四丝八十七忽四十四微七十三纎】，用一百六十二分去乘，再用一百分去除【得到三百五十分○七十六厘九十三毫九十丝○○九忽六十六微四十六纎】作为被开方数进行开方【得到一十八分七十二厘八十八毫三十八丝四十六忽○九微五十七纎】，再次开方【得到四分三厘二毫七丝六忽八微二纎】作为仲吕倍律的内径，也就是仲吕正律的外径；将其折半【得到二分一厘六毫三丝八忽四微一纎】作为仲吕半律的内径。设定前面所得的数【一十八分七十二厘八十八毫三十八丝四十六忽○九微五十七纎】，将其折半【得到九分三十六厘四十四毫一十九

译以丝二十三忽、四微、七十八纎作为被开方数，开方后得到三分、六毫、一忽、三微、三纎、八尘，这是仲吕正律的内径；将内径加倍，得到六分、一厘、二毫、二忽、六微、七纎、六尘，这是仲吕倍律的外径。将正律内径（三分、六毫、一忽、三微、三纎、八尘）乘以四十，得到一尺二寸二分四厘、五丝三忽五微二纎；用九去除并约简，得到一寸三分八厘、五忽九微四纎，这是仲吕倍律的内周，也就是正律外周的一半；再将其折半，得到六分八厘、二忽九微七纎，这是仲吕半律的内周。将正律外周（一寸三分六厘、五忽九微四纎）自乘，得到平方积一寸八十四分九十七厘六十一毫五十七丝一十五忽二十八微三十六纎；将其加倍，得到三寸六十九分九十五厘二十三毫一十四丝三十忽、五十六微七十二纎，作为被开方数开方，得到一寸九分二厘三毫四丝一忽四微四纎，这是仲吕倍律外周的一半；再将其折半，得到九分六厘一毫七丝、七微二纎，这是仲吕正律的内周，也就是半律的外周。

译求防宾内外周径的方法：取防宾倍律的截面积【一十三分八十八厘八十八毫八十八丝八十八忽八十八微八十八纤】自乘，得到平方积【一百九十二分九十厘零一十二毫三十四丝五十六忽七十八微七十六纤】，用一百六十二分乘之，再除以一百【得三百一十二分半】作为被开方数，开方【得一十七分六十七厘七十六毫六十九丝五十二忽九十六微六十三纤】，再开方【得四分二厘零四丝四忽八微二纤】，这就是防宾倍律的内径，也就是正律的外径；将其折半【得二分一厘零二丝二忽四微一纤】，这就是防宾半律的内径。取前次所得【一十七分六十七厘七十六毫六十九丝五十二忽九十六微六十三纤】折半【得八分八十三厘八十八毫三十四丝七十六忽四十八微三十一纤】作为被开方数，开方【得二分九厘七毫三丝零一微七纤七尘】，这就是防宾正律的内径，也就是半律的外径；将其加倍【得五分九厘四毫六丝零三微五纤四尘】，这就是防宾倍律的外径。取正律内径【二分九厘七毫三丝零一微七纤七尘】乘以四十【得一尺一寸八分九厘二毫零七忽零八纤】，用九归约【得一寸三分二厘一毫三丝四忽二微一纤】，这就是防宾倍律的内周，也就是正律的外周；将其折半【得六分六厘零六丝七忽零六纤】，这就是防宾半律的内周。取正律外周【一寸三分二厘一毫三丝四忽一微二纤】自乘得到平方积【一寸七十四分五十九厘四十二毫五十六丝六十八忽一十七微四十四纤】，加倍【得三寸四十九分一十八厘八十五毫一十三丝三十六忽三十四微八十八纤】作为被开方数，开方【得一寸八分六厘八毫六丝五忽八微六纤】，这就是防宾倍律的外周；将其折半【得九分三厘四毫三丝二忽九微三纤】，这就是防宾正律的内周，也就是半律的外周。

求林钟内外周径的方法：取林钟倍律的截面积【一十三分一十厘零九十三毫六十五丝四十五忽三十九微一十二纤】自乘得到平方积【一百七十一分八十五厘五十四毫六十二丝六十忽零四十二微二十一纤】，用一百六十二分乘之，再除以一百【得二百七十八分四十厘零五十八毫四十九丝四十一忽八十八微三十八纤】作为被开方数，开方【得一十六分六十八厘五十四毫九十八丝一十七忽七十一微二十四纤】，再开方【得四分零八毫四丝七忽八微八纤】，这就是林钟倍律的内径，也就是正律的外径；将其折半【得二分零四毫二丝三忽九微四纤】，这就是林钟半律的内径。取前次所得【一十六分六十八厘五十四毫九十八丝一十七忽七十一微二十四纤】折半【得八分三十四厘二十七毫四十九丝零八忽八十五微六十二纤】作为被开方数，开方【得二分八厘八毫八丝三忽八微一纤七尘】，这就是林钟正律的内径，也就是半律的外径；将其加倍【得五分七厘七毫六丝七忽六微三纤四尘】，这就是林钟倍律的外径。取正律内径【二分八厘八毫八丝三忽八微一纤七尘】乘以四十【得一尺一寸五分五厘三毫五丝二忽六微八纤】，用九归约【得一寸二分八厘三毫七丝二忽五微二纤】，这就是林钟倍律的内周，也就是正律的外周；将其折半【得六分四厘一毫八丝六忽二微六纤】，这就是林钟半律的内周。取正律外周【一寸二分八厘三毫七丝二忽五微二纤】自乘得到平方积【一寸六十四分七十九厘五十毫零三十八丝九十一忽一十五微零四纤】，加倍【得二寸二十九分五十九厘零零七十七丝八十二忽三十微零零八纤】作为被开方数，开方【得一寸八分一厘五毫四丝六忽一微五纤】，这就是林钟倍律的外周；将其折半【得九分零七毫七丝三忽零七纤】，这就是林钟正律的内周，也就是半律的外周。

求夷则内外周径的方法：取夷则倍律的截面积【一十二分三十七厘三十五毫九十三丝三十忽零七十五微零四纤】自乘得到平方积【一百五十三分一十厘零五十八毫一十一丝三十三忽九十五微零七纤】，用一百六十二分乘之，再除以一百【得二百四十八分零三厘一十四毫一十四丝三十七忽零零零一纤】作为被开方数，开方【得一十五分七十四厘九十毫零一十二丝一十二忽三十六微八十四纤】，再开方【得三分九厘六毫八丝五忽零二纤】，这就是夷则倍律的内径，也就是正律的外径；将其折半【得一分九厘八毫四丝二忽五微一纤】，这就是夷则半律的内径。取前次所得【一十五分七十四厘九十毫零一十三丝一十二忽三十六微八十四纤】折半【得七分八十七厘四十五毫零六丝五十六忽一十八微四十二纤】作为被开方数

译开方【得二分八厘○六丝一忽五微五纎一尘】作为夷则正律的内径，即是半律的外径；将其加倍【得五分六厘一毫二丝三忽一微○二尘】作为夷则倍律的外径。将正律内径【二分八厘○六丝一忽五微五纎一尘】乘以四十【得一尺一寸二分二厘四毫六丝二忽○四纎】，再除以九进行约简【得一寸二分四厘七毫一丝八忽○○】，作为夷则倍律的内周，也就是正律外周的一半【得六分二厘三毫五丝九忽○○】，作为夷则半律的内周。将正律外周【一寸二分四厘七毫一丝八忽○】自乘得到平方积【一寸五十五分五十四厘五十七毫九十五丝二十四忽○○○○】，将其加倍【得三寸一十一分○九厘一十五毫九十丝○四十八忽○○○○】作为被开方数，开方【得一寸七分六厘三毫七丝七忽八微八纎】作为夷则倍律的外周；将其折半【得八分八厘一毫八丝八忽九微四纎】作为夷则正律的内周，也就是半律的外周。

译求南吕内外周径的方法：设定南吕倍律的底面积【一十一分六十七厘九十一毫一十六丝八十七忽八十五微二十三纎】，自乘得到平方积【一百三十六分四十厘零一十七毫七十一丝零六忽二十二微零零】，用一百六十二分乘之，再除以一百分【得到二百二十分零九十七厘零八毫六十九丝一十二忽零七微六十四纎】作为被开方数开方【得到一十四分八十六厘五十毫零八十八丝九十三忽七十五微三十二纎】，再次开方【得到三分八厘五毫五丝五忽二微七纎】作为南吕倍律的内径，也就是正律外径的一半【得到一分九厘二毫七丝七忽六微三纎】作为南吕半律的内径。设定前面所得【一十四分八十六厘五十毫零八十八丝九十三忽七十五微三十二纎】的一半【得到七分四十三厘二十五毫四十四丝四十六忽八十七微八十六纎】作为被开方数开方【得到二分七厘二毫六丝二忽六微九纎三尘】作为南吕正律的内径，也就是半律外径的两倍【得到五分四厘五毫二丝五忽三微八纎六尘】作为南吕倍律的外径。设定正律内径【二分七厘二毫六丝二忽六微九纎三尘】乘以四十【得到一尺零九分零五毫零七忽七微二纎】，除以九【得到一寸二分一厘一毫六丝七忽五微二纎】作为南吕倍律的内周，也就是正律外周的一半【得到六分零五毫八丝三忽七微六纎】作为南吕半律的内周。设定正律外周【一寸二分一厘一毫六丝七忽五微二纎】自乘得到平方积【一寸四十六分八十一厘五十六毫七十九丝零二忽九十五微零四纎】，加倍【得到二寸九十三分六十三厘一十三毫五十八丝零五忽九十微零零八纎】作为被开方数开方【得到一寸七分一厘三毫五丝六忽七微五纎】作为南吕倍律外周的一半【得到八分五厘六毫七丝八忽三微七纎】作为南吕正律的内周。也就是半律的外周。

求无射内外周径的方法：设定无射倍律的底面积【一十一分零二厘三十六毫一十八丝四十一忽六十四微四十五纎】，自乘得到平方积【一百二十一分五十二厘零一毫六十二丝九十九忽一十三微八十五纎】，用一百六十二分乘之，再除以一百分【得到一百九十六分八十六厘二十六毫六十四丝零四忽六十微零四十三纎】作为被开方数开方【得到一寸四分零三厘零七毫七十五丝六十忽零三十八微六十六纎】，再次开方【得到三分七厘四毫五丝七忽六微七纎】作为无射倍律的内径，也就是正律外径的一半【得到一分八厘七毫二丝八忽八微三纎】作为无射半律的内径。设定前面所得【一十四分零五厘零七毫七十五丝六十忽零三十八微六十纎】的一半【得到七分零一厘五十三毫八十七丝八十忽零一十九微三十三纎】作为被开方数开方【得到二分六厘四毫八丝六忽五微七纎七尘】作为无射正律的内径，也就是半律外径的两倍【得到五分二厘九毫七丝三忽一微五纎四尘】作为无射倍律的外径。设定正律内径【二分六厘四毫八丝六忽五微七纎七尘】乘以四十【得到一尺零五分九厘四毫六丝三忽零八纎】，除以九【得到一寸一分七厘七毫一丝八忽一微二纎】作为无射倍律的内周，也就是正律外周的一半【得到五分八厘八毫五丝九忽零六纎】作为无射半律的内周。设定正律外周【一寸一分七厘七毫一丝八忽一微二纎】自乘得到平方积【一寸三十八分五十七厘五十五毫五十七丝七十六忽三十三微四十四纎】，加倍【得到二寸七十七分一十五厘一十一毫一十五丝五十二忽六十六微八十八纎】作为被开方数开方【得到一寸六分六厘四毫七丝八忽五微六纎】作为无射倍律外周的一半【得到八分三厘二毫三丝九忽二微八纎】作为无射正律的内周。也就是半律的外周。

求应钟内外周径的方法：设定应钟倍律的底面积【一十分零四十厘零四十九毫一十丝零二十五忽六十微零八十八纎】，自乘得到平方积【一百零八分二十六厘二十一毫五十七丝四十三忽七十二微四十五纎】，用一百六十二分乘之，再除以一百分【得到一百七十五分三十八厘四十六毫九十五丝零四忽八十三微三十六纎】作为被开方数开方【得到十三分二十四厘三十二毫八十八丝六十七忽九十四微九十一纎】，再次开方【得到三分六厘三毫九丝一忽三微二纎】作为应钟倍律的内径，也就是正律外径的一半【得到一分八厘一毫九丝五忽六微六纎】作为应钟半律的内径。设定前面所得【一十三分二十四厘三十二毫八十八丝六十七忽九十四微九十一纎】的一半【得到六分六十二厘一十六毫四

译以十四丝三十三忽九十七微四十五纎作为被开方数，开方后得到二分五厘七毫三丝二忽五微五纎五尘，这是应钟正律的内径，也就是半律外径的两倍；将其加倍得到五分一厘四毫六丝五忽一微一纎，这是应钟倍律的外径。将正律内径二分五厘七毫三丝二忽五微五纎五尘乘以四十，得到一尺零二分九厘三毫零二忽二微零；用九去除并约简，得到一寸一分四厘三毫六丝六忽九微一纎，这是应钟倍律的内周，也就是正律外周的一半；将其折半得到五分七厘一毫八丝三忽四微五纎，这是应钟半律的内周。将正律外周一寸一分四厘三毫六丝六忽九微一纎自乘得到平方积一寸三十分零七十九厘七十九毫一丝零二忽九十四微八十一纎；将其加倍得到二寸六十一分五十九厘五十八毫零二丝零五忽八十九微六十二纎，作为被开方数开方，得到一寸六分一厘七毫三丝九忽二微三纎，这是应钟倍律外周的一半；将其折半得到八分零八毫六丝九忽六微一纎，这是应钟正律的内周，也就是半律的外周。

译《乐律全书》卷二十六

<经部，乐类，《乐律全书》>

钦定《四库全书》

《乐律全书》卷二十七

明 朱载堉 撰

操缦古乐谱

古传各种操缦

琴以本律的散声为正，实际发音相合的为应，散声相谐的为和。瑟以本律的大指为正，左手小指为应，右手大指隔八位为和。谱曰：

正、和、正、应，正、和、正、应，正、和、正、应。正，和，正，应。得道仙翁自在，轻闲月朗，风清流水，高山。

非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动。

正、应、正、和，正、应、和、应，正、应、正、和，正、应、和、应。

知音虽少，琴能解忧。风清月朗，山高水流。

傲慢不可滋长，欲望不可放纵，志向不可自满，欢乐不可过度。

“得道仙翁”以下，是琴家调弦的谱，即古代的操缦。“非礼勿视”以下，大概是取用古语，拟写弦音罢了。

正、应、正、和，正、应、正、和，正、应、正、应，正、和、正、应。

沧浪之水清兮，之水清兮，可以濯我缨兮。

正、应、正、和，正、应、正、和，正、应、正、应，正、和、正、应。

沧浪之水浊兮，之水浊兮，可以濯我足兮。

以上操缦二段，各三句，共计三十二字。

正、应、正、和同。○正、和同。○正、应、正、和同。○

沧浪之水清，○之水清○可以濯我缨。○

正、应、正、和同。○正、和同。○正、应、正、和同。○

沧浪之水浊，○之水浊，○可以濯我足，○

此与前谱大同小异，无“兮”字，有断句。

正、应、和，○应、和同，○正、应、和，○正、应同。○

诗言志，○歌永言，○声依永，○律和声，○

正、和、应。○和、应同。○正、和、应。○正、应同。○

毋不敬，○俨若思，○安定辞，○安民哉，○

此也是有断句的操缦。操缦的指法，或增或减，或断或连，千变万化，板眼不差，都是操缦。《周礼》所说的六乐音声的节拍，《仪礼》所说的“间若一者”的重节，《礼记》所说的“乐也者节也，君子无节不作”，古人所重视的节奏，就是现在俗称为板眼的。臣谨按：操缦大概是曲名。“操”的意思是持守，“缦”的意思是舒缓。持守歌声使其极其舒缓，《虞书》所说的“歌永言，声依永”就是这个意思。人心如果没有修养，怎么能延长言声呢？《乐记》所说的“和顺积中而英华发外，惟乐不可以为伪”，用延长言声来试验，那么修养如何就可知了，真伪怎能隐藏呢？修养性情，达到中和，其纲要就在这里。人们都知道歌永言，却不知道它的节奏，如果没有节奏，虽然名为永，实际上并非永。所谓节奏，就是俗话说的板眼。先王的雅乐，有的以钟磬为节拍，有的以盆缶为节拍，有的以搏拊为节拍，有的以舂牍为节拍，乡饮乡射八音之器中有四种：石音是磬，丝音是瑟，匏音是笙，革音是鼓。瑟与笙是曲调，磬与鼓是节拍。《虞书》“击石拊石，百兽率舞”，《商颂》“既和且平，依我磬声”。《周礼》“钟师掌金奏，磬师教缦乐”，缦乐就是操缦。臣听说宋儒张载说：“古代的乐章只有几句诗，不能成曲调，所以有弄有引。”善于歌唱的人知道如何为弄，如何为引。又说：“善于歌唱的人使人接续他的声音，是说使他的声音常常从容有余。”朱熹也说：“古人诗只一两句便衍得来长。”又说：“我怀疑古乐有倡有叹，倡是唱歌句，叹是接续其声。”诗辞之外，应该更有叠字散声以增添其趣味，叫“弄”，叫“引”，叫“叠字”，叫“散声”，大概是操缦的别名。臣父亲曾说：琴家和弦所弹的“月朗风清”四声，就是古操缦的遗意。“风清”二声所谓应，《易》曰“同声相应”就是这个意思。“月朗”二声虽然不一般，而实在相和，所谓和。正者本律散声也；同者两弦一声也。慨自雅乐失传，推究臣父亲遗意，所以分条详论如下。

论学乐自赓歌始

有人问朱熹说：“水火金木土谷，只有修正德、利用、厚生才和谐。正德是正民之德吗？”朱熹说：“确实是。水如堤防灌溉，金如五兵田器，火如出火、纳火、禁焚、莱之类，木如斧斤以时之类。古人设官掌管这六府，大概是为民爱惜这些物资，不使其妄用，不像如今世人用财无节制。戒之用休，是说用休美之事来告诫劝谕；劝之以九歌，是感动之意。但不知道所谓九歌是怎样的？大概禹只说纲目，其详情不可考了。”问：“戒之用休，董之用威，劝之以九歌。林氏说自戒、自董、自劝，不知道这种说法如何？”朱熹说：“九歌现在已亡，其词句不可稽考。以理来看，恐怕是君