钦定四库全书古今律厯考卷二十九明邢云路撰律吕一
钦定四库全书古今律厯考卷二十九明邢云路撰律吕一
律吕黄钟黄钟长九寸，空围九分，积七百二十九分。天数终于九，为阳之成，黄钟阳声之始也。故其管长九寸，其内空围容九分，其积实十百二十九分，是为律本，而十二律由是损益，度量衡于是受法焉。算术置一分围容九分，以九寸之每寸九分，共八十一分乘之，得共围积实七百二十九分。依古圆田法三分益一，盖以九分三分之每一分得三分益一，得一十二分，以开方除之，得三分四厘六毫强为实径之数，强者不尽二毫八丝四忽。若仍求圆积之数，以径三分四厘六毫自乘之，得一十一分九厘七毫一丝六忽，加以不尽之二毫八丝四忽，得一十二分，以管长八十一分乘之，得九百七十二分为方积，四分取三为圆积，得七百二十九分。□蔡季通以管长九十分乘一十二分，得一千八十分为方积，四分取三为圆积，得八百一十分，非也。盖九分为寸，厘毫丝皆用九，无用十之理，故长九寸以分九之得八十一分，再以厘九之得七百二十九厘，长八十一分以空容九分九之得积七百二十九分，始终无八百一十分之数。且空围与径之分皆九厘之分，若以十厘之分十分之寸乘之，则围之横分长而长之竖分短，计短九之一也。立方上下四旁皆均，若上下短九之一则不方，何以成数？然则黄钟之积防乎为七百二十九分，明矣。然谓以十为尺者，约九为十而为尺，约十为九而律，其实一也。又径围之密律详见厯原。
黄钟之实子一 黄钟之律一而己丑三 为丝法寅九 为寸数卯二十七 为毫法辰八十一 为分数已二百四十三 为厘法午七百二十九 为厘数未二千一百八十七 为分法申六千五百六十一 为毫数酉，一万九千六百八十三，为寸法。
戌五万九千○四十九 为丝数亥一，十七万七千一百四十七。黄钟之实。黄钟之律，以三厯十三辰所得之数，在子、寅、辰、午、申、戌六阳辰为黄钟寸分厘毫丝之数。子为黄钟之律，寅为九寸，辰为八十一分，午为七百二十九厘，申为六千五百六十一毫，戌为五万九千四十九丝。在亥、酉、未、巳、卯、丑六隂辰为黄钟寸分厘毫丝之法。亥为黄钟之实，酉之一万九千六百八十三为寸，未之二千一百八十七为分，巳之二百四十三为厘，卯之二十七为毫，丑之三为丝。其寸分厘毫丝之法，皆用九数，故九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，为黄钟。盖子一为黄钟之律，三其一则丑为三，三其三则寅为九，三其九则夘为二十七，三其二十七则辰为八十一，三其八十一则巳为二百四十三，三其二百四十三则午为七百二十九，三其七百二十九则未为二千一百八十七，三其二千一百八十七则申为六千五百六十一，三其六千五百六十一则酉为一万九千六百八十三，三其一万九千六百八十三则戌为五万九千四十九，三其五万九千四十九则亥为一十七万七千一百四十七。以是数为黄钟之实，而定管之短长。以三为丝，故有五万九千四十九丝；以二十七为毫，故有六千五百六十一毫；以二百四十三为厘，故有七百二十九厘；以二千一百八十七为分，故有八十一分；以一万九千六百八十三为寸，故有九寸。合而观之，积丝毫厘分之长为寸，皆九；合丝毫厘分寸之数，皆一十七万七千一百四十七。在阳辰顺而左行为数，在隂辰逆而右行为法也。
黄钟生十一律子一分一为九寸丑三分二一为三寸寅九分八一为一寸卯二十七分十六三为一寸 一为三分辰八十一分六十四九为一寸 一为一分巳二百四十三分一百二十八二十七为一寸，三为一分，一为三厘。
午七百二十九分五百一十二八十一为一寸，九为一分，一为一厘。未二千一百八十七分一千二十四。二百四十三为一寸，二十七为一分。
三为一厘 一为三毫申六千五百六十一分四千九十六。七百二十九为一寸，八十一为一分。
九为一厘 一为一毫酉，一万九千六百八十三分八千一百九十二。二千一百八十七为一寸，二百四十三为一分，二十七为一厘，三为一毫，一为三丝。戌五万九千四十九分三万二千七百六十八。六千五百六十一为一寸，七百二十九为一分，八十一为一厘，九为一毫，一为一丝。亥一，十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。一万九千六百八十三为一寸，二千一百八十七为一分，二百四十三为一厘，二十七为一毫，三为一丝，一为三忽。按黄钟生十一律，子、寅、辰、午、申、戌六阳辰皆下生，丑、卯、巳、未、酉、亥六隂辰皆上生。其上以三厯十二辰者，皆黄钟之全数。其下隂数以倍者，倍其实，三分本律而损其一也。阳数以四者，四其实，三分本律而益其一也。六阳辰当位自得，六隂辰则居其冲。其林钟、南吕、应钟三吕在隂无所増损；其大吕、夹钟、仲吕三吕在阳，则用倍数，方与十二月之气相应。盖隂之从阳，自然之理也。曰：子一分者，数起子得一也。丑三分二者，三其法为三分，两其实为二也。寅九分八者，三其法为九分，四其实为八也。以下生者倍其实，以上生者四其实也。其法以子析为三分，每分五万九千四十九，丑于三分之中得其二，为十一万八千九十八，积六寸为林钟，此黄钟之实，三分损一，下生林钟也。以子一析为九分，每分得一万九千六百八十三，寅于九分之中得其八，为十五万七千四百六十四，积八寸为太蔟，此林钟之实，三分益一，上生太蔟也。自夘而下仿此。其详：子一分一为九寸，为黄钟之律也。三其一则丑为三分，倍其一为二分，一为三寸，二为六寸，为林钟之律也。三其三则寅为九分，四其二为八分，一为一寸，八为八寸，为太蔟之律也。三其九则卯为二十七分，倍其八为十六分，三为一寸，以十五为五寸，余一为三分，共五寸三分，为南吕之律也。三其二十七则辰为八十一分，四其十六为六十四分，九为一寸，以六十三为七寸，余一为一分，共七寸一分，为姑洗之律也。三其八十一则巳为二百四十三分，倍其六十四为一百二十八分，二十七为一寸，以一百八为四寸，余二十三为一分，以十八为六分，余二一为三厘，二为六厘，共四寸六分六厘，为应钟之律也。三其二百四十三则午为七百二十九分，四其一百二十八为五百一十二分，八十一为一寸。以四百八十六为六寸，余二十六九为一分，以十八为二分，余八一为一厘，八为八厘，共六寸二分八厘，为蕤賔之律也。三其七百二十九则未为二千一百八十七，倍其五百一十二为一千二十四，二百四十三为一寸，以九百七十二为四寸，余五十二，以二十七为一分，余二十五三为一厘，以二十四为八厘，余一一为三毫，共四寸一分八厘三毫，止得大吕半律之数，因居丑在阳，倍之以一千二十四，倍为二千四十八，计得八寸三分七厘六毫，为大吕之律也。
三其二千一百八十七则申为六千五百六十一，四其一千二十四为四千九十六，七百二十九为一寸，以三千六百四十五为五寸，余四百五十一，以八十一为一分，以四百五为五分，余四十六九为一厘，以四十五为五厘，余一为一毫，共五寸五分五厘一毫，为夷则之律也。三其六千五百六十一则酉为一万九千六百八十三，倍其四千九十六为八千一百九十二，二千一百八十七为一寸，以六千五百六十一为三寸，余一千六百三十一，二百四十三为一分，以一千四百五十八为六分，余一百七十三，二十七为一厘，以一百六十二为六厘，余一十一三为一毫，以九为三毫，余二一为三丝，二为六丝，共三寸六分六厘三毫六丝，止得夹钟半律之数，因居夘在阳，倍之以八千一百九十二，倍为一万六千三百八十四，计得七寸四分三厘七毫三丝，为夹钟之律也。三其一万九千六百八十三则戍为五万九千四十九，四其八千一百九十二为三万二千七百六十八，六千五百六十一为一寸，以二万六千二百四十四为四寸，余六千五百二十四，七百二十九为一分，以五千八百三十二为八分，余六百九十二，八十一为一厘，以六百四十八为八厘，余四十四九为一毫，以三十六为四毫余八一为一丝，八为八丝，共四寸八分八厘四毫八丝，为无射之律也。三其五万九千四十九，则亥为一十七万七千一百四十七，倍其三万二千七百六十八，为六万五千五百三十六，一万九千六百八十三为一寸，以五万九千四十九为三寸，余六千四百八十七，二千一百八十七为一分，以四千三百七十四为二分，余二千一百一十三，二百四十三为一厘，以一千九百四十四为八厘，余一百六十九，二十七为一毫，以一百六十二为六毫，余七，三为一丝，六为二丝，余一，一为三忽，共三寸二分八厘六毫二丝三忽，止得仲吕半律之数，因居巳在阳，倍之以六万五千五百三十六，倍为十三万一千七十二，计得六寸五分八厘三毫四丝六忽，余二不尽，为仲吕之律也。其曰以三厯十二辰皆黄钟之全数者，盖子一分则一为九寸，是黄钟之全数，丑三分二则一为三寸，三为九寸，亦是黄钟九寸之全数，三分取其二，故林钟得六寸，寅九分八则一为一寸，九为九寸，亦是黄钟九寸之全数，九分取其八，故太蔟得八寸。曰隂数以倍，阳数以四者，盖黄钟九寸下生，则倍其实为一尺八寸，以三分之，每分六寸，而得其一为林钟，即三分黄钟九寸而损其一者也。林钟六寸上生，则四其实为二尺四寸，以三分之，每分八寸，而得其一为太蔟，即三分林钟六寸而益其一者也，余放此。其候气之法，六阳辰当位自得，子居子而寅居寅也。
六隂辰则居其冲，丑则居未，而夘则居酉也。其林钟在未，南吕在酉，应钟在亥，为隂原无半数，故无所增损。其大吕在丑，夹钟在夘，仲吕在巳，为阳，吹之则用半数，方其声和也【候气之法乖舛详见后】
十二律之实子，黄钟十七万七千一百四十七。
全九寸 半无丑林钟十一万八千○九十八全六寸 半三寸不用寅太蔟十五万七千四百六十四。
全八寸 半四寸卯，南吕十○万四千九百七十六。
全五寸三分 半二寸六分不用辰，姑洗，十三万九千九百六十八。
全七寸一分 半三寸五分巳应钟九万三千三百一十二全四寸六分六厘，半二寸三分三厘，不用。午，蕤賔，十二万四千四百一十六。全六寸二分八厘，半三寸一分四厘。未大吕，十六万五千八百八十八。全八寸三分七厘六毫，半四寸一分八厘三毫。
申夷则十一万○五百九十二全五寸五分五厘一毫，半二寸七分二厘五毫。酉夹钟，十四万七千四百五十六。全七寸四分三厘七毫三丝，半三寸六分六厘三毫六丝。
戌无射九万八千三百○四全四寸八分八厘四毫八丝，半二寸四分四厘二毫四丝。
亥仲吕十三万一千○七十二全六寸五分八厘三毫四丝六忽【余二筭】半三寸二分八厘六毫二丝三忽。黄钟全九寸者，以一万九千六百八十三为一寸，积十七万七千一百四十七为九寸也。半无者，黄钟至尊，不为他律所役，损益不及，故不用半也。林钟于十七万七千一百四十七内三分损一，损五万九千四十九，则为十一万八千九十八。太蔟于十一万八千九十八内三分益一，益三万九千三百六十六，则为十五万七千四百六十四。南吕于十五万七千四百六十四内三分损一，损五万二千四百八十八，则为十万四千九百七十六。姑洗于十万四千九百七十六内三分益一，益三万四千九百九十二，则为十三万九千九百六十八。应钟于十三万九千九百六十八内三分损一，损四万六千六百五十六，则为九万三千三百一十二。蕤賔于九万三千三百一十二内三分益一，益三万一千一百四，则为十二万四千四百一十六。蕤賔而后，大吕当未应三分损其一也。若损一，止得大吕之半数，因在阳倍之，故以大吕于十二万四千四百一十六内三分损一，损四万一千四百七十二，为八万二千九百四十四之数，倍之则为十六为五千八百八十八。夷则于十六万五千八百八十八内三分损一，损五万五千二百九十六，则为十一万五百九十二。夹钟于十一万五百九十二内三分益一，益三万六千八百六十四，则为十四万七千四百五十六。无射于十四万七千四百五十六内三分损一，损四万九千一百五十二，则为九万八千三百四。仲吕于九万八千三百四内三分益一，益三万二千七百六十八，则为十三万一千七十二。夫黄钟生十一律，阳皆下生倍其实而损，隂皆上生四其实而益。蕤賔以后，阳反四上生益，而隂反倍下生损，何也？盖从子至亥，黄钟、太蔟、姑洗，阳之阳也；林钟、南吕、应钟，隂之隂也。阳生隂退，故律生吕言下生。吕生律言，上生蕤賔夷则、无射、隂之阳也；大吕、夹钟、仲吕，阳之隂也。隂升阳退，故律生吕；言上生吕，生律；言下生，故郑氏重上生法，所以为不易之论。而真西山失载其说，不能不令人疑耳。推前律半律法，如姑洗十三万九千九百六十八，以一万九千六百八十三为一寸，二千一百八十七为一分，除十三万七千七百八十一为七寸，余二千一百八十七为一分，故姑洗全七寸一分。以十三万九千九百六十八半之为六万九千九百八十四，除五万九千四十九为三寸，余一万九百三十五为五分，故姑洗半三寸五分，余仿此。凡律用半者，以上律短而下律长，故下律用半，以成宫、商、角、征、羽之五声。林钟、南吕、应钟三律，受役于阳律，依序而下，乃自为上律，而上律更无短者，故不用半，以相生之不及也。按十二律之实，约以寸法则黄钟、林钟、太蔟得全寸；约以分法则南吕、姑洗得全分；约以厘法则应钟、蕤賔得全厘；约以毫法则大吕、夷则得全毫；约以丝法则夹钟、无射得全丝。至仲吕之实十三万一千七十二，以三分之不尽二筭，其数不行，此律之所以止于十二也。
变律六黄钟十七万四千七百六十二【小分四百八十六】全八寸七分八厘一毫六丝二忽，不用。半四寸三分八厘五毫三丝一忽。前正律至仲吕之实十三万一千七十二，以三分之不尽二筭，其数既不可行，当有以通之。律当变者有六，故置一而六三之，盖自子之一而至午之六，以三厯之，得七百二十九。以七百二十九乘仲吕之十三万一千七十二，共九千五百五十五万一千四百八十八，以三分之，每分得三千一百八十五万四百九十六，三分益一，共一万二千七百四十万一千九百八十四。复以七百二十九归之，每黄钟之一当七百二十九，为黄钟之十七万四千七百六十二，不尽零小分四百八十六，为三分一之二。盖以七百二十九为一小分，三分之每分得二百四十三，则四百八十六为二百四十三者二，乃三分一之二也。以寸法计之，十五万七千四百六十四，得寸者八；以分法计之，一万五千三百九，得分者七；以厘法计之，一千九百四十四，得厘者八；以毫法计之，二十七，得毫者一；以丝法计之，一十八，得丝者六；以忽法计之，小分四百八十六，一为三忽，三分一之二为二忽，得忽者二。此全数也，半数得八万七千三百八十一，小分二百四十三。以寸分厘毫丝忽法计之，得四寸三分八厘五毫三丝一忽。全数不用者，黄钟君象也，受役之律无长于此，诸律不得而役之，故虚其正而不用。所用即再生之变者，就再生之变，又缺其半。所谓缺其半者，盖若大吕为宫，黄钟为变宫时，黄钟管最长，所以只得用其半，其余宫亦仿此。林钟十一万六千五百八【小分三百二十四】全五寸八分二厘四毫一丝一忽三初。半二寸八分五厘六毫五丝六初。以黄钟之一万二千七百四十万一千九百八十四三分之，每分四千二百四十六万七千三百二十八三分损一，为八千四百九十三万四千六百五十六。以七百二十九归之，为下生林钟之十一万六千五百八零小分三百二十四。以寸分厘毫丝法计之，得全五寸八分二厘四毫一丝小分三百二十四。以二百四十三为一忽，余八十一。以二十七为一初，为三初半之，为五万八千二百五十四小分一百六十二。以法计之，得半二寸八分五厘六毫五丝余一百六十二，为六初。太蔟十五万五千三百四十四【小分四百三十二】全七寸八分二毫四丝四忽七初不用。半三寸八分四厘五毫六丝六忽八初。以林钟之八千四百九十三万四千六百五十六三分之，每分二千八百三十一万一千五百五十二三分益一，为一万一千三百二十四万六千二百八，以七百二十九归之，为上生太蔟之十五万五千三百四十四，零小分四百三十二，以法计之，得全七寸八分二毫四丝三忽，余小分四百三十二，除二百四十三为一忽，共前为四忽，余一百八十九，为七初半之，为七万七千六百七十二小分二百一十六，以法计之，得半三寸八分四厘五毫六丝六忽，余二百一十六，为八初。南吕十万三千五百六十三【小分四十五】全五寸二分三厘一毫六丝一初六秒。半、二寸、五分、六厘、七丝、五忽、一初、三秒。
以太蔟之一万一千三百二十四万六千二百八三分之每分三千七百七十四万八千七百三十六三分损一为七千五百四十九万七千四百七十二以七百二十九归之为下生南吕之十万三千五百六十三零小分四十五以法计之得全五寸二分三厘一毫六丝余小分四十五除二十七为一初余十八三为一秒为六秒半之为五万一千七百八十一小分五百二十二零五以法计之得半二寸五分六厘七丝三忽余五百二十二零五除四百八十六为二忽共前五忽余三十六零五除二十七为一初余九零五除九为三秒不尽【旧本四忽五初三秒今多六初】姑洗十三万八千八十四【小分六十】全七寸一厘二毫二丝二初二秒不用。半三寸四分五厘一毫一丝一初一秒。以南吕之七千五百四十九万七千四百七十二三分之，每分二千五百一十六万五千八百二十四三分益一，为一万六十六万三千二百九十六，以七百二十九归之，为上生姑洗之十三万八千八十四零小分六十，以法计之，得全七寸一厘二毫二丝余小分六十，除五十四为二初，余六为二秒【旧本一初二秒，今多一初】半之为六万九千四十二小分三十，以法计之，得半三寸四分五厘一毫一丝余小分三十，除二十七为一初，余三为一秒应钟九万二千五十六【小分四十】全四寸六分七毫四丝三忽一初四秒【余一筭】半、二寸、三分、三毫、六丝、六忽、六秒强、不用。以姑洗之一万六十六万三千二百九十六三分之，每分三千三百五十五万四千四百三十二三分损一，为六千七百一十万八千八百六十四，以七百二十九归之，为下生应钟之九万二千五十六零小分四十，以法计之，得全四寸六分七毫四丝三忽余小分四十，除二十七为一初，余十三除十二为四秒，不尽半之，为四万六千二十八小分二十，以法计之，得半二寸三分三毫六丝六忽余小分二十，除十八为六秒，不尽变律者，在正律之位，而非正律之声也。律所以变者，其故有三：其一，黄钟至尊，为君，不为他律所役。其十二律各自为宫，以生五声二变，共七声。黄钟、林钟、太蔟、南吕、姑洗、应钟六律，则能具足。如黄钟为宫，则林钟为徴，太蔟为商，南吕为羽，姑洗为角，应钟为变宫，蕤賔为变征。林钟为宫，则太蔟为征，南吕为商，姑洗为羽，应钟为角，蕤賔为变宫，大吕为变征。十二律中，自能具足五声二变，各得其正矣。至蕤賔、大吕、夷则、夹钟、无射、仲吕六律，则取黄钟、林钟、太蔟、南吕、姑洗、应钟六律之声，少下不和，故有变律。变律者，其声近正而少高于正律也。盖蕤賔为宫，则未免反取黄钟为变征；大吕为宫，则未免反取黄钟、林钟为变宫、变征。黄钟旣变，其次所生之律，若仍本律，则长不成曲，亦当变焉。如黄钟为商，则林钟之羽、太蔟之角、南吕之变宫、姑洗之变征，皆随而变；黄钟为角，则林钟之变宫、太蔟之变征，皆随而变。臣之从君，理固然也。其二，黄钟、林钟、太蔟、南吕、姑洗、应钟上六律长；蕤賔、大吕、夷则、夹钟、无射、仲吕下六律短。以上律役下律，则或正或半，通而和；以下律役上律，则或正或半，戾而不和。故以上律役下律，以下律役下律，皆不必变；惟以下律役上律，则必变其上律，使少短而与下律通也。其三，相生之法，至仲吕而穷，使不再生。六律则上律不能遍七声之用，下律亦无由而通。故以六三之乘仲吕之实，三分益一，复变而再生。黄钟之宫，因再生故，不及黄钟九寸之旧数，止得八寸有竒。其下相因而生五律，亦各于旧为减，皆数之自然也。太蔟、姑洗之全不用者，其律长相生所不及也；应钟之半不用者，数之穷也。故律止于六，至应钟而穷也。盖应钟之实六千七百一十万八千八百六十四，以三分之，每分二千二百三十六万九千六百二十一余。一，又不尽一算，数又不可行，此变律之所以止于六也。
古今律厯考巻二十九<子部,天文算法类,推步之属,古今律历考》>