钦定四库全书古今律厯考卷六十九明邢云路撰厯原三

钦定四库全书古今律厯考卷六十九明邢云路撰厯原三

厯原求黄赤道弧矢勾股割圆差率度。周天径一百二十一度七十五分少【少不用】半径六十○度八十七分半【又黄赤道大▯，又立勾股▯】黄赤道内外半弧背二十四度【所测就整】黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒。黄赤道大勾二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度二分六十八秒【又为立股】如问半弧背一度下，黄赤道矢度若干？答曰：「八十二秒【微以下不用】术曰：置半弧背，一度自之，得一度为半弧背幂。置周天径一百二十一度太自之得一万四千八百二十三度六分二十五秒为径幂【又为上廉】置二幂相乘，得一万四千八百二十三度○六二五，为正实。置径幂一万四千八百二十三度○六二五，以周径一百二十一度太乘之，得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五，为益从方。置半弧背一度，倍之得二度，以周径乘之，得二百四十三度五十分，为下廉。

初商八十秒置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度○六二五得一百一十八度五八四五以减益从方一百八十○万四千七百○七度八五九三七五余一百八十○万四千五百八十九度二七四八七五为从方置初商八十秒，自之得六十四微，以减下廉，余二百四十三度四九九九三六，以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉，并从方，共得一百八十○万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法，除正实，余实三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六【置秒自之得微者，葢八十秒自之原得六十四分，以万定分定万秒为分筭得微也，余同】

次商二秒置初商八十秒，倍之得一分六十秒，加次商二秒，得一分六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度○六二五，得二百四十○度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十○万四千四百六十七度七二五七六二五，为从方。置初次商八十二秒，自之得六十七微，加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下亷二百四十三度五十分，余二百四十三度四九九八六九，以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从亷，并从方共得一百八十○万四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八，为下法除余实，又余实二十五度四三八三【不足一秒不用，下同】是求得矢度八十二秒，即授时厯元所谓立天元一也。问黄道半弧背一度下赤道积度若干？

答曰一度○八分六十五秒术曰：置半径六十○度八十七分五十秒【又为黄赤道大▯】内减矢度八十二秒，余六十○度八六六八，为黄赤道小▯。置黄赤道小▯，以黄赤道大股五十六度○二分六十八秒乘之，得三千四百一十○度一七二○三○二四，以黄赤道大▯六十○度八七五而一，得五十六度○一分九十二秒，为黄赤道小股【又为赤道小勾】置矢度八十二秒，自之得六十七微。以周天径一百二十一度太而一，得五十五纤，为黄道半背▯差【微以下不用，下同】置黄道半弧背一度内减黄道半背▯差，余为黄道半弧▯【今黄道半背▯差在微以下，所以不减】即为黄道半弧▯。置黄道半弧▯一度，自之得一度，为▯幂。置黄赤道小股五十六度○一分九二，自之得三千一百三十八度一十五分○七六八六四，为股幂。置二幂相并，得三千一百三十九度一五○七六八六四，以平方法开之，得五十六度○二分八一，为赤道小▯【弧中以至黄道小勾股隅】置黄道半弧▯一度，以黄赤道大▯乘之，得六十○度八七五，以赤道小▯五十六度○二八一而一，得一度○八分六十五秒，为赤道半弧▯。置黄赤道小股五十六度○一九二【又为赤道横小勾】以乘黄赤道大▯六十○度八七五，得三千四百一十○度一六八八，以赤道小▯五十六度○二分八一而一，得六十○度八十六分五十三秒，为赤道横大勾。置半径六十○度八七五内减赤道横大勾六十○度八六五三，余九十七秒，为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒，自之得九十四微○九，以周天径而一，得七十七纤，为赤道背▯差。置赤道半弧▯一度○八分六十五秒，内加赤道背▯差，为赤道积度【今赤道背▯差在微以下不加】即为赤道积度。是求得赤道积度一度○八分六十五秒。问：半弧背二度下，黄赤道矢度若干？

答曰三分二十八秒术曰：置半弧背二度，自之，得四度，为半弧背幂。置周天径一百二十一度太，自之得一万四千八百二十三度○六二五，为径幂【又为上廉】置二幂相乘，得五万九千二百九十二度二五，为正实。置径幂一万四千八百二十三度○六二五，以周天径一百二十一度太乘之，得一百八十○万四千七百○七度八五九三七五，为益从方。置半弧背，倍之，得四度。以周天径一百二十一度太乘之，得四百八十七度，为下廉。

初商三分置初商三分乘上廉一万四千八百二十三度○六二五得四百四十四度六九一八七五，以减益从方一百八十○万四千七百○七度八五九三七五，余一百八十○万四千二百六十三度一六七五为从方。置初商三分自之得九秒以减下廉四百八十七度，余四百八十六度九九九一，以初商三分乘之，得一十四度六○九九七三为从廉，并从方共得一百八十○万四千二百七十七度七十七分七四七三为下法，除正实，余实五千一百六十三度九一六六七五八一。

次商二十秒置初商三分，倍之，加次商二十秒，得六分二十秒，乘上廉一万四千八百二十三度○六二五，得九百一十九度○二九八七五，以减益从方一百八十○万四千七百○七度八五九三七五，余一百八十○万三千七百八十八度八十二分九十五秒，为从方。置初次商三分二十秒，自之得一十○秒二四，加初商三分自之之数，得一十九秒二四，以减下廉四百八十七度，余四百八十六度九九八○七六，以前所得六分二十秒乘之，得三十○度一九三八八○七一二，为从廉，并从方共得一百八十○万三千八百一十九度○二三三八○七一二，为下法，除余实，又余实一千五百五十六度二七八六二九○五。

又商八秒置初次商三分二十秒，倍之得六分四十秒，加三商八秒，共得六分四十八秒，乘上廉一万四千八百二十三度○六二五，得九百六十○度五三四四五，以减益从方，余一百八十○万三千七百四十七度三二四九二五为从方。置初次三商三分二十八秒，自之得一十○秒七五八四，加初次商三分二十秒，自之得一十○秒二四，内共得二十○秒九九八四，以减下廉四百八十七度，余四百八十六度九九七九○○一六，以六分四十八秒乘之，得三十一度五五七四六三九三，为从廉，并从方得一百八十○万三千七百七十八度八八二三八八九三，为下法除余实，又余实一百一十三度二五五五。

是求得矢度三分二十八秒问：半弧背二度下，赤道积度若干？

答曰二度一十七分二十八秒术曰：置半径六十○度八七五【又为黄赤道大▯】内减矢度三分二十八秒，余六十○度八十四分二十二秒，为黄赤道小▯。置黄赤道小▯，以黄赤道大股五十六度○二分六八乘之，得三千四百○八度七九三七七○九六，以黄赤道大▯而一，得五十五度九九六六一二，为黄赤道小股【又为赤道小勾】置矢度三分二十八秒，自之得一十○秒七五八四，以周天径一百二十一度太而一，得八微八，为黄道半背▯差。置黄道半背二度内减黄道半背▯差，余为黄道半弧▯【今黄道半背▯差在微以下不减】即为黄道半弧▯。置黄道半弧▯二度，自之得四度，为▯幂。置黄赤道小股五十五度九九六六一二，自之得三千一百三十五度六二○五五五四七，为股幂。置二幂相并，得三千一百三十九度六二○五五五四七，以平方法开之，得五十六度○三二三一六，为赤道小▯【弧中以至黄道小勾股隅】置黄道半弧▯二度，以黄赤道大▯乘之，得一百二十一度七五，以赤道小▯五十六度○三二三一六而一，得二度一十七分二十八秒，为赤道半弧▯。置黄赤道小股五十五度九九六六一二【又为赤道横小勾】以乘黄赤道大▯六十○度八七五，得三千四百○八度七九三七五五五；以赤道小▯五十六度○三二三一六而一，得六十○度八三六二为赤道横大勾。置半径六十○度八七五内减赤道横大勾六十○度八三六二，余三分八十八秒，为赤道横弧矢。置赤道横弧，矢自之，得一十五秒○四六六四，以周天径而一，得一十二微，为赤道背▯差。置赤道半弧▯二度一十七分二十八秒，内加赤道背▯差，为赤道积度【今赤道背▯差在微以下，不加】即为赤道积度。是求得赤道积度二度一十七分二十八秒。置一度下积度一度○八分六十五秒，与二度下积度二度一十七分二十八秒相减，余一度○八分六十三秒，为黄道一度下赤道度率，后皆仿此。置一度下矢度八十二秒，与二度下矢度三分二十八秒相减，余二分四十六秒，为黄道一度下差率，后皆仿此。问：半弧背二十四度下，黄赤道矢度若干？

答曰四度八十四分八十二秒术曰：置半弧背二十四度，自之，得五百七十六度，为半弧幂。置周天径一百二十一度太，自之得一万四千八百二十三度○六二五，为径幂【又为上廉】置二幂相乘，得八百五十三万八千○百八十四度，为正实。置径幂，以周天径乘之，得一百八十○万四千七百○七度八五九三七五，为益从方。置半弧背，倍之，得四十八度，乘周径一百二十一度太，得五千八百四十四度，为下廉。

初商四度置初商四度乘上廉得五万九千二百九十二度二十五分，以减益从方，余一百七十四万五千四百一十五度六○九三七五，为从方。置初商四度自之得一十六度，以减下廉，余五千八百二十八度，以四度乘之，得二万三千三百一十二度，为从廉，并从方，共得一百七十六万八千七百二十七度六○九三七五，为下法，除正实，余实一百四十六万三千一百七十三度五十六分二十五秒，次商八十分。

置初商四度倍之得八度加次商八十分共得八度八十分乘上廉得一十三万○四百四十二度九五以减益从方余一百六十七万四千二百六十四度九○九三七五为从方置初次商四度八十分，自之得二十三度○四，加初商四度自之之数得三十九度○四，以减下廉，余五千八百○四度九六，以乘八度八十分，得五万一千○八十三度六四八，为从廉，并从方共得一百七十二万五千三百四十八度五五七三七五，为下法，除余实，又余实八万二千八百九十四度七一六六，又商四分置初次商四度八十分，倍之，加，又商四分，得九度六四，乘上廉，得一十四万二千八百九十四度三二二五，减益从方，余一百六十六万一千八百一十三度五三六八七五，为从方。置初次三商四度八十四分，自之得二十三度四二五六，加初次商自之之数，共得四十六度四六五六，以减下廉，余五千七百九十七度五三四四，以乘九度六十四分，得五万五千八百八十八度二三一六一六，为从廉，并从方，共得一百七十一万七千七百○一度七六八四九一，为下法，除余实，又余实一万四千一百八十六度六四五八六○三六。

又商八十秒置初次三商四度八十四分，倍之，加又商八十秒，共得九度六十八分八十秒，乘上廉，得一十四万三千六百○五度八二九五，以减益从方，余一百六十六万一千一百○二度○二九八七五为从方。置初次三四商四度八十四分八十秒，自之得二十三度五○三一○四，加初次三商自之之数，共得四十六度九二八七○四，以减下廉，余五千七百九十七度○七一二九六，以乘九度六八八，得五万六千一百六十二度○二六七一五六四八，为从廉，并从方共得一百七十一万七千二百六十四度○五六五九○六四八，为下法，除余实，又余实四百四十八度五三三四○七六三四八一六。

又商二秒置初次三四商四度八四八倍之加又商二秒共得九度六十九分六二以乘上廉得一十四万三千七百二十七度三七八六一二五以减益从方余一百六十六万○九百八十○度四八○七六二五为从方置初次三四五商得四度八四八二，自之得二十三度五○五○四三二四，加初次三四商自之之数，共得四十七度○○八一四七二四，以减下廉，余五千七百九十六度九九一八五二七六，以乘九度六九六二，得五万六千二百○八度七九二四○二七三一五一二，为从廉，并从方共得一百七十一万七千一百八十九度二七三一六五二三一五一二，为下法，除余实，又余实一百○五度○九五五五三。是求得矢度四度八十四分八十二秒。问：半弧背二十四度下，赤道积度若干？答曰：「二十五度七十七分五十二秒。」术曰：置周天半径内，减矢四度八四八二，余五十六度○二六八，为黄赤道小▯【即黄赤道大股】置黄赤道小▯与黄赤道大股相乘【今同即自之】得三千一百三十九度○○二三一八，以半径而一，得五十一度五六四七，为黄赤道小股。置矢度四度八四八二，自之得二十三度五○五，以周天径而一，得一十九分三，为黄赤道背▯差。在半弧背二十四度内减之余，二十三度八○七，为黄道半弧▯【又为黄赤道大勾】自之得五百六十六度七七三二四九，为▯幂。置黄赤道小股，自之得二千六百五十八度九一八二八六○九，为股幂，并▯幂共得三千二百二十五度六九一五三五○九，以平方法开之，得五十六度七十九分五十一秒，为赤道小▯【弧中以至黄道小勾股隅】置黄道半弧▯，以半径乘之，得一千四百四十九度二五一一二五，以赤道小▯而一，得二十五度五一七一，为赤道半弧▯。置黄赤道小股五十一度五六四七，以乘半径，得三千一百三十九度，以赤道小▯而一，得五十五度二六八八，为赤道横大勾，在半径内减之余五度六○六二，为赤道横弧矢，自之得三十一度四二九四七八四四，以周天径而一，得二十五分八十一秒，为赤道背▯差，加入赤道半弧▯内，共得二十五度七十七分五十二秒，为赤道积度。是求得赤道积度二十五度七十七分五十二秒。问：半弧背四十四度，下矢度若干？答曰：「一十六度五十六分八十二秒。」术曰：置周天径自之，得一万四千八百二十三度○六二五，为径幂【又为上廉】置半背四十四度，自之得一千九百三十六度，为半弧背幂。以乘径幂，得二千八百六十九万七千四百四十九度，为正实。置径幂以乘周天，径得一百八十○万四千七百○七度八五九三七五，为益从方。置半弧背，倍之，得八十八度，以乘周径，得一万○七百一十四度，为下廉。

初商一十度置初商乘上廉以减益从方，余一百六十五万六千四百七十七度二三四三七五为从方。置初商自之得一百度，以减下廉，余一万○六百一十四度，以初商一十度乘之，得一十○万六千一百四十度，为从廉，并从方，共得一百七十六万二千六百一十七度二三四三七五，为下法，除正实，余实一千一百○七万一千二百七十六度六五六二五，次商六度。置初商倍之得二十度，加次商六度，共得二十六度，以乘上廉，得三十八万五千三百九十九度六二五，以减益从方，余一百四十一万九千三百○八度二三四三七五为从方。置初次商得一十六度，自之得二百五十六度，加初商自之之数，共得三百五十六度，以减下廉，余一万○三百五十八度，以乘二十六度，得二十六万九千三百○八度，为从廉，并从方，共得一百六十八万八千六百一十六度二三四三七五，为下法，除余实，又余实九十三万九千五百七十九度二五。

又商五十分置初次商倍之加，三商五十分，共得三十二度五。乘上廉，得四十八万一千七百四十九度五三一二五。以减益从方，余一百三十二万二千九百五十八度三二八一二五，为从方。置初次，三商得一十六度五，自之得二百七十二度二五，加初次商自之之数，共得五百二十八度二五，以减下廉，余一万○一百八十五度七五，以乘三十二度五，得三十三万一千○三十六度八七五，为从廉，并从方，共得一百六十五万三千九百九十五度二○三一二五，为下法，除余实，又余实一十一万二千五百八十一度六四八四三七五。

又商六分置初次，三商倍之，加又商六分，共得三十三度○六，乘上廉得四十九万○○五○四四六二五，以减益从方，余一百三十一万四千六百五十七度四一三一二五为从方。置初次三四商得一十六度五六，自之得二百七十四度二三三六，加初次三商得一十六度五自之之数，共得五百四十六度四八三六，以减下廉，余一万○一百六十七度五一六四，以乘三十三度○六，得三十三万六千一百三十八度○九二一八四，为从廉，并从方共得一百六十五万○七百九十五度五○五三○九，为下法，除余实，又余实一万三千五百三十三度九一八一一八九六。

又商八十秒置初次三四商得一十六度五六，倍之加，又商八十秒，共得三十三度一二八，乘上廉得四十九万一千○五十八度四一四五，以减益从方，余一百三十一万三千六百四十九度四四四八七五为从方。置初次三四五商得一十六度五六八，自之得二百七十四度四九八六二四，加初次三四商得一十六度五六自之之数，共得五百四十八度七三二二二四，以减下廉，余一万○一百六十五度二六七七七六，以乘三十三度一二八，得三十三万六千七百五十四度九九○八八三三二八，为从廉，并从方共得一百六十五万○四百○四度四三五七五八三二八，为下法除余实，又余实三百三十○度六八二六三二八九三三七六。

又商二秒置初次三四五商倍之加，又商二秒，共得三十三度一三六二，乘上廉得四十九万一千一百七十九度九六三六一二五，以减益从方，余一百三十一万三千五百二十七度八九五七六二五为从方。置初次三四五六商得一十六度五六八二，自之得二百七十四度五○五二五一二四，加初次三四五商得一十六度五六八自之之数，共得五百四十九度○○三八七五二四，以减下廉，余一万○一百六十四度九九六一二四七六，以乘三十三度一三六二，得三十三万六千八百二十九度二四四五八九二六，为从廉，并从方共得一百六十五万○三百五十七度二四○三五一七六，为下法，除余实，又余实六十一分。是求得矢度一十六度五十六分八十二秒。问：半弧背四十四度下，赤道积度若干？答曰：「四十六度三十分八十五秒。」术曰：置周天半径，内减矢度一十六度五六八二，余四十四度三○六八，为黄赤道小▯。置黄赤道小▯，以乘黄赤道大股，得二千四百八十二度三六八二二二二四，以黄赤道大▯而一，得四十○度七七八一，为黄赤道小股。置矢度一十六度五六八二，自之得二百七十四度五○五二五一二四，以圆径而一，得二度二五四六，为黄赤道背▯差，以减半弧背四十四度，余四十一度七四五四，为黄道半弧▯【又为赤道小股】自之得一千七百四十二度六七八四二一一六，为▯幂。置黄赤道小股四十○度七七八一，自之得一千六百六十二度八五三四三九六一为股幂，并▯幂共得三千四百○五度五三一八六○七七，以平方法开之，得五十八度三五六九为赤道小▯【弧中以至黄道小勾股隅】置黄道半弧▯四十一度七四五四，以乘半径，得二千五百四十一度二五一二二五，以赤道小▯而一，得四十三度五十四分六十七秒，为赤道半弧▯。置黄赤道小股四十○度七七八一【又为赤道小勾】乘半径得二千四百八十二度三六六八三七五，以赤道小▯而一，得四十二度五十三分七六为赤道横大勾，以减半径，余一十八度三三七四为赤道弧矢，自之得三百三十六度二六○二三八七六，以圆径而一，得二度七六一八为赤道背▯差，加入赤道半弧▯内，共得四十六度三○八五为赤道积度。是求得赤道积度四十六度三○八五。

以新法密率推周天径一百一十六度八十四分五十秒【就整】黄道内外半弧背二十四度【所测就整】黄赤道大▯五十八度四十二分二十五秒【即半径又名勾股▯】黄赤道弧矢五度○五分八十秒。黄赤道大句二十三度七十七分八十五秒【即半弧▯】黄赤道大股五十三度三十六分四十五秒【以矢减大▯得】问黄赤道内外二十四度为半弧背，为矢若干？

答曰五度○五分八十秒术曰：置半弧背，自之，得五百七十六度，为半弧幂。置周天径一百一十六度八十四分五十秒，自之，得一万三千六百五十二度七五四○二五，为径幂【又为上廉】置径幂，以半背弧幂乘之，得七百八十六万三千九百八十六度三一八四，为正实。置径幂，以周天径乘之，得一百五十九万五千二百五十六度○四四○五一一二五，为益，从方。置周天径以倍半弧背得四十八度为全弧背乘之得五千六百八十八度五六为下廉。

置初商五度以因上廉得六万八千二百六十三度七七○一二五以减益从方余一百五十二万六千九百九十二度二七三九二六一二五为从方置初商五度，自之得二十五度，以减下廉，余五千六百六十三度五六，以初商五度因之，得二万八千三百一十七度八，为从廉，并从方，共得一百五十五万五千三百一十○度○七三九二一二五为下法，以除正实，得五度，余实八万七千四百三十五度九四八七六八九三七五。置初商五度，倍之得十度，加次商五分，共得一十○度○五分，以乘上廉，得一十三万七千二百一十○度一七七七八六五，以减益从方，余一百四十四万八千○四十五度八六六二六四六二五为从方。置初次商五度○五分，自之得二十五度五○二五，以加初商自之之数二十五度，共得五十○度五○二五，以减下廉，余五千六百三十八度○五七五，以倍初商加次商一十○度○五分，乘之得五万六千六百六十二度四七七八七五，为从廉，以并从方得一百五十○万四千七百○八度三四四一九六二五，为下法，以除余实，得五分，余次余实一万二千二百○○度五三一五六一九五六二五。置初次商倍之得一十○度一十○分，再加再商八十秒，共得一十○度一十○分八十秒，以乘上廉，得一十三万八千七百二十二度○三七六八四七，以减益从方，余一百四十五万六千五百三十四度○○六三六六四二五为从方。置初次，再三商五度○五八自之，得二十五度五八三三六六四。再加初次商自之之数二十五度五○二五，共得五十一度○八五八六四。以减下廉，余五千六百三十七度四七一三六。以初次商倍之，再加再商之数，共一十○度一十○分八十秒，乘之得五万六千九百八十三度五八八七九四○四，为从廉。以并从方，共得一百五十一万三千五百一十七度五九五六○四六五。以除次余实，得八十秒，余再次余实九十七度一七四八五八二七五三。置黄赤道大股，自之得二千八百四十七度七六九八六○二五，为股幂。置黄赤道大▯，自之得三千四百一十三度一八八五○二五，为▯幂。置二幂相减，余五百六十五度四一八六四六，以平方法开之，得二十三度七十七分八十五秒，为大句【又为立句】右二法，前乃授时旧法，后乃新推密率。且如黄钟之率，推者非一。古率围三径一，魏刘徽以一百五十七之五十为密率，宋祖冲之以二十二之七为密率，皆未善也。须以圆取实，量圆中求径，乃得真率。圆径相取，皆三一二六为率，虚实积取率，皆十三为准。以此步筭，周天三百六十五度二十五分七十五秒，得周天径一百一十六度八十四分五十秒弱。较授时所用围三径一之古法，差四度九十分有奇，径差则矢句股▯皆差矣。虽曰围三径一与新推密率以步割圆分，至于碎数亦相符，然围三径一非正法也。须密率所求，方为正法。