八九六为己庚四十五

○八九六为己庚四十五

分弧正▯己辛也三分之得己寅○度○○四三六三三为十五分弧略大线加己辛【即未丑】得壬丑○度○一七四五二八为一度弧略大之正▯次于甲癸线内减己辛【即戊癸】余戊甲亦三分之得丙戊○度○○四三六二四为十五分弧略小线加戊癸得丙癸○度○一七四五二即丁午也为丁庚一度略小弧之正▯夫大小两▯其差八数为壬亥半之得四壬申也【申亥同】加小减大得乙子○度○一七四五二四为乙庚一度之正▯若求其通▯用正▯与正矢为句股求之【此薛仪甫歴学防通法】再细求一度正▯【系作枚法】前四十五分弧之正▯○度○一三○八九六，法以四十五分半之为廿二分三十秒，求其正▯得六五四四九，又半之为十一分十五秒，求得正▯三二七二四五。夫廿二分三十秒之弧倍于十一分十五秒，而其▯亦倍，则知二十分以内之弧正▯若平分数【纵有叅差，非算所及】法以廿二分三十秒为一率，正▯六五四四九为二率，十五分为三率，得四率十五分正▯○度○○四三六三二六。次以十五分正▯与四十五分余▯○度九九九九一四三相乗得○度○○四三六二八八六○六八六为先数。以十五分余▯○度九九九九九○四八与四十五分正▯○度○一三○八九六相乗得○度○一三○八九四七五三八为后数【相乗之理见表法六】两数相并得○度○一七四五二三六一四五为一度正▯与薛书略同，但此法似宻论曰：弧与▯非平分数，然一度以内，弧▯相切，曲直之分，所差极微，故可以中比例法求也。按上七根所求者，皆各弧之通▯。表中所列，俱正▯。葢论割圆，必以通▯便算，则惟正▯。然正▯即通▯之半，全与分之比例等，其理一也。

作表之法有七用上根数于大圆中，求七弧之通▯以为造端之始；而各度之▯尚无从可得。爰立六种公法：或折半，或加倍，或相总，或相较，转辗推求，以得象限内各度之正▯葢上诸法乃其体，此则其用也。二者相资，表以成焉。表法一有一弧之正▯，求其余▯及半本弧之正▯与余▯。解曰：如图，甲为圈心，乙丙戊弧为全圈四之一【九十】乙甲戊甲俱半径。设有戊丁丙弧，其正▯为丙庚，即从丙作丙甲线，成丙庚甲直角形。法：甲丙全数上方减丙庚正▯上方，余开之得甲庚，与丙辛等，即丙戊弧之余▯也。又用甲庚减甲戊半径，得庚戊矢。又作丙戊线，成丙庚戊直角形。法：庚戊矢上方与丙庚上方并，开方得丙戊，为戊丁丙弧通▯半之，得丙己或戊己，即半本弧丙丁或丁戊之正▯。又以丙甲己形【戊甲己形同】用句▯求股。术求己甲得半本弧之余▯【癸丙等】若再以丙己、丁己二边求丙丁▯半之。又得半丙丁弧之正▯余仿此逓求。

之论曰：丙戊弧既平分于丁，其丙戊▯。亦必平分于巳，故半丙戊为半本弧。之正▯试作丁甲壬象限，则丙己正▯己甲余▯尤了然矣。表法二，有一弧之正余▯求其倍本弧之正▯与余▯解曰：甲丙象限内，设有甲戊弧，其正▯戊己，余▯己乙。今求倍甲戊之甲丁弧正▯丁癸，与余▯癸乙。法先作丁甲线，为丁戊甲倍弧之通▯此线必为乙戊线平分。于壬，则壬；甲亦为甲；戊弧正▯与。戊、己等，丁、壬亦等。夫壬、甲既等，戊。己则其余，▯壬乙亦必等己，乙法。用己、戊、乙、庚、壬、乙两形，乙戊全数。与戊巳正▯若乙壬，余▯【即乙己】与壬庚，而壬庚即辛癸，倍之得丁癸为倍弧，甲丁之正▯。论曰：乙戊己乙壬甲两形相等，戊乙等甲乙，戊己等甲壬，己乙等壬乙，故壬乙得为余▯。又乙戊己乙壬庚两形相似，故第四率可求壬庚【即辛癸】而壬庚必为丁癸之半，以丁癸甲直角形，丁甲▯既平分于壬，从壬作壬辛垂线，亦必平分其股于辛也。故倍癸辛得丁癸为倍弧。甲戊丁正▯，又壬庚线亦平分甲癸句于庚，用甲壬庚形，依句股术求甲庚，倍之以减甲乙，存癸乙或丁子，即倍弧之余▯也。表法三，求象限内六十度左右距等弧之正▯解曰：六十度左右距等弧之正▯与其前后弧两正▯之较等。如图，乙丙象限内，设丙戊为六十度【不动】有丙己小弧【须在三十度以上】丙巳丁大弧。其大弧与丙戊六十度之较戊丁，令与丙己小弧与戊丙六十度之较戊己等。其大小两弧正▯一为己辛，一为丁庚，相较为丁癸。此丁癸与己壬、丁壬等，则丁癸为戊丁、戊己距等弧之正▯壬甲为余▯论曰：试从巳向子作巳子线，则丁巳子为三边等形。何则？形中壬子丁、壬子己两形相等【丁子壬、己子壬两角本等，又同用壬子边，则两形自等】而丁子壬角与乙甲戊角等【以丁庚与乙甲平行故】为三十度【乙甲戊为丙戊甲角六十度之余】则丁子巳角为丁子壬之倍，必六十度。又丁子壬、巳子壬两角等，则其余壬丁子、壬巳子二角亦必各六十度，而与丁子巳角等，则丁子巳为平边三角形，夫丁子巳，既为平边。三角形，其巳癸垂线，必平分丁子。于癸子壬，垂线必平分丁巳于壬。两分之丁癸，与丁壬必等，而丁癸。乃己丙丁丙大小二弧两正▯【一巳辛一丁庚】之较。按此须先求得象限内六十率之正▯，依上法可求左右三十率之正▯。外此即不可用，以六十度之余止三十度故也。表法四，任设两弧之正余▯求两弧并及较弧折半之正▯解曰：戊壬象限内，任设不齐之两弧，一置在上，如戊丙。一置在下，如丁、壬中间所容，丙、丁。弧即戊丙丁壬两弧并之余，今求。半丙丁，弧丙乙【丁乙同】之正▯法作。丁、壬弧正，▯丁、辛余，▯丁、癸戊丙。弧正▯丙壬【即癸己】余▯丙子，又作丙丁线为较弧之通▯，成丙己丁直角形。次以丁壬弧正▯【丁辛巳子同】减戊丙弧，余▯【丙子】得丙己为股；丁壬弧余▯【丁癸】减戊丙弧正▯【癸己】得丁己为句。句股求▯得丙丁邉，半于庚，得丙庚或庚丁为丙丁半弧，丙乙之正▯。

巳上俱系厯书原法表法五，有一弧之正▯，求倍本弧之矢，因得余▯。解曰：设戊乙弧，其正▯乙丁，戊丙为戊乙弧之倍，其正▯丙己，正矢戊己，丙戊为倍弧通▯，半于辛，其辛戊与乙。丁等法用戊丙己、戊辛甲两直角。相似形【二形同用戊角故相似】甲戊与戊辛。若丙戊与戊己倍弧矢，夫四率之。理二三相乗之矩，内形与一四相乗之矩等，则丙戊乗辛戊，即甲戊乗戊己。而丙戊乗辛戊所得矩形，为辛戊上方形之倍【戊辛自乗得辛庚方，倍之为丙庚矩，即丙戊与戊庚相乗之幂也，戊庚即戊辛】而全数【甲戊也】又省一除，故以乙丁正▯【即辛戊】自乗倍之退位，即得戊己倍弧矢，用减半径，得倍弧余▯己甲。若反之，以戊己矢折半进位开方，即得半本弧之正▯【丁乙】此孔林宗术，勿庵称为正▯简法，余作此图以着其理。表法六任设不齐之两弧求两弧相并之正▯及相较之正▯解曰：寅巳未圏，甲为心，寅巳为一象限。设寅已弧内有己辛弧若干度，为前弧；又有己戊弧小于己辛，为后弧。戊子为后弧正▯，子甲其余▯；午辛为前弧正▯，午甲。

其余▯次取辛丑弧与己戊后弧等则己戊丑为前后两弧之并弧丑亥即并弧之正▯次作丑壬线为丑辛弧正▯与戊子等其余▯壬甲，亦与子甲等；辛壬亦与子巳等。法用甲午、辛甲、壬丁二相似形，以后弧之余▯壬甲，因前弧之正▯辛午，全数【甲辛】除之，得壬丁为初数【卯亥等】寄位。次用甲辛午丑壬卯二相似形【甲辛午形之辛角与丑乙辛角等，因丑壬乙为直角，其丑壬卯角亦与丑乙壬角等，则亦与甲辛午角等；又二形之卯午俱为直角，则两形相似】甲辛与甲午若丑壬与丑卯，则以前弧之余▯甲午，因后弧之正▯丑壬全数【辛甲】除之得丑。

卯为次数末以五卯与初数卯亥相并得丑亥为已戊丑两弧相并之正▯　若求两弧相较之正▯法，以后弧丑壬，正▯引长之抵圈界于癸，则丑癸为丑辛癸弧之通▯。因壬防为直角，其癸壬与丑壬必等。因得丑辛癸辛两弧亦等。夫丑辛弧原与戊巳后弧等，则辛癸与戊己弧亦等。即以辛癸减辛己前弧，得癸己为两弧之较。癸庚即较弧之正▯。癸酉其余▯法，用丑辰癸形。此形内之癸申、壬丑、卯壬二直角形相等【丑癸辰句股形，丑癸▯既平分于壬，则从壬作壬卯、壬申二垂线，亦必平分丑辰句于卯，癸辰股于申，而癸申、壬丑、卯壬两形必等】因得壬申即丑卯次数【壬申等卯辰，卯辰即丑卯】用以减初数壬丁，存申丁，即癸庚也。为较弧癸巳之正▯，亦与戊辛弧正▯等。若两弧相并在象限外，如次图巳寅丑弧，理亦同【钤记同前】有不齐之两弧，求相并相较弧正▯，又法。法曰：两弧【小甲丙大甲戊】相并，曰总弧【甲癸】相减，曰多弧【戊丙】置大小两弧，以大弧正▯【戊辛】因小弧较▯【子庚】曰先数【庚乙】以大弧较▯【辛庚】因小弧正▯【庚午】曰后数【午未】视两弧在象限内者，以后数【亥壬】减先数【亥丙也，以午亥丙形与庚乙子形等故】为多弧正▯【壬丙】以后数卯丑加先数【丑已，以庚巳丑形与庚乙子形等故】为总弧正▯【卯巳也，以卯午巳形与庚酉癸形等故，卯己即酉癸】若两弧过象限者，加减各异。

又或置大小两弧【同上】以大弧正▯【戊辛】因小弧正▯午庚曰先数【庚未】以大弧较▯【庚辛】因小弧较▯【庚子】曰后数【子乙】视两弧在象限下，以后数【午亥】加先数，得多弧较▯【壬庚】以后数【庚丑】减先数【庚未】得总弧较▯【丑未，即午卯，亦即庚酉】若两弧象限内外不等，加减亦异。此法详《三角会编》五卷，梅勿庵先生《环中黍尺》亦着其法，然彼所论者弧三角形，此则平圆中求正▯也。表法七，圆内有五通▯错互成四不等边形，求不知一弧之通▯解曰：甲为圆心，戊庚为圆径，戊丙、丙丁、丁庚俱为通▯成戊庚、丁丙四不等形，丁戊、丙庚为对角线法。丁戊偕丙庚相乗之矩形，内减丁庚偕丙戊相乗之矩形，余为戊庚与丙丁相乗之矩形。葢丁庚、丙戊相乗之矩与戊庚、丁丙相乗之矩，并与丁戊、丙庚两对角线相乗之矩。

等也若有丙戊丁庚戊庚丙庚丁戊五通▯用此可得丙丁弧之通▯论曰庚戊丁形与庚丙丁形其戊丙两角等【同乗丁庚弧故】若以丙丁▯引至己作庚己丙直角形，则庚戊丁、庚己丙两直角形相似。庚戊与戊丁若庚丙与丙己。夫四率之理，二三相乗矩形与一四相乗之矩等，则庚丙与丁戊相乗所得即庚丙与丙己相乗之己壬矩也【取己癸与庚戊径等】次作丁辛线与己癸平行割圈于子，其子庚弧与丙戊弧等。何则戊丁庚为直角，丙丁子亦为直角，同用戊丁子角【子戊弧】则丙丁戊、庚丁子两角必等，其所乗之丙戊、庚子两弧亦等矣。因得庚子边即丙戊通▯又庚子丁角与庚戊丁角等【同乗丁庚弧故】于庚作庚乙垂线与己丙平行，成子庚乙直角形与庚戊丁直角形相似。戊庚与庚丁若子庚与庚乙，依四率之理，庚子【即丙戊】与丁庚相乗所得即庚戊与庚乙相乗之己辛矩也【丁辛即庚戊，己丁即庚乙】用以减己壬矩形，余丁壬矩形乃庚戊与丁丙相乗之幂，故以庚戊除之得丁丙为丁丙弧之通▯若戊丙丁庚，非半圈【或大或小，不论】则庚戊为戊、丙、庚弧之通▯，理亦同，但己、壬为斜方形，如上图，戊、丁、庚为小半圈成己壬，斜方其庚乙线不。与丁己平行法作己庚乙角令与丁己庚角等，则腰间相对；丁乙二角亦等，因得庚乙丁己为等边。而庚乙子钝角，为丁乙庚之余，与丁己庚角自等，亦即与圆内戊丁庚角等。而庚乙子、庚戊丁为相似形，庚乙即丁己。此上古多罗某法，诸书未有能言其故者，得余此图，庶不昧古人精意。已上二法，系余所增。用上七法交互推求，可得象限内各度之正▯细推之，又可每隔十五分【四分度之一】得一正▯十五分以下，用中比例法，以十五分正▯为实，十五为法而一，得一分之正▯逓加之，得每度内各分之正▯立割圆表。又此正▯算一象限，巳足以适满一直角故也。

求切线角线矢线割圆正▯而外又有切割矢三线，并正▯为四线，合其余为八线。葢以八线凖一弧，弧之曲度得其真矣。切线止切圈，以一防全在圏外；割线从圈心过，规半在内，半在外；正▯与矢全在圈内。如图，甲为圈心，庚丁为象限，庚甲、丁甲俱半径。设有庚乙正弧，即戊乙为正▯乙辛【戊甲同】为余▯次于圏外作庚己线，与戊乙平行，切圈于庚；又从甲心过所截弧乙防，作甲己线，与庚己交于己，成甲己庚直角形。此己庚为乙庚弧正切线，己甲其正割线也。而甲己庚直角形与圆内戊甲乙形相似，甲戊与戊乙若甲庚与庚己，故以余▯除正▯半径因之得本弧正切。又戊甲与甲乙若庚甲与甲己，故以余▯除半径全数因之得本弧正割。以戊甲余▯减甲庚半径，得庚戊本▯正矢。此皆庚乙弧相当之线也。夫庚乙既为正弧，则乙丁为余弧。作乙辛线为余弧之▯作丙丁线切圏于丙，为余弧之切。甲乙引出之遇于丙，甲丙为余弧之割。成甲丙丁直角形，与圆内甲乙辛形相似，甲辛与辛乙若甲丁与丁丙得余切甲辛与甲乙若甲丁与甲丙得余，割乙戊【即甲辛】正▯。

减甲丁半径得辛丁余矢此又丁乙，余弧相当之线也。一正一余，共有八线。若或以丁乙为正弧，即庚乙反为余弧，其八线正余之名亦互易。葢此为正，彼自为余耳。论曰：庚乙正弧之各线，为甲庚己、甲戊乙两句股形所成；乙丁余弧之各线，为甲丁丙、甲辛乙两句股形所成。而甲庚己形与甲丁丙形相似【一为顺句股，一为倒句股】又圆内之乙甲辛、甲戊乙二句股形，俱自相似，亦与甲丁丙、甲庚己二形相似。是庚乙弧相当之线，成相似之直角形。四设算可以用正，亦可以用余，是一弧而能兼用八线。此八线表所由名也。按表中不列矢线者，以矢线用正余▯减半径即得，且不常用，故省之。又按割圆之难，全在求正▯，若切割线俱以比例得之。

附求割线省法【用加减算】如乙己弧为二十度，其切线乙戊，求割线甲戊。法先以余▯己丙七十度半于丁，得丁己三十五度，丁丙等次。

以戊乙切线引长之令与戊甲等作甲戊辛两腰等三角形而乙庚弧必与丁丙等即查乙庚弧之切，乙辛并乙戊，得戊辛，即甲戊割也。解曰：乙庚弧何以与丁己弧等？葢甲辛戊既为两腰等三角形，则甲角之己庚弧必为丙己余弧【己壬也】之半。壬庚与己庚等，而庚防居己壬弧之中。夫丙己与己壬并等两直角，则己庚弧之不满直角者必为丙己之半。今丙己既半于丁，则以丁己益己庚，丁甲庚必为直角，而乙甲丙亦直角也。共用乙甲丁角【或丁乙弧】则丙己与乙庚等。求矢线，余▯减半径，得正矢；正▯减半径，得余矢。求切线，余▯除正▯，半径因之，得正切；正▯除余▯，半径因之，得余切。求割线，余▯除半径，半径因之得正割；正▯除半径，半径因之得余割。按圆内▯矢二线，当正弧初度，则无九十度极大，即半径。圈外切割二线，切线当正弧初度，亦无割线，即半径。至九十度俱极大，且切与割平行，不能相遇，名曰无穷之度。然至此亦无切割之可言矣。惟将近九十度，防有极大之切割线。

定八线正余之界庚戊丙半圆甲为心戊丙为象限设丙乙正弧在九十度内则乙壬为正▯壬丙为正矢甲丁为正割丙丁为正切其戊乙，余弧乙己，为余▯己。戊为余矢，甲辛为余割，戊辛为余。切若设庚、戊、乙为正弧，在九十度。外亦以乙壬为正▯丁丙为正切。甲丁为正割，壬丙为正矢，而庚壬亦为正矢，又名大矢。其余弧仍用戊乙【非乙丙】在庚戊象限之外。乙己为余▯，戊己为余矢，戊辛为余切，甲辛为余割。葢乙壬正▯为丙乙、庚乙两弧共用，故总以戊乙为余弧也。凡算三角形，取用正余诸线，以此为凖。

厯算全书卷五十五<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书