环中黍尺卷五之六

环中黍尺卷五之六

加减捷法用加减，则乗除省矣。今惟用初数，则次数亦省。又耑求矢度，省余▯，则角之锐钝得矢自知，边之大小加较即显，无诸拟议之烦，故称捷法。如法角旁两弧度相加为总，相减为存。视总弧过象限，以总存两余▯相加，不过象限则相减，并折半为初数。若总弧过两象限，与过象限法同【其余▯仍相加】过三象限，与在象限内同【其余▯仍相减】若存弧亦过象限，则反其加减【总弧过象限或过半周宜相加，今反以相减；若总弧过于三象限宜相减，今反以相加】并以两余▯同在一半径相减，不然则加也。总存两余，▯同在，一半径当相减，折半图。

乙丁丙三角形丁为钝角丙卯为总弧其正▯卯戊余▯戊己　庚丙为存弧其正，▯庚壬余，▯壬巳。两余▯同在丙已，半径宜相减【壬巳余▯内减戊巳，成戊壬】折半为初数，丑壬【即甲庚，亦即未酉】总存两余▯分在两半径，当相加，折半图。

乙丁丙形　丁为锐角庚丙为总弧其正弧庚壬余▯壬巳　卯丙为存弧其正▯卯戊余▯戊、已径两余▯分，在丙巳、子巳两半径宜相加【以戊巳加壬巳成壬戊】折半为初数，丑戊【即甲酉，亦即未卯】三边求角，初数恒为法，以两矢较乗半径为实，法为初数，与两矢较若半径与角之矢也。一，初数【即角旁两正▯相乗半径除之之数，今以加减得之】二，两矢较【或两俱正矢，或两俱大矢，或存弧用正矢，对弧用大矢】

三　半径四角之矢【正矢，角锐；大矢，角钝】角求对边，则以初数乗角之矢为实，半径为法。法为半径与角之矢若初数与两矢较也。

一　半径二　角之矢【或正矢或大矢】

三　初数四两矢较【并以较加存弧矢为对弧矢加满半径以上为大矢，其对弧大，不满半径为正矢，其对弧小】

乙丁丙形　三边求丁角小边乙丁【正▯卯辛】大边丙丁【正▯壬丙】初数卯癸【两正▯相乗半径除之也】

今改用加减两余▯相减【余房戊】折半得。丑戊即初数，卯癸【与先所得同】

一系总弧过半周而存弧亦过象限，则余▯相减法为卯癸初数与两矢较，牛乙若卯辛正▯【距等半径】与乙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢，酉子。

一　初数　　卯癸【即丑戊】

二　两矢较　牛乙【即房甲】

三　半径　　寅巳四　角之大矢酉子若先有丁钝角，而求乙丙对边，则反用其率。

一　半径　　寅巳二　角之大矢酉子三　初数　　卯癸四　两矢较　牛乙以所得两矢较，加存弧大矢，房丙得大矢，甲丙。

乙丁丙形三边求丁角小边乙丁【正▯乙辛】大边丙丁【正▯戊壬】

初数戊癸今用加减两余▯相减【余辰甲】折半得辰。

丑即初数戊癸对弧【乙丙】大矢斗乙存弧，大矢甲乙【两矢较斗甲】法为初数戊癸与两矢较斗甲若戊壬正▯【距等半径】与丙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢酉子。

一　初数戊癸【即丑甲】

二　两矢较　斗甲三　半径　　寅巳四　角之大矢酉子论曰：此移小边于外，周如法求之，所得并同，其故何也？先有之角及角旁二边并同，则诸数悉同矣。然则句股之形不同，何也？曰：前图是用乙丁小弧之正▯为径分大矢之比例，则所用句股是丁丙大弧之正▯此图是用丁丙大弧正▯为径分大矢比例，则所用句股是乙丁小弧正▯故句股形异也。然句股形既异，而所得初数何以复同？曰：此三率之精意也。初数原为两正▯相乗半径除之之数；前图用大弧正▯偕半径为句与▯而小弧正▯用为大矢分径之比例，是以大弧正▯为二率，而小弧正▯为三率也。今改用小弧▯为二率，大弧▯为三率，而首率之半径不变，则四率所得之初数亦不变也，又何疑焉！一系角旁二弧，可任以一弧之正▯为全径，上分大小矢之比例，其余一弧之正▯即用为句股比例，不拘大小同异，其所得初数并同。又论曰：以句股比例言之，则戊庚通▯为▯【即距等圏全径】戊女倍初数为句【即总存两余▯相加减之数】一也。戊壬正▯为▯，则戊癸初数为句，二也。丙庚为▯【通▯之大分，即距等大矢】则斗甲两矢较为句【即丙房】三也。丙壬为▯【正▯之分线，即距等余▯】则斗丑为句【对弧余▯内减次数，丑巳得斗丑，亦即丙牛】四也。戊丙为▯【正▯之分线，即距等小矢】则午戊为句，五也。以全与分之比例言之，则戊庚为距等全径与寅子全径相当一也，戊壬正▯为距等半径当寅巳半径二也，丙庚如距等大矢，当酉子大矢三也，丙壬如距等余▯，当酉巳余▯四也，戊丙如距等小矢，当寅酉正矢五也。一系初数恒与角旁一弧之正▯为句股比例，其正▯恒为▯，初数恒为句，而其全与分之比例俱等，又即与员半径上全与分之比例俱等，若倍初数即与全员径上大小矢之比例等。一系角旁两弧，任以一弧之正▯为径，上全与分之比例，初数皆能与之等。若先有丁钝角，求对边乙丙，则更其率。

一　半径　　巳子二　丁角大矢酉子三　初数　　丑甲四　两矢较　斗甲以四率斗甲加存弧大矢乙，甲成斗乙为对弧大矢，内减巳乙半径，得斗巳为对弧余▯，捡表得未丙弧度，以减半周，得对弧丙乙度。

乙丁丙形　三边求丁角乙丁边【九十五度】丁丙边【一百一十二度】乙丙对弧【一百一十九度】总弧丙未二百○七度，余▯辛巳八九一○一。存弧丙戊一十七度，余▯壬巳九五六三○。两余▯相加辛壬一八四七三一。初数卯亥【即半辛壬丑辛】九二三六五。

对弧大矢癸丙一四八四八一存弧正矢壬丙　　四三七○两矢较癸壬　一四四一一一法曰：卯亥【即丑辛】与癸壬若。

未亥与乙戊亦必若庚巳与甲子一　初数　卯亥　　　九二三六五二　两矢较癸壬　　一四四一一一三　半径　庚巳　　一○○○○○四　角之矢申子　　一五六○二二四率大于半径，为大矢，其角钝，法当以半径一○○○○○减之余五六○二二为钝角余▯，捡表得余▯度五十五度五十六分，以减半周为丁角度。依法求到丁钝角一百二十四度○四分。论曰：试作辰戊线，与倍初数辛壬平行而等，又引未辛【总弧正▯】至辰，成未辰戊句股形。又引牛乙癸【对弧正▯】至寅，作亥丑线，引至斗，各成句股形而相似，则其比例等。一未辰戊大句股，以辰戊倍初数为句，未戊通▯为▯一乙寅戊次句股，以寅戊两矢较为句，乙戊【距等大矢】为▯一【未卯亥亥斗戊】两小句股，并以【卯亥斗戊】初数为句【未亥亥戊】正▯为▯辰戊倍初数与寅戊两矢较，若未戊通▯与乙戊距等大矢，是以大句股比小句股也。卯亥初数与癸壬两矢较，若未亥正▯与乙戊距等，大矢是以小句股比大句股也。用亥斗戊形比乙寅戊，其理更着。又未戊通，▯上全与分之比例，原与全，员径上全与分之比例等，故三者之比例可通为一也。【一、大句股截数种小句股，故又为全与分之比例】仍用全图，取乙、丁、女形，求丁鋭角。乙丁边【九十五度】女丁边【六十八度】女乙对弧【六十一度】总弧女戊【一百六十三度】余▯【壬巳】九五六三○存弧女未【二十七度】余▯【辛巳】八九一○一。两余▯并【辛壬】一八四七，三一初数，卯亥九二，三五六。

一　初数　卯亥　九二三六五二　两矢较癸辛　四○六二○三　半径　巳庚一○○○○○四角之矢申庚四三九七七【以减半径得丁角余▯入表得丁角度】依法求得丁鋭角五十五度五十六分。

辛丁乙形三边求丁角辛丁边五十度一十分，乙丁边六十。

总弧卯辛一百一十度一十分余▯庚丙二四四七五存弧戊辛九度五十分余▯子丙九八五三一余▯并子庚一三三○○六初数子午【即戊癸】六六五○三。

辛乙对弧八十度对弧矢辛酉　八二六三五存弧矢辛子　一四六九两矢较子酉　八一一六六一　初数　　子午　六六五○三二　两矢较　子酉　八一　一六六三　半径　　壬丙一○○○○○四，丁角大矢壬甲一二二○五○【用余▯入表得丁外角减半周得丁角度】依法求到丁钝角一百○二度四十四分。论曰：此如以日髙度求其地平上所加方位也。乙为太阳，乙甲其髙度，其余度丁乙，日距天顶也。亥乙赤道北纬，辛乙为距纬之余，即去极纬度也。辛壬为极出地度，其余辛丁，极距天顶也。所求丁钝角百○二度，太距正北壬之度，外角七十七度少，距正南巳之度也。算得太阳在正东方过正卯位一十二度太。乙丙辛形有【辛丙三十三度辛乙百卅二度】对弧乙丙【百八度】求辛角总弧【丙壬】一百六十五度余▯【己戊】九六五九三存弧【丙庚】九十九度余▯【己甲】一五六四三，两余▯相减，余【戊甲】八○九五○。初，数甲丑四○四七五，对弧大矢酉丙一三○九○二。

存弧大矢甲丙一一五六四三两矢较甲酉　一五二五九一初数甲丑　四○四七五二两矢较甲酉一五二五九三半径申巳一○○○○○四角之矢未申三五三五二得辛鋭角四十九度二十八分恒星岁差算例老人星，黄道鹑首宫九度三十五分二十七秒，为庚角【康熈甲申年，距厯元戊辰七十七算，毎年星行五十一秒。讣行一度○五分二十七秒，以加戊辰年经度鹑首。

八度三十分得今数】

黄道南纬七十五度　距黄极一百六十五度为庚辛边　用巳庚乙三角形【一角二边】求对弧巳乙【赤纬】

余▯较丁甲二○六六一初数甲戊一○三三○庚角正矢申酉　一三九八一　半径　　申丙一○○○○○　　大矢内减半径二　庚角矢　申酉　　一三九八　　取余▯检表得三　初数　　甲戊　一○三三○　　三十八度廿三四　两矢较　甲丑　　　一四四　分半以减半周加存弧大矢巳甲一七八二三四　得星距北极一百得对弧大矢巳丑一七八三七八　四十一度三十六分半为对弧巳乙求到甲申年老人星赤纬在赤道南五十一度三十六分半【以校厯元戊辰年纬五十一度三十三分及仪象志康熈壬子年纬五十一度三十五分，可以畧见恒星赤纬岁差之理】

求巳角【赤经】

巳庚角旁弧二十三度三十一分半巳乙角旁弧一百四十一度三十六分半庚乙对弧一百六十五度三边求角余▯较子斗　四九五七七初数午斗　二四七八八对弧大矢庚亥一九六五九三存弧大矢庚斗一四七○七六两矢较亥斗　四九五一七一，初数，午斗，二四七八八，大矢内减半径得二，两矢较亥斗，四九五一七，余▯检表得度以三，半径，丙氐一○○○○○，减半周得已角度，四，角大矢亢氐一九九七六一，一百七十六度○二分，置三象限以已角度减之得星距春分九十三度五十八分。求到甲申年老人星赤道经度在鹑首宫三度五十八分【以校戊辰年赤经九十三度三十九分及仪象志壬子年赤经九十三度五十一分，可以见恒星赤经东移之理】

加减防法补遗防法以两余▯相加减，以两矢较偹四率，其用巳简，然有阙余▯无可加减，阙矢度无可较者，虽非恒用，而时或遇之，亦布算者所当知也。

一加减变例凡余▯必小于半径，常法也。然或捴弧适足半周，则余▯极大，即用半径为捴弧余▯。法以存弧余▯加减半径折半为初数【视存弧不过象限则相加，存弧过象限则相减】又若角旁两弧同数，则无存弧而余▯反大，即用半径为存弧余▯。法以捴弧余▯加减半径折半为初数【视捴▯过象限或过半周则相加，捴弧在象限内或过三象限则相减】

以上用半径为余▯者六凡加减取初数，必用两余▯，常法也。然或搃弧适足一象限，或三象限，或存弧适足一象限，皆无余▯，法即用一余▯折半为初数，不湏加减【搃弧无余▯，即单用存弧余▯；存弧无余▯，即单用搃弧余▯】又或捴弧【适足象限，或三象限】无余▯，而两弧又同数【准前论，即以半径为存弧余▯】或存弧【适足象限】无余▯，而搃弧又适足半周【即以半径为搃弧余▯】二者并以半径之半为初数，不湏加减。

以上无加减者六一两矢较变例凡两矢相较，常法也。然或其弧满象限，则即以半径为矢【对弧满象限，则以半径为对弧矢，与存弧矢相较。存弧满象限，亦然，亦即以半径与对弧矢相较】防法视对弧、存弧，但有一弧满象限，即命其又一弧之余▯为两矢较，不更求矢【对弧满象限，即用存弧余▯；存弧满象限，即用对弧余▯，并即命为两矢较，与上法同】凡以矢较加存弧矢成对弧矢【正矢则对弧小，大矢则对弧大】常法也。然或有相加后适足半径者，其对弧必▯足象限。又有四率中无两矢较者，以无存弧矢故也【凖前论，角旁两弧同度，无存弧则亦无存弧矢之可较】法即以对弧矢为用，不必更求矢较。若角求对边，其所得第四率即对弧矢；若三边求角，其所用苐三率亦对弧矢【余详后例】设角旁两弧同度，总弧在象限以内，求对角之边。丙乙丁形。乙角一百一十度，余▯三、四二○二。乙丙，乙丁并三十度。

两余▯相减　五○○○○　　丙庚半之为初数　二五○○○　　丙癸一　半径　寅已　一○○○○○二　初数　丙癸　　二五○○○三【乙角大矢】寅午，一三，四二○二。四【对弧矢】丙甲三三五五○【四率本为两矢较，因无存弧矢，故即为对弧之矢】

对弧余▯】　甲巳　　六六四五○求到对弧，丁丙四十八度二十二分。论曰：以半径为存弧余▯，何也？弧大者余▯小，弧小者余▯大。今存弧既相减而至于无，则小之至也，故其余▯亦大之至，而成半径也。四率即为对弧矢，何也？弧大矢亦大，弧小矢亦小。既无存弧，则亦无矢矣。无矢则无可较，故四率即对弧矢也。然则其比例奈何？曰：半径寅已与大矢寅午，若正▯子丙与距等大矢丁丙，亦即若初数丙癸与对弧矢丙甲。

若三边求角则反其率一、初数二、半径三、对弧矢四、乙角矢若捴弧过三象限其法亦同前图丁丑丙形丑角同乙角其所用四率，以得对弧丁丙，并同上法。

若三边求角则反其率一、初数二、半径三、对弧矢四、丑角矢一系　两边同度无存弧矢则径以对弧矢当两矢较之用设总弧满半周而较弧亦过象限　求对角之边前图卯丑丁形丑角，七十度余，▯三四二○二，午已丑丁，一百五十度。

丑卯　　　　三十度相减　五○○○○庚丙初数　二五○○○庚癸存弧大矢一五○○○○庚卯丑角矢　六五七九八午酉一、半径酉巳一○○○○○二、初数丙癸【即庚癸】二五○○○三　丑角矢　　午酉　　　　六五七九八四　两矢较　　庚甲　　　　一六四四九加存弧，大矢庚卯。一五○○○○。得对弧大矢甲卯，一六六四四九。求到对弧卯丁一百三十一度三十八分。

设三小边同数求角丙乙丁形三边并三十度求乙角相减　五○○○○　丙庚初数　二五○○○　丙癸对弧【丁丙】三十度余，▯八六六○三，甲巳。

矢　一三三九七　丙甲一　初数　丙癸　　二五○○○二　半径　寅己　一○○○○○三　对弧矢丙甲　　一三三九七四　乙角矢寅午　　五三五八八余▯午巳　　四六四一二求到乙角六十二度二十分，丁丙二角同。论曰：此亦因存弧无矢，故以对弧矢为三率也。其比例为，初数丙癸与对弧矢丙甲，若乙丙正▯丙辰与丙丁距等矢，则亦若寅巳半径与乙角矢寅午。

一系　凡三边等者三角亦等前图丁丑丙形，二大边同度，一小边为大边减半周之余，三边求角。

其对弧丁丙，亦三十度，所用四率并同上法，所得丑角六十二度二十分，亦同乙角，惟余两角【丁丙】并一百一十七度四十分，皆为丑角减半周之余。

若先有角求对边则反其率又于前图取丁丑戊形丑丁　　一百五十度丑戊　　　　三十度其对弧戊丁【一百五十度】为丑戊【三十度】减半周之余，故所用四率亦同，但所得矢度为丑外角之矢，当以其度减半周得丑角【一百一十七度四十分】戊角同丑角，丁角【六十二度二十分】即丑外角一系凡二边同度，其余一边又为减半周之余，与三边同度者同法，但知一角即知余角，其一角不同者亦为相同两角之外角。

设角旁两弧同数而捴弧▯足一象限求对角之边子乙丙形乙角一百度余▯　一七三六五初数，五○○○○，丙辛【即半径之半】

一　半径　　壬巳　一○○○○○二　初数　　丙辛　　五○○○○三，乙角大矢壬丑。一，一七三六五。

四　对弧矢　丙癸　　五八六八二余▯癸巳　　四一三一八求到对弧子丙六十五度三十六分。论曰：半半径为初数，何也？凖前论，半径即存弧余▯，而捴弧无余▯，无可相减，故即半之为初数。问：捴弧何以无余▯？曰：弧大者余▯小，捴弧满象限，则大之极也，故无余▯。其比例可得言乎？曰：壬巳与壬丑若丙甲与丙子，则亦若丙辛与丙癸。若所设为子戊丙形，戊角同乙角一百度。【戊子戊丙】同为一百三十五度，捴二百七十度【满三象限】亦无余▯亦如上法，以半半径为初数，依上四率求到对戊角之子丙弧六十五度三十六分。

若三边求角则反其率一、初数。二、半径。三、对弧矢。四、角之矢。设角旁两弧之捴满半周而存弧亦满象限，求对角之弧，用前图子戊卯形。戊角，八十○度余，▯一七三六五。

子戊一百三十五度卯戊　　四十五度余▯无减半半径为初数五○○○○，己辛即庚甲，存弧满象限，半径为正矢一○○○○○，即卯巳半径。

一　半径　辰巳　一○○○○○二　初数　己辛　　五○○○○三　戊角矢辰丑　　八二六三五四　两矢较己癸　　四一三一七　即对弧卯子余▯对弧大矢卯癸　一四一三一七　【以两矢较加存弧矢得对弧大矢】求到对弧卯子一百一十四度二十四分论曰：捴弧以半径为余▯，何也？凡过弧大者，余▯大；过弧满半周，则大之至也，故其余▯亦最大，而即为半径也。然则存弧又能以半径为矢，何也？弧大者，矢大；存弧既满象限，故其矢亦满半径矣。问：两矢较巳癸，即对弧之余▯也，何以又得为两矢较？曰：他存弧之矢有大小，而不得正为半径，故其与对弧矢相较，亦有大小，而不得正为余▯。今矢既为半径，较必余▯矣。

若三边求角则反其率一、初数、巳辛。其比例为巳辛与巳癸若丁甲二，半径、辰巳。与丁子则亦若辰巳与辰丑三，两矢较己癸。

四　戊角矢辰丑设对弧满象限　三边求角乙丙甲形对弧乙甲九十度　无余▯求丙角相加辰癸　一三五六二一初数午癸　　六七八一○对弧满象限，矢即半径。已甲一○○○○○用防法，即以存弧余▯，癸已为矢，较。

一　初数　　午癸　　六七八一○二　半径　　巳戊　一○○○○○三矢较巳癸四二二六二即存弧余▯四丙角矢庚戊六二九○四求到丙角六十八度一十四分其比例为初数午癸与余▯巳癸，若正▯壬辛与距等矢乙辛也。亦必若半径己戊与角之矢庚戊。

若先有丙角求对弧则反其率一、半径【戊巳】二、初数【午癸】三、丙角矢【戊庚】四、两矢较【巳癸】以所得四率与存弧矢甲癸【五七七三八】相加，适足半径【成巳甲】命对弧乙甲适足九十度。防法：视所得四率矢较与存弧余▯同数，即知对弧为象限，不必更问存弧之矢。

设角旁两弧同数捴弧过象限求对角之弧辛乙丙形乙角七十三度余，▯二九二三七。

相加折半为初数，八二一三九，癸丙。

一　半径　己戊一○○○○○二　初数　癸丙　八二一三九三　乙角矢甲戊　七○七六三四　对弧矢丁丙　五八一二四余▯丁巳　四一八七六求到对弧，辛丙六十五度一十五分。

若三边求角则反其率一、初数【癸丙】二、半径【巳戊】三、对弧矢【丁丙】四、乙角矢【甲戊】设角旁弧同数，捴弧过半周，其算并同。

前图辛丑丙形辛丑　丙丑并一百十五度捴弧丙丑壬，二百三十度余，▯六四二七九，庚巳丑角同乙角。其所用四率求对弧及三边求角，并如上法。设捴弧满半周而存弧不过象限，求对弧。

前图辛乙卯形乙角，一百○七度，余▯，二九二三七，甲巳乙卯，一百十五度。

乙辛　　　六十五度相加半之为初数，八二一三九，癸庚即子辰。

一　半径　　寅巳　一○○○○○二　初数　　庚癸　　八二三一九三，乙角大矢，寅甲。一二九，二三七。四，两矢较，庚丁，一○六一五三，即辛未加存弧正矢庚卯，三五七二一。得对弧大矢，丁卯。一四一八，七四。求到对弧卯辛一百一十四度四十五分。加减又法【解：恒星暦指第四题三率法与加减防法同理】弧三角有一角及角旁二边，求对角之弧。法曰：以角旁大弧之余度与小弧相加，求其止▯，为先得▯。次以角旁两弧相加，视其度，若适足九十度，即半先得▯为次得▯【此大弧之余弧与小弧等】若角旁两弧捴大于象限【此大弧之余弧小于小弧】则以大弧之余弧减小弧，而求其▯，以加先得▯，然后半之为次得▯。若两弧捴不及象限【此大弧之余弧大于小弧】则以小弧减大弧之余弧，而求其▯，以减先得▯，然后半之为次得▯。又以角之矢为后得▯。以后得▯，乗次得▯为实，半径为法，除之得数为他▯。一率全数二率　次得▯【即初数】

三率　后得▯【即角之矢】

四率　他▯【即两矢较】并以他▯与先得▯相减为所求对角弧之余▯。若他▯大于先得▯，即以先得▯减他▯【不问何▯，但以小减大。右法不载《测量全义》，而附见《厯指》。人自江南来，得小儿以燕家信，以此为问，谓与环中黍尺有合也。乃为摘録，以疏其义】论曰：此亦加减代乗除之一种也。加减法以捴弧存弧之余▯相加减以取初数，此则不用存弧而用存弧之余度【以余度取正▯即存弧之余▯故也】又不正用存弧之余度而用大弧之余度【以大弧之余度加小弧即存弧之余度故也】至其加减又不用捴弧而用大弧余度与小弧相减之较弧【以此较弧之正▯即捴弧之余▯故也】取径迂回，而理数脗合，非两法相提并论不足以明其立法之意也。举例如后。乙丙丁形【有乙角及角旁二边】求对弧丁丙【以加减防法求得诸数，与恒星厯指法相参论之。乙丙，小弧；乙丁，大弧】正▯【甲丙，辰庚】【捴存】弧【戊丙庚丙】余▯【壬巳癸巳】【余▯并癸壬初数，癸甲，即辰寅】【丁丙对▯庚丙存弧】正矢【卯丙癸丙】

【两矢较卯癸一　半径　　酉巳】【二角之矢酉午三初数，甲癸即辰寅。四，两矢较。卯癸，即丁子末。以卯癸加癸丙，得卯丙为对。

弧矢乃查其度得对弧丁丙】

右加减法也今改用恒星厯指之法　先以酉庚为角旁大弧【乙丁】之余弧【乙庚同乙丁大弧度也乙酉同乙午皆象限也乙酉象限内减乙庚犹之乙午内减乙丁也故庚酉即乙丁之余】又以牛酉当角旁小弧乙丙【乙酉与牛丙皆象限内减同用之丙酉同乙丙】二者相加成牛庚取其正▯戊庚是为先得▯次视角旁两弧【乙丙乙丁】之捴【丙戊】大于象限【丙辛】法当以大弧余度去减小弧得较【于同小弧之午酉内减同大弧余度之氐酉其较牛氐与牛房等】而取其▯【牛氐较与牛房等则氐井▯与房井等而即与危戍等是危戌即牛氐较之▯也】以加先得▯【以危戍加戌庚成危庚】然后半之【危庚半之于未成未庚】为次得▯又以乙角之矢【午酉】为后得▯与次得▯【未庚】相乗为实，半径为法除之，得他▯【亥庚】未以他▯【亥庚】减先得▯【戌庚】其余亥戌为对弧【丁丙】之余▯【查表得对弧】论曰：牛庚之正▯，戍庚与癸巳平行而等，即存弧之余▯也【牛庚为小弧与大弧余度之并，实即存弧丙庚之余度，故戌庚即同癸巳】次得▯未庚与甲癸平行而等，即初数也【以危戍加戌庚而成危庚，犹捴存两余▯相加成癸壬也，危庚既同癸壬，则其半未庚亦同甲癸】他▯庚亥与卯癸平行而等，即两矢较也。末以他▯与先得▯相减而得对弧余▯，犹以两矢较与存弧之矢相加而得对弧之矢也【两矢较即两余▯较也，故加之得矢者，减之即得余▯】然则此两法者，固异名而同实矣。又论曰：加减本法用大弧小弧之捴与较，取其余▯以相加减。今此法则用大弧余度与小弧之捴与较而取其正▯以相加减【如牛庚是大弧余度与小弧之捴，牛氐是大弧余度与小弧之较】用若相反而得数并同者，何也？曰：余弧与正弧互为消长，其数相待，是故大弧之余度大于小弧，则捴弧不及象限矣。大弧之余度小于小弧，则捴弧过象限矣。捴弧过象限宜相加，此条是也。捴弧不及象限宜相减，后条是也。宜加宜减之数无一不同，得数安得而不同【得数谓初数也，在此法则为次得▯】又论曰：此法之于加减法，犹甲数乙数之于初数次数也。初数次数用余▯，甲数乙数用正▯，加减法用余▯，此法用正▯。所以然者，皆以角旁之弧半用余度也【甲数乙数法内，一弧用本度，一弧用余度；此法小弧用本度，大弧用余度】一加减法乃有四用，其省乗除并同，而繁简殊矣。

乙丙丁形有乙角及角旁二边求对弧丁丙【乙丙小弧】，【乙丁大弧】正▯【申丙辰庚】【捴存】弧【戊丙庚丙】余▯【壬巳癸巳】

【余▯较壬癸初数癸甲】【丁丙对弧，庚丙存弧】正矢【卯丙，癸丙】

【两矢较卯癸一　　半径　酉巳】【二，角大矢，酉午三，初数，甲癸】

【四　两矢较　卯癸】【末以卯癸加癸丙，成卯丙为对弧矢，查其余▯，得对弧丁丙】

右加减法也今依恒星法改用大弧之余度【庚酉即午丁】与小弧【牛酉即乙丙】相加【成牛庚即存弧丙庚之余度】求其正▯为先得▯【戍庚同巳癸即存弧之余▯】次视两弧之捴【戊丙】不及象限法当以小弧减大弧余度【取氐酉如酉庚以牛酉减之】得较【氐牛与牛房等】取其正▯【女房即女氐亦即戍危】以减先得▯【戍危减戌庚余危庚与癸壬等】然后半之【危庚半之于虚成庚虚与甲癸等】为次得▯又以【乙】钝角大矢【午酉】为后得▯与次得▯相乗为实半径为法除之得他▯【亢庚与卯癸等】末以他▯【亢庚】减先得▯【戍庚】其余戍亢【即卯巳】为对弧余▯查表得对弧丁丙一率　半径　酉巳二率，次得▯庚虚【即初数甲癸】三率，后得▯午酉【即角大矢】四率，他▯，亢庚【即两矢较卯癸】乙丙丁形【有丙角及角旁二边】求对弧丁乙。法以【丁丙】大弧之余【午丁即酉甲】与小弧【乙丙即戊酉】相加【成甲戊】求。其正▯【庚甲】为先得▯，次视两弧。之总【丑乙】适足象限，即半，先得▯。为次得▯【癸甲或癸庚】又以角之大矢【午酉】为后得▯乘之【午酉乘癸甲】半径【酉巳】除之。得他▯【卯甲即壬未】以减先得▯【甲庚】得。对弧余▯【卯庚即壬巳】查表度得对弧【丁乙】解曰：此因大弧之余酉甲与小弧戊酉同数，则无加减，故即半先得▯为次得▯也。在加减法则，为总弧无余▯，而即半存弧余▯为初数。丙、戊、丁形【有戊角及角旁二边】求对弧丁丙。如法以大边【丙戊】之余【卯丙即癸庚】与小弧【丁戊即癸辛】相加【成辛庚】取。其正▯【庚乙】为先，得▯次，眎角。旁两弧之捴【辰丁】大于象限法。

当以癸庚减癸辛得较子辛【即辛井】而取其正▯【子斗，即井斗，亦即乙】【甲】以加先得▯【乙庚】而半之【甲庚之半为甲丑】为次得▯；又以角之大矢【卯癸】为后得▯，以乗次得▯为实，半径为法除之，得他▯【牛庚】末以他▯【牛庚】与先得▯【庚乙】相减，得【牛乙即壬巳】为对弧之余▯。查余▯度，以减半周，得对弧丁丙。解曰：此为他▯大于先得▯，故反减也。在加减法则，所得为对弧大矢与存弧小矢之较，而两矢较即两余▯并也，故减存弧余▯得对弧余▯。

补求经度法法用角旁两弧【大弧用余度，小弧用本度】相加得数，取正▯为先得▯又相减得较，取正▯以与先得▯相加减【角旁两弧大于象限则相加，若小于象限则相减】而半之为次得▯【若角旁两弧并之▯足一象限，则径以先得▯半之为次得▯不须加减】用为首率；次以对角弧之余▯与先得▯相加减，得他▯为次率【对弧大于象限相加，小于象限则相减】半径为三率，求得角之矢为四率【正矢为鋭角，大矢为钝角】假如丙戊丁形有三边，求戊角【借用前图】一次得▯甲丑【乃先得▯甲庚之半】即庚丑。二他▯壬酉【即牛庚乃对弧余▯加先得▯因对弧大故相加】

三　半径　　巳癸四钝角大矢卯癸【卯癸大矢内减巳癸半径为余▯查表得度以减半同为戊钝角之度】论曰：角求对边者，求纬度也；三边求角者，求经度也。二者之分，祗在四率中互换，无他缪巧。厯指注云：求纬用正▯，求经用切线，殊不可晓。及查其后条用例，亦无用切线之法，殆有缺误。厯书中如此者甚多，故在善读耳。加减通法。加减代乗除之法，以算三边求角，及二边一角求对角之边，皆斜弧三角之难者也。其算最难，而其法益简，故凡算例中两正▯相乗者，即可以加减代之，则虽正弧诸法，实多所通，故谓之通法。法曰：凡四率中有以两正▯相乗为实，半径为法者，皆可以初数取之；有以两余▯相乗为实，半径为法者，皆可以次数取之；有以余▯与正▯相乗为实，半径为法者，皆可以甲乙数取之。假如正弧形有角有角旁弧而求对角之弧【此如有春分角有黄道而求距度】本法当以角之正▯与角旁弧之正▯相乗为实，半径为法除之也。今以初数取之，即命为所求度正▯。

设黄道三十度求黄赤距度【春分角二十三度三十一分半，黄道三十○度】

【捴弧　五十三度三十一分半存弧　　　六度二十八分半】余▯【五九四四七九九三六二】用初数为正▯检表得度　【相减三九九一五折半一九九五七即初数】求到黄赤距度一十一度三十○分四十二秒。又设黄道七十五度，求黄赤距度。【春分角二十三度三十一分半，黄道七十五度】

【捴存】弧　【九十八度三十一分半五十一度二十八分半】余▯【一四八二四六二二八五】用初数为正▯检表得度　　【相加七七一○九折半三八五五四】求到黄赤距度，二十二度四十分三十九秒。又如句股方锥法，有大距，有黄道，而求距纬。本以大距正▯，黄道余▯相乗，半径除之也。今以甲数取之，设黄道六十度，求距纬【句股方锥黄道以距二至起算，下同】【黄赤大距二十三度三十一分半，黄道六十○度】

【捴弧　　八十三度三十一分半存弧　　三十六度二十八分半】正▯【九九三六二五五四四七】用甲数为正▯检表得度　　　【相减三九九一五半之一九九五七为甲数】求到距纬一十一度三十○分四十二秒。

设黄道一十五度求距纬【黄赤大距二十三度三十一分半，黄道一十五度】

【捴存】弧　　【三十八度三十一分半八度三十一分半】正▯【六二二八五一四八二四】用甲数为正▯查表得度　【相加七七一○九半之三八五五四为甲数】求得距纬二十二度四十分三十九秒。又如次形法，本以一正▯与一余▯相乗半径除之，得所求之余▯今以初数取之。设甲丙乙形，有甲正角，有丙角，及甲丙边，而求乙角。本法为半径与丙角正▯若甲丙余▯与乙角余▯今以初数，即命为乙角余▯【丙角度甲丙余度】相【并减】为【捴存】弧，各取其余▯如法相加减而半之，成初数，即命为乙角。余▯本法，用正▯与余▯相乗，而亦以初数取之，何也？曰：甲丙余▯实次形，丁丙正▯也，故仍用初数。假如斜弧形作垂弧法，本为半径与角之正▯，若角旁弧之正▯与垂弧之正▯也。今以初数即命为垂弧正▯，设丁乙丙形，有乙鋭角，有丁乙边，求作丁甲垂弧【乙角度，乙丁弧】相【并减】为【捴存】弧，而取其余▯，如法相加减而半之，成初数，即命为丁甲垂弧正▯设丁、乙、丙形，乙为钝角，而先有丁乙边，其法亦同【乙外角丁乙边】相【并减】为【捴存】弧，而各取其余▯，如上法取初数，命为甲丁垂弧正▯。又如弧角比例法，本为角之正▯与对角边之正▯若，又一角之正▯与其对边之正▯今以初数进五位，即为两正▯相乗之实，可以省乗设乙、甲、丙形，有丙角、甲角，有乙甲边，求乙丙边。本以甲角正▯与乙甲正▯相乗为实，丙角正▯为法除之，得乙丙正▯今以甲角度与乙甲弧相并减为捴存弧，如法取初数进五位为实，以丙角正▯除之，亦得乙丙正▯【若有乙丙边求丙角，则以乙丙边正▯为法除之，即得丙角之正▯】又如垂弧防法，本以两余▯相乗为实，又以余▯为法除之，而得所求之余▯今以次数进五位为两余▯相乗之实，即可省乗设甲丁亥钝角形，有亥甲边，有亥丁边，有引长之丁巳边，而求甲丁边。本法为亥巳边之余▯与亥甲边之余▯，若丁巳边之余▯与甲丁边之余▯也。今以次数代乗。【亥甲丁巳】二弧相并，为捴；弧相减，为存弧。而各取其余▯，如法相加减，而半之。为次数下加五○，即同亥甲与丁巳。两余▯相乗之实，但以亥巳边之余。▯为法除之，即得甲丁边之余▯。进五○何也？曰：初数者，两正▯相乗，半径除之之数，故必进五位，即同两正▯相乗之实矣。次数进位之理，仿此论之。

补加减防法设壬丙甲弧三角形甲、壬边适足九十度，丙、甲边八十三度，对弧壬丙五十九度。

求甲角法曰角旁有一边适足九十度则总存两余▯同数当以余▯即命为初数　依法求得五十八度四十四分为甲角存矢　申丙　　　七四五矢较　戊申　四七七五一一　初数　九九二五五已申二　矢较　四七七五一戊申三、半径一○○○○○己癸，查表得五十八度四十四分四【角之矢】四八一○九壬癸。

余▯　五一八九一壬巳论曰：此即算带食法也。凡算带食，其差角必在地平壬甲九十度，即髙弧全数丙甲八十三度，月距北极也。癸丙七度，黄赤距度也。壬丙对弧极距天顶也。其余▯己戊，即极出地正▯所求甲角，月出地平时，地经赤道差也。防法以黄赤距度余▯与极出地正▯相减，余进五位为实，仍以距度余▯除之，得差角矢。解防法曰：极出地正▯，即对弧余▯，黄赤距度余▯，即存弧余▯，两余▯之较，即矢较也。又解曰：巳乙即己申，亦即未丙，并小弧甲丙正▯也【即存弧癸丙之余▯】未丙与戌丙，若己癸与壬癸，全与分之比例也。又解曰：初数是两正▯相乗半径除之之数。今甲壬边之正▯即半径，故省乗除，竟以甲丙正▯为初数。又设壬甲辛钝角形【即用前图】壬甲邉适足九十度，辛甲邉九十七度，对邉辛壬一百二十一度，求甲角。依法求得甲钝角一百二十一度一十六分。

对弧辛壬一百卄一度余，▯巳戊。五一五○四，对弧大矢，戊辛。一五一五○四，存弧，矢，癸乙同酉辛。七四五【亦同丁庚】两矢，较，戊酉同辰辛一五○七五九【亦同丁壬】一，初数【丁巳同午辛】九九，二五五。二，矢较【丁壬同辰辛】一五○七五九。

三　　半径　己庚一○○○○○四　角大矢　壬庚一五一八九○余▯　己壬　五一八九○查表得五十八度四十四分，以去减半周，得甲角一百二十一度一十六分。论曰：縂弧过象限及过半周，宜以余▯相加，折半成初数。今两余▯相同，而径用为初数，亦折半之理也。向作加减法补遗，自谓巳尽其变，不知仍有此法，故特记之。因算带食得此，其用防法更竒甚矣。学问之无穷也。壬甲丙鋭角形，壬甲邉适足九十度，丙甲邉六十七度，对弧壬丙五十度，求甲角。依法求得甲角四十五度四十二分。