方程论卷五

方程论卷五

测量测量非方程事也。方程者，算术；算术恃计，测量恃目。实惟两途。测量之不能兼算术，犹算术之不能兼测量。虽曰能兼，非其粹矣。今略具其所兼，其不能兼者，有句股诸法在。

测量在方程有二一曰隂云测量隂云者，不见宿度，而云影微薄之处，犹能见五纬。若见二星，则有其相距之度，而可以方程取之矣。

一曰宿度测量宿度者，虽无隂翳，而无仪器，故借宿距一定之度以取之。必有二星同见，或星与太隂同见，则成方程之算矣。

隂云测法假如隂云不见宿次，但于云隙测得辰星在太白后一度。又二日，荧惑与二星同在一度。又二日，太白在荧惑前三度，而辰星云翳。又一日，辰星在房初度，余不可见。又十二日，荧惑始至房初。问各行率若干？畣曰：辰星每日行二度，太白每日行一度有半，荧惑每日行半度。解曰：此辰星行二日，太白亦二日，而辰星多一度。荧惑与太白同行三日，而太白多三度。辰星行四日，荧惑十六日，而行度相当也。

法曰以较数列位依省算以左行半之，与右相减，辰星同减尽，太白二日【右负】荧惑八日【左负】皆无减分正负【同名在隔行，即异名也】正一度亦无减【与荧惑同名】

重列减余与中行依省算，以左行减三之一，乃对减。太白同减尽，荧惑同减余六日为法。行度异，并三度为实。法除实，得半度为荧惑每日行率。以右减余八日乗之，得四度，同减负一度，余三度。以太白二日除之，得一度半为太白日行率。以右行太白二日行三度，异加正一度，共四度。以辰星二日除之，得二度为辰星每日行率。假如测得辰星在金星后二度，隂云不知宿次。但于四日后见二星同行，在一度，亦未知宿次。又三日，辰星行至房初度，而金星云翳。至第四日，金星亦至房初，而水星未见。问两星每日行率若干？解曰：此两星各行四日，而辰星多二度。辰星行三日，金星行四日，而其度相当。

法以较数列位二色者，有一色偶同，依省算径以对减。金星同减尽，辰星同减余一日为法。正二度无减为实，法一省除，径以二度为辰星每日行率。以辰星三日行六度，金星四日除之，得每日行一度半。若欲知前两测某宿度者，以金星四日行六度为二星同度，距房初之数；又加金星同行四日六度，共十二度，为前测金星距房之度；又加辰星在金星后二度，为辰星前测距房之度。各以距度与房初度相求，得前两测星躔宿度。如顺行者，前所测之宿在房后也，氐宿、亢宿也，各置距度，以氐宿、亢宿度迭减之，不尽者以转减前宿之度，得星所在宿度。如逆行者，前所测之度在房前也，心宿、尾宿也，各置距度，以房度、心度逓减之，减不及者，即命为后宿星所在之度。假如甲子日金星夕见，乙丑日水星夕见，至丁卯日水星行及金星，但不及半度，至戊辰日二星同度，皆以阴晦不能细知宿次，问各率若干。解曰：「此金星行四日，水星三日，相当。」金星行三日，水星二日，则水星不及半度。

法以较数列位依省算，左行二分加一，水同减尽，金同减余半日为法，空度七分半为实，法除实，得金星日行一度半，金三日行四度半，同减负半度，余四度，以水星二日除之，得日行二度。假如广福二船哨海，福船先发行五日，广船行三日，遇于中途。其泛地相距二千五百里，遂又同往一岛。广船行四日先至，候六日，福船始至。问各船每日行率？解曰：此广船疾，福船迟也。广船三日，福船五日，共行水面二千五百里。广船四日，福船十日，而水程相当。

畣曰广船日行五百里福船日行二百里法以一和一较列位如法遍乗，广船同减尽，福船异并五十日为法，正一万里无减为实，法除实得二百里为福船。毎日行率，福船十日行二千里，以广船四日除之，得五百里，为广船每日行率。又如自东徂西，共二千里。先乗车行五日，换舟行八日，至其国。其舟与车复同往一处，车先行六日，舟乃发行四日，逐及问舟车行率。畣曰：「舟，每日二百里；车，每日八十里。」解曰：「舟疾，车迟。舟八日，车五日，共行二千里。舟四日，车十日，行适相当。」

依省算半，右行数。舟同减尽，车异并十二日半为法。正一千里无减为实。法除实，得八十里为车率。以舟四日除车十日所行八百里，得二百里为舟行率。假如甲乙二船哨海同泊一山，同用正卯酉字风东行，但甲船先发解防七日，乙船后行解防五日，追及于一岛。又自此岛用正子午字风南行，但甲又先发解防九日，泊于南洋；乙后发解防七日，泊于又南洋。其二洋相距二百里，问道里各数。

法以较数列位甲船同减尽，乙船余四日为法，负一千四百里为实，法除实，得三百五十里为乙船每日率，以甲船七日除乙船五日所行一千七百五十里，得二百五十里为甲船率，其一千七百五十里即山岛相去之程，以甲船九日行二千二百五十里为岛去南洋之程，又加二百里为又南洋之程，合问计开。

甲船每日行二百五十里乙船毎日行三百五十里山岛之距一千七百五十里岛距南洋二千二百五十里距又南洋二千四百五十里自山至，又南洋共水程四千二百里。又假如二人同往西番公干，一人车，一人骑。车自某山西行九日，骑自某河西行十日，及之于一城。其河在山之东，相距三百里。又自此城西行八日，骑先至一国，驻劄候一日，车至，问道里各如干。

法以较数列位如法径减，余骑二日为法，三百里为实，法除实，得一百五十里为骑行率，并骑前后共十八日，行二千七百里，为所驻西国距河之程，骑所行也。减河距山三百里，余二千四百里，为西国距山之程，车所行也。并前后车行十八日除之，得一百三十三里又三分里之一【即一百二十步也】为车行每日里率。用车行里率乗九日，得一千二百，为城距山之程，以减总距，余亦一千二百里，为西国距城之程，计开。骑日行一百五十里，前后共行二千七百里。车日行一百三十三里，又三分里之一，前后共行一千四百里。城距山一千二百里，距河一千五百里。国距城一千二百里，距山二千四百里，距河二千七百里。此上数则，近事易知，用明测量之理。

宿度测法凡测量之法，有测器，又有水漏。则虽阴云，可以所见者得其度。若但有测器而无水漏，可以所见两星之距度取之，如前所列隂云不知宿度之法是也。乃又无测器，而但据目见，则当以宿度取之。盖宿有一定之度，借以为两星之和度，较度因所知以求不知，此则方程之法，可为测量者助也。至于诸星行率，古今厯术不同，学者通其意，无拘其数焉，其可若一星单行，非仪器比量，莫知其迟疾之度。然晴雨难期，则亦有因所见以测所不见之时，故算术不可废也。五星错行，多有相遇，则和度较度可施。若太隂毎月经行廿八宿一次，与五星相遇，亦每月有之。精于推步者，虽非假此定星，然用与厯术相参，有不借仪器而知迟疾，使看者引騐见効，亦算家之乐也。其五星各有迟疾留逆，故测量比例当于相近日数内求之，则所差亦不多也。其迟疾变行，湏查七政厯，以约其日，则一星单行，亦自可考其进退之数。

两星相较例假如两宿原有定距【如房距心】若干度，有一纬星在其间【如金在房心间】以旁星记之，越若干日，纬星行至东宿【如心】又别一纬星【如火星】在西宿【如房】越若干日，行至先所记旁星之处。此因无仪细测，故借宿度用之。如上所举，乃以宿距为二星和度也。一纬星若干日【如金】一纬星若干日【如火】共行天若干度【如房度】故曰和度。又如以一宿为主【如心】有纬星在其西【如木】以旁星记之。越若干日，纬星行过宿东，至后一宿【如尾】又或异日，别一纬星【如土】亦在前记纬星处所。越若干日，行至所借为主之宿【如心】此则以宿距为二星较度也。一纬星若干日【如木】一纬星若干日【如土】相差若干度也【如心度】故曰较度。

凡此皆可以方程御之若得两较度，或两和度，或一和一较，即二色方程术也。若三星、四星以上，各得三两宗测数，以三色、四色等方程求之，无不可见。如木星在一宿之西【如井鬼之间】越若干日行至其宿【如鬼】火星原在木星之西，越若干日行至木星原处。金星又在火星之西，而恰当西宿【如井】越若干日行至火星原处，又若干日亦至木星原处。此亦借宿度为用，而中有二和一较。如云：金星若干日，火星若干日，木星若干日，共行若干度也【如井度】又金星若干日，木星若干日，共行若干【亦用井度】此二者和度也。又金星若干日，火星若干日，而其行适等【用火星至木星元处之日及金星自火星元处至木星元处之日】此则较度也【适足即较数也，度无较，其日则有较】又如火星在房宿之西，越若干日行过房，抵心宿；而木星自火星元处，越若干日至房宿。又有金星，或先或后，亦自火星元处，越若干日行至房，又若干日逐及木星于房心之间。此以宿距为较度者三，如云：以火星若干日较木星若干日，而火星之行多一房度也；以火星若干日较金星若干日，而火星亦多一房度；以金星若干日较木星若干日，而行度相等【用两星逐及于房心之间日数】此上二则，以三色取之。凡所测，不必两星同在一度，但欲有旁星可记。异日有他星复至所记旁星之处，即成同度之算。右皆顺行星例。又如一星顺行，自房行，几日？一星逆行，自心行，几日？相遇同度于房心间，自此分行，又几日？其逆行星至氐，此用一较度一和度也。顺行星几日，逆行星几日，共行房宿度，此为和度。顺行星几日，逆行星几日，而逆行星多一氐宿度，此为较度【用逆行星相遇后至氐宿之日数】又如一星自建星顺行至，几日遇逆行星，又几日至牛宿。其逆行星自相遇处行，几日至建星，又几日至斗宿距星。此亦一和一较，顺行星几日，逆行星几日，而行度相当【用二星两相遇处至建星之日数】此较度也；顺行星几日，逆行星几日，而共行斗宿度【用两相遇后顺行星至牛，逆行星至斗之日数】此和度也。

右逆行星例问：金、火二星在房宿之西同度，越九日，金星行过房，东至一处，有星可记。又一日，金星行至心宿。又八日，火星始至房。又九日，火星始至前所记金星之处，其二星行度各若干？解曰：此金星行九日，火星廿七日，而行度相等。金星行十日，火星十八日，而金星多六度【房宿六度故也】

法以较数列位依省算，以右行加九之一，乃对减，余火星一十二日为法，六度无减为实，法除实，得半度为火星率，以金九日除火廿七日，行十三度半，得一度有半为金星率。假如太隂自尾宿初度行三日，遇木星于斗牛间，又三十日，木星行至牛。此太隂三日，木星三十日，共行四十五度【借尾至牛之度，约略其数，后仿此】木星自牛初行，三十日与罗防遇于牛女间，又一百二十日，罗防退至牛。此木星行三十日，罗防一百二十日而度等【罗防计都月孛有数无形，借▯逆行之用】罗防自牛初退行一百日，遇土星于箕斗间，又五十日，土星行至牛。此罗防一百日，土星五十日行度等。土星自牛初行三十日，火星逐及遇于牛女间，又三十日，火星行至虚。此土星三十日，水星三十日，而共行十八度。火星自虚初行，五十日，水星逐及，遇于危室间。又十日，水星行至奎。此火星行五十日，水星十日，共行四十五度。水星自奎初行，十五日逐及金星，遇于昴毕间。又十七日，金星行至毕。此水星十五日，金星十七日，共行五十五度半。金星自毕初行，二十日遇计都于井鬼间，又四十日，计都退至井。此金星二十日，计都四十日，而金星多二十八日【借毕至井之距为两星之较】计都自井初逆行二十日，遇月孛于参井间，又十日，月孛行至井。此计都二十日，月孛十日而行度等。月孛自井初行，八十日，太阴逐及，遇于井鬼间，又二日，太阴行至栁。此月孛八十日，太隂二日，共行三十四度。问各行率若干【凡此所设不必其同日，在一度谓之相遇，但与宿值或有星可记，即如同度之理】如法列位【九色和较之杂】

因九色行中挤廹既多，空位取出其行次相对者，列而先乗，此捷法也。先以甲壬太隂对减【两行相对，只三色，余俱两空，省不书，俟重列时以次添入】

用省算法，以甲行三之一，壬行二之一，列之【因甲行可三除，壬行可二除，而除之则太隂皆一日，故除而列之】径对减太隂尽。余木星十日【右】月孛四十日【左】减余二度【左】分正负太隂减去，寻原列中乙行有木星，径与减余对列。

用前法以左乙行三之一与减余列之。木星径同减。罗四十日【左负】孛四十日【右负】负二度【右负】皆无减【以隔行同名仍分正负】木星减尽，寻丙行，有罗防，径与减余重列。

用前法以减余二之一，丙行五之一列之。罗防同名，径减。余三位无减。以隔行皆负分，正负而孛与较同名。罗防减尽，寻丁行有土星，径对余数。

和较列位用前法以丁行三之一列之，而命之为正。土同减尽，余无减。度异并七度，皆左正右负。复变和数，土星减去，寻戊行有火星，径对余数。

用前法以戊行五之一列之，火径减，水【左】孛【右】无减分正负复为较，余二度【左】与水星同名，火星减尽。寻已行有水星以对余数【又因巳行不便省算，改用辛行月孛相对】

用前法以减余半而列之，孛同减，余俱无减。隔行同名，仍为较。月孛减尽，寻庚行有计都，以对余数【水与较度皆右行，负同名】

用前法以庚行半而列之计同减，水【右负】金【左负】无减仍为较。

余十三度【左负】与金同名计都减尽，寻巳行恰，皆二色以相对。

如法乗，水同减尽，金余异倂一百六十七日为法，度异并二百五十○半度为实，法除实，得每日一度半为金星率。以巳行金星十七日行二十五度半，减共五十五度半，余三十度。以水星十五日除之，得每日二度，为水星率。以戊行水星，十日行二十度，减共四十五度，余二十五度，以火星五十日除之，得毎日半度，为火星率。以丁行火星三十日，行十五度，减共十八度，余三度。以土星三十日除之，得每日十分度之一，为土星率。以丙行土星，五十日行五度，以罗防一百日除之，得每日二十分度之一，为罗防率。以乙行罗防一百二十日，行六度。以木星三十日除之，得每日五分度之一，为木星率。以甲行木星三十日行六度，以减共四十五度，余三十九度，以太隂三日除之，得每日十三度，为太阴率。再以庚行金星二十日行三十度，同减去正二十八度，余二度，以计都四十日除之，得每日二十分度之一，为计都率【与罗防同】以辛行计都，二十日行一度，以月孛十日除之，得每日十分度之一，为月孛率。以壬行月孛，八十日行八度，减共三十四度，余二十六度，太阴二日除之，仍得毎日十三度，为太阴率。论曰：各星迟、疾、留、逆，每叚不同，然其各叚中行率大约相等，故可以方程立算，亦湏稍查时厯，以知其变。若太近留叚，行率甚微，难见其在合伏左右，行甚疾，毎日不同，难与他星相较，则以一星迟疾之较取之，具如后例。

一星迟疾相较例凡木、火、土三星，虽有迟疾之行，大约皆在一度以下，而土、木之变尤缓，其数十日中，行率仅差秒忽。两星相较之法，颇可施用。惟金、水二星，迟疾之差悬逺，其疾也有在一度以上，而水星有二度；其迟也，不及一度，迟之甚则留。故可以其迟疾而自相较也。假如金星疾叚测得甲乙丙三日共行四度二十九分，己庚两日共行二度有半。问各日行率【此因前测以隂云用仪得其度分，而不知宿次，故虽后测能知宿次，而中数日不可知，是惟方程能御之也】

法以和数列所测以较数列中日【因挨日进退故倍中日为前后两日而命之适足盖已知测日同在一叚故也】

如法互乗逓减，余庚廿七日为法，三十三度廿一分为实，法除实得一度廿三分为末日行率【庚】以庚日行率减共二度五十分，余一度廿七分为第六日行率【己】倍己日行率减去庚日行率，余一度三十一分为第五日行率【戊】倍戊日行率减去己日行率，余一度三十五分为第四日行率【丁】倍丁日行率减去戊日行率，余一度三十九分为第三日行率【丙】倍丙日行率减去丁日行率，余一度四十三分为次日行率【乙】倍乙日行率减去丙日行率，余一度四十七分为初日行率【甲】累计甲乙丙日共四度廿九分，己庚日共二度半，合问？或倍庚日行率共二度四十六分，以减共二度半，余○度○四分，为日差。以日差累加庚日，得各日行率。总论曰：凡步五星，既得其叚日，以为日率，则以其盈缩之厯加减星行，而得其叚所行之宿次，以为度率。以日率除度率，而得其平行。则又以初末日率相求，使之陞降有等，以为日差，而加减之。故日差者，步五星之要事也。右例不拘日数，但在迟疾本叚，则可用此法。亦不拘定是宿次所见，或仪器所测，但有两宗宿度，则其余日皆可倍中日以较其前后两日，命为正负适足而求之。何则其加减皆相挨而有序，故知倍中日即同前后两日也。假如金星晨疾测得甲日之寅距地平一度，至丙日之卯距地平三十度○七十五分，至己日之卯距地平三十度，问各日行率？解曰：此是甲乙两日共行二度二十五分，丙丁戊三日共行三度七十五分也。法以丙日距三十度○七十五分，减寅至卯差三十度，余○度七十五分，与甲日距一度相减，余○度二十五分，为金星疾行过平行一度之数，加甲乙两日太阳行二度，是为两日内金星行二度二十五分，又以己日距三十度与丙日距度相减，余○度七十五分，为金星疾于平行之度，加丙丁戊三日太阳行三度，是为三日金星行三度七十五分。论曰：此因隂云不能细测每日之度，故五日中仅有三测也。或虽无隂云，而仪器不具，惟此三日有所当宿次，可借以为行度之据，则所得者皆为前两日后三日之和度也。如法以两和三较列位【因逓差补作三适足而列之】

如法乗减，得丁三日为法，共三度七十五分为实，法除实得一度二十五分为丁日行率【此因末两行减余三色减去二色，只一法一实，故径用以求也】以丁减余七日，行八度七十五分，同减负二度二十五分，余六度五十分，以戊减余五日，除之得一度三十分，为戊日行率【此用三四两行减余】以丁戊两日行率相减，余○度○五分，为日差。以日差减丁日行率，得丙日行率，累减之，得甲乙日行率。

计开甲日行一度十分乙日行一度十五分两日共行二度二十五分丙日行一度二十分丁日行一度二十五分戊日行一度三十分三日共行三度七十五分，合计之五日共行六度。此六度者，乃金星行于黄道之度寔数也。寔数者，以宿度徴之，如甲日之晨在某宿某度，至己日之晨已进六度也。其距太阳之数，则五日共差一度。此一度者，乃金星渐近太阳之距，亦即渐近于地平之距也。目所见也，谓之视差，则以仪器度而知之，如甲日之卯距地平三十一度，至己日之晨卯刻则距地平三十度，为较前相近一度也。今所测为甲日之寅，寅与卯相差三十度，故寅之星距地平一度者，至卯则距三十一度也。其时刻以水漏或中星得之。若寅正与卯初则只差十五度，每刻则差三度太，此以仪测星者所当知。论曰：凡加减日差，湏明进退之理。如戊日之行率多于丁日，则其疾为进也。而先得末日，则以日差累减之而得初日。若先得初日，则当以日差累加之，而得末日。如前一例，庚日之率少于己日，则其疾为退也。而先得庚日，则以日差累加之，而得初日。若先得甲日，则当以日差减之，而得末日。其迟叚则皆反之如末日多于初日，其迟为退也，则减末加初。若初日多于末日，其迟为进也，则减初，加末。论曰：「凡七政盈缩，古今厯术綦详，所设立差、平差之术尤宻。至于太隂迟疾时刻逈异，授时立法以三百三十六限，更非逓加挨减所能定。惟五星既得叚日定星，其日差可以循次加减，而方程测量之法可施也。」又方程测量，为草泽不能具仪器，而偶有所见，设此御之，使独见者可以共晓。若从事推步，则有厯学诸书，幸勿以管窥为诮。