厯算全书卷十六

厯算全书卷十六

宣城梅文鼎撰五星纪要论五星嵗轮五星与日皆东岀而西没，宗动天之所运也。土木火三星在太阳上而近宗动，故其左旋速于日，毎日有所差之分，即嵗轮心之平行也。五星与太阳有定距，嵗轮心旣为宗动所掣，渐离太阳而西，则星不得不自嵗轮之中线【即平行度】渐移而东，以就日；而星旣在日之上，亦即不得不自嵗轮之顶渐移而下，以就日也。旣渐移而东，又渐移而下，则不能平转而成环行，嵗轮之圆象成矣。嵗轮心正在太阳之上，星又在嵗轮之顶，作直线过嵗轮心，以过太阳之心，而指地心，是为合伏。合伏以后，星在嵗轮上东移，有类平转，故其东移速【古谓之疾段】嵗轮心离日渐逺，星在嵗轮离合伏之度亦渐逺，而向下行，则东移之度渐迟【古谓之迟段】嵗轮心离日至一象限，星在嵗轮直向下行人，自地观之不见其动【古为留▯】过此留▯，轮心距太阳益逺，将至半周，星行嵗轮之底，转成向西行【是为退叚】轮心与日冲，星正居轮底，自轮心作线过星，以过地心而直射太阳之心，亦为一直线，是为退冲。未至日冲，皆为晨见。冲日以后，则为夕见。夕见者，西与日近，东与日逺。轮心反在日后而西行追日，日在西，星在东，星不得不自轮底西移而就日【故仍为退▯】轮心西距日益近，则星渐西而亦渐上行以就其距日之定距。星旣在轮边，与轮心亦有定距，则其西移过半象限，不得不转而上行矣。至于西距日一象限，上行之势又直，人自地观之，亦不见动【古亦谓留▯】过此而轮心距日益近，则星亦在轮上渐向东行，以就合伏之度，以就其距日之常度。于是又见其东移之速，而至于合伏【古亦谓疾▯】是为嵗轮之周。

论上三星围日之行左旋问古以七政右旋，宋儒以七政周天左旋，今以七政恒星皆为一日一周之天所掣而西发。明宋説谓右旋之度因左旋而成，可谓无疑义矣。兹论七政新图，以太阳为心，而复谓上三星左旋与金水异，何居？曰：左旋有二，前所论七政左旋以地为心者也，今上三星左旋以太阳为心者也。五星旣为动天所转而成左旋【一日绕地一周之行】又依嵗轮而右旋【以本轮上定度为心】此五纬之所同也。然嵗轮上实行之度与太阳相直有定距，则仍以太阳为心，又成围绕太阳之行矣。金水二星即以太阳为嵗轮【或伏见轮】之心，故嵗轮即围日之行，嵗轮右旋，故其围日之行亦右旋也。上三星则嵗轮不以太阳为心，但其距日有定度，而又成围日之形，以嵗轮上度言之，仍是右旋，与金水同；以围日之形言之，则是左旋，与金水异矣。五星与日皆为动天所转，绕地左旋。但上三星之左旋速于日，故合伏之后即在日西【以右旋言为星不及日，以左旋言为星过于日】冲日之后乃在日东【以右旋言为日逐星，以左旋言则为星逐日】是不特其平行绕地者为左旋，而其距日有常以成围日之形者，亦左旋也。金水之左旋与日等，故合伏之后在日东，退合之后在日西，则是平行绕地者，均为左旋，而其围日之行则右旋也。故曰：「上三星左旋，与金水异者，主乎围日以为言者也。」然则嵗轮之度，又何以同为右旋乎？曰：视行之法，逺则见迟，近则见疾。上三星之左旋虽速于日，而在嵗轮上半，则见过日之度稍迟；下半则见过日之度加速矣。金水之左旋虽与日等，而在嵗轮上半，较日距地为逺，则见左旋迟于日；下半距地近，则见右旋速于日。夫上半左旋迟，则右移反速；下半左旋速，则右移反迟，而成留退。此所以嵗轮上度五星皆为右旋也。然五星嵗轮所以有在上在下之分者，则以与太阳有定距也。因其与日有定距，所以能成嵗轮上周转之行。因其在嵗轮上周转而行，所以与日有定距。杨学山曰：「上金水左旋右旋之论，犹仍厯书之説。以伏见轮同嵗轮，后言伏见轮乃绕日圆象。金水另有其嵗轮，乃勿庵晚年新説耳。」

论五星以日为心之图法曰：上三星其围日之圏左旋，下二星其轮右旋，皆以从宗动而西运之行为主【论左旋则星之退行乃其行速】假如上三星合伏时在太阳之上，及其毎日左旋一周，则星行过日若干分而在日西。然其旋也距地则渐近，其所以低者以就太阳也。自此左旋之周益多，则其离日而西之度亦渐逺而益旋益低。比至在日西满半周而冲日，则其旋益近地，所以然者因在日冲故必下行嵗轮之底以就日也。冲日以后，其左旋之行转在日东，随日之后而向日行，其旋亦自冲日卑处渐向于髙，离冲日若干分则其旋渐髙亦若干分。自此在日后左旋追日而益近之，以复至合伏，则其旋益髙而复在太阳之上矣。是故上三星之能为围日之圏者，以左旋言也。惟以左旋言之，则无论冲合之在恒星何度，亦无问各星之冲合各有周率，经厯之时日几何，而其以日为心，悉同一法也。其下二星，以嵗轮围日，其理易明。然亦是与太阳同为一日一周之左旋，而星之左旋迟于日，故合伏时在太阳上。毎左旋一周，则星不及日若干分度，而在日东。其行亦渐降，至于夕留之后，又复渐速而追日，其度益降，至退合伏而极，乃复离日而西，度亦渐升，而复于合伏矣。地谷曰：「日之摄五星，若磁石之引铁，故其距日有定距也。惟其然也，故日在本天行一周，而星之升降之迹亦成一圆相。厯家因取而名之曰嵗轮。」也是故上三星嵗轮，约畧皆与太阳天同大，而今其径有大小者，各以其本天半径为十万之比例也。地谷新图，其理如此。不知者遂以围日为本，天则是嵗轮心，而非星体，失之逺矣。宗动天左旋，星与太阳皆从之左旋，而有迟速，以其所居有髙下，离动天有逺近也。上三星在日天之上，近于动天，故其毎日左旋，比日为速，虽不能与恒星同复，故处而所差甚防【土星只二分竒，木星只五六分，火星只半度】不能若太阳之毎差一度也。

论五星本天以地为心问五星之法，至西厯而详明。然其旧説，五星各一重天，大小相函，而皆以地为心。其新説，五星天虽亦大小相函，而以日为心。若是其不同，何也？曰：无不同也。西人九重天之説，第一重宗动天，次则恒星，又次土星，次木星，次火星，次太阳，次金，次水，次太隂。是皆以其行度之迟速，而知其距地有逺近，因以知其天周有大小。理之可信者也。星之天有大小，既皆以距地之逺近而知，则皆以地心为心矣。是故土木火三星，距地心甚逺，故其天皆大于太阳之天，而包于外。金水二星，距地心渐近，故其天皆小于太阳之天，而在其内为太阳天所包。是其本天皆以地为心，无可疑者。惟是五星之行，各有嵗轮。嵗轮亦圆象。五星各以其本天载嵗轮，嵗轮心行于本天之周。星之体则行于嵗轮之周，以成迟疾留逆【嵗轮心行于本天周皆平行也，星行于嵗轮之周亦平行也。人自地测之，则有合有冲有疾有迟有留有逆，自然之理也】若以嵗轮上星行之度聨之，亦成圆象，而以太阳为心。西洋新説谓五星皆以日为心，盖以此耳。然此围日圆象，原是嵗轮周行度所成，而嵗轮之心又行于本天之周。本天原以地为心，三者相待而成，原非两法。故曰无不同也【上三星在嵗轮上右旋，金水在嵗轮上左旋，皆挨度平行】夫围日圆象，既为嵗轮周星行之迹，则迟留逆伏之度，两轮皆有之。故以嵗轮立算，可以得其迟留逆伏之度。以围日圆轮立算，所得不殊。立法者溯本穷源，用法者从简便算。如厯书上三星用嵗轮，金水二星用伏见轮，皆可以求次均立算，虽殊其归一也。或者不察，遂谓五星之天真以日为心，失其指矣。夫太阳去地亦甚逺矣，五星本天旣以地为心，而又能以日为心，将日与地竟合为一乎？必不然矣。厯指又尝言：「火星，天独以日为心，不与四星同。」予尝断其非是，作图以推明地谷立法之根原。以地为本，天之心，其説甚明。其金水二星，《厯指》之説多淆，亦乆疑其非。今得门人刘允恭悟得金水二星之有嵗轮，其理的确而不可易，可谓发前人之未发矣。

论伏见轮非嵗轮问金水二星之求次均也【即迟疾留逆】用伏见轮厯指谓其即嵗轮，其説非欤？曰：非也。伏见轮之法起于回厯，而欧逻因之。若果即嵗轮，何为别立此名乎？由今以观，盖即嵗轮上星行绕日之圆象耳【王寅旭书亦云伏见轮非嵗轮】然则伏见轮旣为围日之迹，上三星宜皆有之，何以不用，而独用之金水？曰：以其便用也。盖五星行于嵗轮，起合伏，终合伏，皆从距日而生，故五星之嵗轮并与日天同大，而嵗轮之心原在本天周，故其围日象又并与本天同大。上三星之本天包太阳外，其大无伦，又其行皆左旋【所以左旋之故，详其后论】颇费觧説，故只用嵗轮也。至于金水本天在太阳天内，伏见轮既与之同大，又其度顺行，故用伏见轮【亦即绕日圎象】若用嵗轮，则金水之嵗轮反大于本天【以嵗轮与日天同大，故皆大于本天】故不用嵗轮，非无嵗轮也。承用者未能深考立法之根，輙谓伏见轮即嵗轮，其説似是而非，不可不知也。伏见亦起合伏，终合伏，有似嵗轮，然嵗轮之心行于本天之周，而伏见轮以太阳为心，故遂以太阳之平行为平行，皆相因而误者也。

论五星平行然则金水既非以太阳之平行为平行，又何以求其平行？曰：嵗轮之心行于本天，是为平行，乃实度也。实度者，周度也【以本天分三百六十度，而以各星周率平分之，则得其毎日平行。如土星二十九年竒而行本天一周，则二十九日而行一度，毎日平行二十九分度之一，是为最迟。木星十二年周天，毎日平行约为十二分度之一。火星二年周天，约为毎日平行半度。金星二百二十余日周天，约毎日平行一度半强。水星八十八日竒而周天，约毎日平行四度。皆平行实度】若嵗轮及伏见轮，虽亦各分三百六十度，亦各有其平行，然而非实度也【既非本天上平行之度，又非从地心实测之平行度】乃各星之离度耳。因此离度【下文详之】用三角法从地心测之，则得其迟留伏逆之状，亦为实度矣【此实度不平行与本天之平行实度不同】本天之度，平行实度也。嵗轮及伏见，乃离度也。离度为虚数，故皆以半径之大小为大小。伏见轮上行度与嵗轮同，所不同者半径也。伏见之半径皆同本天，嵗轮之半径皆同日天。

论离度有顺有逆问何以谓之离度？曰：于星平行内减去太阳之平行，故曰离度，乃离日之行也。以太隂譬之，其毎日平行十三度竒者，太隂平行实度毎日十二度竒者，太隂之离度也【于太隂平行内减太阳平行】是故金星毎日行大半度竒，水星毎日约行三度，皆于星平行内减太阳之平行。因金水行速，其离度在太阳之前，乃星离于日之度，故其度右旋顺行，与太隂同法也。若上三星，则当于太阳平行内减去星行，是为离度。盖以上三星行迟，在太阳之后，乃星不及于日之度，其度左旋而成逆行，与太隂相反。然其为离日之行度一而已矣【王寅旭五星行度觧：谓上三星左旋，盖谓此也。然竟以此为本天，则终非了义】论平行有二用，而必以本天之度为宗。平行者，对实行而言也。然实行有二：一、是本天最髙卑之行，亦曰实行；一、是黄道上迟留逆伏实测，亦曰视行。是二者皆必以本天之平行为宗。若金水独以太阳之平行为平行，是废本天之平行矣。又何以求最髙卑乎？围日之轮【即伏见轮】起合伏，终合伏，是即古法之合率也。本天之行，则古法之周率也。最髙卑，则古法之厯率也。又有正交、中交以定纬度，即如古法之太隂交率也【此一法是西法胜中法之一大端】是数者皆必以本天取之，故不得以围日之轮为本天。厯指言，金星正交定于最髙前十六度，水星正交与最髙同度，其所指皆本天之度，非伏见行之度，则伏见轮不得为本天明矣。今以七政厯征之，不惟最髙卑之盈缩有定度，即其交南北亦有定度。故金星恒以二百二十余日而南北之交一终，水星则八十八日竒而交终。此皆论本天实度，原不论伏见行是，尤其较著者矣。

论金水交行非徧交黄道问周云渊言金水遍交黄道不论何宫今日交有定度何也？曰：云渊之説盖因回回厯纬表而误者也。何以言之？回回厯以自行度、小轮心度立表而定其交黄道之度，非以黄道度为主而求其交处也。故其所谓宫度者，皆小轮之宫度也，非黄道之宫度也。若谓黄道之宫度而可以徧交，将正交之度亦无定在矣，又安得谓金星正交在最髙前十六度，及水星正交定于最髙同度乎？必不然矣【正交定度虽出厯书，然与回厯原是大同小异】今以七政厯攷之，金星、水星之交周皆有定期【金星以二百二十余日，水星以八十八日竒】但嵗轮心行至正交，即无纬度，不论其为合伏，为冲退，为疾，为迟，或留也。以此而断，其必有本天，有嵗轮，可以勿疑。

论金水伏见轮伏见轮即绕日圆象也，其半径与本天等，本天上嵗轮心所行之周，半在黄道北，半在黄道南，其势斜立，如太隂之出入黄道，为隂阳厯也，而星体行伏见轮周，其势亦斜立与之相应故其交角等嵗轮心在正交或中交，则星无纬度。故伏见轮上亦有正交中交，嵗轮。心行过正交，渐生北纬，至离正交九十。度则北纬极大如太隂之隂厯半交。也【古法正交后，阳厯中交后，隂厯。西法则反用其号，然其用不殊】嵗轮心行过北大距【离正交九十度至一百七十九度】北纬渐小，至中交而复无纬，此如太隂之隂厯半周也。嵗轮心行本天隂厯半周，即星在伏见轮上亦行北半周，而其纬在北纬有大小无不与之相似。嵗轮心行过中交，渐生南纬，至离中交九十度，南纬极大，如太隂之阳厯半交也。嵗轮心行过南大距，南纬渐小，复至正交而无纬，如太隂之阳厯半周也。即星在伏见轮，亦行南半周，而南纬之大小，一一与本天相似。聨正交中交成一线，此线在本天必过地心，以本天圆面与黄道面斜交相割而成也。而在伏见轮，亦必过日心，以伏见轮之绕日圆象，亦与黄道面斜交，而半在黄南，半在黄北，圆面相割成线也。以此线为横线，而均剖之作十字横线，则上下两端所指，并半交大距度矣。此伏见轮上十字线之理也。伏见轮心即太阳，太阳行黄道三百六十度，伏见轮亦随之行一百六十度，而十字之形不变，此正视之形也。又正视图不能见交角，故必以旁视明之。伏见轮事事与本天等，故以本天明之。

如图　甲丙乙壬为本天浑员之体【因旁视即为本天浑】

体】甲心乙即本天之星道【因旁视，故前平视之外，周跻缩成一直线】也】心即地心【在伏见轮即为太阳】又即为正交中交【因旁视正交中，交过心，横线竟防成一点】丁心癸，即本。天上黄道圈【本天小于黄道，然其度一一与黄道相应而成一圈，亦因旁视防成】【一直线】两直线相交于心，即成纬度角【两直线相交，即两圈】【相交也，亦即为两圆靣相切。两圆面者，一为星道，一为黄道，在浑体皆成面】甲心丁角在黄道北，其弧甲丁，其正▯甲庚，北大距之纬度也【甲丁弧虽在本天然，即外应黄道纬】乙心癸角在黄道南，其弧乙癸，其正▯乙辛，南大距之纬度也【乙癸弧在本天外应黄道，与甲丁同】问何以分南北也？曰：甲丁与乙癸两大距弧，各引长之，成一全圈，在本天浑体即外，与黄道上过极经圈相应，而北心南直线为之轴，北即北极，南即南极，亦与黄道之南北极相应矣。甲心线在黄道北，即生北纬；乙心线在黄道南，即生南纬。又何疑哉【甲心半径也，以旁视故，正交后北半周一百八十弧度，并跻缩成直线与半径等；乙心之在南，亦然】然何以谓之大距？曰：甲丁纬弧与甲心丁角相应，为北大纬；乙癸弧与乙心癸角相应，为南大纬。甲▯乙▯并居半交，故其纬最大；其未及半交及已过半交，其纬并小，南北并同也。问纬度即角度也？角同而纬有大小，何也？曰：角虽同，而边不同也。大距度以半径为全数，其余各度并皆以正▯当全数。假如任举一度，如过正交三十度为戊▯【未至中交三十度亦同】其正▯戊心法为甲心全数与甲丁大距之正▯甲庚，若戊心正▯与戊子弧之正▯戊巳也【戊心巳句股形与甲心庚形相似，同用心角，而戊心边正得甲心之半，则戊巳亦甲庚之半，而戊子弧亦必为甲丁之半矣，他皆仿此】以上所论皆本天之事，然伏见轮之理并无有二，故此一图即可作伏见轮观，其旁视之交角甚明也。

论伏见轮十字线伏见轮既为绕日员象，而生于本天之嵗轮，故其面与本天等径，而其斜交黄道之势，亦与本天等。夫本天之斜交黄道也，半在北，半在南，惟正交、中交二▯与黄道合聨。此二▯过心，是为交线，即两员面相切所成也。从交线上中分之作过心十字直线，至本天周，即大距线也。何则黄道面上原有十字线，正视之，两线合为一直；旁视之，则本天直线斜穿而成交角。故此直线在本天，即为大距线也。此直线所指本天之度，正在二交折半之中，其距最大，故即为大距线。然则此十字线者，固本天所原有，而伏见轮之斜交黄道，既与本天等，则其十字线亦无不等矣。伏见轮即为绕日之员象，则太阳即轮心。太阳行于黄道，故伏见心钉于黄道也。然其心虽钉于黄道，而其面则半在北，半在南，一定不易。任轮心在黄道之何度，而其斜交之面总与本天为平行，故其交线皆不变，其十字大距线亦不变也。由是观之，伏见轮亦有二面。何则？伏见轮之面既斜交黄道，与本天之面为平行，则其相当之黄道亦即有与伏见轮相应之一圏，与黄道面平行，而与伏见轮斜交，亦如本天之与黄道斜交矣。如是，则伏见轮之交线常与本天之交线平行，不论在黄道上何度分也。而伏见轮上之从心所出之十字大距线，及所相当黄道上从太阳心（即轮心）所出之十字线，亦与本天心黄道之十字线平行。而两十字线正视之成一直线，旁视之一直一斜，而成大距之交角，亦一一与本天交黄道之角分寸不爽。故用伏见，即如本天也。

论伏见轮之所以然伏见轮半在日天外，半在日天内，其半径与本天等，即星体所行也【黄道半径与金星本天之比例约为十与七二有竒】伏见轮以日为心，绕日环行，与本天周上嵗轮心行度相应，故其大相等。本天半在黄道北，半在其南，伏见轮亦然【门人刘着云：譬如人放纸鸢，人在下环行，而纸鸢亦在空际环行，盖以纸鸢为风所举不能下，而又为线所引不能不环行，可谓善于形容】故惟本天之度为实度，不惟伏见轮为星绕日行之虚迹，即嵗轮周上星行之度亦虚设之员周，非硬圏有形质也。譬如浮屠髙尖有珠如日，人持长竿，竿上端有微小之珠【如金星】浮屠之中腰有圆圏梯道斜绕之【如金星本天之斜立】人行其上【如嵗轮心之行于本天周】其珠竿直立指天，其长也如浮屠尖至其腰围之心【如星在嵗轮周至嵗轮心之径与日天半径等】两珠相望有绳系之，其绳常引直而有定距，与腰围斜绕之磴道等【如金星绕日有定距与本天半径相等】持竿者循斜梯绕浮屠旋转平行之，则竿上珠自然亦绕尖上大珠旋转成员象矣【此如伏见轮为绕日之员象】由是言之，可以免嵗轮大小之疑。何则？嵗轮之心行于本天之周，而本天既有髙卑。嵗轮心行于髙度，则金星在伏见轮者离地逺矣；嵗轮心行低度，则星在伏见轮者离地近矣。近则觉嵗轮之半径小矣，逺则觉嵗轮之半径大矣。若嵗轮为坚靭之物，何以能伸屈如此乎？更以视法徴之，何以在最髙反大，在最卑反小乎？必不然矣。

嵗轮之大小又因于太阳髙卑伏见轮既以日为心则太阳行最髙时伏见轮从之亦髙而星去地逺太阳行最卑则伏见轮从之卑而去地近亦遂疑嵗轮之有大小而与视法反若知嵗轮亦非真有轮则羣疑尽释矣求伏见轮交角伏见轮斜交黄道，旣一一与本天等，则伏见轮交角与本天交角亦必相等。假如本天大距纬度之正▯，欲变为伏见轮上大距之正▯，法为黄道半径与本天大距之正▯【即本天交角】若伏见轮半径【亦即本天半径】与伏见轮之大距正▯也。金星本天交角定为三度二十九分，水星六度，分一。黄道半径【全数】一○○○○○二本天交角【正▯】○六○七六二　伏见轮半径　　　七二二五一四，伏见轮大距纬【正▯】○四三八九王寅旭中纬准分是○四三九○，葢以得数九九七收作一数，故也。其余各度并先以全数为一率，交角正▯为二率，各度正▯为三率，得四率为各度纬。再以全数为一率，各度纬为二率，伏见半径为三率，求得四率为各度变率之本纬。简法置交角正▯以各度正▯乘之，去末五位，又以伏见轮半径乘之，去末五位，即径得各度变率本纬。又防法：黄道半径为一率，大距正▯变率为二率，各度正▯为三率，得各度本纬为四率。假如伏见轮上距交三十度，求其本纬。

一　黄半径全数一○○○○○二【大距正▯】变率○四三九○乘得二一九五○○三三十度正▯五○○○○○○○四　三十度本纬　○二一九五解曰：此以变率求变率，故径得本纬，不须再变。寅旭用中纬准分，即此理也。

求各度正余▯变率法置各度正余▯以伏见轮半径乘之，得数去末五位，即得变率之正余▯求金星视纬法【水星仿此】

一求合伏距交法以本日太阳实行在正交后宫度【即伏见轮心距交宫度】命为合伏距交度。解曰：凡星合伏，必与太阳同度。太阳行一度，小轮上合伏，▯亦随之移一度。故太阳实行度，即轮心，而轮心距交，必与轮周之合伏距交等角。

二求星距交法以用日，距合伏后日数，在位用星，离日度三十七分弱为法，乘之，得离日平行，以加合伏距交度，为星距交平行度，再简本度盈缩差，加减之【即加减差从最髙卑起算】为星实行距交度分。解曰：金星之行速于太阳。太阳行一度，金星行一度三十七分弱有竒。故虽与太阳同行，而常在前，谓之离日度。厯书以太阳之行为星平行，非真平行。故必并此离日度，始为真平行。星平行在伏见轮周，而根本在本天。嵗轮心行于本天，有髙卑加减，古厯谓之盈缩差。伏见轮上行，旣与本天上嵗轮心行相应，则亦必有盈缩加减矣。三求两距，交度入隂阳厯，及初末限。法以两距交度【一伏见轮心距交是黄道上度一星体距交是伏见轮周度】并视其在半周以下为入隂厯【○一二三四五宫】满半周以上内减去半周为入阳厯【六七八九十十一宫】各视其度在象限以下为初限【○一二宫为隂厯初限，六七八宫为阳厯初限】满象限以上用以减半周余为末限【三四五宫为隂厯末限，九十十一为为阳厯末限】

四求视纬正▯法以星距交正▯【用变率】及各度本纬【变率】各自乘实相减得数开方得根以加减黄道正▯【即轮心距交度正▯用本数】为黄道正▯又自乘之得数以与本纬自乘实相并【本纬实即上所求】为视纬股实开方得视纬正▯【防法不必开方只用股实】加减例视【黄道上轮心伏见轮上星】两距交度【同在隂厯或同在阳厯则相加，或一在隂厯一在阳厯则相减】解曰：星距地心线如句股之▯，即全数也。故亦有其正▯为股，余▯为句。

五求视纬余▯法以星距交度余▯【变率】加减黄道余▯【用本数与正▯同】为视纬余▯。加减例视两距交度【仝在正交边或仝在中交边则相加，若一在正交边，一在中交边则相减】解曰：在正交边者，隂厯初限，阳厯末限也。隂厯初限，为已过正交，在正交前一象限也。阳厯末限，为未到正交，在正交后一象限也。此两象限共一百八十度，在十字直线之右，并于正交为近也。在中交边者，隂厯末限为未到中交之度，在中交后一象限，阳厯初限为已过中交之度，在中交前此一百八十度，在十字直线之左，并于中交为近也。又总解曰：正▯之加减，论隂阳厯，以十字横线为断也。余▯之加减，论正中交，以十字直线为断也。横线者，交线也。直线者，大距线也。正▯线并与大距线平行，是各度距交线之数。余▯线并与交线平行，是各度距大距线之数。于此而知十字线之为用，大也。

六求星距地心线法以视纬正▯、余▯各自之并、而开方得星距地心线七、求视纬。法以各度本纬【变率】加五位为实，星距地心为法除之，得视纬。论曰：必如此下算，则事事有着落。视纬得数始真。若前纬后纬之表，以中分取数，加减法虽巧便，得数亦恐不真耳。假如金星伏见，轮心距正交三十度，星距合伏三十五度，求视纬。

如图大圈为黄道小圈为伏见轮轮心在日距正交为井日弧三十度合伏距正交为合正亦三十度，星在戊，过合伏三十五度，距正交为戊正弧六十五度。法先用日乙丙丁戊巳两三角形，依变率法，日乙与乙丙大纬正▯，若丁戊星距交正▯与戊巳纬次用丁戊巳直角形，巳为直角，戊丁为▯，戊巳为勾，求得巳丁股次用戊巳癸直角形，巳为直角，以巳丁股加丁癸【丁癸即日壬为轮心距交井日弧正▯】共己癸为股，戊巳为勾，求得戊癸为视纬正▯次以星距交正戊弧余▯丁日即壬癸也与壬心相加【壬心为轮心距交井日弧之余▯】共癸心为视纬余▯次用戊癸心形，癸为直角，戊癸为股，癸心为勾，求得戊心星距地心线末用心戊巳直角形，巳为直角，心戊与戊巳纬若全数与戊心巳角之正▯求弧得心角视纬度【图内诸三角形俱是立三角须以浑体观之便明】按右法未加髙卑之算，盖前纬后纬表原亦未用髙卑也。若求宻率，仍当以髙卑入算。为穏説，具后条。又按，依右法用三角形推算，可不必立前后纬表，亦不用中分厯书，盖以作表故，用约法以该之也。论大距纬之变率，又以髙卑而变。大距纬者，即黄道交角之正▯金、水本天半径皆小于黄道半径【黄道常为十万，而金星本天半径得其十之七有竒水星得其十之三有竒】故其大距纬亦小于黄道之大距纬，而各度从之皆有变率矣。然星本天既有髙卑，则其半径亦时有大小，而其距纬亦从之有大小。变率之法，又当以此为准的也。准前论，在本天最髙则半径大，而伏见轮半径亦大，即距纬亦大矣。在最卑，则半径小【本天与伏见轮并仝】距纬亦小矣【皆变率之距纬】説者遂谓其与视法之理相反，殊不然也。何则，本纬之变率与视纬之变率不同也。本纬在最髙，则半径大，本纬亦大；在最卑，则半径小，本纬亦小。乃本天自有之数，非闗视法【伏见轮上纬仍是本天】视纬，星距地逺则大纬变小，星距地近则小纬变大，全系视法【从地上看伏见轮上星】

论黄道亦有半径之大小黄道半径常为十万分全数，然黄道旣有髙卑，则其半径必有大小。最髙时半径必十万有竒，最卑时半径必十万不足。日躔章原有太阳距地髙卑表，所当取用者也。太阳距地，为黄道半径，亦即伏见轮心距地也。在上三星，用嵗轮，即为嵗轮半径。王寅旭曰：因黄道之髙卑，而嵗轮有大小，盖谓此也。今按嵗轮与黄道同大，厯家筭髙卑，或用不同心圏，则其距地之数有大小，乃是半径有大小，非以此半径另作一圏也。以嵗轮立算，乃是数中之象，因天运有常，故可以轮法测之。此可为达者告也。论伏见轮半径，亦有大小，而本纬因之有大小。本天旣有髙卑，则半径有大小。而伏见轮并与之等。伏见轮半径旣有大小，则其正▯、余▯之变率及大距度之变率与各度之本纬并因之而有大小。法以本天髙卑求得各度半径为伏见轮各度半径【最髙距正交十六度起算】就以半径为法，乘各度正▯余▯，去末五位为正▯余▯变率。又以半径为法，乘大距正▯【金星大距三度二十九分】去末五位为大距变率。就以大距变率为法，乘各度正▯去末五位，为各度本纬。以上数端，并以最髙变大，最卑变小。

论视纬当兼用两种髙卑立算准上论，黄道半径有大小，伏见轮半径及正余▯及本纬并有大小，必兼论之，则视纬始为宻率。

法以伏见轮各度正▯变率自乘本纬亦自乘两得数相减开方求根以加减黄道正▯【髙卑所求】为正▯又自乘之以并本纬自乘为视纬自乘实【即视纬股实】又法不用加减但以伏见轮正▯【变率】为一边黄道正▯【髙卑所算】为一边大距度外角【以大距角减半周】为一角用切线分外角法求得视纬正▯自乘为股实亦同又以伏见轮余▯黄道余▯相加减【俱用变率】为视纬余▯又自乘之为句实并视纬股实句实开方得▯即星距地心逺近线也末以星距地心为法，本纬【变率】加五位为实，实如法而一，得视纬宻率。黄道髙卑于太阳实行度取轮心距最髙宫度【在正交后若干度起算】本天髙卑于伏见轮上星实行度取距最髙宫度【距正交十六度起算】

又按用此宻率当设两表一伏见轮上各度半径表，以金星髙卑算得其大小。一伏见轮上各度大距表，即以各度半径乘大距变率，正▯全数除之，即得。其黄道中各度半径，即用日躔髙卑表，不必另作。有各度半径，即可求逐度正▯、余▯变率【黄道仝】有各度大距变率，即可求各度正纬。以上俱用乘法，按金星之最髙，不与正交同度，相差十六度，当于伏见轮上安两种十字线，水星之最髙，则与正交同度。

论金星前后纬表南北之向金星前纬自小轮初宫向北，其纬极大为一度二十八分，自此渐减至二宫三十度而减尽无纬度【即三宫初度】自三宫初向南渐有南纬，至五宫三十度南纬极大为九度○二分【即六宫初度】自六宫初以后，南纬渐减，至八宫三十度，南纬减尽，无纬【即九宫初度】自九宫初度，复向北渐有北纬至十一宫三十度，复为一度二十八分【即初宫初度】据此，则金星前纬南纬大，北纬小，南大纬至九度○二，北大纬只一度二八，而分为四限。自合伏至留际【乃嵗轮上距合伏九十度亦可名为留际】北纬减尽为初限，自留际向南至退合，南纬至九度○二分【为南纬极大】为次限。自退合以后，南纬渐减，至留际【距退合亦九十度】南纬减尽为三限。自留际复向北至合伏北纬至一度二十八分【北纬极大】为末限。此盖以嵗轮上合伏之时，星距地逺，故纬度见小；退合之时，星距地近，故纬度见大。此前纬是置轮心在正交后大距处，而算伏见轮上一周之纬，故其南北之向如此。金星后纬自小轮初宫初度无纬度，自此向北而生，北纬北纬之大为二度三十三分，在四宫十五度，自此渐减至五宫三十度，北纬减尽【即六宫初度】自六宫初度以后，向南而生，南纬，南纬之大亦二度二十三分，在七宫十五度，又自此渐减至十一宫三十度，南纬减尽【复至初宫初度】据此则金星后纬向南向北分为两限【其增减之分南北相同但有顺逆而无大小】自合伏始，向北而生，北纬至距合伏一百三十五度，北纬甚大【至二度三十三分】至距合伏一百八十度，北纬减尽而无纬度【即退合时，其距大纬度相距四十五度】是为北纬限。自退合后始向南而生，南纬至距退合四十五度，南纬甚大【亦二度三十三分】从此渐减至退合一百八十度，南纬减尽而无纬度【即复至合伏，其距南大纬度一百三十五度】是为南纬限。此后纬是置轮心在正交▯而算伏见轮上一周之纬，故其南北之向若此。若水星南北之向俱与金星相反，然伏见轮之理则同。合前后二纬，表观之，距合伏后一象限，前后纬宜相加，以其同为向北也；距退合前一象限，前后纬宜相减，以前纬已改向南，而后纬仍向北也。过退合后一象限前后，纬又宜相加，以前纬仍向南，而后纬亦向南也。过退合后第二象限【即距合伏前一象限】前后，纬又宜相减，以前纬已改向北，而后纬仍向南也。

论金星前后纬加减之法前纬起大距【凡言起者，即合伏▯所在】自初宫至二宫，共九十度，为隂厯末限。后纬起正交，自初宫至二宫，共九十度【○一二宫】为隂厯初限。虽分初末，皆隂厯也，故相加。前纬过九十度【三宫四宫五宫】为阳厯初限，后纬过九十度【三宫四宫五宫】为隂厯末限。一隂厯，一阳厯，南北相反，故相减。前纬过一百八十度，复行九十度【六宫七宫八宫】为阳厯末限；后纬过半周，复行九十度【六宫七宫八宫】为阳厯初限。并阳厯俱在南，故亦相加。前纬过二百七十度，行一象限，复至合伏【九宫、十宫、十一宫】为隂厯初限；后纬过二百七十度，行一象限【九宫、十宫、十一宫】复至正交，为阳厯末限。一隂厯，一阳厯，故又相减。此置轮心【即太阳】于正交【后纬】及正交后大距【前纬】立表。若置轮心于中交【为后纬】及中交后大距【为前纬】则隂阳之名相易，然加减之法并同。并以合伏后一象限相加【○一二宫】第二象限相减【三四五宫】退合后一象限【六七八宫】又相加第二象限又相减【九十十一宫】又按厯书枢线之説，盖是谓交防移则南北变，恐非有翕张之形也。假如交在合伏，则合伏线与交线合而无纬度，若合伏过正交若干度，则正交上之合伏后若干度【即合伏防距枢线之度】此处无纬度，而合伏反有纬度矣。是纬度之变动，全系乎枢线之移也【即轮心所到】

论五星以髙卑变纬度本天髙卑能变纬度理宜有之。然按图详审，其法有三：其一，于本天之斜交径上作嵗轮，三径线与黄道面平行，逺近不同，纬度自异；其二，于本天斜径上只作一嵗轮，径线而最髙卑之嵗轮心有时而移，即其周之长短随之逺近；其三，亦只作一径线，而行最髙时嵗轮圏大，行最卑时嵗轮圏小。三者虽同用最髙卑立算，而加减各异，此必徴之实测乃可定之。

第一法用三线则交角虽不变而嵗轮面与黄道面之逺近顿殊【角既同矣纬何得异曰所用之本天径线不同也假如中距时交角为三度其所得正▯乃中距时径线为全数也若最髙时则其全数大矣虽亦三度角之正▯而其实数则大矣故纬亦大最卑时全数小而正▯亦小彷此论之其留际上下角不同者又在其外也】又有异者，若用三线，则交防亦当有变，何也？中距面线至正交时，与黄道面径合为一线，其余两嵗轮面线必一在北，一在南【按：至交防，则三线合一，此一节可以勿论】第二法，嵗轮只用一线，其面之距纬本无不同，而最髙卑时轮心有动移。最髙时，轮心在上，则正▯线如故，而角变小矣【谓小于中距之角】最卑时，轮心近下，则正▯如故，而角变大矣【大于中距角】何则，正▯虽同【谓嵗轮面与黄道面平行之纬】而轮心在上则逺于地心而见小矣，轮心在下则近于地心而见大矣【又法用不同心于黄道，则不但正▯不变，角亦不变，但人在地心视之，则有大小与上法二而一者也】第三法，只作一嵗轮径线【凡言径线，皆因旁视而面变为线】而其两端并作三层线，折半为嵗轮心，而两端无参差，尽其轮边【即径线两锐尖尽处】为最大圏之径，乃最髙时所用，两端各缩进为界，则中距时径也，两端又缩进为界，则最卑时圏径也。西厯论火星嵗轮有大小之故，解之以髙卑，而王寅旭亦取之用此法也。以上三法，不知谁为定法，故曰：必徴诸实测。

又按三法在上三星其用皆同至金水则又大异何则金水嵗轮大于本天【以其径同太阳天故】则包过地心退合时轮心在人之背而星在轮周跨过地心在人之上星之下星在轮周与其轮心如月之望而人居其间故最髙时轮心逺于地而星在轮周反近于地纬反变大矣若最卑时轮心近地而星在轮周反逺于地纬反变小矣此自然之势不得不然者也【此在第一法第二法并同】若用第三法则，虽有髙卑，而两端之逺近不变，与前二法相反，故必徴之实测，乃取其合者用之。杨学山曰：西法歩五星，土木火有嵗轮，金水有伏见轮。虽两轮行度，求角之法皆同，然嵗轮上为星离日之虚度，轮心在本天；伏见轮则自有行度，轮心即太阳。细按厯书之説，盖谓上三星本天包太阳天外，星离日，而又与日有定距，是生嵗轮，其半径恒与太阳天等。若金水之本天即太阳天，其平行与太阳同，距地亦与太阳等【俱一千一百四十二地半径】而此伏见一轮以日为心，绕日环转而为伏见，使非此轮，则星无所为伏见【以平行同太阳故也】故名伏见轮之半径皆有定度【金星七千二百竒，水星三千八百竒】是其意原非以伏见轮当嵗轮。若果即为嵗轮，则半径宜有大小，何则火星因与太阳天近，尚有日躔本天二差以变次均角，岂金水在太阳天下而反无之？今测不然是伏见轮另为一种行动，为金水之所独，故昔人别立伏见轮之名也。其所云即嵗轮者，盖因行法相同而混言之耳。今勿庵之説又异，是谓五星皆同一法，皆有嵗轮，上三星因本天大故用嵗轮，金水因嵗轮大难用故用绕日圆象【即伏见轮，如上三星围日之圏】如此可明金水自有本天，因得自有髙卑，亦自有平行度，因在日天下速于太阳本天，斜倚黄道，因有正交中交之名，诸根底俱有着落。且五星一贯，但依此立算，凡星平行自行之根数，初均次均之度分，南纬北纬之大小，皆与厯书数迥异，騐之于天末识合否？余尝疑厯指论五星纬説多混淆，金水尤略，因作《五星纬行解》一巻明之。勿庵之説不敢遽定其是非，存之以待参攷焉。

厯算全书卷十六

钦定四库全书厯算全书巻十七宣城梅文鼎撰火纬本法图説荧惑，一星，最为难算。至地谷，而其法始宻。图表具在，可攷而知也。何尝云火星天独以太阳为心，不与余四星同法乎？作厯书者，突发此语，遂令学者沿譌。是执图以观图，而不以算理观图也。不知厯算家有实指之图，有借象之图。地谷氏之图火星，所谓借象也，非实指也。钱唐友人袁惠子士龙，受黄三和先生▯宪厯学，以厯指为金科。余故为作此，以极论之，而徴之切线分角之法，以着其理。袁子虚懐见从已，复质诸睢州友人孔林宗兴秦，亦以为然，而手抄以去。又旁证诸穆氏《天歩真原》，王氏《晓庵厯法大防》，亦多与余合。

火星本法【发厯书之覆】据厯指，万厯癸丑年，太阳在降娄宫一十四度有半。地谷测火星体，防合于井宿第五星。

经度为鹑首四度半纬度在黄道北二度十一分火星平行在壬距冬至二百一十七度半强火星最髙在丙引数自丙，厯丁至壬，三百三十八度半弱。

图説乙为地心即为各天平行之心【亦黄道心】大圈为火星平行之天内圈为太阳平行天皆以地为心【其度皆应黄道】太阳在本天自春分壁向娄顺行火星嵗轮心在本天自丙过丁至壬顺行。太阳行速而火星行迟今太阳在后火星在前是。太阳与星已过相冲之度，而从后逐星也。火星在嵗轮上，亦自戌顺行过亢至申。合伏时，星在戊冲日，时星在亢，今在申，是星己过冲日之限，而复向合伏也。太阳距星实行为娄张▯【亦即心氐】以减半周为张角▯，为黄道上星距日冲之度【亦即氐未】太阳在黄道上自娄仍顺行，其冲亦自角顺行，星亦自氐顺行，而日速星迟，故其距渐近，而星距日冲渐逺，则星在嵗轮上距合伏之度亦渐近，距冲日之度亦渐逺。其嵗轮上渐逺渐近之度，皆与黄道上距度相应。然黄道上娄张是日，在后追星，嵗轮上是星向合伏【申戌】黄道上日冲度渐离星【角张】嵗轮上是星离冲日【申亢】本法以平行壬为心，作子癸小轮，自最髙子过癸左行，为引数之数至丑。又以丑为心，作夘辰小均轮，自辰最近右行，过夘歴寅，复过辰歴夘至寅，为引数之倍，减去全周，得嵗轮之心到寅。先以丑寅壬三角形求得丑壬寅角及壬寅线，次以寅壬乙形求得寅乙线为嵗轮心距本天心之数。又求得壬乙寅角为平行实行之差，即前均也。因在后六宫，其号为加，得寅乙申角为实行视行之差。此以上，厯书之法并同；以下，则异。次以寅为心作嵗轮戊申亢圏也。戊为最逺合伏之度也。亢为最近冲日之度也。今太阳在降娄，火星在鹑首，是已过冲日之度，而日反在后以逐星也。其日星之距为降娄至鹑首之度，在嵗轮上则为申戊弧，乃星行嵗轮末至合伏之度也【厯家谓之距余，盖顺数自戊合伏过亢冲日至申为距合伏行度，以▯全周得申戊为距余】以申戊减半周得申亢▯，为巳过冲日之度，即申寅亢角【或申寅乙角】末以申寅乙三角形求申寅半径。此形有先求得寅乙距心线，又有申乙寅角为先测火星视行与所算实行之差度，有申寅乙角为嵗轮上己过冲日之度，有两角自有寅申乙角，法为申角之正▯与乙角之正▯若寅乙线与申寅线也【此以测得视差而求半径】若先有申寅半径而无视差度求乙角者，则以切线法求之，以申寅邉乙寅邉并之得戊乙为总数【一率】又以申寅减乙寅得亢乙为较数【二率】以申戊▯度半之为距余半，求其切线【为三率】法为总数与较数若半距余角【即半总角】之切线与半较角之切线也，求得四率查切线得其度，以减距余半之度，余为申乙寅视差角，乃以视差角减实径为视径【已过日冲其差为减】此本法也，厯书所载求法得数并同，而其图迥异，盖巧算耳，下文详之。

厯书之法，亦是用两角一邉以求余邉【星过日冲弧度是一角，测得视行与实行之差是一角，算得寅乙距心线是一边，今以法取嵗轮半径为所求一边】然不正作申乙寅视差角，而反作乙寅甲为视差角。故亦不正作申寅乙星过冲日角，而作寅乙甲为星距冲日角。然则用本法者，惟寅乙距心一线耳。然既有寅乙线为主，又有寅乙甲为星距日冲度，有乙寅甲角为视差度，则乙寅甲三角形与申乙寅三角等，而甲乙邉必与申寅半径同矣。此倒算防法与加减差法，不作角于心，而作角于邉，同一枢轴也。其法以先得寅乙线为三角之底，其两端各作角【即先得两角】各引其邉遇于甲，则甲乙为半径【寅甲亦即为星体距心与申乙之距同矣。又大阳心在降娄，其冲未在寿星。星实行在氐，氐末▯为氐乙未角，即星实行己过日冲之真距也。正与嵗轮上申亢▯度等，故用氐乙未角为黄道上星距日冲之度，与用嵗轮上申寅亢同。此为借象之一根】然又以甲为地心而作圏周分十二宫何也？曰：此则借象也。其法妙在作甲己线与寅乙平行何也？先依寅乙线作三角形，其寅甲原与申乙平行，今己甲又与寅乙平行，则寅甲己角与申乙寅角等度，而且等势矣【寅甲线斜交于寅乙及甲己两平行线中，则所作寅甲己及甲寅乙两角等；寅乙线斜交于申乙及寅甲两平行线中，则甲寅乙与申乙寅角亦等，而寅甲己角与申乙寅不得不等矣○角之度既相等，而寅乙线即原用之线也，今巳甲与寅乙平行，故不惟等度，而且等势也】由是而自甲心作春秋分横线、井箕直线，即与乙心所作大圏上降娄夀星横线及冬夏至直线悉为平行而等势【横与横平行，直与直平行，则其势等】于是而匀分十二宫，即无一不与乙心所作大圏等。十二宫既与大圏等势，而寅甲己角又与大圏之申乙寅角等度等势，则己甲线即指星实行度，寅甲线即指星视行度，而可以命其宫度不爽矣。推此，而辛甲为星最髙指线，及作平行线于己甲实行之内，一一皆真度矣。又以乙为太阳体何也？曰：太阳实行降娄宫度，原在大圏，其离降娄之度为乙角。今太阳指线过乙至甲，则甲角与乙角等度。而乙防在次圏上【甲心所作之甪】距春分之度与大圏等【圏有大小而角度等】即太阳真度可以命之为日矣。乙既命为日，则次圏可命为太阳所行之天。而乙心所作大圏，以太阳之冲处割小圏，有火星行嵗圏最近侵入太阳天内之象，故遂以大圏命为星行之圏也【又寅乙甲角原为星距日冲之度，与申寅乙角同，而甲己既与寅乙平行，甲未即甲乙之截线，则己甲未角又与寅乙甲角同，而己亥▯与嵗轮上申亢同为星距日冲之▯】此一图也，有嵗轮半径之数【甲乙】有火星实行视行差度【寅甲己角】有周天宫度，有太阳度，及火星最髙卑度，又有火星行最近入太阳天内之象，可谓简而该，巧而妙矣。

非地谷精于测算，神明于法，不能为也。然则何以谓之借象？曰：以其一图而备数端，故知之也。何以言之？甲乙者，嵗轮之半径也，不得与日距地心同数一也。寅乙距心之线，从两小轮求出，而两小轮在火星本天，是从乙心起算，不从甲心起算二也。因寅乙距心之线以得视差之角，亦为乙心之角，非甲心之角三也。若甲真为地心，则与乙太阳有距数，太阳乙心所见之差角至地心必不同观四也。视行实行之差角为地面实测，非乙心之数，不得两处悉同五也。又大圏既为本天，而侵入太阳天内，则将为嵗轮之心。若冲日之时，嵗轮心既在太阳天内，星又在嵗轮最近，将越过地心，如金水之退伏合，而不得冲日矣六也。由是观之，此图但为借象巧算之用，而非以是为真象也。或者不察，遂真以乙为日体，则死于古人句下矣。或问：「五星新图，亦以火星天用太阳为心，而冲日之处割入太阳天内，又何以説焉？」曰：「火星之行，围日而能割太阳天者，乃嵗轮上周行之迹耳，非本天也。盖火星本天在太阳之外，能包太阳之天，因嵗轮之行，合伏时在嵗轮之顶，去太阳益髙；合伏以后，离太阳渐逺，则行于嵗轮中半，与本天齐；及其冲日，则行嵗轮之底，而在本天之内，去地益近。其去地益近者，为日所摄也。此理五星所同，故土木火三星皆可为围日之象。今新图五星不以地为心者，是也。火星则嵗轮最大，冲日时稍侵入太阳之天，其实嵗轮之心仍系本天，在太阳天外耳。七政小轮周行于天，遂成不同心之圏；嵗轮周行于天，成围日之形，一而已矣。今以实数攷之，火星嵗轮半径约为本天半径十之六，其合伏时则两半径相加，成十六；冲日时两径相减，只余十之四。其侵入太阳天内约为一二分，则太阳天半径只得火星天半径十之六有竒；而火星合伏时在太阳上约为十分，冲日时在太阳下亦约十分，而成围日之形矣。是故以日为心者，嵗轮上星行之轨迹也，非本天也【图见下】火星嵗轮上轨迹围日之图【土木二星因嵗轮之度而成围日之形，与此同理，但其天更大而嵗轮小，故不致侵入余里之天】

丁、庚、寅、辛为太阳天。戊、癸、己、壬为火星本天。甲丑嵗轮以戊为心。丙子嵗轮以己为心。

丁为日体　甲丙皆星体甲、癸、丙、壬为嵗轮，上星行轨迹成一大圈，而以丁日为心。星天、日天，各有小轮髙卑，其本天则皆以地为心。星在嵗轮甲为合伏，而去地极逺。星在丙为冲日，冲日之时，庚丙辛▯割入太阳天庚寅辛之内，而去地极近。星在嵗轮丙时，已割入日天然嵗轮心，则在本天已。若如众説，以割入日天内者为本天，则冲日时，当以丙为嵗轮心矣。而星在嵗轮之上，又当向日，岂不越地心乙而过之乎？必不然矣。

切线法解在后火星次均解【火星次均用切线求嵗轮上视差角，乃三角法也】欲明火星次均，用切线之法，当先明三角形用切线之法。甲夘乙三角形，有甲钝角一百五十度，有甲乙邉六十，有甲夘邉一百整，求夘角。法曰：以甲角减半周，得余三十度，为癸甲乙外角。半之得十五度，为丙甲辛角。其切线辛癸【二六七九五】并甲乙【六十】甲夘【一百】共得丙夘一百六十，为首率【总数】以甲乙减甲夘，余得辰夘四十，为二率【较数】半外角之切线辛癸为三率。二率乗三率为实，首率为法除之，得辛夘【六六九八】为四率，即辛甲壬减▯之切线也。以四率查切线表，得三度五十分弱，为辛甲壬减▯角。以所得辛甲壬减▯角三度五十分，减半外角十五度，余壬甲丙角十一度一十分，即夘角也。今以火星言之，丙乙辰圏则嵗轮也。甲为嵗轮之心，丙甲辰夘过心线，即星实行度分也。夘为本天之心，甲夘者距心线也【即表中距日数】甲丙，甲乙，甲辰皆嵗轮半径也【即表中半径合日差而成星数也】先以前均求到星之实行，在甲矣。然此嵗轮之心，而非星也。星则自丙合伏，顺行过辰冲日，而渐近合伏，其体在乙，则丙辰乙为星，在嵗轮上行之度【与星距太阳实行之度相等】即相距度也。乙丙，则距余度半之为辛；丙则距余半也。乙辰▯为星，巳过冲日之度，则甲角度也。今已知嵗轮心实行之度，又已知星在嵗轮上行之度，所不知者视差角耳。盖自本天心夘作实行线，过甲心至黄道，又从夘作视行线，过乙星体至黄道，其差为夘角。是故求次均者，求此夘角也。用上法以距日【即距心】为一邉【甲夘】以星数为一邉【甲乙】以星行过冲日之度【即乙辰▯】为一角【甲角】成甲夘乙三角形。依上法得夘角，即次均也。一率，距日与星数之总【即甲夘并甲乙，亦即甲丙】二率，星数减距日之较【即辰夘】三率，距余半之切线【即半夘角之切线，辛癸。盖乙甲丙角为距余，即乙甲夘角之余度，半之为辛甲丙角，即距余半】四率，减▯之正切线【即辛壬，其角为辛甲壬】末于辛甲丙【距余半角】内减去辛甲壬【减▯角】余成壬甲癸角，与夘角等，得视差之度，如所求。既知三角形，用切线之法，尤当进而明其所以用切线之理。如后图乙甲夘三角形，甲角一百五十度，甲乙邉六十，甲夘邉一百。两邉之总一百六十为首率，两邉之较四十为次率。甲角之余角半之求切。线为三率【即率癸】求得四率为半较角之切线辛壬，求其度，以减半余角，得夘角。何以用切线也？曰：此分角法也。凡外角【乙甲丙为乙甲夘之余角，亦为外角】内兼有形内余两角之度【乙甲丙外角兼有夘角及甲乙夘角之度】试作壬甲线与乙夘平行，分外角为两，则壬甲丙角如夘角矣【以壬申及乙夘皆平行线，而丙甲夘未一直线，故其作角必等】外总角，内减去同夘角之壬甲丙角，则其余壬甲乙角必为甲乙夘角矣。今但有外角为总角，而不知其分角，故以比例分之；而切线，则其比例也。又试作乙丙线为外角之通▯，又从乙作正线至丁为乙甲壬大角之正▯，从丙作正线至戊为壬甲丙小角之正▯，而通▯遇壬甲分角线于子，成乙子及子丙两线，此大小两线之比例与大小两角之正▯比例等，何也？乙子丁勾股形与丙子戊勾股形，以子为交角，则相似，而乙子【大▯】与子丙【小▯】若乙丁【大股】与丙戊【小股】矣。

又甲夘大邉与甲乙小邉原若所对之大角正▯【乙角】及小角【夘角】正▯【凡三角形邉之比例与对角正▯之比例皆等】即乙丁与丙戊也【角同则正▯同】则甲夘与甲乙亦若乙子与子丙矣又试作辛甲线，分外角为两平分，而各作切线，为辛癸，为辛己【即半外角之切线】则两切线聨为一【己癸】而与乙丙平行。又引壬子线割之，则分为二线，而己壬与壬癸之比例，若乙子与子丙，亦若甲夘与甲乙矣。又作庚甲线，使庚己如壬癸，则庚壬为两线之较，己癸为两线之总。而甲乙、甲夘两邉之较，为辰夘，其总为丙夘。甲夘大邉与甲乙小邉之比例，既若大线【己壬】与小线【壬癸】则两邉之总与较，亦必若两线之总与较矣。一率，丙夘【即甲乙，甲夘两边之总】

二率　辰夘【即两邉之较】三率己癸【即己壬、壬癸两线之总】四率庚壬【即两线之较】今各半之。辛癸半总【即半外角辛甲癸之切线】辛壬半较【即半较角辛甲壬之切线】既得辛壬切线，查表得其角度，即半较角也。以半较角减【辛甲癸】半外角，即半角也。若以半较角加【乙甲辛】半外角亦即甲乙夘角矣。火星测算，本法图説【明厯书之倒算】嵗圏半径【六四七三八】甲乙。查加减表八宫十九度【四十分】半径数【六四○八七三】太阳引数星纪二十三度，加六宫为六宫二十三度，日差【一○一六】相并得【六四一八八】为星数，与所测防差。若用实引得半径【六四四二五】其数益相近。

距心数【九九六九七】寅乙平引八宫一十九度【四十二分二十秒】加均数，一十度【三十三分三十秒】实引九宫初度【一十五分五十秒】查加减表，八宫一十九度【四十分】距日【九九七○一】所差不多若用实引，则距心【一○一六七四】差稍大。然按图，用乙寅线，宜用实引。

图説本宜用寅防为嵗轮之心，以寅乙申角为嵗轮上视差角，即寅未▯也。寅申线，则嵗轮之半径也。此为本法。今厯书所载地谷图，不于寅心作嵗轮圏，而以甲为心。盖因戌寅亥角与寅乙申视角同度【切线法用此角以代乙角】而甲寅乙角者，戌寅亥之交角也。凡交角皆同大，则甲寅乙角亦即寅乙申视角矣。既以甲寅乙角为所测视角，则乙防即可为嵗圈之心，而甲乙寅角可代乙寅申角矣。故以嵗圏上星过冲日之度【冲日即近防亢星过日冲即乙寅申角亦即亢申▯】移作寅乙甲角。自乙嵗圏心依角度作乙甲线，与寅甲线遇于甲【先有乙寅甲角自有寅甲线】则甲防即嵗轮上星所到度，可代申防，而甲乙即嵗轮半径，可代寅申矣。故以甲乙线为半径者，巧法也。然则当以乙为嵗轮之心，用代寅防矣。何又以甲为心乎？曰：甲乙既为半径，则以乙为心，甲为界；或以甲为心，乙为界，其半径等为甲乙也。故倒以甲为心，其法与诸加减表説作差角于圏界者同也【先倒作均角于寅界，法同。两术中惯用此倒算之法】然则以甲为地心何也？曰：此则其移人耳目之法也。何以言之？彼固言甲乙为嵗轮半径矣，又以甲心乙界之轮为嵗轮矣。甲既为嵗轮之心，又安得为地心乎？然则地心安在？曰：以理论之，仍当以乙防为地心耳。何也？星之实经在寅，其视经在未，寅未之▯成寅乙未角，此固实测之度也。实测差角从地上得之，安得不以乙为地心乎？若谓乙为日体，则日之去地逺矣，日体所见之差角与测所见之差角必有分也，而今不然，故不得以乙心径为日体也。非地心而地心之何也？盖所以使人疑也。其使人疑奈何？嵗轮心之非地心，易见也；乙防之非日体，难知也。以其所易见例其所难知，疑则思，思则得矣。地心既非地心，则日体亦非日体，然则其中机彀固以示之矣。又论曰：借甲为地心，妙在作戊己线与乙寅平行。葢甲己既与乙寅平行，则己甲寅角即甲寅乙角，亦即寅乙申均角，而甲地心所作之十二宫度，一切皆与乙心所作之度相应矣。此用法之巧也。先以乙寅、甲角代寅乙、申视角，而取甲乙线以代寅申半径，是倒算也。复以甲为心、乙为界作嵗圏，以甲心代乙心，亦倒算也。两番倒算而倒变为顺，故甲可代乙为地心，即本天心也。而甲己线与寅乙平行，即地心所指实行之度也。己甲寅角即视差角也。寅甲线即视行指线，与申乙同也。故天度皆应可作十二宫分细度也。若于乙作嵗圏，则但能得半径，而十二宫之向皆反矣。故借甲为心法之巧也。乂取甲为心，影出火星，能入太阳天之象。其实火星入太阳天者，乃其嵗轮上度，非嵗轮心也。若真以此为嵗轮心，则火星体将过地心，而与日同度，如金水矣。又用甲为心作十二宫，则细度可不碍书。若用本法则有两小轮，各线相襍，而不能详书细数。故移乙心于甲，移寅乙申角为己，甲寅角也。呜呼，可谓巧之至矣！但未説破，故后学遂妄为作解耳。论曰：既火星初均在寅，即当以寅为嵗轮心，而今不然，何耶？曰：此巧算也。甲寅乙角，即寅甲己角也。何也？甲己与乙寅平行也，即均角也。又乙寅者，嵗轮心距日数也；乙甲者，半径也；寅乙甲角者，先有之角，即星日相距之余数也，即己过日冲之度。本法以距日数及半径为两邉，与先有之角求均数角；今先测得均角而无半径，故反用其法以求半径，法之巧也。盖先有两角一邉而求余邉之法也。一率甲角之正▯【有乙寅两角自有甲角】二率乙寅邉【即距日数，实为嵗轮心距本天心】三率寅角之正▯【即均角，乃所测视行与实行之差度】四率甲乙邉【即嵗轮半径，包有日差在内】由是言之，甲乃嵗轮心耳，非地心也。若甲真为地心，则甲乙非嵗轮半径矣。火星次均解查火星嵗轮半径与本天半径略如六与十，宜即用为比例作图，则所得均角亦近【后数系初稿存例，非火星正用】

图説乙甲夘三角形，有甲角一百二十度，有甲夘邉一百，乙甲邉四十一，求夘角，乙角，乙夘邉。法曰：以乙甲、甲夘二邉并得一百四十一为总【即丙夘】为一率，又相减得五十九为较【即辰夘】为二率。丙甲乙外角六十度，半之得三十度【即辛甲丙角】其切线五七七三五【即辛癸】为三率，求得【壬辛】为四率，得二三九八八，查表得十三度二十九分四十秒，収作三十分【即辛甲壬角】以辛甲壬角减半外角【辛甲丙角】得壬甲丙角十六度三十分，即夘角也。又以辛甲壬角加辛甲丙【即辛甲己】得壬甲己角四十三度三十分【亦即甲乙夘角】末以甲乙夘角四十三度三十分之正▯六八八三五为二率，乙甲四十一为三率，全数为一率，法为全数与乙角之正▯若乙甲与甲午也，得甲午。又甲乙夘角之余▯七二五三七为二率，乙甲四十一为三率，全数为一率，法为全数与乙角之余▯若乙甲与乙午也，得乙午。用勾股，以甲午幂减甲夘幂，余数开方得数。为午夘，乃并乙午，午夘共为乙夘邉。一系甲夘，如火星距心线【即表中距日数】甲乙，即如火星嵗轮半径【即表中半径加日差为星数之数】丙甲乙外角，即如火星行嵗轮上离合伏之度【即日星相距度】丙甲辛角，即如火星半距度【辛癸，其切线】壬甲辛角，即火星减▯【壬辛，其切线】卯角，即均角。一系丙，防如嵗轮合伏度。甲为嵗轮心，夘为本天。

心　丙甲夘线即嵗轮心平行线一系丙夘，乙均角在前六宫，是平行线，东为加。一系嵗轮上加减，以夘亥切线所到为限。自丙防以至亥防，距合伏度渐从小至大，其均度渐増。过亥防至辰冲，日距度渐从大至小，均度渐减。盖距合伏度大，则半距亦大，反之则小也。一系星行，嵗轮过亥，防则距度大，而减▯更大，故均数。

渐减如图，星行至未，成甲、未、夘三角，丙甲未外角半之于酉，而壬甲酉为减▯，其得均角夘与星行在乙等。若欲知未甲辰角法，用三率求之。

一率　甲未邉　　二率　夘角正▯三率　甲夘邉　　四率　未角正▯既得，未角以并夘角，而减半周，其余即甲角也。星行到乙，与星行到未同，以夘角为均度。

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十七><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十七>一系星之离日有定距一系星之嵗轮与日天略等一系日，距星为日离星而东，日速故也。星距日，为星离日而西，星迟故也。一系日距星为日天之度，星距合伏为嵗轮之度。一系论：右旋则日速，星迟；若左旋则星反速于日，故嵗轮心渐逺于日。可称左旋，而嵗轮上围日之象亦左旋也。一系星有迟速，皆嵗轮心之行，而星行嵗轮邉，成围日之行，则五星一理一系星本天右旋，星在嵗轮上，亦右旋，而星围日之行左旋。此外仍有自行之髙卑，故土星能至甲，木能至乙，至丙火能至丁，各天故不甚相逺。自人所见，五星所当宿度，则距日有逺近之殊，而五星在天，以径线距太阳，终古如一，以此图观之，见矣。所异者，五星各有髙卑，本轮则有微差，而火星则兼论太阳髙卑，要不能改其径线相距之大致。算火星前均及距地心线用简法。依表説，用两小轮图设平引三十度。依表説算得均角四度五十分，加减表四度五十分七秒。表説差七秒。今用简法得四度五十分十秒，只差三秒。

表説又算距心一十○万九千九百○三加减表是一十一万○○一十三差十万分之一百一十【数见表首巻第四章称为火星年嵗圈心距地心数】今用简法得一十一万○○一十九只差十万分之单六又原法用勾股作垂线以求角求邉今用简法，以半外角切线乗两邉之较为实，两邉之总为法，除之，即得半较角，以减半外角，即为均角。工力较前省半，其小轮上加减之角，用小轮半径四与一之比例乗除，工力尤省数倍。求邉之法，只用对角之正▯比例，工亦省半。

窃意立表时当是用此法凡诸表数，或是西人成法，翻译成书，或是厯局依法算演，俱不可攷，然是入用之数，当以为主。火星平引三十度，算得均角四度【五十分十秒】距心线【一十一万○○一九】查表均角四度【五十分七秒，只差三秒】距心【十一万○○一三，只差十万分之单六】可谓宻近。丙戊甲三角形，求甲角，及戊甲邉。丙甲为一四八四○，丙戊三七一○，其比例为四与一。简法其总为五，其较为三。丙角六十度【引数之倍】先求甲角，法以丙角减半周，得余外角一百二十度，半之六十度，查其切线一七三二○五，以较【三】因之，总【五】除之，得一○三九二三，查切线表得其度为四十六度六分○八秒，为半较角。以半较角减半外角六十度，余一十三度五十三分五十二秒，为丙甲戊角。表説：甲角十三度五十四分，是不用秒数也。

次求戊甲邉法以甲角之正▯【二四○二○】为一率，丙戊邉【三七一○】为二率，丙角之正▯【八六六○三】为三率，求得戊甲邉【一三三七六】为四率。次戊甲丁三角形，有甲丁邉【一○○○○○】有先求到戊甲邉【一三三七六】有甲角【以求到戊甲丙角加引数丙乙三十度，共得四十三度五十四分弱，为戊甲乙外角，余一百三十六度六分强，为甲丙角】先求丁角【即三十度视差角】

法并【甲丁戊甲】两邉得总【一一三三七六】为一率　又两邉相减得较【八六六二四】为二率　半外角得【二十一度五十七分弱】之切线【四○三○○】为三率求得半较角切线【三○七九○】为四率查表得角【十七度六分五十秒】以减半外角，余四度【五十分一十秒】即丁角。次求戊丁线【即表距日数，实即嵗轮心距地心之数】法以丁角之正▯【八四二六】为一率，戊甲邉【一三三七六】为二率，甲角【用余角四十三度五十四分弱】正▯【六九三三八】为三率，求得戊丁邉【二○○一九○】为四率。一系凡两小轮有比例者俱可用简法求角，七政并同一系，凡三角形有一角在两邉中者，遇其邉有比例，可用简法。土星自行轮半径八七二一，小均圏半径二九○七，其比例为三与一，其总为四，其较为二，总与较之比例为折半简法【但以半外角之切线折半即得半较角】木星，自行轮半径七一五五，小均圏半径二八三五，其比例亦为三与一【法同土星】金星自行轮半径二四○六小均半径八○二其比例为三与一【法同土木】

水星　地谷宻测自行轮半径六八二二　小均轮一一三七其比例为六与一　总为七较为五　法用五因七除多禄某旧法自行轮九四七九　小均轮一五八○　其比例为六与一而强太隂本轮半径【八千七百】三平分之二为新本轮半径【五千八百】一为均轮半径【二千九百】其比例为二与一，其縂为三，其较为一。法用三为法，以除半外角切线，得半较角。朔望次轮半径二千一百七十，旧为二千三百一十。此朔望轮，地谷转用于地心之上。太隂朔望次轮全径四千三百四十，以全加于本轮半径，则一万三千○四十，故两▯之加减至七度四十分。然以比五星嵗轮，则太隂最少。太阳，两心差三五八四，折半一七九二。王寅旭法，两心差三八八，三八八收作三五八四。小均轮半径为两心差四之一。第一均轮半径为两心差四之三，两均轮之比例为三与一。其总四，其较二，亦折半比例也，与土、木、金三星并同。加减差图説，以两心差折半作角，盖谓此也。

两均轮比例求七政各小轮半径法，具《厯书》。今只定其大小之比例。两心差火星最大，为一万八千五百竒，次土星，一万一千六百竒，又次木星○万九千九百九十，又次太隂八千七百，又次水星七千八百五十，太阳数少三千五百八十四，金星更少只三千二百○六。

上三星轨迹成绕日圆象五星本天并以地为心，与日月同至。若嵗轮【即古法迟留逆伏之叚日】则惟金水二星绕太阳左右而行。其嵗轮直以日为心，土木火三星则不然，并以本天上平行度为嵗轮心【金水以太阳为嵗轮心，亦以二星之平行与太阳同度也】然其轨迹所到，并于太阳有一定之距，故又成绕日左行之圆象。西人所立新图不用九重天，而五星并以太阳为心，盖以此也。然金水嵗轮绕日，其度右移；上三星【土木火】轨迹，其度左转。若嵗轮则仍右移耳。七政前均简法【订火纬表説，因及七政】西法用表，如古法之用立成，不得其列表之根表，或笔误无从订改矣。故有表説以发明之，然或表説所用之数有与表中互异者，则是作表者一人，作表説者又一人也。余因查火星之表而为之推演，然后知立表之法甚简，洵乎此心此理，不以东海西海而殊。

厯算全书巻十七钦定四库全书