厯算全书卷六十

厯算全书卷六十

宣城梅文鼎撰壍堵测量二总论堑堵测量者，句股法也。以西术言之，则立三角法也。古《九章》以立方斜剖成堑堵，其两端皆句股，再剖之则成锥体，而四面皆句股矣。任以锥体之一面平寘为底，则其鋭上指，环而视之，皆成立面之句股，而各有三角三边，故谓之立三角也。立三角之法，以测体积，方圆斜侧，靡所不通。其测浑圆之弧度，则有二理。其一，用视法，如弧三角所诠，用三角三弧之正▯切线，移于平面【谓浑圆立剖之平面】即成三层句股相似之比例，今谓之浑圆容立三角也。其一，不用视法，而用实数，如句股、锥形等法，用三弧三角之割线、余▯各于其平面，自成相似之句股以为比例【三弧直剖至浑圆之心，即各成句股形之面】今谓之堑堵测量也【浑圆内容之立三角，亦堑堵之分形，而堑堵测量所测，亦浑圆之度，因书匪一时所为，而意各有属，其名遂别二而一，一而二者也】以上通论立三角及堑堵测量命名之意，并其同异之处【因立三角有堑堵之名，因浑圆内三层句股生堑堵之用，故存此二者以为堑堵测量基本】凡数之可算者，皆可作图以明之。故浑圆可变为平圆，如古者葢天之图是也。数之可算可图者，皆可制器以象之。故浑圆可剖为锥体、堑堵、测量之仪器是也。凡测算之器，至今日大备，且益精益简。古者浑仪经纬相结为仪三重，至郭太史之简仪、立运仪，则一环而已足。今则更省之为象限仪，是益简益精之效也。至于浑象，无与于测，而有资于算，所以证理也。西法之简平浑葢，以平写浑，亦可谓工巧之至。独未有器以证八线。夫用句股以算浑圆，其法莫便于八线。然八线之在平圆者，可以图明；在浑圆者，难以笔显【鼎】葢尝深思其故，而见浑圆中诸线犁然有合于古人堑堵之法，乃以坚楮肖之，为径寸之仪，而三弧三角各线所成之句股了了分明，省笔舌之烦，以象相告于作圆布算，不无小补。而又非若浑象之难成，因名之曰「堑堵测量」，从其质也。堑堵形析浑象之一体，亦如象限仪割浑仪之一隅环而测之，则象限即浑仪之全周也。周徧析之，则堑堵即浑象之全体也。是故堑堵形可析为两，可合为一。其析者，一为句股锥【亦曰立三角仪】则起二分讫二至；一为句股方锥【亦曰方直仪】则起二至讫二分。起二分者，西率；起二至者，古率。也是两者九十度中皆可为之【自分讫至九十度并可为句股锥，自至讫分九十度并可为句股方锥】然至半象以上，割切三线太长，溢出于方堑堵之外，故又有互用之法也。其合者，近分度用句股锥，近至度用句股方锥，以黄道四十七度、赤道四十五度为限，过此者互用，其余如是，则两锥形合之成方堑堵矣。方堑堵内又成圆堑堵二，其一下为赤道圆象限，而一为撱形之象限，距度之割切二线所成也。其一下为撱形象限，而上为黄道之圆象限，距度正▯、黄道半径所成也【两圆堑堵之用已括于两锥形内】两圆堑堵内又以黄道正▯、距度正▯成小方堑堵之象，则郭太史圆容方直本法也。于是又有圆容方直仪简法，而立三角之仪遂有三式【一句股锥，其形四鋭；一方直仪，其底长方；一圆容方直简法仪，其底为浑圆幂之分】之三者，或兼用割切，或专用正▯而并不用角。合浑圆内三层句股观之，可以明立法之根。以上论堑堵测量仪器【句股锥形及句股方锥形二种为堑堵测量正用，而圆容方直形专用正▯成小堑堵，尤正用中之正用也。此小堑堵在两重圆堑堵内，故兼论之。又此小堑堵足阐授时弧矢之秘，因遂以郭法附焉】问：八线生于角，用八线而不用角，何也？曰：角与弧相应，故用角即用弧也，用弧即用角也。明于斯理，而后可以用角，浑圆内三层句股是也。明于斯理，而后可以不用角，堑堵三仪是也。用角者，西法也；而用角即用弧，则通于古法也。不用角者，古法也；而用弧即用角，则通于西法也。于是而古法、西法可以观其防通，息其烦喙矣。

以上论角即弧解之理立三角法序立三角者，量体之法也。西学以《几何原本》言度数，而所译六卷之书，止于测面，其测体法则未之及，葢难之也。余尝以句股法释《几何而稍为推广其用，谓之《几何补编》，亦曰立三角法，本为体积而设。然其中义类，颇有与浑圆弧度之法相通者，故摘録之，以明堑堵测量之理。

立三角法摘録总论一立三角为有法之形立三角之面皆平，三角也平。三角不拘斜正，皆为有法之形。故立三角亦不拘斜正，而皆为有法之形。

一立三角为量体之宻率凡量体者，必析之。析之，成立三角形，则可以知其容积，可得而量矣。若不可以立三角析者，则为无法之形，不可以量。

一立三角即锥体立三角任以一面平安如底，则余三面皆斜立【亦有一面正立者】而鋭必在上，即成三角立锥。

一各种锥体皆立三角之合形凡锥体必上尖下濶，任取其一面观之，皆斜立之平三角也。凡锥形自其尖切至底，则其中剖之立面亦平三角也。锥体之底或四边、五边，以至多边，若以对角线分其底，又即皆成平三角也。故四棱锥可分为两五棱锥可分为三，六棱以上无不可分，分之皆立三角形。故知一切锥体皆立三角之合形也。

底之边多至于三百六十，又析之为分，为秒，以此为底，皆可成锥体。再析之至于无数，即成平员。底可作员锥，要之皆小平三角面，无数以成之者也。

一、各种有法之形，亦皆立三角之合形。如立方体，依其棱剖至心，成立分体，皆扁方锥，其斜面辏心，皆成立三角。长方体亦然。四等面体，从其棱剖至心，成四分体；八等面，则成八分体；二十等面，成二十分体。皆立三角锥。

十二等面依棱剖至心成十二分体，皆五棱锥。其立面五，皆立三角。

浑员形以浑员面幂为底，半径为髙，作大员锥而成浑积。凖前论，皆无数立三角所成。然则浑员亦立三角也。浑员既为立三角所成，则半之而为半浑员【一平员面，一半浑员面，如员▯中剖】或再分之而为一象限，或更小于象限之浑员【细分弧面，自象限以内至于一度内若干分秒，如剖橘瓤，并一弧面两半平员面】以浑员之理通之，皆立三角所成。一无法之形，有面有棱，即皆为立三角所成。凖前论，各依其楞线割之至底，或依对角线斜剖之，即皆成立三角。而无法之形，皆可为有法之形。一立三角体之形，不一，而皆有三角三边。非四面不能成体，故立三角，必四面非三角。三边不能成面，故立三角体之面，皆三角三边。约举其类，有四面相等者，即四等面形也【其面幂等，其棱之长短亦等】有三面相等而一面不等者，其不等之一面必三边俱等，余三棱则自相等。

【以上皆形也。四等面，任以一面为底，其雉尖正立居中；三等面形，以等边之一面为底，锥尖亦正立居中】有二面两两相等者。

有二面相等余二面不等者有四面各不相等者有三面非句股而一面成句股者，有两面成句股者【其句股或等或否】

有四面并句股者句股立锥也【以上不皆正形，而皆为有法之形】

一立三角形有实体有虚体实者，如台、如墖、如堤；虚者，如井、如池，又如隔水测物。皆自其物之平面角作直线至人目，即成虚立锥体，以人目为其顶鋭，而所测平面则其底也。所作直线皆为其棱。若所测平面为四边、五边以上，皆可作对角线分为立三角锥形【虚体实体并同一法】立三角，又有三平面、一弧面者。如自地心作三直线至星宿所居之度，则此三星之相距皆弧度也。三弧度为边，即成弧三角形，以为之底；其三直线皆大员半径，以为之棱，而合于地心，以为之顶。鋭亦立三角之虚形【即弧三角锥体】若于浑球体作三大圏相交成弧三角形，从三角作直线至员心，依此析之，即成实体，与上法并同一理。一立，三角形有立、有眠、有倒、有倚。立者，以底平安，则其鋭尖上指，如人之立。

眠者以底侧立如堵墙而锥形反横如人之眠此惟正形之锥则有之【既定一面为底则底在下者为立在旁者为眠】如虚形则不拘正斜皆以所测为底又如弧三角锥，以浑员面上所成之弧三角为底，以三直线辏于浑体之心，为其顶鋭，则四面八方皆可为底，而鋭常在心。不特能眠、能立，亦且能倒、能欹【亦惟有底有鋭之正形，则然。若他形，底无定，名随人所置】眠体、倒体，以及他形之欹侧不同，而皆为有法之形者，三角故也。

一、古法有壍堵、阳马、鳖臑、刍甍等法，皆可以立三角处之【壍堵一作堑堵】凡立方体，从其面之一棱，依对角斜线剖至其底相对之一棱，则其积平分，而成壍堵形。【甲乙为顶，有袤无广；丙丁、戊己为方底，或长方，则丙丁同巳戊为袤，丁己仝丙戊为广，乙丙同甲丁为其髙。甲丁、乙丙为立面，甲乙、戊己为斜面，皆长方。乙丙、戊同甲丁巳为两端立面，皆句股形，而相对相等】【壍堵形有如屋者，甲乙顶袤如屋脊，甲乙丙丁及甲乙戊巳两长方皆斜面而相等，丙丁戊己为底，乙丙戊与甲巳丁两圭形相对而等，而以乙辛为其髙，其辛丙及辛戊俱平分而等】【又或甲乙顶袤不居正中，而近一边。然甲乙与丁丙及巳戊俱平行而等。其甲丁、乙丙及甲巳、乙戊两斜面，虽有大小，而并为长方形。乙辛垂线不能分丙辛及辛戊为平分，而必与丙戊底为十字正角。则乙辛为正髙】以上三者皆壍堵之正形，并以髙乘底折半见积，何也？皆立方之半体，其两端皆立三角形也【第一形两端为句股，第二、第三皆以乙辛中剖成两句股】凡壍堵形，亦可立，可眠。立者，以甲乙为顶长，丙丁戊己为底。眠者，以戊己为顶长，反以甲乙丙丁为底。如隔水、测悬崖之类。【又有斜壍堵形，其各线不必平行，底不必正方，但俱直线，则底与两斜面皆可作对角线，以分为三角形，而诸数可测，实体虚体并有之，于测量之用尤多】斜壍堵本为无法之形，而亦能为有法之形者，可析之成三角也。凡壍堵形，从顶上一角依对角线斜剖之，为两则成一立方锥，一句股锥。【堑堵形，从乙角作乙巳、乙丁两对角线，依线剖之，则成两形】

【立方锥一　　　　句股锥一】

【名阳马　　　　　名鳖臑】阳马形【以丙丁戊己方形为底，以乙为顶，鋭而偏居一角，故乙丙直立如垂线，以为之髙，其四立面皆成句股形，故又名句股立方锥】论曰：阳马形从壍堵，第一正形而分，故其髙线直立于一隅，乃立方之楞线，四面句股形因此而成，是为句股方锥之正体。若斜壍堵等形之分形，则但可为斜立方锥，而不得为句股方锥，亦非阳马。【斜立方锥者，其顶不居正中，然又不能正立一隅，故非句股立锥，而但为斜立方锥。如上二形，顶既偏侧，底亦非方，亦斜立锥形也。然其立面皆三角，故亦为有法之形。斜立方锥亦可立可眠，皆可以立三角法御之，但不如句股立方锥之有一定比例】鳖臑形【以甲乙为上袤而无广，以丁巳为下广而无袤，故称鳖臑，象形也。其各面或句股，或不为句股，而皆三角，故又名三角锥】句股立锥形【其上有袤而无广，下有广而无袤，并同鳖臑，所异者，甲角正方，故乙甲丁立面，乙甲巳斜面，并成句股。又丁角正方，故甲丁已平面，乙丁巳斜面，并成句股。又丁角正方，故甲丁巳平面，乙丁巳斜面，并成句股。是四面皆句股也，故谓之句股方锥，而不得仅名鳖臑】论曰：鳖臑中有句股，立锥犹斜立，方锥中之有句股，方雉也。立三角皆有法之形，而此二者尤可以明测量比例之理。又论曰：「立三角所以为有法形者，谓其可施八线也。而八线原为句股之比例，此二者既通体皆句股所成，故在有法形中尤为有法矣。」又论曰：「若于句股方锥，再剖之，即又成二句股锥，而皆等积。故阳马为立方三之一，句股锥则为六之一，皆立方之分体也。」又论曰：「句股、方锥及句股锥，皆生于堑堵。故堑堵形为测量之纲要。」【刍薨形亦如屋，而两端渐杀，故顶窄而底寛。其丙丁、戊己底，或正方，或长方。甲乙顶小于丙丁，或居正中，或稍偏，然皆与丙丁及戊己平行】刍甍，葢取草屋之象，乃壍堵形之一种，亦可分为三鳖臑。

又有刍童者，形如方台，皆立方之变体。方台面与底俱正方，蒭童则长方，而面小底大，则同，亦皆可分为立三角。

凖前论，方台作对角线，并可为两刍甍，即可再分为六鳖臑，即皆立三角锥也。论曰：量面者，必始于三角；量体者，必始于鳖臑。皆有法之形也。量面者，析之至三角而止；再析之，仍三角耳。量体者，析之至鳖臑而止；再析之，仍鳖臑耳。面之可以析为三角者，即为有法之面；体之可以析之为鳖臑者，即为有法之体。葢鳖臑即立三角之异名也。量体者，必以立三角；非是，则不可得而量。

算法凡算立三角体，须求其正髙，以正髙乘底，以三而一，见积。其法有三：其一，顶居一角，其棱直立即用为正髙；其二，顶鋭不居一角，而在三角之间；其三，顶斜出底三边之外，并以法求其垂线为正髙。

假如巳甲乙丙立三角体甲乙丙为底已为顶鋭正居丙角之上巳丙如垂线为髙先以乙丙五十六尺甲乙边【六十一尺】甲丙边【七十五尺】求其羃积【一千六百三十尺】以乘已丙髙【四十尺】得【六万七千二百尺】为实，以三为法除之，得【二万二千四百尺】为立三角锥体。若欲知已乙甲已两斜▯，依句股求▯，即得【已丙既直立，则恒为股，以股自乘幂加乙丙句幂为▯幂，开方得已乙▯，又以股幂加甲丙句幂为▯幂，开方得甲乙▯】若已顶不居一角而在三角之中，则已丙非正髙，乃斜棱也，法当分为两形，其法依丙已棱直剖至底。以上二形，乃中剖为二之象，其中剖之立。面亦成丁、已、丙三角形，如平三角法求得已戊垂线，即为正髙。如上法先求甲乙丙羃，以乘已戊髙，得数为实，三除见积。又法，不必剖形，但于形外，任依一楞，如丙，已于庚作垂线至丙，以法取庚防与已顶平行，即庚丙为正髙，与己戊等【或量得庚已横距为句，以己丙为▯，求其股，即得庚丙正髙，亦同】立三角之顶，有斜出者，或在底外，则于已顶作垂线至庚，与甲乙丙底平行，乃任用相近一棱，如己乙为▯量庚乙之距为句，依法求其股，得己庚为其正髙以乘底三除，见积。问：己顶既居形外，己庚何以得为正髙也？曰：此易知也。但补作甲庚虚线，成四边形为底，则为四棱立锥，而己庚为其正髙。甲乙丙底乃其底之分也，亦必以己庚为正髙矣。假如乙庚、丙甲为底，丙甲与乙庚等，丙乙与甲庚等，或斜方，或正方。其己庚一棱正立如垂，则即为正髙。正髙乘方底，三除之，即体积也。若从甲乙对角线分其底为均。半又依甲己、甲乙二棱，从顶直剖之至底，则分为两三角形，而各得其积之半矣【底既平分为两，则其积亦平分为两】其己庚乙甲形与己甲乙丙形，既皆半积，则相等；而庚乙甲底与甲乙丙底又等，则其髙亦等。而己庚乙甲形既以己庚为髙矣，则己甲乙丙形之髙，非己庚而何？又论曰：量体积者，必先知面，犹量面幂者，必先知线也。然则量体者，亦先知线矣。是故量体之法，可转用之以求线也【量体者有先知之面幂，有求而得之面幂。夫求之而得面者，必先求其面幂之界，界即线也。故量体之法，可用之以求线也】何谓以量体之法求线？曰：测量是也。前论立三角有虚体，为测量之用。夫虚体者，无体者，无体而有线，如实体之有棱，故可以量体之法求之也。如所测之物有三防，即成三边三角，当以三直线测之，则立三角锥形矣。所测有四防，当以四直线测之，则四棱立锥形矣。两测则又为堑堵形矣。故测量之法，可以求线也。又论曰：「用立三角以量体者，所用者仍平三角也；而用三角以量面者，所用者仍句股也。」吾防是而知，圣人立法之精深广大。

浑圜内容立三角体法全形为堑堵分形为鼈臑，即立三角体，又为句股。

立锥西法所用若内切小堑堵，则为圜容方直形，即郭太史弧矢法先解全形　堑堵体亢戊乙夘为堑堵斜面，其形长方。夘乙为浑圜半径【夘为浑圜之心】亢戊为四十五度切线，与夘乙同度，同为横边；亢夘为乙角割线，与戊乙同度，同为直边。亢氐戊丁为堑堵立面，其形横长方。亢氐者，乙角切线也。与戊丁同度，以为之髙。亢戊及氐丁皆四十五度切线，与半径同度，以为之濶。亢氐夘戊丁乙皆堑堵两和之墙，其形皆立句股。氐夘同丁乙皆半径为句，亢氐同戊丁皆乙角切线为股，亢夘同戊乙皆乙角割线为▯。夘、乙、丁、氐为堑堵之底，其形正方。夘、乙及夘、氐皆浑圜，半径其对边悉同。法曰：先为立方体，以容浑球，使北极在上，南极在下，皆正切于立方底葢之中心，则赤道平安，而赤道之二分、二至，亦皆在立方四面之中心矣。次依赤道横剖方体为均半，而用其上半为半立方，容半浑圜形，则二分、二至皆在半立方之底线各中心，而赤道全圈居其底。次依二分二至，从北极十字剖之，又成四小立方，各得原立方八之一，而小立方内各容浑圜分体八之一。此小立方有一角之楞，直立为北极之轴，上为北极，下即浑圜心夘角也。其立方根皆浑圜半径。次依黄赤道大距取切线为髙作横线于小立方夏至之一边即亢戊线。次依亢戊横线斜剖至对边之足，则成堑堵矣【对边之足即夘乙也，本为黄赤道半径，今在小立方体为方底之边，故云足也】堑堵体有五面，其一斜面【亢戊乙夘长方】其三立面【一亢氐戊丁长方，二亢氐夘戊丁乙相等两句股】其一方底【夘乙氐丁平方】

堑堵形面，有赤道象弧在方底，有黄赤大距弧在立句股边，即两和之墙。底形。底形正方，其夘角即黄赤道心。氐甲乙为赤道一象限，乙为春分。

氐为夏至赤道　夘氐及夘乙皆赤道半径，其对边氐丁及乙丁皆四十五度切线立句股面形一。立句股之面有二【一亢氐夘，一戊丁乙】皆同角。同边，亢氐夘形。内有氐癸弧，为夏。至黄赤大距二十三度半强，氐夘。

为赤道半径　癸夘为黄道半径夘角为黄赤大距角【氐癸弧之角】亢氐。者，氐癸弧之切线【亦即夘角切线】亢夘者，氐癸弧之割线【亦即夘角割线】

癸弧之割线【亦即夘角割线】立句股面形二，戊乙丁形，即前图亢氐夘形之对面。戊丁，髙同亢氐切，线【如股】戊乙，斜。线同亢夘割线【如▯】丁乙横线同氐。

夘【如句】　乙角同夘角又有黄道象弧在斜面斜面形。斜面形长方【其斜立之势依黄道】其夘角为。黄道心【即赤道心】乙丙癸为黄道一象。限乙为春分【与赤道同用】癸为黄道。夏至，夘癸及夘乙皆黄道半径【内夘。乙与赤道同用】亢夘为二十三度半强之。割线【夏至黄赤大距割线】其相对戊乙边与亢夘割线同度，亢戊边与夘乙半径相对同度，乃四十五度之切线【与底上切线氐丁相应】立面形。《立面形》亦长方，其势直立。亢戊及。氐丁二边为其濶皆四十五度，切线。与半径同度，亢、氐及戊、丁为其高。皆二十三度半之切线【夏至黄赤大距切线】以亢戊边庋起斜面之亢戊边而成。角体仍以氐丁边联于方底之氐丁。

边则其形直立矣次解分形，立三角体【古谓鼈臑，即句股锥】内含乙、甲、丙弧三角形，及乙、甲、丙夘弧三角锥。夘为浑圜心【黄赤同用】夘乙浑圜半径【黄赤同用】乙丙弧为黄道经度，丙夘为黄道半径，乙甲弧为赤道经度，甲夘为赤道半径，丙甲弧为黄赤距纬，乙为春分防酉乙未角为春分角二十三度半，与二至大距之纬度相应，此角不动丙为所设黄道度，距春分后之防，此防移则丙之交角变，而诸数皆从之而变。法曰：于前图全形堑堵斜面黄道象弧内，寻所设黄道经度，自春分【乙】起数，设度至丙，从丙向圜心夘作丙夘半径，遂依半径引长至堑堵之边【酉】成酉夘直线。依酉夘直线直剖至底【未夘线为底，酉未线为边】成酉未乙夘立三角体。此立三角体有四面，而皆句股，故又曰句股立锥。立句股之锥尖为酉。其斜面为酉乙夘句股形【乙正角乙酉为股乙夘为句酉夘为▯】其立面二一为酉未乙句股形【未正角，酉未垂线为股，未乙为句，酉乙为▯】一为酉未夘句股形【未正角，酉未垂线为股，未夘为句，酉夘为▯】其底为未乙夘句股形【乙正角，未乙为股，乙夘为句，未夘为▯】

以上四句股面凡楞线六夘乙，半径也。酉乙，黄道；丙乙，弧之切线也。而酉夘，则其割线也。未乙，赤道；乙甲，弧之切线也。而未夘，则其割线也。惟酉未，垂线于八线无当今，名之曰锥尖垂线，亦曰锥尖柱，亦曰外线，以其离于浑圜之体也。句股面有四，而用者一，酉未乙也。以其能与乙角之大句股为比例也。楞线六而用者二，酉乙及未乙也。以其为二道之切线，为八线中有定数，可为比例也。

第一层句股比例图酉未乙句股形，以黄道切线【酉乙】赤道切线【未乙】相连于乙角【成鋭角】则酉乙为▯未乙为句；而戊丁乙及牛昴乙二句股形同在一立面，又同用乙角，故可以相为比例。术为：以赤道半径【丁乙】比乙角之割线【戊乙】若赤道切线【未乙】与黄道切线【酉乙】也【此为以句求▯】又以黄道半径【牛乙】比乙角之余▯【昴乙】若黄道切线【酉乙】与赤道切线【未乙】也【此为以▯求句】解曰：丁乙与氐昴同大，则皆赤道半径也。戊乙与亢夘同大，则皆乙角割线也。牛乙与癸卯同大，皆黄道半径。昴乙与己夘同大，皆乙角余▯也。从乙窥夘，则成一防，而乙角夘角合为一角，其角之割线余▯尽移于堑堵之第一层，而同在一立面为句若▯【观总图自明】

以赤道求黄道　　以黄道求赤道一　赤道半径　　一　黄道半径二　乙角割线　　二　乙角余▯三　赤道切线　　三　黄道切线四　黄道切线　　四　赤道切线若求角者反用其率　　　　又法四　乙角割线　　　　　四　乙角余▯第二层句股比例图子甲、丑句股形，以黄赤距度之切线【子甲】赤道之正▯【甲丑】相连于甲成正角，则子甲为股，甲丑为句，而与坎震丑及女娄丑二句股形同在一立面，又同丑角，故可相求。术为：以赤道半径【震丑】比乙角之切线【坎震】若赤道正▯【甲丑】与距度之切线【子甲】也【是为以句求股】又为以乙角之正▯【女娄】与乙角余▯【娄丑】若距度之切线【子甲】与赤道之正▯【甲丑】也【是为以股】

【求句】解曰：震丑即氐夘，赤道半径也。坎震即亢氐乙角之切线也。女娄即癸己，而娄丑即己夘乙角之正▯、余▯也。从乙窥夘，则乙丑夘成一防，而合为一角，其角之切线正▯，余▯尽移于堑堵第二层立面，为句与股，以赤道求距度。以距度求赤道。又法一半径一乙角正▯一乙角切线半径二乙角切线二乙角余▯二半径【乙角余切】三赤道正▯三距度切线三距度切线四距度切线四赤道正▯四赤道正▯。若求角则反用其率又法一，距道切线，半径。一，赤道正▯半径。

二　赤道正▯　　　　　二　距度切线三半径【距度余切】三半径【赤道余割】

四　乙角余切　　　　　四　乙角切线第三层句股比例图丙辛、壬句股形，以距度正▯【丙辛】黄道正▯【丙壬】相连于丙而成鋭角，则丙壬为▯，丙辛为股，而与干艮壬及奎胃壬二句股同在一立面，同用壬角，故可相求。

术为以黄道半径【奎壬】比乙角之正▯【奎胃】若黄道正▯【丙壬】与距度之正▯【丙辛】也【是为以▯求股】又为以乙角之切线【干艮】比乙角之割线【干壬】若距度之正▯【丙辛】与黄道正▯【丙壬】也【是为以股求▯】解曰：奎壬即癸夘，黄道半径也。奎胃即癸己，距度正▯也。干艮即亢氐，而干壬即亢夘，则乙角之切线、割线也。从乙窥夘，则乙丑、壬夘半径因直视成一防，而合为。为一，角其角之正▯，切割线尽移于堑堵之第三层立面，以为▯，为股。以黄道求距度，以距度求黄道，又法。

一　半径　　　一　乙角切线　一　乙角正▯　半径二　乙角正▯　二　乙角割线　二　半径　　　【乙角余割】三　黄道正▯　三　距度正▯　三　距度正▯四　距度正▯　四　黄道正▯　四　黄道正▯若求角则反用其率　　　　又法一，距度正▯半径。一，黄道正▯半径。

二　黄道正▯　　　　　二　距度正▯三半径【距度余割】三半径【黄道余割】

四　乙角正割　　　　　四　乙角正▯弧三角锥体【即割浑圜体之一分】

法曰：依前论，从丙防对夘直割至底，则截黄道于丙，截赤道于甲，得丙乙及甲乙二弧所剖浑圜之迹，又成丙甲弧【为两道距纬】三弧相凑，成丙甲乙弧三角面。丙夘、甲夘、乙夘同为半径，三半径为楞，辏于夘心，夘为三角之尖。乙甲丙弧三角面为底，成乙甲丙夘弧三角锥体，为割浑圜体之一分也。此弧三角锥体含于句股立锥体内，凖前论可以明之。因此弧三角锥与句股锥同鋭【夘尖】异底【一以弧三角面为底，一以句股平面为底】故以弧三角变为句股，以求其比例，而有三法【即前条所论三层句股】

其一为酉未乙句股形用酉乙▯【为黄道丙乙弧切线】未乙句【为赤道乙甲弧切线】以当乙角之▯与句。

其一为子甲丑句股形用子甲股【为距度】丙甲弧切线】甲丑句【为赤道乙甲弧正▯】以当乙角之股与句。

其一为丙辛壬句股形用丙辛股【为距度，丙甲弧在▯】丙壬▯【为黄道，丙乙弧正▯】以当乙角之股与▯。问两弧求一弧，非句股锥乎？与此所用同耶？异耶？曰：形不异也，乃法异耳。何言乎法异？曰：句股锥一也，而有用角不用角之殊。此用角度，其句股在锥形之底【以夘心为锥形之鋭，则三层句股皆为其底】而遥对浑体之心，以视法成比例。两弧求一弧，不用角度，其句股同在锥形之一面，无假视法，自成比例，所以不同。然其为句股之比例，一而已矣。然则两弧求一弧，惟用割线余▯，此所用者，惟正▯切线，又何不同若是耶？曰：角之句股在心【如夘亢氐等形，皆依极至交圏平剖浑圜成平面，其象始着，是在浑圜之心】与为比例之句股在面【如酉未乙等形，皆以一角连于浑圜之面】二者相离，以视法相叠，如一平面然。惟正▯切线能与之平行【从凸面平视，则设度之正▯切线皆与浑圜中割之平面诸线平行】若割线余▯，皆非平行，因视法而跻缩，失其本象【或斜对则长线成短线，或对视则直线成一防】不能为比例，无所用之矣。若两弧求一弧，则其句股自相垜叠于一平面【平立斜三面各具三句股，而如相垜叠，并以一大句股横截成三】皆以本数自相为比例，全不闗于视法，故无跻缩，而其算皆割线余▯所成，于正▯切线反无所取，所以不同。若以量体之法言之，割线余▯为量立楞斜楞之法，正▯切线则量底之法也【两弧求一弧法见二卷】

如图　以卯为句股立锥之顶卯乙为直立之楞如浑圆半径夘未夘酉为斜面之楞并如割线酉乙未乙两底线并如切线若依底线平截之成大小三形则比例见矣剖浑圜用余度法乙丙黄道弧在四十五度以上求甲乙赤道弧【即同升度】依前法，半径【癸卯亦即庚乙】与乙角【春分】之余▯【乙壬亦即卯己】若乙丙【黄道】之切线【尾乙】与乙甲【赤道】之切线【箕乙】此法无误，但如此则两切线大于堑堵，须引之于形外，是以小比例例大比例也。若至八十度，切线太大，不可作图矣。今改用余度，法自卯浑圜心，遇黄道设弧丙作线至酉【剖至底】以乙丙黄道之余弧癸丙，取其切线于斜面如癸斗。又以乙甲赤道之余弧甲氐，取其切线于底如氐。

未即以氐未移至斜面之楞如亢酉变立句股【尾箕乙】为平斜句股【酉亢卯及斗癸卯两形皆相似】　法为半径【癸卯】与乙角之正割线【乙角即卯角其割线戊乙亦即卯亢】若乙丙黄道之余切线【癸斗】与乙甲赤道之余切线也【亢酉亦即氐未】按此法，从亢戊边剖堑堵，成句股方锥之眠体。其剖形以亢氐酉未长方形为底，以卯为锥尖，以斜面之卯亢酉句股形及平面之卯氐未句股形为相对之二边，又以卯氐亢之立面句股形及卯未酉之斜立面句股形为相对之二边，其四面皆句股，其底长方而以卯为尖，故曰眠形。不直曰方锥者，以面皆句股，而卯氐线正立，故不得仅云阳马。谓之句股方锥可也。亦如句股锥立三角，不得仅谓鼈臑。

堑堵测量二句股锥形序【即两弧求一弧】正弧三角之法，即郭太史侧视图也。郭法以侧视取立句股，又以平视取平句股，故有圆容方直之法，而不须用角。西法専以侧视之图为用，故必用角。用角即用弧也。惟其用角，故所用者皆侧立之句股也。余此法则兼用平、立、斜三种句股，而其大小句股之比例，并在一平面，尤为明白易见，而不更言角。既与授时之法相通，其兼用割线起算春分，又西厯之理也。葢义取适用，原无中外之殊笇，不违天，自有源流之合。敬存此稿以质方来，其授时厯侧视、平视之图，详具别卷。

正弧三邉形以两弧求一弧法【句股锥形之理】用割线、余▯以弧度求弧度，而不言角，其理与郭法相通。

丙甲乙三角弧形　甲为正角卯为浑员心，丙乙为黄道，距春分之一弧，甲乙为赤道，同升之弧，丙甲为黄赤距度【即过极圈之一弧】丙卯为黄道半。径甲卯为赤道半径，卯乙为黄赤两道之半径，壬卯为丙乙黄道之余▯【以丙壬为其正▯故】丑卯为甲乙赤道之余▯【以甲丑为其正▯故】辛卯为丙甲距度之余▯【以丙辛为其正▯故】子卯为丙甲割线【以子甲为切线知之】酉卯为丙乙割线【以酉乙为切线如之】未卯为甲乙割线【以未乙为切线知之】斜面酉乙卯及子丑卯及丙壬卯皆句股形，乙丑、壬皆正角，又同用卯角，角之弧为丙乙黄道。平面未乙卯及甲丑卯及辛壬卯皆句股形，乙丑、壬皆正角，又同用卯角，角之弧为甲乙赤道。立面酉未卯及子甲卯及丙辛卯皆句股形，未甲、辛皆正角，又同用卯角，角之弧为丙甲距度【其又一立面酉未乙及子甲丑及丙辛壬三句股形为切线、正▯所作，兹不论】论曰：因诸线成平面句股形为底，两立面句股形为墙，斜面句股形为面，则四面皆句股形矣。而酉未联线及子甲切线、丙辛正▯皆直立，上对天顶，下指地心，故谓之句股锥形也。既成句股，则其相等之比例可以相求，用法半径与赤道之余▯若黄道之割线与距度之割线。

反之则赤道余▯与半径若距度割线与黄道割线一「甲乙余▯」丑卯小句二「半径」乙卯大句三「丙甲割线」子卯小▯四「丙乙割线」酉卯大▯又更之则黄道割线与半径若距度割线与赤道余▯一「丙乙割线」酉卯大▯二「半径」乙卯大句三「丙甲割线」子卯小▯四「甲乙余▯」丑卯小句右取斜面酉乙卯子丑卯两句股形以乙卯半径为比例偕一余▯两割线而成四率半径与距度之割线若黄道之余▯与赤道之余▯：一半径丙卯小▯；二丙甲割线子卯大▯；三丙乙余▯壬卯小句；四甲乙余▯丑卯大句。反之则距度割线与半径若赤道余▯与黄道余▯：一丙甲割线子卯大▯；二半径丙卯小▯；三甲乙余▯丑卯大句；四丙乙余▯壬卯小句。又更之则黄道余▯与半径若赤道余▯与距度割线：一丙乙余▯壬卯小句；二半径丙卯小▯；三甲乙余▯丑卯大句；四丙甲割线子卯大▯。右取斜面丙壬卯子丑卯二句股形，以丙卯半径偕一割线两余▯而成四率。半径与赤道割线，若距度割线与黄道割线。

更之则赤道割线与半径若黄道割线与距度割线一「甲乙割线」未卯大句二「半径」甲卯小句三「丙乙割线」酉卯大▯四「丙甲割线」子卯小▯又更之则距度割线与半径若黄道割线与赤道割线一「丙甲割线」子卯小▯二「半径」甲卯小句三「丙乙割线」酉卯大▯四「甲乙割线」未卯大句右取立面酉未卯子甲卯二句股形以甲卯半径偕三割线而成四率半径与黄道余▯，若赤道割线与距弧余▯。一半径乙卯大句二丙乙余▯壬卯小句三甲乙割线未卯大▯四丙甲余▯辛卯小▯。更之则黄道余▯与半径若距弧余▯与赤道割线。一丙乙余▯壬卯小句二半径乙卯大句三丙甲余▯辛卯小▯四甲乙割线未卯大▯。又更之则赤道割线与半径若距弧余▯与黄道余▯。一甲乙割线未卯大▯二半径乙卯大句三丙甲余▯辛卯小▯四丙乙余▯壬卯小句。右取平面未乙卯辛壬卯二句股形，以乙卯半径偕两余▯一割线而成四率。半径与距度余▯若赤道余▯与黄道余▯更之则距度余▯与半径若黄道余▯与赤道余▯一　丙甲余▯　辛卯小▯　二　半径　　　甲卯大▯三　丙乙余▯　壬卯小句　四　甲乙余▯　丑卯大句又更之则赤道余▯与半径若黄道余▯与距度余▯一　甲乙余▯　　丑卯大句　二　半径　　　甲卯大▯三　丙乙余▯　　壬卯小句　四　丙甲余▯　辛卯小▯右取平面【甲丑卯辛壬卯】二句股以甲卯半径偕三余▯而成四率半径与黄道割线，若距弧余▯与赤道割线。

更之则黄道割线与半径若赤道割线与距弧余▯一丙乙割线酉卯大▯二半径丙卯小▯三甲乙割线未卯大句四丙甲余▯辛卯小句。又更之则距弧余▯与半径若赤道割线与黄道割线一丙甲余▯辛卯小句二半径丙卯小▯三甲乙割线未卯大句四丙乙割线酉卯大▯。右取立面酉未卯丙辛卯二句股形，以丙卯半径偕两割线一余▯而成四率。作立三角仪法【即句股锥形】法以坚楮依各线画成句股而折辏之，则各线之在浑员者具可覩矣。任取黄道之一弧为例，则各弧并同。

底上甲乙弧赤道同升度也赤道各线俱在平面为底面上丙乙弧黄道度也黄道各线俱在斜面立面丙甲弧度黄赤距纬也距纬各线俱在立面。外立面为黄赤两切线之界。论曰：此即郭若思太史员容方直之理也。太史法从二至起算，先求大立句股，依距至黄道度，取其正半▯为界，直切至赤道平面，截黄赤道两半径成小立句股，以此为法，求得平面大句股，则赤道之正半▯也。其直切两端下垂之迹，在二至半径者，既成小立句股，其在所求本度者，又成斜立句股。此斜立句股之股，则本度黄赤距度之正半▯也。于是直切之迹，有黄道正半▯为其上下之横长，有黄赤距度之正半▯为两端之直濶，成直立之长方形，而在浑体之中，故曰弧容直濶也。此侧立长方之四角，各有黄赤道之径为其楞，以直凑浑体之心，成眠体之句股方锥。句股方锥者，底虽方而锥尖偏在一楞，则其四面皆成句股。此郭太史之法也。今用八线之法以句股御浑体，其意略同，但其法主于用角，故从二分起算，遂成立句股锥形。立句股锥形，亦可以卯心为锥尖，是为眠体锥形。如此则两锥形之尖皆在员心【一郭法，一今法】而可通为一法。是故用郭太史法则以句股方锥为主，而句股锥形其余度所成之余形。今以句股锥形为主，则员容直濶所成句股方锥又为余度余形矣。然则此两法者，不惟不相违，而且足以相法。古人可作，固有相视而笑，莫逆于心者矣。余窃怪夫世之学者，入主出奴，不能得古人之深，而轻肆诋诃者，皆是也。吾安得好学深思其人，与之上下其议哉。

句股方锥序堑堵虚形以测浑员，原有二法：一为句股锥形，一为句股方锥。其句股锥之法，向有▯法；方锥之法，亦略见于诸篇，而未畅厥防，故复着之。其法以弧求弧，而不求角，与句股锥同，而起算二至，则郭太史本法矣。方锥与锥形互相为正余，故亦可以算距分之度也。

筭黄赤道及其距纬，以两弧求一弧。又法【用句股方锥形，亦堑堵形之分】以八线法立筭，起数二至本郭法，史员容方直之理，而稍广其用，亦不言角。

如图癸为二至黄道癸丙为距至黄道之一弧【如所设】氐为二至赤道氐甲为距至赤道之，一弧【与癸丙黄道相应】癸氐为二。至黄赤大距弧【二十三度半强】丙甲。为所设各度之黄赤距纬【即过极圈之一弧】卯为浑圆心，黄道癸丙之正▯，丙张余▯，张卯正矢，癸张切线，癸斗割线，斗卯。赤道，氐甲之正，▯甲庚余，▯庚卯，正矢氐庚，切线氐室，割线室卯。大距度癸氐之正▯癸己余▯己卯正矢，氐己切线，氐亢割线，亢卯。距纬丙甲之正，▯丙辛，余▯辛卯，正矢甲辛，切线甲子，割线子卯。论曰：因诸线成各句股形，为句股方锥之面，其鋭尖皆防于卯心，又成方直形，以为之底，遂成句股方锥之眠体。一斜平面有黄道弧诸线成句股形二【一丙张卯一斗癸卯】又有相应之赤道诸线亦成句股形二【一壁亢卯一子房卯】四者皆形相似而比例等。一平面有赤道弧诸线成句股二【一甲庚卯一室氐卯】又有相应之黄道诸线亦成句股二【一辛井卯一亥己卯】四者皆形相似而比例等。一立面有大距弧诸线成句股二【一癸己卯一亢氐卯】又有相对之距纬诸线亦成句股二【一张井卯一房庚卯】四者皆形相似而比例等。一斜立面有黄赤距度诸线成句股二【一丙辛卯一子甲卯】又有相对之大距度诸线亦成句股二【一斗亥卯一壁室卯】四者皆形相似而比例等。论曰：斜平面、平面、立面、斜立面，各具四句股，而并为相似之形者，皆以一大句股截之成四也。其股与▯并原线，而所截之句又平行，其比例不得不等。一内外两方直形【一在浑员形内，即郭法所用，乃黄道及距纬两正▯所成；一在浑员形外，乃赤道及大距两切线所成】有平立诸线，为各相似相连句股形之句，亦即为相似两方锥之底，而比例等。一不内不外，两方直形【一跨黄道内外，乃赤道正▯及距纬切线所成；一跨赤道内外，乃黄道切线及大距正▯所成】有平立诸线，为各相似相连句股形之句，亦即为相似两方锥之底，而比例等。论曰：方锥眠体，以平行之底横截之【即四种方直形，皆方锥之底】成大小四方锥。其锥体之顶鋭【卯】与其四棱皆不动，所截之底又平行，故其比例相似而等。又论曰：黄道在斜平面，赤道在平面，而其线互居者，以方直形故也。大距度在立面，距纬度在斜立面，而其线毕具者，亦以方直形故也。葢形既方直，则横线、直线两两相对而等。

用法斜平面比例黄道半径与黄道正▯若距纬割线与赤道正▯更之，黄道正▯与黄道半径，若赤道正▯与距纬割线。一丙张小股二丙卯小▯三子房大股四子卯大▯。又更之，距纬割线与黄道半径若赤道正▯与黄道正▯。一、子卯大▯，二、丙卯小▯，三、子房大股，四、丙张小股。右取斜平面张丙卯房、子卯二句股形，以丙卯半径偕一割线两正▯而成四率。黄道半径与黄道切线，若大距割线与赤道切线。

更之黄道切线与黄道半径若赤道切线与大距割线一癸斗小股，二癸卯小句，三亢壁大股，四亢卯大句。又更之大距割线与黄道半径若赤道切线与黄道切线一亢卯大句，二癸卯小句，三亢壁大股，四癸斗小股。右取斜平面斗癸卯、壁亢卯二句股形，以癸卯半径偕一割线、两切线而成四率。

平面比例赤道半径与赤道正▯若距纬余▯与黄道正▯更之赤道正▯与赤道半径若黄道正▯与距纬余▯。一甲庚大股二甲卯大▯三辛井小股四辛卯小▯。又更之距纬余▯与赤道半径若黄道正▯与赤道正▯。一、辛卯小▯，二、甲卯大▯，三、辛井小股，四、庚甲大股。右取平面井辛卯、庚甲卯二句股形，以甲卯半径偕一余▯两正▯而成四率。赤道半径与赤道切线，若大距余▯与黄道切线。

更之赤道切线与赤道半径若黄道切线与大距余▯一氐室大股，二氐卯大句，三己亥小股，四己卯小句。又更之大距余▯与赤道半径若黄道切与赤赤道切线一己卯小句，二氐卯大句，三己亥小股，四氐室大股。右取平面亥己卯室氐卯二句股形，以氐卯半径偕一余▯两切线而成四率。

立面比例黄道半径与大距正▯若黄道余▯与距纬正▯更之大距正▯与黄道半径若距纬正▯与黄道余▯。一癸己大股二癸卯大▯三张井小股四张卯小▯。又更之黄道余▯与黄道半径若距纬正▯与大距正▯。一张卯小▯，二癸卯大▯，三张井小股，四癸己大股。右取立面己癸卯井张卯二句股形，以癸卯半径偕一余▯两正▯而成四率。赤道半径与大距切线，若赤道余▯与距纬切线。

更之大距切线与赤道半径若距纬切线与赤道余▯一氐亢大股　二氐卯大句三庚房小股　四庚卯小句又更之赤道余▯与赤道半径若距纬切线与大距切线一庚卯小句　二氐卯大句三庚房小股　四氐亢大股右取立面房庚卯亢氐卯二句股形以氐卯半径偕一余▯两切线而成四率斜立面比例黄道半径与距纬正▯若黄道割线与大距正▯更之距纬正▯与黄道半径若大距正▯与黄道割线，一丙辛小股，二丙卯小▯三斗亥大股，四斗卯大▯又更之黄道割线与黄道半径若大距正▯与距纬正▯一斗卯大▯，二丙卯小▯，三斗亥大股，四丙辛小股。右取斜立面辛丙卯亥，斗卯二句股形，以丙卯半径偕一割线两正▯而成四率。赤道半径与距纬切线，若赤道割线与大距切线。

更之距纬切线与赤道半径若大距切线与赤道割线，一甲子小股，二甲卯小句，三室壁大股，四室卯大句。又更之赤道割线与赤道半径若大距切线与距纬切线。一室卯大句，二甲卯小句，三室壁大股，四甲子小股。右取斜立面子，甲卯壁，室卯二句股形，以甲卯半径偕一割线，两切线而成四率。以上方锥形之四面，每面有大小四句股形，即各成四率比例者，六合之则二十有四，并以两弧求一弧，而不言角。

方直形比例黄道正▯与距纬正▯若赤道切线与大距切线。

更之距纬正▯与黄道正▯若大距切线与赤道切线「一张井小股」，「二井辛小句」，「三亢氐大股」，「四氐室大句」。又更之赤道切线与大距切线若黄道正▯与距纬正▯。一氐室大句，二亢氐大股，三井辛小句，四张井小股，再更之大距切线与赤道切线，若距纬正▯与黄道正▯一亢氐大股二氐室大句三张井小股四井辛小句。右取浑体内所容方直形上黄道及距纬两正▯，偕浑体外所作方直形上赤道及大距两切线而成四率。赤道正▯与距纬切线，若黄道切线与大距正▯更之距线切线与赤道正▯若大距正▯与黄道切线一房庚小股，二庚甲小句，三癸己大股，四己亥大股。又更之黄道切线与大距正▯若赤道正▯与距纬切线。一、己亥大句二、癸己大股三、庚甲小句四、房庚小股。再更之大距正▯与黄道切线，若距纬切线与赤道正▯。一、癸己大股二、己亥大句三、房庚小股四、庚甲小句。右取方直形上黄道切线大距正▯，偕又一方直形上赤道正▯距纬切线，而成四率。以上大小方锥形之底各成方直形，而两两相偕，即各成四率比例者，四合之则八，并以三弧求一弧，而不言角。凡句股方锥形所成之四率比例，共三十有二，皆不言角。内四率中有半径者二十四，并两弧求一弧；四率中无半径者八，以三弧求一弧。其不言角，则同。问各面之句股形，并以形相似而成比例。若方直形所用，皆各形之大小句，然不同居一面，又非相似之形，何以得相为比例？曰：句股形一居平面，一居立面，而能相比例者，以有棱线为之作合也。何以言之？如亢卯割线，为方锥形之一棱，而此线既为斜平面句股形【壁亢卯】之股，又即为立面句股形【氐亢卯】之▯。故其比例，在斜平面为亢卯与张卯，若亢壁与张丙也；而在立面为亢卯与张卯，若亢氐与张井也。合而言之，则亢壁与张丙，亦若亢氐卯与张井，余仿此。问此以方直相比，非句股本法矣。曰：“亦句股也。试平置方锥【以方底着地，使卯鋭直指天顶，而卯氐棱线正立如垂】而从其卯顶俯视之，则卯井庚己氐棱线上分段之界，因对视而成一防。亢卯棱线与亢氐线相疉室卯线与室氐相叠，皆脗合为一。惟亢壁室氐直形，因平视而得正形。其壁卯棱线则成壁氐，而斜界于对角，分直方形为两句股形矣。又其分截之三方直形，亦以平视得正形，亦各以棱线分为两句股，而大小相疉成相似之形，而比例等矣。”如图亢氐室壁长方以壁氐线成两句股而张井辛丙长方【即张氐辛丙】亦以丙卯线【即丙井亦】即丙氐】成两句。股并形相似，则亢壁与张丙若，亢氐与张井【张井即张氐】又癸己亥斗长方【即癸氐亥斗】以斗卯线【即斗己，又即斗氐】成两句股；而房庚甲子长方【即房氐甲子】亦以子卯线【即子庚，又即子氐】成两句股，而形相似。则癸斗与房子，若癸己与房庚【癸己与房庚，即癸氐与房氐】

展形【展之成四句股面一方直底】合形【合之则成句股方锥】

作方直仪法【即句股立方锥】法以坚楮依黄赤大距二十三度半画成立面，再任设赤道距至度画成平面，再依法画距纬斜立面及黄道距至度斜平面，并方直底，然后依棱折辏，即浑员上各线相为比例之故，了然共见。任指黄道或赤道之距至一弧为式，即各弧可知。其所用距至弧，或在至前，或在至后，或冬至，或夏至，并同一理。

方堑堵内容员堑堵法先解方堑堵堑堵以正方为底【氐卯丁乙形】其上有赤道象限【氐，干乙，弧乙，春分氐，夏至】以长方为斜面【亢卯戊乙形】其上有黄道象限【癸巽】。乙、弧、乙、春分、巽、夏至】底与而一邉相连【卯、乙邉为底与斜面所同用，故相连，乃黄赤道之半径】一邉相离【氐丁邉在底与赤道平行，亢戊邉在斜面，故相离，其距为亢氐为戊】【丁】皆大距度癸氐弧之切线】其形似斧。从斜面作戊卯对角线切至底【戊丁卯对角线于底】分堑堵为两则，赤道为两平分【赤道平分于干，干乙距春分，干氐距夏至，各得四十五度】而黄道为不平分【黄道分于巽，则巽乙距春分四十七度二十九分弱，而巽癸距夏至四十二度三十一分强】于是黄道切线【戊乙】与大距度割线【亢卯】等，而方堑堵之形以成【亢卯为大距二十三度三十一分半之割线，其数一○九○六五，戊乙为黄道四十七度二十九分之切线，其数亦一○九○六五，两数既同，故能作长方斜面而成堑堵】乃黄道求赤道用两切线之所赖也【若赤道求黄道，则反用其率】法曰：自黄道四十七度二十九分以前，用正切，是立面句股比例【戊丁乙句股比例，即亢氐卯，或用癸巳卯，皆大句股也。其酉未乙，则为小句股】

右黄道求赤道为以▯求句一　赤道半径氐卯　　　大句二　大距割线亢卯　　　大▯三，赤道切线未乙【甲乙赤道】小句。四黄道切线酉乙【丙乙黄道】小▯。

右赤道转求黄道为以句求▯自黄道四十七度二十九分以后，用余切是斜平面句股比例【斜面亢虚卯为大句股，癸斗卯为小句股，在平面则为氐危卯大句股，己心卯小句股】一黄道半径癸卯，小股。

二　大距割线亢卯　大股三，黄道余切癸斗，小句【牛乙黄道其余弧牛癸】四，赤道余切亢虚。大句【女乙赤道其余弧女氐】

右黄道求赤道为以股求句一　赤道半径氐卯　　　大股二　大距余▯己卯　　　小股三　赤道余切危氐【即亢虚】　大句　【女氐即女乙赤道之余】四　黄道余切心己【即癸斗】　小句　【牛癸即牛乙黄道之余】右以赤道转求黄道亦为以股求句论曰：赤道求黄道，用句股于赤道平面，即郭太史员容方直之理。但郭法起二至，则此所谓余弧，乃郭法之正弧。又郭法只用正▯而此用切线，为差别耳。又论曰：正切线法亦可用于半象限以上，余切线亦可用于半象限以下。此因方堑堵之底正方，则所用切线至方角而止，故各用其所宜【云半象限者，主赤道而言；若黄道以四十七度二十九分为断，一平一斜，故其比例如▯与句】又论曰：正切线法，即句股锥形也。余切线法，即句股方锥也。以对角斜线分堑堵为两，成此二种锥形，遂兼两法。

次解员堑堵方堑堵内容，割浑员之分体，以癸牛、丙乙黄道为其斜面之界，以氐女、甲乙赤道为其底之界，而以癸氐大距弧及牛女、丙甲等逐度距弧为其髙。髙之势曲抱如浑员之分，斜面、平面皆为平员四之一【其髙自癸氐大距渐杀至春分乙角，而合为一防】员堑堵者，虽亦在方堑堵之内，然又在所容割浑员分体之外。与割浑员体同底，亦以赤道为界，而不同面。其面自乙春分过子过奎至亢，其形卯乙短而亢卯长，如割平撱员面四之一。其撱员邉之距心，皆以逐度距纬【如丙甲、牛女等】之割线所至为其界【如卯子为丙甲距弧割线，卯奎为牛女距弧割线之类】而以逐度距纬之切线为其髙【如子甲为丙甲距弧切线，奎女为牛女距弧切线之类】法以赤道为围，作员柱，置浑员在员柱之内，对赤道横剖之，则所剖员柱之平员底，即赤道平面也。又自夏至依大距二十三度三十分半之切线为髙，斜对春秋分剖至心，则黄道半周在所剖之斜面矣。然黄道半周虽在所剖斜面，而黄道自为半平员，所剖斜面则为半撱员。黄道平员在撱员内，两端同而中广异【两端是二分，如乙为平撱同用之防；中广是夏至，如黄道癸在撱面亢之内，其距为癸亢】此员堑堵之全体也。于是又从亢癸对卯，心直剖到底，则成员堑堵之半体，即方堑堵所容也。此员堑堵斜面之髙，俱为其所当距纬弧之切线。浑员上弧三角法，以距纬切线与赤道平面之正▯相连为句股，而生比例。是此形体中所具之理。此堑堵体与前图同，惟多一亢奎子乙撱弧，以此为撱员界，立剖至底，令各度俱至赤道而去，其外方则成员堑堵真体。此员堑堵为用，子甲丑句股形之所頼。子甲为距，弧切线甲丑为赤道正▯也。又子甲如股，甲丑如句，法为子甲与甲丑若亢氐与氐卯。

前图为从心眎邉，此为从邉眎心。盖因欲显圆堑堵内方直形，故为右观之象，与前图一理，惟多一己庚辛乙撱弧【前图亢奎子乙撱弧在黄道斜面，此图己庚辛乙撱弧在赤道平面】

员堑堵有二若自斜面之黄道象限各度直剖至赤道平面，亦成员堑堵象限。然又在剖浑员体分之内，其体以斜面为正象限，但斜立耳。其底在赤道者，转成撱员。此撱员形在赤道象限之内，惟乙点相连，此即简平仪之理。其撱之法，则以卯乙半径为大径，癸氐距弧之余▯卯巳为小径。小径当二至，大径当二分，与前法正相反。然其比例等，何也？割线与全数若全数与余▯也。此员堑堵以撱形为底，象限为斜面，以距度逐度之正▯为其髙，乃黄道距纬相求用两正▯之所頼也。此员堑堵内又容小方堑堵，乃郭太史所用，员容方直也。浑员因斜剖作角而生，比例成方员堑堵形。其角自○度一分以至九十度，凡五千四百则，方员堑堵亦五千四百矣【乙角以春分为例，则其度二十三度半强。其实自一分至九十度，并得为乙角合计之，则五千四百】每一堑堵依度对心剖之，成立句股锥及方句股锥之眠体，自○度一分至大距止，亦五千四百。以五千四百自乗，凡二千九百一十六万，而浑员之体之势乃尽得其比例，乌呼至矣！每度分有方堑堵，方堑堵内函赤道所生撱体，赤道撱体内又函黄道所生撱体，黄道撱体内又函小方堑堵。每度分有此四者，则一象限内为五千四百者四，共二万一千六百【以乙角五四○○乗之则一一六六四○○○○】每度有正有余，对心斜分，则正度成句股锥，余度成方底句股锥之眠体一象限，凡四万三千二百【以五四○○乘之，则二三三二八○○○○】

员容方直简法序古未有预立算数以尽句股之变者，有之，自西洋八线表始。古未有作为仪器以写浑员内句股之形者，自愚所撰立三角始。立三角之仪，分之曰句股锥形，曰句股方锥形，合之则成堑堵形。其称名也小，其取类也大。径寸之物以状浑员，而弧三角之理如指诸掌。即古法之通于弧三角者，亦如指诸掌矣。虽然，犹无解于古法之不用割切也，故复作此简法以互征之。而授时厯三图附焉。盖理得数而彰，数得图而显，图得器而真。草野无诸仪象，借兹以自释其疑，不敢自私，故以公之同好云尔【句股锥形，是以西法通国法；句鈠方锥形，是以郭法通西法。今此简法，是専解郭法，而两法相同之故，自具其中】

员容方直仪简法【即句股方锥之方直仪，而不用割切线，祗以各弧正▯矢度相求，其用己足，亦不须用角】

立面中有句股形二，其一大句股形【癸巳乙】以黄道半径【癸乙】为▯，大距度正▯【癸巳】为股，大距度余▯【巳乙】为句；其一小句股形【壬戊乙】以黄道余▯【壬乙】为▯，距纬正▯【壬戊】为股，楞线【戊乙】为句。

平面中亦有句股形二，其一，小句股形【庚戊乙】以距纬丙甲之余▯【庚乙】为▯，以黄道正▯【戊庚】为股，楞线【戊乙】为句；其一，大句股形【甲辛乙】以赤道半径【甲乙】为▯，以赤道正▯【甲辛】为股，赤道余▯【辛乙】为句【戊乙线于弧度无取，然平立二形并得此补成句股，谓之楞线】黄道正▯本在斜平面，而能移于平面者，有相望两立线【丙庚壬戊】为之限也。距度正▯本在斜立面，而能移于立面者，有上下两横线【丙壬庚戊】为之限也。此四线【两立两横】相得成长方，其立如堵故又曰弧容直濶也有大距，有黄道，而求距纬。更之可求大距，反之可求黄道。一、半径「癸乙」。一、黄道余▯。一、大距正▯。二、大距正▯「癸己」。二、距纬正▯。二、半径。三、黄道余▯「壬乙」。三、半径。三、距纬正▯。四、距纬正▯「壬戊」。四、大距正▯。四、黄道余▯。有赤道，有距纬，而求黄道。更之可求赤道，反之可求距纬。一、半径甲乙一、距纬余▯一、赤道正▯二、赤道正▯甲辛二、黄道正▯二、半径三、距纬余▯庚乙三、半径三、黄道正▯四、黄道正▯庚戊四、赤道正▯四、距纬余▯郭太史本法弧矢割员图【见授时厯草下，并同】

凡浑员中割成平员任割平员之一分成弧矢形皆有弧背有弧▯有矢割弧背之形而半之则有半弧背有半弧▯有矢　因弧矢生句股形以半弧▯为句【即正▯】矢减半。径之余为股【即余▯】半径则常为▯。句股内又成小句股，则有小句、小股、小▯，而大小可以互求，或立或平可以互用【平视、侧视二图皆从此出】

侧视之图横者为赤道【赤道一规，因旁视如一直线，黄道同】

斜者为黄道因二至黄赤之距成大句股【即外圈】

因各度黄赤之距成小句股平视之图外大员为赤道内撱者，黄道【从两极平视，则黄道在赤道内。

而成撱形】

有赤道各度即各其有半弧▯以生大句股又各有其相当之黄道半弧▯以生小句股【此二者皆可互求】授时厯求黄赤内外度及黄赤道差法。置黄道矢【本法用带从三乗方求各度矢】去减周天半径【即立面黄道半径】余为黄赤道小▯【即黄道余▯也，半径为大▯，故此为小▯】置黄赤道小▯，以二至内外半弧▯【即二至大距度正▯，当时实测为二十三度九十分】乘之，为实；黄赤大▯【即周天半径，以其为立面大句股之▯，故称大▯】为法，除之，得黄赤道内外半弧▯【即各度黄赤距度正▯也，原法以矢度度半背▯差加入半弧▯得内外半弧背，今省】又置黄赤道小▯，以黄赤道大股【即二至内外度余▯也，在立面大句股形为大股】乗之为实，黄赤道大▯为法除之【解见前】得黄赤道小股【即立面平面两小句股同用之楞线，在立面与大股相比故称小股】置黄道半弧▯【即黄道正▯也，原法以黄道矢求半背▯差减黄道度得之】自乗为股幂，黄赤小股自乗为句幂【即楞线也，先在立面为小句股形之股，今又为平面句股形之句，故其幂称句幂】两幂并之为实，开平方法除之为赤道小▯【即各度黄赤距度余▯也，周天半径为平面上大句股之▯，故称大▯，则此为小句股▯，当称小▯】置黄道半弧▯，以周天半径乗之为实，赤道小▯为法除之，得赤道半弧▯【即赤道正▯也，原法求半背▯差以加半弧▯得赤道，今省】论曰：弧矢割员者，平员法也。以测浑员，则有四用：一曰立弧矢势，如张弓以量黄赤道二至内外度，即侧立图也。一曰平弧矢形，如伏弩以量赤道，即平视图也。一曰斜弧矢，与平弧矢同法，而平面邉髙邉下，其庋起处如二至内外之度，以量黄道，即平视图中小句股也。一曰斜立弧矢，与立弧矢同法，而其立稍偏，以量黄赤道各度之内外度，即侧立图中小句股也。自离二至一度起，至近二分一度止，一象限中逐度皆有之，但皆小于二至之距。邢台郭太史弧矢平立三图中，具此四法，即弧三角之理，无不可通。言简而意尽，包举无穷，好古者所当珤爱而▯翫也。又论曰：「割员之算，始于魏刘徽，至刘宋祖冲之父子，尤精其术。唐宋以算学设科，古书犹未尽亡，邢台葢有所本。厥后授时厯承用三百余年，未加修改，测箕之讲求益稀。学士大夫既视为不急之务，而台官株守成法，鲜谙厥故。骤见西术，羣相骇诧，而不知旧法中理本相同也。畴人子弟多不能自读其书，又忌人之读，而各私其本，久之而书亦不可问矣。攷《元史》厯成之后，所进之书凡百有余卷【郭守敬传有修改源流及测騐等书，齐履谦传有经串演撰诸书，明厯法之所以然】今其存轶并不可攷，良可浩叹。然天下之人，岂无有能藏弆遗文，以待后学者？庶几出以相证，予于斯图之义，类多通而深有望于同志矣。」问：元初有回回厯法，与今西法大同小异，邢台葢防通其説而为之，故其法相通。若是与曰：九章句股作于▯首，为测量之根本，三代以上学有専家，大司徒以三物教民，而数居六艺之一。秦火以后，吾中土失之，而彼反存之。至于流逺▯分，遂以各名其学，而不知其本之同也。况东西共戴一天，即同此句股测员之法，当其心思所极，与理相符，虽在数万里，不容不合，亦其必然者矣。攷元初有西域人进万年厯，未经试用，迨明洪武年间，始命词臣吴伯宗、西域大师马沙亦黒等译回回厯书三卷，然亦粗具筭法立成，并不言立法之原，究竟不知其所用何法，或即今三角八线，或更有他法，俱无可攷，虽其子孙莫能言之。攷元史所载西域人晷影堂诸制，与郭法所用简仪、髙表诸器，无一同者，或测量之理触类増智，容当有之，然未见其有防通之处也。徐文定公言回回厯纬度、凌犯稍为详宻，然无片言只字言其立法之故，使后来入室无因更张无术，盖以此也。又据厯书言新法之善，系近数十年中所造，则亦非元初之西法矣，而与郭图之理反有相通，岂非论其传各有本末，而精求其理本无异同耶？且郭法用员容方直起算冬至，西法用三角起算春分，郭用三乗方以先得矢，西用八线故先得▯，又西専用角，而郭只用弧，西兼用割切，而郭只用▯，种种各别而不害其同，有所以同者在耳。且夫数者所以合理也，厯者所以顺天也，法有可采，何论东西，理所当明，何分新旧，在善学者知其所以异，又知其所以同，去中西之见，以平心观理，则弧三角之详明，郭图之简括，皆足以资探索而啓深思，务集众长以观其防通，毋拘名相而取其精粹，其于古圣人创法流传之意，庶几无负，而羲和之学无难再见于今日矣。

角即弧解问古法只用弧，而西法用角，有以异乎？曰：角之度在弧，故用角，实用弧也。何以明其然也？假如辰庚己三角形，有庚钝角，有己庚、辰庚二邉，欲求诸数，依垂弧法，于不知之辰角打线，线先补求辰辛及辛庚，成辰辛庚三角虚形，此必用庚角以求之，而庚角之度为丙丁，是用庚角者，实用丙丁也。其法庚丙九十度之正▯【即半径】与丙丁弧之正弧【即庚角正▯】若庚辰正▯与辰辛正▯，是以大句股之例例小句股也。又丙丁弧之割线【即庚角割线】与庚丁九十度之正▯【亦即半径，凡角度所当弧其两边并九十度】若庚辰之切线与庚辛之切线，亦是以大句股之例例小句股也。既补成辰辛巳三角形，可求巳角。而巳角之度为乙甲，是求巳角者，实求乙甲也。其法：辛己弧之正▯与辰辛弧之切线，若己甲象弧之正▯【即半径】与乙甲弧之切线【即己角切线】是以小句股例大句股也。又如己辰庚形，庚为鋭角，当自不知之辰角，打线分为二形，以求诸数。其一辰辛庚分形，先用庚角，而庚角之度为丙丁，用庚角实用丙丁也。法为丙庚象弧之正▯【即半径】于丙丁弧之正▯【即庚角正▯】若辰庚之正▯与辰辛之正▯，又丙庚象弧之正弧【即半径】与丙丁弧之余▯【即庚角余▯】若辰庚之切线与辛庚之切线，是以大句股例小句股也。其一，辰辛己分形【以庚辛减己庚得己辛】有辰辛、己辛二邉，可求己角。而己角之度为乙甲，求己角实求乙甲也。法为己辛之正▯与辰辛之切线，若己甲象▯之正▯【即半径】与乙甲弧之切线【即己角切线】是以小句股例大句股也。一系用角求弧，是以大句股比例比小句股；用弧求角，是以小句股比例比大句股。

厯算全书卷六十