笔算卷三

笔算卷三

异乘同除法以先有之数，知今有之数，两两相得，是生比例。莫善于异乘同除，乃古九章之枢要也。先有者二，今有者一，是已知者三，而未知者一，用三求一，故西法谓之三率。今先明同异名之説，以着古法；次详三率之用，以显通理。异者，何也？言异名也。同者，何也？言同名也。假如以粟易布，则粟与粟为同名，布与粟为异名也。何以为异乗同除也？主乎今有之物以为言也。假如先有粟若干，易布若干；今复有粟若干，将以易布，则当以先所易之数例之。是先易之布与今有之粟异名也，则用以乗，是谓异乗。若先有之粟与今有之粟同名也，则用以除，是谓同除。皆用以乘除今粟，故曰主乎今有以为言也【置今有粟，以异名之布乘之为实，再以同名之粟为法除之，是皆以今粟为主，而以先有之二件乘除之也】

问：何以不先除后乗？曰：以原总物除原物总价，则得每物之价，以乗今有总物，亦可得今有之总价。然除有不尽，则不可以乗，故变为先乗后除，其理一也。假如原有豆一百○八石，价银三十六两，今有豆一百三十五石，问价若干？

答曰四十五两法曰：置今豆一百三十五石，以原豆价三十六两乗之，得四千八百六十两为实，以原豆一百○八石为法，除之，得四十五两为今豆应有之价【见以物求价也。若还原则，以价求物】假如原有银四十五两，买豆一百三十五石，今有银三十六两，问豆若干？

答曰一百○八石法以豆一百三十五石乘价三十六两，得四千八百六十石为实，以价四十五两为法除之，得一百○八石，合问。西人三率法。其法以先有之二件为一率、二率，今有之二件为三率、四率。则前两率之比例与后两率之比例等，故其数可以互求。【今冇之二率先只有其一，合前有之二率，共为三率，以求之而得今有之余一率，是以三求一，故曰三率法，实四率也】假如一率是三，二率是四，三率是九，则四率必为十二。何也？三与四之比例，若九与十二也。故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实，以三【一率】为法除之，必得十二【四率】若互用之以四率为一率，则十二与九之比例若四与三，故曰可以互求【此即还原之理】【解曰：以三比四，以九比十二，并三分加一之比例；以十二比九，以四比三，并四分减一之比例。凡言比例等者，皆如是。】

此以上图之四率为一率也故其序皆倒而所得四率即上图之一】

又更而互之凡二三相乘，与一四相乘等积，此立法之根，观右图可明【四九相乘三十六，而十二与三相乘亦三十六，故以三除三十六得十二，以十二除三十六亦复得三，此前两图互求之理；若更一四为二三，其实同为三十六，故以四除之得九，以九除之亦复得四，此后两图互求之理】

又错综之此又以前图之二与三更之，则前两率之第二变为后两率之第一，而其比例亦等【凡一率、二率为前两率，乃先有之二件也；三率、四率为后两率，乃今有之两件也。今以二率、三率相易，则是先有之次率变为今有之首率也。然以比例言之，在前图为三与四，若九与十二者；在此图则三与九，亦若四与十二也】

若以一率除二率得数以乗三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也】

试仍以古图明之原有小麦十二石，换食盐九石【俱四分之三比例，若以上□左】今有小麦四石，换食盐三石【右更置，即成三率之前四图】

更之【以纵为横】原有粱米三石，换棉布九疋【俱三倍之比例，若以上下左右】今有粱米四石，换棉布【十二】疋【更置即成三率之错综四图】辨法实。凡三率之用，皆以二率乘三率为实，首率为法，除之以得所求，为四率。然何以定其孰为一率，孰为二率，三率也？曰：此则古人同异名之法，不可易也。诀曰：凡今有之已知者，常定为三率【其未知者待算而知，则常为四率】视先有之物与三率之今有同名者，定为首率；其与今有异名，必为二率矣。又诀曰：凡三率之法，以三件求一件，其所求之一件未知，而三件则巳知也。此已知之三件中，必有两件同名【如价与价，物与物之类】就以此同名之两件审其孰为先有定为首率【其今有者则为三率，而其余异名之一件亦必先有也，恒为二率】假如有句股形田，长一百三十五步，阔四十五步。今截相似形，长一百○八步，问阔若干？

答曰截阔三十六步定法实诀以今截长一百○八步定为三率，长与长同名，以原长一百三十五步定为首率，濶与长异名，以原濶四十五步定为二率。

又诀【此巳知之三件是原长原阔截长内长与长同名以原长是先有之数定为首率截长是今有之数为三率原濶与长异名为次率】按原长与原濶，即大句大股；截长截濶，即小句小股也。四者皆可以递互相求，三率中更互错综之理，尤为易见。

以比例言之，大股与大句，若小股与小句也。更之，则小股与小句，亦若大股与大句也。此为以股求句，反之而以句求股，则大句与大股，亦若小句与小股也。又更之，则小句与小股，亦若大句与大股也。

又错综之，则大股与小股，若大句与小句也。而大句与小句，亦必若大股与小股矣。又小句与大句，若小股与大股也。而小股与大股，亦必若小句与大句矣。是为三率之八变。

异乘同除定位法三率定位与乗法、除法无异【乗法以实单位为根，定所对得数为法尾数；除法以法首上一位作识，定所对得数为所求单数，并详前巻】但所用之实以二率、三率相乗而得，握算者或疑其数之骤陞而不能守其定法，则定位必讹，而其理益晦矣，故复论之【诸家算术往往有定位不确者，皆由见乘后数多，未免惊怖而輙为酌改故也】假如六个时辰，马行二百一十里，今行五个时辰，当有若干里？

答曰一百七十五里论曰：试以六时除马行【二百一十里】得每时行【三十五里】以乘【五】时，亦得【一百七十五里】原无可疑，今先乗后除，故以【一千○五十里】为实。骤观之似乎太多，究竟除后▯得其本数而已。假如银【三十二两】换钱【三万六千文】今有银【二十八两】问钱若干？答曰：三万一千五百文。

若以【三十二两】除【三万六千】得毎两钱【一千一百二十五文】以乗【二十八两】亦得三万一千五百文【知得数之同，则知一百万零八千之非误】

异乗同除约分法三率内有两率相凖，可用约分者，即改用所约之数，易繁为简。如法乘除所得无误，而用加防矣【两率者，其一首率，其一次率，或三率也。凡以法约之，必两率相准，次率、三率祗用其一，皆取其与首率相凖也。或两率并为偶数，则俱折半；或两率并可均剖为四，则折半两次；或两率并可均分为三，则各取三之一；或两数互减而得等数，则以等数约之，并如约分法】

【论其比例，半之则，以三约之，以九约之，再约之为十八比九，与八则六与十，则二与十，则为一十六若九之比例，六之比例，六之比例，与八若十九与八，亦若九，若三十三，若十一与十一与十八也，十九与与八十八，八十八，八十八八十八】假如赁房九个月，银七十八两，问住二年该若干？答曰：二百零八两【法：以二年成二十四个月，依式列之】

四，二百零八【八乗廿六即得此数】假如八色金六十两，换银二百八十八两。今有九色金五十两，该若干？答曰：二百七十两【此以金折成足色，六十两作四十八两，五十两作四十五两算之】

四二百七十【十八乘十五得此数。右皆约得一数为首率，故不须除，但以二率乗三率即得所求为四率】重测法【三率有叠用两次者，谓之重测，即两个异乘同除】假如有夏布四十五丈，欲换棉布，但云毎夏布三丈价二钱，棉布七丈价七钱五分，问换棉布若干？答曰：二十八丈一。夏布三丈，先用为法。

四　价　三两　法除实得此数重列一　价【七钱五分】　　　　又用为法四，棉布【二十八丈】法除实，得此数。此因两布各有其价，故先用法求得第四率，以夏布变为银，就以此定为重列之第三率【即今价也】而以棉布价【七钱五分】为首率【以与今价同名也】棉布【七丈】为次率【以与今价异名也】如法乘除，得所换棉布为四率。

并乗除法以两次乘除并而为一，是合两三率为一三率也。即古法之同乘同除【古以并乘为异乗，同乗以并除为异除，同除。今乘除俱用并法，故谓之同乘同除也】假如今有芝麻五十四石，欲换黄米，但云芝麻三石换緑豆五石，换黄米三石，问该换黄米若干？

答曰六十七石五斗本法　　　　　　　重列一　麻　　三石　　豆　　四石二　豆　　五石　　米　　三石三　今麻　【五十四石】　　今豆九十石【此重列之第三即先得之第四乃本法也】四该豆　【九十石】　　　米【六十七石五斗】

简法【即并法】

【今以两首率相乘为首率亦以两次率相乘为次率以两九十石对去不用故三率省乗是为并法实简法也】论曰：本用两次乘除，今以豆【四石】乘麻【三石】得【十二石】以除，是并两次除为一次除也。以米【三石】乘豆【五石】得【十五石】以乗，是并两次乘为一次乗也。依法求之，即得所换米【六十七石五斗】与两次求者数同【又因一率二率可用约分约之为四与五，而法益简】然则第三率何以独异【第三率径用今麻不以豆九十石乗之是与并两首率为首率并两次率为次率者逈别】曰：重列之第三即先得之第四，故可以对去不用。不惟不用，亦可不求【重列之第三率既无乗并之用则原列之第四率不必更求其数】而乗除之用已偹【今麻原系第三率今仍用为第三是三率之用本无所缺】即所求之得数已清矣【若第三率用豆九十石乗过之则所得第四率亦必为豆九十石乘过之米得数后必以九十石除之始能清出米数反多曲折今对去豆九十石不用则所得四率即米数直截了当】故为简法。

又式假如有战兵七百名，毎年额饷一万二千六百两，内有新着伍兵三百名，已经应役七个月，问该饷银若干？答曰：三千一百五十两。

依重测并乘除法，当以【十二月】乘【七百名】得【八四○○】为法，以【七个月】乗【一万二千六百】得【八八二○○】又以【三百名】乘之，得【二六四六○○○○】为实，法除实，得三千一百五十两，为兵三百名七个月之饷。今用约分，以【七百】与【三百】约为七与三【皆百约之】则首率次率各有【七】对去不用，可省并乘。重列之时，径以【十二】为首，率饷银【一二六○○】为次，率【三】为三率，依法乘除而得四率。又以首率【十二】三率【三】约为四与一，则径以饷【一二六○○】为实，以四为法除之，得【三千一百五十】合问。变测法【古谓之同乗异除，在三率谓之变测，即几何原本之互视法也】凡异乘同除，皆以先有之一率为法【即首率】以先有之又一率乘今有之一率为实【即二率三率相乗】若同乘异除，则反以今有之一率为法【同文算指列于第三，今依法实之序定为首率】以先有之两率自相乘为实【同文算指列于第一、第二，今定为第二、第三】虽亦以法除实，得今所求之又一率【即四率】与诸三率同，而法实相反，故曰变测。假如用秤称物，物重秤不能称，外加一锤称得【八十四斤】本锤【一斤五两】加锤【一斤三两】问其物实重若干？

答曰一百六十斤一　锤重二十一两　　　　　为法四，实重一百六十斤，法除实得数。法以锤【一斤五两作二十一两】加锤【一斤三两作十九两】共重【四十两】为先有之一率；称重【八十四斤】为先有之又一率；相乘【三三六○】为实。以本锤重【二十一两】为今有之一率，为法。法除实，得实重【一百六十斤】为所求今有之又一率。合问。假如秤失去锤，有所称物【重一百六十斤】今以他物代锤【重四十两】称得重【八十四斤】问锤重若干？答曰：一斤五两。

一　物重一百六十斤二　称得重八十四斤三　【他物代锤】重四十两四　锤重二十一两假如布幔一具，用布十六丈五尺，布濶二尺。今有布濶一尺五寸，如式作幔，该用若干？

答曰二十二丈一　今濶一尺五寸二　原濶二尺三　原长十六丈五尺四　今长二十二丈假如储粟方窖长【一丈二尺】濶【九尺】深【一丈】今欲别穿一窖藏粟与之等长亦【一丈二尺】但深加【二尺五寸】该濶若干答曰濶七尺二寸一　今深十二尺五寸二　原深十尺三　原濶九尺四　今濶七尺二寸【此原长不动而加深减濶也。今深今濶相乘得九十尺，与原深乘原濶等。以乘长一十二尺，得一千零八十尺，亦等，则其藏粟等】又问：若依原窖之濶【九尺】但加长【三尺】该深若干？

答曰深八尺一　今长十五尺二　原长十二尺三　原深十尺四　今深八尺【此原濶不动而加长减深也，今长乘今深得一百二十尺，与原长乘原深等，以乘濶九尺，并得一千零八十尺】假如有方仓高【一丈八尺】濶【二丈】深【二丈一尺】今更造一仓，亦深【二丈一尺】但高减三尺，问阔若干？答曰：「濶加四尺【共濶二十四尺，所储米石即同原仓之容】

一　今高十五尺二　原高十八尺三　原濶二十尺四　今濶二十四尺【此原深不动而减高増濶也，当与右二条叅防。仓之高即窖之深，仓之深即窖之长】【今高乘今濶，得三百六十尺，与原高乗原濶等；再以深二丈一尺乘之，得七千五百六十尺，与原仓之容积等】假如原借八五色银四十八两，今还九六色银，问该若干？答曰：四十二两五钱。

一　今银色九六　　　　　为法四今还四十二两【五钱】法除实，得数。【解曰：原银八五色，是毎两实折八钱五分，故以乘原银，得四十两零八钱，乃折实纹银之数也。还银九六色，是毎九钱六分成一两，故以除折实纹银，得四十二两五钱，为应还之数。凡零乘数反损，零除数反增，详别巻】假如有田一区，用三十二人耕治，五日而毕。今用四十人，问该几日？答曰：四日。

一　今用四十人二　原用三十二人三　原耕五日四　今耕四日假如决水修池，水窦濶三尺，十二日涸出。今开濶八尺，问水涸几日？

答曰四日有半一　今濶八尺二　原濶三尺三　原十二日四　今四日半假如额兵五千六百，设有一年之饷，今祗留兵三千三百六十名，问其饷可支几时？

答曰一年零八个月一　今兵三千三百六十二　原兵五千六百三　原设饷十二个月四　今可支二十个月歴算全书巻三十六钦定四库全书厯算全书巻三十七宣城梅文鼎撰笔算巻四通分法【并、减、乘、除，并有子母，通分之用，故别自为巻。其畸零以十、百、千万为等者，不用此法】凡整数下有零分，而不以十分成整，当用通分。其法以一整数剖为若干分，是为母数。其所▯零分在母数中得几分之几，是为子数。

通分子母列位法通分列位，其法有三：曰化整为零，曰以整▯零，曰收零为整。假如有物一斤四两，则以一斤通为十六两，加入所▯四两，共二十两而列之。二○【斤以十六两为母，其所▯四两是子，今化斤为两，则可乘除谓之以母从子也】若欲通为铢，则以毎两二十四铢为母，通二十两为四百八十铢。四八○【此以斤通为两，两又通为铢，是两次用通分也】若畸零累析，有用通分三次、四次以上者，准此论之。如《皇极经世》一元有十二防，一防有三十运，两次通之，则一元有三百六十运。一运有十二世，一世有三十年，两次通之，则一运有三百六十年。若以元通为年，则用四次【元通为防，防又通为运，运又通为世，世又通为年，是四次用通分也】通得十二万九千六百为一元年数。假如古歴十九年七闰，谓之一章，其月谓之章月，二三五【此以毎年十二月通十九，得二百二十八月，加入闰七月，共得二百三十五月，为一章之月】右化整为零，古通分法曰：「通以分母，纳以分子。」盖言以分母通其整数，而以所▯零分加入也。然亦有不纳子而但通其整之时，既以分母通之，则整数不用全化为分，故西学谓之化法。别有变零为整之法，与此化整为零之法，似同而实不同。所以为零乘之用，盖化整则全化为零，而不用整；变零则全变为整，而不用零。其数则同【谓自一至九之数】其等则异【谓如零陞为单，单陞为十之类】详见零除条。凡通分，化整为零，以便乘除，不必更书其母。若列位本法，以整▯零，当以母数子数并而书之，曰几分之几【若分下▯有小分，则曰几分之几又几分分之几】假如有整数二十五，▯有零分为整数十二分之七，又仍▯零秒，为分数三十分之十四。【此如歴▯法一周十二宫，一宫三十度，今▯得星行二十五周又七宫十四度也】假如有整数十六，又▯零数为整数七分之五。【此以一整数剖为七分，而所▯零分，适得其五也。七为分母，五为分子】假如有零数为整数三十分之十四，又▯有小分为分数六之五。【此原无整数，但有分，又有小分。其分以三十为母，十四为子，是一整数剖为三十而得其十四，也小分以六为母，五为子，是一大分，又剖为六而得其五也。小分母，古谓之秒母】

右以整▯零凡母数必大于子数，其常也。乗除之后，有子数反多者，法当以母数收之为整，而▯其零。假如有零分十六，其分母九【此以子数反大，当以母数收为整】【九之十六】收得一【九之十六分内除九分收为整余七七分是为整一又九分之七也】假如方田之法，以方五尺为步，其积二十五尺，今有积七十尺。【步法二十五尺，而积有七十尺，子数反多，法当收整】【七十尺内除五十尺收为二步，剩二十尺不能成步，是为整二步又二十五分步之二十】假如古厯法，以十九年为一章，四章为一蔀。今距▯元中积一百年，问在第几蔀？第几章？

畣曰第二蔀第二章之第六年【法先以章法十九收九十五年，成五章，剰五年；次以蔀法四收四章，成一蔀，剩一章】通列之成，一蔀一章，零五年，是为已过之数。今正在交第二蔀第二章之第六年也】右收零为整【凡欲乗除必化整为零，既乘除矣，仍必收零为整，此二者相须为用也】此外仍有除零附整之法，其法以分母为法，分子为实，实如法而一，得零数为整数，十分之几，或百分、千分、万分之几，所谓退除为分秒也，见除法命分。

通分并子法通分并子，其类有三：曰母同者，曰母不同者，曰大分又▯小分者。而所以并之之法有七：曰径并法，曰变分母法，曰互乗法，曰连乘法，曰维乘法，曰截并法，曰通母纳子法。

径并法凡分母数同者，径并其子，并满母数收为整【数在三宗以上而母同者，皆可径并其子，或大分之下▯有小分而分母同者，并用此法】假如有丝五分斤之四，又五分斤之三，并之若干畣？曰：整一斤【又五分斤之二】【此因两母同为五，故径并其子。子数七，母数五。是子满母数，而且有余也，当以母数收之，得整一零五之二】

以上分母同者，径并其子为通分，并法之一类。

变分母法凡分母不同而有比例可求者，变而同之，可省互乘。假如有数【六之三】又加【四之一】共若干？

畣曰共四之三【法以六之三，母子各损三之一，变为四之二，则两母同为四，而其子可并矣。】所以然者，四与六是倍半比例，故去三分之一，即相同也】

假如有金【八分两之五】又【四分两之三】并之若干。

答曰一两又八分两之三【八与四为折半比例，然不以八折半者，其子奇数不可半也，故以四之三。】

加倍即母数齐同可相并矣】

互乘法凡分母不同而无比例可求者，先互乘以同其母，再以母互乘其子而并之【数在三宗以上而母不同者，皆可用此法】假如有物【四分石之三】又【七分石之四】共若干？答曰：整一石又【卄八分石之九】。先以右母四互乘左母七，得卄八，又互乘子四，得十六，变七之四为卄八之十六，次以左母七互乘右母四及子三，变四之二为卄八。之卄一，两母既同，遂并其子为二十八之三十七。以满共母二十八収为整一，仍余九】凡三母内有两母相乘与余一母同者，只用一互乘即可相并。假如有甲乙丙丁四数，乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】丁得甲【卅五之二十三】若合乙丙丁三数得甲数若干？答曰：得甲数二【又三十五之十一】。法以乙丙两母相乘，三十五与丁母同数，即用乙母七互乘丙五之四得三十五之卄八，丙母五互乘乙七之六，得三十五之三十，以并。丁三十五之二十三，共得卅五之八十一，以满母卅五成整数，合问。归整】得甲数二【又卅五之十一】

连乘法凡数三宗以上者，用母连乘为共母，又以各母除之，得数以乘其子为子，而并之，并满共母收为整。假如有数六【之四】又加三【之一】又加五【之四】并之若干。答曰：整一【又九十之】，法以六乘三得一十八，又以五七十二乘之，得九十，为连乘之共母。即六除共母得数，以乘之，四之数。即三乘共母得数，以乘之一之数。即五除共母得数，以乘之，四之数】归整得一又【九十之七十二】觧曰【此即互乘也，试以五互乘六之四，得三十之二十；又以三互乗之，即成九十之六十；以六互乗三之一，得十八之六，又以五互乘之，即成九十之三十；以六互乗五之四，得三十之二十四，又以三互乗之，即成九十之七十二】维乘法【此古维乘法也，与母除共母以乘子之法所得同】

假如钱粮一次完过【九分之一】又完【四分之一】又完【六分之一】又完【六分之一】又完【七分之一】问共完若干？答曰：五百○四之四百零一【约为十分之八稍弱】法【以八乘六得四十八，再以七乘之得三百卅六，又以九乘之得三千○卄四，又以四乘之即得一万二千○九十六】

约为五百○四之四百○一【卄四约之】解曰【此即连乘法也，但因分子皆为之一，故即以母除共母之数为子，相并而省一乗】

试用维乘所得亦同截并法凡数件中有分母同者，先取出并之，然后与各件并列，则五件可作四件用【六件以上仿论】而共母亦简。如前图，有八之一，四之一，为加倍比例，可先取并之【用变分母法】

乃重列之【原数五宗，今作四宗，入▯余并同前】

【解曰共母原系一万二千