九十六今只三千○二

○九十六今只三千○二

十四简四之三故所得之子皆于前式为四之一】

凡宗数繁多而分母又各不同者，可分作几次并之。假如有物四宗，甲数【五分斤之三】乙数【六分斤之一】丙数【三分斤之二】丁数【七分斤之四】并之若干。答曰：「整二斤，又六百三十分斤之三。」

如上图，依法互乘，以四宗并作两宗，乃重列之。

以上分母不同者，为通分，并子之，又一类。

大分▯小分并法凡大分之下，▯有小分而母相同者，如法并之。自小分起，满小分之母，进为大分；满大分之母，进为整。若大分之母同而小分母不同者，用互乘法使其同【余如上法】若大分母不同者，即通大分为小分，再用互乘以同之。假如西厯以一日分二十四小时，一时又析为六十分，今▯得中防二十九日十七时三十六分，实防该加七时四十分，依法并之，得三十日零一时一十六分。原二九【卄四之，六十之，时为大分。大分之母二十四，一七，三六，时下为小分。小分之母六十】加【卄四之，六十之，先并小分得七十六。以满六丨丨○□，四十，十进为一时，仍余十六分】

并得三○日○一时十六分　【次并大分得二十五时以满二十四进为一日仍余一时】假如修筑河堤新修七里○六十六歩一尺旧堤原存一十二里二百九十三步四尺问堤长若干答曰长二十里新修○七　○六六　一　　【里法三百六十步法五先并尺一四共五进一步次并步】原存□□　□□□　四　　【共三百六十进一里次并里二七及所进之一共十里并】共长二○里○○○步○尺　【原十里是为堤长二十里合问】假如有硃砂八斤十两○九铢，又有三斤五两十八铢，共若干？答曰：十二斤○三铢。

八　一○　○九　　　【铢满二十四进一两余三两满十六进一】□　○□　□八　　　【斤斤共十二是为一十二斤○三铢合问】

共一二斤○○两○三铢右大小分母俱同故径以子并假如甲数九【之四】又小分【五之四】乙数九【之八】又小分【八之三】并之若干？答曰：整一又九之四又小分四十之七。

先同其小分之母【先以小分母相乘得四十为共母，又互乘其子，变五之四，为四十之三十二；变八之三，为四十之十五】小分母既同，乃重列而并之【余同上】

【并之】得九之十二，又四十之四十七。

归整一又【九之四】又小分四十之七　【小分满四卜收为大分一大分满九收为整一】右系大分母同而小分之母不同故互乘之使其同假如有田二坵，甲坵二亩【又四分亩之三】又小分【五之一】丙坵一亩【又三分亩之二】又小分【四之三】并之若干？答曰：整四亩【又六十分亩之四十三】先以甲小分母五通大分四之三为小分二十之十五，加入原▯小分一共二十之一十六，为甲数。又以丙小分四通大分三之二为小分十二之八，加入原▯小分三，共十二之十一，为丙数。解曰【此即古通分纳子之法也。以大分尽通为小分，而纳小分焉。实则以小分陞为大分也】

【并得】三又，二百四十之四百一十二，归整四又【二百四十之一百七十二】约为六十之四十三。右系大分母不同，故尽通为小分而并之。以上大分，▯小分法为通分，并子之又一类。凡通分并法，以通分减法还原【互见后除】

通分子母减法通分减法亦有三类，曰母同者，曰母不同者，曰大分▯小分者。而其减之之法有五，曰径减法，曰变分母法，曰互乘法，曰子乘母除法，曰通母纳子法【并之与减，犹乘之与除，可以互相还原，相反而适相成也，故所用之法皆同】径减法【数在三宗以上而母同者，并用此法】凡分母同者，径以相减，不足减者，以分母通整数减之。假如有纻丝一疋零【五分疋之三】用过五分疋之三，问仍存若干？答曰：五分疋之四。原一，五之二【此以之三减之二，则减数反大于原数，不足减，以借法作】减五之三【防于疋位，借原数一疋，通作五分，并之二，共成五之七内】存○五之四【减去五之三，仍存五之四，合问】以上分母同者，径以对减，为通分减法之一类。

变分母法凡分母有可以比例言者，以比例同之，可省互乘。假如有数六之三，又有数四之三，其较若干？

答曰四之一较　　　　四　之一假如有整数一零八之三，减去四之三，该存若干？答曰：八之五。整数一，八【之，通三，为】八之【十一】

减数　　四　【之三】　变八　之六存数　　　　　　八　之五互乘法凡分母不同者，先互乘以同其母，▯以母互乗其子而减之。假如有两数，甲五之三，乙七之四，不知谁多？【法以两分母五七相乘得三十五为共母，又互乘其子变甲数为三十五之二十一，变乙数为三十五之二十以相减，则乙不及甲者，其较为三十五分之一】

甲多　　三十五之　　一凡分母同者，视其子为大小【子数大者，即大；小者，即小】若子同而母不同者，反是【母数大者，子数反小】亦以互乘见之，如后图。【甲六之四，乙五之四】互得三十【之二十，丙四之三之卄四，丁五之三】互得二十之【十五，十二】乙多，三十分之四；丙多，二十分之三。右二则以分相较，而辨其多寡，即古课分之法也。凡三母内有两母相乘与余一母同者，只用一互乘即可相减。假如有甲数二又【三十五之十一】乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】余为丁数，该若干？

答曰丁得甲三十五之二十三【先以分母通整数，为分而纳入分子】次以减数分母相乘为共母，又互乘。其子而并之，是为三十五之五十八】丁存，三十五之卄三【以减甲数，仍余三十五之卄三，合问】子乘母除法。凡分母有可以相除者，以分母除其分母，得数转以乘子而减之，其余数仍以分母除之，即得约分之数。若原系两分母互乘而并者，用此法可知原母【数在三宗以上而母不同者，并用此法可代维乘】假如有沉香一石零【二十八分石之九】用去七分石之四，该余若干？

存　　卄八　之　　二十一　约为四之三【法以分母通共数一为二十八并子之九共三十七变共数为二十八之三十七　又以减分母七除共数之分母二十八得存数原母四以乘减分子四得十六变减数为二十八之十六两相减得所存数为二十一于是仍以减分母七除之得存数原子三变存数为四之三】【论曰：此亦变分母法也。其数与互乘所得无异，但用互乘则数益烦，故用子乘母除之法。变七之四为二十八之十六，母既相同，即可以相减矣。若互用异乘同除，则成三率之比例如后图】一率【分母七】法以子之四乘所变分母二十八，得一百二，率【分子四】十二为实，分母七为法，除之得所变分子三，率【分母卄八】为十六，其比例为七与四，若二十八与十四，率【分子十六】六也。又论曰：「存数不用约分法，而竟以分母七除，何也？」曰：「约分之法，以对减而得纽数。今分母七，既可以除其母二十八，又可以除其子二十一，即纽数也，又何事于对减之烦乎？况用之互乘还原，尤为亲切。盖互乘之共母，既以原母相乘而得，即无不可以原母除之而尽也。」假如有整数一又【九十之七十二】甲得六【之四】乙得三【之一】余为丙数，该若干？

答曰丙得五之四丙存　　五　之四　　　九十　之七十二法曰【先以分母通整一为九十并分子七十二是为九十之一百六十二　次以甲分母六除原母九十得十五以甲分子四乘之得六十为甲数　又以乙分母三除原母九十得三十以乙分子一乘之仍三十为乙数合甲乙两数得九十以减原数一百六十二仍余七十二为丙数以法约之为五之四　约分法详后条】约分防法　置丙存数【九十之七十二】为实以甲乙分母【六三】相乘得数【十八】为法除之，得五之四为丙存数【以十八除九十，得五；十八除七十二，得四。约分本法，用子数七十二减母数九十，得十八，以转减子数，得五十四，再递减之，亦余十八，是为纽数，乃用为法以除子母数，得约分五之四。今改用甲乙两母相乘，亦得十八为法，何也？以原数九十可以六除，亦可以三除，知其为三数维乘而得者也。故于还原最切】论曰：此有分母三，宜用维乘。然其数益繁，故改用子乘母除之法，则三母齐同，可用相减，而法与数俱简矣。试先减乙丙数，则所存者即甲数【法同上】

甲存【约为】六之四，即九十之六十。若先减甲丙数，则所存者必乙数。其法并同，兹不悉具。按如此互求，即知无误，可无假他法还原矣。假如有数五百○四之四百○一，甲得【八之一】乙得【六之一】丙得【七之一】丁得【九之一】余者为戊，数该若干？答曰：戊得四之一。

原数　五百○四　　　　　　　　　　之四百○　一甲减　八　之一　　　　　　　　　　　　　六十三乙减，六之一，以各减母除原母得：八十四。

丙减　七　之一　　　　　　　　　　　　　七十二丁减　九　之一　　　　　　　　　　　　　五十六共减　　　　　　　　　　　　　　　　二百七十五戊存，五百○四，之一百二十六，约为四之一【以所存之数除原母，即得】解曰：此因分子俱系之一，故即以除数为得数也。以上分母不同者，为通分减法之又一类。

大分▯小分减法凡大小分母并同者【谓原数之大小分母与减数之大小分母也下仿此】竟以对减，不足减者，借整数以分母通为分【小分不足减，亦以小分之母通大分为小分，其借上位皆作防志之】若大分母本同而小分母不同者，用互乘以同之余，如上法。若大小分母俱不同者，用通分法，尽通大分为小分而纳小分焉，余如上法。假如西厯▯得某月平朔三十日○一时一十六分，其实距时七时四十分为减号，问实朔在某甲子某时刻？答曰：壬辰日酉初二刻○六分【以二十九日命为壬辰日，以十七时命为酉初，其小余三十六分，以三十分收为二刻，尚余六分，命为壬辰日酉初二刻○六分】日，时，分【时为大分，大分以二十四为母，时下为小分，小分之母六十】平朔三□○□一□【先减小分四十，原数只十六，不足减，作直号于大分位借一分，通为小分，实距时】七四□【六十并原小分共七十六，减四十余三十六次减大分七，原数一已借】实朔二□一□三□【去亦借整一，通为二十四，减七余十七原数三十因借减一余二十九】凡大小分母不同者【谓大分之母与小分之母不同也】须作防以别之，故借整化零之防改为直号右系大小分母并同，故竟以对减。假如有整数一又【九之四】又小分【四十之七】甲得九【之四】又小分五【之四】余为乙数，该若干？

答曰乙得九之八又八之三乃重列之【小分既同，即可相减】

乙存　　九　之八　二百之七十五　约为八之三法曰【先减小分减数大原数小不足减乃作直号于大分位借一分通为小分纳原数共二百三十五减一百六十余七十五　次减大分原数四因借减一变三亦借整数一通为九共十二减四余八整数借减尽】试先减乙【用变分母法，以代互乘余，并同上】原数一，九，之□又，四十，之七减乙，九，之八又，八，之三变，四十，之一十五存甲，九，之四又，五，之四即，四十，之三十二。解曰【四十与八是五倍比例，故以乙小分八之三母子各五倍之，即变为四十之一十五，则两母齐同，可以对减矣】右系大分母同而小分母不同，故用互乘以同之。假如甲丙两坵田共四亩又六十分亩之四十三，甲坵二亩又四分亩之三，又小分五之一，余为丙坵，该若干？答曰：一亩又十二分亩之十一【即六十之五十五，母子各五，约之为十二之十一】法先以甲小分母五通大分四之三为二十之十五，加入原▯小分，一共二十之十六，乃列而减之【如此则大分小分合而为一，与原数无小分者类矣】

存丙一又，六十之五十五。用变分母法，以甲子母各加三倍，变二十之十六为六十之四十八，以减原数四十三，不及减，乃作直号于整数位，借一数通为六十分，纳原数共一百○三，减甲数四十八，余五十五。次减整数，整数四因借减一，成三减甲二，仍余一，是为整数一又六十之五十五，即丙存数也。右系大分母不同，故通为小分而减之。以上大分，▯小分法为通分减法之又一类，通分子母乘法。假如有田三十六亩六分，毎亩征银三分钱之二，问该银若干？答曰：二两四钱四分。法以分子之二乘田三十六亩六分得。七十三分二，以分母三收之，得二两四。

钱四分合问何以知其为七十三分也？曰：原问毎亩徴银三分，钱之二分，故于右行实数内。寻毎亩之位，为定位之根，以横对左行。

得数即命为分则上下俱定矣假如有银六十四两，毎两买铜八斤，十二两该铜若干？答曰：五百六十斤。先以斤法【十六】收十二两为斤，下之七分。五厘加八斤，共八七五为法，以乘银六。十四两得五六○○○，即于右行实数。内寻毎两位以横对左行得数命法尾。

厘推而上之定为五百六十斤假如有米五石【又三分石之二】毎石价银九分两之八，该银若干？答曰：五两又二十七分两之一。法以分母三通五石为十五分，纳子二。共十七分，以价之八乘之，得一百三十。六，又以两分母【三九】相乘，得二十七，收之。

合问通分子母除法假如毎田一亩徴银三分钱之二，今完编银二两四钱四分，该田若干？

答曰三十六亩六分法以分母【三】通二两四钱四分，为七十。三分，二为实，以分子之二为法，除之，即得三十六亩六分，合问【原所设三分之二，以钱为主，故。

四分所通为小分】假如有米五石，又三分石之二，共价银五两，又二十七分两之一，问毎石该价若干？

答曰九分两之八法先以米分母【三】通五石为十五分，纳子二，共十七分为法。又以价分母【卄七】通五两为一百三十五，纳子一，共一百三十六分为实。法除实，得八为毎石三分一之价。以分母三乘之，得二十四分为毎石价。命为二十七分两之二十四，约为九之八。又防法【以米分母三除银分母二十七得九为毎石价之母即以除出之数为子即九之八】假如有丝一斤，又六分斤之四，共价一两，又四十二分两之二十，问毎斤价若干？答曰：七分两之六，又十之二。法先通丝一斤为六分，纳子四，共一十为法。又通银一两为四十二分，纳子二十，共六十二，退一位【即一十除也】命为单六，又小分二，即毎斤六分一之丝价也。于是以分母六乘之，得三十六，又小分十二，为毎斤价，是为四十二分两之三十六，又小分十二也。子母并六约之，为七分两之六，又小分十之二。防法【以丝分母六除价分母四十二得七，为毎斤丝价之母，即命为七分两之六，又十之七】通分子母三率法【即异乘同除】假如西厯太阳毎日平行【五十九分零八秒二十微】今有二刻半，该行若干分？答曰：一分三十二秒卄四微【又九十六分微之卄六】

法【先通五十九分为三千五百四十秒，加原帯八秒，共三千五百四十八秒。又通为二十一万二千八百八十微，加原▯二十微，共二十一万二千九百微。在位以二刻半乘之，得五十三万二千二百五十微为实，以一日化九十六刻为法除之，得五千五百四十四微，不尽除满三千六百微收为一分，又一千九百二十微收为三十二秒，仍余二十四微。不尽者以法命之，是为一分三十二秒二十四微，又九十六分微之二十六】论曰：此小数法也。何则？二十一万二千九百者，是每日九十六刻之数。今以二刻半乘之，于刻下多一位，故截去得数尾一位，命为百。假如以粟易布，毎粟六分石之二，易布五分疋之三。今有粟一石又三分石之二，该布若干？答曰：三疋。一粟六分石之二【母子各减一倍】变为三之一。

四布五分疋之【十五】收为整三疋【两粟母同为三省不用只以布分母收之】用变分母法，变一率六之二为三之一，则两粟母相同，可省互乘而子变为之一，又可省除。只以三率一石用分母通为三，纳子二共五，以乘二率布分子之三，得十五，再以布分母五收之，即得三疋。合问。假如以银换金，毎银二两，又三分两之二，换金九分两之二，今有银六分两之四，该金若干？

答曰十八分两之一四　金【十八】分两之一法以一率分母【三】互乘三率六之四为十八之十二，与二率之二相乘得二十四为实。又用一率分母三通二两为六分，纳子二共八，是为三之八。复以三率分母【六】互乘之为十八之四十八，以乘金母【九】得四百三十二为法。法大实小，以法命之为四百三十二之二十四，母子各二十四约之，即十八分两之一。合问。

若用变分母法则如后式一，银二两【又三之二】通为三之八乘得【七十二】为法【以金母九乘之八也】

四金【七十二分】两之四约为【十八】之一【子母各四约之】解曰：十八分两之一，即五分五牦。五五不尽，畸零▯分子母乘法。假如以八之五乗四之三，该若干？

答曰三十二之十五法以母乘母，得三十二；子乘子，得十五，即三。

十二之十五为乗得数也又法以除代乗则倒位互除之法以五除四得八为母数，以八除三得三七。五为子，数是为八之三七五，与乗得之数同。解曰：四除三十二得八，四除十五得三七五。若四因八得三十二，四因三七五亦得十五。

用法假如谷一石价二十七分两之十六，今有谷四分石之三，价若干？

答曰九分两之四一　谷一石四价九分两之四【因首率是一故省除即以九之四为得数】解曰：二十七分两之十六，即五钱九分二牦六毫弱也。谷四分石之三，即七斗五升也。价九分两之四，即四钱四分四，四不尽也。若用倒位除以代乘，则径得九之四。法用母四除十六，得四为子，用子三除二。

十七得九为母是为九之四也畸零▯分子母除法假如以五之四除四之三，该若干？

答曰八之七五法以母除母，得八子；除子，得七五。是为八之七半即除得数也又法以乘代除则倒位互乗之法以母五乘子三得【十五】为子，以子四乗母四。得【十六】为母，是十六之十五与除得之数同。解曰：十六，即八之倍数；十五，即七五之倍数。故其数同用法。假如以绢易縀，绢五分丈之四，换縀七分丈之四，问绢毎丈该縀若干？

答曰该换縀七分丈之五一　绢五分丈之四　法以母除母得一四子除子得一○是二　縀七分丈之四　为一十四之一十子母各半之为七分三，绢一丈，之五【三率是一省乘，即用縀七之四为实】

四　縀七分丈之五解曰：五分丈之四者，八尺也；七分丈之四者，五尺七寸一分强也；七分丈之五者，七尺一寸四分强也。

若用倒位乘以代除所得亦同法用子四乘母七得卄八为母，用母互乘子。四得卄，为子子母，各取四之一，即七之五也。论曰：同文筭指，有畸零乘除之法，甚为简妙。然莫适所用，今以三率列之，则实数可稽，而用法亦明矣。

畸零乘除定位凡乘法得数必大于原问之数，若畸零乗则其数反降。凡除法得数必降，若畸零除则其数反陞。盖即异乘同除之理，诸家▯术皆未经说破，故定位多讹。兹以三率明之，如左：假如换珠，每珠一两值银二十四两，今有珠三分五厘，该若干？答曰：八钱四分。

此首率是单两而三率有分厘是单下有三位零也故截去得数尾三位命法尾两两，位空，定所得为八钱四分。论曰：此即以乘出之数为四率者，以首率是单一两，故省除耳。试即以三率实尾位厘为单，而定所得为八百四十两为实，亦陞首率单两为千厘为法，除实【即以实数降三位】亦仍得八钱四分，合问【此条已详二巻乘法中，兹以三率列之于定位之理益明】又论曰：乘除之难，在于定位，而畸零为尤难。所以者何？凡定位以单数为根，而畸零无单位可言，故也。前于乘法中立本数、大数、小数三法，以寻每位，可以御畸零矣。于除法犹未有以处也。今皆归之三率，惟视三率中所有之数，即命为单数【如金银之类，本以两为单，今视三率中有分，即以分为单，而两则为其百数；又如米谷之类，本以石为单，今三率中有斗，即以斗为单，而石则为其十数，他仿此】则虽畸零皆可作整数筭，无论乗除，一以贯之矣【是为以零变整，而乗除之后得数无异此，所以别于通分化整为零之法也】假如有珠三分五厘，价银八钱四分，问每两珠价若干？答曰：二十四两。【此一率首位是分，即以分为单数，以二率陞两位作八十四两为实，以法三分五厘。对实分位列之除，毕于法上一位命。为单分推而上之，定得数为二十四两，合。

问】解曰：二率陞二位为实者，即百分乘也。分原在单两下二位，今既陞为单，则单两亦陞二位，成百分也。假如银二钱四分，买稻九十六斤，毎两该若干？

答曰四百斤【此以钱为单数，则三率单两成十钱，而二率亦陞一。位成九百六十○斤为实，于是以法二钱对实○位。列之以单钱，对单斤也。除毕于法，上一位，命为单。

斤即得数为四百斤合问】

假如以豆换油，豆四斗八升换油十二斤。今豆十石，该油若干？答曰：二百五十斤。

【此以斗为单数则三率十石成百斗，故二率亦陞两位，作一千。二百斤为实，以法四斗对实○斤，位列之。

亦以单斗对单斤也余亦同】

假如芝麻六斗四升四合，换豆一石。今芝麻四石八斗三升，该豆若干？

答曰七石五斗若以斗为单，则命实为四十八石三斗【以二率十斗乘之也】而以法首六斗对实三斗列之，除毕于法上位定为斗，亦得七石五斗。或以升为单，以合为单，得数亦无不同也【以升为单，法上即命为升；以合为单，法上即命为合】假如钱六百五十文，价四钱八分七厘半，每千该价若干？

【此问毎千钱价是以千为单也今法首只有百】即以百为单，而陞单千为十百，则二率亦陞一。位作四两八钱七分五厘为实，四两列之，以单百对单两，也除毕于法。上位命为单两，两位空。

定得数为七钱五分】