五十一

○五十一

凡等边平三角之心依边剖之皆近大边三之一灯内容立方之八角皆切于平三角之心灯改立方则所去者皆四围斜面三之一，于前形爲六之一，四围皆六之一，合之爲三之一，而所存必三之二矣。凡立方体，各自其边之中半斜剖之，得三角锥八。此八者，合之卽同八等面体。依前算，八等面体，其边如方，其中高如方之斜。若以斜径爲立方，则中含八等面体，而其体积之比例爲六与一。

何以言之如己心辛爲八等面之中高庚心戊爲八等面之腰广己庚己戊戊辛辛庚则八等面之边也若以庚心戊腰广自乗爲甲乙丙丁平面，又以己辛心中高乗之爲甲乙丙丁立方【立方一面之形与平面等】则八等面之角俱正切于立方各面之正中，而爲立方内容八等面体矣。夫己心辛、庚心戊皆八等面【己庚等面】爲方之斜也，故曰以其斜径爲立方，则中含八等面体也。又用前图甲乙丙丁爲立方之上下平面，从己庚、庚辛、辛戊、戊己四线剖至底，则所存爲立方之半，而其所剖三角柱体四合之亦爲立方之半也此方柱也，其高之度如其方之斜。

立方之四隅各去一立三角柱则成此体　其积爲立方之半爲八等面之三倍其中仍容一八等面体八等面体在方柱体内柱形从对角斜线【如己辛戊庚】剖。至底，又从对边十字线【如丑尾卯】。箕】剖至底，又从腰线【角申亢】横。截则剖为三角柱一十六【即皆如心辛申未丑之体】

三角柱眠视之则堑堵也堑堵从一尖【即心尖】斜剖至对。底【未申】则鼈臑也。鼈臑居堑堵。

三之一堑堵立则为三角柱鼈臑立则为三角锥八等面体从尖心剖至对角亦剖至对边而皆至底【子】又从腰【角申亢】横剖之，则成三角。

锥十六夫方柱为堑堵十六而八等面为鼈臑亦十六则堑堵鼈臑之比例即方柱八等面之比例矣鼈臑为堑堵三之一则八等面亦方柱三之一矣。方柱者，立方之半也。八等面既为方柱三之一，不得不为立方六之一矣。

立方内容灯体甲庚立方体六面各平分其边【如壬丑癸卯及子未酉午辰诸防】而斜剖。其八角【如从丑癸剖至子，从从癸卯剖至酉，从酉剖至午未，则立方，去其八角】成灯体。

灯体立方六之五何以知之立方所去之八角合之即成八等面八等面既为立方六之一则所存灯体不得不为立方六之五矣凡立方内容灯体，皆以灯之边线为立方之半斜。立方内之灯体，又容八等面，则以内八等面之边线为立方之半斜。与立方竟容八等面无异。推此，灯内容八等面，其边线必等，其中径亦等。

剖立方之角成此以剖处为底则三边等以立方之角丁为顶成三角扁锥扁锥立起则成偏顶锥为八等面分体凡八等面容灯体皆以灯体之边线得八等面之半八等面内之灯体又容立方则亦方斜比例与八等面竟容立方无异也甲丙丁丙丁乙甲丁戊戊丁乙皆八等面之一己子卯等小三角在甲丁丙等大三角面内即灯体之八斜面正切于八等面者也其中央心防即内容立方角所切等径之比例立方径一，其边一，其积一，一○○○○○○内容灯径一，其边○七，其积六之五○八三三三○○内容八等面径一，其边○七，其积六之一○一六六六○○凡立方内容灯体，灯内又容立圆，圆内又容八等面，其切于立方之面之中央，凡六处，皆同一防。若立圆内容灯体，灯内又容立方，方内又容八等面，其相切俱隔逺，不能同在一防。凡灯体皆可依楞横剖，如方灯横剖成六等边面，故其外切立圆之半径与边等。如圆灯横剖成十等边面，故其外切立圆之半径与其边，若理分中末之全分与其大分。凡诸体改为灯，皆半其边作斜线剖之。凡灯体可补，为诸体皆依其同类之面之边引之，而防于不同类之面之中央，成不同类之锥体，乃虚锥也。虚者盈之，即成原体，所以化异类为同体也。如方灯，依四等边引之，补其八隅成八尖，即成立方。若依三等边引之，补其六隅成六尖，即成八等面。如圆灯，依五等边引之，补其二十隅成二十尖，即成十二等面。若依三等边引之，补其十二隅成十二尖，即成二十等面。増异类之面，成锥则改为同类之面，而异类之面隐，此化异为同之道也。凡灯体之尖皆以两线交加而成，故棱之数皆倍于尖【方灯十二尖，二十四棱；圆灯三十尖，六十棱】凡灯体之棱【即边】皆可以联为等边平面圏。如方灯二十四棱联之则成四圏，每圏皆六等边，如六十度分圆线。圆灯六十楞联之则成六圏，每圏皆十等边，如三十六度分圆线。此外惟八等边联之成三圏，每圏四楞，成四等面，而十二棱成六尖，有三棱八觚之正法。其余四等面、十二等面、二十等面皆不能以边正相联为圏。

灯体亦有二其一为立方及八等面所变，其体有正方之面六，三角之面八，有边棱二十四，而皆同长，棱尖凡十有二。其一为十二等面二十等面所变，其体有五等边之面十二，有三角等边之面二十，有边楞六十，而皆同长，棱尖凡三十。立方及八等面所变，是刓方就圆，终▯方势，谓之方灯。十二等面及二十等面所变，是削圆就方，终带圆体，谓之圆灯。方灯为立方及八等面所变，其状并同，而比例同。

甲乙立方体丙丁戊己庚辛壬癸子皆其边折半处各于折半防联为斜线【如丙戊丙己等】依此灯体斜线剖而去其角则成灯形矣灯形之丁辛高、丙丁濶，皆与立方同径。其边得立方之半斜【假如立方边丁辛一百，则灯体边丁壬七十有竒】其积得立方六之五【假如立方边一百，其积百万，则灯体边七十有竒，其积八十三万三千三百三十三三三】此为立方内容灯体之比例也。若灯与立方同边，必反小于灯【假如灯体边亦一百，则其积二百三十五万七千○二十一，而立方一百之积只一百万，是反小于灯也】解曰：灯体边一百【如前图之丁壬】其外切立方必径一百四十一【四二一三，如前图之丁辛】其自乘之幂二万，以径乘幂得二百八十二万八四二六为立方积。再五因六除，得灯积二百三十五万七千○二十一。又法，以灯边自乘，倍之，开方得根，仍以根乘倍幂，再五因六除。

见积亦同甲乙为八等面体　甲乙丙丁戊皆其边棱所辏之尖甲丙丁面三边皆等其三边折半于辛于庚于己甲丁戊面其边折半于辛于壬于癸乙丙丁面其边折半于寅于己于丑乙丁戊面其边折半于丑于癸于子，各以折半防联为斜线，则各成小三等面。如甲丙丁面内，又成庚辛己三等边面，其边皆半于原边。如庚辛得丁丙之半，余三边同。各自其小三角之面之边剖之，而去其锥角，则成灯形矣。如依辛巳、己丑、丑癸、癸辛四边平剖之，而去其丁角【以丁角为尖，辛巳、丑癸为底，成扁方锥，甲丙乙戊尖并同】则所剖处成辛巳、丑癸平方面【去甲壬辛庚锥，成卯壬辛庚面；去丙庚己寅锥，成庚酉寅己面，并同一法，余可类推】八等面体有六角，皆依法剖之，成平方面六；而剖之后，各存原八等面中小三角等边面八，与立方剖其八角者正同。

灯形之高濶皆得八等面之半如辛丑高得甲乙之半己癸濶得丙戊之半其边亦为八等面原边之半其积得八等面八之五何以知之曰同类之体积以其边上立方积为比例故边得二之一其积必八之一也今所剖去之各尖俱以平方为底而成方锥两方锥合为一八等面体皆等面等边与原体为同类而其边正得原边二之一则其积为八之一也。原体六尖，各有所成之锥体，皆相等，合之成同类八等面之体，凡三，其积共为原积八之三，以为剖去之数，则所存灯体得八之五也。如上图，甲乙二锥合为八等面体一，丙戊二锥合为八等面体一，丁尖及所对之尖，其二锥合为八等面体一，通共剖去同类之形三。假如八等面之边一百，则其积四十七万一千四百○四，其所容灯体边五十，其积必二十九万四千六百二十七五，以八等面积五因八归之，见积。或用捷法，竟以十六归进位，所得灯积亦同。右法乃八等面内容灯体比例也。若灯体之边与八等面同大，则其积五倍大于八等面。假如灯体边一百，则其积二百三十五万七千○二十；以八等面边一百之积四十七万一千四百○四，加五倍得之。此法则灯体与八等面同为立方所容之比例，亦即为灯内容八等面之比例。准此而知，灯内容八等，面八等，面又容灯，则内灯体为外灯体八之一。灯体内容八等面，五之一【用畸零乘法化大分为小分，以八等面母数八乘五之一】八等面内容灯体，八之五【得八乘母数五，得四十】外灯体四十，八等面体八，内灯体五，合之为内体得外体四十之五，约为八之一。又八等面容灯灯又容八等面内八等面亦为外八等面八之一，其体之比例既同，则其所容之比例亦同也。立方内容灯体，灯内又容立方，则内立方边得外立方边三之二，内立方积得外立方积二十七之八。以三之二自乘，再乘为三加之比例也。

六　之　五　一百三十五二十七之八　四十八准此而知，灯内容立方，则内立方积得灯积一百三十五之四十八。若灯容立方，立方又容灯，则内灯积亦为外灯积二十七之八。其为所容者之比例，即能容者之比例，故也。求方灯所去锥体。

三角锥棱皆五十即原边之半【甲乙甲丙甲丁】底之边皆七十。○【七一○七】即灯体之边【丙乙乙丁丁丙】其半三十五【三五五三乙戊戊丁】

求甲戊斜垂线法曰：乙丁为甲乙之方，斜线则甲戊为半斜，与乙戊、戊丁等，皆三十五【三五五三】其幂皆一千二百五十。

求丙戊中长线以戊丁幂三因之，为丙戊幂，平方开之，得六十一【二三七二】为丙丁乙等边三角形中长线。

求甲己中高线法以戊丁幂【一千二百五十】取三之一为己戊幂【四百一十六六六六六】与甲戊幂【即丁戊幂】相减，余【八百三十三三三三三】为甲己中高幂，开方得甲己中高二十八【八六七五】又以己戊幂开方得己戊二十○【四一二四】以己戊【二十○四一二四】乘戌丁【三十五三五五三】得【七百二十一六八六五】又三因之得【二千一百六十四○五七五】为乙丙丁三等边幂。又以中高甲己【二十八八六七五】乘之，得数三除之，得三角锥积二万○八百二十三【六六三五】又八乘之，得一十六万六千五百八十七【三○】为所去八三角锥共积，即立方一百万六之一，与前所推合【本该一十六万六千六百六十六六六不尽，因积算尾数有欠，然不过万分之一耳】圆灯为十二等面、二十等面所变体，势并同，而比例亦别。公法皆于原边之半作斜线相联，则各平面之中成小平面。此小平面与原体之平面皆相似，即为内容灯体之面。依此小平面之边平剖之，去原体之锐角。此所去之锐角皆成锥体。锥体之底平割，锥体则原体挫锐为平，亦成平面。于灯体原有若干锐，亦成若干面，而与先所成之小平面不同类，然其边则同。

如图十二等面每面五边等今自其各边之半联为斜线则成小平面于内亦五等边为同类依此斜线剖之而去其角所去者皆成三角锥锥体既去即成三等面为异类原有十二面故所存小平面同类者亦有十二原有二十尖故所剖锥体而成异类之面者亦二十求灯体边法以十二等面边为理，分中末之大分，求其全分而半之，即为内容灯体之边。一率，理分中末之大分，六十一【八○三三九八】二率，理分中末全分之半，五十○。

三率　十二等面之边　　　一百○○四率，内容灯体之边，八十○【九○一七】灯体边原为大横线之半，十二等面边与其大横线，若小分与大分，则亦若大分与全分也。而十二等面边与灯边，亦必若大分与全分之半矣。

总乘较为实戊丙底为法法除实得丙辛以丙辛减戊丙得戊辛折半为戊己法当以所得戊己自乘为句幂用减甲戊幂余为甲己幂开方得一十七【八四一一】为中高。今改用捷法【省求丙辛】取戊丙幂。九之一为戊己幂【戊己为戊内三之一】故其幂为九之一】得五百四十五【四二。

三七】

或径用戊丁幂三之一亦同又捷法不求甲戊斜垂线，但以戊丁幂三分加一，以减甲丁【即甲丙或甲乙】幂，为甲己幂，开方即得甲己中高，比前法省数倍之力。戊丁幂，一千六百三十六【二七一二】三之一，五百四十五【四二三七】并得，二千一百八十七【六九四九】甲丁【即甲丙幂】二千五百○○。相减余【甲乙幂】三百一十八【三○五一】与前所得同。解曰：原以戊丁幂减甲丁幂，得甲戊幂。复以戊丁幂三之一减甲戊幂，得甲己幂。今以戊丁三分加一而减甲丁幂，即径得甲己幂，其理正同。前之捷法，有求丙辛及较总相乘，后用底除诸法，可谓捷矣。今法径不求甲戊斜垂线，捷之捷矣。凡三角锥底濶等者，当以为式。

订定三角锥法【圆灯所去】用捷法，以戊丁幂三分加一，减甲丁幂，为甲己幂。

甲丁【甲乙甲丙】皆设五十丙丁【丁乙乙丙】皆八十○【九○一七】其半【戊丁戊乙】四十○【四五○八半】丙戊七十○【○六二九】为底之垂线。甲己一十七【八四一一】为中高。

丙乙丁底幂二千八百三十四【一○三八】法以半边【戊丁】乘中长【丙戊】得底幂【丙乙丁】以中高【甲己】乘底幂【丙乙丁】得三角柱积五万○五百六十三【五二九三】三除之得锥积一万六千八百五十四【五○九七】又以二十乘之为灯体所去之积三十三万七千○九十○【一九四○】十二等面边设一百前推其积为七百六十八万三千二百一十五。今减去积三十三万七千○九十存灯积七百三十四万五千一百二十五。内容灯体边八十○【九○一七】依测量全义，凡同类之体，皆以其边上立方为比例，可以推知二十等面所变之灯体。二十等面边设一百则灯体之边五十。捷法求得一百七十三万三千九百四十八，为设边五十之灯积。一、灯体边八十○【九○一七】之立方五十二万九千○百○八【五】二、灯体积七百三十四万五千一百二十五。三，灯体边五十之立方，一十二万五千。四，灯体五十之积，一百七十三万三千九百四十八圆灯。边设三十○【九○一七即理分中末之大分乙丁】外切立圆半径五十【即理分中末之全分丁中乙中】外切立圆全径一百【即外切立方】体积四十○万三千三百四十九。内有三角锥计二十，共计一十二万。

八千七百五十二五棱锥计十二，共积二十七万四千。

五百九十六丁中丙乙三角锥为圆灯分体之一，乙丁丙三等边面巳为平面心，中为体心，中巳为分体之中高，戊丁为半边，丁中自体心至角线为分体之棱，戊中为斜垂线。乙癸中辛，五棱锥亦圆灯分体之一。乙丁癸壬辛，五等边面庚为平面心。中庚为分体中高。其戊丁半边，丁中分体棱戊中斜垂线，与前三角锥皆同一线。何以知两种锥形得同诸线乎？曰：乙戊丁边，两种分体所同用，而两种锥体皆以体心中为其顶尖，故诸线不得不同。观上图自明。

先算三角锥【共二十】半边一十五【四五○八五】戊丁幂二百三十八【七二八七】平面容圆半径【即戊巳】○八【九一○五】其幂七十九【五七六二，用捷法取戊丁幂以三除得之】平面积【乙丙丁面】四百一十三【四八七九】

中高【即己中】四十六【七○七五本法以戊丁幂减丁中幂为戊中幂又以戊丁幂三之一当戊己幂减之为巳中幂今径以戊丁幂加三之一减丁中幂为己中是捷法也】三角锥积六千四百三十七【六六二○】二十锥共积一十二万八千七百五十三【三四】

次算五棱锥【共十二】半边一十五【四五○八五戊丁】半周七十七【二五、四二五，用半边五因得之】平面容圆，半径二十一【二六六三戊庚】五等边平积一千六百四十二【九一二○】中高四十一【七八五三庚中】五棱锥积二万一千九百六十二【六六】十二锥共积二十七万四千五百九十六。

求戊庚半径一率，三十六度切线，○七二六五四。

二率　全数　　　　　一○○○○○三率，半边戊丁。一十五【四五八五】四率，平面容圆半径【戊庚】二十一【二六六二】戊丁句幂二百三十八【七二八七】丁中▯幂二千五百○○。戊中股幂二千二百六十一【二七一三】

戊庚句幂四百五十二【二五五五】戊中▯幂二千二百六十一【二七一三】庚中股幂一千八百○九【○一五八】戊丁半边幂，四因之为全边，三十○【九○一七】之幂。一，灯体边五十之立方，一十二万五千。二，灯体边五十之体积，一百七十三万三千九百四。

十八三，灯体边三十○【九○一七】之立方，二万九千五百○八。

【四九八七】四灯体边三十○【九○一七】之体积四十○万九千三百二十九，与细推者只差五千九百八十，为八十分之一。

柱积六万八千六百四十九锥积二万二千八百八十三十二锥共积二十七万四千五百九十六。

孔林宗附记方灯可名为二十四等边体，圆灯可名为六十等边体。四等面体又可变为十八等边体，为六边之面四，为三边之面四，凡十二角。又可变为二十四等面体，面皆三边，凸边二十四，凹边十二，十字之交六，凡八角如蒺藜形。六等面体，又可变三十六等边体。为八边之面，六为三边之面，八。凡二十四角。八等面体，亦可变三十六等边体为六边之面，八为四边之面，六凡二十四角。又可变四十八等边体为四边之面，十八为三边之面，八凡二十四角。

大圆容小圆法　平浑甲大圆内容乙戊丙三小圆法以小圆径【如乙戊、戊丙】为边作。

等边三角形而求其心如丁乃于丁戊【三角形自心至角线】加戊甲。【小图半径】为大圆半径【丁甲】凡平圆内容三，平圆四，平圆五，平圆六，平圆皆以小圆自相扶立。若平圆内容七平圆以上，皆中有稍大圆夹之。

甲大浑圆内容丙戊乙己四小浑圆法，以小浑圆径【如乙戊，戊巳等】为边作四等面体而求其体心如丁　次求体心至角线【如丁戊、丁己、丁乙、丁丙】又为外切立圆半径】加小浑圆半径【即戊甲】为大圆半径【如丁甲】凡浑圆内容四浑圆，或容六浑圆，或容八浑圆，十二浑圆，皆直以小浑圆自相扶。若浑圆内二十浑圆，则中多余空，必内有稍大浑圆夹之。

甲大平圆内容乙戊丙己四小平圆法，以小圆径【如乙戊等】为边作平方【如乙戊丙己方】而求其斜。【如丁乙，即方心至小圆心线】加小圆半径。【如乙甲】为大圆半径【如丁甲】若先有大圆【甲】而求所容小圆，则以三率之比例求之：一率方斜并数二四一四。

二率　方根　　　一○○三率　所设之浑圆半径　丁甲四率　所容之小圆半径　乙甲推此而知，五等边形于其锐角为心，半其边为界，作小圆；而以五等边之心至角如半边以为半径，而作大圆。则大圆容五小圆，俱如上法。若六等边于其鋭作小圆，仍可于其心作圆，共七小圆，何也？六等面之边与半径等也。其法只以小圆径【即六等边】

二分加一为大圆半径甲大浑圆内容乙丙等六小浑圆法以小浑圆之径为边作八等面虚体如乙己丙辛戊皆小立圆之心联为线则成八觚　乃求八等面心【丁】至角之度【如丁乙等】加小圆半径【如甲乙】为大浑圆半径【如甲丁】捷法以小浑圆径为方【即乙己丙】辛平方】求其斜【如丁乙】加小圆半。径【如甲乙】为大圆半径；或以小浑圆径自乘而倍之，开方得根，加小圆半径，为大圆半径，亦同。或先得大圆而求小圆径，则用比例。

一率　方斜并　二四一四二率　方根　　一○○三率　所设大浑圆之径四率　内容六小浑圆之径甲浑圆内容乙，丙戊已，庚壬辛及癸丑子寅卯十二小圆。法以小立圆径【如乙丙等】作二十。等面虚体之棱【如乙丙等，俱小圆之心联。为线则成二十等面之棱】次求体心【丁】至角【即小圆心】之线【如乙丁】加小圆半。径【如甲乙】为大圆半径【如甲丁】按体心至角线，即二十等面。

外切圆半径二十等面之例，边一百【即小浑圆】。

例径】

外切浑圆例径二百八十八【一三五五】二十等面边一百者，其外切浑圆径一百八十八奇，又加小浑例径，得此数。若先有大浑圆，而求所容之十二小浑圆，则以二率爲一率，四率爲三率。一、外切浑圆之例，径二百八十八【一三五五】二，二十等面之例，边一百【卽小浑圆例径】

三　设浑圆之全径一百四内容十二小浑圆之径三十八【六九其比例如全四八分与小分】甲庚大平圆内容七小圆法以甲庚圆径取三之一【如丁乙、庚、辛等】爲小圆，径若容八圆以上则其数变矣假如以七小圆均布于大圆周之内而切于边则中心一小圆必大于七小圆而后能相切【以上仿此】

甲大浑圆内容八小立圆法以小圆径作立方【如乙庚方】求。其立方心至角数【即外切浑圆半径如乙丁】再加小圆半径【如甲乙】为大。

浑圆半径【如甲丁】按八小员半径十【甲乙】则其全径二十，内斜线【乙丁】十七，加【甲乙】共二十七，内减小圆径二十余七倍之得十四，是比小圆半径为小，其比例为十之七，安得复容一稍大小圆在内乎？又二十等面有十二尖，可作十二小圆，以居大浑圆之内，而为所容。又八等面有六尖，可作六小圆，为大浑圆所容。四等面有四尖，可作四小圆。又方灯亦有十二尖，可作十二小圆，为大浑圆所容。其中容空处，仍容一小圆，为十三小圆，皆等径也。十二等面有二十尖，用为小浑圆之心，可作二十小立圆，以切大浑圆。内有稍大浑圆夹之。圆灯尖三十，可作三十小球，亦皆以内稍大浑圆夹之。公法皆以心至尖为小浑圆，心距体心之度，皆以小浑圆径为所作虚体边。如作内容二十小浑圆联其心成十二等面虚体，虚体之各边皆如小浑圆径也。虚体之各尖距心皆等，此距心度以小浑圆半径加之，为外切之大浑圆半径；以小浑圆半径减之，为内夹稍大浑圆半径。浑圆内容，各种有法之体，以查曲线弧面之细分公法。凡有法之体，在浑圆体内，其各尖必皆切于浑圆之面。凡浑圆面与内容有法体之尖相切成防，皆可以八线知其弧度所当。内惟八等面皆以弧线十字相交为正角，余皆鋭角。其十二等面则钝角。十二等面，每面五边，等析之，从每面之角至心，成平三。

角形五则辏心之角皆七十二度半之三十六度即甲心乙角其余心乙甲角必五十四度倍之为甲乙丁角则百○八度故为钝角凡浑圆面切，防依内切各面之界联为曲线，以得所分浑体之弧面，皆如其内切体等面之数之形。如四等面，则其分为弧面者亦四，而皆为三角弧面。十二等面，则亦分弧面为十二，而皆成五边弧形。八等面，则弧面亦分为八。二十等面，弧面亦分二十，而皆为三角弧形。内惟六等面为立方体所分，弧面共六，皆为四边弧形。凡浑圆面上，以内切两防联为线，皆可以八线知其几何长。其法以各体心到角之线命为浑圆半径，以此半径求其周，作圈线，即为圆浑体。过极大圈，以八线求两防所当之度，即知两防间曲线之长。凡浑圆面，以曲线为界，分为若干相等之弧面，即可以知所分弧面之幂积。假如四等面外切浑圆，依切防聨为曲线，分浑圆面为四，则此四相等三角形弧面各与浑圆中剖之平圆面等幂。何也？浑圆全幂得浑体中剖平圆面之四倍，今以浑幂分为四，即与浑圆中剖之平圆等幂矣。推此而知，六等面分外切浑圆幂为六，即各得中剖平圆三之二。八等面分浑圆幂为八，即各得中剖平圆之半，幂十二等面分浑圆幂为十二，即各得中剖平圆三之一，二十等面分浑圆幂为二十，即各得中剖平圆五之一，凡依等面切浑所剖之圆幂，又细剖之，皆可以知其分幂。

假如四等面所分为浑圆幂四之一而作三角弧面若中分其边而防于中心则一又剖为三为浑圆幂十二之一与十二等面所分正等但十二等面所剖为三边弧线，等此所分为四边弧线，形如方胜，而边不等。若自各角中防于心，成三边形，其幂亦不等也。再剖则一剖为六，为浑圆面幂二十四之一【皆得十二等面所剖之半，而边不等】若但一剖为二，则得浑圆幂八之一，与八等面所剖正等。但八等面三边等，又三皆直角，此则边不等，又非直角。

假如八等面所剖为浑幂八之一若一剖为二则十六之一剖为四则三十二之一可以剖为六十四至四千九十六、若以三剖，则浑幂二十四之一，如十二等面之均剖，亦如四等面之六剖也。再细剖之，可以剖为九十，是依度剖也；可以剖为五千四百，则依分剖也。再以秒防剖之，可至无穷。惟八等面可以细细剖之者，以腰围为底，而两▯防于极其形，皆相似，故剖之可以不穷。又以此知曲面之容倍于平面何也？八等面所剖之浑体腰围，即平圆周也。以平圆周之九十度为底，两端皆以平径为两▯以防于平圆之心则其幂为平圆四之一若浑体四面以腰围九十度为底两端各以曲线为两▯以防于浑圆之极则其幂为平圆二之一矣假如六等面【即立方】在浑圆内。

剖浑幂为六得浑幂六之一若一剖为二则与十二等面所剖等剖为四则二十四之一再剖则一为八而得四十八之一假如十二等面剖浑幂为十二各得浑幂十二之一若剖一为五则得六十之一再剖一为十则得百二十之一而与八等面所剖为十五之一假如二十等面剖浑幂为二十，各得浑幂二十之一。若一剖二，则四十之一；若一剖三，则六十之一；若一剖六，则百二十之一。皆与十二等面所剖之幂等，而边不必等也。凡球上所剖诸幂以为底，直剖至球之中心，成锥形，即分球体为若干分。如四等面之幂，得球幂四之一。依其边直剖至球心，成三角锥，其锥积亦为球体四之一。推之，尽然。

防何补编【补遗】

平三角六边形之比例平三角等边形甲、丁、丙三边等形，其边【丁甲】折半。【丁乙】自乘而三之，即为对角中。

长线幂开方得中长线丙乙既得中长线丙乙以乘丁乙半边即等边三角形积，若以丙乙幂、丁乙幂相乘，得数平方开之，得三等边形之幂积。防法不求中长线，但以丁乙幂三因之，与丁乙幂相乘，开方得根，即三等边幂积。或用原边丁甲自乘得数，乃四分之取四之一，与四之三相乘得数，开方得三等边积，亦同。论曰：边与边，横直相乘得积。若边之幂乘边之幂，亦必得积之幂矣。故开方得积。法曰：以原边之幂，三因四除之，又以原边之半乘之，两次为实，平方为法，开之，得三等边形幂积。解曰：原边幂四之三，即中长幂也。半边乘二次，以幂乘也。又法，以原边与半边幂相减，相乘开方，见积。平三角等边形幂，积自乘之幂，与平方形幂，积自乘之幂，若三与十六【理同前条】

解曰甲戊庚丁为平方形丁丙甲为等边三角形其边同为甲丁题言丁甲线上所作三等边形与所作正方形，其积之比例，若平积三与十六之平方根也【即一七竒与四○】防法于分面线上，取三点为等边三角形，积其十六点，即正方积。若以边问积，则以边之方幂数，于分面线之十六点为句，置尺取三点之句，即得三等边积。其设数得数，并于平分线取之【此用比例尺算】又法作癸卯辰半，员辰癸为径，于径上匀分十七分而尽，一端取其四分，如丑癸【丑癸为辰癸十七分之四，则丑子为辰子十六分之三】

折半于丁以丁为心丁癸为半径作癸壬丑小半员又以丁癸折半于子作卯子直线【与辰癸径为十字埀线】割小员于壬，则壬子与卯子之比例即三等边幂与正方幂积比例用法有三等边形求积法，以甲丁边上方形【即庚甲】积作卯子直线，如句四倍之，作横线如辰子为股，次引横线，取子癸为卯子四之一，又取丁子如癸子，次以丁癸为半径，丁为心作半员，截卯子于壬，即得壬子为三等边积。防法不作辰子线，但于子作半十字线。如癸丁次，于子点左右取癸，取丁各为卯子四之一，乃任以丁为心，癸为界，作割员分，即割卯子于壬，而为三等边形之积。论曰：此借用开平方法也。平方求根，有算法，有量法。此所用者量法也。量法有二：其一，以两方之边当句当股，而求其▯，是为并方法也。其一，用半员取中比例，此所用者中比例也【详比例规觧】

附三等边求容圆法曰：以原边之幂十二除之，为实，平方开之，得容圆半径。解曰：原边幂十二之一，即半边三之一也。

附三等边形求外切圆法曰：以原边之幂三除之，为实，平方开之，得外切圆半径。一法：倍容圆半径，即外切圆半径。

新増求六等边法法曰：六等边形者，三等边之六倍也【以同边者言】用前法得三等边积，六因之即六等边积。依前法，边上方幂与三等边形幂若四○与一七竒，因显边上方幂与六等边形幂若四○与十○二竒【亦若一○○与二五五】今有六等边形，问积。法：以六等边形之一边自乘，得数，再以二五五乘之，降两位，见积。解曰：置四○与一○二，各以四除之，则为一○○与二五五之比例也。若问员内容六等边形者，即用员半径上方幂为实，以二五五为法乘之，得数降二位，见积亦同【降二位者，一○○除也】依显平员积与其内容六等边形积之比例，若三一。

四与二五五论曰：六等边形之边与外切员形之半径同大，故以半径代边其比例等【半径上方与六等边】形亦若一与二，五五】然则员全径上，方形与内容六等边形必若四○○与二五五【全径上方原为半径上方】【之四倍】而员面幂积与六等边形积亦必若三一四与二五五矣【员径上方与员幂原若四○○与三一四，故也】

用尺算　用平分线　求同根之幂平方幂四○○八十○【皆倍而退位之数】平员幂三一四约爲六十三弱【实六二八】

六等边幂　　二五五　　　　五十一三等边幂　　一七○　　　　三十四右皆方内容员，员内又容六角之比例。其六等边与员同径，乃对角之径也。于六等边之边，则爲倍数。三等边则只用边。若六等边形，亦卽用边与平方平员之全径相比，则如后法。

平方　　　四○○　　　平方　一○○○○平员　　　三一四　　　平员　　七八五四六角　　一○二○　　　六角　二五五○○三角　　　一七○　　　三角　　四二五○论曰以平方平员之径六角三角之边并设二○则爲平方四○○之比例若设一○○则如下方平方一○○○○之比例也量体细法四等面体求积法曰：以原边之幂三除之，得数以乘边幂，得数副寘之。又置边幂二十四除之，得数以乘副，平方开之，即四等面积也。又法，置半边幂，三除之，得数以乗半边幂，得数副寘之，又以六为法，除半边幂，得数为实，平方开之，即四等面积四分之一也【即三角扁锥】

算二十等面二十等面之棱线甲丁设一百七十八【原设一百一十，因欲使外切立方与十二等面同，故改此数】心乙一百四十四【即原切十等边之半径，又为外切立方之半径】外切立方径二百八十八。

求中心为分体之高　法先求乙中【乃各棱折半处至三角面中央一点之距】依防何补编？半甲丁得八。十九为甲乙自乘【七千九百二十一】取三之一【得二千六百四十又三之一】为乙中句幂，又以心乙【一四四】自乘【二○七三六】为▯幂，相减余【一万八千○九十五又三之二】为股幂，开方得心中一百三十四半强为分体鋭尖之高，倍之得二百七十九半弱为内容立员径。求甲心为分体斜棱，法以甲乙为句，其幂【七九二一】以乙心为股，其幂【二○七三六】并之【二八六五七】为▯幂，开方得甲心一百六十九，二为分体自角至鋭之斜棱，倍之三百三十八半弱，为外切浑员之径。或取理分中末线之大分【如心乙】为股，小分【如甲乙或丁乙】为句，取其▯【甲心或丁心】为二十等面，自角至心之楞线合。之成甲，心丁形，即二十等面分形之。

斜立面也甲丁则原形之楞也如【甲心丁】之面，三皆以心角为宗，以甲心等▯合之【三面皆有此▯】则甲丁等底【三底】。并同甲丁】以尖相遇而成三等边之面，即二十等面之一面也，以此为底，则成。三角尖锥矣。尖锥之立三角面皆等，皆稍小于底。解曰：乙戊与甲乙等，而甲心与戊心【即乙心】不等。如▯与股【乙戊即十等边之一边，乃二十等面横切之面之边】今欲求心中正立线中即二十等面一面之中自此至心成心中线则其正高也法先求甲中为句取其幂以减甲心▯幂即心中股幂开方得心中简法取乙甲【即原楞之半，又即小分】自幂三之一以减乙心【即大分，又即原楞均半处至形心，即斜立面中线】之幂，即心中幂。又解曰：原以甲乙半楞【又即二十等面中剖所成之楞，即十等边之一边，故为小分】为句【在形内为小分，乃乙戊也，今形外之甲乙与甲乙同大，故亦为小分】乙心【即二十等面中切成十等边，自角至心之▯，故为大分，又即为二十尖锥各立面三角形之中长线】为股，则甲心为▯【自各角至体心之线】而甲心▯幂内有乙心股、甲乙句两幂，今求心中之高，则又以甲中为句【自各角至各面心也】，而仍以甲心为▯，▯幂内减甲中句幂，则其余心中股幂也。依防何补编：甲乙幂三分加一为甲中幂，故但于乙心幂内减去甲乙幂三分之一，即成心中股幂。又解曰：若以乙心为▯，则中乙为句，而心中为股。依补编：中乙幂为甲乙幂三分之一，故直取去甲乙幂三之一为句幂，以减心乙▯幂，即得心中股幂，开方得心中。此法尤防。

作法　以二十等面之楞【如甲丁】折半【如甲乙或丁乙亦即甲戊】为理分中末之小分求其大分【如乙心即二十等面各楞线当中一点至心之线亦即外切立方之半径】　再以大分为股【乙心】小分为句【甲乙亦即甲戊亦即戊乙】取其▯【甲心即二十等面自各角至心之线谓之角半径亦即切员半径】　再以原楞【甲丁】为底切员半径为两▯【甲心及丁心】成两等边之三角形即二十等面体自各角依各楞线切至体心而成立锥体之一面三面尽如是则成三角立锥矣　如是作立锥形二十聚之成二十等面体立锥体之中高线【心中】以乘三体面之幂，而三除之，得各锥积。二十乘锥积，得立积。其中高线【心中】即内容立员之半径。立方内容二十等面体，其根之比例若全分与大分。立方内容十二等面体，其根之比例若全分与小分。二十等面体之分体并三楞锥，以元体之面为底，原体之楞【甲丁】折半【甲乙】为小分，为句，取其大分【心乙】为股，句股求▯，得自角至心为外切员之半径【心甲】

假如【甲丁】原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘【三千○二十五】为句幂其大分乙心【即外切立方半径】八十九自乘【七千九百二十一】为股幂，并二幂【一万○九百四十六】平方开之得▯【一○四又六二】不尽约为一○四半强】为角至体心之线【心甲】即外切立员之半径。

算二十等面之楞于浑天度得防何分法以心甲为浑天半径甲乙为正▯法为心甲与甲乙若半径与甲心乙角之正▯查正▯表，得度，倍之为丁甲通▯所当之度。

算十二等面五等边面为十二等面之一，面有五边在体之面则为五楞锥，其一楞设一百一十【甲丙】半之五十五【乙丙】以甲丙为小分，求其大分得一百七十八丙戊也【即丙丁壬，丁壬戊，丁角为丙中甲角之半，与平圆十等边之一面等】半之八十九已丙也【即乙辛，以丙巳乙为两腰等形，辛巳乙亦两腰等形，故辛乙与巳丙等，丙巳乙形与元形丙戊甲形相似，巳角即戊角，而乙丙为小分，乙巳或辛乙为大分】为内作小五等边之一边【乙辛】亦即十二等面从腰围平切之十等边面也。又以乙辛为小分，求得大分一百四十四，心乙也【分图：辛心乙形，即前图辛心乙形。乙辛为心壬之小分，心乙为大分。乙心线即五等面一边折半处至体心之距。丙防即五等面边两楞相凑之角。乙丙辛虚线形，即前图乙丙辛形】为甲丙半楞【乙丙】之全分。何则？前图之丙巳乙形，乙丙为小分，丙巳为大分。试于辛乙心形内【分图】作庚辛乙形，与丙巳乙形等【庚乙即乙丙五等面一边之半，乙辛庚辛即丙巳乙巳为小五边形之一边】则乙庚为小分，乙辛为大分【心庚同】今又以乙辛为小分，求其大分壬癸，而壬癸即心乙也【乙癸同】夫心乙乃庚乙【小分】辛乙【大分，即心庚】之并，则乙心为庚乙之全分矣。其比例，心乙与心庚若心庚与庚乙，而乙心即外切立圆半径也。

右法杨作枚补今求心中线为五等边最中一防【中】至体心【心】之距，亦即内容浑员半径。先求乙中线，为五等边各楞折半处至最中之距。法为甲乙比乙中，若半径与五十四度之切线。

一　半径　　　　　　一○○○○○二，乙甲中角【五十四度】切线一三七六三八。

三　半楞甲乙　　　　五十五四　中乙　　　　　　七十五【七○】用句股法，以心乙【一百四十四】为▯，中乙【七十五七】为句，句▯各自乘，相减得心中股幂，平方开之，得中高线【心中为容员半径】求得容员半径一百二十二半弱【心中】又求甲心线为各角至体心之距【即外切浑员半径】用句股法，以甲乙【五五】为句，心乙【一四四】为股，并句股幂，求甲心▯。求得外切圆半径，一百五十四强【甲心】

十二等面根一一○【甲丙】外切立员半径一四四【心乙】全径二八八○。内容浑员半径一二二半【心中】全径二四五【弱】外切浑员半径一五四【甲心】全径三○八【强】十二等面之分体，并五楞锥，并以五等边面为底，原体之楞甲丙，设一百一十半之乙甲，五十五为小分，求其全分，乙心一百四十四【即外切立方半径】乙甲【五十五】自乘【三千○二十五】为句幂，心乙【一百四十四】自乘【二万○七百三十六】为股幂，并之得【二万三千七百六十一】平方开之得▯【一百五十四强】为自角至心之线，甲心即外切员半径。

作法　以五等面之一边为底楞【甲丙】以外，切员半径【角至心之】【线】为两▯之楞【甲心及丙心】而防于心，五边悉同，则为十二分体之一。如是十二枚，则成十二等面体。

变体数求浑圆积设浑圆径一○○○，自乘得一○○○○○○，又十一【古法】乘之，得一一○○○○○○为实，十四除之，得○七八五七一四为平圆面幂。或用旧径七围念二之比例，亦得圆面七八五七一四，以四因之，得浑圆之幂三一四二八五六。置浑圆之幂，以半径五○○因之，得一五七一四二八○○○，是为以浑圆面幂为底，半径为高之圆柱形积。置圆柱形积以三为法除之，得五二三八○九三三三，是为以浑圆面幂为底，半径为高之圆角形积，亦即浑圆之积。浑圆根一○○○，体积五二三八○九三三三，用为公积。

立方置公积即浑圆积【五二三八○九三三三】立方开之，得立方根八○六二○二七一七，是为与浑圆等积之立方。

方锥置公积【五二三八○九三三三】以三因之，得数立方开之，得高濶相等之方锥形根一一六二二四四四四七，是为与浑圆等积之方锥。

方锥圆柱置公积【同上】十四因之，十一除之，为实，立方开之，得高濶相等之圆柱形，根八七四二三九四二，是为与浑圆之积之圆柱。

【圆柱】

圆锥置公积【同前】以三因之【变圆锥形积为圆柱积】再以十四因之，十一除之为实【变圆柱积为立方积】立方开之，得高濶相等之圆锥形根一二五九四七五九，是为与浑圆等积之圆锥。或置积，以四十二因之，十一除之，立方开之，亦同。

【圆锥】按变体线本法，有四等面、八等面、十二等面、二十等面诸数，表皆未及其同者。惟有浑圆、立方二形，其余三形皆比例规解及测量全义之所未备。今以法求之，则皆长濶相等，而不为浑圆、立方者耳。夫不为浑图立方而仍可以法求者，以其长濶相等，则仍为有法之形也。然而与今西书所载合者二，不合者一。意者其传之有误耶？或其所用非径七围二十二之率耶？俟攷。

浑圆以径求积置径自乘，又以半径乘之，又四因之，又以十一乘之，以十四除之，又以三除之，见积。

解曰：平圆与平方之比例，知其周与周。假如七，则方周二十八，圆周二十二。两率各折半为十四与十一。径自乗则为平方形，以十一乗十四除，则平方变为平圆矣。以平圆为防，半径乗之成圆柱形，再以三归之成圆角形【即圆锥】浑圆面幂为防，半径为髙之角形，四倍大于此圆角形，故又四因之，即成浑积也。防法，径自乗，以乗半径，乃以四十四因，四十二除，见积。或径上立方形，二十二因，四十二除，或用半数，十一因，二十二除，见积，并同。

浑圆以积求径置积，以三因之，四除之，又以十四因之，十一除之，再加一倍，立方开之，得圆径。解曰：圆积是圆角形，四今三因之变为圆柱形，四矣，故用四除则成一圆柱。此圆柱形是半径为髙，全径之平圆为防，今以十四乗十一除，则变为全径之平方为防，半径为髙矣，故加一倍即成全径之立方。防法，积倍之以四十二，因四十四除，立方开之，得圆径。或用本积以八十四乗，四十四除，立方开之。或用半数以四十二乘，二十二除，立方开之。或又折半以二十一乗，乗十一除，立方开之，得积并同。按径七围二十二者，乃祖冲之古法，至今西人用之，可见其立法之善。虽异城，有同情也。虽其于真圆之数，似尚有盈朒，然所差在防忽之间而已。吾及锡山杨昆生、柘城孔林宗，另有法，其所得之周，俱小于径七围二十二之率，则其所得圆积，亦必小于古率矣。杨法立圆径一○○○○，积五二三八○九二五六四。孔法立圆径一○○○○，积五二三五九八七七五。

约法立方与立圆之比例若二十一与十一，平圆与外方若十一与十四，平圆与内方若十一与七。圆内容方之余【即四小弧矢形】若七与四；圆外余方【即四角减弧矢】若十一与三。准此，则余圆【即小弧矢】与余方，若四与三；而小弧矢与其所减之余方角，若一与七五，亦若四与三也。