句股阐微卷四

句股阐微卷四

几何増解方斜较求原方【几何约论线第十四条有用法，今解其理】甲乙丙丁正方形，甲乙其对角线，戊乙为方斜之较，于戊乙上作庚癸乙戊小方，则丙庚与庚戊等。

论曰法于方之一角甲作员而以丙甲方径为员之半径则乙丙为切员线乙辛为自员外割员之全线乙戊较为割员在外之余线而两线皆出一防则乙戊乗乙辛之矩形与乙丙切线方形等夫乙丙即原设方也，今以同乙戊之癸乙为横，乙辛为直，作乙已长方【即乙戊乗乙辛之矩】又移切甲己长方为子甲长方，又移卯补午，移辰补酉，移丑补寅，则复成乙丙甲丁方形矣。而丑卯午酉等斜剖半方形，皆以乙戊较为半方形之边，是庚戊及丙庚皆与乙戊等，而亦自相等，又何疑焉？用法有方斜之较，乙戊求原方形之一边法，以乙戊较作小方形，取其斜乙庚，再引长之，截丙庚如乙戊，得乙丙如所求。从此图生一测员之法。假有员城八面开门，正西门如戊，门外有塔如乙，其距如乙戊。西南门如丙，距塔若干歩如乙丙。问城径？法以乙丙之距自乗得数为实，以乙戊之距为法，法除实，得乙辛，于乙辛内减去乙戊，即员城之径。防法但倍乙丙，即得城径。有员城，正西之门如戊，西南之门如丙。人立于庚，可两见之。而庚丙与庚戊皆等，问城径。法以庚戊自乗，成戊癸小方，以方斜之法求其斜距，为乙庚，以乙庚加庚丙，为乙丙，即城半径。

按此即几何约之用法也又以句股法解之又论曰：试于庚丙上作丙子，较线上方引庚戊至丁，则丁庚又为丙子方之斜，而丁戊与乙丙等，从丁戊作丁壬，甲戊为元方，如所求。

又论曰此即句▯和较相乗开方得股也　乙甲丁甲皆如▯，戊甲甲辛【甲丙甲壬】皆如。句，乙戊如句▯较【丁丙同】乙辛如句▯和，和较相乗。

成癸辛长方　开方得丁戊股【乙丙同】

切线角与员周角交互相应【几何三卷三十二、三十三増题】乙、丙、丁三角形，在员内，有甲乙切员线，则所作丙乙甲。

角与丙丁乙角同大又丁乙戊角与丁丙乙角同大所谓交互相应也论曰丁角以乙丙弧分论度而丙乙甲角，亦以乙丙弧分之度为度，故丙乙甲角即丁角也。丙角以丁乙弧分为度，而丁乙戊角亦以丁乙弧分为度，故丁乙戊角即丙角也。凡用员周度为角度，皆以两度为一度，详后第三増题。若丁为钝角，则丙乙甲亦钝角。两钝角同以丙辛乙弧为度，故也。其丙锐角与丁乙戊锐角，则同以丁乙弧为。

度又増题　员内三角形一角移动则余二角变而本角度分不变交互相应之角度亦不变如上图【三图】丁角移至辛，则丙角加大而相应之辛乙戊角亦从之而大以辛丁乙弧大于丁乙弧也辛乙戊大则辛乙丙小矣，其较皆为丁辛弧。若丁角虽移至辛，而其度不变，相应之丙乙甲角亦不变，以所用之丙乙弧不变也。又丙角移至壬，则丁角加大，相应之壬乙甲亦从之而大，以壬丙乙弧大于丙乙弧也。壬乙甲大，则壬乙丁小矣，其较皆为丙壬弧。若丙角虽移至壬，其度不变，相应之丁乙戊亦不变，以所用之丁乙弧不变也。

此图同论但丁角移则丙角变小丙角移亦然又増题「切员线作角与员周弧度相应图」。有子甲戊员，有干艮线相切于子，从子防出线与切线作角，必割员周之度，其大小皆相应，但皆以员周两度当角之一度。如用子午正线，则所作两防子角皆正角【百八十度，分两正角各皆九十度】而亦剖员为半周【两半员并百八十度】是两度当一度。又如用子辛线作辛子艮钝角【四十五度】而本线割员周于辛为九十度象限，亦两度当一度。又如用子辛线作辛子干钝角形【百三十五度】而线割辛午干员分【为二百七十度】三象限亦两度当一度。又如于员内任作辛子乙角形，乙辛子角所乗之子甲乙弧六十度，干子乙角同用子甲乙弧亦六十度，然其实度是坎寅弧实只三十度，亦两当一也。

又子乙辛角乗子癸壬辛弧【一象限】艮子辛角亦割子癸壬辛弧【一象限】然其实度为震酉弧只四十五度亦两当一也所以者何曰试作辛乙线移角于辛则所乗弧【子甲乙】六十度皆实度也今也角在心是员周也非员心也凡员周之角小于员心一倍故也论曰员周至员心正得员径之半故所作角为折半比例试作乙丙线成辛乙丙句股形又从心作心周线与辛乙平行，则所作周心丙角与乙辛丙等，而此心周线平剖乙丙句，亦平分乙周丙于周，而正得其半矣。系句股形，平分▯线作点，从此作线与股平行，即平分句线为两又论曰：查角度之法，皆以切点为心，作半员，即见真度。此不论半员大小，或作于员内，或作于员外，并同。作于员外，其度开明，易于简查。又论曰：试于所切圈心作横径线，与切线平行，如辛丙线，引长之出员外，而以查角度之线割员周而过之，则皆成大小句股形。而所过横线上防，皆即八线中之切线，为句股形之股。角度斜线为横线所截处，即八线中割线，常为▯，而切点至员心之半径，常为句。如子辛角度线割横线于辛，成辛心子句股形。其所当角度为酉中四十五度，则辛心即四十五度之切线，辛子即四十五度之割线，余并同。其子心即半径也。又论曰：角度半员有大小，而子心半径常为句者，以所作横线在员心，欲用员度相较也。若于半员之端【如中如外】作横线与切线平行，其所作切线割线亦同比例，而即以各半员之半径为句矣。不但此也，即任于子心外直线上任作一横线，其所作句股并同，但皆以十字交处距子防之度命为半径，此八线割员之法所由以立也。

量无法四边形防法甲乙丙丁形求其容　先作乙丁对角线分为两三角形次自丙作丙戊横线与乙丁线相交于丑为十字正角而取戊防与甲齐平，则戊丑即甲庚也。次以丙戊防折半于己，次作壬癸线与乙丁平行而等。又作壬辛、癸子二线，皆与己丙平行而等。得辛癸长方，即原形之容。

取平行线简法法曰乙丙线欲于甲防作线与之平行法于线外任取巳防为心甲防为界作辛甲丁庚圈分次以庚为心取甲辛之度为界，截员分得丁。防末，自丁作戊，丁甲线。此线必与乙丙平行矣。论曰：凡圈内两直线相距之度等，则其线必平行。如【丁甲】与【庚辛】两线俱在一圈之内，而所距之【甲辛】圈分与【庚丁】圈分等，是相距之度等，而其线平行也。因读数度，衍得此法，似较他处为防。补测量全义，斜坡用切线法【系勿庵补】

斜三角形有一角两边求余边法用切线分外角求得余角即以得边可不用垂线如甲乙己斜角形　有乙甲及己甲二边，有甲角求乙己边。法以己甲线引长之，成乙甲丙角，为原有甲角之外角【以元有甲角减半周得】次分外角之度而半之，为半外角，而求其切线，为三率。并乙甲、己甲二边为首率，又以二边相较为次率。次率乗三率为实，首率为法除之，得半较角之切线，以查表得半较角之度，以减半外角得己角。末用正▯法得己乙边。法为己角正▯与乙甲，若甲角正▯与乙己。

三率法一　两线之和　　　己丙二　两线之较　　　己丁三　半外角之切线　戊癸四　半较角之切线　壬戊用外角者，乙己两角之和度，而较角者，乙己两角之较度【以用切线故，半之也】论曰：又如后图，己甲引至丙，而乙甲亦引至辛，则乙甲、丙及丁甲、寅两角，皆原有甲角之外角。再作甲戊线平分外角，则丁甲戊及寅甲戊皆半外角。又作甲壬线。

与乙已平行则壬甲癸角即同己角壬甲辛角即同乙角再于甲戊半径之端作癸戊辛十字线切员于戊则戊癸及戊辛皆半外角之切线也。再以壬甲癸角减壬甲辛角，其较为壬甲子角。则壬甲戊即半较角，而壬戊其切线也。其比例为己丙【二边和】与己丁【二边较】若癸辛【外角全切线即乙己丁角和度之全切】与壬子【较角度之全切线】则亦若癸戊【半外角切线】与壬戊【即半较角之切线】何也？全与全若半与半也。

理分中末线甲乙线求作理分中末线法以甲乙全线折半于庚乃作垂线于甲端为丙甲如半线甲庚之度为句全线为股次作丙乙线为▯次以丙为心，乙为界，作乙丁圈界。次引丙甲句至丁，则丙丁即丙乙也。末以甲为心，丁为界，作丁戊己圈分，则甲己为理分中末之大分，己乙为小分。其比例为甲乙与甲己，若甲己与己乙也。逓加法。借右图，以乙为心，甲为界，运规截丁、已，圈分于戊。自戊作线向甲，成甲戊线，与甲丁等。乃自戊作戊乙线，与乙甲等，成甲乙戊三角形。此形甲戊两角悉倍于乙角，乃平分戊角作戊辛线，此线与甲戊并大，亦与乙辛同大，成辛戊甲相似三角形，则甲乙与乙辛【即戊辛】若乙辛与辛甲也，又平分辛角作辛壬线与壬戊与辛甲皆同大则成甲辛壬三角形与辛戊甲相似则乙辛【即戊辛，亦即戊甲】与辛甲。【即辛壬戊壬】若辛甲与壬甲。

也如此逓半则其角比例并同一【乙甲】二【乙戊，即戊辛，戊甲】三【辛甲，即辛壬，戊壬】四【辛癸，即壬癸，壬甲】五【癸甲，即癸子，壬子】六【癸丑，即丑子，子甲】七【丑甲，即丑寅，寅子】八【丑卯，即卯寅，寅甲】九【卯甲】若能知其数，则以大分逓乗，全数除之，得细数。先得甲乙为大分，而求乙己全分及。乙庚小分，用此图亦为半圆内求。容方法则以乙巳全分加乙庚小分。折半于戊，得戊己，为半径，若先得戊。己则以戊己【即戊丁】为▯，作丁甲、戊句股，使戊甲句半于丁甲股，则丁甲即为戊己理分中末之大分。解曰：甲庚【即乙己】全数与丁甲【大分】若丁甲【大分，即甲乙】与甲己小分【即乙庚】也。

以量分甲乙线十数求作理分中末线先依甲乙线作甲乙丁丙正方形【四面皆十数】次任用一面。平分之如甲丙，平分于壬【甲壬】。及壬丙皆五数】甲乙之半数也【甲丙与甲】【乙等其分亦等】次自壬向乙角作乙壬斜线，其数一十一【一八○三三九】次自壬量甲壬或丙壬之度【即甲乙之一半】移置于乙壬线上，截壬癸如甲壬，则其余癸乙即理分中末之大分，其数六【一八○三三九】末以癸乙之度移置于甲乙线上如乙戊，则乙戊为大分，戊甲为小分，其数三【八一九六六○】

简法作句股形，令甲壬句如甲乙股之半，乃以壬为心，甲为界，作虚线圆分。

截乙壬▯于癸末以乙为心，癸为界，作圆分截甲乙线于戊。

则乙戊为大分甲戊为小分又简法以甲乙全线为半径，作半圆形，则乙庚、乙辛皆与甲乙等。

次平分乙辛于己次以己为心，庚为界，运规割甲乙。线于戊【戊己之度，即同己庚】

则乙戊为大分　甲戊为小分又简法作子寅丑卯十字线相交于乙次以乙为心，甲为界，运规截十字。线于甲，于庚，于辛，则乙庚、乙辛皆。与设线甲乙等，乃折半【乙辛】于己。以己为心，庚为界，运规截甲乙于戊，则乙戊大分，甲戊小分，皆得矣。此法可于平面圆器上求之。

附长方变正方法甲乙丙丁，长方形，欲变正方，以长方形之横边【乙丙】直边【丙丁】二线，取其中比例，即所求。取中比例法，以丙丁、乙丙【即戊】丙】联为一直线【丁戊】而折半于己以己为心丁若戊为界作半圆次引乙丙横线至圆界截圆界于庚成丙庚线即乙丙及丙丁二线之中比例线次于丙庚线上作小方形，其容与甲乙丙丁长方形等，如右图。丙庚线上方形为丙壬，乃子壬癸句股形内之容方也。而甲丙长方形，则子壬癸句股外之余方也。余方与容方等积。

简法先引丁丙边至午引乙丙边至未次以丙角为心乙为界作小员界虚线截引长线于戊次以丁戊线折半于己，次引乙丙至未，次以己为心，戊为界，运规作小圆界，截引长线于庚。则丙庚即所变方形之一边。末依丙庚线作方形，与甲乙丙丁长方形等积。其法以丙为心，庚为界，运规截丙辛与丙庚等。

理分中末线用法一用以分平圆为十平分法为半径，与三十六度之分圆若全分与理分中末之大分也。

一用以分平圆为五平分歴书言：以全分为股，理分中末之大分为句，求其▯。即半径全数为股，三十六度之分圆为句，求得七十二度之分圆为▯。

一用以量十二等面体法为立方边与所容十二等面边若理分中末之全分与其小分也。又十二等面体之边与内容立方边若理分中末之大分与其全分也。又立方内容十二等面体，其内又容小立方，则外立方与内立方若理分中末之全与其大分也。

一用以量二十等面体法为立方边，与所容二十等面边，若理分中末之全，与其大分也。

一用以量圆灯法为圆灯边，与其自心至角线，若理分中末之大分，与其全分也。此自心至角之线，即为外切立方、立圆及十二等面、二十等面之半径，又为内切八等面之半径。圆灯为有法之形，即此可见。

用理分中末线説言西学者，以几何为第一义，而传只六卷，其有所秘耶？抑为义理渊深，翻译不易，而姑有所待耶？《测量全义》言有法之体五，其面、其积皆等，其大小相容相抱，与球相似。几何十一、十二、十三、十四卷诸题，极论此理。又几何六卷言理分中末线，为用甚广，量体所必需。几何十三卷诸题，全頼之，古人目为神分线。又言理分中末线求法，见本卷三十题，而与二卷十一题同理。至二卷十一题，则但云无数可解，详见九卷，其义皆引而未发，故虽有此线，莫适所用。疑之者十余年，辛未嵗养病山阿，游心算学，于量体诸法稍得窥其奥，爰证《厯书》之误数端，于十二等面、二十等面得理分中末之用，及诸体相容之确数。故以立方为主，其内容十二等面边得理分线之末，二十等面边得理分线之中，反覆推求，了无凝滞，始信几何诸法可以理解，而彼之秘为神授，及吾之屏为异学，皆非得其平也。其理与法详《几何补编》。

遥量平面法甲乙庚辛为所欲量之平面而不能到如仰视殿上承尘而人在殿外，又如峭壁悬崖之上，有碑若碣。凡平面之物，人从地面斜视，灼然可见，而不能到。或平面在下，如田池之类，人从台上俯视可见；或临深崖，瞰谷底，其理不异，但倒用其图即是。欲量甲乙、庚辛平面而不能到，可到者丙丁，则先知丙丁之距及丙丁所作各角，即可以知之。先求甲乙线，法于丙，于丁各安平圆仪，各以指尺向甲，向乙，又自相向，各作角，成甲丙丁，甲丁乙，乙丁丙。凡三角形者三，依第一法用甲丙丁形，此形有丙丁线【两测之距】有丙角，有丁角，自有甲角，可求甲丁线。法为甲角之正▯与丙丁，若丙角之正▯与甲丁也。次仍依第一法用乙丁丙形，此形亦有丙丁线【两测之距】有丙角，有丁角，自有乙角，可求乙丁线。法为乙角之正▯与丙丁若丙角之正▯与乙丁也【此丙角与前形之丙角不同】次仍依第一法用甲丁乙形，此形有甲丁乙、丁两线及两线间所作之丁角【与前形丁角不同】可求甲乙线为所测之一边。法自甲角作甲戊垂线至戊，分乙丁线为两，而甲丁乙三角形分为两句股形。其一甲戊丁句股形，有丁角，有甲丁线为▯，可求甲戊句、戊丁股。法为全数与甲丁▯若丁角之正▯与甲戊句，又全数与甲丁▯亦若丁角之余▯与戊丁股也。其一，甲戊乙句股形，有甲戊句，有乙戊股【戊丁减乙丁得之】可求甲乙▯。法以甲戊句乙戊股各自乗而并之，开方得甲乙，即所测平面之一边。第二求庚辛线，法亦于丙于丁各安平员仪【即先所安之元处】各以指尺向庚向辛，又自相向各作角，成庚丙丁、庚丁辛、辛丙丁。凡三角形亦三。依第一法用庚丙丁形此形有丙丁线【两测之距】有丙角，有丁角，自有庚角，可求庚丁线。法为庚角之正▯与丙丁若丙角之正▯与庚丁也【此丙角与前两丙角不同】依上法用辛丙丁形此形有丙角【此丙角又与上不同】有丁角自有辛角可求辛丁线【丁角与前不同】法为辛角之正▯与丙丁若丙角之正▯与辛丁也，仍依上法用庚丁辛形。此形有庚丁、辛丁两线及两线间所作丁角【此丁角又不同】可求庚辛线为所测之又一边。法自庚角作庚己垂线至己，分辛丁线为两而庚丁辛三角形分为两句股形。其一，庚己丁句股形，有丁角，有庚丁线为▯，可求庚己句，己丁股。法为全数，与庚丁▯若丁角之正▯，与庚己句亦若丁角之余▯，与己丁股也。其一，庚己辛句股形，有庚己句，有辛己股【己丁减辛丁得之】可求庚辛▯。法以庚己句、辛己股各自乗而并之，开方得庚辛，为所测平面之又一边【即甲乙之对邉】

第三求甲庚线法于丁防侧安平仪，以指尺向甲，向庚作甲丁庚角，成甲丁庚形。此形有甲丁、庚丁两线及两线所作之丁角【此丁角在甲丁庚丁两线间】可求甲庚线为所测形之侧边。法自庚角作甲丁之垂线，至壬，分甲丁线为两，而甲丁庚三角形分为两句股形。其一，庚壬丁句股形。有庚丁线为▯，有丁角，可求庚壬句，壬丁股【法同前，用丁角之正▯，余▯】其一，庚壬甲句股形。有庚壬句，甲壬股【丁壬减甲丁得甲壬】依句股法，可求甲庚▯线，为所测平面之侧边。

第四求乙辛线法亦于丁防侧安平仪指尺向乙向辛作乙丁辛角成乙丁辛形。此形有乙丁辛丁两线及两线所作之丁角，此【丁角在辛丁乙丁两线间】可求乙辛线为所测形之又一侧边。法自辛角作乙丁之垂线至癸，分乙丁线为两而乙丁辛三角形分为两句股形。其一，辛癸丁句股形，有辛丁线为▯，有丁角，可求辛癸句，癸丁股【法亦同前，用丁角之正▯，余▯】其一，辛、癸、乙句股形，有辛癸句，乙癸股【癸丁减乙丁得乙癸】依句股法，可求乙辛▯线，为所测平面之又一侧边。如此则所测形之四边皆具，乃用后法求其幂。

第五求乙庚线法仍于丁防斜立平仪，以指尺向乙，向庚，作乙丁庚角，成乙丁庚形。此形有庚丁、乙丁两线及两线所作之丁角【此丁角又在乙丁、庚丁两线间】可求乙庚线，为所测形内之对角斜线。乙庚丁角形内，自庚角作乙丁之垂线至卯，分乙丁线为两，而乙庚丁三角形亦分为两句股形。其一，庚卯丁句股形。有庚丁线为▯，有丁角，可求庚卯句，卯丁股【依上法，用丁角之正▯，余▯】其一，庚卯乙句股形。有庚卯句，有卯乙股【卯丁减乙丁得卯乙】依句股法，可求乙庚▯线，为所测平面形内对角之斜线。既有乙庚线，则所测甲乙辛庚平面形分为两三角形，可以求其幂积。其一，乙甲庚形有乙庚底，有甲庚、甲乙两腰。法以两腰相减为较，相并为和，和乗较为实，乙庚底为法除之，得乙午。以减乙庚，得午庚，半之得子庚。乃用句股法，以甲庚、子庚各自乗相减为实，开方得甲子垂线。垂线半之，以乗乙庚底，得乙甲庚形平积。其乙辛庚形有乙庚底，有乙辛、辛庚两腰，如上法，以乙辛、辛庚相减为较，又相并为和，和乗较为实，乙庚底为法，除之得乙辰为底较，以减乙庚，得辰庚，半之得丑庚，乃用句股法，以丑庚、庚辛各自乗相减为实，开方得丑辛垂线，垂线半之，以乗乙庚底，得乙辛庚形平积，末以两三角形积并之，为所测甲乙辛庚平面四不等形之总积。右法可以不用丈量，而遥知亩歩。即有种种异态，以三角御之，足矣。《新法厯书》言测量详矣，然未着斯法意者，其在几何后数卷中，为未译之书欤？庚午蜡月既望，晤逺西安先生，谈及算数。云：“量田可以不用履亩。”初闻之，甚不以为然。归而思之，得此法。然未知其所用者即此与否，而此法固己足用矣。若用有纵衡细分之测器，指尺一量，即得，无烦布算矣。

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>测量用影差义疏凡方形内，从角剖成两句股形，必相似而等【正方或长方并同】

方形内作对角斜线，分为两句股。又于斜线上任取一防，作直线纵横相交如十字，而悉与方边平行，分方形为大小四句股形。此四句股形各两两相似而等【大形丙与丁等，小形庚与辛等】则其四句股旁之两余方形虽不相似而其容必等解曰：「于原斜线所分相等句股内。」

各减去相等之大小两句股则其余亦等【丙戊庚形内减去大形丙小形庚余戊又于丁己辛形内减去大形丁小形辛余己原形既等所减又等则其余必等故戊己两长方虽不相似而其容必等也】

句股测逺有甲乙之距人在戊立表又立表于丁使戊丁乙为一直线再于丙立表使丙丁与乙戊如十字之半，而与甲乙平行，则丁戊小股与丙丁小句，若丙庚大股与甲庚大句也。法以丙丁小句为二率，乙丁大股为三率【即丙庚】相乗为实，戊丁小股为一率为法，法除实得大句甲庚，再以庚乙加之，得甲乙。假如丙丁两表相距【三歩】人在戊窥丁到乙逺【戊丁十二歩，丁乙十八歩】欲求甲乙之距。法以丙丁【三歩】乗乙丁【十八歩】得【五十四歩】为实，戊丁【十二歩】为法，除之得【四十五歩】为甲庚，加丙丁【三歩即乙庚】共四十八歩为甲乙。解曰：此以乙丙长方形变为丙癸也。依前论，乙丙实形，丙癸虚形，不相似而容积等，故也。

重测法有巽乙甲井方池，欲遥望测其甲乙之一面方，并乙丁之距。法立表于丁望测方池之东北角乙至东南角巽使丁乙巽为一直线，再于丁横过立一表于丙，使丙丁为乙丁之横立正线【丙丁横六歩四分】次从丁退而北行至【戊】量得【十二歩】从戊斜望池西北隅【甲】不能当【丙】表而出，其间如【戌】又于戌立表【戌丁】之距【四歩】再退而北行至【己】从【己】窥【甲】正过【丙】表，己丙甲为一直线，量得己丁之距【三十六歩】法以【丙丁六歩四分】为一率【丁己三十六歩】为二率【戊丁四歩】为三率。二三相乗得【一百四十四歩】为实，一率【六歩四分】为法，除之得【二十二歩半】为辛己。于辛己内减丁戊【十二歩】余【十歩半】为壬己，是为景差。次以【戌丁四歩】减【丙丁六歩四分】余【丙戌二歩四分】以戊丁【十二歩】乗之，得【二十八歩八分】为句实。景差【十歩半】为法，除句实，得二歩【八分弱】为甲申大句之距，加丙丁【六歩四分即申乙】得共【九歩二分弱】为甲乙，即方池一面之濶。次以辛己【二十二歩半】减丁己【三十六歩】余【十三歩半】辛丁为二率，丁戊【十二歩】为三率，相乗得【一百六十二歩】为股实；景差【十歩半】为法，除之得【十五歩八分半弱】为乙丁大股之距。解曰：此以四表重测，改为三表，乃巧算也。若测髙，则重测本为前后二表者，亦改用一表，故当先知本法，然后明其所以然，下文详之。

试先明四表本法有甲乙之濶，先立【丁】表，从戊测之，戊【人目】丁【表】乙【逺物之末端】三者参相直。次于【丁】表横过，与【甲乙】平行，作戊丁乙直线之横直线，此线上取戊立表，人目从【戊】过【戌】表窥甲逺物之西端，亦参相直，但于戊丁乙线为斜▯，成句股形。量得戌丁两表横距【四歩】丁戊【人目距东表】直距【十二歩】次于丁戊，直线退而北行至己。又于西表戌作戌干癸直线，与丁戊平行。此平行线内取癸，立西后表。人目从【己】过【癸】至甲，参相直，成己甲癸斜▯。亦从【癸】横行至【丁己】线，寻【辛】立东后表。此后两表【癸辛】之距，为前表【戌丁】等【四歩】又量得【辛己】为东后表距人目之数【辛丁二十二歩半】次以丁戊【十二】减辛己【二十二半】得【十歩半】为壬己景差。末以己辛【二十二半】减【己丁三十六】余【十三歩半】为前后表间之距。以表横距【四歩】乗之，得【五十四歩】为表间积【即丁癸长方】置表间积为实，以景差【十歩半】为法除之，得【五歩一半弱】加表横距【四歩】得共【九歩二分弱】为所测逺物甲乙之濶。解曰：前表测得成【戊乙甲】句股形，内有戌乙余方与形外戌坤余方等积。后表测得【己乙甲】句股形，内有癸乙余方与形外酉癸余方等积。于【癸乙】内减【戌乙】于【酉癸】内减【寅癸即丑戌】则所余之【癸丁】及【酉辰】两余方亦必等积也。故以【丁癸】变【辰酉】而得【辰寅】亦即【甲庚】也。

次明改用三表之理用三表者，于【丙丁】两表间増一【戌】表，其实则于【戌丁】两表外増一【丙】表也。前増一表而无后表，则无从而得景差，故以三率法求而得之。其实【癸辛】即后表也，其理与四表同。然不用【癸子】形而用【戌子】形何也？曰：准前论【辰酉】形与【丁癸】形等积，而【午癸】形与【丁癸】形亦等积【两余方在己丙丁句股形内外故等】则【酉辰】与【午癸】亦等积矣。各减同用之【卯未】则所余之【酉卯】与【卯癸】二形亦自相等积，而【卯癸】原与【戌子】等，故用【戌子】变为【卯酉】而得【卯寅】即得【甲申】矣。是故【戌子】可名句实也。其以【辛丁】乗【戊丁】为股实，何也？曰：此三率法也【丁乙】外加【丁辛】前后两测之表距，故【辛壬即戊丁】外亦加【壬己】两测之景差。法为壬己与辛丁若戊丁与丁乙也。凖此测髙，可用一表而成两测【即借前测逺之图，而以横为直】

假如有【甲乙】髙立【丙丁】表人目在【戊】测之则表之端不相值而参相直于表之若干度如【戊】退若干歩至【己】测之正对表端【丙】其法并同因看数度，衍中破勾，测逺条疑，其图不真，因作此以证明其説。

测量图説一测股六十四尺八寸【壬丁】　二测句四十三尺二寸【丙丁】　三大股三千六百八十五尺二寸【乙丁即丙午】四大句二千四百五十六尺八寸【甲午】加【午乙】

得二千五百尺为甲乙之髙解曰：癸丁长方形，即古人所谓表间积也。以景差壬辛【即丑子】除之，变为寅子形。是寅子与癸丁同积也。而申癸形原与癸丁同积，则寅子与申癸亦同积也。于内各减同用之申子，而寅未与未癸亦同积矣。夫未癸即氐己也。是戊丁【即亥己】乗丙己之积也。故可命为句实，而以景差壬辛【即申未】除之，得甲午句也【甲午即戌酉】其取股实何也？曰：三率法也。表在丁，其景丁戊；后表在庚，则其景庚壬。后表之逺于前表者为庚丁，故后景之大于前景者为辛壬。则其比例为辛壬与庚丁若丁戊【即庚辛】与丁乙也。试引癸庚至箕，截庚箕如庚壬，又截尾箕如壬辛，于尾于箕各作与庚乙平行线，而于乙作垂弧，为乙牛联之作长方形，又作丁心线，截之作箕乙线，斜分之，则其理着矣。

三角形求外切圆法设如锐角形，有甲丙边七十五尺，甲乙边六十一尺。

乙丙边五十六尺　问外切圆径若干　畣曰外切圆半径三十八尺一寸二分五牦法先求得甲丁中长线六十尺为一率甲乙边六十一尺为三率，甲丙边折半，得戊，甲三十七尺五寸，为三率。二率与三率相乗，一率除之，得四率【三八一二五】为甲乙圆半径。解曰：此甲丁乙三角形与甲己戊三角形同式，故其线为相比例率也。若甲为钝角，其理亦同。以甲丙折半为三率，故四率亦为半径。若以甲丙全线为三率，则四率必得甲辛为全径矣。葢甲辛丙形与甲乙丁形同式也。何以见甲乙丁形与甲辛丙形同式？葢两形之乙角、辛角同当甲庚丙弧分，则二角必相等，而丁丙又同为直角，则两甲角亦必等，而为同式无疑矣。又界角比心角所当之弧大一倍，今己心角所当甲庚弧，适当乙界角所对甲庚丙之一半，则两角为等可知。而戊为直角，与丁角等，则两甲角必等，故甲己戊与甲乙丁亦为同式形也。三角举要有量法，未着算例，因作此补之。又如甲乙丙钝角形求外切员径【甲辛】半径【甲己】法先求得中长线【乙丁】得【乙丁丙】句股形次作【乙辛】线成【甲乙辛】大句股。

形又甲乙半之于戊从员心【己】作直线过戊至庚又成【甲戊己】句股形一率　乙丁股【形内垂线】

三率　甲戊股【即甲乙之半】四率甲辛▯【即外切员径】四率甲己▯【即切员半径】解曰：三句股形皆相似，故可以三率比例求之。问：何以知其为相似形也？曰：原设形之丙角与甲乙辛形之辛角所当者同，为甲庚乙员分，则两角等；而乙丁丙形之丁角与甲乙辛大形之乙角又皆正角，则余角亦等，而为相似形。又甲己为甲辛之半，甲戊为甲乙之半，戊正角与大形乙正角等。又同用甲角，则己戊亦乙辛之半，而为相似形。一系凡三角形求得形内垂线为法，垂线左右两原边相乗，为实，法除实得外切员径，锐钝同法。假如甲乙丙钝角形，求得中垂线乙丁六分为法，左右两斜边【甲乙十八分，乙丙十分】相乗【一百八十分】为实，法除实得外切员径甲辛三十分，即可借用前图【分寸畸零稍为整顿】

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>