弧三角举要卷一

弧三角举要卷一

弧三角体势弧三角与平异理，故先体势，知体势然后可以用算，而算莫先于正弧，犹平三角之有句股形也，故以为弧度之宗。正弧形之之角，取法于黄赤交角，则有定度；而余角取法于过极圏交黄道之角，则随度而移，互用之其理益显，故有求余角法。弧三角以一角对一边，而比例等与平三角同，而其理▯别，故有弧角比例法。斜弧无相对之弧角，则比例之法穷，故有垂弧法。三角求边，则垂弧之法又穷，故有次形法。垂弧与次形合用，则有捷法。弧与角各有八线，而可以互视，故有相当法【余详环中▯尺及堑堵测量】

弧度与天相应弧三角之法，以测浑员。浑员之大者，莫如天；员之至者，亦莫如天。故弧三角之度，皆天度也。以平测员，其难百倍；以员测员，其简百倍。而得数且真，是故测天者必以弧度而论。弧度者，必以天为法。测弧度，必以大圏。浑球上弧度有极大之圏，乃腰围之一线也。如赤道带，天之纮，原止一线。如黄道，如子午规，如地平规，尽然。又如测得两星相距之逺近，亦为大圏之分【若以此两星之距弧引而长之，必匝于浑员之体而成大圏，不论从衡斜侧，皆同一法】

球上大圏必相等所以必用大圏者，以其相等也。浑球上从、衡、斜、侧皆可为大圏，而其大必相等者，以俱在腰围之一线也。如黄道、赤道及子午规、地平规，俱系大圏，必皆相等，不相等即非大圏。故惟大圏可相为比例【任测两星之距，不必当黄赤道而能与二道相比例者，以其皆大圏也】

球上两大圏无平行者大圏在浑球既为腰围之一线则必无两圏平行之法。若平行即非大圏【如黄赤道并止一线而无广即无地可容平行线也。子午规、地平规亦然】球上圏能与大圏平行者皆小圏，谓之距等圏。离大圏左右作平行圏，皆曰距等圏，谓其四围与大圏相距皆等【如于黄道内外作纬圏，其与黄道相距或近，则四靣皆近；或逺，则四面亦皆逺，无毫忽之不同，平行故也。赤道、纬圏、地平、髙度并同】而其自相距亦等，故曰距等也【如黄道内外，或近或逺，处处可作距等圏，而皆与黄道平行，即其圏亦自相平行，故并为等距】距等圏皆小于大圏【如黄道内外纬圏，但离数分，其围即小于黄道，其距益逺，其圏益小，小之极至一防而止，诸纬圏并然】不能与大圏为比例【大圏惟一，距等圏无数，无一同者，无法可为比例】故为比例者必大圏也。

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷七>如图，甲乙为大圏。大圏只一，丙丁及戊庚等皆小圏。小圏无数，渐近圎顶，己即其圏愈小，而成一防。大小悬殊，故不可以相为比例。

大圏之比例以度不拘丈尺凡圏皆可分三百六十度【每圏平分之成半周，四平分之成象限，象限又各平分之为九十度，成三百六十度】而球大者，其大圏大；球小者，其大圏小。皆以本球之围径自为比例，不拘丈尺【尽本球之围分为全周之度，其球上之度即皆以此为准。但在本球上为最大，故谓之大圏，非以丈尺言其大小】古人以八尺浑仪准周天，盖以此也。又如古浑仪原有三重，其在内之环周必小于外，而其度皆能相应者，在内环周虽小，而在内之浑员以此为大圏，即在内之各度并以此为准，故也。

大圏之度为公度凡球上距等圏，亦可平公三百六十度，而其圈皆小于本球之大圏。又大小不伦，则其所分之细度，亦皆小于大圈而大小不伦矣。惟本球腰围大圏上所分之度，得为公度，故凡言度者，必大圏也。

如图，甲乙为大圏一象限，丙丁及戊庚各为距等小圏一象限。象限虽同，而大小迥异。又如甲辛为大圈三十度，丙壬及戊癸亦各为小圏之三十度。其为三十度虽同，而大小亦异。再细攷之，至一度或至一分，亦大小异也。故惟大圏之度为公度。大圏即本球外周，其度即外周之度，而横直皆相等。平员有径有周，浑员亦有径有周。立浑员于前，则外周可见，即腰围之大圏也。旋而视之，皆可为外周，故大圏之横直皆等【皆以外周度为其度，故等】

如图，子午规为浑仪外周，其度三百六十，乃横度也。地平为腰围，度亦三百六十，乃横度也。横度、直度，皆得为外周，故其度相等。若依北极论之，则赤道又为腰围，而亦即外周也。推是言之，浑球上大圏从、衡、斜、侧皆相等。何则？旋而视之，皆得为腰围，即皆得为外周故也。大圏上相遇，有相割，无相切。大圏相割，各成两半分。球上从衡斜侧既皆成大圏则能相割矣。而皆为浑员之外周，则必无相切之理【若相切者，必在外周之内为距等小圈】

如图，甲丙乙为大圏半周，能割大圏于甲，于乙，而不能相切。丙丁成小圈，则能切大圏于丙，于丁。

如图，甲庚辛乙为大圏半周，割外圏于甲，于乙，则甲己乙，乙子甲，亦各成半周。若壬癸距等圏，割大圏于庚，于辛，而庚辛非半周。球上两大圏相割，必有二处。此二处必相距一百八十度，而各成两平分。如黄赤二道相交于春分，必复相交于秋分。即二分之距，必皆半周一百八十度，而黄道成两半分，赤道亦两平分也。若距等圏与大圏相割，必不能成两平方。

两大圏相遇则成角球上大圏既不平行，则其相遇必相交相割，而成角弧三角之法所由以立也。角有正有斜，斜角又有锐钝，共三种；而角两旁皆弧线，与直线角异。

如图，己午戊子为子午规，辛午乙子为地平规。两大圏正相交于南地平之午，北地平之子，则皆正角，而四角皆等，并九十度角也【正角，一名直角，一名十字角，一名正方角】

如图，午辛子为地平规，丁辛癸为赤道规，两大圏斜相交于辛，则丁辛子钝角大于九十度，丁辛午锐角小于九十度，两角相并一百八十度，减锐角其外角必钝，若减钝角亦得鋭角也，故有内角即知外角。又两锐角相对，两钝角相对，其度分必等，故有此角即知对角。凡此数端，并与平三角同，然而实有不同者，以角两旁之为弧线也。

弧线之作角必两直线剖平员作角形，如分饼角，旁两线皆半径，至周而止。弧线剖浑幂作角形，如剖▯角，旁两弧线皆半周，必复相交作角而等【如黄赤道交于二分，其角相等】角有大小，量之以对角之弧，其角旁两弧必皆九十度。弧线角既如▯瓣，则其相距必两端狭而中濶。其最濶处必离角九十度。此处离两角各均，即球上腰围大圏也。故其度即为角度【如黄赤道之二分交角二十三度半，即二至时距度。此时黄赤道离二分各九十度，乃腰围最濶处也】

大圈有极大圏能分浑员之面幂为两，则各有最中之处，而相对，是为两极。两极距大圏四靣各九十度。

如图，甲辛乙为赤道大圈，己为北极，己为南极，甲己、丁己等弧线距北极各九十度，距南极亦然。若己为天顶，甲辛乙为地平大圏，亦同。如甲正北，辛正东，乙正南，丁东北，丙东南，所在不同，而甲乙等髙弧距天顶各九十度，皆等。大圏上作十字弧线，引长之必过两极。两极出弧线至大圏，必皆十字正交。如赤道上经圏皆与赤道正交为十字角，则其圏必上过北极，下过南极也。然则从两极出弧线过赤道，必十字正交矣。

大圏之极为众角所辏如赤道上逐度经圏皆过两极，则极心一防为众角之宗【经圏之弧在赤道上成十字者，本皆平行，渐逺渐狭，至两极则成角形之锐尖】角无论大小，皆辏于极，而合成一防。离此一防外，即成锐钝之形，而皆与赤道度相应。所谓量角以对弧度，而角两旁皆九十度，以此。

如图，己为北极，即众角之顶鋭。其所当赤道之度，如乙丙等，则己角为鋭角；如丙庚等，则己角为钝角。若己为天顶，外圏为地平，亦然。角度与角旁两弧之度并用，本球之大圏度，故量角度者，以角为极。有弧线角，不知其度，亦不知角旁弧之度。法当先求本球之九十度【其法以角旁二弧各引长之，使复作角，乃中分其弧，即成本弧之九十度，而角旁弧之度可知】以角为心，九十度为界，作大圏【与角旁两弧并本球大圏，而其分度等】乃视角所当之弧【即角旁两九十度弧所界】于大圏上，得若干度分，即角度也。故曰以角为极。

三大圏相遇则成三角三边此所谓弧三角形也。如黄道、赤道既相交于二分，又有赤道经圏截两道而过之，则成乙丙甲弧三角形。

知图己为北极，戊辛为赤道，丁庚为黄道。二道相交于春分，成乙角。又己壬为过极经圏，自北极己出弧线，截黄道于丙，得丙乙边为黄道之一弧，亦截赤道于甲，成甲乙边为赤道之一弧。而过极经圏为二道所截，成丙甲边为经圏之一弧。是为三边，即又成丙角、甲角、合乙角为三角。

弧三角不同于平三角之理弧三角形有三角、三边，共六件。以先有之三件求余三件，与平三角同。所不同者，平三角形之三角并之皆一百八十度，弧三角不然。其三角最小者比一百八十度必盈【三边在一度以下可借平三角立算，因其差甚微，然其角度视半周必有微盈】但不得满五百四十度【角之极大者合之，以比三半周必不能及】平三角之边，小仅咫尺，大则千百万里。弧三角边，必在半周以下【不得满一百八十度】合三边，不得满三百六十度【如满全周，即成全员，而不得成三角】平三角有两角，即知余角；弧三角非算不知。平三角有一正角，余二角必锐。弧三角则否【有三正角，两正角者，其余角有钝有鋭，或两鋭，两钝，或一鋭一钝不等】平三角有一钝角，余二角必锐。弧三角则否【其余角或鋭或正或钝，甚有三钝角者】平三角以不同边而同角为相似形，同边又同角为相等形。弧三角则但有相等之形，而无相似之形，以同角者必同边也。平三角但可以三边求角，不可以三角求边。弧三角则可以三角求边【弧三角之边皆员度也，初无丈尺可言，故三角可以求边。若干三角边各有丈尺，则必有先得之边以为之例，所以不同。前条言有相等之形，无相似之形，亦谓其所得之度相等，非谓其丈尺等也】

弧三角用八线之理平三角用八线，惟用于角。弧三角用八线，并用于边。平三角以角之八线与边相比，弧三角是以角之八线与边之八线相比。平三角有正角，即为句股；若正弧三角形，实非句股，而以其八线辏成句股。平三角以角求边，是用弧线求直线也【有角即有弧】以边求角，是用直线求弧线也。然角以八线为用，仍是以直线求直线也，句股法也。弧三角以边求角，以角求边，并是以弧线求弧线也。而角与边并用八线，仍是以直线求直线也，亦句股法也【盖惟直线可成句股】所不同者，平三角所成句股形即在平靣，而弧三角所成句股不在弧靣，而在其内外。

弧三角之防线面体测量家有防线、面、体、弧、三角备有之。其所测之角，即防也。但其防俱在弧靣【如于浑球任指一星为所测之防，即角度从兹起。如太阳、太阴角度，并从其中心一防论之】弧三角之边即线也，但其线皆弧线【如浑球上任指两星，即有距线，或于一星出两弧线与他星相距，即成角，而角旁两线皆弧线也】弧三角之形，即靣也。但其靣皆浑球上面幂之分形。弧三角之所丽，即浑体也。剖浑员至心，即成锥体，而并以弧三角之形为底【详堑堵测量】浑员内防线面体与弧三角相应。前条防线面体俱在球面可以目视器测但皆弧线难相比例【比例必用句股句股必直线故也】赖有相应之防线面惟在浑体内厯员可指虽不可以目视而可以算得弧三角之法所以的确不易也。如浑球中剖则成平员即靣也于是以球面之各防【即弧三角之各角】依视法移于平员面即浑员内相应之防也又以弧与角之八线移至平面成句股以相比例是浑员内相应之线也。又如弧三角之三边各引长之成大圏各依大圏以剖浑员即各成平员面是亦浑员内相应之面也二平员面相割成▯瓣之体三平员面相割成三楞锥体若又依八线横割之即成堑堵诸体是浑员体内相应之分体也此皆与弧面相离在浑员之内非剖浑员即不可见而可以算得即不啻目视而器测矣。

大圏与浑员同心球上大圏之心即浑员之心【若依各大圏剖浑员成平员面其平员心即浑员之心】若距等小圏则但以浑员之轴为心而不能以浑员心为心。同心者亦同径【大圏以浑贠径为径若距等圏则但以通▯为径】浑体内诸线能与弧三角相应者以此【浑员体内诸线皆宗其径弧三角既以大圏相割而成必宗大圏之径径同故内外相应】弧三角之边不用小圏亦以此也【距等圏既与大圏异径则其度不齐不能成边而所作之角必非真角无从考其度分也】

弧三角视法弧三角非图不明，然图弧线于平面，必用视法，变浑为平。

平置浑仪，从北极下视，则惟赤道为外周不变，而黄道斜立，即成撱形。其分至各经圏，本穹然半员，今以正视，皆成员径，是变弧线为直线也。

立置浑仪，使北极居上，而从二分平视之，则惟极至交圏为外周不变，其赤道、黄道俱变直线为员径，而成辏心之角【即大距度平面角】是变弧线角为直线角也【又距等圏亦变横线而成各度正▯，与员径平行】其赤道上逐度经圏之过黄赤道者，虽变撱形，而其正▯不变，且厯算可见，如在平面而与平面上之大距度正▯同角，成大小句股比例，是弧面各线皆可移于平面也。故视法不但作图之用，即步算之法已在其中。以上谓之正视【以黄赤道为式，若于六合仪取天顶、地平诸线，亦同，他可类推】