方程论卷六

方程论卷六

方程御襍法算术之有方程，犹量法之有句股。必深知诸算术，而后能言方程；犹之必深知诸量法，而后能治句股。故以是终。诸方田少广，凡属量法者，往往有可以句股立算，而诸法不能治句股。方程之于粟布、差分也，亦然。故襍法不能御方程，而方程能御襍法。

例如后假如有粮一万九千石，▯与甲乙丙三县，各以其人戸多少，米价贵贱，僦值逺近，舟车险易，而均输之。甲县戸三万，米价毎石一两四钱，逺输二百里，用车载二十石，行一里僦值一钱三分。乙县戸二万，米价一两二钱，逺输五百里，用舟载二十五石，行一里僦值三分。丙县戸一万，米价一两二钱，逺输二百里，道险，可用负担，每负六斗，行五十里，顾值一钱八分。法曰：各以其县米价并僦值之数命其户，以方程较数列之。以甲县车载二十石除其僦值一钱三分，得六厘五毫【每载一石行一里数也】以乗二百里，得一两三钱，并米价一两四钱，共二两七钱。以乙县舟运二十五石除其僦值三分，得一厘二毫，以乗五百里，得六钱倂米价一两二钱，共一两八钱。以丙县负担六斗，除其顾值一钱八分，以乗一石，得三钱。又以五十里除之，二百里乗之，得一两二钱，并米价，共二两四钱。原法以各县米价并僦值之数以除其戸为衰列而并之，并衰为法，各衰乗总米为实，法除实，得各县米。今用方程则不湏尔，竟以二两七钱命甲县之衰为二十七戸，以一两八钱命乙县之衰为一十八户以二两四钱命丙县之衰为二十四户以三县衰命为适足而列之。

如三色有空法乗，余丙县异倂一百一十四戸为法，正三十四石二斗为实，法除实得丙县每戸粮三斗，以丙一戸三斗减共一石九斗，余一石六斗，乙县四戸除之得每戸粮四斗。以乙二戸八斗，甲县三戸除之，得每戸二斗又三分斗之二。各以每户率乗其县之戸，总得各县转。

计开甲县三万户，共粮八千石，共僦车值一万○四百两。毎户粮二斗六升六合又三之二，每三户粮八斗，每戸僦值三钱四分又三之二，每三户僦值一两○四分。总计米价与其僦值，每戸共银七钱二分。乙县二万户，共粮八十石。其僦船值四千八百两，每户粮四斗，僦值二钱四分。总计米价僦值，每户亦七钱二分。丙县一万户，共粮三千石，共顾担夫银三千六百两。毎户粮三斗，僦值三钱六分。总计米价僦值，每户亦七钱二分。

以米言之论曰：此因米价不等，加以僦值不同，故以法均之。粮虽不均，而每户所出之银数则均。若但均其米，乃不均矣。是故均之以不均，斯谓能均。问：官米二百六十五石，令三等人户出之。甲上等二十户，每户多中等七斗；乙中等五十戸，每戸多下等五斗；丙下等一百一十戸，其则例各若干？法以和较列位【依省算以和数十之一列之】

如法乗减，得丙戸十八为法，二十一石六斗为实，法除实得一石二斗为下等每戸则例，加正五斗为中等则，又加七斗为上等则。

计开甲上等毎戸二石四斗，二十戸共四十八石。乙中等毎戸一石七斗，五十戸共八十五石。丙下等，每戸一石二斗，一百一十戸，共一百三十二石，合计之，共二百六十五石。问：有米六百七十四石，以四等里甲输纳。乙为甲十之八，丙为乙十之七，丁为丙十之六。其甲乙各八十戸丙丁各七十户，问各若干？解曰：十之八，卽非二八差分；十之七，十之六卽非三七四六差分。故与带分条所设不同，合而观之可也。

法以和较列位如法乗减，而重列其余，与三行对。

又以余数与四行平列数益多，用省算法，四除减余，然后列之。

如法乗减余丁六百七十四爲法，五万六千六百一十六石无减爲实，法除实得八十四石爲丁共数，十因丁数六除之爲丙共数，十因丙数七除之爲乙共数，十因乙数八除之爲甲共数。

计开甲共数二百五十石，以八十户除之，得毎户三石一斗二升五合。乙共数二百石，爲甲十之八，以八十户除之，得毎户二石五斗。丙共数一百四十石，爲乙十之七，以七十戸除之，得每户二石。丁共数八十四石，爲丙十之六，以七十户除之，得每户一石二斗。总计之，共六百七十四石。论曰：此所问是总数相差，非毎户相差也。故原列者总户而得，亦总户之米。若云问毎户之差，则当以毎户列之，而所得者亦毎户米也。如后例。假如共米六百七十四石，以四色人户出之：甲八十户，乙亦八十户，乙毎户如甲十之八；丙丁各七十户，丙毎户如乙十之七，丁毎户如丙十之六。

问各户则例法以戸细数列位依省算，以首行退位十而一，与次行对减，而重列之。又半其减余，然后列之，与三行对。

又列减余以对末行如法乗减异，并一千二百九十二为法。一千四百一十五石四斗无减为实。法除实，得一石○九升又三百二十三之一百七十八为丁，毎戸则例【法实皆四约之】十因丁则，六除之，得一石八斗二升，又三百二十三之一百八十九为丙，每户则例。十因丙则七除之，得二石六斗○又三百二十三之二百七十为乙，每户则例。十因乙，则八除之，得三石二斗六升，又三百二十三之十四半为甲，每戸则例。

计开甲每户三石二斗六升，又三百二十三之十四半，八十户共二百六十石○八斗三升，又三百二十三之一百九十一。乙每户二石六斗，○又三百二十三之二百七十，为甲每户十之八。八十户共二百○八石六斗六升，又三百二十三之二百八十二。丙，每户一石八斗二升，又三百二十三之一百八十九。

为乙每户十之七七十戸共一百二十七石八斗，○，又三百二十三之三百一十。丁每户一石○九升，又三百二十三之一百七十八，为丙每户十之六。七十户共七十六石六斗八升，又三百二十三之一百八十六。合计共六百七十四石【凡六百七十三石九斗七升，又九百六十九分以三百二十三収之为升，得此数】问：有均分两银，庚以其五之二与甲，则甲之数多于庚一百六十八两；若以甲二十一之九与庚，则庚之数多于甲一百八十两。原数几何？法以所用益彼之分与此所存之余分相减而列之【庚与甲五之二，庚自存五之三】相减余五之一【是为以庚五之一较甲全分，而甲多一百六十八两也】

【甲与庚廿一之九　甲自存廿一之十二】相减余二十一之三【是为以甲二十一之三较庚全分而庚多】【一百八十两也】庚虽自存五之三，而甲股内有庚所与之二，故以相减，而余之一分与甲相较。甲虽自存二十一之一十二，而庚股内有甲所与之九，故以相减，而余之三分与庚相较。

甲一百○二分为法，除实一千○二十两，得十两为甲之一分，二十一分共二百一十两，减负一百六十八两，余四十二两爲庚之一分，五分亦共二百一十两。

计开【庚甲】各原银二百一十两【庚五之二计八十四两，其五之三仍一百二十六两；甲二十一之九计九十两，其二十一之十二仍一百二十两】庚以八十四与甲【甲共有二百九十四，庚仍余一百二十六】相较，甲多一百六十八。甲以九十与庚【庚共有三百，甲仍余一百二十】相较，庚多一百八十，此设问之意也。以【庚之一分，四十二甲全分二百一十】相较，甲亦多一百六十八。以【甲之三分计三十，庚全分二百一十】相较，庚亦多一百八十。

此列位之理也论曰：右例以此之分益彼，而转与此之余分相较，与帯分条所设不同。带分条，此之分较彼全分，其全分即是原数。今则一损一增以相较，非原数也，故曰不同。及其相减而列为较数也，则亦是此之分较彼原数矣。是之谓尾同而首异。相减列位，亦有变为和数者，如后所设。问：有两银，庚以其五之三与甲，则甲之数多于庚二百五十二两；若以甲廿一之十三与庚，则庚之数多于甲二百六十两。法亦以所与彼之分与其余分相减列之。庚【与甲五之三自存五之二】相减，余五之一【此为所用之分多于存分，是变和数也。庚五之一偕甲全分，共二百五十二两也】甲【与庚二十一之十三自存二十一之八】相减，余二十一之五【此亦用分多存分少，是变和数也。甲二十一之五偕庚全分，共二百六十两也】甲所以多如许者，不惟其全数之故，其所得于庚之分，又多于庚之余分者一也。故甲所多之数，乃是甲全数偕庚之一分所共也。庚所以多如许者，亦不惟其全数之故，其所得甲之分，又多于甲之存分者五也，故庚所多数，亦是庚全数偕甲之五分所共也。

甲一百分为法，除实一千，而得十两为一分。以甲五分计，五十两，减共二百六十两，余二百一十两为庚原银。五除之，得四十二两为一分。以减共二百五十二两，亦得二百一十两为甲原银。庚五之三计一百二十六两，以加甲银，共三百三十六两。内减去庚自存五之二，计八十四两，仍多二百五十二两。即是甲全数偕庚一分之数也。甲二十一之十三，计一百三十两，以加庚银，共三百四十两。内减去甲自存二十一之八，计八十两，仍多二百六十两，即是庚全数，偕甲五分之数也。论曰：右例以此之分偕彼全分而为和数，亦与带分和数同。然以相减而得之，亦是尾同首异。带分条和数较数据问而分，今则设问只是较数相减，列位乃有和较之分。依例推之，亦有变为一和一较者，皆以所用之分与所存分相减而得之。列位时巳变，不待其重列减余也，故又与寻常较变和者异。总论曰：「此二条者，皆一损一益例也。」问：金九锭，银十一锭，其重适等。若交易其一，则银多十三两。其原重若干？法以相差十三两半之得六两五钱为一锭之较。解曰：交易一锭而差，是一多一少，故半之为一锭之较。银得较而增重，故与金同名。

银二锭，除实得银，每锭重二十九两二钱半，加正六两五钱，得金，每锭三十五两七钱半。

计开金每锭三十五两七钱五分，金九锭【得三百二十一两七钱五分】银每锭二十九两二钱五分，银十一锭【亦得三百二十一两七钱五分】金八锭二百八十六两，加银一锭，共三百一十五两二钱半。银十锭，二百九十二两半，加金一锭，共三百二十八两二钱半。共多一十三两。若交易二锭而差二十六两，则以二锭倍作四锭除之，亦得六两五钱为一锭之较，余可类推【或半相差二十六两为一十三两，命为金二锭，银二锭之较，尤为平穏】论曰：此条旧列差分，同文算指改立借衰互徴之法，皆不知宜入方程也。凡以两家之数相交易，而差若干，皆半其所差而列之，为所交易之较。何也？一增一减，而差若干，则原所差者，其半也。问：甲有硃砂银七锭，壬有鑛银九锭，相较，甲原多十五两。今以甲二锭易壬三锭，则甲多二十七两。法以原多十五两，今多二十七两，相减余十二两，半之得六两，为甲二锭、壬三锭之较【甲得较而增重，故与壬同名】

壬三锭除七十二两得壬，每锭二十四两。以九锭乗得二百一十六两，加正一十五两，共二百三十一两。甲七锭除之，得每锭三十三两。

计开甲以二锭与壬，余五锭一百六十五两，加易得壬三锭七十二两，共二百三十七两。壬以三锭与甲，余六锭一百四十四两，加易得甲二锭六十六两，共二百一十两。

相较甲多二十七两此问意也问：甲银七锭，壬九锭相较，壬原少十五两，今以一锭相交易，壬多三两。法以原少十五两，今多三两，并得十八两，而半之得九两，为一锭之较【壬得之而变轻为重，故与甲同名】

壬二锭除四十八两，得每锭二十四两。加九两，得甲每锭三十三两。

计开甲六锭一百九十八两，加壬一锭二十四两，共二百二十二两。壬八锭一百九十二两，加甲一锭三十三两，共二百二十五两。相较壬多三两。此交易一定之数。余同前问。论曰：此三问皆同法。第一问盈偕适足，故即用原数；第二问两盈，故相减；第三问盈偕不足，故相并。然皆半之为较，故三法一法也。又按，于七锭中取一，即七之一，同带分之理，故又作问明之。问：有金不知总，任意分为二而较之，则庚多八两。湏令辛以金还庚，如庚存数三之二；庚亦以金还辛，如辛存数四之三，则其数适均。法以庚自存三分，今添二分，共五；以辛自存四分，今添三分，共七。通为两家适足数之分。又以多八两半之四两命为庚所添二分辛所添三分之较【辛失之而减重故与辛同名】解曰：合而观之，庚以五之二，辛以七之三，相交易则庚多八两。若还其原数，庚仍为五分，辛仍为七分，则适足也。

辛一，分得二十两；七分共一百四十两，五除之，得庚之一分二十八两。

计开其相易【庚二分五十六两，辛三分六十两】较之辛多四两，即相易几锭之理。总论曰：此皆两相交易也。又与庚甲损一益一者不同。凡损一益一者，损庚之几分与甲，则甲有增数，而转以甲之既增者与庚之余数相较也。损庚益甲以相较，是明有增损。今两相交易，则损庚之分，与辛亦损辛之分，与庚然后以既损且增之庚，与亦增之辛相较也。两相交易，则末尝明有增损，但以相易之数不同，而增损隠寓于其中。以上四条，皆同此论。问：两数不知，总但云，取甲之九加乙，则乙与甲等；若取乙之九加甲，则甲倍于乙。其原数各若干？

畣曰甲六十三　乙四十五解曰：云取甲之九加乙，是损甲之九而益乙以九也；取乙之九加甲，是损乙之九而益甲以九也。与刋误条所举甲乙二仓法不同，彼是取甲仓几何以益乙，而共得几何，不言与甲仓较；取乙仓几何以益甲，而共得几何，亦不言与乙仓较。是所益者有増数，而所取者无损数如云，以此之全数偕彼之几分而共得几何？乃和数也。今所列者乃较数也。益此损彼，则相较几何？故不同也。然又与带分条较数不同，彼是取彼几分与此全数较，今所列者是取彼几数加此，而转与彼之余数较，当细辨之。又，此是以数相增损，而得其相较之分。前数条则是以分相损增，而得其相较之数。

二者大异不但与带分条别也法以所加之九数，命甲乙所相当之数乗之，为较数，列位。甲倍乙，是甲二，乙一，合之则三，以乗九，得二十七，为较。甲得此而当倍乙，故与乙同名。甲乙等是各一也，合之则二，以乗九得十八为较。乙得此而与甲等，故与甲同名。

余乙一为法并四十五为实法一即以四十五命为乙数异加十八得六十三为甲数试更列之同减余甲一为法，异并六十三为实。法一，即以六十三为甲原数；异加正二十七，共九十，乙二除之，得四十五为乙原数。论曰：此难题设问也。《算法统宗》收入均输，另有求法。《算海》説详推论，借银相当，加半倍者不可通用，因别立术。然复未确，不如用方程之为无弊。又论曰：甲与乙九而相等，是甲多于乙者二九也。乙与甲九而甲倍于乙，是倍乙多于甲者三九也。何也？甲得乙九数，而后当倍乙，则倍乙中各除九数，共二九，而甲又添九数，岂非三九乎？问：甲乙银不知数，但云甲借乙六钱五分，则比乙一有半；乙借甲六钱五分，则乙与甲等。各原银若干？法以甲一乙一有半并之，共二半，以乗六钱五分，得一两六钱二分半，为乙一有半多于甲之较。以甲乙相等各一，并之共二，以乗六钱五分，得一两三钱，为甲多于乙之较。

乃列之同减余半，乙为法，异并二两九钱二分半为实。法除实，得五两八钱五分，为乙银。异加正一两三钱，共七两一钱五分，为甲银。

计开甲原银七两一钱五分乙原银五两八钱五分相差一两、三钱。若损甲之六钱五分以加乙，则各得六两五钱，是相等也。若损乙六钱五分，余五两二钱；益甲六钱五分，得七两八钱。是甲之数如乙一有半也。若以乙原银加半，得八两七钱七分半，以与甲原甲原银相较，则多一两六钱二分半。论曰：甲以六钱五分借与乙，而相等，是甲原多乙两个六钱五分也。乙以六钱五分借与甲，而甲如乙一有半，是一个半乙原多于甲两个半六钱五分也。何也？甲取乙六钱五分，而后能当乙有半，则此一个半乙共减去一个半六钱五分，甲又加一个六钱五分，岂非共差两个半六钱五分乎？又论曰：此即算海説详所设之问，以驳统宗者。彼自立术，以为当矣，不知其宜用方程也。

试更设问以明之今有二数，不知总，但云丙与丁二数则相等，若丁与丙二数，则丙如三丁，问原数各若于？依前术列位【合丙丁各一共二，以乗二得四，为丙多于丁之较；合丙一丁三共四，以乗二得八，为三丁多于一丙之较】

同减余丙二为法，异并二十为实，法除实得一十为丙数，同减负四余六为丁数。

计开丙原数十　原多于丁者四丁原数六，三之则十八，多于丙者八。若损丙之二以益丁，则各得八，故相等。若损丁之二以益丙，则丙得十二，丁得四，故丙如三丁。论曰：丙以二与丁而等，是丙多于丁者两个二也。丁以二与丙，而丙如三丁，是三丁之数共多于丙者四个二也。何也？丙増一个二，其三个丁各少一个二，共四个二也。又论曰：因算海説详，立术未确，故复设此以相攷。用方程能合彼问，而彼所立术殊不能通之，此问。问：戊己银不知数，但戊以五十两与己，则己如戊之倍；己以五十两与戊，如三己。依前术列位【并戊二己一共三，以乗五十，得一百五十，为二戊多于一己之较；并戊一己三，共四，以乗五十，得二百，为三己多于一戊之较】

同减余己五为法，异并五百五十两为实，法除实，得一百一十两为己银，异加正一百五十两，共二百六十两，戊二除之，得一百三十两为戊银，计开。戊原银一百三十两，倍之二百六十两，多于己一百五十两。己原银一百一十两，三之得三百三十两，多于戊二百两。

此列位之理戊加五十两，得一百八十两，己损五十两，得六十两，则戊如三己。己加五十两，得一百六十两，戊损五十两，得八十两，则己如戊之倍。

此则问意问：香炉二座，不知重。有一葢重百两，以加甲炉，则甲多于乙两倍；以加乙炉，则乙多于甲一倍。其炉各重若干？解曰：多乙两倍，是三倍也。甲得葢如三乙也。多甲一倍，是两倍也。乙得葢如两甲也。法以葢重为较而列之。甲得葢如三，乙是三乙之重于甲者如葢也，故与乙同名。乙得葢如倍甲，是两甲之重于乙者如葢也，故与甲同名。

炉同减余，乙炉五为法；较异并三百两为实，法除实，得六十两为乙炉重。异加一百两，共一百六十两，甲二除之，得八十两，为甲炉重。

计开甲炉八十两，加葢共一百八十两，则如乙炉重者三。乙炉六十两，加葢共一百六十两，则如甲炉重者倍。论曰：此与前所设戊己银数，以五十两损戊益己，而己倍于戊；以五十两损己益戊，而戊如二己，异何也？以五十两损彼益此，虽亦相差一百两，然非真有一百两之益，乃因彼之所损而合成其数耳。此之加葢，则实增一百两矣，而于彼又无所损，因炉葢乃两家公物，非若戊己之银必取诸彼以与此也，故其法不同。若改问各铸炉而均铸葢，则必于鑪重各加半葢，乃合原金得数，与戊己银同矣。问：调兵征倭，内有南北西三处兵马。南兵已知四万，其北兵为南兵与西兵二之一，西兵为南兵与北兵三之一，各若干？

法以南兵为西北之较而列之西兵得南兵而数倍于北，是倍北数而多于西兵者，数如南兵也。北兵得南兵，而数如三西兵。是三其西兵，而多于北者，亦如南兵也。

余北兵五为法，倂十六万为实，法除实，得三万二千为北兵数，异加正四万，共七万二千，西兵三除之，得二万四千为西兵数。

计开南兵四万西兵二万四千，偕南兵则六万四千，其二之一则如北兵也。北兵三万二千，偕南兵则七万二千，其二之一则如西兵也。论曰：此与香炉借葢为较同，其所用较乃是南兵，而非取于西北兵，故得之有增而不得无损。与借物于彼而转与其所借之余物相较者不同。问：二人擕银不知数，但减乙六两与甲，则甲倍于乙；减甲三两与乙，则相等。其原数若干？解曰：此所损益，又是不同之数，然其理则一，故亦依前术乗其较数而列之【合甲一，乙二，共三，以乗六两，得十八两，为倍乙多于一甲之较；合甲乙各一，共二，以乗三两，得六两，为甲多于乙之较】

列位同减余乙一为法，异并二十四两为实。法一即以实为乙数，异加六两为甲数。

计开乙二十四两，倍之得四十八两，多于甲一十八两。甲三十两，原多于乙六两。若损乙六两，得十八两；加甲六两，得三十六两。是甲如乙之倍。若损甲三两，加乙三两，各得二十七两，则相等。问：二商各携母银，但云取乙十二两与甲，则乙有甲六之一；取甲十五两与乙，则甲有乙十之一。依前术列位【并六与一共七，以乗十二两，得八十四两，为六乙多于一甲之较；并十与一共十一，以乗十五两，得一百六十五两，为十甲多于一乙之较】

同减余甲五十九为法，异并一千○七十四两为实，法除实得一十八两又五十九之一十二为甲数，异加正八十四两，共一百○二两【又五十九之一十二】乙六除之得一十七两【又五十九之二】为乙数。

计开甲银一十八两【又五十九之一十二】十之则一百八十二两【又五十九之二】多于乙者一百六十五两。乙银一十七两【又五十九之二】六之则一百○二两【又五十九之一十二】多于甲者八十四两。若损乙一十二两与甲，则甲有三十两【又五十九之一十二】乙仅有五两【又五十九之二】而乙于甲为六之一。若损甲一十五两与乙，则乙有三十二两【又五十九之二】甲仅三两【又五十九之一十二】而甲于乙为十之一【以五十九通二两得一百一十八，加子二从之，共一百二十，是三十两又五十九之一百二十，岂非十倍于甲乎】论曰：乙得甲六之一，是六乙当一甲也。然必损乙之十二两与甲，而后成此数。是于一甲中添十二两，而于六乙中各减十二两也。一添一减，共七个十二两，是为八十四两也。甲得乙十之一，是十甲当一乙也。然必损甲之十五两与乙，而后成此数。是于一乙中添十五两，而其十甲中皆各减十五两也。一添一减，共十一个十五两，是为一百六十五两也。损乙之十二两与甲，而乙为甲六之一。若其原数，则以六乙当一甲，而乙多八十四两矣。损甲之十五两与乙，而甲为乙十之一。若其原数，则以十甲当一乙，而甲多一百六十五两矣。问：有两数，不知总。但损甲六数与己，则甲如己四之三而多二数；若以己之二十损与甲，则己如甲四之三而少五数。其原数各几何？法以四甲三己共七乗六得四十二，又以四甲乗多二数得八而益之，共五十为四甲多于三己之数【损甲六益己，故较与甲同名，其二数甲所多也，故以之益数】以四己三甲共七乗二十得一百四十，又以四己乗少五数得二十，以相减余一百二十为四己多于三甲之较【损己二十，益甲故较与己同名；其五数，巳所少也，故以之减较】

己同减余七为法，异并六百三十为实，法除实，得九十为己原数，四因己数，同减一百二十余二百四十，甲三除之，得八十为甲原数。

计开甲八十己九十以列位之理言之甲四共三百二十，己三共二百七十，是甲多五十。甲三共二百四十，己四共三百六十，是己多一百二十。

以问之意言之甲损六数，余七十四；己加六数，共九十六。以九十六四分之，而取其三，得七十二。是为甲如己四之三，而多二数。己损二十余七十，甲加二十共一百。以一百四分之而取其三，得七十五。是为己如甲四之三而少五数。论曰：以甲当己四之三，是四甲当三己也。然必以六数减甲，增己而成，则是四甲中各减六，而三己中各增六，共四十二也。以甲当己四之三而多二数，则以四甲当三己而共多八数也。合而观之，此四十二者，四甲多于三己之数也；此八数者，亦四甲多于三己之数也。故皆与甲同名而列，其较为五十也。以己当甲四之三，是四己可当三甲也。然必以二十减己，增甲而成，则是四己中各减二十，而三甲中各增二十，共一百四十也。以己当甲四之三而少五数，则以四己当三甲而共少二十也。合而观之，此一百四十者，四己多于三甲之数也，与己同名也；而其二十者，则四己少于三甲之数也，与己异名也。故以相减而余者列为己同名之较也。损甲六数与己，而甲如己四之三，仍多二数。若其原数，则以四甲当三己，而共多五十矣。损己二十与甲，而己如甲四之三，却少五数。若其原数，则以四己当三甲，而共多一百二十矣。问：有三数，损甲一百，益乙，则甲如乙六之二；若损乙五十，益丙，则乙如丙十五之九；若损丙三十，益甲，则甲如丙二之一，而少五。数各若干？法以甲六乙二共八以乗一百共八百为六甲当二乙之较【损甲益乙故与甲同名】以乙十五，丙九，共二十四，乗五十，得一千二百，为十五乙，当九丙之较【损乙益丙，故与乙同名】以丙一、甲二共三乗三十，得九十。又以甲二乗少五数，共十而加之，共一百。为一丙当二甲之较【损丙益甲，故与丙同名。其甲所少五数，即丙所多也，故亦与丙同名】

如法逓减，余丙五十四为法，异并三万七千八百为实，法除实，得七百为丙数，丙数同减一百，余六百，甲二除之，得三百为甲数，六因甲数，一千八百同减八百，余一千，乙二除之，得五百为乙数，十五乗乙数，得七千五百同减一千二百，余六千三百，丙九除之，仍得七百为丙数【反覆相求列位之理着矣】

计开甲三百乙五百丙七百甲损一百余二百，乙增一百得六百，是甲为乙六之二。乙损五十，余四百五十，丙增五十得七百五十，是乙为丙十五之九。丙损三十余六百七十，其二之一则三百三十五；甲增十得三百三十，是甲为丙二之一而少五数。问：二人共数一百，原所得之数不均。今以甲三之一与乙五之一相易，则适均。其原所得若干？法以三分通甲，数损一与乙，而存其二分；又以五分通乙，数损一与甲，而存其四分。

乃以和数列之乙七为法，余五十为实，法除实，得七又七之一为乙之一分，以乙分母五乗之，得三十五又七之五【为乙数】以减一百，得六十四又七之二为甲数，计开甲六十四【又七之二】其三之一为二十一【又七之三】其三之二为四十二【又七之六】乙三十五【又七之五】其五之四为二十八【又七之四】其五之一为七【又七之一】以甲三之一加乙五之四，五十也；以乙五之一加甲三之二，亦五十也。论曰：此以分相增损而为和数，亦与刋误条甲乙二仓异。彼是以其全数偕彼防分，此则以所存之余数偕彼几分也。既云相易，则实有增损，非如甲乙仓虚借增率而无损也。问：二人物数不均，若于甲取三之一，于乙取四之一，以和合而平分之，以凑原存数，则各五十而适均，其原数各若干？法以三分通甲数而倍之，为六分，损其一与乙，余五分；以四分通乙数而倍之，为八分，损其一与甲，余七分。以和数列位。解曰：以四之一与三之一和合而平分之，是各取其数之半也。于三之一取其半，是六之一，以与乙，而甲余其五也；于四之一取其半，是八之一，以与甲，而乙余其七也。

偏乗对减以得法实，法除实得五又十七分之十五，为乙八之一。以乙分母八乗之，得四十七又十七分之一，为乙原数。以两五十共一百减乙原数，余五十二又十七分之一十六，为甲原数。

计开甲原数五十二【又十七分之十六】三除之得十七【又十七分之十一】为甲三之一。以三之一转减甲，余三十五【又十七分之五】为甲所存三之二。乙原数四十七【又十七分之一】四除之得十一【又十七分之十三】为乙四之一。以四之一转减乙，余三十五【又十七分之五】为乙所存四之三。以甲三之一，乙四之一和合之，共二十九【又十七分之七】半之得十四【又十七分之十二】为和合平分之数，以加甲乙存数，各得五十。论曰：甲去三之一，乙去四之一，所存之数已均矣。故以平分之数加之，而适均。

又法以甲分母三，通甲为三分；以乙分母四，通乙为四分。又总计各得五十六，共一百为和数。以甲取三之一，余三之二，乙取四之一，余四之三，命为适足【甲取三之一，乙取四之一，以和合平分而等，则其所存者亦等也，故命之适足】乃以和较杂列位。

如法乗甲同减尽，乙异并一十七分为法，正二百无减就为实，法除实得一十一又十七之十三为乙之一分，以分母四乗之得四十七又十七分之一为乙原数，以乙原数减共数一百余五十二又十七分之十六。按，此所得与前无异，而较捷，故并存之。问：甲、乙、丙三人共博，甲赢乙金二之一，乙赢丙金三之一，丙又赢甲金四之一。事毕，各剰金七百，其原携金若干？法以各分母通其原数，又各减其赢去之一而列之【以七百为和数】

和数列位如法减并，丙七分为法，二千一百为实，法除实，得三百为丙之一分，以丙分母三乗之，得九百为丙原金，以丙之一分减乙，剰七百余四百为乙所余二之一，二因之，得八百为乙原金，以乙二之一减甲，剰金七百余三百为甲自剰四之三，三除之，得一百为甲三之一，四乗之，得四百为甲原金计开甲原金四百，加赢乙四百【二之一也】共八百。除丙又赢去甲一百【四之一也】仍余七百。乙原金八百，加赢丙三百【三之一也】共一千一百。甲赢去四百【乙二之一也】仍余七百。丙原金九百，赢甲一百【四之一也】共一千；乙赢去三百【丙三之一也】亦仍余七百。论曰：此与刋误条「骡马逓借一匹」同。但马一、骡二、驴三，即是原物偕所借之一，而为和数。今乙一、丙二、甲三，却是各所存之余分偕所赢之一分，而为和数也。得数大异者，马、骡即是全数；今则用分，故丙之全数转多于乙。若以一分计，则乙之分自多于丙，如马力之于骡矣。又论曰：此三条皆是两相交易，而又是和数，与前数条金银交易几锭不同。难题歌曰：「一条竿子，一条索。索比竿子长一托。双折索子去量竿，却比竿子短一托。」

解曰一托者五尺也法以零整襍列位，因双折是二之一，故以二通索。

法一，即以实一丈命为绳之一分，分母二，因之得绳长二丈，减负五尺，余得竿长一丈五尺。假如有绳长不知数，但云比竿长六尺，若三折其绳，则短于竿八尺。

法二：除实三丈，得竿长一丈五尺。加正六尺，得绳长二丈一尺。论曰：原法别有求法，然不如方程穏捷，故作此问以明之。若用难题法，不能通矣。故方程能御杂法，而杂法不能御方程。《此条统宗原入均输，今改正》问：井不知深，先将绳折作三条入井，汲永，绳长四尺；复将绳折作四条入井，亦长一尺。其井深、绳长各若干？法以两母【三四】相乗得十二分为绳母数，以母【三四】互乗其子【之一之一】得【四三】是为以绳十二分之四汲水而长四尺，以绳十二分之三汲水而长一尺也。

余一分为法，即以实三尺命为绳，十二分之一，以十二分乗一分，得三十六尺为绳长。以绳之三分计九尺，同减负一尺，得八尺为井深。

计开井深八尺绳长三十六尺三折之，得一十二尺。比井多四尺。

四折之得九尺　　　比井多一尺论曰：此条原属盈朒，今以方程御之，尤简易，故曰方程能御杂法也。

试更之则先得井深法一：省除，即以八尺命为井深，加正四尺，共十二尺，绳之四分除之，得三尺为一分，一十二分母乗之，得绳长三十六尺。论曰：此余八尺者，即物实也。前以余三尺为绳长，实者即人实，即此可悟盈朒章作法之原。要之，是二色方程法耳【人实物实不同，而除法则同，故皆可以互求】今有绢一疋，欲作帐幅，先折成六幅，比旧帐长六寸，改折作七幅，却又短四寸，其绢并旧帐幅各长若干【折作六幅以较长即六之一，七幅即七之一】法如前以【六七】幅相乗得四十二分为总母，以【六七】互乗其【之一之一】得【之七分之六分】为所用之分而列之【以绢四十二之七则长于帐六寸，以绢四十二之六则短于帐四寸】为较数。

法一，实一尺即为绢之一分，以分母四十二乗之，得绢长四丈二尺，以绢之七分计，七尺减负六寸，余六尺四寸，为旧帐之长。

计开旧帐幅六尺四寸绢长四丈二尺均作六幅得七尺　比帐长六寸均作七幅得六尺　比帐短四寸论曰：此与井不知深，皆是以一物之细分与一整物较，皆零整杂用之法也。又以上三条盈朒章旧有求法，然皆因所较之井深与旧帐幅皆为一数而不变，故可用盈朒之法。若亦有分数不同，则非盈朒所能御。此方程之用，能包盈朒诸法，而诸法不能御方程。今有台不知髙，从上以绳缒而度之，及台三之二而余六尺，双折其绳度之，及台之半而不足三尺，问台之髙及绳之长若何？

法以台【三二】之【二一】用母相乗为母之法通台为六分　又用母互乗子为子之法变台三之二为六之四台之半为六之三　又以双折通绳为二　皆以化整为零而列之余绳二分为法，并三十尺为实因二为分母，与法同省除与乗，径以实三十尺为绳长减负六尺，余二十四尺，以台之四分除之，母六乗之，得三十六尺为台髙。

计开台髙三十六尺绳长三十尺台三之二，髙二十四尺。以绳度之，余六尺。台之半，髙一十八尺，以半绳一十五尺比之，短三尺。今有井不知深，以乙绳汲之，余绳二尺；以庚绳汲之，亦余绳四尺。双折庚绳，三折乙绳，以相续而汲之，适足。问井深及二绳各长若何？

法以乙绳通为三　庚绳通为二以三色列之　井整数乙庚用分以隔行之同名，仍为较数列之余较皆与庚同名余庚一分为法　即以实一丈命为庚二之一　倍之得庚绳二丈　减负二尺得乙绳一丈八尺【用减余之右行葢乙正三即全数也】又减负二尺，得井深一丈六尺【用原列之右行，亦以乙负三即全数故】计开。

井深一丈六尺乙绳一丈八尺　比井多二尺庚绳二丈　　　比井多四尺三折乙绳，六尺；加双折庚绳，一丈，共一丈六尺，即同井深。论曰：此二条与前井深绢帐同理，然即非盈朒所能御。又按田之横直，亦可以绳折比量，水面亦然。今有直田，欲截一段之积，只云截长六歩，不足积七步；截长八步，又多积九步。问所截之积及原濶。法以较数列之【其原濶即截长每一步之积】

上　　　　　中　　　　　　下长二步，除积十六步，得原濶八步。以截长六步乗濶得四十八步，加不足七步，得截积五十五步。论曰：此盈朒中，方田也。然无闗于方田之实用，故入盈朒。然不知宜入方程也。

试更作问今有方田，欲截横头之积，改为直田。但云截濶五步，则不足十二步；截濶九步，则如所截之积一有半。问所截直田积，并原田之方。

如法列位濶一歩半为法，积十八歩为实，法除实，得原方一十二歩，以濶五歩乗方，得六十歩，加不足十二歩，得截直田七十二歩。

计开原方田方十二歩，积一百四十四歩。

截直田七十二歩　宜截濶六歩若此条则盈朒不能御今有米，换布七疋，多四斗，换九疋，适足。问原米若干，及布价？

法列位上　　　中　　　下布二疋为法，四斗为实，法除实，得布价每疋二斗，以九疋适足乗布价，得原米一石八斗。

论曰此盈朒中粟布法也试更设问今有谷换绢十疋，余三石。以谷之半换绢六疋，不足五斗。问原谷若干，及绢价？

法列位法一：免除。得绢，每疋价二石。以十疋乗价，加余三石，得原糓二十三石。

若此条则非盈朒所能御论曰：直田截积及米换布，盈朒本法也。愚所设方田截积及糓换绢，非盈朒本法也，乃带分盈朒之变例也【如旧法芝蔴粜银，是其例也】虽盈胸亦有求法，颇多转折，非其质矣，不如用方程之省约。今有芝蔴不知总，但云取麻八分之三，粜银十两，不足二石；取麻三分之一，粜银八两，适足。问原麻总数及每银一两之麻。

法先以麻【八　之三三　之一】用母相乗得二十四为母母互乗子得【之九之八】为所用之分而列之　依省算左加九之一而径减法一，两省除，即以麻二石命为银，每两之麻，以银八两，麻八分，适足省乗除，径以二石为麻之一分，以二十四分乗，得原麻四十八石。

计开原麻四十八石　　　　银毎两麻二石其八之三，计一十八石，银十两，该二十石，故不足二石。其三之一，计一十六石。银八两，恰该一十六石。故适足。若问麻每石之银，则以二石为法，转除一两，得每石价五钱。按此条宜入方程，旧列带分盈胸之末。问者若云：有银买麻，以麻八之三与之，则余二石；以麻三之一与之，适足。问原麻及银所买。

依法求得二石为麻之一分，以总母廿四分乗之，得原麻四十八石。以九分乗二石，减负二石，得银所买麻十六石。论曰：此所设问，则盈朒带分本法也。然不能知每价，以方程法求之，亦同。观此，益见前条之宜入方程也。今有黄连、木香，不知数。但云取连三之一，换木香七之二，则连多二斤。取连四之三，换木香五之四，则连少一斤。若于五之四内减去木香三斤，则连多一斤。

法先以通分齐其分乃列位如法乗减，余木香二十二分为法，异并黄连二十二斤为实，法除实，得每木香一分【即三十五分之一】换黄连一斤，以木香十分换黄连十斤，异加正二斤，共十二斤，以黄连正四分除之，得黄连每三斤为一分，以分母十二乗之，得总黄连三十六斤。另并黄连多一斤，少一斤，共二斤为法，除减木香三斤，得每黄连一斤换木香一斤半【原少连一斤，减木香三斤，而转多连一斤，故知其数】此连所换之木香一斤半，即其三十五分之一分也。以三十五分乗之，得木香五十二斤半。

计开黄连三十六斤木香五十二斤半每黄连一斤换木香一斤半三分三十六斤而取其一，得一十二斤，为黄连三之一；七分五十二斤半而取其二，得十五斤，为木香七之二。该换连十斤，今连有十二斤，是连多二斤也。四分三十六斤，而取其三，得二十七斤，为黄连四之三；五分五十二斤半，而取其四，得四十二斤，为木香五之四。该换连二十八斤，今连只二十七斤，是连少一斤也。若于木香五之四减三斤，余三十九斤，该换连二十六斤，今连有二十七斤，是连多一斤也。论曰：凡较数方程，有若干物共几色，又有其所较之价银若钱之类。今所用较数，即用其物之斤两，而无银若钱，微有不同。乃古者贸迁有无，交易之术也。专用银若钱以权物价，后世事耳。问：绫每尺多罗价三十六文，今买绫六尺，罗八尺，其共价，绫比罗少三十六文。畣曰：绫每尺一百六十二文，罗每尺一百二十六文。

罗二尺，除二百五十六尺，得罗价，每尺一百二十六文。加多三十六文，得绫价，每尺一百六十二文。问：银二千九百二十八两，买绫一百五十疋，罗三百疋，绢四百五十疋。只云绫每疋比罗多四钱七分，罗每疋多绢一两三钱五分。畣曰：绫每疋四两三钱二分；罗每疋三两八钱五分；绢每疋二两半。

绢九百疋，为法除实二千二百五十两，得绢价二两五钱。加多一两三钱半，得罗价三两八钱半。又加多四钱七分，得绫价四两三钱二分。今有兄弟三人，不知年。小弟谓长兄曰：「我年比汝四之三。次兄比汝六之五，比我多八歳。」

法以带分别之　皆变零从整季弟二，除一百四十四歳，得年七十二歳。加八歳，得仲兄年八十。六因仲年，五除之，得伯年九十六歳。

计开伯九十六歳，仲八十歳【为伯年六之五】季七十二歳【为伯年四之三】今有四人分钱，但云乙得甲六之五，丙得甲四之三，丁得甲二十四之十七。其丁与丙差四文。甲正五，乙负六。空，空。适足【此行不用，乙无对，故也】

丁四除二百七十二，得丁钱六十八文。

加四文得丙钱七十二文四乗丙，钱三除之，得甲钱九十六文。五乗甲钱，六除之，得乙钱八十文。

计开甲九十六文乙八十文丙七十二文丁六十八文甲六之一，得一十六，以五因，得八十文，为六之五乙数也。甲四之一，得二十四，以三因，得七十二，为四之三丙数也。甲二十四之一，得四，以一十七因，得六十八，为二十四之一十七丁数也。论曰：此虽四色，实三色也。故径以三色取之。今有七人逓差分钱，但知首二人共七十七文，次二人共六十五文，不知各数，亦不知余人数。法以逓差，故知倍乙当甲，丙倍丙当乙，丁而列之。

重列减余与三行　减余变较重列减余与四行丁八为法，除实二百四十八文，得三十一文，为丁数。倍丁数，与六十五文相减，得逓差三文。以差逓加得甲乙丙数，以差逓减，得戊己庚数。皆加减丁数得之。计开，甲四十文，乙三十七文，丙三十四文，丁三十一文，戊二十八文，己二十五文，庚二十二文。今有银二百四十两，以四人逓差分之。只云甲多丁一十八两。如前法，以倍乙当甲，丙倍丙当乙，丁又依省算，移甲于丁位。

和较列位重列两减余又重列减余与末行甲四除二百七十六两，得甲数六十九两。甲数内减十八两，得丁数五十一两。以甲数减二百四十两，余一百七十一两，丙三除之，得丙数五十七两。并丙数、甲数，一百廿六两，半之得乙数六十三两。计开甲六十九两，乙六十三两，丙五十七两，丁五十一两，逓差六两。今有米二百四十石，五人逓差分之。其甲乙二人，与戊丁丙三人共数等。如前法列位，依省算倒甲位，自下而上。

重列减余与三行又重列减余与四行又重列减余与末行甲十五除九百六十得甲数六十四石，倍甲数减一百廿石余得逓差八石，以差逓减各数得乙丙丁戊数。

计开细分之逓差八石论曰：凡差分章，竹筒七节盛米之类，皆可以此法求之。兹不烦列。

厯算全书卷四十五<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书