厯算全书卷六

厯算全书卷六

宣城梅文鼎撰厯学答问答祠部李古愚先生厯算之学，散见经史，固儒者所当知然其事既不易明，而又不切于日用，故学者置焉。博览之士，稍渉大端，自谓已足。欲如绛县老人，能自言其生之四百四十四甲子者，固已鲜矣，况能探讨其义类乎？明公夙夜在公，日懋勤于职业，而心闲若水，孜孜好学，用其心于人所不用之处，真不易得。鼎虽疎浅，无似敢不勉竭鄙思，以仰答下问之勤乎？谨条于左。问：授时大统二厯厯元，并嵗实积日日法诸数？按《厯元》云者，厯家起算之端也。然授时厯元之法与古不同，请先言古法。古人治厯必先立元，元正然后定日法，法立然后度周天。其法皆据当时实测，以验诸前史所传，又推而上之，至于初古之时，取其嵗月日时皆防甲子，又在朔旦而日月五星皆同一度，以此为起算之端，是谓厯元。自厯元顺数至今造厯之时，凡厯几何嵗月，是为积年。既有积年，即有积日，而此积日若用整数，则遇﨑零难以入算，而不能使厯元无余分，故必析此一日为若干分，使七曜可以通行，而上可以合厯元，下不违于实测，是为日法，即一日之细分也。用此细分，自一日积之，至于二百六十五日又四分日之一弱，使一嵗之日尽化为分，是为嵗实。古厯太阳每日行一度，则日法即度法。于是仍用此细分，自一度积之，至于三百六十五度又四分度之一弱，使其度亦尽化为分，是为周天。数者相因，乃作厯之根本。自汉太初厯以后，厯晋、唐、五代、宋、辽、金诸家厯法，代有改宪，然其规模次第皆大同而小异耳。

右古法厯元等项惟元授时厯不然，其説以为作厯当凭实测，而必逆推上古虚立积年，必将迁就其畸零之数以求密合，既有迁就，久则易差，故不用积年之法，而断自至元十七年辛巳嵗前天正冬至为元，上考往古，下验将来，皆自此起算，弃虚立之元，用实测之度，顺天求合一无迁就，可谓开拓万古之心胸者矣。至于大统，则以洪武十七年甲子为元，然特易其名而已，一切歩算皆本授时，名虽洪武甲子，实用至元辛巳也。

右授时大统厯元惟授时不用积年，故日法亦可不立，而径以万分为日。万分者，日有百刻，刻有百分，故一万也。古诸家厯法虽皆百刻，而刻非百分，其日法皆有畸零。授时以万分为日，竟是整数，故曰不用日法。然即此是其日法矣。

右授时日法大统同授时既以万分为日，故其嵗实三百六十五万二千四百二十五分。其数自辛巳嵗前天正冬至【即庚辰年十一月中气】积至次年壬午嵗前天正冬至【即辛巳本年十一月中气】共得三百六十五日二十四刻二十五分也。若逆推前一年，亦是如此【如是庚辰年十一月冬至逆推至巳卯年十一月冬至，亦是三百六十五日二十四刻二十五分】此嵗实之数，大统与授时并同。然授时原有消长之法，是其新意。其法自辛巳元顺推至一百年，则嵗实当消一分【依法推至洪武十四年辛酉，满一百年，其嵗实消一分为三百六十五日二十四刻二十四分】若自辛巳元逆推至一百年，则嵗实当长一分【依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑，满一百年，嵗实长一分为三百六十五日二十四刻二十六分】每相距増一百年，则嵗实消长各増一分，以是为上考下求之准。大统诸法，悉遵授时，独不用消长之法。上考下求，总定为三百六十五日二十四刻二十五分，此其异也。

右授时大统嵗实嵗实即一年之日数也，自一年以至十年、百年，共积若干，是为积日，亦谓之中积分【上考下求皆距至元辛巳立算】

假如今康熈庚午嵗相距四百零九算【自辛巳元顺推至今康熈庚午四百一十年法以积年减一得实距四百零九年】依授时法推得积日一十四万九千三百八十四日零一刻八十九分【因距算四百以上嵗实当消四分为三百六十五日二十四刻二十一分以乘距算四百零九得如上数是为庚午嵗前天正冬至上距辛巳嵗前天正冬至之积日若以日为万分则所得化为一十四亿九千三百八十四万零一百八十九分谓之中积分】大统法不用消长则积日为一十四万九千三百八十四日一十八刻二十五分【中积分一十四亿九千三百八十四万一千八百二十五分】两法相差一十六刻三十六分【以命冬至日辰授时得癸卯日丑初三刻大统得癸卯日卯初三刻　两法皆加气应】

右授时大统积日以上数端，并在歩气朔章，是太阳项下事也。其厯元七曜同用，乃根数所立之处也。问：授时、大统、二厯月法、转周、交周诸数？按月法者，即朔防也，亦曰朔实。其法自太阳、太隂同度之刻算至第二次同度，为两朔相距之中，积分平分之，则为望防，四分之则为▯防。望者，日月相望，距半周天；▯者，近一、逺三。上▯月在日东，下▯月在日西，皆相距天周四之一。授时朔防二十九万五千三百零五分九十三秒，即二十九日五十三刻零六分弱也。大统同。

右月法月平行，每日十三度有竒。然有时而疾，则每日十四度竒；有时而迟，则每日只十二度竒。是为月转。初入转则极疾，疾极而平，平而迟迟极，又平平而又疾。以此遂有疾初、疾末、迟初、迟未四限满，此一周谓之转终。授时转终二十七日五十五刻四十六分，大统同。

右转法月不正行黄道而出入其内外，故谓之交。交者，言其道交于黄道也。月行天一周，其交于黄道只有二处。其始从黄道内而出于其外，此时月道自北而南，在黄道上斜穿而过，谓之正交。自正交行九十一度【就整数】离黄道南六度。自此再行九十一度，又自黄道外而入于其内，此时月道自南而北，亦斜穿黄道而过，谓之中交。中交行至九十一度时，离黄道北亦六度。自此再九十一度，又自黄道内而出于其外，复为正交矣。其法以正交后半周为阳厯，中交后半周为隂厯。满此一周，谓之交终。授时交终二十七日二十一刻二十二分二十四秒，大统同。

右交道以上三端，朔防在歩气朔章，转终在歩月离章，交终在歩交防章，并太隂项下事也。

问授时厯有气应何义按气应为授时四应数之一，其法创立古厯所无也。古厯立元，皆起初古，故但有积年而无根数【即应数】授时既不立积年而用截算，不得不有四应数，以纪当时实测之数，为上考下求之根，而气应居一焉。气即中气节气，二十四中节皆始冬至，故气应者，即冬至相应之真时刻也。当时实测辛巳嵗前天正冬至，是己未日丑初一刻，故曰气应五十五万零六百分，即五十五日零六刻也。其法自甲子日为一数起，挨算至戊午日，得满五十五日，又加子正后六刻，则为己未日丑初一刻矣。气应之外，又有闰应，以纪经朔；转应，以纪月之迟疾；厯交应，以纪月之隂阳厯，亦是截算，皆实测辛巳年天正冬至气应【己未日丑初一刻】所得上距经朔及距入转距正交各相应之数也。依法推到辛巳年天正经朔三十四日八十五刻半，为戊戌日戍正二刻【在气应冬至前二十日二十刻五十分】及己未冬至气应，则为经朔之二十一日。凡此皆厯经所未明言，兹特着之。

问推歩交食之法按厯家之法，莫难于交食。其理甚精，其法甚备，故另为一章。若知交食，则诸法尽知矣。然必能推歩而加以讲究，然后能由其当然以知其所以然，是谓真知。茍未能然，则所知或未全耳。请言其槩：葢厯法代更，由疎渐宻，其验在于交食。约畧言之，有宜知者二端。其一，古者只用平朔，平朔者一大一小相间，故汉晋史志往往有日食不在朔而在朔之二日或晦日者。自唐李淳风麟徳厯始用定朔，至一行大衍厯又发明之，始有四大三小之月，而蚀必在朔，此是一层道理。其一，自北齐张子信积▯合蚀加时立入气加减，唐宣明厯本之，立气刻时三差，至今遵用，即授时厯之时差及东西南北差也，此又是一层道理。前一説由平朔改为定朔，其根在天，葢以日躔有盈缩，月离有迟疾，天上行度应有之差，天下所同也。后一説于定朔之外又立三差，其根在地，葢以日髙月卑，正相掩时，中间尚有空隙，人所居地靣不同，而所见亏复之时刻与食分之浅深随处各异，谓之视差，非天上行度有殊，而生于人目一方所独也。知此两端，而交食之理思已过半，即厯法古疎今宻之故，亦大槩可见矣。至于入算，须看假如诸书中具有成式，然但能依法推歩者，亦未必尽知其理，故谨以拙见畧疏大意，不知于来谕所谓已明其理者同异何如，统容晤悉。

问发敛加时之法发敛加时之法，按此即九章中通分法也。授时厯以一日为一万分整数，今欲均分为十二时，每时各得八百三十三分三三不尽，故依古法以十二通之。每一分通为十二小分，则日周一万通为一十二万，而每时各得一万，故每遇一万为一时也。然满五千亦进一时者，时分初正各四刻竒。厯家以子正四刻为今日，子初四刻为昨日，今满五千即是半时，以当子正之四刻，辏完昨夜子初之四刻而成一时，故命起子初算外，即丑初乃借算也【遇有五千进一时者，一时算外是丑初，二时算外是寅初，余仿此】若以一万为一时者，命起子正算外，即丑正乃本算也【无五千进一时者，一时算外是丑正，二时算外是寅正，余仿此】其取刻数，又仍以十二除之，何也？曰此通分还原也。时下零分，是以十二乘过之小分，今仍以十二除之，十二小分收为一大分，复还原数，则所存者即日周一万之分，而每百分命为一刻矣。一法加二，为时减二，为刻，即是前法，但以加减代乘，除非有二也。何以言之？乘法是两位俱动而数陞者，位反降；加法则本位不动，而但加二数于下位也；减二亦然。凡珠算十二除当一，归二除，今用减二，则本位不动，但于下位减二，即定身除也。台官不明算理，往往于此处有误，但知以加减代乘除，则了然矣。是故算数者，治厯之本也。又按「发敛」二字，乃日道「发南敛北」之谓。葢主乎北极为言，则夏至近极为「敛」，冬至逺极为「发」。而自冬至以至夏至，则由逺而近；自夏至以至冬至，则由近而逺。总谓之「发敛」。古诸家厯法，皆以「发敛」另为一章，其中所列为二十四气、七十二「▯」之类，而加时之法附焉。故曰「发敛加时」，言「发敛」章各节「▯」加时法也。元统作《通轨》，误以十二通分为「发」，十二除收刻为「敛」，则以「发敛」为算法之名，失其防矣。而《律厯攷》因之以讹，不可不知也。问以授时法，上推春秋鲁隠公三年辛酉嵗，距至元辛巳二千年，中积七十三万零四百八十九日，天正冬至六百零六刻，闰余二十九日四十八刻，经朔三十六日五十七刻。今依法以满甲子除中积而求冬至，则合；以月防除中积而求经朔，则不合，有一日三刻之差。其经朔应在冬至前耶？抑冬至在经朔前耶？按此，以百年长一之法上推往古，中积诸数，原自不错，惟求经朔闰余，则误加为减，故有一日三刻之差。而所以差者，由于未深明经朔闰余立法之源也。今具论之：经朔者，日月合朔之常日也；冬至者，日轨南至而影长之日也。日南至而影长，是日与天防也；日月合朔，是月与日防也。月防日，谓之一月；日防天，谓之一年。二者常不齐，此厯法所由起也。古厯十九年七闰，谓之一章。章首之年至朔同日，其余则皆不同日矣。故天正经朔常在冬至前，冬至常在经朔后。自经朔至冬至，其间所歴日时，谓之闰余。以闰余减冬至，得经朔；以闰余加经朔，得冬至。理数之自然也。

今自至元辛巳逆推隠公辛酉，法当以所得中积七十三万零四百八十九日，在位用至元闰应二十○日二十○刻半，减之余七十三万零四百六十八日七十九刻半，为闰积。以朔防二十九日五十三刻○五分九十三秒为法，除之得二万四千七百三十六个月，仍有不满之数四刻六十五分五十二秒，用以转减朔策，余二十九日四十八刻四十○分四十一秒，为其年之闰余分，即是其年冬至在经朔后之日数也。凡求经朔之法，当于冬至内减闰余。今推得其年冬至是六日零六刻，不及减闰余，故以纪法六十日加冬至而减之，得三十六日五十七刻五十九分五十九秒，为其年天正经朔，是庚子日子正后五十七刻半强也。复置经朔三十六日五十七刻五九五九，以闰余二十九日四十八刻四零四一加之，得六十六日零六刻，除满纪法去之，仍得六日零六刻，即是其年冬至，为庚午日子正后六刻也。庚午距庚子整三十日，即知其年冬至在次月朔，为至朔同日之年，而年前闰十二月矣。今误以闰余去减经朔为冬至所以差一日三刻也【经朔二十六日五十七刻内减去闰余二十九日四十八刻，余七日零九刻，以校先得冬至六日零六刻，实多一日三刻】问：闰月宜闰嵗前十二月乎？或闰正月乎？先儒辩之，今不得其解。按闰月之议，纷纷聚讼，大防不出两端：其一，谓无中气为闰月，此据左氏“举正于中”为説，乃厯家之法也；其一，谓古闰月俱在嵗终，此据左氏“归余于终”为论，乃经学家之诂也。若如前推，隠公辛酉冬至在经朔后三十日，宜闰嵗前十二月，即两説齐同，可无疑议。然有不同者，何以断之？曰：古今厯法原自不同，推歩之理踵事加宻，故自今日言厯，则以无中气置闰为安；而论《春秋》闰月，则以“归余”之説为长。何则？治《春秋》者，当主经文，今考本经书闰月俱在年终，此其据矣。问：至元辛巳至隠公辛酉二千年中，闰月几何？按此易知也。前以朔防除闰积，得二万四千七百三十六月，内除二万四千月，为二千年应有之数，其七百三十六即闰月也。此与古法十九年七闰之法，亦所差不多。问：二千年中，交泛若干次？入食限若干次？及交泛字义何解？经朔、合朔何所分别？按月与日防谓之合朔。然有平朔，有定朔。三代以上，书籍散轶，不可深考。所可知者，自汉以来祗用平朔。唐以后乃用定朔。定朔与平朔有差至一日之时。然必先求平朔，然后可求定朔。今曰经朔，即平朔也。以其为合朔之常数，故谓之经。得此常数，再以盈缩迟疾加减之，即定朔矣。是故合朔者，总名也。因有定朔，故别之为经朔耳。交者，月道出入于黄道也。授时之法，二十七日二十一刻二十二分二十四秒，而月道之出入于黄道一周，谓之交终。

以此为法，而除中积，则得其入交次数矣。今依本法求到鲁隠公辛酉正月经朔入交十七日三十八刻九六七○，自此下距至元辛巳，凡满交终二万六千八百四十三，其出入于黄道也，各二万六千八百四十四。至于食限，则不可以预定。何也？入交虽有常数，而其食与否，又当以加减差及气刻时三差诸法定之。又按，入交亦有平日，有定日。此云泛者，亦平义也。因先求平日，次求定日，故命之曰泛。泛者以别于定也。然厯经本文谓之入交泛日，或省文曰入交，或曰泛交，未有称交泛者。其称交泛，则台官之语，以四字节去首尾，而中撮两字为言，文理不安，所当改正者也。问《周髀算经》：牵牛去极枢共积九百九十二亿七千四百九十五万，分以一度积八亿五千六百八十万为法，除之，复原度一百一十五度一千六百九十五里二十一歩，又一千四百六十一分歩之八百一十九，用何算法还原？按此乃通分法也。凡算家通分之法，所以齐不齐之分，便乘除也。若如郭太史以一万分为度，则分有百秒，秒有百防，皆以十百为等，自然齐同，通分之法可以不用。而古厯不然，各有所立之法，其法又不同母，此通分之法所由立也。即如《周髀》所立度法，是一千九百五十四里二百四十七歩，又一千四百六十一分歩之九百三十三。度下有里，里下有歩，歩下有分，其法不同，故必以里通为歩，乃以零歩纳入歩，又通为分，乃又以零分纳入，此所谓通分纳子也。然后总计其分以为度法【即度积】法曰：置一千九百五十四里在位，以每里三百歩为法乘之，得五十八万六千二百歩。如是则里通为歩，可以纳子矣。于是以零歩二百四十七加入，共得五十八万六千四百四十七歩。复置在位，以歩之分法一千四百六十一为法乘之，得八亿五千六百七十九万九千零六十七分。则歩又通为分，可以纳子。于是再以零分九百三十三加入，共得八亿五千六百八十万分，是为度法。言满此分为一度也。其外衡去璿玑【即牵牛去极数】二十二万六千五百里，亦以每里三百歩乘之，得六千七百九十五万歩，是里通为歩也。又置为实，以每歩一千四百六十一分乘之，得九百九十二亿七千四百九十五万分，是歩又通为分也，以为实。于是以法除实，得满法之数一百一十五，命之为度。其不满法之数，仍余七亿四千二百九十五万分，不能成一度，当以里法收之。为里法曰：置每里三百歩，以每歩一千四百六十一分乘之，得四十三万八千三百分，是为里法。以里法为法，余分七亿四千二百九十五万分为实，实如法而一，得一千六百九十五，命为里。仍有余分三万一千五百，不能成一里，当以歩法收之为歩。

法曰：置余分三万一千五百为实，以每歩一千四百六十一分为法，除之，得二十一歩。仍有余分八百一十九，不能成一歩，即命为分。用上法求得一百一十五度一千六百九十五里二十一歩又一千四百六十一分歩之八百一十九，适合原数。縁实数是里数【牵牛去极二十二万六千五百里是里数也】法数有里有歩有分，不便乘除，故必以里通为歩，歩又通为分，乃可乘除，故曰齐同法，实乘以散之也。其不满法者，以里法收之，为里。又不满里法者，以歩法收之，为歩。再不满歩法，命为零分。故曰：“不满法者，以法命之。”又曰：“位尽于一歩，故以其法命余为残分也。”通分之法，不过如此，乃正法也。今《周髀》所载之法，其初通法实并为分末，以法命残分，并同，惟中间收余分防异，则古人截算之法也。具如后：凡算有除两次者，则以两次除之之法相乘为法，以除之，谓之异除同除。如以三除，又以四除，则以三乘四得十二为法除之，变两次除为一次除也。若算有法数太多者，则变为简法两次除之，谓之截法。如以七十二除之者，则以八除之，又以九除之，即与七十二除同。此两者正相对，而其理相通也。如余分七亿四千二百九十五万不满一度，宜收为里。法当以每里三百歩乘每歩一千四百六十一，共化为四十三万八千三百分，此即异除同除之法也。周髀经则先以每里三百歩除之，得二百四十七万六千五百为里实，再以周天分【即歩法】为法除之，得一千六百九十五里，不尽一百○五，此即截法变一次除为两次除也。古所得里数与前法不异，所异者前法余分三万一千五百，而今用截法只一百○五，此何以故？因前法所余是实分，今用截法则余分是用每里三百歩除过者，则此余分一数内各蔵有三百之数也【是以三百分为一分】余分内既各▯有三百之数，则当以三百乘之，复还原分之数，然后可以收为歩，此亦正法也。何以言之？葢余分有二头，一次是不满一度之分，则当收为里，此余分又是不满一里之余分，故当收为歩。然而歩之法是周天一千四百六十一分，乃实数也。此所余一百○五，是三百分为一分，非实数也。若仍以三百乘之，则亦为实数，而可以乘除矣，故曰正法也。周髀之法则又不然，虽亦以三乘之，而不言百【以三百乘一百零五，该三万一千五百，今以单三数乘之，只三百一十五】则每余分内仍▯有一百之数，余分为实者，既以百分为一分，则其满法而成一歩者，即是百歩【既是以百分为一分，则其满一千四百六十一之法而成一歩者，即是满了一百个一千四百六十一而成百歩也】故曰不满法者三之，言以单三数乘不满法之余分也；又曰如法得百歩，言此余分既以三乘，则其满法者为百歩也。

又自疏其义曰：上以三百约之为里之实，此当以三百乘之为歩之实，而言三之者，不欲转法更以一位为一百之实，故从一位命为百也。此葢自明其不以三百乘而以三乘之，故是欲以得数为百歩也。得数为百歩，则其实亦百歩之实也，故曰省算也。刻本「三百乘之」句遗「百」字，而言「三之」句遗「三」字，既言如法得百歩，而今之余实只三百一十五，在一千四百六十一之下，是不能满法，也不能满法者，即不能成百歩也。于是以余分进位【三百一十五变为三千一百五十】为实，而以满法为十歩，何也？原一分内有百分，今虽进位以一分为十分，然仍未复原数，仍是十分为一分，故得数即为十歩也。法曰：置三百一十五，进位为实【变三千一百五十】以法一千四百六十一除，得二数，命为二十歩，不尽二百二十八。经曰：不满法者，又上十之，如法得十歩，亦省算也。上之即进位也。此余分既各▯有十分，故复以十乘之，即得本数。法曰：置二百二十八，又进位为实【变为二千二百八十】以法一千四百六十一除，得一数，命为一歩，不尽八百一十九。经曰：不满法者，又上十之，得数为一歩。又自防之曰：又复上之者，便以一位为一实，故从一实为一言。末次进位，则适得本数为实，而得数亦为本数也。凡看厯书，与别项文字不同。须胸中想一浑圆天体，并七政旋行之道，了了在吾目前，则左右逢源，有条不紊。故图与器，皆足为看书之助。右所防数条，言虽浅近，然由浅入深，庶几有序。天下最深防之理，亦即在最粗浅中，舍粗浅无深防矣。谨复。

答嘉兴髙念祖先生律厯天官具载二十一史，南北国学并有雕版。国家试士发防，多有及此者，本学者所当知也。然或者以其不切于辞章之用，又其义难骤知，读史者至此则寘而不观。先生独能缕举其异同分合之端，以为问，可见其留心之有素，不愧家学之渊源。请陈其管蠡之愚，以求正定。问《史记》八书，三曰律，四曰厯，分律与厯言之也。前《汉书》合称律厯，改书为志，而后《汉书》、《晋书》、《北魏书》、《隋书》、《宋史》并因之。《宋书》、《新唐书》、辽、金、元三史则皆有厯志，而不及律，何欤？按律厯本为二事，其理相通而其用各别。观于唐虞命官羲和治厯防典乐，各有専司。太史公本重黎之后，深知其理，故分为二书。班书合之，非也。独是厯书所载，非当时所用之法，乃殷厯也，非汉厯也【其四年而増一日，即四分厯之所祖，又谬以太初元年丁丑为甲寅，干支相差二十三年，葢禇先生辈所续，余于厯法通攷中已详辩之，兹不具悉】而汉太初厯八十一分日法，反载于班志，意者孟坚以其起数钟律，遂从而合之欤。后世言厯者率祖班志，故史亦因之。厥后渐觉其非，而不能改，直至元许衡、郭守敬乃始断然以测验为慿，不复以钟律卦气言厯，一洗诸家之傅防，故其法特精，此律厯分合之由也【人有恒言，汉厯莫善于太初，唐厯莫善于大衍，殊不知汉厯至刘洪乾象厯始精，若太初则最踈，独其创始之功不可没耳。若大衍本为名厯测算诸法至此大备，后世不能出其范围，特以易数言厯，反多牵附，其失与太初之起数钟律同也。明水公云，以律配厯可也，而以生厯则不可。又云，僧一行颇称知厯，而窜入于易以▯众，此诚千古定论，而经生家所不能知也】至于称书称志之不同，葢太史公合记古事故名史记，班孟坚専述本朝故踵虞书、夏书之日而称汉书。全部既称书，不得不别其类为志，无深意也。问厯书之次曰天官书，前汉书改为天文志，后汉书、晋书、宋书、南齐书、隋书、唐书、宋金元史并仍之，而晋书、宋史天文在律厯之前，金元二史亦在厯前，北魏则改为天象，辽史则合厯与天象，称厯象有以异乎？按言天道者原有二家，其一为厯家，主于测算推歩日月五星之行度，以授民事而成嵗功，即周礼之冯相氏也。其一为天文家，主于占验吉凶福祸，观察祲祥灾异，以知趋避而修救备，即周礼之保章氏也。班史析之甚明，故虽合律厯为一志，而别出天文也。《易》天官为天文者，星象在野，象物在朝，象官，故星在赤道以内近紫防垣者，古谓之中官；在赤道外者，古谓之外官。《天官》之説，葢取诸此也。《易》曰：「观乎天文以察时变。」其改称天文本诸《易》也。《易》又曰：「天▯象见吉凶。」北魏改名天象，亦本《易》也。占与测虽分科，亦互相为用，故《辽史》合之也。至于《晋天文志》在律厯之前，以日月交食、五星凌犯皆厯家所据，以为推测之用，故先之。又《晋志》出李淳风之手，其星名占法视古加详，而亦有同异。尔后言占者，悉本淳风，故其次序亦因之也。问：史书中有一代总无律厯天文志者，果尽出于史阙文之意乎？按史之有志，具一代之典章，事事徴实，不可一字凿空，而谈较之纪传颇难，故三国无志，诚为阙事。而范氏《后汉书》本亦无志，今志乃刘昭续补也。至于天文厯法，尤非専家不能，故《晋隋》两志并出淳风，《新唐书》厯志，五代史《司天考》并出刘羲叟。其余则既无其人，又无其书，虽欲不阙，而不可得，此亦史臣之不得已也。五代则五十余年而六易姓，纪载无徴，故仅有《司天》《职方》二考，他皆阙如。而《司天》又止有王朴《钦天厯法》，其交蚀凌犯并无可稽，故不复称志，而名之曰考也。问：五行志创始，班书乃《史记》所未有，而后汉、晋、宋、南齐、隋、唐、宋、金、元九史并仍之，其义何居？按《虞书》惟言六府，《洪范》始言五行。其以五事配五行，又以襍占祥异，皆件系之，而以时事言其应。其説葢滥觞于夏侯氏之治《尚书》，而详于刘向父子。太史公时，其説未着，故始见《班书》，而诸史因之。要其説亦有应，不应。当其应也，固足以为警戒；及其不应，反足以启人不信之心。《唐书》以后，但纪灾祥，不言事应，有合于《春秋》之义。此可以为法者也。

答沧州刘介锡茂才问左右辖距轸宜平，今左近右逺。又狼星之邉有弧矢错乱不齐，不其经星亦常移位耶？按：自古以列宿为不动，故曰经星，又谓之恒星。乃占书中往往有动移之説，愚窃疑其未然。葢既曰动移，则必先知其不移之位，然后可以断其实移。而古本图象，大约传久失真，人所目击不过数十年之内，何以知今日之星座必与古异而谓之动移哉？又必暂见其移，未几即复本位，始谓之变。若数十年中所见尽同，则常也，而非变也。查崇祯厯书，右辖距轸南右星凡二度竒，左辖距轸北左星只半度竒，一逺一近，诚如尊谕。又弧矢、天狼不甚整齐，皆如所测。夫厯书成于前戊辰，距今六十四年，而星座之经纬如故，亦足以徴其非动矣。至于厯法中，亦自有经星东行之法，其理与嵗差相应，非如占书之言动移也。弧破矢折之论，似宜更详。问本年闰七月初八夜，太隂食心前星，不知何应？第三日初十夜，大风雨雷电，是有解散否？查闰七月太隂犯心前星，当是初七日戍亥二时，月加丁未坤之地，非初八也。此时月正上▯行至心宿三、四度间，值月半交在黄道南五度竒，与心宿东星逼近，理得相为掩犯。然皆月道当行之道，非失行也。又按古人云：三日内得▯，则解。此葢为晕珥虹霓之属，多为风▯之气所结，故应在本方。若七政之凌犯，多方共覩，殆难一例。问：十数年前，亲见太白过午者累日，是经天耶？昼见耶？主何休祥？按太白星绕日为轮，离太阳前后不得过五十度，故夕见西方，仍没于西；晨出东方，仍没于东，非不过午也。其过午必与日偕，为日光所掩故也。若日光防而星光盛，在昼漏明，是为昼见。昼见不必尽在午地也。若在午地，则为经天矣。然亦有非昼见而能经天者，此又别自有説。不知所见过午者，是昼乎？是晨夕乎？尝考前史所载经天之事，不一而足。占书之説，未免过于张皇，非其质也。愚不敢輙信占书，亦正谓此等处耳。问来年元旦日食五分十七秒，一曰五谷贵，一曰主大水，孰为实应？抑别有徴也？又十数年前，长星见，久应在何时？按日食元旦，古亦多有，然其数可以预推，与凌犯同理。若长星之见，自是灾变，然圣人遇灾而惧，实有修省转移之道。故古人言占，必兼人事。若执定占书一两言以断其休咎，将修徳弥灾语为虚设，而天亦可量矣。是固不敢妄谈。问厯法最难解者，未宫鬼金羊为主。今未宫全系井度，而鬼反在午室火猪，只十度在亥，而余皆入戍不知天运何年西下，诸宿移而天盘动。按列宿移，而天盘动，即嵗差之法也。周天列宿分十二宫，古今厯法各各迥异。要其大端之改易有三：自隋以前未用嵗差，故天之十二宫皆随节气而定，如冬至日躔度即为丑初之类，一也。

唐一行始定用嵗差，分天自为天，嵗自为嵗，故冬至渐移而宫度不变，以后厯家遵用之，所以明季言太阳过宫以▯、水、三朝过亥，二也。若今西厯则未尝不用嵗差，而十二宫又复随节气而移，三也。三者之法，未敢断其孰优，然以平心论之，则一行似胜。何以言之？葢既用嵗差，则节气之躔度年年不同，故帝尧冬至日在虚，而今在箕，已差五十余度。若再积其差，冬至必且在尾，在心，在氐房，在角亢。顾犹以冬至之故而名之曰丑宫，则东方七宿不得为苍龙，而皆变▯武，北方宿反为白虎，西方宿反为朱鸟，而南方朱鸟为苍龙，名实尽乖。即西法之金牛、白羊诸宫，皆将易位，非命名取象之初防，即不如天自为天，嵗自为嵗之为无弊矣。故新厯之推歩实精，而此等尚在可酌，不无俟于后来之论定耳。先生于此深疑，实与鄙意相同。至若十二生肖及演禽之法，别有本末，与厯家无渉，亦无与于星占，可无深论。以星推命，不知始于何时。然吕才之辟禄命，只及干支。至韩潮州，始有“我生之时，月宿南斗”之説。由是徴之，亦在九执以后耳。每见推五星者，率用溪口厯，则于七政躔度疎逺。若依新法，则宫度之迁改不常。二者已如枘凿之不相入，又安望其术之能验乎？夫欲求至当，则宜有变通。然其故多端，实难轻议。或姑以古法分宫，而取今算之七政布之，则既不违其本术，亦不谬乎悬象。虽未知验否何如，而于理庶几可通矣。请以质之髙明。问冬夏致日，以土圭求日至之景，是也。而春秋又以致月，其説何如？按日行黄道有南至，北至，月亦有之。月之北至则隂厯是也，月之南至则阳厯是也。夫月之隂阳厯随时变迁，而必于春秋测之，何耶？凡言至者，皆要其数之所极，则必有中数以为之衷。如日道有南至，有北至，相差四十七度竒，而其中数则赤道也。月有隂厯，有阳厯，出入于黄道各六度弱，而其中数则黄道也。夫黄道之在冬夏，既自相差四十七度竒，则已无定度，又何以为月道之中数乎？惟春秋二分之黄道与赤道同度，则其东出西没及过午之度，并与赤道无殊，于此测月可得隂阳厯出入黄道之真度矣。假如二分之望月在其冲【春分之望月必在秋分之宿度，秋分之望月必在春分之宿度】则日没于酉正，而月出于卯正；日出于卯正，而月没于酉正，其出没方位必居卯酉正中，与日相等。然而或等焉，或不等焉，或有时而出没于酉正卯正之南，则知其在阳厯也；有时而在卯正酉正之北，则知其在隂厯也。又此时日之过午也，必与本处之赤道同髙【即冬夏二至日轨髙度折中之处】则月亦宜然。然而月之过午，或有时而髙于日度，则知其在隂厯也；有时而卑于日度，则知其在阳厯也。

若月之出没在卯酉之正而不偏南北，月之过午一如日轨之度而略无髙卑，则为正当交道而有▯食。故曰惟春秋可以测月也。康成注曰：「冬至日在牵牛，景丈三尺；夏至日在东井，景尺五寸。此长短之极，此言冬夏致日也。」又曰：春分日，在娄；秋分日，在角。而月▯于牵牛、东井，亦以其景知气。至此言春秋致月也。贾疏云：「春分日，在娄；其月上▯，在东井；圆于角下，▯于牵牛。秋分日，在角上，▯于牵牛；圆于娄下，▯于东井。」郑并言月▯于牵牛、东井，不言圆望，义可知也。按此，贾防增成郑义，足与愚说相为发明。葢但以日轨为主，则春秋致月，亦致日之余事；即于两▯立説，亦足以明。若正言致月之理，则必将详攷其交道出入之端，与夫隂阳厯逺近之距，则兼望言之，其理益着也。问隂阳厯之法于两▯亦可用乎？曰：可。凡冬夏至表景既有土圭之定度【夏至尺五寸，即土圭之定度也；冬至景丈三尺，葢亦以土圭之度度之而知】则月亦宜。然而今测月景每有不齐，则交道可知。假如春分日在娄，而月上▯于东井；秋分日在角，而月下▯于东井，则是月所行者夏至日道也，其午景宜与土圭等。又如春分日在娄，而月下▯于牵牛；秋分日在角，而月上▯于牵牛，则是月行冬至日道也，其午景宜与土圭所度冬至长景等。而徴之所测，或等焉，或不等焉。其等于定度者，必月交黄道之度也；其短于定度者，必月在日道之北而为隂厯也；其长于定度者，必月在日道之南而为阳厯也。是故两▯亦可以测隂阳厯也。然则隂阳厯之变动若此，又何以正四时之叙？曰：日道之出入赤道也，距逺至二十四度；月道之出入黄道，最逺止六度。距二十四度，故景之进退也大【夏至尺五寸，冬至一丈三尺，相去悬絶】距止六度，故景之进退也小【隂厯阳厯之月景所差于日景者不过尺许而已】假如月上下▯在东井，而景更短于土圭，其为夏至之隂厯更无可疑。即使是阳厯，而景长于土圭，其长不过尺许，无害其为夏至之黄道也。又如月上下▯在牵牛，景加长于土圭所定之度，其为冬至之阳厯已成确据。即使是隂厯，而景短于土圭所定之度，其短亦不过尺许，无损其为冬至之日道也。夫两▯之月道既在二至之度，则日躔必在二分，而四叙不忒，故曰：举两▯立说，亦足以明也。或疑洛下闳制浑仪，止知黄道；至东汉永元铜仪，始知月道至隂阳交道之説，后代始宻。《周礼》所言致月，或未及此。曰：“洪范”言日月之行，则有冬有夏，是古有黄道也。十月之交，见于诗，是古知交道也。洛下闳等草创于祖龙煨烬之余，故制未备，而以此疑《周礼》乎？

夫谓厯术屡变益精者，如嵗差之类，必数十年始差一度，故久而后觉。若月之隂阳厯，月必一周，视黄道之变，尤为易见，而谓古人全不之知，吾不信也。或又疑土圭只尺有五寸，则惟北至时可用，余三时何以定之？曰：经固言日北景长，日南景短矣。其长其短，亦必有数，则皆以土圭之尺寸度之耳。然则夏日至景如土圭者，冬日至景必数倍于土圭，而以土圭度之，无难得其丈尺，故冬夏并言致日也。问：尝攷《春秋》厯法，讹舛甚多，不知左氏之误，抑古厯不如此也？夫验于古，然后可施于今，今以最踈之古厯尚不可攷，则太初以下，其疑难当更何如？按厯法，古踈今宻，乃古今之通论葢谓天体无穷天道幽逺，踵事渐増，斯臻其善。非谓古人之智不及后人也。夫攷古厯之踈宻，必须得其立算之根。今自秦火以来并无一书能言三代以上之厯法。所谓殷周六厯，率皆伪撰，不足为据春秋》左氏之不合，又何疑焉？若夫三代以下，太初厯始创规模，洛下闳等之功，自不可没自是以后屡代加详由后之宻厯观之，遂觉其前之为最踈耳。厯家之言曰：「验天以求合，无为合以验天。」是故治厯者，必当求之天验求之天验则当以近代之宻测者为凭而详徴算术以得其当然之理，又知其所以然之故。然后备攷古术徐求其改宪源流，博稽经史，以攷其徴信。合者存之，疑者阙焉，斯不为用心于无益矣。尊着以《春秋》二百四十年月日列序，以攷其得失，用功甚勤。与氏族、官制、地名等攷，皆有功于经传其书自可孤行。若但以厯法言，仍当从事于郭太史《授时法》与今西法，庶可以得其门户矣。余初学厯，原从授时入手，后复求之二十一史，始知古人立法改宪，各有根源。见史志仅载算法，而无一语注释，因稍稍以所能知者解之，遂以成帙。最后始得西术，此事益明。然卷帙既多，又窜改无定，亦欲俟稍暇，再加缮冩，以请正髙明耳。问：日食，古无其法？汉日食每多先天，终汉四百年，无人修改，则洛下闳、张衡皆梦梦欤？按古日食每不在朔者，以古用平朔耳。古所以用平朔者，以日月并纪平度也。东汉刘洪作《乾象厯》，始知月有迟疾。北齐张子信积▯二十年，始知日有盈缩。有此二端，以生定朔。然而人犹不敢用也。至唐李淳风、僧一行始用之，至今遵用乃验。厯之要然，非有洛下闳之浑仪、张衡之灵宪，则测验且无其器，又何以能加宻？测愚故曰：古人之功不可没也。

问五星迟疾逆留按五星之迟疾逆留，汉以前无言之者。汉以后，语焉而不详。虽授时厯号为至精，而于此未有精测。至西厯乃能言之，此今厯胜古之一大端也。

问月食地景按月食地影之説，肇于泰西。骤言之，若可骇；细审之，确有实据。然必于厯学深究其根，乃知其説为不诬耳。

问平差立差按平差、立差、定差之法，古无其术，乃郭太史所创，为以求七政盈缩之度，所以造立成之根本也。其法，日月五星并有之，亦非如平朔、定朔之用，厯家用字偶同，如此者多，徴实言之，乃知其故耳。据云依立招差，又云依垜叠立招差，则似古算术中原有其法而今采用之，然不可攷矣。愚尝因李世兄之问，而为之衍算，颇觉其用法之巧焉。

与锡山友人杨学山书厯算之学，弟生平癖嗜。闻有同此者，即不惮褰裳相从。然如先生之实用其力于几何三角，以溯其根者，未多见也。前年奉晤吴门，不胜喜慰，以为可得留连旬日，以深领诲益。尘事之相牵，失于交臂，至今怅惘。兹年已八三，神明消蚀，啓处艰难，不知仍能续晤否也？承借书五本，当即抄付，但未经重校，故仅以抄本奉▯，而留其原稿宝蔵之，以代靣诲。前曽以此意告之吕令亲属，为转致。厥后吕返锡山，弟乡居不知，遂迟至今，幸勿深罪。书五种验收是望，承赐问数端，皆弟所积疑。内日差一事，向因日躔表说甚是防混，尝为之论辨累纸，谓既有二根，当定二表以相加减。友人皆以为然，既而熟思，觉其非确，宜只用月离交食二表为是。大抵厯书表说多是后来所増，故往往与表不应。若日差表则又不然，葢西厯之传，亦各有师授之不同。日躔表之兼用二根，或是初说，其平时定时乃测验之实用，必是后来之说。日躔表中日差误用初说而强为之辞，故愈解而愈支。拙见如此，不知髙识以为何如也？月二三均数不与厯指之説相应，惟王寅旭尝论及之，余人但知用表，未有求其根者。今先生以次均之外，设又次均数，既合表理，复精当，诚为创见，敬服敬服。火星半径与视学相反，真是难解，然彼皆得之积▯，非凿空之论。五星中分亦然，皆不敢轻为置论。尝谓厯学至今益宻，其理亦愈推明，若集中土之贤才，以専心致志而为之，必更有可观。而无如其不能羣萃州处，何也？火星借象之图，世人多泥旧说，先生輙深信之不疑。古所谓一人之知，非耶？然此图是与袁惠子先生论辨而作，亦颇承其虚懐。今惠兄久不得音问，心甚念之。若先生之知我，葢尤深于惠兄，安得拏舟溯洄，一遂鄙懐乎？此学甚孤，而学者多执成见，或得少为足，而遂欲自立门。庭惟薛仪甫、王寅旭两先生能兼中西之长，而且自有发明。然生虽同时，而并未得相见。庚寅奉过，始得一见。令祖坤翁先生少伸企怀，而鲍燕翌先生又已先归道山，殊为憾事。弟又景逼桑榆，故图晤之心甚切，非同泛泛也。鸿便往来，勿吝邮致。乙未三月十九日拟璿玑玉衡赋【有序】易》言治厯防数，当期典重，授时中星，纪嵗葢七政璇玑之制，类先天卦画之图。原道必本乎天，儒者根宗之学，制器以尚其象。帝王钦若之心理，至难言。以象显之，则理尽；意所未悉，以器示之，则意明。故扬雄覃思浑天，用成《▯草》；平子精探《▯宪》，聿阐元枢覆矩，仰规一行，以之衍防天根月窟。尧夫于焉弄丸，此圣学之攸先，匪术家之私尚也。况姬公之法，受于商髙；而神禹之畴，肇诸河洛。

平成永頼，实资句股圜方。才艺硕肤，爰有南车记里，髙深广逺，寸矩以御几何。律度量衡，万事斯为根本。既圜顶而方趾，敢忘髙而负深？茍俯察而仰观，必徴理而稽数。家传大易，窃慕韦编。世际清宁，恭▯钜制，竭欧逻之巧力，绍蒲坂之芳型。洵心理之胥同，中西脗合，亶后来之居上，今古无双。虽株守山陬，迟睹灵台之美；而心仪法象，遥忻神器之成。僭拟短章，臆闚鸿典，无禆采听，聊当衢歌云尔。至哉浑仪之为器也，体天地之撰，类经纬之情，微显阐幽，穷髙极深，殆更仆莫殚其蕴，累牍难悉其能者矣。粤自道生宇宙，肇为大圜，健运无息，东西斡旋，七政错行，宿离纠纷，交光罗络，终始相嬗。虽有离朱，孰闚其端？圣喆挺生，仰俛观▯，积▯成悟，▯探隠索谂，六虚之旷邈，讵目营兮可获？廼范金兮为仪，纵若衡兮八尺，厯防之治兮，象防之覈。尧命羲和，四隅分宅，制闰成歳，厘工熈绩。匪有器以御之，孰所凭而推防？虞帝受之，玑衡以设，敬天勤民，两圣一辙。嗣三统兮迭更，兹重器兮防防，陈东序兮天球，羌大训兮为列。河之图兮莫先，况琬琰与▯璧，嬴秦力政，防畏天常，迁周九鼎，焚燬旧章，球图湮没，莫知其乡。厯纪乖次，伏隂愆阳。及夫汉造太初，浑天初置，唯意匠兮经营，未详徴乎昔制，曽黄赤兮未分，矧歳差兮能治厯。唐逾宋代，有讨论，小异大同，踵事而増，说存掌故，约畧可陈。外周六合，子午为经，卯酉交加，日月之门，三轮八觚，象地者衡，是立郛郭以挈三辰，黄倚赤而相结，剖二至与二分，判发敛兮南北距，紫极兮为言，小环四游，又居其内，左右周闚，两箫更代，低昻斜侧，折旋。唯意仪三重兮共枢，亶推歩兮精义。亦有铜球，实惟浑象，列星缀离，三家殊状，或附益之，两曜类蚁行兮磨上，迟速行兮一机，或水转兮磨荡。非不研精覃思，穷神尽智，象重大兮易胶，每机闗兮弗利，仪重环兮掩暎，颇未宜乎闚视。加以代异人湮，乍成旋废。作之也何难，坏之也何易？若乃元祖初服，广徴硕儒，有美鲁斋，王郭之徒，既作授时，备器与书，髙表四丈，承以景符，简仪▯极，离立扶踈，二线代管，分秒乘除，度百刻兮天腹旋，立运兮四虚，闚几兮测月，莲花兮挈壶，正方有案兮定南北，悬正座正兮九服之须。仰仪兮虚而似釡，度斜络兮南极攸居。可谓酌古凖今。洵美且都者矣，厯年未百，有明膺命，虽大统兮殊称，实授时兮为政，属作都兮石城，旋京邑兮北定，既观台兮屡迁，地更寘兮乖应，岂仪器兮多迕，抑畴人兮弗敬，转测之或未嫺兮，址渐倾兮，蔑正，宁不善厥初兮，歳荐更兮，滋衅，经生既非所习兮，又申之以厉禁，専科不相通兮，有愤悱兮谁问，遂使▯台徒为文具，交食或乖，谁知其故，帝谓兮草泽，畴明理兮习数，尔乃理难终隠，道有必开，天相其衷，西儒朅来，如礼失兮求埜，似问郯兮识官，此珍秘兮勿泄，彼菽粟兮非难，于是吴淞太史，仁和水部，夜译晨钞，心追手歩，亦得请而开局，集欧逻与儒素，撷西土兮精英，入中▯兮罏铸，屡清台兮襍▯，良占测兮可据，▯巧拙兮相形，新术精兮羣妒，慨万里兮作賔，兼十年兮发覆，厯成兮弗用，良书兮徒着，何人事兮多违，或苍穹兮有待，唯我盛朝，度越千代，正朔初颁，适逢斯防，唯钦若以为怀，奚畛域乎中外，洞新法之宻合，命遵行为定制，哂防儒兮固陋，谬执古兮非今，若肓不杖兮聋别竽笙，斯术之无▯兮，经指摘兮益明，乃诏太史，乃咨礼臣，谓新厯兮允臧，顾仪器兮未成，式采铜兮名山，鸠哲匠兮上京，备制兮六仪，各锡兮嘉名，赤道兮法动天之西转，黄道兮俪七曜之东征，古二道为一器兮，景交罗而莫分，今别其用兮，法以简而倍精，黄既丽赤而左旋兮，复自转而右奔，纬度之各异兮，亦异其经，黄自有极以运兮，诚振古之未闻，游表所指兮，太阳之心，时时可验，节▯兮若影于镫，地平之仪，辨方正位，转线参直，三光所至，出没之度，渐升之意，秒忽微茫，具可别识，象限平转兮，测髙与庳，割圆八线兮，于是焉施，合四为一兮，周天在兹，度唯九十兮，厥数已全，纪限六十兮，于以参焉，正反隅角兮，靡幽弗宣，用稽距度兮，两星之间，弧三角之法兮，推其所然。

五者相资，多人分测，片晷之余，各尽目力，假变行之迅速，无须臾之或失。别有浑球，全赋星躔，循黄之极，碁罫珠联，列曜逺近，南北八度，小轮之限，凖斯无捂，亦依赤极出地有恒，或正升兮斜降，或正降兮斜升，晰伏见之先后，谙里差之所因。黄纬之列兮，百世无改；宫分迤差兮，恒星东滙。以度计年兮，六十六载；下设旋轮兮，水激自动。刻漏防僭兮，机发于踵。爰有髙弧繋之，天顶地平，经纬兹焉互审。或象限兮平观，或纪限兮斜距，或黄赤仪之所窥，絜之球而参遇。烂若轩辕之宝镜兮，缩圜形而周布。众仪得其散兮，球徴其聚；正求兮反暎，宛转兮廻互。测量有书兮，或不能句；摩娑斯器兮，旷如揭雾。更旋宫兮，十二随道里兮，攸殊。际地之极，南北兮，以为之枢。子午及平环兮，以限四隅；隅各三宫兮，东方为初。次第右环兮，大权以区三合六合之照兮，凶吉分途。惟斯球而可暏兮，攷歩笇之宻疏。致用万端，未克枚举。洵天府之竒珍，永作则乎来者。若其镕金有法，弃滓取精，磨礲砥砺，光辉荧荧，旋之中规，直之中绳，擘划匀细，度万其分，寘仪衡重测重求，心力相扶兮，防偏积歳年兮，弗倾。趺交之以铜龙兮，或海兽以相承，为水凖与螺柱兮，常消息焉。取平天矫兮，腾踔攫拏兮，狰狞讵美观兮，一时永奠定兮，千春乃至。崇台百歩，迥出阛阓，周以储胥，纎埃攸避。上列六台，方圆式异，相依兮交让，旋观兮罔阂。施窥筒之竒巧，眄千里兮如对昼，▯兮日靣之星，夜占兮句已之态，折照浮光兮，气水水气，清蒙厚薄兮，地心相配。交食浅深兮，起亏进退，地景厚薄兮，青绿明昧，视差有多少兮，命天九重。月有▯望兮，太白攸同，抱日为轮兮，互入相容。超西法之旧兮，信天能之弗穷。登斯台也，轩豁洞逹，耳目开通，挥斥兮八极，广揽兮无终，意气兮飞扬，凌虚兮御风，习其器。也陆离潇洒，缤纷磊砢，灿烂兮朝霞，孔明兮朱火，照曜兮焜煌，周流兮轩翥，戄对越兮于穆，游吾心兮太古，帝载之虚无兮，陟降其所，垓埏之辽絶兮，敛之一黍，匪重黎之诞降兮，曷其臻乎？要眇邈，祈姚之不作兮，畴则探斯奥窔？伊崇效而卑法兮，协至徳于太灏，定百代之犹豫兮，踵危微于帝道，毕逺臣之精思兮，备前王之所少，璿玑玉衡之不传兮，乃今而获圣人之大宝。乱曰：巍巍穹窿，帝所则兮，父干母坤，不敢不及兮，写以良金，如塑像兮，朝斯夕斯，期勿忘兮，子之于父，视无形兮，瞻兹肖貌，曷敢以宁兮，兢兢业业，承天休兮，奉若不违，升大猷兮，祈天永命，从兹始兮，亿万斯年，昊天其子兮。

学厯说或有问于梅子曰：「厯学固儒者事乎？」曰：「然。吾闻之，通天地人，斯曰儒。而戴焉，不知其髙，可乎？」曰：「儒者知天知其理而已矣，安用厯？」曰：「厯也者，数也。数外无理，理外无数。数也者，理之分限节次也。数不可以臆说，理或可以影谈。于是有牵合傅防，以惑民听而乱天常，皆以不得理数之真，蔑由徴实耳。」且夫能知其理，莫尧舜若矣。尧典一书，命羲和居半。舜格文祖，首在璇玑玉衡，以齐七政。岂非以敬天授时，固帝王之大经大法，而精一之理，即于此寓哉？曰：「然则律何以禁私习？」曰：「律所禁者，天文也，非厯也。」曰：「二者异乎？」曰：「以日月晕抱珥虹蜺彗孛飞流芒角动揺预断未来之吉凶者，天文家也。本躔离之行度，中星之次，以察发敛进退，敬授民事者，厯家也。」汉艺文志：天文二十一家，四百四十五卷；厯谱十八家，六百六卷。固判然二矣。且夫私习之禁，亦禁夫妄言祸福，惑世诬民耳。若夫日月星辰，有目者所共睹。古者率作兴事，皆用为▯，又何禁焉？《楚邱之诗》曰：「定之方中，作于楚宫。」《夏令》曰：「修而场功，偫而畚挶，营室之中，土功其始。」火之初见，期于司里。《春秋传》曰：「凡土功，龙见而戒事，火见而致用，水昏正而栽，日至而毕。」此版筑之▯也。《豳风》之诗曰：「七月流火，九月授衣。」此裘▯之▯也。申丰曰：「古者日北陆而蔵氷，西陆朝觌而出之。火出而毕赋，则蔵氷用氷之▯也。龙见而雩，则雩▯也。农祥晨正，则畊▯也。三星在天，则防▯也。」单襄公曰：「辰角见而雨毕，天根见而水涸，本见而草木节解，驷见而陨霜，火见而清风戒寒，雨毕除道，水涸成梁，草木节解而备蔵，陨霜而冬裘具，清风至而修城郭宫室。」是故有一▯，则有一▯之星；有一▯之星，则有一▯之政令。田夫红女，皆知之矣。又何禁焉？自梓慎、禆灶之徒，以星气言事应，乃始有灾祥之占，而其説亦有騐有不。騐有星孛于大辰，禆灶曰：「宋、卫、陈、郑将同日火。若我用瓘斝玉瓒，则不火。」子产弗与。已而火作，灶曰：「不用吾言，郑又将火。」子产曰：「天道逺，人道迩，灶焉知天道？是亦多言矣，岂不或信？」卒不与。郑亦不火。梓慎以日食占水，昭子曰：「旱也。」已而果旱。慎言不效。是故唯子产、昭子深明乎理数之实，乃有以折服矫诬之论，虽挟术如慎灶而不为所动。故厯学大着，则禨祥小数无所依托而自不得行。其于政教，不无小补与律禁私习之指，固殊涂而同归矣。曰：「世皆谓天文厯数能前事而知，以豫为趋避，而子谓厯学明则占家无所容其欺，妄言之徒不待禁而戢。

其説可得闻乎？」曰：「有説也。葢古之为厯也，疎久而渐宻，其势然也。唯其踈也，厯所歩或多不效，于是乎求其说焉不得，而占家得以附防于其间。是故日月之遇交则食，以实防视防为断，有常度也。而古厯未精，于是有当食不食、不当食而食之占。日之食必于朔也，而古用平朔，于是有食在晦二之占。月之行有迟疾，日之行有盈缩，皆有一定之数，故可以小轮为法也。而古唯平度，于是占家曰：「晦而月见西方，谓之朓，朓则▯王其舒；朔而月见东方，谓之仄慝，仄慝则侯王其肃。」月行隂阳厯，以不足二十年而周其交也，则于黄道其交之半也，则出入于黄道之南北五度有竒，皆有常也。而古厯未知，于是占家曰：「天有三门，犹房四表。房中央曰天街，南间曰阳环，北间曰隂环。月由天街则天下和平，由阳道则主防，由隂道则主水。」夫黄道且有歳差，而况月道出入于黄道时时不同，而欲定之于房中央，不已谬乎？月出入黄道既有南北，而其与黄道同升也，又有正升、斜降、斜升、正降之不同。唯其然也，故月之始生有平有偃，而古厯未知也，则为之占曰：「月始生正西，仰天下有兵。」又曰：「月初生而偃，有兵，兵罢无」兵兵起月于黄道，有南北一因也，正升斜降二因也，盈缩迟疾三因也，人所居南北有里差，则见月有蚤晚，四因也。是故月之初见，有初二日、初三日之殊，极其变则有在朔日、初四日之异。而古厯未知，则为之占曰：“当见不见”，又曰：“不当见而见”，“魄质成蚤也”。食日者，月也，不闗云气，而占者之説曰：“未食之前数日，日已有谪，日大月小，日髙月卑，卑则近，髙则逺，逺者见小，近者见大，故人所见之日月大小略等者，乃其逺近为之，而非其本形也。”然日月之行，各有最髙卑，而影径为之异，故有时月正掩日，而四靣露光如金环也。此皆有可攷之数，而占者则以金环食为阳徳盛。五星有迟疾留逆，而古法唯知顺行，于是占者以逆行为灾，而又为之例曰：“未当居而居，当去不去，当居不居，未当去而去，皆变行也，以占其国之灾福。”五星之出入黄道，亦如日月，故所犯星座可以预求也。而古法无纬度，于是占者以为失行，而为之例曰：“凌、曰犯、曰鬬、曰食、曰掩、曰合、曰句已、曰围绕。”夫句已、凌、犯占可也，以为失行非也。五星离黄道不过八度，则中官紫微及外官距逺之星，必无犯理，而占书皆有之。近世有着贤相通，占者删去古占黄道极逺之星，亦既知其非是矣。至于恒星有定数，亦有定距，终古不变，而世之占者，既无仪器以知其度，又不知星座之出入地平有蒙气之差，或以横斜之势而目视偶乖，遂妄谓其移动，于是为占曰：“王良防马车骑满野，天钩直则地维坼，泰阶平人主有福。

”中州以北，去北极度近，则老人星逺而近浊不常见也。于是古占曰：“老人星见王者多夀”，以二分日▯之。若江以南，则老人星甚髙，三时尽见，而畴人子弟犹歳以二分占老人星宻防贡谀，此其仍讹习欺尤大彰明者矣。故厯学不明，而徒为之禁以严之，终不能禁也。或以禁之故。而私相传习，矜为秘授，以售其诈。若厯学既明，则人人晓然于其故，虽有异説，而自无所容。余所以数十年从事于斯，而且欲与天下共明之也。且子不徴之功令乎？经史语孟，士之本业也。而鲁论言“辰居星拱”，行夏之时；孟子言“千歳日至”，可坐而致；易言“治厯明时”；大传言“五歳再闰”，三百有六十当期之日。尧典中星分测验之地，玑衡之制，为万世法。辰弗集，房载于夏书；诗称“十月之交，朔日辛卯”；春秋纪日食三十六；礼载月令，大戴礼述《夏小正》，皆详日所在宿及恒星伏见昏旦之中，与其方向低昻之状，用为月节，以布政教，而成百事。又自汉太初以来，造厯者数十家，皆具其説于史。若是者，既刋布其书，使学者诵习之矣。三年而试之，程式发防，往往有及于律厯者，其于律之禁，宁相背乎？是故律禁私习妄言，而未尝禁士之习经史也。而顾诿之为星翁卜师之事，而漫不加察，反令术士者流得挟其不经之说，以相炫诱，而不能断其惑，是亦儒者之过也。故人之言天，以占验为竒；吾之言厯，以能辩惑为正。曰：“然则占騐可废乎？将天变不足畏邪？”曰：“恶是何言也！吾所谓辩惑者，辩其诬也。若夫王者遇灾而惧，侧身修省，以答天戒，固钦若之精意也。又可废乎？古者日食修徳，月食修刑。夫徳与刑，固不以日月之食而始修也，遇其变加警惕焉，此则理之当然，未敢以数之有常而或懈也。此又学厯者所当知。”厯学源流论梅子殚心厯学数十年而叹心之神明无有穷尽。虽以天之髙，星辰之逺，有迟之数千百年始见端绪，而人輙知之，輙有新法以追其变。故世愈降，厯愈以宻，而要其大法则定于唐虞之时。今夫厯所歩有四：曰恒星，曰日，曰月，曰五星。治厯之具有三：曰▯数，曰图象，曰测验之器。由是三者以得前四者躔离朓朒盈缩交蚀迟留伏逆掩犯之度。古今作厯者七十余家，踈宻代殊，制作各异，其法具在可攷而知。然大约三者尽之矣。尧命羲和厯象日月星辰，舜在璇玑玉衡以齐七政。厯者▯数也，象者图也，浑象也，璿玑玉衡测验之器也。故曰定于唐虞之世也。然厯之最难知者有二：其一里差，其一歳差。是二差者，有微有着非积差而至于着虽圣人不能知。而非其距之甚逺，则所差甚微，非目力可至，不能入▯，故古未有知歳差者。

自晋虞喜，宋何承天，祖冲之，隋刘焯，唐一行始觉之，或以百年差一度，或以五十年，或以七十五年，或以八十三年，未有定説。元郭守敬定为六十六年有八月，回回泰西差法略似，而守敬又有上攷下求増减歳余天周之法则。古之差迟而今之差速，是谓歳差之差，可谓精到。若夫日月星辰之行度不变，而人所居有东南西北正视侧视之殊，则所见各异，谓之里差，亦曰视差。自汉及晋未有知之者也。北齐张子信始测交道有表里，此方不见食者，人在月外，必反见食。宣明厯本之为气刻时三差，而大衍厯有九服测食定晷漏法。元人四海测验二十七所，而近世欧逻巴航海数万里，以身所经山海之程测北极为南北差，测月食为东西差，里差之说至是而确是。葢合数千年之积测以定歳差，合数万里之实验以定里差。距数逾逺，差积逾多，而晓然易辨。且其为法既推之数千年数万里而凖，则施之近用可以无惑。厯至今日，屡变益精，以此然，余亦谓定于唐虞之时，何也不能预知者，差之数万世不易者，求差之法。古之圣人，以日之所在，不可以目视而器窥也，故为之中星以纪之，鸟、火、虚、昴，此万世求歳差之根数也。又以日之出入发敛，不可以一方之所见为定也，故为之嵎夷、昧谷、南交、朔方之宅，以分▯之，此万世求里差之定法也。呜呼至矣！学者知合数千年、数万里之心思耳目以治厯，而后能精宻；又知合数千年、数万里之心思耳目以为之精宻者，适以成古圣人未竟之绪，则当思羲和以后，凡有能出一新智、立一防法，▯之至今者，皆有其所以立法之故，及其久而必变也，又皆有所以变之説。于是焉，反覆推论，必使理解氷释，无纎毫疑似于吾之心，则吾之心即古圣人之心，亦即天之心，而古今中外之见可以不设而要于至是。夫如是，则古人之精意可使常存，不致湮没于耑已守残之士；而过此以往，或有差变之微出于今法之外，亦可本其常然以深求其变，而徐为之修改，以衷于无▯，则是善于治厯者也。

厯算全书卷六<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>序厯家所凭，全恃测騐。昔者蔡邕上书，愿匍匐浑仪之下，按度考数，着于篇章，以成一代盛典。古人之用心，盖可想见。然则儒者端居斗室，足不履观台，目不睹浑象，安所得测騐之事而亲之，而安从学之？曰：所恃者有测騐之法之理在，则句股是也。遭秦之厄，天官书器散亡。汉落下闳、鲜于妄人等追寻坠绪，厯代相承，攷订加详，至于今日，厥理大着，则句股之用于浑圆是也。今夫测量之法，方易而圆难。古用径一围三，聊举成数，非有所不知也。自刘徽、祖冲之各为圆率，逮元赵友钦定为径一则围三一四一五九二，与今西术略同，皆割圆以得之，非句股奚借焉【西法割圆比例以直角三边形为主，即句股也，但异其名，不异其实】然用句股测平圆犹易，用句股测浑圆更难。厯家所测皆浑圆也，非平圆也。古有黄赤道相准之率，大约于浑器比量，仅得梗槩，未能彰诸笇术。近代诸家以相减相乘推变其差，损益有序，稍为近之，而未亲也。惟元郭太史守敬始以弧矢命笇，有平视、侧视诸图，推步立成诸数，黄赤相求，斯有定率，视古为密。由今观之，皆句股也。但其立法必先求矢，又用三乗方取数不易，故但能列其一象限中度率，不复能求其细分之数。厯书之法则先求角，既因弧以知角，复因角以知弧，而句股之形能预定其比例，又佐之八线互用以通其穷。其法以三弧度相交，辄成三角，则此三弧度者各有其相应之▯。弧与弧相割，即▯与▯相遇而句股生焉。茍熟其法则，正反斜侧八线犁然各相得而成句股【八线比例以半径全数为▯正▯余▯为句为股，又以割线为▯切线与半径全数为其句股表中所列句股形凡五千四百】于是乎黄可变赤，赤可变黄，可以经度知纬，可以纬度知经，罗络钩连，旁通曲畅，分秒忽微，胪陈笇。位求诸中心，可无纎芥之疑，告诸同学，亦如指掌之晰，即不必匍匐浑仪之下，可以不窥牖而见天道，赖有此具也。全部厯书，皆弧三角之理，即皆句股之理，顾未尝正言其为句股，使人望洋无际【彼云直角三边形，此云句股，乃西国方言，译书时不知此理，遂生分别】又译书者识有偏全，笔有工拙，语有浅深详略，所载图説不无渗漏之端，影似之谈与臆参之见，学者病之。兹稍为摘其肯綮，从而防剔订补，以直截发明其所以然。窃为一言以蔽之，曰析浑圆防句股而已。盖于是而知古圣人立法之精，虽弧三角之巧，岂能出句股范围？然句股之用，亦必至是而庶无余蕴尔。厯法之深防奥衍，不啻五花八门，其章句之诘曲离竒，不啻羊肠絙度，而由是以啓其扃钥，庶将掉臂游行，若揭日月而骋康庄矣。文虽不多，实为此道中开辟涂径，盖积数十年之探索而后能防通简易，故亟欲与同志者共之。余老矣，禹服九州之大，厯代圣人教泽所渐被，必有好学深思其人，所冀大为阐发，俾古人之意晦而复昭，一线之传引而弗替，则生平之志愿毕矣。岂必身擅其名然后为得哉？余拭目竢之。康熙二十三年上元甲子长至之吉，勿庵梅文鼎书于柏枧山中。

钦定四库全书