<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷七>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷七>

以上谓之旁视【浑员上有垜叠诸线从旁侧视之庶几可见虽不能按度肖形而大意不失以显弧三角之理为用亦多】

角之矢如图，甲丙乙丁半浑员，以甲戊乙弧界之，则其弧面分两角，为一鋭一钝。以视法移此弧度于相应之平面，亦一鋭一钝，即分员径为大小二矢。而戊丙正矢，为戊甲丙鋭角之度【戊乙丙亦同】戊丁大矢，为戊甲丁钝角之度【戊乙丁亦同】故得矢，即得角。

角之八线如前图，丙戊弧为甲锐角之度，与丙庚等，则丙戊之在平面者变为直线，即爲甲鋭角之矢；而戊巳为角之余▯戊庚为角之正▯丙辛爲角之切线，己辛为角之割线，皆与平面丙庚弧之八线等。丁巳戊过弧为甲钝角之度，与丁乙庚过弧等，则丁戊在平面者变为钝角之大矢，而戊巳余▯戊庚正▯丙辛切线，己辛割线，并与鋭角同【平面钝角之八线与外角同用，弧三角亦然】正弧斜弧之角与边分为各类。凡三角内有一正角，谓之正弧三角形；三角内并无正角，谓之斜弧三角形。正弧三角形之角有三，正角者有二，正角一鋭角者有二，正角一钝角者【以上种种不须用算】又有一正角两鋭角者【内分二种，一种两锐角同度，一种两锐角不同度】有一正角两钝角者【内分二种，一种两钝角同度，一种两钝角不同度】有一正角一锐角一钝角者【内分二种，一种锐钝角角合之成半周，一种合锐钝两角不能成半周】计正弧之角九种，而用算者六也。正弧三角形之边有三边并足者【足谓足九十度】有二边足一边小者【在象限以下为小】有二边足一边大者【过象限以上为大○以上三种可不用算】有三边并小者【内分二种，一种二边等，一种二边不等】有二边大而一小者【内分三种，一种二大边等，一种二大边不等，一种小边为一大边减半周之余】计正弧之边八种，而用算者五也。二边俱小，则余边必不能大，故无二小一大之形。二边俱大，则余边亦不能大，故无三边并大之形。一边若足，则余边亦有一足，故无一边足之形。

正弧三角形图一【计三种】

正弧三角形图二【讣三种】

以上正弧形三种有同度之边与角，谓之二等边形。内有己形，虽无同等之邉角，而有共为半周之邉角，度虽不同，而所用之正▯则同，即同度也。

凡邉等者角亦等后仿此正弧三角形图三【计三种】

以上正、弧形三种边角与丁、戊、巳三种无异，但无同度之边。凡正、弧三角形共九种。

斜弧三角形之角有三角并鋭者【内分三种一种有二角相等一种三角不相等一种三角俱等】有二角锐而一钝者【内分四种一种二锐角相等一种二锐角不相等一种钝角为一锐角减半周之余一种二锐角相等而又并为钝角减半周之余】有二角钝而一锐者【内分四种一种二钝角相等一种二钝角不相等一种锐角为一钝角减半周之余一种二钝角相等而又并为锐角减半周之余】有三角并钝者【内分三种一种有二角相等一种三角不相等一种三角相等】计斜弧之角十有四种斜弧三角形之边有一边足二边小者【内分二种一种二小边相等一种二小边不等】有一边足二边大者【内分二种一种二大边等一种二大边不等】有一边足一边小一边大者【内分二种一种大小二边合之成半周一种合二边不能成半周】有三边并小者【内分三种一种三边不等一种二边等一种三边俱等】有二边大而一小者【内分四种一种二大边等一种二大边不等一种小边为一大边减半周之余一种二大边等而又并爲小边减半周之余】有二边小而一大者【内分四种一种二小边等一种二小边不等一种大边为一小边减半周之余一种二小边等而又并为大边减半周之余】有三边并大者【内分三种一种三边不等一种二边等一种三边俱等】计斜弧之边二十种。

斜弧三角形图一【计四种】

以上斜弧形四种并三角三边同度谓之三等边形，内有二等边者，其一边为等边，减半周之余，与三等边同法【以同用正▯故】斜弧三角形图二【计十二种】

以上斜弧三角形十二种，并二等边形内有四种，以大小二边度成半周与二等边同法【小边为大边减半周之余，则同用一正▯】斜弧三角形图三【计十种，厯书只九种，遗一鋭二钝形】

以上斜弧三角形十种，并三边不等【用算只四种】

凡斜弧三角形共二十六种通共弧三角形三十五种【内除正弧三种不须用算，实三十二种】

乙、丁、寅为赤道，乙、丙、癸为黄道。乙与寅为春秋分，癸为夏至。午、癸、丁、辰为极至交圏，午与辰为南北极。午、丙、甲为过极经圈。丙乙为黄道，距二分之度；甲乙为赤道，距二分之度【卯同升度】丙甲为黄赤距纬，成丙乙甲三角弧形。甲为正角，乙春秋分角，与浑员心卯角相应。癸丁弧为黄赤大距【即乙角之弧亦为夘角之弧】癸巳为乙角正▯，卯巳其余▯，戊丁为乙角切线，戊卯其割线，卯癸及夘丁皆半径，成癸巳夘及戊丁夘两句股形。又午夘半径，庚午为乙角余切，庚夘为乙角余割，成午夘庚倒句股形。丙辛为丙甲距度正▯，丙壬为丙乙黄道正▯。作辛壬线与丁卯平行，成丙辛壬句股形。子甲为丙甲距度切线，甲丑为甲乙赤道正▯作子丑线与丙壬平行，成子甲丑句股形。酉乙为丙乙黄道切线，未乙为甲乙赤道切线，作酉未线与子甲平行，成酉未乙句股形。前二句股形在癸丁大距弧内外【癸巳邜用正余▯在弧内戊丁夘用割切线出弧外】后三句股形在丙乙甲三角内外【丙辛壬在丙角用两正▯在浑员内，子甲丑在甲角兼用正▯切线半在内半在外，酉未乙用两切线在浑员外】论曰：此五句股形皆相似，故其比例等。何也？赤道平安，从乙视之，则丁乙象限与丁夘半径视之成一线，而辛壬聨线、甲丑正▯、未乙切线皆在此线之上矣。以其线皆平安，皆在赤道平面与赤道半径平行故也【是为句线】赤道平安，则黄道之斜倚亦平，其癸乙象限与癸夘半径从乙视之亦成一线，而丙壬正▯、子丑聨线、酉乙切线皆在此线之上矣。以其线皆斜倚，皆在黄道平面与黄道半径平行故也【是为▯线】黄赤道相交成乙角，而赤道既平安，则从乙窥夘卯，乙半径竟成一防，而乙丑壬夘角合成一角矣。诸句股形，既同角，而其句线皆同赤道之平安，其▯线皆同黄道之斜倚，则其股线皆与赤道半径为十字正角而平行矣。是故形相似，而比例皆等也【其夘午庚倒句股形，为相当之用，与诸句股形亦相似，而比例等】又论曰：丙辛、壬形两正▯【丙辛、丙壬】俱在浑体之内，其理易明。子甲、丑形甲丑正▯在浑体内，子甲切线在浑体之外，已足诧矣。酉未乙形两切线【酉乙、未乙】俱在浑体之外，虽习其术者未免自疑。厯书置而不言，盖以此耶？今为补説详明，欲令学者了然心目，庶以用之不疑。

用法假如有丙乙黄道，距春分之度，求其距纬丙甲。法为半径癸夘与乙角之正▯癸巳，若丙乙黄道之正▯丙壬与丙甲距纬之正▯丙辛也。

一　半径全数　癸夘　▯二　乙角正▯　癸巳　股三　黄道正▯　丙壬　▯四　距纬正▯　丙辛　股若先有丙甲距度，而求丙乙黄道距二分之度，则反用之为乙角之正▯癸巳与半径癸夘【若欲用半径为一率，以省除，则为半径午夘与乙角之余割庚夘，其比例亦同】若丙甲距纬之正▯丙辛，与丙乙黄道之正▯丙壬也。一，乙角正▯，癸巳，半径全数，午夘，股二，半径全数，癸夘，乙角余割，庚夘，▯。

三　距纬正▯　丙辛　　　　　　　　　　股四　黄道正▯　丙壬　　　　　　　　　　▯右丙辛壬形用法假如有甲乙，赤道同升度，求距纬丙甲。法为半径，夘丁与乙角之切线，丁戊若甲乙赤道之正▯，甲丑与丙甲距纬之切线，子甲也。

一　半径全数　卯丁　句二　乙角正切　丁戊　股三　赤道正▯　甲丑　句四　距纬正切　子甲　股若先有丙甲距纬，而求甲乙赤道，则反用之为乙角之切线戊丁与半径丁夘【或用半径为一率，则为半径夘午与乙角之余切午庚】若丙甲距纬之切线子甲，与甲乙赤道之正▯甲丑也一：乙角正切，戊丁；半径全数，卯午；股二：半径全数，丁夘；乙角余切，午庚；句。

三　距纬正切　子甲　　　　　　　　股四　赤道正▯　甲丑　　　　　　　　句右子甲丑形用法论曰：以上四法，厯书所有。但于图増一夘午庚句股形，则互视之理更明。假如有丙乙黄道距二分之度，径求甲乙赤道同升度法：为半径夘癸与乙角之余▯夘巳，若丙乙黄道之切线酉乙与甲乙赤道之切线未乙也。

一　半径全数　夘癸　▯二　乙角余▯　卯巳　句三　黄道正切　酉乙　▯四　赤道正切　未乙　句若先有甲乙赤道，而求其所当黄道，丙乙法为半径，丁夘与乙角之割线，戊夘若甲乙赤道之切线，未乙与丙乙黄道之切线，酉乙也。

一　半径全数　丁夘　句二　乙角正割　戊夘　▯三　赤道正切　未乙　句四　黄道正切　酉乙　▯论曰：以上两条，酉未乙形用法，予所补也。有此二法，黄赤道可以自相求，而正角弧形之用始备矣。外此，仍有三弧、割线、余▯之用，具如别纸。十余年前曽作弧三角所成句股书一册，稿存儿辈行笈中，觅之不可得也。庚辰年乃复作此，至辛己夏复得旧稿，为之惘然。然其理固先后一揆，而説有详略，可以互明，不妨并存，以征予学之进退。因思古人毕生平之力而成一事，良自不易。世有子云，或不以覆瓿置之乎？康熙辛己七夕前两日，勿庵梅文鼎识。是日也，爲立秋之辰，好雨生凉，炎歊顿失，稍简残帙，殊散人懐。

甲乙丙正弧三角形，即《测量全义》第七卷原图，稍为酌定，又増一酉未乙形。

测员之用甚博，非止黄赤也。然黄道、赤道、南北极、二分、二至诸名，皆人所习闻，故仍借用其号，以便识别。案图中句股形凡五，皆形相似。

其一癸巳夘形以癸卯半径为▯【即黄道半径】癸巳正▯为股【即黄赤大距弧之正▯】巳夘余▯为句【即黄赤大距弧之余▯】

其二戊丁夘形以戊夘割线为▯【即黄赤大距弧之正割线】戊丁切线为股【即黄赤大距弧之正切线】丁夘半径为句【即赤道半径】以上二句，股形生于黄赤道之大距，度乃总法也。两句股形，一在浑体之内，一出其外，同用夘角【即黄道心，亦即春分角】

其三丙辛壬形以丙壬正▯为▯【即黄经乙丙弧之正▯，以丙夘黄道半径为其全数，而夘壬其余▯】丙辛正▯为股【即黄赤距纬丙甲弧之正▯，亦以丙夘黄道半径为其全数，而辛夘其余▯】辛壬横线为句。法于赤道平面上作横线，聨两余▯成夘壬辛平句股形。此形以距纬余▯【夘辛】为▯，黄经余▯【夘壬】为股，而辛壬其句也。此辛壬线既为两余▯平句股形之句，亦即能为两正▯立句股形之句矣。厯书以辛壬为丙辛之余▯，误也。然则当命为何线曰：此非八线中所有，乃立三角体之楞线也。

其四子甲丑形以子丑斜线为▯【此亦立三角体之楞线也，非八线中之线】子甲切线为股【即黄赤距纬弧之正切线，以赤道半径甲夘为其全数，而子夘其割线也】甲丑正▯为句【即赤经乙甲弧之正▯，亦以赤道半径甲夘为其全数，而丑夘其余▯也】

其五酉未乙形以酉乙切线为▯【即黄经丙乙弧之正切线，以黄赤半径夘乙为其全数，而酉夘其割线也】酉未立线为股【此亦立三角之楞线，非八线中之线】未乙切线为句【即赤经乙甲弧之正切线，亦以黄赤半径夘乙为其全数，而未夘其割线也】以上三句，股形生于设弧之度。第三形在浑体之内。第四形半在浑体之内，而出其外。第五形全在浑体之外。问既在体外其状何如？曰：设浑圆在立方之内，而以两极居立方底葢之心，以乙春分居立方立面之心，则黄赤两经之切线酉乙、未乙皆在方体之立面，而未乙必为句，酉乙必为▯。于是作立线聨之，即成酉未乙句股形矣。此一形厯书遗之，予所补也【详堑堵测量】论曰：此五句股形，皆同角，故其比例等。然与弧三角真同者，乙角也。第一【癸巳夘形】第二【戊丁夘形】两形皆乙角原有之八线，即春秋分角也。其度则两至之大距也。或先有角，以求边，则以此两形中线，例他形中线，得线，则得边矣。或先有边以求角，则以他形中线例此两形中线，得线则亦得角矣【盖夘角即乙角也。○若欲求丙角，则以丙角当乙角，如法求之】第三形【丙辛壬形】以黄经之正▯【丙壬】黄赤距度之正▯【丙辛】为▯与股，是以黄经与距纬相求。或先有乙角，有黄经，以求距纬【用乙角，实用壬角，下同】

或先有乙角有距纬以求黄经或先有黄经，距纬可求乙角，亦可求丙角。第四形【子甲丑形】以黄赤距纬之切线【子甲】赤经之正▯【甲丑】为股与句，是以距纬与赤经相求。或先有乙角，有赤经，以求距纬【用乙角，实用丑角，下同】

或先有乙角有距纬以求赤经或先有赤经距纬，可求乙角，亦可丙角。第五形【酉未乙形】以赤经之正切【未乙】黄经之正切【酉乙】为句与▯，是黄赤经度相求。或先有乙，角有黄经，以求赤道同升度。或先有乙，角有赤道同升，以求黄经。或先有黄赤二经度，可求乙角，亦可求丙角。又论曰：诸句股形所用之夘壬丑乙四角实皆乙角，何也？侧望则弧度皆变正▯，而体心夘作直线至乙为夘壬丑乙线，即半径也。今以侧望之故，此半径直线化为一防，则乙角即夘角，亦即壬角，亦即丑角矣。

癸丁为乙角之度【即黄赤大距二至纬度】癸乙为黄道半径，丁乙为赤道半径，戊丁为乙角切线，癸巳为乙角正▯戊乙爲乙角割线，已乙为乙角余▯癸巳、乙戊、丁乙皆句股形，其乙角即夘角。丙甲为设弧，距度其正▯丙辛，其切线子甲。丙乙为所设黄道，度其正▯丙壬【因侧望弧度正▯成一线】偕距度正▯丙辛成句股形，其乙角即壬角。甲乙爲所设赤道同升度，其正▯甲丑【因侧望弧度正▯成一线】偕距度切线子甲成句股形，其乙角即丑角。酉乙为所设黄经切线，未乙为赤道同升度切线，此两线成一酉未乙句股形，在体外，真用乙角。

正弧三角形求余角法凡弧三角有三边，三角先得三件可知，余件与平三角同理。前论正弧形，以黄赤道为例，而但详乙角者，因春分角有一定之度，人所易知，故先详之。或疑求乙角之法不可施于丙角，兹复为之条析如左【仍以黄道上过极经圏之交角为例】

假如有乙丙黄道度，有乙甲赤道同升度，而求丙交角，则爲乙丙之正▯与乙甲之正▯，若半径与丙角之正▯也。

假如有丙甲距度，及乙甲同升度，而求丙交角，则为丙甲之正▯与乙甲之切线，若半径与丙角之切线。

假如有丙甲距度，及乙丙黄道度，而求丙交角，则为乙丙之切线与丙甲之切线，若半径与丙角之余▯又如，有丙交角，有乙丙交道度，而求乙甲同升度，则为半径与丙角之正▯若乙丙之正▯与乙甲之正▯或先有乙甲同升度，而求乙丙黄道度，则以前率更之为丙角之正▯与半径若乙甲之正▯与乙丙之正▯又如，有丙交角，有乙甲同升度，而求丙甲距度，则为丙角之切线与半径，若乙甲之切线与丙甲之正▯或先有丙甲距度，而求乙甲同升度，则以前率更之为半径，与丙角切线，若丙甲正▯与乙甲切线。

又如，有丙交角，有乙丙黄道度，求丙甲距度，则为半径与丙角余▯若乙丙切线与丙甲切线。

或先有丙甲距度，而求乙丙黄道，则以前率更之为丙角，余▯与半径若丙甲切线与乙丙切线。

论曰：求丙角之法，一一皆同乙角，更之而用丙角，求余边，亦如其用乙角也。所异者，乙角定为春分角，则其度不变；丙角为过极经圏交黄道之角，随度而移【交角近大距则甚大，类十字角；近春分只六十六度半弱，中间交角度度不同，他▯亦然，皆逐度变丙角】有时大于乙角，有时小于乙角【乙角不及半象限则丙角大，乙角过半象限则丙角有时小】故必求而得之。又论曰：丙交角既随度移，而甲角常为正角，何也？凡球上大圏相交成十字者，必过其极。今过极经圏乃赤道之经线，惟二至时则此圏能过黄赤两极，其余则但过赤道极而不能过黄道极，故其交黄道也常为斜角【即丙角】交赤道则常为正角【即甲角】又论曰：丙角与乙角共此三边【一、乙丙黄道；一、乙甲赤道；一、丙甲距度】其所用比例者，亦共此三边之八线【三边各有正▯亦各有切线】而所成句股形，遂分两种，可互观也。乙角所成诸句股，皆以戊丁夘为例。内角所成诸句股皆以亥辰夘为例。

并如后图如图，丙角第一层句股兊乙心形，即乙角之壬丙辛也。在乙角两正▯交于丙，在丙角两正▯交于乙，皆▯与股之比例，而同▯不同股【乙角、丙角并以乙丙黄道正▯为▯，而乙角所用之股为丙甲正▯，丙角所用则乙甲正▯，皆正▯也，而▯同股别】丙角第二层句股女甲亢形，即乙角之子甲丑也。乙角、丙角并以一正▯一切线交于甲，为句与股之比例，而所用相反【乙角于乙甲用正▯于丙甲用切线；丙角则于乙甲用切线，于丙甲用正▯皆乙甲、丙甲两弧之正▯切线，而所用逈别】丙角第三层句股艮丙氐形，即乙角之酉乙未也。在乙角，以两切线聨于乙；在丙角，以两切线交于丙。皆▯与句之比例而同▯不同句【乙丙两角，并以乙丙切线为▯而乙角以乙甲切线为句，丙角以丙甲切线为句。皆切线也，而▯同句别】

球面弧三角形弧角同比例解第一题正弧三角形，以一角对一边，则各角正▯与对边之正▯皆为同理之比例。

如图乙甲丙弧三角形【甲为正角】法为半径与乙角之正▯若乙丙之正▯与丙甲之正▯，更之则乙角之正角与对边丙甲之正▯若半径与乙丙之正▯也。又丙角之正▯与其对边乙甲之正▯亦若半径与乙丙之正▯也。合之则乙角之正▯与其对边丙甲之正▯亦若丙角之正▯与其对边乙甲之正▯。论曰：乙丙两角与其对边之正▯既并以半径与乙丙为比例，则其比例亦自相等。而两角与两对边，其正▯皆为同比例。又论曰：甲为正角，其度九十，而乙丙者，甲正角所对之边也。半径者，即九十度之正▯也。以半径比乙丙之正▯即是以甲角之正▯比对边之正▯故以三角对三边，皆为同比例。

第二题凡四率比例，二宗内有二率、三率之数相同，则两理之首末二率为互视之同比例【即斜弧比例之所以然，故先论之】假如有甲乙丙丁四率，甲【四】与乙【八】若丙【六】与丁【十二】皆加倍之比例也。又有戊、乙、丙、辛四率：戊【二】与乙【八】若丙【六】与辛【二十四】皆四倍之比例也。此两比例原不同理，特以两理之第二、第三同为乙【八】丙【六】故两理之第一、第四能互用为同理之比例【先理之第一甲四与次理之第四辛二十四，若次理之第一戊二与先理之四丁十二，皆六倍之比例也】

论曰：凡二率、三率相乘为实，首率为法，得四率。今两理所用之实，皆乙【八】丙【六】相乘【四十八】之实，惟甲【四】为法则得十二，若戊【二】为法则得二十四矣。法大者得数小，法小者得数大，而所用之实本同，故互用之即为同理之比例也。试以先理之四率更为首率，其理亦同【丁与辛，若戊与甲，皆加倍比例】若反之，令两四率并为首率，亦同【甲与戊，若辛与丁，皆折半比例】并如后图。

第三题斜弧三角形，以各角对各边，其正▯皆为同比例。

乙、丙、丁斜弧三角形，任从乙角作乙甲垂弧至对边，分元形为两正角形，甲为正角。依前正角形论，各对边之正▯与所对角之正▯比例皆等。乙甲丁形，丁角正▯与乙角正▯，若半径【即甲角正▯】与丁乙正▯，是一理也。乙、甲、丙形，丙角正▯与乙、甲正▯若半径与乙、丙正▯是又一理也。两理之第二同为乙甲，第三同为半径，则两理之首末二率为互视之同比例，故丁角之正▯与乙丙之正▯若丙角之正▯与丁乙之正▯也。又如法从丁角作丁戊垂弧至对边，分两形，而戊为正角，则乙角正▯与丁丙正▯亦若丙角正▯与乙丁正▯又从丙作垂弧，分两形，而壬为正角，则乙角与丁丙亦若丁角与乙丙。

一　丁角正▯　　　丙角正▯乙丙丁斜弧三角形，丁为钝角。法从乙角作乙甲垂弧于形外，亦引丙丁弧防于甲，成乙甲丁虚形，亦凑成乙甲丙虚实合形，甲为正角。

乙甲丁形，丁角之正▯与乙甲边若半径与乙丁边正▯，一理也。乙甲丙形，丙角之正▯与乙甲边若半径与乙丙正▯，又一理也。准前论两理之第二、第三既同，则丁角正▯与乙丙正▯若丙角正▯与乙丁正▯也。论曰：丁角在虚形，是本形之外角也。何以用为内角？曰：凡钝角之正▯与外角之正▯同数，故用外角如本形角也。若用乙角与丁丙边，则作丙庚弧于形外，取庚正角，其理同上；或作丁戊垂弧于形内，取戊正角，分两形，则如前法，并同。

用法凡弧三角形【不论正角斜角】但有一角及其对角之一弧，则其余有一角者可以知对角之弧，而有一弧者亦可以知对弧之角，皆以其正▯用三率比例求之。

假如乙丁丙三角形，先有丁角及相对之乙丙弧，则其余但有丙角，可以知乙丁弧；有乙角，可以知丁丙弧。此为角求弧也。若有乙丁弧，亦可求丙角；有丁丙弧，亦可求乙角。此为弧求角也。

一　丁角正▯　　　　　一　乙丙正▯二　乙丙正▯　　　　　二　丁角正▯三丙角正▯乙角正▯三乙丁正▯丁丙正▯。四乙丁正▯丁丙正▯四丙角正▯乙角正▯。

厯算全书巻七<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书厯算全书巻八宣城梅文鼎撰弧三角举要巻三斜弧三角形作垂弧説正弧形有正角，如平三角之有句股形也。斜弧形无正角，如平三角之有锐钝形也。平三角锐钝二形，并以虚线成句股，故斜弧形亦以垂弧成正角也。正弧形以正▯等线立算句股法也。斜弧形仍以正角立算，亦句股法也。

斜弧三角用垂弧法垂弧之法有三，其一作垂弧于形内，则分本形为两正角形；其二作垂弧于形外，则补成正角形；其三作垂弧于次形。总法曰：三角俱锐，垂弧在形内；一钝二鋭或在形内，或在形外【自钝角作垂弧则在形内，自锐角作垂弧则在形外】两钝一锐，或三角俱钝，则用次形，其所作垂弧在次形之内之外【次形无钝角，垂弧在其内；有钝角，垂弧在其外。若破钝角，亦可在内】

第一法垂弧在形内成两正角【内分五支】设甲乙丙形，有丙鋭角，有角旁相连之乙丙、甲丙二边，求对边及余两角。

法于乙角【在先有乙丙边之端乃不知之角】作垂弧【如乙丁】至甲丙边分甲丙边为两即分本形为两而皆正角【凡垂弧之所到必正角也角不正即非垂弧故所分两角皆正后仿此】　一乙丁丙形此形有丁正角丙角乙丙边为两角一边可求丁丙边【乃丙甲之分】乙丁边【即垂弧】及丁乙丙角【即乙分角】　次乙丁甲形有丁正角甲丁边【甲丙内减丁丙其余丁甲】乙丁边为一角两边可求乙甲边甲角及丁乙甲分角　末以两乙角并之成乙角或如上图，丁甲角端作垂弧至乙丙边，分乙丙为两，亦同。

右一、角二边而先有者，皆角旁之边为形内垂弧之第一支【此所得分形丁丙边必小于元设边，即垂弧在形内，而甲为鋭角】设甲、乙、丙形，有丙锐角，有角旁相连之丙乙边，及与角相对之乙甲边，求余两角一边。

法于不知之乙角【在先有二边之中】作乙丁垂弧，分两正角形。一乙丙丁形，此形有丁正角，有丙角，有乙边，边可求乙丁分线及所分丁丙边及丁乙丙分角。次乙甲丁形，此形有丁正角，有乙丁边，有乙甲边，可求甲角及丁乙甲分角，丁甲边。末以两分角【丁乙丙及丁乙甲】并之，成乙角；以两分边【丁丙及丁甲】并之，成甲丙边。右一、角二边，而先有对角之边，为形内垂弧之第二支。设甲乙丙形，有乙丙二角，有乙丙边【在两角之间】求甲角及余边。

法于乙角作垂弧，分两形，并如前【但欲用乙丙边，故破乙角，存丙角】一乙丙丁形，有丁正角，丙角，乙丙边，可求乙丁边，丁丙边，丁乙丙分角。次乙丁甲形，有乙丁边，丁正角，丁乙甲分角【原设乙角内减丁乙丙，得丁乙甲】可求乙甲边，甲角及甲丁边。末以甲丁并丁丙，得甲丙边。

或于丙角作垂弧亦同若角一钝一鋭即破钝角作垂线，其法并同。

右二角一边而边在两角之间不与角对为形内垂弧之第三支【此必未知之角为锐角则垂弧在形内】

设甲乙丙形，有丙甲二角，有乙甲边【与丙角相对，与甲角相连】求乙角及余二边。

法于乙角【为未知之角】作垂弧，分为两形，而皆正角。一乙丁甲形，有丁正角，甲角，乙甲边，可求甲丁边，乙丁边，丁乙甲分角。次丁乙丙形，有丁正角，乙丁边，丙角，可求乙丙边，丁丙边，丁乙丙分角。末以甲丁，丁丙并之，成甲丙边。以两分角【丁乙甲，丁乙丙】并之，成乙角。右二角一边而先有对角之边，为形内垂弧之第四支【此先有二角，必俱锐，则垂弧在内】

设乙甲丙形有三边而内有【乙甲乙丙】二边相同，求三角。

法从乙角【在相同二边之间】作垂弧至丙甲边【乃不同之一边】分两正角形【其形必相等，而甲丙线必两平分】乙丙丁形有丁正角，乙丙边，丁丙边【即甲丙之半】可求丙角，乙分角【乃乙角之半】倍之成乙角，而甲角即同丙角【不须再求】右三边求角，而内有相同之边，故可平分，是为形内垂弧之第五支【此必乙丙、乙甲二边并小，在九十度内，若九十度外，甲丙二角必俱钝，当用次形，详第三又法】

第二法垂弧在形外补成正角【内分七支】设甲乙丙形，有丙锐角，有夹角之两边【乙丙、甲丙】求乙甲边及余两角。

法自乙角【在先有边之一端】作垂弧【乙丁】于形外，引丙甲边至丁，补成正角形二【一丙乙丁半虚半实，形二甲乙丁虚形】先算丙乙丁形，此形有乙丙边，丙角，有丁正角，可求丙乙丁角【半虚半实】乙丁边【形外垂弧】丁丙边【丙甲引长边】次甲乙丁虚形，有丁正角，有乙丁边，甲丁边【丁丙内减内甲得甲丁】可求乙甲边，甲角及甲乙丁虚角。末以甲角减半周得原设甲角，以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角。右一角二边角在二边之中而为锐角，是为形外垂弧之第一支【此所得丁丙必大于原设边，即垂弧在形外而甲为钝角】设乙甲丙形，有甲钝角，有角旁之【丙甲乙甲】二边，求乙丙边及余二角。

法于乙角作垂弧【乙丁】引丙甲至丁，补成正角。先算乙丁甲虚形，此形有丁正角，甲角【即原设甲角减半周之余，亦曰外角】有乙甲边，可求甲丁边，乙丁边，丁乙甲虚角。次丁乙丙形，有乙丁边，丁丙边【甲丙加丁甲得之】丁正角，可求乙丙边，丙角，丙乙丁角。末于丙乙丁内减丁乙甲虚角，得原设乙角。

或从丙作垂弧至戊，引乙甲边至戊，补成正角，亦同。

右一、角二、边角在二边之中而为钝角，乃形外垂弧之第二支。

设乙、甲、丙形，有丙锐角，有角旁之乙丙边，有对角之乙甲边，求丙甲边及余二角。

法从乙角作垂弧至丁成正角【亦引丙甲至丁】先算丙乙丁形有丁正角，丙角，乙丙边，可求诸数【乙丁边，丁丙边，丙乙丁角】次丁乙甲虚形有丁正角，乙丁，乙甲二边，可求诸数【乙甲丁角，甲乙丁角，甲丁边】末以所得虚形甲角减半周，得原设甲钝角，于丙乙丁内减虚乙角，得原设乙角，于丁丙内减甲丁，得原设丙甲。右一、角二、边角有所对之边而为锐角，乃形外垂弧之第三支【此必甲为钝角，故垂弧在外】设乙甲丙形，有甲钝角，有角旁之甲丙边，及对角之乙丙边，求乙甲边及余二角。

法于丙角作垂弧至戊，补成正角。先算虚形【甲丙戊】有戊正角，甲角【甲钝角减半周之余】甲丙边，可求诸数【丙戊边，甲戊边，丙虚角】次虚实合形【乙丙戊】有戊正角，丙戊边，乙丙边，可求原。设乙角及诸数【乙丙戊角，乙戊边】末以先得虚形数减之，得原设数【丙角内减丙虚角，得原设丙角；乙戊内减甲戊虚引边，得原设乙甲边】右一、角二、边角有所对之边而为钝角，乃形外垂弧之第四支【此先得钝角垂线必在外】

设乙甲丙形，有丙甲二角【一锐一钝】有丙甲边在两角之中。

法于丙锐角作垂弧至丁【在甲钝角外】补成正角。丁丙甲虚形有丁正角，甲外角，丙甲边，可求诸数【丙丁边，甲丁边，丙虚角】次乙丙丁形【半虚实】有丁正角，丙丁边，丙角【以丙虚角补原设丙】【角得丁丙乙角】可求原设乙丙边，乙角及乙甲边【求得乙丁边，内减虚形之甲丁边，得原设甲乙边】

右二角一边边在两角间为形外垂弧之第五支【此亦可于甲钝角作垂弧则在形内法在第一法之第三支】

设乙甲丙形，有乙甲二角【乙锐，甲钝】有丙甲边与乙锐角相对【钝角相连】

法于丙锐角作垂弧至戊【在丙甲边外】补成正角。甲戊丙虚形有戊正角，有丙甲边，甲角【原设形之外角】可求诸数【丙戊甲戊二边，丙虚角】次乙丙戊形有戊正角，乙角，丙戊边，可求丙角【求得乙丙戊角，内减丙虚角得元设丙角】乙丙边，乙甲边【求到乙戊边，内减甲戊得乙甲】右二角一边而边对鋭角为形外垂弧之第六支。

设乙甲丙形，有乙锐角，甲钝角，有丙乙边与甲钝角相对【锐角相连】

法于丙锐角作垂弧至戊【在甲钝角外】补成正角。乙丙戊形有戊正角，乙角，乙丙边，可求诸数【丙戊乙戊二边，乙丙戊角】次甲丙戊虚形有戊正角，甲外角，丙戊边，可求原设丙甲边，甲乙边【求到戊甲虚边，以减乙戊得原设乙甲】丙角【求到丙虚角，以减乙丙戊角得原设丙角】右两角，一边而边对钝角，为形外垂弧之第七支。

第三垂弧又法　用次形【内分九支】设乙、甲、丙形，有乙、丙二角，有乙、丙边，在两角间，而两角并钝，求余二边及甲角。

法引丙甲至己，引乙甲至戊，各满半周。作戊己边与乙丙等，而己与戊并乙丙之外角，成甲戊己次形。依法作垂弧于次形之内【如己丁】分为两形【一己丁戊，一己丁甲】可求乙甲边【以己丁戊分形求到丁戊，以己丁甲形求到甲丁，合之成甲戊，以减半周即得乙甲】丙甲边【以己丁甲分形求到己甲，以减半周即得丙甲】甲角【以己丁甲分形求到甲交角】右二角一边边在角间，而用次形为垂弧。又法之第一支。论曰：旧説弧三角形，以大边为底，底旁两角同类，垂弧在形内；异类，垂弧在形外。由今考之，殆不尽然。盖形内垂弧，分底弧为两，成两正角形，所用者锐角也【底旁原有两锐角，分两正角形，则各有两锐角】形外垂弧，补成正角形，所用者亦锐角也【底旁原有一锐角，补成正角形，则虚实两形各有两锐角】故惟三锐角形，作垂弧于形内；一钝两锐，则垂弧或在形内，或在形外。若两钝一鋭，则形内形外俱不可以作垂弧【垂弧虽有内外，而其用算时并为一正角两锐角之比例。若形有两钝角，则虽作垂弧，只能成一正一钝一锐之形，无比例可求，则垂弧为徒设矣】故必以次形通之，而所作垂弧即在次形，不得谓之形内。然则同类之説，止可施于两锐【若两钝虽亦同类，而不可于形内作垂弧】异类之説，止可施于一钝两锐【若两钝一锐，而底弧之旁一钝一锐，虽亦异类，然不可于形外作垂弧】非通法矣【两钝角不用次形垂弧之法，己穷，况三钝角乎】又论曰：「以垂弧之法征之，则大边为底之说，理亦未尽。盖钝角所对边必大，既有形外立垂线，垂弧之法则钝角有时在下，而所对之边在上矣。不知何术能常令大边为防乎？此尤易见。」

设乙甲丙形，有丙甲二角，有乙甲边，与丙角相对，而两角俱钝，求乙角及余边。

如法引甲乙丙，乙俱满半周，防于己成丙甲，己次形作己丁，垂弧于次形内，分次形为两，可求乙角【依法求到分形两己角合之为次形己角与乙对角等】甲丙边【求到分形甲丁及丁丙并之即甲丙】乙丙边【求到次形己丙以减半周得之】右二角一边边与角对而用次形为垂弧，又法之第二支，此三角俱钝也，或乙为鋭角，亦同。

设乙、甲、丙形，有乙、丙、乙、甲，两边有乙角，在两边之中。

法用甲乙戊次形【有乙甲边有乙戊边为乙丙减半周之余有乙外角】作甲丁垂弧分为两形可求丙甲边及余两角【以乙甲丁分形求到丁乙及甲分角人以甲戊丁形求到甲戊以减半周为丙甲又得甲分角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙对角】右二边一角角在二边之中而用次形为垂弧又法之第三支或丙为钝角，则于次形戊角作垂弧，法同上条。

设乙、甲、丙形，有丙角，有甲丙边，与角连；有乙甲边，与角对。

法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余，甲戊为甲丙减半周之余，戊角为丙之外角】作垂弧【甲丁】于内，分为两形，可求丙乙边及余两角【以甲丁戊分形求丁戊及甲分角，又以甲丁己形求得丁己，以并丁戊成己戊，即丙乙也，又得分角，以并先得分角即甲交角也，又得己角即乙外角也】右二边一角，角与边对而用，次形为垂弧。又法之第四支：若甲为钝角，亦同。论曰：先得丙钝角，宜作垂弧于外；而乙亦钝角，不可作垂弧，故用次形。设乙甲丙形有三边，内有【乙甲丙甲】二边相同，而皆为过弧，求三角。

法引相同之二边，各满半周，作弧线聨之，成戊甲己次形。如法作甲丁垂弧，分次形为两【其形相等】可求相同之二角【任以甲丁戊分形求到戊角，以减半周得乙角，亦即丙角】及甲角【求到甲半角，倍之成甲角】右三边求角，内有相同两大边为垂弧，又法之第五支。若甲为鋭角，亦同。

以上垂弧并作于次形之内设乙、甲、丙形，有丙、甲二钝角，有甲、丙边在两角间。

法引乙、丙、乙、甲满半周，防于戊，成甲、戊、丙次形。自甲作垂弧，与丙、戊引长弧，防于丁，补成正角，可求乙、甲边，乙、丙边，乙角【先求丙、甲、丁形诸数，次求甲、戊、丁，得甲、戊，以减半周为甲、乙。又以丁、戊减先得丁、丙，得丙、戊，以减半周为乙、丙。又求得戊虚角，减半周为戊角，即乙对角】右两钝角一边边在角间，而于次形外作垂弧，为又法之第六支。

或自丙角作垂弧亦同设乙甲丙形，有乙甲二钝角，有甲丙边与角对。

法引设边成丙戊甲次形【有甲外角有戊钝角为乙对角有丙甲边】如上法作丙丁垂弧，引次形边防于丁，可求乙丙边【先求甲丁丙形诸数，次丙丁戊虚形求到丙戊，以减半周为乙丙】乙甲边【先求到丁甲，以虚线丁戊减之得戊甲，即得乙甲】丙角【先求到甲丙丁角，内减丙虚角，得丙外角，即得元设丙角】右二角一边，边与角对，垂弧在次形外，为又法之第七支。

设乙甲丙形，有丙钝角，有角旁之两边【丙乙，丙甲】

法用甲戊丙次形，作甲丁垂弧，引丙戊防于丁，可求乙甲边及甲乙二角【先以甲丁丙形求到诸数，再以甲丁戊虚形求甲戊，即得乙甲。又甲虚角减先得甲角，成甲外角；又戊虚角，即乙外角】右二边一角，角在二边之中，垂弧在次形外，为又法之第八支。

设乙甲丙形，有甲钝角，有一边与角对【乙丙】一边与角连【丙甲】

法用丙戊甲次形，自丙作垂弧，与甲戊引长边防于丁，可求乙甲边及余两角【依法求到甲戊，即得乙甲；求戊角，即乙角；以丙虚角减先得丙角，即丙外角】右二边一角，角有对边垂弧，在次形外，为又法之第九支。

以上垂弧并作于次形之外论曰：三角俱钝，则任以一边为底，其两端之角皆同类矣。今以次形之法求之，而垂弧尚有在次形之外者，益可与前论相发也。